高中数学三角函数例题

高中数学三角函数例题（精选17篇）

1.高中数学三角函数例题 篇一

关于不等式证明的常用方法

(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法换元法主要放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 典型题例

例1证明不等式1

121

31

n2n(n∈N*)知识依托 本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 例2求使xy≤axy(x＞0，y＞0)恒成立的a 知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求证(a+11)(b+)ba证法一(分析综合法）证法二(均值代换法)证法三(比较法）证法四(综合法)证法五(三角代换法）巩固练习已知x、y是正变数,a、b是正常数,且ab=1，x+y的最小值为xy设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________ 已知a，b，c为正实数，a+b+c=1求证1(2)a23b2c2≤6

312已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= x，y，z∈［0，］ 23(1)a2+b2+c2≥证明下列不等式bc2ca2ab2z≥2(xy+yz+zx)xyabc

yzzxxy111(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，则≥2()xyzxyz(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则

已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n(1)证明 niAi

m＜miAi

n(2)(1+m)n＞(1+n)m

若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证 a+b≤2，ab≤1不等式知识的综合应用

典型题例

例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米，盖子边长为a米，(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)

知识依托本题求得体积V的关系式后，应用均值定理可求得最值

例2已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤

1(1)|c|≤1；

(2)当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，有－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)

知识依托 二次函数的有关性质、函数的单调性，绝对值不等式

例3设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2(1)当x∈［0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明 x0＜

x

1巩固练习

定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等

式，其中正确不等式的序号是()

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)①③

B②④

C①④

②③

下列四个命题中①a+b≥

2ab②sin2x+

4≥4③设x，y都是正数，若则x+y的最小值是12④=1，2

xysinx

若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，则|x－y|＜2ε，其中所有真命题的序号是__________

已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，设方程f(x)=x的两实数根为x1，x2

(1)如果x1＜2＜x2＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范围

设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜

1(1)f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；

(2)f(x)在R上单调递减；

(3)设集合A={(x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围

2x2bxc

已知函数f(x)=(b＜0)的值域是［1，3］，2x1

(1)求b、c的值；

(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；(3)若t∈R，求证 lg

711≤F(|t－|－|t+|)≤566数列与不等式的交汇题型分析及解题策略

【命题趋向】

数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.【典例分析】

题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题

求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立f(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.11

1【例1】等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞…恒成立的正整数n的取

a1a2an值范围.【例2】（08·全国Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．

(Ⅰ)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．【点评】 一般地，如果求条件与前n

项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解

题型二 数列参与的不等式的证明问题

此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设p、q都是正整

1数，且p≠q，证明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）

2因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例4】(08·安徽高考)设数列{an}满足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c为实数.(Ⅰ)证明：an∈[0，1]对任意n∈N*11成立的充分必要条件是c∈[0，1]；(Ⅱ)设0＜c＜，证明：an≥1－(3c)n1，n∈N*；（Ⅲ）设0＜c＜，证明：a12＋a22＋…＋an

2332

＞n＋1－n∈N*.1－3c

题型三 求数列中的最大值问题

求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】(08·四川)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为______.【例6】 等比数列{an}的首项为a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式；(Ⅱ)当n

取何值时，f(n)有最大值．

题型四 求解探索性问题

数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例7】 已知{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求证：数列{an}是等比数列；(Ⅱ)是否存在正整数k，使

【点评】在导出矛盾时须注意条件“k∈N*”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】(08·湖北)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an+1＝n＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整

3数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.数列与不等式命题新亮点

例1 把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数„,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23)„,则第50个括号内各数之和为_____.点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求.例2 设A.bn

Sk+1－2

＞2成立.Sk－2

an是由正数构成的等比数列, bnan1an2,cnanan3,则()

S

cnB.bncnC.bncnD.bncn

点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系.例3 若对x(,1],不等式(m

m)2x()x1恒成立,则实数m的取值范围()

A

B

D

A.(2,3)B.(3,3)C.(2,2)D.(3,4)

例4四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米,一只小虫从S点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n米后恰好回到S点的概率为Pn(1)求P2、P3的值;(2)求证: 3Pn1Pn

例5 已知函数

1(n2,nN)(3)求证: P2P3„Pn>6n5(n2,nN)

4fxx2x.(1)数列

an满足: a10,an1fan,若

1对任意的nN恒成立,试求a1的取值范围;2i11ai,Sk为数列cn的前k项和, Tk为数列cn的1bn

n

(2)数列

bn满足: b11,bn1fbnnN,记cn

Tk7

.10k1SkTk

n

前k项积,求证

例6(1)证明: ln

1xx(x0)(2)数列an中.a11,且an1

11

an2;n1

2n1n

2①证明: an【专题训练】



7n2②ane2n1 4

aaD．a6a8（）D．bn≤cn

（）

1．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有

aaA．＜

a6a8

aaB．

a6a8

aaC．＞a6a8

2．设{an}是由正数构成的等比数列，bn＝an+1＋an+2，cn＝an＋an+3，则

A．bn＞cn

B．bn＜cn

C．bn≥cn

3．已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则（）

A．a6＝b6 A．9 A．S4a5＜S5a4

B．a6＞b6 B．8 B．S4a5＞S5a4

C．a6＜b6 C．7 C．S4a5＝S5a4 S

(n＋32)Sn+1

1C．

D．a6＞b6或a6＜b6（）D．6 D．不确定（）

150

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足５＜ak＜８，则k＝

5．已知等比数列{an}的公比q＞0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是（）

6．设Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，则函数f(n)＝

A．

120

B．

130

D．

7．已知y是x的函数，且lg3，lg(sinx－)，lg(1－y)顺次成等差数列，则

A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值

（）

1111

C．y有最小值，最大值1D．y有最小值－1，最大值11212

（）

Ｄ．(－∞，－1∪3，＋∞)

8．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是

Ａ．(－∞，－1

Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．3，＋∞)

9．设3b是1－a和1＋a的等比中项，则a＋3b的最大值为()

A．1（）

A．充分不必要条件 11．{an}为等差数列，若

A．11

B．必要不充分条件C．充分比要条件

D．既不充分又不必要条件

（）

B．2

C．

3D．4

10．设等比数列{an}的首相为a1，公比为q，则“a1＜0，且0＜q＜1”是“对于任意n∈N*都有an+1＞an”的a1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n＝ a10

B．17

C．19

D．21

12．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是

1A．，2)

B．[，2]

（）1

C．1)

D．[1]

S13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都

n

成立．则M的最小值是__________．

14．无穷等比数列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各项之和不大于a1的一半，则q的取值范围是________.(a＋b)

215．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________.cd

Ａ．0

Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．

416．等差数列{an}的公差d不为零，Sn是其前n项和，给出下列四个命题：①A．若d＜0，且S3＝S8，则{Sn}中，S5和S6都是

{Sn}中的最大项；②给定n，对于一定k∈N*(k＜n)，都有ank＋an+k＝2an；③若d＞0，则{Sn}中一定有最小的项；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak1同号 其中真命题的序号是____________.17．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通项an；（Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值．

18．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an+1)(n∈N*）在函数y＝x2＋1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)

若列数｛b｝满足b＝1,b＝b＋2an，求证：b ·b＜b2.n

n+1

n

n

n+2

n+1

19．设数列{an}的首项a1∈(0，1)，an＝

3－an1

n＝2，3，4，….2

（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝a3－2an，证明bn＜bn+1，其中n为正整数． 20．已知数列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}中b1＝2，bn+1＝

3bn＋4

n＝1，2，3，….2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，… 2bn＋

321．已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函

数y＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

1m

（Ⅱ）设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m

20anan＋1

22．数列，是常数．（Ⅰ）当a21时，求及a3的值；（Ⅱ）2，）an满足a11，an1(n2n)an（n1，数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有an

一、利用导数证明不等式

（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式

0．

利用导数处理与不等式有关的问题

某个区间上导数大于（或小于）0时，则该单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。

1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大

（小），来证明不等式成立。

x2例1：x>0时,求证；x－ln(1+x)＜02、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求证:ab>b a,(e为自然对数的底)

（二）、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。

导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。例

3、求证：n∈N*,n≥3时，2n >2n+1 例

4、g

x2(b1)2的定义域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a

(x)(1)Aax

若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)

3、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。例5：f(x)=

3x－x, x1,x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤

二、利用导数解决不等式恒成立问题

不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x)(或m

a

(9(aR),对f(x)定义域内任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范围

x

nn

1例

7、已知a＞0，n为正整数，（Ⅰ）设y=(xa)，证明yn(xa)；

n

（Ⅱ）设fn(x)=xn－(xa)，对任意n≥a，证明f ’n+1(n+1)＞（n+1）f ’n（n）。

例

6、已知函数f(x)

三、利用导数解不等式 例8：函数

ax(a0),解不等式f(x)≤1

2.高中数学三角函数例题 篇二

关键词：高中数学,例题教学,策略

我们常有这样的困惑:不仅是讲了,而且是讲了多遍,可是学生的解题能力就是得不到提高!也常听见学生这样的埋怨:巩固题做了千万遍,数学成绩却迟迟得不到提高!诚然,出现上述情况涉及方方面面,但其中的例题教学值得反思,例题是教材的重要组成部分,这些例题是编者从茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的,是学生掌握双基的重要来源,也是教师传授知识的纽带,它蕴含着丰富的教学功能,处理好例题的教学,对教学质量大面积的提高、学生智力的发展、思维品质的培养都是至关重要.然而很多时候只是例题继例题,因而学生的学习也就停留在例题表层,出现上述情况也就不奇怪了。

事实上,解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程;是一个吸取教训、逐步提高的过程;是一个收获希望的过程。从这个角度上讲,例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。本文拟从以下三个方面作些探究。

一、引申拓广,培养数学思维的发散性

教学中,若对一些典型的例、习题进行变式处理,如改变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等,即可以在演变多解过程中,使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸,培养学生的发散性思维。

对于⑴式能否有更深刻的变化呢?将不等式⑴字母分别排序,得(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2(5)

通过分析知道,可以按字母增加的方向演变。

[变4]设a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R,

求证:(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2(6)

此时,利用学生的连续思维所产生的思维惯性,教师因势利导,把问题推广。

推广设ai,bi∈R(i=1,2……n),则

(当且仅当ai=kbi时,取“=”号)

这是一个重要的定理,叫柯西不等式。不等式(5)、(6)即柯西不等式当n=2和n=3时的特例。

如此层层推进,使结论更加完美,更具有普遍性。

上述对原题从不同角度进行演变和多解,这样从一题多变到一题多解,使知识横向联系,纵向深入,拓宽了学生的思路,培养了学生的发散思维。

二、揭示规律,培养思维的深刻性

善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩,再进一步作一题多变,一题多问,一题多解,挖掘例题的深度和广度,扩大例题的辐射面,无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。

例如:(原例题)已知等腰三角形的腰长是4,底长为6;求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1已知等腰三角形一腰长为4,周长为14,求底边长。(这是考查逆向思维能力)

变式2已等腰三角形一边长为4;另一边长为6,求周长。(前两题相比,需要改变思维策略,进行分类讨论)

变式3已知等腰三角形的一边长为3,另一边长为6,求周长。(显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾,这有利于培养学生思维严密性)

变式4已知等腰三角形的腰长为x,求底边长y的取值范围。

变式5已知等腰三角形的腰长为x,底边长为y,周长是14。请先写出二者的函数关系式,再在平面直角坐标内画出二者的图象。

通过例题的层层变式,学生对三边关系定理的认识又深了一步,有利于培养学生从特殊到一般,从具体到抽象地分析问题、解决问题;通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势,而又打破思维定势;有利于培养思维的变通性和深刻性。

三、联想转化,促进知识的迁移

综上所述,课本是教学之本,深挖教材的潜力,充分发挥教材的自身作用,处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本,对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用,由点到面,由题及类,解剖一例,带活一串,注意数学思想方法的渗透,这样教学,深化了基础知识,培养了思维品质,发展了思维能力,这正是我们所要追求的目标。

参考文献

[1]李带兵.刍议高中数学例题教学中存在的误区[J].数学之友,2011.05

3.浅析高中数学例题变式教学 篇三

[关键词]数学 变式教学 例题 应用

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号] 16746058（2015）260014

数学例题展示了解题的整体思路，把抽象的思维转变成切实可见的形象体现.在数学教学中，可以通过数学例题的展示减少数学的抽象性，使学生在学习中没有那么大的压力.但是在传统的教学中，老是举例来让学生模仿的教学形式不利于学生数学思维能力的培养.如果能够对这些例题进行适当的变式，能帮助学生更好地理解数学知识，了解问题的本质.

一、例题变式在数学课堂教学中的作用

在数学教学中，教师不能仅仅把相关的知识点教给学生，还要把解题的方法教给学生，并培养他们良好的数学思维.数学例题是数学教学中重要的教学题材，也是数学教学的主要组织形式.充分利用和设计数学例题是新课程背景下提高高中数学教学效率的重要手段.数学教科书中的例题都是专家们的解题思路，这些思路适合大多数学生的学习思维，便于学生学习相关的知识.如果教师在课堂教学中不仅关注教科书上的例题，而且在这些例题的基础上加以开发、转变，就能够培养学生灵活的思维方式，调动学生对数学学习的积极性，从而发展学生的解题思维，促进其高效学习思维习惯的形成.

二、数学例题变式教学的相关研究

顾明远在《教育大词典》中对“变式教学”做了解释，他认为所谓的变式教学就是教师在进行数学题目的讲解过程中，通过讲解得出相关的结论，再对命题进行有目的、有计划的转变，让它从不同的角度进行转化，从而扩充学生学习内容的一种教学方式.

刘长春等人对“变式教学”也提出了相关的见解，他们认为变式就是通过一定的范式，不断地改变问题的情境和问题的思维角度，在保证事物本质不变的条件下，利用相关的迁移理论进行迁移，是一种重要的教学途径.

三、例题变式教学的应用

随着新课程改革的不断深化和素质教育的大力实施，对传统的课堂教育提出了新的要求，要求在课堂上要尽量体现学生的主体地位，重在培养学生勇于探索的精神、创新合作的交流能力和数学思维能力.数学课堂教学中的变式教学恰好能够很好地解决这些问题.

例如，在“关于同角三角函数基本关系式”的章节的教学中，单一的关系式教学难免会使学生失去学习兴趣而产生厌烦情绪.因此，教师应采用例题变式的方式，运用一系列的变式教学设计来培养学生的数学思维，进而不断提高教学效率.

这一章节的主要教学目的是要学生了解三角函数之间的关系，并且能够证明一些简单的三角函数关系，为以后的学习做一个铺垫.本节课的主要设计思路是通过具体的角的关系转化成抽象角之间的关系，引导学生的思维由特殊向一般的思维方式转变，通过小组之间的合作探索循序渐进地寻找解题的方法.通过对例题的学习让学生对公式的应用进一步了解.通过变式1、2、3的不断深入，让学生在不断的探索中，切身体验到同角三角函数这类题型的解题方法.

例如，在“抛物线及其标准方程”的教学中，常见的例题有：直线y=x-2与曲线y2=2x相较于A、B两点，求证：OA⊥OB（其中O为坐标原点）.这样的例题较为简单，我们可以适当改变例题的条件或结论，这样就可起到更好的教学效果.比如，我们可以将它变为：如果直线y=kx+b和抛物线y2=2px（p>0）相交与A、B两点，直线AB经过（2p，0），求证：OA⊥OB（其中O为坐标原点）.也可以将原题变式为：若直线y=kx+b和抛物线y2=2px（p>0）相交于A、B两点，OA⊥OB，O为坐标原点，求证：y=kx+b通过一定点P.并试求出这一定点P的坐标.

这一系列的变式都在配合教师层层递进地引导和提问，通过学生之间的小组合作，充分培养了学生的数学思维，锻炼了学生主动探索和自主学习的能力.更重要的是让学生学会了用从特殊到一般的思维方式去解决问题.

高中数学知识非常繁琐，很多看似独立存在的小知识点实际上都存在一定的联系.因此，高中数学课堂教学不是单纯地教授知识、学习知识的过程，而是重在培养学生的数学思维的过程.变式教学正好符合高中阶段的课程特点，教师通过变式教学，从不同的角度对多个知识点进行考查，帮助学生构建知识网络.这是整个高中数学教学最为行之有效的教学方法.

4.高中数学三角函数教案 篇四

本主题单元共分3部分，第一部分复习三角公式，第二部分复习三角函数图象与性质，第三部分复习正余弦定理，本节课是第二部分“收官”课，期待学生在知识和能力上得到螺旋上升的发展.因此，本节课的重点是三角函数的图象和性质的完美结合与灵活运用.难点则体现在知识转化和变通过程中，学生综合运用知识解决问题能力的提升上.

二、命题走向

近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本单元复习的重点.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.

三、设计理念与思想

翻转课堂的核心理念是使“知识传递发生在课外，知识内化发生在课堂”.所以我们需要重新建构学习流程， “信息传递”是学生在课前进行的，老师不仅提供了视频，还可以提供在线的辅导;“吸收内化”是在课堂上通过互动来完成的，教师能够提前了解学生的学习困难，在课堂上给予有效的辅导，同学之间的相互交流更有助于促进学生知识的吸收内化过程.与传统理念相比，课堂和老师的角色都发生了变化.老师更多的责任是理解学生的问题和引导学生运用知识，发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.

四、学生学习情况分析

青岛2中分校近年来录取分数线有了明显提高，在孙先亮校长“办学生发展需要的学校”，“每个学生都是好学生”等先进教育理念的引领下，学生的综合能力得到不断提升.本届学生是2中分校成立以来即将毕业的第二届，高三.2班是本人高二分班后新接任的班级，班级整体水平提升较快.

五、教学目标

1. 通过课前视频，自主梳理正弦、余弦、正切函数的图象和性质.

2. 能灵活运用三角函数的图象与性质设计并解决问题, 进一步领会数形结合的思想,提高学生思维的变通性.

3. 通过独立思考和小讲师的分析，提高学生学习的主动性、参与度，提升合作探究的能力.

六、教学过程

课前视频：

1.播放吕良和刘雨佳同学创作的《三角函数——小苹果版》，复习三角函数的图象与基本性质

[设计意图]用熟悉的流行歌曲调动学生的学习积极性

2.【自主梳理】 三角函数的图象和性质

函数y=sin xy=cos xy=tan x

一个周期内的图象

定义域

值域

奇偶性

周期性

对称性对称中心：

对称轴：对称中心：

对称轴：对称中心：

对称轴：

单调性在___________________上增，在____________________上减在___________________上增，在___________________上减_____________________上是增函数最值x=___________________时，y取最大值1;x=___________________时，y取最小值-1.x=___________________时，y取最大值1;x=___________________时，y取最小值-1.

[设计意图]通过表格的形式使学生自主巩固三个基本初等函数的基本知识，为课堂小讲师搭建表现平台，也为本节课的目标2的达成奠定坚实的基础.

(3)函数 的对称中心是 .

(4)将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则函数单调增区间是 .

5.三角函数的高中数学题 篇五

解.f(x)=2sinx[1-cos(x+π/2)]+1-2sinx=2sinx(1+sinx)+1-2sinx=2sinx+1

(1)y=f(wx)=2sinwx+1

因在区间[-π/2，2π/3]上是增函数，所以最小正同期T=2π/w≥2(π/2+2π/3)

即0

而-π/2+2kπ≤wx≤π/2+2kπ时，f(x)单调递增

则必有k=0,即-π/2≤wx≤π/2时递增，

则必有2πw/3≤π/2,即w≤3/4

所以w的取值范围(0,3/4]

(2)|f(x)-m|=|2sinx+1-m|<2,则m-3<2sinx<1+m即(m-3)/2

而当π/6≤x≤2π/3时，有1/2≤sinx≤1

因为A属于B，必有

(m-3)/2<1 2=”">1

6.高中数学三角函数做题技巧 篇六

早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的，因为当时人们需要穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或经水路沿着海岸线做冒险的长途航行，首先要明确方向.18世纪前，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这是三角学的古典面貌.1748年，尤拉在著名的《无穷小分析引论》一书中指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值.”即任意一个角的三角函数都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP，OM，MP(即函数线)相互之间所取的比值，sinα=MPOP，cosα=OMOP，tanα=MPOM等.若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化.尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态的只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科.

正迁移引入三角函数线概念

同学们对于初中阶段在直角三角形中如何定义锐角三角形的正弦、余弦、正切值，记忆犹新，依据教育心理学正迁移对于学习的作用，不妨在直角坐标系中，利用单位圆先将特殊的锐角如π6，π4，π3的三角函数线画出，然后由特殊过渡到一般，从而得出任意角的三角函数线，这样同学们感到三角函数线有似曾相识的感觉，学习过程中体验如何将三角函数的“数”与“形”自然地结合在一起，达到“数”与“形”的完美结合，形成对数学美的感悟.

抓住三角函数线本质属性，有技巧地层层引导

引入单位圆，构建三角函数线的舞台

对教师而言，由比值yr到y，xr到x，再到正弦线、余弦线的两步跨越，看似简单，同学们却是比较难以想到，在此处尽可能清晰再现知识的建构过程，使同学们明确原则，把握概念的形成.从数学思想层面上可以突出三角函数“简约”为“一个变量”的思想方法，进而顺利实现用“三角函数线”这一直观的图形工具来“统一”表达三角函数这一主线，在教学过程中反复强调“最简化”“统一”的要求，而这样的理念或思想，不仅能体现本节数学方法的特点，同时也在数学教学的过程中占据重要的地位，具有普适性.

由正弦线与余弦线引导向正切线

7.高中数学三角函数例题 篇七

一、课本例题对公式推出的思维引导

在新课改以后,高中数学的教学目标提出,在数学学习过程中教师要向学生展现一个知识的发生及发展过程,让学生形成自主的思维意识,但是在课本教材中,为了体现其知识结构编排的逻辑性、严密性,往往是先给出理论,然后再实施应用.但是人的思维过程一般是对原有的问题进行合理的解决,然后才能得出结论,因此,在数学课本教材中,应充分利用例题培养学生的发散性思维,通过例题引导得出数学中的公式、定理,让学生对知识掌握的更加牢固、深刻,应用更加自如.

在数学新教材中,可以添加这样的例题,例如,利用相关公式求sin75°、cos75°、tan75°和sin15°、cos15°、tan15°的数值,然后利用通过得出的数值探索cos75°,学生在探索的过程中会对cos75° = cos( 45° + 30°) 是否等于cos45° + cos30°进行计算,当其发现二者的数值不相等的时候,会对cos( α + β) 的公式产生欲望,那么,学生会对通过这样方式得到的公式具有深刻的认识,并在以后的公式应用中更加熟练,更重要的是培养学生自己主动探索、主动学习的思维与能力.

二、通过例题培养学生多样性的思维

为了有效的达到提高学生分析问题和解决问题的教学目标,通过例题多样性的解题方式,可以有效的培养学生的多样性思维,提高学生的创造性思维能力,激发学生创新能力.

例如,可以在教材中加入这样一个例题: 小王和小李两人分别进行一次射击,假设二人射中的概率均为0. 6,那么求小王和小李至少一个人射中的概率,虽然此题目看似简单,但是其数学思想是极为重要的,下面将提出几种不同的解题方式,提高学生分析问题的能力,培养其创造性思维.

解法1: 运用分类讨论的思想

解法2: 运用正难则反的思想

解法3: 运用等价转换的思想,可以通过概率的定义等转换为小王和小李在10次射击中可以射中6次,同时结合公式card( A∪B) = card A + card B - card( A∩B) ,此时,可以得出P( A + B) = P( A) + P( B) - P( AB) = 0. 84.

通过多种解题方式,不同解题思维的应用,对培养学生的数学思维模式具有重要的作用,提高学生的解题灵活性及多样性,有力的开拓了学生的思维创造力.

三、数形结合例题培养学生的开放性思维

数学是一门应用性的学科,在实践当中作为一种工具解决实际中的问题,但是在高中的数学教学中,往往是应用公式解决一些数学问题,抽象性较大,有时一些复杂的数学问题应用这些抽象的思维方式进行解析时,一部分同学会对数学产生抵触情绪,所以,如何能够应用一种简单、直观、形象的解题思路及解题方法是教师在教学环节中需要着重注意的,在新课程改革的背景下,在数学教材中应用数形结合的解题方法可以使解题方案直观化、简单化,可以有效的提高学生的学习热情,并且使数学更加有效、方便的应用于实践,因此,在数学教材的例题中,应该增加数形结合的解题方案,让学生通过对例题的学习,掌握数形结合的解题思路,提高学生解决问题的能力. 例如,可以把下面的例题放入数学教材的三角函数学习中,让学生通过对数形结合例题的学习,掌握数形结合的解题方式,提高学生的解题能力及数学的实际应用能力.

例题,比较三角函数sin25°和cos25°数值的大小.

解法1: 依据传统的解题思路cos25° = cos( 90° - 65°)= sin65°.

而sinx在区域x∈[0,π/2]之间是增函数,而90° > 65° >25° > 0.

所以sin65° > sin25°,因此sin25° < cos25°.

解法2: 直接利用数形结合的方法进行解题,如图1.

通过上面的图形,可以直观的看出sin25° < cos25°.

解法3: 如图2,数学形结合的另一种解法,通过单位圆的函数值进行函数大小的比较.

在单位圆的图形中,sin25° = AB的长度,cos25° = OA的长度,单位圆中OA的长度大于AB的长度,因此,cos25° > sin25°.

四、教材编排体系的层次性

8.高中数学三角函数例题 篇八

【关键词】高中数学；课堂教学；例题设计

0 引言

近年来，由于我国大力推行素质教育是为了减轻学生负担，然而在高考的巨大压力面前，师生们又不得不通过题海战术来应对高考，填鸭式的教育使得高中学生的负担反而越来越重，教师在备课的时候要选择、设计例题，在通常情况下，教材上原有的例题都是经过书本的作者反复推敲而精选的，教学中应该充分其中的例题的作用，但是在实际的教学中，不同的学生实际情况不同，在例题的设计上应该更加贴合实际，不应该全面的照本宣科，教师应该改变传统的教学理念并且付诸行动。下面是笔者根据个人平时的总结教学经验，从例题的难度，涵盖的知识点，题型的归纳等几方面对高中数学例题教学中的问题进行了分析，并且提出了几点看法，供教师和家长进行参考。

1 例题按难度分为阶梯状，由浅入升地学习

高中的教学例题应该从初中的知识点出发，按阶梯状逐渐加大难度，这不仅照顾到了不同水平学生的接受能力，而且还能够使得学生能够自行由浅及深地参与到学习中来。高中数学的例题教学应该更加注重对学生的引导，而不是一味的灌输知识，例如下面的例题：

原题：设A={x|-5≤x≤3}，B={x|0≤

x≤4}，求AUB。

例题设计：

梯度一：设A={x|-5≤x≤3}，B={x|0≤

x≤4}，求A∪B，A∩B.

梯度二：A={x|-5≤x≤3}或B={x|0≤

b?+ax+b≤4}的解集为B，且有A∪B={x|x

≤5}求，A∩B={x|1≤x≤2}，求a b的值.

以上例题从最基本的求交集开始延伸到求边界端点的问题，这样按梯度从两个集合交并问题转变成为三个集合的交并问题，同时，这两个例题是由一个参数转变成了两个参数，由此，问题的难度呈现阶梯状加深，学生在这两个例题的不断引导中加深了对知识点的理解和掌握。

2 题目整合，涵盖更多知识点和题型

数学是一门极具规律性的学科，里面的内容通常具有归纳性，可以从一个知识点延伸到另外一个知识点，在这个过程中，很多不同背景，不同思考角度会产生很多不同的题目，形成如今所谓的题海。如果我们反其道而行之，将不同的题目按照思考角度，找到其规律并且进行归纳总结，我们可以很快的找到解题方法。在高中数学例题的教学过程中，教师应该对各种类型的题目进行整合，使得学生能够更加方便地进行减负学习。

原例题1：写出圆形为（1，3），半径为6的圆的方程，并判断M（2，3），N（3，5）是否在该圆上。

原例题2：ΔABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程。

原例题3.已知圆C的圆心在直线l：x-2y-1=0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程。

分析以上三个例题可以知道，这三个例子都是运用里平面几何里面的知识，利用待定系数法来求得圆的标准方程，除了每个题型对知识点的关注方向不同以外，难度上几乎是相同的，如果在教学过程中，老师对这三个例题进行一一讲解不但费时费力，更多的是浪费了学生的思考时间。因此，在教学中可以将这个三个例题整合起来，在同一个背景条件下进行讲解，这样不但能够达到教学的目标，还能够减轻学生的负担。

整合之后的题目：ΔABC的三个顶点的坐标分别是A（6，2），B（4，1），C（3，7）

求其外接圆方程；

求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C是否在圆上；

求经过A，B两点，圆心在直线2x+y=0上的圆的方程。

3 结束语

总之，例题的设计是一项十分重要的工作，一个好的例题要能够考虑到激发学生的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，这就要求我们教师对学生有足够的了解，根据个体的差异进行分类教学。而在高中数学教学中的例题是千变万化的，教师应该根据课堂中的不同知识点和学生的实际情况来对例题进行有效的整合和设计，精心挑选和设计例题，这样让学生接受到的就是最重要而且起到重要作用的东西，让学生在学习中把握知识本质，从而使得学生在面对考试时候更加得心应手，在日常的学习生活中也能够渐入佳境，不断地激发自身的学习兴趣，在负担低的情况下学得更多的知识，提高在课堂学习的质量和效率，成为综合素质人才。

参考文献：

[1]张海洋.对高中数学课堂教学例题设计分析[J].新课程（上），2013，11（13）.

9.高中数学函数知识总结 篇九

1.知识技能

(1)了解幂函数的概念;

(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。

(3)学会研究函数图象和性质的一般方法。

2.过程与方法

类比研究指数函数、对数函数学习过程，掌握幂函数的图象和性质。

3.情感、态度、价值观

(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;

(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，感受数学美。

二、幂函数——教学重难点：

1、重点：幂函数的概念和性质;

2、难点：函数指数的推广及性质的归纳。

三、幂函数——教学辅助工具：

PPT课件，几何画板。

四、幂函数——教学过程：

(一)创设情景

前面我们学习了函数的定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数。函数这个大家庭有很多成员，今天，我们利用学习指数函数、对数函数的方法，再来认识一位新成员。

1、如果正方形的边长为，那么正方形的面积是= ，是的函数。

2、如果正方体的边长为，那么正方体的体积是 = ，是的函数。

3、如果正方形场地的面积为，那么正方形的边长= ，是的函数。

4、如果某人s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度= km/s，是的函数。

思考：上述函数解析式有什么共同特征?

答：(1)都是函数;

(2)均是以自变量为底的幂;

(3)指数均为常数;

(4)自变量前的系数为1。

(二)新课导入

1、幂函数的定义：

一般地, 叫做幂函数,其中是自变量,是常数。

2、幂函数与我们之前学过的哪种函数在形式上接近?

3、幂函数与指数函数有什么区别?

答：判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点是看未知数x是做底数还是做指数，若是做底数则是幂函数;若是做指数则是指数函数。

设计意图：引导学生分析掌握幂函数的结构，三要素，区分幂函数与指数函数的异同点。

(三)小试牛刀

1、下列函数中，哪几个函数是幂函数?

① ② ③

④ ⑤ ⑥

2、已知函数是幂函数，则实数的值等于_____.

3、已知幂函数的图象过点，则

(四)自主探究

1、请在同一坐标系内画出幂函数，，，，的图象。

2、观察图象，讨论归纳幂函数;;;;的性质。

定义域

值 域

奇偶性

单调性

定 点

(五)合作探究

归纳幂函数的性质：

(1)幂函数图象过定点 。

(2)函数、、是奇函数，函数是偶函数

(3)幂函数,在第 象限都有图象。我们就先来研究幂函数在第 象限上的性质，函数的奇偶性能够帮助我们完成其他象限的图象。

在区间上，函数、、和是增函数，函数是减函数。

推广：当>0时，函数在第一象限是增函数，当<0时，函数在第一象限是减函数.

(4)在第一象限，函数的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近

设计意图：引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对数函数等过程中的思想方法研究幂函数;让学生通过观察上述图象，自己尝试归纳五个幂函数的基本性质，然后完成表格;进而归纳幂函数的性质。

(六)反馈演练

例1、证明幂函数上是增函数

证：任取<则

=

=

因<0，>0

所以，即上是增函数.

例2、比较下列各组中两个值的大小：

(1)与 ;(2)与;(3)与

(4)与.

例3、已知幂函数在上是减函数，求m的取值.

例题的设计意图：

例题1复习函数单调性的证明步骤，例题2复习利用指数函数的图象与性质来比较大小的同时学会用幂函数的方法来比较大小，体会一题多解.例题3学会利用幂函数的性质来解题.

(七)总结提炼

1、谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系?

10.高中数学幂函数教学教案 篇十

通过实例，理解幂函数的概念;能区分指数函数与幂函数;会用待定系数法求幂函数的解析式。

教学重难点：

重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些特征.

难点 指数函数与幂函数的区别和幂函数解析式的求解.

教学方法与手段：

1.采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.

2.利用投影仪及计算机辅助教学.

教学过程：

函数的完美追求：对于式子 ，

如果 一定，N随 的变化而变化，我们建立了指数函数 ;

如果 一定， 随N的变化而变化，我们建立了对数函数 .

设想：如果 一定，N随 的变化而变化，是不是也应该确定一个函数呢?

创设情境

请大家看以下问题：

思考：以上问题中的函数 有什么共同特征?

引导学生分析归纳概括得出：(1)都是以自变量 x为底数;(2)指数为常数;(3)自变量x前的系数为1;(4)只有一项.上述问题中涉及的函数，都是形如 的函数.

探究新知

一、幂函数的定义

一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数.

中 前面的系数是1，后面没有其它项.

小试牛刀

判断下列函数是否为幂函数：

(1) ，

思考：幂函数 与指数函数 有什么区别?

11.高中数学三角函数例题 篇十一

关键词： 高中数学 例题与习题 教学研究

当前高中教师教学任务繁重，部分学校为了追赶教学进度而多做考题，使得教师上课进度较快，教师在备课中往往对教材的例题、习题不重视，选择各种所谓的教参例题、习题，认为教材中的例题、习题缺乏“典型性”，未对其进行深挖掘、再拓展、再创造，导致在授课时一笔带过、草草了事。教师根本没有发现利用例题、习题潜在的价值。教育家波利亚指出：“一个有责任心的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但有不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面。”为此，教师不妨认真对照教材的例题、习题进行深入研究教学，以有效巩固并提高学生对知识能力的把握度。文章结合高中数学案例分析，紧紧围绕新课程标准标的要求，对高中数学例题、习题、适应练习从解题思想与解题方法上进行探究，从而提高高中数学课堂教学效率。

一、当前部分高中数学教材例题、习题的教学现状

数学教材上例题、习题是编者围绕新课程标准标的要求，选取具有代表性、实用性入选教材，因而具有很强的探究价值。在高中数学教学中，例题与习题教学是教学环节中的不可缺少的部分，当前部分老师对教材例题处理如下：

（一）老师或者学生读题目，读完后对照教材知识点进行分析，然后询问学生是否理解讲解过程了，在全班大多数学生理解的基础上结束例题的讲解；

（二）教师或者学生读题后，教师给学生三到五分钟时间思考题目要求及解题思路，然后教师请代表讲述教学过程（或教学思路），最后教师对其进行适当补充以完成例题教学；

（三）一些例题教师认为简单不典型，选用在各种教参中所谓的“典型”例题进行讲解，最后课程结束时告诉学生课后要及时翻看教材例题；

（四）使用别人现成的课时课件，由于课件中例题与习题混淆，学生无法辨认哪些是例题、习题，鉴于课件内容多，导致例题“典型性”不典型。

对于教材中的习题，教师把它们当做课后练习的较多，一般不会作为重点进行讲解。等学生做完练习后，让学生对照习题答案，在晚自习或者其他不重要课时抽出个别题目进行点拨，告知哪些地方需要注意，草草了事。

可以说，正是教师对例题、习题如此操作给学生树立“示范作用”，学生不会重视教材例题与习题的学习价值，不会深挖掘、再创造，学生被老师带入“苦学、苦练”的“题海教学”中。长久下去，教师教得很累，学生学得很苦，学生缺少应有的数学思维训练，会抑制主动性和创造性的发展。

二、高中数学教材例题、习题的深入研究教学尝试

一般而言，教材编者对教材的例题与习题有着严格的规范，教材的例题与习题除了对教材内容知识的诠释外，更是对教学内容所需的方法的演示。为此，教师对教材的例题、习题的深入研究教学，无论从理解教学知识的内涵出发，还是掌握基本解题方法与培养数学思想思维都有着重要的意义。下面笔者从教材例题、习题、适应练习题出发，探讨如何深入进行研究教学。

（一）关于基础知识的教学

高中基础知识非常重要且很细，教师在新课教学中牢牢抓住教学基础知识，充分利用教材的例题、习题的参照价值，达到巩固教学知识内容的目的。为此，在数学基础知识点的学习中，教师无论是例题还是练习都要一题一题地给学生介绍与本课相关的基础知识。

这是一道并不复杂的简单分类讨论思想，多数学生对题目中的m=0与m≠0没有考虑周全。在具体学习中，要注意分类的情况，讲解完后可以给学生做如变式训练，讲解分类的具体划分，具体如下：

适应练习2：解关于x的不等式[（m+3）x-1]（x+1）>0（x∈R）。

三、结语

以上选取部分高中教学案例，教师从例题、习题、适应练习以基础知识、综合知识、基础思想为研究对象，倡导一题多解方法，让学生通过对例题、习题的再认识，开拓学生解题思路。只有让学生体会参与课堂解题的快乐，才能使学生个性得到发展，对数学知识理解深刻，独立性高，知识迁移能力强。

参考文献：

[1]张凌云.如何发挥高中数学教材例题习题的作用[J].教育实践与研究（B），2011，（10）.

[2]王德淑.重视课本例题、习题的教学[J].数学学习与研究，2012，（17）.

12.探讨高中数学三角函数教学 篇十二

一、三角函数教学困难

1.概念记忆困难

虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础, 但很多学生对三角函数的概念还是一知半解, 对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解, 而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的, 要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学习仅仅停留在记忆上, 却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解, 必然难以学好三角函数.

2.公式推理困难

在高中三角函数教学中, 正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差 化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中, 难以确定具体的公式内容, 自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆, 必然是难以实现的, 教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.

3.综合运用困难

三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面, 无论是填空题、计算题还是简答题, 都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现, 很多学生难以意识到何时该用三角函数求解, 特别是对于一些隐性的函数问题.此外, 很多学生虽然意识到要用三角函数知识, 却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的, 这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时, 三角函数 与向量、几何图形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系, 教师必须对学生实施综合的三角函数教学.

二、三角函数教学策略

1.巧施策略, 深化学生记忆

对于三角函数的教学, 首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公 式的记忆.只有学生 记得熟、记得准, 在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信, 结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此 将对三角 函数的诱 导公式进 行总结, 为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.

例如, 在三角函数的诱导公式教学 中, 笔者常常 假设一个任意角α, 要求学生掌握这些诱导公式的记忆, 如sin (2kπ) =sinα、tan (2kπ) =tanα等.对于此类公式的记忆, 笔者提出:终边相同的角为同一三角函数.又如, sin (π+α) =-sinα、cos (-α) =cosα、sin (2π-α) = -sinα、sin (π/2+α) =cosα、cos (3π/2+α) =sinα等.因此, 我们得到以下记忆规律.

1奇变偶不变:对于三角函数中的变角kπ/2±α, 当k为奇数时, 需要变换函数类型;当k为偶数时, 函数类型不变.

2符号看象限:诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.

3一全正, 二正弦, 三两切, 四余弦:这是用来 记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.

此外, 对于一系列复杂的三角函数公式 (如:sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=1/2[sin (α+β) +sin (α-β) ]等) 、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等, 我们必须实施推导教学, 将各类三角函数公式的推导过程传授给学生, 使学生在遗忘的情况下, 也可以进行自主推导和验证, 从而达到高效记忆的效果.

2.精选习题, 三角函数解题技巧教学

对于高中三角函 数教学, 大量的训 练是必不 可少的.但是, 教师在对学生进行大量训练的同时, 必须坚持习题精选优化原则.教师在选取三角函数的练习题时, 最好选取一些典 型的高考 真题, 让学生在 练习的过 程中, 体会到高考数学的特点.同时, 注意题目的难度和适用阶段, 实施分段教学, 对学生实施分层布置作业, 切忌一味地追求难度和复杂性.

13.高中数学函数的教学论文 篇十三

一、在概念中渗透

高中学生要掌握数学知识，就必须经历一个阶段，即学生“吸收”数学知识的过程，特别是在形成概念的阶段，数学教师应给予学生更多的解释和正确的引导。如，以偶函数与自变量的关系来说，在一定定义域中的自变量互为相反时，经相应函数关系式的对应后，即能够在某解析公式中得到相应的证明，进而在这个基础之上概括出包括偶、奇函数的部分函数定义，从这个例子中能够使从具体到抽象的函数充分体现出来。

二、在教学中强化

在实际的高中数学教学时，教师可在学生初步认识数学时就加入一定的实例，从而使学生理解的数学概念得到强化。比如，在对数函数教学中加入图形案例，就能够使学生更为清楚、直观地对函数发生以及后续变化过程进行了解。

三、方程教学的应用

要使高中生对数学思想方法进行充分掌握，函数与方程是必不可少的，同时在实际运用中，函数与方程经常需要互相转化，因此对其加以合理利用，就能够实现复杂问题的简单化，并互相作用。

四、函数图象的应用

函数图象能够将函数性质直观地反映出来，并能够通过研究图像与图形，有效解决函数问题，是数形结合应用的.重要组成部分。另外在函数图象问题的解决过程中，必须具备函数意识与分析意识，才能找到最为合理的解决方式。

五、函数分类的应用

在高中函数教学中，分类不同函数是具体应用之一。可通过例题在教学中对解题思想进行展示，从而使学生分类不同函数的能力得到训练与培养。大多数数学思想的解决方法只有在实际的数学题中通过实际解析，才能实现深化理解，进而使应用的灵活性与准确性得到提升。

在高中数学函数教学过程中，教师应根据实际情况，将高中函数中的知识点理清，从高中函数的形式与概念入手，引导学生深刻认识函数的本质，随后拓展学生的眼界，找出与函数关联的若干知识点，让学生掌握利用函数思想对其他问题进行解决的方法，同时在这个阶段中，强化学生理解函数的程度，真正实现高中函数相关知识点的全面掌握。

参考文献：

14.高中数学三角函数例题 篇十四

教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶

目的：进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力。（采用《精编》例题）

过程：

一、求值问题（续）

例一 若tan=3x，tan=3x, 且=6，求x的值。

解：tan()=tan=

363 ∵tan=3x，tan=3x

∴3tantantan3x3x13312(3x3x21tanxx)∴3•3x3•3x=23 即：3(3x)2233x30 ∴3x3或3x33(舍去)∴x12

例二 已知锐角, ,  满足sin+sin=sin, coscos=cos, 求的值。解： ∵sin+sin=sin ∴sin sin = sin <0 ①

∴sin

同理：∵coscos=cos ∴ cos cos = cos

②

①2+②2: 1+12cos（）=1 ∴cos（）=12 ∵02 02 ∴20 ∴=3

二、关于最值问题

例三 已知tan，tan是关于x的方程mx22x7m32m0的两个实根，求tan(+)的取值范围。

解：∵tan，tan是方程mx22x7m32m0的两个实根

∴△=4(7m-3)-8m2≥0 ∴2m2-7m+3≤0 解之：12≤m≤3

又：tantan27m3 ∴tan()27m3 tan2mtanm2 为求范围：tan()27111749m3(m)223(m)61

2∵1≤m≤3 ∴123≤m≤2 ∴当117m76时，3(m)6494912有最大值12 2 当1m2或1m13时，3(1m)764912有最小值2 2∴73323(1m)76491222 即：tan()73,223 ∴pq+1=0 例四 若2x2，求f(x)=3sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此时的x值。

解： f(x)=3sinx+cosx=23sinx122cosx2sin(x)

6∵22x2 ∴3x63 ∴32sin(x6)1 32sin(x6)2

即：3f(x)2 当且仅当x63，x2时 f(x)min=3

当且仅当x62，x



3时 f(x)max=2

例五

已知f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b，其中a>0，x[0,≤1，设

]时，-5≤f(x)2g(t)=at2+bt-3，t[-1,0]，求g(t)的最小值。

13sin2x+cos2x]+2a+b 解： f(x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[ =-2asin(2x+)+2a+b ∵x[0,671] ∴2x ∴sin(2x)1 266626 又： a>0 ∴-2a<0 ∴2a2asin(2x)a

6 ∴b2asin(2x)2ab3ab ∴bf(x)3ab

6 ∵-5≤f(x)≤1 ∴b5b5

3ab1a2 ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2-∴当t=0时，g(t)min=g(0)=-3

三、作业：《精编》 P61 6、7、11

P62 20、22、23、25 P63 30

15.高中数学三角函数例题 篇十五

整体代换思想是高中数学解题中的一个重要思想, 它贯穿于整个中学数学教学中, 应用非常广泛.熟练掌握整体代换思想, 有利于简便运算, 化繁为简.在三角函数这部分内容中, 整体代换思想可以轻巧地解决以下几类问题: (1) y=Asin (ωx+φ) 的单调区间以及相关问题; (2) y=Asin (ωx+φ) 的对称轴以及相类似问题; (3) y=Asin (ωx+φ) 的对称中心 (或图像与x轴的交点) 以及相关问题, 下面以 (1) 、 (3) 类问题为例进行详细分析.

二、y=Asin (ωx+φ) 的单调区间以及相关问题

2.三角函数y=Asin (ωx+φ) (A<0, ω<0) 的单调区间求法.与第1类型单调区间正好相反.

3.三角函数y=Asin (ωx+φ) (A>0, ω<0) 的单调区间求法.只需将该函数先转化为y=-Asin (ωx+φ) (A<0, ω<0) , 从而转化为第2类问题.

4.三角函数y=Asin (ωx+φ) (A<0, ω<0) 的单调区间求法.只需将该函数先转化为y=-Asin (-ωx-φ) (A<0, ω<0) , 从而转化为第1类问题.

5.三角函数y=Acos (ωx+φ) 的单调区间求法.该类型的函数都可以先通过诱导公式转化为上述正弦函数类型, 再解出单调区间.

三、y=Asin (ωx+φ) 的对称中心 (图像与x轴的交点) 以及相关问题

【例2】 (2012年高考天津文科第7题) 将函数y=sinωx (其中ω>0) 的图像向右平移π/4个单位长度, 所得图像经过点 (3π/4, 0) , 则ω的最小值是_____.

若y=Asin (ωx+φ) 图像与x轴的交点为 (M, 0) , 求相关参数.

将交点 (M, 0) 代入y=Asin (ωx+φ) , 得sin (ωx+φ) =0, 将ωx+φ整体代换为t, 考察当t=kπ, k∈Z时, sint=0, 故当ωx+φ=kπ, k∈Z时, 即可解得x.

因此, 在解决三角函数与x轴交点问题时, 应注意该交点为函数单调递增时与x轴的交点还是函数单调递减时与x轴的交点.

16.高中数学三角函数教学要点分析 篇十六

关键词：三角函数；记忆公式；恒等变形；图象；形式

在高中数学教学过程中，特别是在三角函数教学中，由于三角函数的性质比较多样化，教师要注重把握三角函数的教学重点，只有这样才能有效地提升教学质量，才能提升教学的针对性。

一、三角函数的恒等变形

在高中数学三角函数教学过程中，恒等变形是教学难点，也是教学重点。教师在讲解恒等变形时，要注重把握其教学要点，并明确三角函数恒等变形的应用。首先应该建构三角函数恒等变形的知识网络，确保学生明确三角函数的求值类型。在三角函数求值中，不同类型的求值方式不同，教师应该注重把握不同类型求值方式的异同，如“给角求值”“给值求值”等。教师还要注重把握恒等变形在具体运用过程中的注意事项，只有这样才能让学生真正学会三角函数的恒等变形。无论是简化三角函数的角度，还是证明不同角度之间的关联性，都应该在教学过程中注重把握角度的差异与联系，注重把握函数名称间的变换和联系，如升降幂，化切为弦等常用手段。

在这样的三角函数恒等变形的教学过程中，教师要引导学生仔细地分析题目，选择三角函数恒等变形中最合适、最直接的方法。在这类型题目中，切化弦是比较直接的方式，通过切化弦，能够将复杂的题目快速地转化为简单的题目，快速地进行题目解析，更有利于学生理解与把握题目。可见，在教学过程中，教师要注重把握三角函数恒等变形的重点，特别是让学生把握不同角度之间的关联，注重不同角度的差异，帮助学生理解三角函数的恒等变形。

二、三角函数的图象和形式

相比低年级数学，高中数学难度有所提升，教学侧重点也发生了转变。为了有效地帮助学生理解三角函数，教师要充分依托三角函数的性质、三角函数不同角度的差异，将抽象的内容形象化，通过数形转化来提升教学的质量，快速地帮助学生架构起理解的桥梁，只有这样才能真正帮助学生理解三角函数。

1.三角函数的区间

在高中数学教学过程中，三角函数的区间是三角函数的重要性质，是三角函数的重要内容。在把握三角函数的区间时，要注重引导学生理解与把握三角函数的递增或递减区间，明确不同区间的单调性，把握不同区间的递增方向，帮助学生更好地理解三角函数递增或递减的性质。不同三角函数的单调区间是不同的，很多学生在理解与把握的过程中，难免会混淆，这就要求教师要注重运用图形的方式来帮助学生形象化地理解不同三角函数的单调区间及区域。

2.三角函数的图象变换

三角函数的图象变换往往是基于y=sinx演变而来的，在此基础上衍生出了很多多样化的图象。所以在教学过程中，教师要注重引导学生扎实地理解与把握y=sinx等基本函数的特点，找准演变的规律，从而更好地了解三角函数。如在y=sinx的基础上，演变出来的新图象y=sin（ωx+φ），这是图象在值域或区间上的变化，在图象变化的过程中，往往存在两种典型的途径，不过这两种不同的途径在变化过程中方式不同，教师要引导学生注重把握其不同。

在图象变化的过程中，其通常采用的方式是平移，在平移的基础上根据不同的系数进行一定的伸缩变化。在具体的运用过程中，也往往采用相反的方式。无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

参考文献：

刘文强.浅谈高中数学的三角函数教学[J].数学学习与研究，2014（09）.

17.反函数高中数学说课稿 篇十七

依据教学大纲、考试说明及学生的实际认知情况，设计目标如下：

1、知识与技能：

（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

2、过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。

3、情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。

重点难点

根据教学目标，应有一个让学生参与实践，发现规律，总结特点、归纳方法的探索认知过程。特确定：

重点：互为反函数的函数图像间的关系。

难点：发现数学规律。

教学结构

教学过程设计

创设情景，引入新课

1、复习提问反函数的概念。

学生活动学生回答，教师总结

（1）用y表示x

（2）把y当自变量还是函数

提出问题，探究问题

一、画出y=3x-2的图像，并求出反函数。

●引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？

学生活动学生很容易回答

原函数y=3x-2中反函数中

y:函数x：自变量x:函数y：自变量

●引导设问2在原函数定义域内任给定一个都有唯一的一个与之对应，即在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？

学因为=3-2成立，所以成立即(,)在反函数图像上。

●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为什么？点B再换一个位置行吗？

学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。

▲教师引导教师用几何花板，就上面的`问题追随学生的思路演示当在y=3x-2图像变化时(,)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。

●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2的反函数的图像吗？怎么画？

学生活动有了前面的铺垫学生很容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的图像。

●引导设问5上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系？

学生活动由前面容易得出（关于y=x对称）

●引导设问6若把当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁？

学生活动由图中可以看出关于y=x相互对称所以他的反函数图像应是，另外由上节课原函数与反函数互为反函数也可得。

●引导设问7以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上题的原理画出反函数的图像吗？如图是的图像，请你猜想出它的反函数图像。

学生活动由上题学生不难得出做y=x的对称图像（教师配合动画演示）

●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？

▲学生总结，教师补充结论

（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称。

（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，若把其中一个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。

习题精炼，深化概念

●引导设问9根据图像判断函数有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才能有反函数？

学生活动学生从图中可以发现在原函数中可以有两个不等的自变量与同一个y相对应，当我们用y表示x后，对一个y会有两个x与之对应，所以应加上自变量的范围，使得原函数是从定义域到值域的一一映射。如：加上x>0;x<0;x等等

●引导设问10什么样的函数具有反函数？

▲教师引导学生总结如果一个函数图像关于y=x对称后还能成为一个函数的图像，那么这个函数就有反函数，这个图像就是反函数的图像。这与反函数定义相对应。即定义域到值域的一一映射，这样的函数具有反函数，而单调函数具备这个特点，所以单调函数一定有反函数。

●引导设问11通过上图我们发现保留图像的单调增(减)的部分，那么它的反函数也为单调增（减）的。在看一下前面的几个例子你能得到什么样的结论？

学生活动通过观察学生容易得到“单调函数的反函数与原函数的单调性一致”然后教师进一步追问为什么？（由前面我们知道若一个函数存在反函数则x与y之间是一个对一个的关系，而原函数是增函数即x越大y也越大，当然y越大x也越大。）

●引导设问12由图中原函数的图像作出反函数的图像，并回答原函数的定义域值域与反函数的定义域值域有什么关系？

学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。

总结反思，纳入系统：

内容总结：

1、在原函数图像上，那么(,)在反函数图像上。

2、与(,)关于y=x对称。

3、原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称。

思想总结：

由特殊到一般的思想，数形结合的思想

布置作业，承上启下