计数原理排列组合教案

计数原理排列组合教案（精选11篇）

1.计数原理排列组合教案 篇一

基本计数原理、排列与组合

常见的解题策略有以下几种：

（1）特殊元素优先安排的策略

（2）合理分类和准确分布的策略

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略

（4）正难则反、等价转化的策略（5）相邻问题捆绑的策略

（6）不相邻问题插空处理的策略（7）定序问题除法处理的策略

（8）分排问题直排处理的策略

（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略

（10）构造模型的策略。典例精析：

题型一：分类加法计数原理、分布乘法计数原理的应用

例1.（1）在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个

.（2）已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P（a,b）表示平面上的点（a,bM）

问：（1）P表示平面上多少个不同的点？

（2）P表示平面上多少个第二象限的点？(3)P表示多少个不在直线y=x上的点？

题型二：两个计数原理的综合应用 例2.用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字比2000大的四位偶数。

题型三：排列应用题 例4.7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种排法？

（1）甲排头

（2）甲不排头，也不排尾

.（3）甲、乙、丙三人必须在一起

（4）甲乙之间有且只有两

人

.（5）甲、乙、丙三人两两不相邻

.（6）甲在乙的左边（不一定相邻）

.（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序

.（8）甲不排头，乙不排当中

.题型四：组合应用问题

例：7名男生和5名女生选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？

（1）A、B必须当选

（2）A、B必不当选（3）A、B不全当选

（4）至少有两名女生当选

计数原理与排列组合练习题

1、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混

合双打，共有______________种不同的选法。

2、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共____种不同的走法。

3、为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同种植密度，3种不同播种时间的因素下进行种植实验，则不同的实验

方案共有____种。

4、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话

号码一共有________________个。5、4个小电灯并联在电路中，每一个电灯均有亮与不亮两种状态，总共可表示

__________ 种不同的状态，其中至少有一个亮的有__________种状态。

6、（1）若1≤x≤4，1≤y≤5，则以有序整数对（x、y）为坐标的点共有多少个？（2）①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有__________种 若x,y∈N且x+y≤6，则有序自然数对有多少个？

7、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？

（2）从中选出两位不同国家的人为成果发布人，有多少种不同选法？

8、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？

（2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？

9、将3封信投入4个不同的信箱，共有________________种不同的投法；3名学生走进有4个大门的教室，共有________________种不同的进法；3个元素的集合到4个元素的集合的不同的映射有________________个。

10、在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用，（1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法？（2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？

（3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？

11、某市提供甲、乙、丙和丁四个企业供育才中学高三级3个班级进行社会实践活动，其中甲是市明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有___________种。

12、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有___________种

13、有四位学生参加三项不同的竞赛，②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有__________种

③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有_________种

14、四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 A．30种

B．33种

C．36种

D．39种

15、圆周上有8个等分点，以这8个点为顶点作直角三角形，共可作不同的直角三角形的个数是

A．56

B．2C．16

D．1217、设直线的方程是AxBy0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是

A．20

B．19

C．18

D．16

18、(1)3个不同的球，放入4个不同的盒内．

(2)在(1)中每个盒内至多放一个球．

(3)3个相同的球，放入4个不同的盒内． 问各有多少种不同的放法？

19、从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）

A．108种

B.186种

C.216种

D.270种

20、在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）

A．6

B.12

C.18

D.24

21、高三

（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）

A．1800 B.3600 C.4320 D.5040

22、将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

不同的分配方案有（）

A）３０种

（B）９０种（C）１８０种

（D）２７０种

23、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）

A．10种

B．20种

C．36种

D．52种

24、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有__________种 25、5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）

（A）150种(B)180种

(C)200种(D)280种

26、用0,1,2,3,4,5六个数字：

(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？

3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（

2.计数原理排列组合教案 篇二

关键词：排列,组合,计数问题

0 引言

组合数学在研究计数时经常要用到两个最基本的计数原理, 即加法原理和乘法原理, 它们是研究计数问题的基础, 在分析问题和指导解题中起着关键作用, 故在此先对两个基本原理作以简要说明:

加法原理[4] 设A是有限集, Ai⊆A (i=1, 2, …, k) , 如果$A={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}A}{}_i$且Ai∩Aj=∅ (1≤i<j≤k) , 则$|A|={\displaystyle \sum _{i=1}^k|}A{}_i|.$

乘法原理[5] 若Ai (i=1, 2, …, k) 均为有限集, 且A=A1×A2×…×Ak={ (a1, a2, …, an) |ai∈Ai, i=1, 2…, k}, 则有$|A|={\displaystyle \prod _{i=1}^k|}A{}_i|.$

文[6,7,8,9,10,11]中, 对排列组合问题均有所涉及.一般来说, 在处理排列组合问题时, 不能只借助于已知的原理和方法, 必须研究情况, 运用技巧, 采取组合分析的方法, 用自己的聪明才智去解决问题.我们常常遇到这样的情况:即使知道了这些原理和方法, 但仍需要巧妙地应用它们.可以这样认为:组合数学中典型问题的解题经验, 对组合数学的学习是非常重要的.下面将介绍几类比较典型的排列组合问题.

1 着色问题

对图的点或线段进行着色, 或对几何图形的点、线段、区域进行着色, 研究这些着色方案的存在性、计数等问题, 称为着色问题.

着色问题的求解一般依靠的是两个基本原理, 故应注意分步与分类的区别.

例1[1] 某城市中心广场建设一个花圃, 花圃分为6个部分 (如图1) .现要栽种4种不同颜色的花, 每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 不同的栽种方法有多少种?

解 图1可转换为图2.因第1部分与其它各部分均相邻, 所以第1部分应先栽种种法有A${}_4^1$种, 其它5部分栽种3种不同颜色的花.

3种不同颜色的花, 必有1种只能栽种1次, 故它的种法有C${}_3^1$C${}_5^1$种, 剩余的2种颜色的花必须栽种2次, 但必须不相邻, 所以种法有A${}_2^1$种.

则依乘法原理共有:N=A${}_4^1$C${}_3^1$C${}_5^1$A${}_2^1$=120种.

2 排位问题

将一个集合中的n个元素依次给以标号1, 2, 3, …, n, 求把每个元素排在指定的位置上的排列数的问题称为排位问题.

解决此类问题的方法较多, 一般有“捆绑法”, “插空法”, “交叉问题集合法”, “定序问题缩倍法”等.

例2[2] 3男4女共7人站成一排, 下列情况各有多少种不同的排法?

(Ⅰ) 甲乙必须站在一起;

(Ⅱ) 甲乙互不相邻;

(Ⅲ) 甲不在排头, 乙不在排尾;

(Ⅳ) 甲在乙的左边.

解 (Ⅰ) 属于相邻排列问题, 通常采用“捆绑法”.先将甲乙2人看作一个整体与其他5人进行全排列, 并考察2人顺序.

依乘法原理, 共有N=A${}_6^6$A${}_2^2$=1440种.

(Ⅱ) 对于元素不相邻的排列, 通常采用“插空法”.将不相邻的元素插在前面元素所排列的空挡中, 共有N=A${}_5^5$A${}_6^2$=3600种.

(Ⅲ) 对于某些排列组合问题几部分之间有交集的, 通常采用“交叉问题集合法”.运用公式:

n (A∪B) =n (A) +n (B) -n (A∩B) .

设全集I={7人全排列}=7!,

A={甲在排头的排列}=A${}_6^6$,

B={乙在排尾的排列}=A${}_6^6$,

由公式得

N=n (I) -n (A) -n (B) +n (A∩B)

=7!-A${}_6^6$-A${}_6^6$+A${}_5^5$=3720种.

(Ⅳ) 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序, 可用“定序问题缩倍法”.

首先, 7人所有不同的排法有7!种, 而甲在乙的左边和甲在乙的右边机会均等, 所以共有${\rm N}=\frac{7！}{2！}=2520$种.

3 几何问题

对几何图形实施某种规则, 需要计算其内部的区域、点、线段等的个数的问题, 称为几何问题.

解决此类问题一般采用直接法, 但必须注意几何图形本身对其构成元素的限制.

例3[2] 平面A内有4个点, B内有5个点, 此外无其他任何4点共面.

(Ⅰ) 它们最多能确定多少条直线?

(Ⅱ) 它们最多能确定多少个不同的平面?

(Ⅲ) 它们最多能确定多少个不同的三棱锥?

解 (Ⅰ) 平面A内与平面B内共有9个点, 因此最多可确定N=C${}_9^2$=36条直线.

(Ⅱ) 可分为3类:

第1类:3点全部取自平面A内或全部取自平面B上, 共有2个平面.

第2类:2点取自平面A, 1点取自平面B, 共有C${}_4^2$C${}_5^1$个平面.

第3类:1点取自平面A, 2点取自平面B, 共有C${}_4^1$C${}_5^2$个平面.

根据加法原理共有:

N=2+C${}_4^2$C${}_5^1$+C${}_4^1$C${}_5^2$=72个.

(Ⅲ) 可分为3类:

第1类:有3个顶点取自平面A, 1个点取自平面B, 可确定三棱锥C${}_4^3$C${}_5^1$.

第2类:有2个顶点取自平面A, 另2个点取自平面B, 可确定三棱锥C${}_4^2$C${}_5^2$.

第3类:有1个顶点取自平面A, 另3个点取自平面B, 可确定三棱锥C${}_4^2$C${}_5^2$.

根据加法原理共可确定三棱锥:

C${}_4^3$C${}_5^1$+C${}_4^2$C${}_5^2$+C${}_4^1$C${}_5^3$=120个.

4 分配问题

将可辨或不可辨的n个元, 分配到可辨或不可辨的r个盒内, 盒内元有序或无序, 允许有空盒或不允许有空盒等, 求其分配方案数的问题称为分配问题.

分配问题主要有如下3种形式:

1) 非平均分配.特点:每堆元素个数均不相同.计算要点:直接计算组合数之积.

2) 均匀分配.特点:每堆元素个数相同.计算要点:用组合数连积除以堆数的阶乘.

3) 部分均匀分配.特点:部分堆的元素个数相同.计算要点:用组合数连积除以“元素相同的堆”的堆数阶乘.

例4[3] 书架上有9本不同的书, 其中4本是红色的, 5本是黑皮的.

(Ⅰ) 9本书的排列有多少种?

(Ⅱ) 若黑皮的书都排在一起, 这样的排列有多少种?

(Ⅲ) 若黑皮的书排在一起, 红皮的书也排在一起, 这样的排列有多少种?

(Ⅳ) 若黑皮的书与红皮的书必须相间, 这样的排列又有多少种?

解 (Ⅰ) 9本书的排列有9!=362 880种.

(Ⅱ) 可采用“捆绑法”.把5本黑皮书放在一起的方法数是5!, 然后把它们看成一本书参加与其它4本红皮书的排列, 方法数又是5!, 所以总的方法数是5!·5!=14 400种.

(Ⅲ) 把5本黑皮书放在一起的方法数是5!, 4本红皮书放在一起的方法数是4!, 所以总的方法数是:5!·4!·2!=5760种.

(Ⅳ) 把黑皮书进行全排列方法数是5!, 在每个空档中放入4本红皮书方法数为:5!·4!=2880种.

例5 r只不同的球放到n个不同的盒子里, 如果每个盒子中的球要有次序, 那么这样的方法有多少种?

解 可以把这个问题看成r个不同的球和n+1个1 (盒子边) 的排列.在排列中两边一定是1, 那么r个球和n-1个1的排列方法有 (r+n-1) !种.考虑到n-1个1是没区别的, 所以要除以 (n-1) !, 即得$\frac{(r+n-1)!}{(n-1)！}=(r+n-1)(r+n-2)\cdots (n+1)n.$

上述这些问题以及它们所涉及的典型例子不但说明了组合数学中解决一个问题的全过程, 而且也揭示了组合数学的某些解题方法.从中我们可以得到:要想完满地解决一个有关排列和组合的问题, 不能只凭已知的原理和方法, 必须研究情况, 分析思考, 开拓思维, 运用技巧, 把自己的聪明才智与已有的组合学知识相结合, 才能解决问题.

参考文献

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[10]D.I.A.Cohen.Basic Techniques of Combina-torial Theory[M].John wiley&sons, 1978.

3.排列组合教案 篇三

直接法：把符合条件的排列数直接列式计算;

优先法：优先安排特殊元素或特殊位置

捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中

定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列。

间接法：正难则反，等价转化的方法。

例1：有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：

(1) 全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置;

(2) 全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边;

(3) 全体排成一行，其中男生必须排在一起;

(4) 全体排成一行，男生不能排在一起;

(5) 全体排成一行，男、女各不相邻;

(6) 全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变;

(7) 全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人;

(8) 若排成二排，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法。

某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种不同的选法?

(1)无任何限制条件;

(2)正、副班长必须入选;

(3)正、副班长只有一人入选;

(4)正、副班长都不入选;

(5)正、副班长至少有一人入选;

(5)正、副班长至多有一人入选;

6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

(1)分给甲、乙、丙三人，每人2本;

(2)分为三份，每份2本;

(3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本;

(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本;

(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本

例2、(1)10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少

一个，共有多少种不同的分配方法?

(2)10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名

额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法?

.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共

有多少种不同的放法?

(2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空

4.计数原理排列组合教案 篇四

本节特别要注意在什么情况下是用排列的方式来解决问题,凡是有序的时候,就是排列问题,否则就不是排列问 题.知识要点精讲 知识点 1 排列的定义

从 n 个不同的元素中取出 m(m≤ n 个元素,按一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列.知识点 3 全排列公式

n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列.n 个不同元素的全排列数为

规定 0!=1.解题方法、技巧培养 出题方向 1 优限法

在排列组合问题中,常有这样的元素存在,这些元素受到一些特殊的限制,或者说受到比较多的限制,它们的位置 比较容易确定,因此我们一般先考虑安排它们,然后再安排其他元素.这种处理排列组合问题的方法,叫做优限法.出题方向 2 捆绑法

在一个排列问题中, 如果有的元素要排在一起, 通常把这些元素捆绑成一个元素, 参与排列, 在整体排列结束后, 再来排这几个被捆绑的相邻的元素,这种方法叫做捆绑法.由此可见捆绑法主要用于相邻问题的排列.例 2 有 8本互不相同的书,其中数学书 3本,外文书 2本,其他书 3种,将这些书排成一排放在书架上,那么 数学书恰好排在一起,外文书也排在一起的排法有多少种.[分析 ] 数学书要排在一起,外文书也要排在一起,这是典型的相邻问题,采用捆绑法.出题方向 3 插空法

在排列问题中,常常会遇到某些元素不能相邻的问题,这时我们总是用插空的方法来保证这些元素不相邻,只是 我们在插空当中,首先是把相应的隔板安排好,再进行插空.例 3 3名学生与 3名教师排成一排照相,(1教师均不相邻,有多少种排法;(2学生均不相邻,有多少种排法;(3教师和学生均不相邻,有多少种排法.(2同(1.出题方向 4 排除法

排列的问题有时比较复杂,特别是分类时,所以有时可以从所有的排列中,把不符合的排列剔除,这样的解题方 法叫做排除法.例 4 从 1, 2, 3,…, 8, 9这九个数字中任取 2个作为对数的底数与真数,可以得到多少个不同的对数值? [分析 ] 这里的对数,它的底数与真数是有序的,所以是排列问题.2为底 3的对数与 4为底 9的对数相等;3为底 2的对数与 9为底 4的对数相等;这有 2个重复,要去掉;2为底 4的对数与 3为底 9的对数相等;4为底 2的对数与 9

为底 3的对数相等;这有 2个重复,要去掉;1为真数的对数共 有 8个,都等于 0,要去掉 7个.所以符合条件的对数共有 53个.出题方向 5 顺序一定的问题

例 5(1五人站成一排,甲必须在乙的前面(不一定相邻 的排法有多少种?(210人站成一排,其中甲、乙、丙三人,乙不能站在甲的前面,丙不能站在乙的前面的站法有多少种? 出题方向 6 排列数公式

证毕.易错易混点警示

例 8 为亮化美化城市,现在要把一条路上 7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄与蓝共三种颜 色,在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻,而且每种颜色的路灯至少要有 2盏,有多少不同的安装方法? [错解 ] 从颜色考虑.三种颜色中任一种颜色最多安装 3盏,最少安装 2盏,分类讨论.不妨就选上两盏红色、两盏黄色、三盏蓝灯(这有 3种选法 来讨论.先排三盏蓝灯,只有一种排法,然后插空, 两盏红色的有 1种插空方式, 再把两盏黄色的插进去有 6×5×4=120种插空方式.所以共有 120×3=360种不同的安装方式.[错因分析 ] 错解把同色的灯看成了可以区分的.[正解 ] 安装时要求相同颜色的路灯不能相邻,而且每种颜色的路灯至少要有 2盏,这说明三种颜色的路灯的分 配情况只能是2、2、3盏的形式.先讨论颜色.在选择颜色时有 3种方法,选好了一种颜色后,安装时采用插空的方 式.下面不妨就选上两盏红色、两盏黄色、三盏蓝灯来讨论.先排两盏红色、两盏黄色共四盏灯,如果两盏

红色、两 盏黄色分别两两相邻,有 2种排法,则蓝色的有 3种排法,共 6种安装方法;如果两盏红色、两盏黄色分别两两不相 邻,有 2种排法,再把蓝色的安排下去有 10种安装方法,所以有 20种不同的安装方法.如果恰有一种颜色的相邻, 则有 2×6=12种不同的方法.综上共有 3×38=114种不同的安装方法.综合应用创新 【综合能力升级】

本节内容独立性强,综合题仅限于与方程的小综合及计数方面的综合,学习时,要注意化归思想,分类思想在解 综合题中的作用.例 9 由四个不同的数字 1, 4, 5, x(x≠ 0 组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为 288,求 x 的值.即 24x +120+96+24=288, 解得:x =2.想一想 从2、3、4、5、6这五个数中每次取出三个数组成三位数,求所有这些三位数的和

例 10 用 0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复数字的:(1五位数?(2六位偶数?(3能被 25整除的四位数?(4大于 201345的自然数? 10.3 组合 学法导引

学习本节的一个最重要方面是一定要分清排列问题还是组合问题,区分方法是,你只要在你求得的一种情况中, 把元素的位置交换一下,如果是一个新的符合的情况,就是排列问题,否则就是组合问题.知识要点精讲 知识点 1 组合的定义

从 n 个不同的元素中取出 m(m≤ n 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.知识点 3 组合与排列的区别与联系(1排列是有序的,组合是无序的.(2从 n 个不同的元素中取出 m(m≤ n 个元素的排列, 可以看成先从这 n 个不同的元素中取出 m(m≤ n 个元素的组 合后,再将这 m 个元素作全排列得到.即: 解题方法、技巧培养

排列组合问题,大部分都可以归结为某种模式,因此在排列组合的学习过程中,重视模式化思维方式的学习,一 方面在于模式化思维方式在解决排列组合问题中的直接使用,能使我们尽快地、准确地把握问题的本质,形成良好的 解决问题的思维习惯;另一方面在于对学生数学思维训练的价值和潜在的智力素质的发展与形成的重大影响.出题方向 1 分解与合成模式

分解与合成模式是排列组合问题中的一种最基本的解题思维模式.当我们把一个问题分解成几个过程(或者是分 解成几个子问题 ,逐一解决,然后再依据问题分解后的结构形式将问题合成,从而得到原问题的解,这样的思考问题 的思维方式叫做分解与合成的解题模式.例 1 30030能被多少个不同的偶数整除? [解 ] 先把 30030分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5×7×11×13, 依题意就是要求所有偶数因数的个数, 而要得到偶数因数, 必须先取定 2, 再认其余五个质因数中任取若干个(每个因数最多取一次 组成乘积, 显然, 这样的 乘积的个数,即 30030的偶数因数的个数为

点拨 本题求因数的个数的方法仅适用于这个数的质因数互不相同,即质因数的次数都是 1的情况,其他的情况 参见 10.1节相关例题.例 2(1利用正方体的 8个顶点可构成多少个三棱锥?(2利用正方体的 8个顶点可以连成多少对异面直线?(2每一个三棱锥上有 3对异面直线,而正方体的 8个顶点可构成 58个三棱锥,∴ 正方体的 8个顶点可以连成 58×3=174对异面直线.点拨 上述两例题解题过程均是利用分解与合成的模式进行处理.例 1中是对解题结构进行分解,利用分类计数 原理,把两个过程合成;在例 2(2中我们是对解题过程进行分解,利用分步计数原理把两类合成.这种合成方式上的 不同,在解题过程中要特别注意区分.出题方向 2 映射模式

对于一个排列组合问题 A ,如果能找到一个问题 B ,使问题 B 与问题 A 在解的个数上存在一个一一映射的关系, 我们就可以通过解决 B 而达到解决 A 的目的.这样的考虑问题的方式,我们把它叫做映射模式.例 3 用 1, 2, 3, 4, 5这五个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数有多少个 ? [分析 ] 根据题意,可知这种三位数的个位数字有五种情况,而这五种情况中,只有两种情况能使这个三位数是 偶数.设问题 A :由 1, 2, 3, 4, 5中取三个排成的所有的三

位数,问题 B :由 1, 2, 3, 4, 5这五个数字中取三个排 成的所有偶数.由于存在这样的一个一一映射,使 A 中 5个三位数与 B 中 2个符合条件的三位偶数对应.想一想 用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数有多少个? 例 4 有两组平行线,第一组平行线有 5条,第二组平行线有 6条,第一组平行线与第二组平行线相交,问这两 组平行线能构成多少个平行四边形? 想一想 圆上有 12个点,过每两点连一条直线,这些直线在圆内的交点有多少个 ? 点拨 映射模式在解排列组合问题中,是一种常见的思考问题的方式,例 3与例 4主要是在两类计数问题的结果 上建立了一种对应关系,在其他问题中,我们有时也可从两个问题的关系与结构上找到对应关系,或者还可以从两个 问题的已知条件上去找到某种对应关系,从而顺利解决问题.出题方向 3 叠加模式

设集合 A , B 均为集合 U 的子集,用 P(x表示集合中元素个数,根据容斥原理,可以得到: 我们可以用这个结论处理一些排列组合问题.例 5 甲、乙等五人站成一排,其中甲不站排头,乙不站排尾的排法有多少种 ? [分析 ] 用集合 U 表示五个人的全排列的集合,集合 A 表示甲站排头的所有排列,集合 B 表示乙站排尾的所有排 列,其中 A , B 均为 U 的子集,由容斥原理

即符合条件的排法数是 78.例 6 9名翻译中, 6名会英语, 5名会日语,现要安排 4名翻译英语, 3名翻译日语,共有多少不同的安排方法.点拨 从以上三例我们可以发现,从集合的叠加原理出发，可以解决一系列有关的排列组合问题,同时它能把一 个复杂的问题变得特别的明朗、清晰.我们把这样的解决问题的思维方法叫做叠加模式.出题方向 4 化归模式

在处理复杂的排列组合问题时, 可以把一个问题退化成一个简要的问题, 通过解决这个简要的问题找到解题方法, 从而进一步解决原来的问题.例 7 25人排成 5×5方阵,现从中选 3人,要求 3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种.[分析 ] 把这样的一个问题:从 9人排成的 3×3的方阵中, 选出不在同一行也不在同一列的 3人, 有多少选法.这 个问题相对原来的问题简单,只要选出一个人后把这个人所在的行所在的列划掉,然后再继续选就可以了.然后我们再从 5×5的方阵中选出 3行 3列,就可以得到一个 3×3的方阵,再在 3×3的方阵中选 3人,便可得 答案.想一想 把 25人排成 5×5方阵,其中甲、乙二人不相邻(指甲、乙前后、左右、左前、右前、左后、右后均不 相邻 的排法有多少.例 8 如图 10-3-3是某一城市的街区图,由 12个全等的矩形街区构成,其中实线表示街道,问从 A 到 B 的最 短路程有多少种.根据上述情况,我们可以找到原问题的关键所在,这就是:在图 1的每种最短路程的走法中,都必须包含走过 3条 长为 a 的边, 4条长为 b 的边,即应该一共走过七条边.从这个角度来说,又可以把这个问题化归成由 3个 a , 4个 b 共 7个字母的排列有多少的问题.想一想 如果某一城市的街区图如图(10-3-4 ,从 A 到 B 的路程最短的走法有多少 ? 出题方向 5 整体模式与隔板模式

5.计数原理教案 篇五

考

评

课

教

案

授课人：邹强

2008年5月 §10.1 分类计数原理与分步计数原理

授课人：邹强

教学目标：

知识目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

能力目标：培养学生的归纳概括能力；

情感目标：①了解学习本章的意义，激发学生的兴趣

②引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式..教学重点：

分类计数原理与分步计数原理的应用理解 教学难点：

分类计数原理与分步计数原理的理解 教学方法：

问题式、螺旋上升的教学方法 教学过程：

一．课题引入

中央电视台体育频道每周四次对“NBA”进行现场直播，并对参与节目交流的观众进行抽取幸运观众活动，奖品是“NBA”明星真品球衣或明星战靴，此节目深受广大篮球迷的喜欢。已知在某次直播时，共收到手机号码2万个。其中联通号码有0.8万个，移动号码有1万个，小灵通号码有0.2万个。现抽取：

（1）一名幸运观众有多少种不同类型的抽法？

（2）从联通号码、移动号码和小灵通号码中各抽取一名幸运观众共有多少种不同的抽法？ 象这种计算所有情况的问题可称为计数问题，用来解决这种问题的一般方法或计算规律叫做计数原理，今天我们就来探求它们。

二．新课讲授

问题1.1:“两会”决定,下一次会议一定要有农民工代表参加.假如现在南方有农民工代表30人,北方有农民工代表20人,现在选举一名农民工代表共有多少种选法? 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N = m + n 种不同的方法.问题1.2:在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从这些强项专业中任选一项共有多少种？ 探究一：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有 m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，在第n类方案中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？

分类计数原理： 一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有 m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法.问题2.1:国务院总理温家宝在十届全国人大三次会议上作政府工作报告时表示，补助贫困学生生活费。假设补助后西部某省的贫困生午饭可买两盘菜（蔬菜类 + 肉类），学校食堂的菜单如下，蔬菜类

肉类

萝卜

猪肉

白菜

牛肉

花菜 请问有多少种不同的选法? 完成一件事需要两个不同步骤，在第1步中有 不同的方法.那么完成这件事共有Nm 种不同的方法，在第2步中有 n 种

mn种不同的方法.问题2.2：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从清华大学，复旦大学，南京大学这些强项专业中各选一项共有多少种？

探究一：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有 m

1种不同的方法，做第2步有 m种不同的方法，做第3步有

m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，……做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

分步计数原理： 一般归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 m1 种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法……做第n步有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.理解分类计数原理与分步计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.分步时，每一步都可以看成分类；分类时，每一类也可能要有好几步才能完成。例题选讲

问题3.1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 学生练习： 填空：

（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是

.（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有

条..（3）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有

种.（4）.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有

种不同的推选方法.总结归纳： 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可 4 以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：

分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成 作业布置：

.1．课本第９７页的习题1０.1A第1，2，3题．

2．编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题，并加以解答． 课外思考：

6.计数原理排列组合教案 篇六

教

学

过

程 排法2……………排法3………

2.观看信息窗2

师：同学们我们再来看一个实际问题

4位同学排一行表演小合唱，丁同学担任领唱。为了让他靠近麦克风，需要把他安排在左起第二个位置上，其余同学任意排。想一想，有多少种排法。

甲丁乙丙甲丁丙乙

乙丁甲丙乙丁丙甲

丙丁甲乙丙丁乙甲

同学总结规律：先确定丁同学的位置再排其他同学

一. 教师总结.布置作业

同学门都很聪明那么通过今天的学习我看出同学门的思维很清晰那么今天回家我们研究一个排列的问题自己出一个问题

教

学

札

记 让学生亲自的进行排列，学生很容易掌握这部分知识，之需要让学生掌握排列的顺序性就可以了。

教学

内容 数学与生活(排列;组合.) 第1课时 课型 新授

教

学

目

标 1. 通过具体的生活情境,使学生了解简单的”排列”与”组合”的简单知识,掌握解决问题的方法和策略.

2. 培养初步的观察,分析及推理的能力,能有序的解决问题全面的思考问题.

3. 尝拭用数学的方法解决生活中的实际问题

在数学中养成与人合作的良好习惯,并初步学会表达解决问题的大致过程和结果.

教学

重点

难点 培养学生的思维方式 教前

准备 小黑板

教

学

过

程 二. 问题情景，导入新课

师:同学们我们经常排队吗?你们知道排队中也有数学问题吗?

师:小平,小冬,小华三人排成一行照相?有多少种排法、?

生1:有三种.

生二:有四种

(同学们各持己见?)

师:同学们并不是有几个人就有几种排法.你认为如何排才不会有遗漏呢?而且他们的位置不会重复?

我们今天就来学习新排列组合

三. 合作探索

1. 观察信息窗1

看信息窗里都有哪些数学信息?你能提出什么问题.学生提出问题学生自己解决.教师指点.

师:指同学回答如何排列才不会重复而且不遗漏

(先把小冬放在第一的位置,再将小华排在第一的位置最后将小华排在第一的位置)或者(把小平放在第一位置,其余两人调换位置,有两种排法,再把小平放在第二的位置又有两种排法,最后把小平放在第三的位置上还有两种排法)再或者(先把小平放在第一的位置上小冬与小华调换位置有2种.依次类推工有六种。

修改或补充

7.计数原理排列组合教案 篇七

精品教案

教学设计 情景导入

1、同学们去过公园吗？公园好玩吗？老师今天要带你们去一个比公园更好玩的地方，它就是数学广角。为了把数学广角的每一个地方都游玩一遍，还特意请来了我们的好朋友。瞧！它来了。

2、蓝猫提示数学广角的大门是由1和2这两个数字摆成的两位数，这道门的密码可能是那些数？ 生：

12、21 师：这两个数有什么不同？ 生:这两个数字交换了位置。

师：密码到底是那个两位数呢，我们一起看一下。

3、课件演示：密码跳动，跳动21时门慢慢打开，出现第二道门的密码，这道门的密码是由1、2、3三个数字中的两个组成，密码可能是哪些数呢？请同学们两人一组，分工合作，一人拿出数字卡片摆，另一个人就在纸上把摆的数几率下来，看看这道门的密码可能是那些数，比比那个组写的最全。

（1）学生两人一组，合作操作，边摆边记。（2）学生汇报。并说一下你是怎么想的。生：12、31、32、23、13 师：有没有不同的意见？ 生：还漏掉一个21。

师：观察的真仔细！要想使排列的数不重复也不遗漏，你有什么好的办法？

生1：把1放在十位上，组成12、13；把2放在十位上组成21、23；把3放在十位上组成31、32。

生2：把1放在个位上，组成31、21；把2放在个位上组成12、32；把3放在个位上组成13、23。

生3：我是先摆出的12，把他们的位置颠倒就成了21，有摆了13，颠倒位置成了31，最后摆了23，颠倒位置32。

4、同学们真棒，摆成了这么多的两位数，我们发现一旦按照你的一定的顺序来摆就既不用遗漏也不会重复。那么密码到底是哪个两位数呢？我们一起来看看，（课件演示，密码跳动，门被打开）

5、门开了，我们一起进去逛逛吧！小朋友，你们好，这里的玩具5角钱一样，任你挑选：（课件展示玩具店）你打算怎么付钱呢？ 生：我拿两张2角的和1个1角的。生：我拿5个1角的。生：我拿一张5角的。

生：我拿一个2角的和3个1角的。让学生上台展示出5种方法。

6、同学们真聪明，想出了这么多付钱的方法，接下来蓝猫想邀请我们班同学参加乒乓球比赛，同学们愿不愿意（愿意），但有个要求，必须从蓝猫给我们准备的衣服中选出一套穿上方可参加。（课件展示两件上衣）两条裤子，你有几种搭配方法。（1）学生分组讨论。（2）汇报交流。

7、同学们表现真不错，我们可以去参加乒乓球比赛了，如果每两个人进行一场比赛，3人一共要比几场？ 生：3场。

8、师：咦！排数时3个数字能摆成6个两位数，比赛时3人却只能比3场？

生：排数时两个不同的数字交换位置可以组成一个新的两位数，比赛时两人交换位置还是他们两个人。

9、比赛结束了，蓝猫还为我们准备了午餐，要求饭和菜只能选一种，你有几种选法？ 课件出示： 米饭 馒头

排骨 西红柿汤 鱼

生：米饭和排骨、米饭和西红柿汤、米饭和鱼、馒头和排骨、馒头和西红柿汤、馒头和鱼。

师：真聪明，这位同学按照一定的顺序和规律来排列，既不重复又不遗漏，又没有不同的排列法？

生：我是这样排列的，排骨和米饭、排骨和馒头、西红柿汤和米饭、西红柿汤和馒头、鱼和米饭、鱼和馒头。一天的游玩结束了，同学们今天的表现棒极了，蓝猫非常留恋咱们同学，想和我们合影留念，你们愿意吗？（愿意）三个人站成一排，有几种不同的方法？

10、今天同学们和蓝猫一起游玩数学广角，你们玩得开心吗？除了开心之外，还有什么收获？

8.排列组合教学反思 篇八

1、创设情境 活用教材

我对教材进行了灵活的处理 ，课一开始，老师就创设了和三只小动物参观数学乐园，充分地调动了学生的学习兴趣，同时也将学生知识很好地融合到生活中去。整堂课教师就是围绕这个大情景来教学的。在一个又一个的活动情境中渗透排列和组合的思想方法，让学生亲身经历探索简单事物排列和组合规律的过程，在活动中主动参与，在活动中发现规律。课的设计比较适合低年级学生的年龄特点。

2、关注合作 促进交流

以同桌或小组合作的形式贯穿全课，充分应用同桌,分组合作、共同探究的学习模式，在教学中鼓励学生与同伴交流，引导学生展开讨论，使学生在合作中学会了知识，体验了学习的乐趣，思维活动也更加活跃。

3、练习题的设计力求游戏化，使学生在快乐愉悦的氛围中愉快的学习知识，如抽奖游戏从而大大提高了学习的兴趣。

教后反思：

1、教师对学生的小组合作学习指导不够，有个别学生还不能有效参与。

2、对教材的理解不够透彻,对学生的指导不够细致，不够具体，如在抽奖游戏过程中，由于时间关系，没有让学生板演，或说出自己的想法，草草收场。

3、教师语言不够精练,放手不够到位。如排列教学中，没有留给学生更多的思维空间，让学生自己找出不同摆法。

9.排列与组合教学反思 篇九

做的好的地方：

1、创设情境，激发学生探究的兴趣。

创设形象生动、亲近学生生活实际的教学情景，有效地激发学生学习的兴趣。本节课通过创设“老师到北京旅游这一情境”，激发了学生帮助老师解决问题的探究欲望。又如通过创设“衣服的穿法、早餐搭配、数字游戏”等与学生的实际生活相似的情境，唤起了学生“独立思考、合作探究”解决问题的兴趣。

2、注意让小组合作学习从形式走向实质。

“自主、探究、合作学习”是新课程改革特别提倡的学习方式，如何使合作学习具有实效性？本节课设计时，注意精选合作的时机与形式，在教学关键点、重难点时，适应地组织了同桌或四人小组的合作探究。在学生合作探究前，提出了明确的要求。在合作探究中，保证了合作学习的时间，并深入小组中恰当地给予指导。合作探究后，教师还能够及时、正确的评价。教师从实际的学习效果出发，考虑如何组织合作学习，有利于调动广大学生参与学习的全过程，防止合作学习走过场。

3、让学生在丰富多彩的教学活动中感悟新知。

通过组织学生参与“连一连，写一写，画一画”等教学活动，充分调动了学生的多种感官协调合作，感悟了新知，发展了数感，体验了成功，获取了数学活动经验，真正体现了学生在课堂教学中的主体作用。

4、在教学中充分让学生体会到数学与生活的密切联系，联系生活学习数学。

不足之处：

1、对于课堂中的生成性资源不能灵活处理。

2、给学生的探究时间还不太充裕。

10.排列组合教学设计01 篇十

实验学校 崔海涛

教学内容

义务教育课程标准实验教科书（人教版）二年级上册第八单元第一课时 教学目标：

知识目标：使学生通过观察、猜测、实验等活动，找出简单事物的排列数和组合数。

能力目标：培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。

情感目标： 使学生感受到数学在现实生活中的应用价值，尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题。

教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程。教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同。教学环节

一、创设情境，导入新课

今天，我们来上一节数学活动课，大家乐意吗？（板书课题）现在大家来看一下我们的活动目标。（课件出示活动目标）

师：老师给大家带来了一个新朋友，课件出示圣诞老人画面，圣诞老人过生日了，想请大家参加他的生日聚会，但是他有要求。通过圣诞老人提出本节课任务。

二、合作学习，构建模型

（一）初步感知。课件出示：

第一关：摆一摆，猜密码。（用数字卡片1、2能排成几个两位数自己动手摆一摆）让学生自己动手摆卡片后，指名汇报。

（二）合作探究。课件出示：

第二关：摆一摆，比一比（用数字卡片1、2、3能摆成几个不同的两位数）比比看，哪个组找的最多。

小组探讨，组长把大家的讨论结果记录在练习本上。（活动开始，教师巡视。）

以组为单位派代表汇报。

师：有的组摆出了4个不同的两位数，有的组摆出了6个不同的两位数，你们是怎么摆的？有什么好办法？

（鼓励方法的多样化，对各组的不同方法进行肯定和表扬。）结合发言，引导学生进行评价，选出优胜组。

师生共同归纳：用数字排列组成数，要按照一定的顺序确定十位上的数，然后考虑个位上有哪些数可以与其搭配。

（三）握一握。课件出示：小精灵说的话。

恭喜你们成功的度过了前两关，现在，我们握手祝贺一下。师：每两人握一次手，三人一共握几次手？（小组活动，教师巡视）活动后，小组指名汇报。

师：究竟是几次呢？请大家互相握握看吧！请一个组的同学上台演示，其他同学一起数数。

（四）课件出示：

师：圣诞老人决定奖励你们两件上衣、两条裤子，那么一共有几种搭配方法呢？（课件出示图片。）

学生拿出学具卡片，小组活动解决问题。汇报交流，说说自己为什么这样设计。

三、分层练习，巩固新知

（一）付钱问题。

课件出示：99页做一做2题

小组讨论，小组长统计本组学生答题情况，并由小组代表汇报。

（二）拍照站法。

小丽、小芳、小美在风景如画的郊外游玩，三人想站成一排拍照留念，她们有几种站法？

小组讨论后，由一组学生上台演示，其他学生数一数。

11.计数原理排列组合教案 篇十一

小学四年级奥数下册教案：排列组合的综合应用

小学四年级奥数下册教案：排列组合的综合应用 原文来源：小学奥数辅导网 www.aoshufudao.com 排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码?又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法?回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.(前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有6种不同选法.) 当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理;即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题?若能，再判断是属于排列问题还是组合问题?②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握. 例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法? 分析 首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理. 解： 符合要求的选法可分三类： 不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3=15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2=10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2=6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的. 因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15+10+ 6=31种. 注 运用两个基本原理时要注意： ①抓住两个基本原理的`区别，千万不能混. 不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完)数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法(全程分成几个阶段(步)，其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. ③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的. 例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列. 分析 要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式解： 由此可知，排列共有如下八种： 正正正、正正反、正反正、正反反、 反正正、反正反、反反正、反反反. 例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数. 分析 此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法. 解法1：分析 某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置. 解： 分两步完成： 第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法. 第二步：从余下的9个数(包括数字0)中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法. 由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个. 答：可组成4536个无重复数字的四位数. 解法2：分析 对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一. 解： 组成的四位数分为两类： 第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个. 第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，(让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种)第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个. ∴由加法原理，共有满足条件的四位数 3024+1512=4536个. 解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数(称为排除法).此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列. 解： 从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个(0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个) ∴共有满足条件的四位数 10×9×8×7-9×8×7 =9×8×7×(10-1) =4536个. 注 用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种?要做到不重不漏. 更多《……