中山大学线性代数

中山大学线性代数（精选14篇）

1.中山大学线性代数 篇一

线性代数测试练习题

一、选择与填空（每题2分，共40分）

a111、若行列式Da21a12a22a32a134a112a113a122a213a222a313a32a13a23。a33a31a231，则H4a21a334a31（A）-12

（B）12

（C）-24

（D）24

2、n级排列p1p2pn的逆序数与顺序数分别为p与q，则pq。

2x1x2x30

3、齐次线性方程组x1kx2x30有非零解，则。

kxxx0123（A）k4（B）k1（C）k1且k4（D）k1或k4

10421

14、四阶行列式D06024102，Aij是相应的代数余子式，则2A41A42A432A44 02kk5、A、B、C是n阶矩阵，则下列结论错误的是：（A）IA2(IA)(IA)（B）(AB)kAB

22（C）如果AB，则AB或AB（D）ABTTAB

OA

6、A、B为n阶可逆矩阵，则BOO（A）1BOA1（B）1OAOB1（A）1OAA1B1（D）OOO 1B

17、A为n阶矩阵，且r(A)n1，则r(A*)=

（A）1 或n1（B）0 或n1（C）1或0

（D）以上都不对。

8、A、B为3阶可逆矩阵，且A2，B3。则2(AB)。

9、已知向量(1,1,0)被向量组1(1,0,1)，2(0,1,0)，3(0,0,1)线性表出，则相应的表出系数是

（A）1，1，1（B）1，1，1（C）1，1，1（D）1，1，1

10、A是mn矩阵，r(A)r(0rn)，则下列结论不正确的是：（A）Ax0的任何一个基础解系都含nr个线性无关解向量；（B）X是ns矩阵，且AX0，则r(X)nr；

T1（C）是m维列向量，r(A,)r，则可被A的列向量组线性表示；（D）非齐次线性方程组Axb比有无穷多组解；

11、已知mn齐次方程组Ax0，且r(A)r，1,2,,nr是方程组的nr个

线性无关解向量，则Ax0的基础解系为（A）1,2,,nr,12nr

（B）1，21，32，…，nrnr1，nr（C）12，23，…，nr1nr，nr1（D）1,2,,nr,12nr，12、A为n阶矩阵，下列结论中不正确的是：

（A）A可逆的充分必要条件是r(A)n；

（B）A可逆的充分必要条件是A的列秩为n；

（C）A可逆的充分必要条件是当x0时，Ax0；

（D）A可逆的充分必要条件是A的每一行都是非零向量。

13、设=2是矩阵A的特征值，则矩阵

12A的特征值是：。3（A）4343（B）（C）（D） 3434100

14、与矩阵A010相似的矩阵是 002110110101101（A）021（B）010（C）010（D）021 001002002002001

15、矩阵Ax10可对角化，则x。

100123

16、矩阵A1x2，B与A相似，且1、2、3是其特征值，则x。

001

17、A为n阶实对称矩阵，则

（A）A的n个特征向量两两正交；（B）A的n个特征向量是单位正交向量组；（C）是A的k重特征值，则r(IA)nk；（D）是A的k重特征值，则r(IA)k；

12x1

18、二次型f(x1,x2)(x1,x2)x的系数矩阵是。

432

19、设A、B是n阶的合同矩阵，则。

（A）A与B相似（B）AB

（C）A与B有相同的特征值（D）r(A)r(B)20、n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是

（A）二次型xTAx的负惯性指数为0；（B）有矩阵C使得ACTC（C）A没有负特征值（D）A与单位矩阵合同

二、计算解答题（每题10分，共50分）

1x111111y121、求实数x、y的值，使得0。

11x111111y01011

22、A111，B20，且AXBB，求X。10153x1x2x33

23、设线性方程组x1x2x32。讨论当取何值时，方程组有解和无解？

xxx2123并当有无穷多组解时，用导出组的基础解系与特解写出通解公式。

24、求向量1(1,2,1,5)，2(2,1,1,1)，3(4,3,1,11)的一组极大无关组，并用它表示其余的向量。

25、求正交变换xQy化二次型f(x1,x2,x3)3x1+3x34x1x2+8x1x3+4x2x3为标准型。并指出二次型的正、负惯性指数，和规范型。

三、证明题（每题5分）

26、证明：正定矩阵的伴随矩阵也是正定矩阵。

27、A是mn矩阵，证明：方程组Ax0与AAx0是同解方程组。

T22

2.中山大学线性代数 篇二

一、模块化

密大数学系为本科生提供了6种可供选择的修课项目, 分别是数学教学 (teaching mathematics) 、纯粹数学 (pure mathematics) 、荣誉数学 (honors mathematics) 、数学科学 (mathematical sciences) 、金融风险管理 (mathematics of finance and risk management) 和精算 (actuarial mathematics) 。作为密大数学专业的本科生, 他们必须学习四年, 虽然这六种修课项目有不同的要求和前提条件, 但是基本的先决条件和所学的基础课程是相同的, 所以学生在大一和大二期间必须先学习这些基础课程。在大二的最后阶段, 学生根据各自的学习情况和兴趣爱好, 通过咨询系里的导师确定修课项目, 大三即按照选定的修课方案学习。精算项目旨在帮助学生通过寿险精算协会和精算师协会的考试, 而风险管理项目又简称金融数学, 旨在提供风险管理和金融的量化方面的教育培训。精算项目和风险管理项目所需要的金融工具主要来自于概率、统计和微分方程等领域, 因此, 这两个项目不要求学生学习抽象代数课程。

数学教学项目致力于培养中学数学教师, 除了必要的高等代数知识外, 还要求学生在“数论”和“抽象代数”这两门课程中任选一门作为必修课, 如果学生选择学习“抽象代数”, 则他们可以选择在课程312、412或493中任选一门修学 (课程312、412、493见表1) 。数学科学项目强调数学在其他学科中的应用, 旨在培养应用数学知识解决某个领域的专业问题的能力, 该项目又进一步细分成八个专业方向:控制系统、数学物理、数学生物学、数理经济学、离散和算法的方法、数值与应用分析、运筹与建模、概率方法。虽然这八个方向的具体专业要求不同, 但是学生都必须学习代数, 必须在“离散数学”和“抽象代数”课程中二选一作为必修课程, 如果学生选择学习“抽象代数”, 则它们可以在课程312、412或493中任选一门学习。纯粹数学旨在培养学生的严格的逻辑推理能力, 并使得学生接触和掌握代数、分析、几何、拓扑等数学分支的精髓。因此, 该项目增加了数学的难度, 抽象代数是必修课程, 学生必须在412和493中任选一门。荣誉数学项目旨在培养学生从事数学科研的能力, 为学生今后读数学研究生做好准备。该项目的专业课程由数学系的杰出教师采用小班授课, 教学内容涵盖基础数学和应用数学的内容。除了标准课程外, 该项目还会讲解算法、密码学、生物数学和金融数学等边缘学科的最新进展。成绩优异的学生可以学习研究生课程。因此, 该项目对学生的要求最高, 学习的难度最大, 抽象代数是必修课程, 学生必须学习课程493。

综上所述, 密大数学系提供了312、412和493等三个模块的抽象代数课程, 学生可根据修课项目的不同选择对应的模块学习。

二、层次性

课程312、412和493都是抽象代数课程, 它们有着所有代数类课程的共同目标:让学生接触严谨的代数语言, 培养学生严格的逻辑推理能力。但是, 由于各自的侧重点不同, 所以课程312、412和493所需的基础、开课时间、选取的教材、教学目标、教学内容等都不尽相同。课程312, 又名应用近世代数, 顾名思义, 即侧重培养学生利用抽象代数知识解决实际问题的能力, 因此, 学生学习的内容有: (1) 集合与函数、关系与图、环论、布尔代数、半群、群、格; (2) 在开关线路设计、自动化、编码理论等方面的应用。该课程采用的教材是Childs编的《A Concrete Introduction to Higher Algebra》, 这本书通过整数和多项式等大家耳熟能详的例子引入环和域等概念, 并将一部分环和域的知识通过应用来体现, 可读性强, 且整本书中有900多个习题。所以, 该课程最贴近实际, 是这三门课程中难度系数最低的, 学生只要学习过线性代数的相关知识就可以学习该课程。课程412与课程312相比, 更加重视理论, 要求学生掌握抽象代数的基本概念与方法, 培养学生较强的逻辑推导能力, 学习的内容比课程312更抽象, 难度系数更高。课程493是这三门课程中最抽象和最有难度的课程, 旨在以严谨的方式向学生介绍群、环、域、模等代数结构, 强调概念和证明, 讲授的内容几乎是课程412的两倍, 讲解的习题非常有挑战性。因此, 这三门抽象代数课程在难度上层层递增, 有着鲜明的层次性, 具体见表1。

三、针对性

在密大数学系, 要求学习抽象代数知识的修课项目有数学教学、纯粹数学、荣誉数学 (honors mathematics) 和数学科学。选择荣誉数学项目的学生基本都会读研究生继续深造, 因此需要很强的理论知识, 因而他们必须学习难度系数最高的课程493, 为他们今后从事科研工作打好坚实的理论基础。纯粹数学项目旨在培养学生严谨的逻辑推理能力和了解数学的各个基本学科, 因此必须学习抽象代数课程, 但是学生可以根据自己的情况在难度系数有差别的课程412和493中任选一门。数学教学项目要求学生掌握一定的数论知识, 因此学生可以根据自己的实际情况选择学习“数论”或“抽象代数”, 如果学生选择学习“抽象代数”, 则他们可以选择在课程312、412或493中任选一门学习。数学科学项目强调数学的应用性, 偏重应用, 学生可以选择“离散数学”或“抽象代数”, 如果选择了“抽象代数”, 他们同样可以在课程312、412或493中任选一门学习。这样的设置方式, 充分考虑了学生的学习兴趣和学习能力的差异性, 体现了因材施教的教育理念, 有着很强的针对性。

区区一门课程却细分成三种选课方案, 这些方案在难度上层层递增, 兼顾了各个层面的学生, 使学生能根据自己的学习能力和学习目的选择合适的方案, 充分体现了以学生为本的人文精神, 值得我们学习与深思, 为我们进行教学改革提供了思路。

摘要：本文对密西根大学数学系《抽象代数》课程的设置进行了研究, 发现其课程设置方案具有模块化、层次性和针对性等优点, 为我们进行教学改革提供了参考依据。

关键词：抽象代数,课程设置,数学专业

参考文献

[1]乔建永.美国密西根大学教学评估工作的启示[J].中国大学教学, 2013, (5) :11-12.

[2]邬大光.世界一流大学解读-以密西根大学为例[J].高等教育研究, 2010, (12) :82-93.

[3]吴畏.哲学本科专业的大学定位和人才培养的问题研究——密西根大学安娜堡分校的启示[J].当代教育理论与实践, 2013, (5) :57-59.

[4]L.N.Childs.A concrete introduction to higher algebra[M].第三版.Springer, 2009.

[5]N.H.Mc Coy和G.J.Janusz.Introduction to abstract algebra[M].第七版.Trust-worthy Communications, LLC, 2009.

3.线性代数教学方法探讨 篇三

关键词：线性代数；教学方法；数学建模；课件

线性代数是大学数学的一门重要基础课，主要讲授矩阵理论、与矩阵相结合的有限维向量空间及线性变换理论。线性代数中的概念直接由数学符号定义，很少由引例来导入，所以相对于微积分来说，线性代数显得更加抽象难懂。对于学生来说，一拿到教材，首先看到的是线性代数教材中的实例少，大多是一些概念、性质、定理、推论以及计算，第一直觉就是线性代数非常抽象而且不太实用，从而导致学生缺乏主动学习的积极性。经过一段时间的学习后，学生们又会发现线性代数的知识点很多而且前后纵横交错，学习起来难度很大，从而导致学生畏惧心理，很被动的跟着老师学习，这样就会使得线性代数的教学任务很难高质量地完成。那么，针对学生对线性代数的心理特点以及线性代数的课程特点，教师该选择什么样的教学方法和教学手段呢?笔者根据自己多年的教学实践，总结出点自己的教学经验，与同行探讨。

一、要学生从主观上充分认识到线性代数课程的重要性

日常生活中，我们都有这样的感觉：当我们认为某件事很重要且需要认真对待时，完成的效果会很好；相反，如果某件事没有引起我们足够的重视，应付完成时，结果可想而知。所以，让学生从思想上重视线性代数是E好该门课的前提。每年线代代数课程的第一节课，笔者都会拿出一半的时间来告诉学生们线性代数课程的重要性：

1线性代数课程抽象、严谨、逻辑性强，学习该课程可以很好锻炼我们的思维能力。

2全国大学生数学建模竞赛活动的深入开展，为学好线性代数这门基础课的学生提供了很好的机会。

3工程技术和经济管理的许多定量分析问题，如振动问题和稳定问题、动态经济模型，常可归结为线性代数中的一个方阵的特征值和特征向量的问题。

根据这几点，学生自然地感觉到线性代数这门课是学有所用的，会比较自觉地学习这门课程，这样就建立了一个良性循环，从而大家可以轻松地高质量地完成教学任务。

二、在线性代数教学中引入应用实例，增强学科的趣味性

线性代数的内容大多是抽象的理论，繁琐的计算往往难以让人体会到线性代数的现实意义，也很难激发学生的学习兴趣，考虑到这种因素，在教学的过程中尽可能地研究一些典型的应用实例。比如行列式和矩阵概念的引入：

1比如在讲行列式的概念时，我们可以从计算平行四边形的面积和平行六面体的体积引入，指出n阶行列式是将其本质抽象出来而作的一个推广。

2比如在矩阵概念的概念时，我们可以从简单的经济问题入手，让学生了解知识的应用背景，表明学习矩阵是为生产实践服务的，从而提高学生学习的积极性。

三、多媒体课件的精心设计

线性代数内容多、学时少，为提高课堂教学效益，在讲课中必须注意黑板与多媒体教学的有机结合。因此，我们要制作适合自己教学风格的、有利于学生有效学习的多媒体课件，在制作和应用课件上课的时候，我们要注意以下几个方面的关系：

1主角与配角。多媒体课堂教学过程主要包含四个要素：教师、学生、教材和媒体。

正确把握四者之间的关系，有助于更好地进行课堂教学。首先，应该明确的是，学生是课堂上的主体，一切服务都是为了学生能够更好地掌握所学知识，这个主体地位是不能改变的。多媒体教学课件能够提供的信息量大，教师在上课的时候要合理安排好时间，比如：内容在屏幕上停留的时间、与学生互动的时间、需要教师板书的时间、收集学生反馈的时间等等。

2留住与逝去。大多数学生反映，听多媒体数学课很疲劳，跟不上记笔记，大脑也来不及思考，对概念的理解是含含糊糊，似懂非懂，下课后脑袋就一片空白，感觉什么都没记住。还有就是一些例题的讲解时，千万不要在屏幕上显示出完整的求解过程，这样势必中断他们的思路，其思维的连续性和独立性必然被破坏，降低学生的思维水平。所以，制作课件时，要从教学策略、教学内容以及学生的有效接受能力三方面进行充分考虑。对于重要的例题和较复杂的理论证明，必须选择一到两个典型的例子在黑板上进行完整的求解和推导，使学生跟上老师的思路，而对于线性代数一些简单的概念、性质以及例题等，则可以通过多媒体给学生演示。

3原创与拿来。多媒体教学时，部分老师把从网上下载的或通过其他渠道得来的课件直接应用于教学，用后会发现大多数课件不适合自己的讲课风格，授课效果大打折扣。教师在授课时不要直接套用别人的课件，要根据自己授课的风格和设计情况制作课件。在设计时，一定要把学生放在主体位置上，着重于学生能力的培养，体现学生的思维方式，而不是老师的思维方式。

通过多年的教学实践，充分证明自己精心设计的课件达到了能用、好用、实用的预期目标，确实为自己与所教学生提供了一个能充分整合现代教学技术与教学资源的平台。在这个平台上，教师不仅可以充分发挥自身特长，同时也大大减轻了教师的身心劳累程度，而且确实取得相当不错的教学效果。

四、给学生思考和练习的时间。让学生轻松和快乐学习

1线性代数内容多，课时少，满堂灌有时是不可避免的，很明显这种教学效果不好，会让学生有一种完全被动的全盘接受的感觉，学习的兴趣和积极性会受到很大的冲击。其实，在教学过程中，教师的作用更重要的是去引导学生思考，让他们根据自己的知识水平构建一个知识框架，然后用他们自己的方式来理解知识和记忆知识。对学生来讲，这样学习的效果远远比一味接受老师的灌输来的好。可能有些老师认为时间不允许，其实重复性的知识可以给让学生自己做，或者课后做。所以在一个知識点讲完后，可以给学生设计思考点，让学生有点时间来思考问题，等到对方百思不得其解的时候给他们呈现出答案，这比直接给他们答案要有意义的多。

2线性代数课尤其注意学生的计算能力，只“看”屏幕是不行的，教师在讲解完一个例题的求解过程后，可以安排出一定的时间叫一个学生到讲台上解题，其余的学生在下面解题，有时甚至可以搞课堂练习突击，让学生求解完题后上交练习，这样可以保证学生都能积极参与到课堂上来。

以上是笔者在近几年的教学中总结出来的一些经验心得，写出来与大家探讨，以求找到更好的教学方法为学生服务，使学生真正掌握线性代数这门课。

4.中山大学线性代数 篇四

2.若（-1）。。是五阶行列式【。。】的一项，则k,l之值及该项符号为（）B k=2,l=3,符号为负

3.行列式【k-1 2。。】的充分必要条件是（）C k不等于-1且k不等于3

4.若行列式D=【a11 a12 a13。。】=M不等于0，则D1=【2a11 2a12 2a13。。】=（）C 8M

5.行列式【0111】

1011

1101

1110 =（）D-3

6.当a=（）时，行列式 【-1 a 2…】=0 B 1

7.如果行列式

【a11 a12 a13 …】 =d 则 【 3a31 3a32

3a33 …】 =()B 6d

8.当a=()时，行列式

【a 1 1 …】=0 A 1

9.行列式

【125 64 27 8。。】的值为（）A 12

10.行列式 【 a 0 0 b …】中g元素的代数余子式为（）B bde-bcf

11.设f(x)= 【1 1 2。。】则f(x)=0的根为（）C 1，-1，2，-2

12.行列式 【 0 a1 0…0。。】=()D(-1)n+1 a1 a2…an-1 an1

13.行列式 【a 0 b 0…】=()D(ad-bc)(xv-yu)

14.~不能取（）时，方程组~X1+X2+X3=0…只有0解 B 2

15.若三阶行列式D的第三行的元素依次为1，2，3它们的余子式分别为2，3，4，则D=()B 8

16.设行列式 【a11 a12 a13…】=1,则【2a11 3a11-4a12 a13…】=()D-8

1.线性方程组 x1+x2=1…解的情况是（）A 无解

2.若线性方程组AX=B的增广矩阵A经初等行变换化为A-【1234…】,当~不等于（）时，此线性方程组有唯一解 B 0，1

3.已知n元线性方程组AX=B,其增广矩阵为 A，当（）时，线性方程组有解。C r(A)=r(A)

4.设A为m*n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是（）A A的列向量线性无关

5.非齐次线性方程组AX=B中，A和增广矩阵A的秩都是4，A是4*6矩阵，则下列叙述正确的是（）

B 方程组有无穷多组解

6.设线性方程组AX=B有唯一解，则相应的齐次方程AX=0（）C 只有零解

7.线性方程组AX=0只有零解，则AX=B(B不等于0)B 可能无解

8.设有向量组a1,a2,a3和向量B A1=(1,1,1)a2=(1,1,0)a3=(1,0,0)B=(0,3,1)则向量B由向量a1,a2,a3的线性表示是（）A B=a1+2a2-3a3

9.向量组a1=（1.1.1）（0.2.5）（1.3.6）是（）A 线性相关

10.下列向量组线性相关的是（）C（7.4.1），（-2.1.2），（3.6.5）

11.向量组a1.a2…ar 线性无关的充要条件是（）B 向量线的秩等于它所含向量的个数 12.向量组B1.B2…Bt可由a1.a2…as线性表示出，且B1.B2…Bt线性无关，则s与t的关系为（）D s≥t

13.n个向量a1.a2…an线性无关，去掉一个向量an，则剩下的n-1个向量（）B 线性无关

14.设向量组a1.a2…as(s≥2)线性无关，且可由向量组B1.B2…Bs线性表示，则以下结论中不能成立的是（）

C 存在一个aj，向量组aj，b2…bs线性无关

15.矩阵【1 0 1 0 0…】的秩为（）A 5

16.向量组a1.a2…as（s≥2）线性无关的充分必要条件是（）C a1.a2…as每一个向量均不可由其余向量线性表示

17.若线性方程组的增广矩阵为A=【1.~.2】则~=（）时，线性方程组有无穷多解。D 1/2

18.a1.a2.a3是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量，且r(A)=3,a1=(1.2.3.4)T,a2+a3=(0.1.2.3)t,C表示任意常数，则线性方程组AX=B的通解X=()C(1.2.3.4)t+c(2.3.4.5)t

19.设a1.a2.a3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，下列向量组不能构成AX=0基础解系的是（）

C a1-a2,a2-a3,a3-a1

20.AX=0是n元线性方程组，已知A的秩r＜n，则下列为正确的结论是（）D 该方程组有n-r个线性无关的解

21.方程组{ x1-3x2+2x3=0…的一组基础解系是由（）几个向量组成 B 2

22.设m*n矩阵A的秩等于n，则必有（）D m≥n

23.一组秩为n的n元向量组，再加入一个n元向量后向量组的秩为（）C n

24.设线性方程组AX=B中，若r(A,b)=4,r(A)=3,则该线性方程组（）B 无解

25.齐次线性方程组{X1+X3=0…的基础解系含（）个线性无关的解向量。B 2

26.向量组a1.a2…as(s≥2)线性相关的充要条件是（）C a1.a2…as中至少有一个向量可由其余向量线性表示

27.设a1.a2是非齐次线性方程组AX=B的解，B是对应的齐次方程组AX=0的解，则AX=B必有一个解是（）D B+1/2A1+1/2A2

28.齐次线性方程组{X1+X2+X3=0的基础解系所含解向量的个数为（）B 2

1.设A为3*2矩阵，B为2*3矩阵，则下列运算中（）可以进行 A AB

2.已知B1 B2 A1A2A3为四维列向量组，且行列式【A】=【a1,a2,a3,b1】=-4,【B】=【a1,a2,a3,B2】=-1,则行列式【A+B】=（）D-40

3.设A为n阶非奇异矩阵（n＞2），A为A的伴随矩阵，则（）A（A-1）+=【A】-1A

4.设A,B都是n阶矩阵，且AB=0，则下列一定成立的是（）A 【A】=0或【B】=0

5.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（）B(A+B)-1=A-1+B-1

6.设n阶矩阵A,B,C满足关系式ABC=E,其中E是n阶单位矩阵，则必有（）D BCA=E

7.设A是n阶方阵（n≥3），A是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，+-1，则必有（Ka）+=()B kn-1A+

8.设A是n阶可逆矩阵，A是A的伴随矩阵，则有（）A 【A+】=【A】n-1

9.设A=【a11 a12 a13】,B=【a21 a22 a23】 p1=【0 1 0】 p2=【1 0 0】则必有（）C

P1P2A=B

10.设A1B均为n阶方阵，则必有（）

D 【AB】=【BA】 11.设n维向量a=(1/2,0…0.1/2)，矩阵A=E-ATA,B=E+2ATA,其中E为n阶单位矩阵，则AB=（）C E

12.设A是n阶可逆矩阵（n≥2），A*是A的伴随矩阵，则（）C（A+）+=【A】n-2A

13.设A,B,A+B,A-1,+B-1均为n阶可逆矩阵，则（A-1+B-1）-1等于（）C A(A+B)-1B

14.设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）B(ABT)-1=(BT)-1A-1

15.设A为4阶矩阵且【A】=-2，则【【A】=（）C-2 5

16.设A=（1，2），B=（-1，3），E是单位矩阵，则ATB-E=()D 【-2 3】

17.下列命题正确的是（）D 可逆阵的伴随阵仍可逆

18.设A和B都是n阶可逆阵，若C=（0 B），则C-1=（）C(0 A-1)

19.设矩阵A=【2 1 0】，矩阵B满足ABA+=2BA+E,其中E为三阶单位矩阵，A为A的伴随矩阵，则【B】=（）B 1/9

1.当k=（）时，向量（2.1.0.3）与（1.-1.1.k）的内积为2 C 1/3

2.下列矩阵中，（）是正交矩阵 C 【 3/5-4/5 】

3.设a=(0,y,-1/2)t,B=(x,0,0)t 它们规范正交，即单位正交，则（）B X≠+-1 Y=+-1/2

4.若A是实正交方阵，则下述各式中（）是不正确的 C 【A】=1

5.下列向量中，（）不是单位向量 C(0.1/2.-1/2)T 6.R3中的向量a=(2.3.3)t 在基！1=（1.0.1）t,!2=(1.1.0)t!3=(0.1.1)t 下的坐标为 B(1.1.2)

7.假设A,B都是n阶实正交方阵，则（）不是正交矩阵。D A+B

8.设a1=【2 0 0】，a2=【0 0 1】 a3=【0 1 1】与！【1 0 0】！2【0 1 0】！3【0 0 1】是R3的两组基，则（）

B 由基！1！2！3到基a1a2a3的过渡矩阵为【 2 0 0 】

1.若（），则A相似于B D n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同

2.n阶方阵与对角矩阵相似的充要条件是（）C 矩阵A有n个线性无关的特征向量

3.A与B是两个相似的n阶矩阵，则（）A 存在非奇异矩阵P，使P-1AP=B

4.设A=【1 2 4。。】且A的特征值为1，2，3，则X=（）B 4

5.矩阵A的不同特征值对应的特征向量必（）B 线性无关

6.已知A=【3 1…】下列向量是A的特征向量的是（）B 【-1 1】

7.三阶矩阵A的特征值1，0，-1，则f(A)=A2-2A-E的特征值为（）A-2.-1.2

8.设A和B都是n阶矩阵且相似，则（）C AB有相同的特征值

9.当n阶矩阵A满足（）时，它必相似于对矩阵 C A有n个不同的特征值

10.设A是n阶实对称矩阵，则（）

D 存在正交矩阵P，使得PTAP为对角阵

11.设矩阵B=P-1AP,A的特征值~0的特征向量是a,则矩阵B的关于特征值~0的特征向量是（）C P-1A 12.设A是n阶矩阵，适合A2=A,则A的特征值为（）A 0或1

13.与矩阵A=【1 3.。】相似的矩阵是（）B 【1 0.。】

14.A是n阶矩阵，C是正交矩阵，且B=CTAC,则下列结论不成立的是（）D A和B有相同的特征向量

15.n阶级方阵A与对角矩阵相似的充要条件是（）C 矩阵A有n个线性无关的特征向量

16.已知A2=E，则A的特征值是（）C ~=-1或~=1

17.设实对称矩阵A=【3 1。。】的特征值是（）A 【 4 0 0…】

18.矩阵A=【 3 1 …】的特征值是（）C ~1=-2 ~2=4

19.设~=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵（1/3A2）-1有一个特征值等于（）B 3/4

20.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的（）C 充分而非必要条件

21.矩阵A=【 1 0 0…】与矩阵（）相似 C A=【1 0 0…】

22.设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中，不能通过正交变换化成对角阵的是（）D ABA

1.二次型f（X1.X2.X3）=X12-X22-2X32-6X1X3+2X2X3的矩阵为（）A 【 1 0-3…】

2.设矩阵A=（au）3*3,则二次型f(X1.X2.X3)=$(ai1x1+ai2x2+ai3x3)2的矩阵为（）C ATA

3.二次型XTAX经满秩线性变换X=CY化为变量为Y1.Y2…YN的二次型YTAX,则矩阵A和B（）A 一定合同 4.n阶实对称矩阵A合同于矩阵B的充分必要条件是（）D r(a)=r(b)且A与B的正惯性指数相等

5.设A为n阶非零矩阵，则（）一定是某个二次型的矩阵 C ATA

6.矩阵A=【 0 2/2 1…】对应的实二次型为（）C 2X1X2+3X22+2X1X3-3X2X3

5.浙江大学2006年高等代数试题 篇五

考试科目：高等代数科目代号：341

注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！

一、(15分)矩阵A,B具有相同的行数，把B的任意一列加到A得到矩阵秩不变，证明把B的所有列同时加到A上秩也不变.二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按x的幂次排列的多项式

a11xD

a21x...an1x

a12xa22x...an2x

.....a1nxa2nx...annx

(2)把行列式D的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变.三、(15分)证明下面的(i)和(ii)等价：(i)矩阵A是正交矩阵；

(ii)矩阵A的行列式为1；当A1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身，当A－1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以－1.a

四、(15分)(1)设矩阵A

c

k

b2

,则矩阵A满足方程x(ad)xadbc0;d

(2)二阶矩阵满足A0,k2,则A0.3



五、(15分)设矩阵A2

2

232

20

2,P1

30

0

1*

1,BPAP2E,求B的特征值和特征向量.1

六、(15分)设W,W1,W2是向量空间V的子空间，W1W2,W1WW2W,W1WW2W,证明W1W2.七、(15分)三阶矩阵A,B,C,D具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似.八、(15分)设是向量空间V的正交变换，W是的不变子空间，证明W也是的不变子空间.九、(15分)设A为实矩阵，证明存在正交矩阵G，使GA的特征值均为实数.十、(15分)设P为数域，fifi(x)P[x],gigi(x)P[x],i1,2,证明(f1,g1)(f2,g2)(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2)

1



AG为上三角矩阵的充要条件是

注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！dragonflier

6.中山大学线性代数 篇六

生物数学

二、参考书目：

张禾瑞等.高等代数（第五版），北京：高等教育出版社，2006.三、基本题型及所占分值：

计算题100分，证明题50分。

四、知识考查范围：

一、多项式

多项式最大公因式；重因式；多项式函数、多项式的根；有理数域上的多项式。

二、行列式

N阶行列式；子式和代数余子式、行列式的依行、列展开；克莱姆法则。

三、线性方程组

齐次、非齐次解的判别；解的结构

矩阵

矩阵的运算；可逆矩阵、矩阵的分块。

向量空间

向量的相关性；基和维数；坐标；矩阵的秩。

线性变换

线性变换的运算；线性变换和矩阵；不变子空间；本征值和本征向量；矩阵的可对角化。

欧氏空间

向量的内积；正交基和正交变换；对称变换和对称矩阵

二次型

二次型和对称矩阵；复数域和实数域上的二次型；正定二次型；主轴问题。

沈陆明

7.中山大学线性代数 篇七

自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的非线性系统。自然界面对的更多的是非线性问题。而我们的大学物理教学介绍的几乎全是线性问题, 即使遇到非线性问题, 不是回避就是把它线性化, 这是大学物理教学的一个缺点。我们在大学物理教学中引入混沌、复杂网络及自组织临界理论和分形等非线性物理知识, 通过介绍理论和在课堂上用多媒体演示, 使大学一年级的学生很容易理解非线性物理的知识, 对物理规律的认识更加深入和全面, 并取得了良好的教学效果。

二、混沌

非线性动力学中提出的混沌理论已经成为目前非线性科学研究中的热点问题。无数的无序、非平衡和随机的非线性系统存在于自然界中。美国的著名气象学家Lorenz建立了一个仿真的气象模型。Lorenz的气象模型对初始条件的微小不同是非常敏感的, 他把此种现象称之为“蝴蝶效应”。也就是说:在巴西热带雨林的蝴蝶扇动翅膀, 有可能在美国德克萨斯州产生一场龙卷风。这个效应告诉我们初始条件非常重要。

我们尝试在大学物理课堂教学上用多媒体演示各种典型混沌系统的吸引子和功率谱, 运用MATLAB编程展示系统如何进入混沌, 还有混沌对初值的敏感性, 许多非线性动力学系统都是通过倍周期分岔从规则运动进人混沌运动的, 系统如果处于混沌运动状态, 那么它以后的运动状态将敏感依赖初值, 并且具有不可预测性。我们通过这些多媒体演示, 使大学一年级学生很容易理解非线性混沌的知识, 并取得了较好的教学效果, 对大学本科学生的物理教学具有指导意义。

三、复杂网络和自组织临界理论

(一) 复杂网络

自然界和人类社会中存在的大量复杂系统都可通过各种网络来描述。至于用什么样的网络拓扑结构才能对实际系统进行准确的描述, 人们研究此问题经历了三个时期:规则网络、随机网络和复杂网络。最初科学家们认为真实系统各因素间的关系可用一些规则结构表示, 如欧几里德网格。后来数学家们构想, 两个节点之间连边与否不再具有确定性, 而是由概率确定, 此网络称为随机网络。近十几年来科学家研究得出结论:很多实际网络既不是随机网络, 也不是规则网络, 而是具有与随机网络和规则网络都不同性质的网络, 称之为复杂网络。这些工作发表在国际顶级期刊Nature和Science上, 对复杂网络的研究标志着第三个时期的网络研究的来临。

Watts.D.J等经过研究发现, 复杂网络具有无标度特性和小世界效应, 这是复杂网络与随机网络和规则网络都不同的统计特征。描述网络的基本参数有两个:网络的平均距离和网络的簇系数。在网络中, 连接两个节点最短路径所包含的边的数目称为它们间的距离, 网络的平均距离就是把所有节点对的距离求平均。规则网络和随机网络是两个极端。只需要在规则网络上稍作随机改动就可以同时具备大的簇系数和小的平均距离两个性质。物理学家把大的簇系数和小的平均距离两个特征统称为小世界效应。

我们尝试在大学物理课堂教学上用多媒体演示了复杂网络和规则网络、随机网络的不同之处, 通过这些演示, 可以使大学一年级的本科生对复杂网络和规则网络、随机网络有简单的了解, 并取得了不错的教学效果, 也对网络的认知更加全面。

(二) 自组织临界理论

社会生活和自然界中存在着众多的“标度不变”行为。很多不规则复杂的分形结构存在于自然界中, 例如山峦、海岸线、云雾等, 它们的基本特征共同之处都是同时具有标度不变性和自相似性。在生物学、地震学、社会学、经济学和语言学里, 我们也总是能找到某一个量N (S) 来表示为另一个量S的幂次:N (S) ∞S-τ, 即这个量的概率分布在双对数图上基本是一条直线, 它表明对其而言无特征尺度, 各种大小的量均可出现。Bak P等人提出自组织临界理论来解释此现象, 他们用原胞自动机模型 (现在被称为“沙堆模型”) 来阐述自组织临界理论, 其雪崩大小概率分布服从幂指规律, 表明雪崩事件是高度关联的。

复杂网络可广泛用来描述自然与社会领域的众多现象, 网络是包含大量个体及个体之间相互作用的系统, “节点”代表系统的组成元素, “边”说明元素之间的关系。物理学家研究发现很多真实网络的度分布也呈现无标度特性。复杂网络的无标度特性表明它与自组织临界性存在着极其密切的关系。Arcangelis L De等以沙堆模型为背景研究了二维小世界网络的自组织临界性, 对于任意的重连概率, 系统均展示自组织临界行为。网络拓扑结构是否会影响沙堆模型中的雪崩动力学是物理学家争论的一个焦点, 周涛等对无标度网络上自组织临界沙堆模型的研究表明, 沙堆模型的雪崩动力学性质对复杂网络特殊的拓扑结构非常敏感。潘贵军等研究了复杂网络上定向沙堆模型的自组织临界行为, 发现网络的方向性显著影响了复杂网络上的动力学行为。孙凡等还研究了复杂网络上地震模型的自组织临界行为, 发现不同的不均匀性、倒塌规则和驱动机制一定会影响系统的临界行为, 改变模型的普适类。这些工作对复杂系统研究都具有积极的意义。

我们尝试在大学物理课堂教学上用计算机编程演示了自组织临界沙堆模型, 通过这些演示, 可以使大学一年级的学生对自组织临界理论有简单的了解。通过这些多媒体演示, 使大学一年级学生很容易理解自组织临界理论的一些基本概念和基本观点, 并取得了较好的教学效果。

四、分形

分形理论是非线性物理的一个重要分支。分形 (Fractal) 概念是由Mandclbrot BB在Science上发表的一篇论文中提出的。目前分形理论已经应用于很多领域, 如数学、材料学、生物学、地理学和计算机科学等。

(一) 谢尔宾斯基“地毯”

谢尔宾斯基“地毯”是一种规则分形, 此分型的形成方法是取一正方形, 将它等分为九个正方形, 我们去掉中间的正方形, 随后把留下来的八个正方形彼此再均分成为更微小的九个正方形, 然后我们再去掉彼此中央的正方形。我们按照这个规则一直分至无穷小, 它的极限图就构成了谢尔宾斯基“地毯”。这个极限图形的面积是接近零的, 但是小正方形的数量接近无穷打, 作为小正方形边的线段总长度趋于无穷大。它的图形则具有严格的无标度性和自相似性, 图形的空间维数处于1和2之间。

(二) 科契雪花曲线

“科契雪花”曲线的构造规则是, 以一个正三角形作为源多边形, 即为初始元。将正三角形的每一条边三等分, 舍去中间的1/3, 而改变成夹角为60°的两端等长的折线。从该三角形一条边出发进行演变的过程:首先将正三角形的一条边的直线部分按生成元来变形, 形成折线, 照这样不断继续下去, 一直到无穷, 它的极限图形就形成了科契曲线的一部分。再将该部分曲线顺、逆时针各旋转300°, 拼接组合, 即形成科契曲线。因为它的形状很像雪花, 所以我们称之为“科契雪花”曲线。

我们在课堂上介绍了两种基本规则分形图形谢尔宾斯基“地毯”和“科契雪花”曲线的形成过程, 计算了它们各自的分维值, 并用MATLAB程序进行了模拟绘制。我们通过多媒体演示, 使大学一年级的学生很容易掌握分形的知识, 并取得了很好的教学效果。

五、结语

在大学物理课堂上引入混沌、复杂网络及自组织临界理论和分形等非线性物理知识, 通过介绍混沌、复杂的网络及自组织临界理论和分形的基本理论, 以及在课堂上用多媒体演示混沌吸引子、复杂网络和自组织临界沙堆模型、分形图形的形成过程, 使大学一年级的学生对非线性物理的知识有一个简单的了解, 可使大学一年级学生对物理规律的认识更加深入和全面, 并取得了不错的教学效果。

参考文献

[1]黄永念.非线性动力学引论[M].北京大学出版社, 2010:1-95.

[2]孙红章, 赵圆圆, 刘钢, 等.基于MATLAB复摆振动中非线性行为的仿真研究[J].商丘师范学院学报, 2012, 28 (6) :50-55.

[3]Watts D J, et al.Collective Dynamics of‘Small-world’Networks[J].Nature, 1998, 393 (4) :440-442.

[4]Barabási A L, et al.Emergence of Scaling in Random Networks[J].Science, 1999, 286 (15) :509-512.

[5]Areangelis L De, et al.Self-organized Criticality on Small World Networks[J].Physica A, 2002, 308 (1-4) :545-549.

[6]Zhou Tao, et al.Catastrophes in Scale-free Networks[J].Chin Phys Lett, 2005, (22) :1072-1075.

8.线性代数“问题解决”教学研究 篇八

关键词：线性代数；数学素养；教学改革；问题解决

一、线性代数教学面临的挑战

随着科学技术的飞速发展，计算机软件在各个学科普及，数学学科的基础学科地位在得到了加强的同时必须面临来自工程领域更多的挑战。自然科学特别是工程领域需要更多的数学理论支持，对从事工程领域研究的工程科技人员来说，数学既是重要工具又是基本素养，而数学知识和素养的获得主要来源于大学学习阶段。因此，大学数学教学特别是基础数学课程教学对学生的后继课程学习和毕业后工作和研究有着重要的影响。

线性代数是高等学校理工科和经济学科等相关专业的一门重要基础课，广泛应用于数学的许多分支以及众多科学技术之中。线性代数课程教学面临的问题主要有：部分教材内容有待更新，现有教材不能反映科学技术的发展和工程技术的要求；部分教师自身知识面相对较窄，缺乏对实际应用问题的把握，课堂教学偏重理论而轻视应用背景；课程内容抽象，定理、概念繁多，学生难以对课程形成整体认识；课堂教学手段较单一，与现代化的手段结合得不好。在目前课时紧张、高等教育大众化、高校学生价值取向多元化的前提下，逐步解决上述问题，并进行数学教学改革，有效培养学生数学素质，激发学习兴趣，提高学生对数学理论的应用能力是一个值得深入探讨的课题。

近年来，很多专家学者特别是教学一线教师对线性代数教学改革进行了较为深入而充分的研究，主要分为两类：其一是对传统教学模式进行改进，这些研究占了绝大多数，总体上还是传统教学模式的大框架；也有一些是以现代数学教学方法为基础，提出了研究性教学方法的观点。相对而言，研究性教学对培养大学生的研究能力和创新能力更为有效，适应时代发展和教育改革的需要，必然越來越受到重视，其中几种典型的研究性教学方法，如案例教学、基于问题解决、基于问题学习的教学方法在教学实践中得以发展。本文在探讨问题解决教学观的基础上，提出了以问题解决为核心的线性代数教学模式，并对相应问题解决课堂教学模式进行理论研究。

二、“问题解决”数学教学观

问题解决的教学观点首先在第六届国际数学教育会议（ICME-6，1980）“问题解决、应用和模型化”专题组的课题报告中提出，是一种旨在培养学生利用数学知识和数学方法创造性地解决实际或理论问题的能力的教学方法。教学中将学习内容设计成让学习者通过解决问题来获得相应的问题图式（problem schema）和观念性理解（conceptual understanding）。问题是这种教学方法的动机与牵引力。它不同于课堂上的问题解答，也不是以设问来组织课堂教学，或那种教师带领学生分析、寻找解决问题的办法。它首先需要在“课题”开题和方案论证中，刺激学生提出高质量的常规性问题和非常规性的问题。问题解决活动有可能使学习者激活自己的原有经验，通过积极地分析生成新的理解、新的假设。这一教学过程的结果既可能是对原有知识经验的丰富、充实，又可能是对原有知识经验的调整、重构。其目的是培养学生的数学意识，让他们学会用数学的理论、思想方法分析解决实际问题。

当前关于问题解决教学在大学数学教学中的理论研究和实践已经有一些成果，而专门对线性代数教学研究则几乎没有。笔者认为，线性代数内容相对较少，教学体系比较紧凑，与其他学科和生活实际联系广泛，有利于进行问题解决教学理论和实践研究。

三、线性代数“问题解决”教学

线性代数的线性方程组问题大都是来源于生活实践，另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。线性代数在工程领域以及经济学领域都有很多应用，包括经典线性系统理论，投入-产出分析模型，交通运输问题，指派问题等。这些理论与实际问题经过适当的处理，能够参与课堂教学过程中。

“问题解决”教学的另外一个关键是：问题解决的过程必须实现教学内容要求、师生素质、教学条件实现的有机结合。问题解决立足于教学大纲，对教师、学生都提出了更高的要求，同时需要学校的教学设备例如机房等硬件设施具备，是系统的。所以，实际中如何操作是更为关键的问题。本文以行列式内容教学进行了初步尝试，以期达到抛砖引玉的目的。

在行列式教学教师提出下列问题：运筹学中的线性规划问题；由二阶行列式类比定义三阶行列式；计算方法中的插值问题，克莱姆法则的证明。两个变量的线性规划解决方法可以通过图解法，这个来源于实际问题的讨论展开可以引出一般的方程组解的问题，及含有两个变量的方程组有解的充要条件，这里紧密衔接高中内容和实际生活，有利于教学的展开。二阶到三阶行列式的类比定义，可以通过计算过程实现，那么对一般行列式的定义就不难引出。最后是行列式的计算，通过定义的方式是不现实的，那么学生必然去探索新的方法。我们引入计算方法中的插值问题，自然会让学生有更大的兴趣去探求；课堂上实现克莱姆法则的证明，则更进一步对行列式的计算方法更多的关注，从而实现教学的最大目标：创新、应用能力的培养。

四、后继工作

同其他研究性教学方法一样，“问题解决”教学方法理论和实践存在很多难点，主要包括问题难于设计，知识系统学习难以保证，教学过程难于掌握等。而科学合理和有效地以问题解决为核心的教学模式构建也需要继续探索，教学实践也有待展开，需要我们做更多的研究和工作。

本文对“问题解决”教学方法进行了探讨，提出了线性代数问题解决教学观点，并从理论上分析了线性代数问题解决课堂教学模式。

参考文献：

[1]张素亮，刘明成.数学教育中的问题解决[J].曲阜师范大学学报，2002，（1）.

[2]李超，邓四清.让问题解决教学进入大学数学课堂.湘南学院学报，2006，（4）.

[3]王子兴.数学方法论[M].武汉：中南大学出版社，2002：19-28.

[4]高希尧.世界数学史略[M].西安：陕西科技出版社，1992：205-233.

9.线性代数题 篇九

问：1）能否求出A的特征值？说明原因。

2）A能否和一个对角阵相似，若能侧求出；否则，说明原因。

2.证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。

解：

（1）∵A^3=0 ∴|A|^3=0 ∴|A|=0，即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征 设λ为矩阵A的任一特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx

上式两边同左乘矩阵A，得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x

∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值。同理，λ^3是矩阵A^3的特征值。

即(A^3)x=(λ^3)x

又∵A^3=O,∴(A^3)x=(λ^3)x=0∵x≠0 ∴λ^3=0 即λ=0

即三阶方阵A的3个特征值全为0.（2）这题我觉得不能。

∵矩阵A能和对角阵相似的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。对于题中的三阶方阵A，由（1）的讨论可知其三个特征值全为0.下面用反证法证明。

假设三阶方阵A能与对角阵相似。

则A存在3个线性无关的特征向量。

则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有三个向量，即Ax=0的解集的秩为3 设Ax=0的解集为S，则R(A)+R(S)=n=3

∵R(S)=3,∴R(A)=0

即矩阵A的秩为0.当且仅当A=O

又∵根据题设条件，A^2≠O,显然A≠O，与上面推出的A=O矛盾

∴假设不成立，即A不能和一个对角阵相似

2、证明：

设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1，α2，...，αr，设其基础解系的秩为r 设向量组β1，β2，...，βn是与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组 ∵向量组β1，β2，...，βn线性无关∴向量组的秩R(β1，β2，...，βn)=n 又∵向量组α1，α2，...，αr与向量组β1，β2，...，βn等价

∴R(α1，α2，...，αr)=R(β1，β2，...，βn)=n即n=r

向量组β1，β2，...，βn中有r个向量β1，β2，...，βr

且向量组β1，β2，...，βr可由向量组α1，α2，...，αr线性表示

即对于其中任何一个向量βi=ki1*α1+ki2*α2+...+kir*αr

∴向量组β1，β2，...，βr中的每一个向量都是齐次线性方程组Ax=0的一个解向量 又∵齐次线性方程组Ax=0的解集中的最大无关组的秩为r

∴向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的解集中的一个最大无关组

10.线性代数复习总结 篇十

概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下：

行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式A-1= 1 A*，或A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。

关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。

向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

在Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。

行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n（满秩阵）〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等阵〈===〉r（AB）=r（B）<===>A初等行变换 I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。

11.基于线性代数中反例的研究 篇十一

【关键词】 代数;反例;矩阵

中图分类号: G633.66

在《高等代数》和《线性代数》中,向量组的线性相关性是一个非常抽象的内容,如果对定理把握不准,容易混淆概念。通常情况下,很多问题可以采用直接进证明的方法来解决,但是,对于向量组的线性相关性来说,因为其叙述较多,整个证明过程就会显得非常冗长、复杂。相比之下,举反例,就以其简单、直接和明了显示出其优越性。人们往往忽略了反例的理论价值和功能效应,这是线性代数或高等代数教学及理论研究的一个缺陷.本文在这方面的研究,将作为读者的引玉之砖。

若向量组(1)线性无关,且(1)可由(2)线性表示,则s≤t。

对于命题1,反之不成立.即s≤t时,向量组(1)不一定线性无关,且向量组(1)也不一定可由向量组。

(2)线性表示,即便是s≤t,且向量组(1)线性无关,则(1)也不一定可由(2)线性表示。

例如:设 =(1,1)为向量组(1);(1,0), (2,0)为向量组(2),这时有1<2,且(1)线性无关,但显然(1)不可由(2)线性表示。

命题2 设A,B∈Mn(F),且A～B,则有s≤t。

在命题2中,若mA(x)=mB(x),则未必有A～B.例如,设

[XC6批4.tif;%80%80]

则mA(x)=(x-3)(x-1)=mB(x),但A与B不相似,这是因为fA(x)=(x-3)(x-1)2,而fB(x)=(x-1)(x-3)2,则fA(x)≠fB(x)。

为了加深读者对命题2的理解,本文先给出一个另外的证明,这不同于文献[1](P321)的说明。

因为A～B,则有可逆的n阶方阵T,使得

B=T-1AT

令mA(x)=xs+as-1xs-1+…+a1x+a0,则

[XC6批5.tif;%80%80]

[XC6批6.tif;%80%80]

[XC6批7.tif;%80%80]

[XC6批8.tif;%80%80]

所以,mB(x)|mA(x)。

同理可证,mA(x)|mB(x),又mB(x)与mA(x)的首项系数均为1,所以mA(x)=mB(x)。

命题3n元实二次型

f(x1,x2,…,xn)=XTAX

半正定当且仅当A的一切主子式都大于或等于零。

由于实二次型的正定与半正定,主子式与顺序主子式,有着诸多平行的结论。但是下述结论不成立:

n元实二次型

f(x1,x2,…,xn)=XTAX

半正定当且仅当A的顺序主子式都≥0。

例如

[XC6批9.tif;%80%80]

其顺序主子式都等于0,但f不是半正定的。

命题3’n元实二次型

f(x1,x2,…,xn)=XTAX

正定当且仅当A的顺序主式都大于零。

命题4 令数域F上的n阶方阵A有n个互不相同的特征根,则A可以对角化。

但是下述结论不成立:

若数域F上的n阶方阵A可以对角化,则A有n个互不相同的特征根。

我们的主要目的是,将命题4加以修正,引出更有价值的命题。即

命题4’令数域F上的n阶方阵A 有n个互不相同的特征根,又对于n阶方阵B,使得AB=BA,则B可以对角化。

证 因A可以对角化,则有可逆矩阵P使得

[XC6批10.tif;%80%80]

而AB=BA,则P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP。

設P-1BP=C,则

[XC6批11.tif;%80%80]

由于λi=λj(i≠j),则C为对角形矩阵,亦即B可以对角化。

命题5令A为n阶数字方阵,则A的初等因子为她的特征多项式 fA(λ)=|λI-A|的一次方幂因子。

但是A的特征多项式fA(λ)=|λI-A|的一次方幂因子不一定是A的初等因子,例如

[XC6批12.tif]

故A的初等因子为λ-1,λ-1,λ+1。于是

fA(λ)=|λI-A|=(λ-1)2(λ+1)

12.线性代数教学点滴 篇十二

线性代数是理工科本科生的必修课程, 是研究生入学考试必考的数学科目之一.这门课成绩的好坏, 直接影响到学生将来考研的成绩.从应用来看, 工程计算上遇有太多变量时, 时常将问题线性化, 然后用线性代数方法处理问题, 足见这门课的重要性.如何教好这门课, 是值得我们每一位上课老师深思的问题.这门课有些概念, 对于初学者来说, 的确太抽象了, 作为老师, 该怎么教, 才能让学生产生学习兴趣, 才能自觉去钻研这门课?我想用这篇文章抛砖引玉, 希望引起同行们的广泛讨论, 共同提高教学水平.

1.为什么要学习线性代数

这个问题有必要向学生作些简要介绍.否则, 由于这门课比较抽象, 学生可能没兴趣学这门课.作为这门课程的老师, 应该对此有些了解.

线性代数的计算方法是处理现代工程计算的重要方法, 比如线性性质、向量、线性空间、矩阵等等, 在工程计算中, 经常用到.有时工程上研究的问题相当复杂, 用到成百上千的变量, 这样复杂的问题, 用矩阵来处理, 是比较好的方法.线性代数已成为现代工程技术人员必修的课程之一.

线性拟合和非线性拟合是数据处理常用的方法, 以往由于计算手段的限制, 非线性拟合几乎无法实现.因此, 传统的数据处理方法中非线性问题线性化计算是一种基本手段.目前, 尽管计算机数据处理已经很普遍, 但由于习惯于传统的方法, 或是由于非线性拟合过程常遇到不收敛等问题, 非线性问题线性化计算这一传统的数据处理方法仍在广泛使用.作为线性代数的主要软件工具有MATLAB, 它是矩阵计算的主要工具.

从数学上来讲, 很多非线性化问题可以通过一些数学变换化成线性问题.比如一些非线性回归问题就可以通过变量的倒代换对数变换等化成线性回归问题.我们也可以利用泰勒公式, 将一个复杂函数化成近似的多项式, 再将多项式转化为线性方程 (这只要将各个幂函数当作一个新变量就可以) .

2.抓住核心内容和核心方法

工科线性代数, 课时比较少, 我们学校只有32学时.在这么短时间内, 要教好或学好这门课程, 老师要下些工夫, 学生也要有足够的学习兴趣和精力的投入.若老师抓不住核心内容和核心方法, 就很难教好这门课.线性代数课, 一般包括行列式、向量、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间.由于课时少, 我们实在是没时间讲解线性空间的内容, 只能讲解向量空间一些基本概念, 并在线性方程组中讲解向量空间时加以应用.

线性代数课程的核心内容是线性方程组, 核心方法是矩阵的初等变换方法.行列式、克莱姆法则、向量、矩阵都围绕着线性方程组展开.克莱姆法则, 解决了当系数矩阵是方阵时, 何时有唯一解, 并用行列式给出了解的表达式, 在线性方程组理论中有重要价值.向量模型为线性方程组解决了解空间模型的问题, 认为线性方程组的解是向量空间中的向量, 可以定义解向量之间的线性运算.矩阵运算为线性方程组的求解提供了行初等变换方法, 利用这个方法, 可以判别非齐次线性方程组是否有解, 用行初等变换求解.向量线性关系为线性方程组通解提供了理论基础, 非齐次线性方程组的任一解都可由其本身的一个特解及对应齐次线性方程组基础解系的线性运算来表示.矩阵特征值、特征向量、二次型内容, 是线性方程组理论及方法的一个应用, 这个应用也为空间解析几何中讨论二次曲线、二次曲面标准形问题提供了很好的方法.矩阵的初等变换方法, 可以用于求行列式, 求向量组的秩, 并判别向量组是否线性相关, 求向量组的最大线性无关组, 用最大线性无关组线性表示其余向量, 求逆矩阵, 用行初等变换求解线性方程组的通解, 求矩阵的特征向量.

3.用实际问题引入线性代数的基本概念, 用反例说明一些运算的“奇怪”性质

在讲解矩阵相乘、向量 (几何学及力学中, 向量是作为有大小并有方向的量, 而在线性代数中, 向量是作为有序数组) 、向量线性运算、向量线性相关、向量线性无关等基本概念时, 要尽可能地用一些实际问题来引入, 不要直接给出定义, 以免让学生觉得太抽象, 还以为这只是数学老师在故弄玄虚.在这方面, 李尚志教授就做得很好, 值得我们学习.

我们可以用坐标变换公式来引入一般的线性变换, 由线性变换的复合 (简单点, 就讲3个变量的线性变换的复合) 引入矩阵相乘概念.也可以借用销售与收益的模型 (收益矩阵=销量矩阵×价格矩阵) 来引入矩阵相乘的概念.在高等数学中, 两个向量的内积也可看作一个行矩阵与一个列矩阵相乘.

由于我们的工资表、成绩表、线性方程组的解, 都只关心各个项的取值, 而且取值的顺序不同, 所代表的意义就不相同, 因此, 我们有必要研究有序数组, 把这种有序数组称为向量.线性代数中讲的向量就是有序数组, 这一点一定要强调.因为, 我们发现不少同学做线性代数作业时, 向量还是标出箭头, 没办法忘记几何、力学中所讲的向量, 把握不住线性代数中所讲的向量与几何、力学中所讲的向量的共性.由具体过渡到抽象, 必须忘记一个一个具体的事物, 而只把握住这些事物的共性.这就是所谓“聪明难, 糊涂难, 由聪明变糊涂更难”! (郑板桥语)

为什么平面直角坐标系, 要而且只要两条坐标轴?为什么空间直角坐标系, 要而且只要三条坐标轴?我相信, 很多没学过线性代数的同学都没法回答这个问题.为什么有些线性方程组中, 方程个数会比未知数个数更多?根据学生在中学的经验, 线性方程组中方程个数应该与未知数个数一样多, 才能确定未知数的取值.那么, 这是否意味着方程个数太多了, 也就是说有些方程是多余的?有些方程只是另外一些方程通过同解变换就可得到的?由这些问题展开讨论, 我们就可引入向量组的线性运算、线性相关、线性无关的概念了.像这样由一些具体问题引入抽象的概念, 原本抽象的概念就变得很自然了.

施密特正交化方法, 在三维向量空间中, 实际上可以理解为向量的正交分解.给定线性无关向量组α1, α2, α3, 记ξ1=α1, 用α2减去α2在ξ1方向的分向量得到ξ2, 用α3减去α3在ξ1, ξ2方向的分向量得到ξ3, 则ξ1, ξ2, ξ3是与α1, α2, α3等价的正交向量组.向量α在ξ方向的分向量是ξ方向单位向量的倍向量, 其系数就是向量α与ξ方向单位向量的内积 (即α在ξ方向的投影) , 这一点可用空间解析几何中向量的投影作为基础知识.有了三维空间中向量组的正交化方法, 就很容易推广到一般的n维向量空间, 得到n维向量空间中的施密特正交化方法.

为什么要讲相似矩阵?很多学过线性代数的同学都不知道为什么要学相似矩阵.其实, 这可以从矩阵计算的需要来讲.我们知道, 与对角矩阵相似的矩阵, 其矩阵多项式 (甚至矩阵幂级数) 的计算, 都非常简单.那么, 一个矩阵相似于一个对角矩阵的条件是什么呢?将矩阵相似的表达式用分块矩阵相乘形式展开, 就发现我们必须从矩阵特征值、特征向量学起.只要抓住了关键问题, 由关键问题顺藤摸瓜, 就会引出一大堆的小问题, 由各个小问题引入相应的概念, 学生就不再觉得抽象.只要学生不觉得抽象, 这门课就好学了.

在实数、复数运算中, a-a=b-b, ab=ba, (a-b) (a+b) =a2-b2, (a+b) 2=a2+2ab+b2, 若a≠0, ax=ab, 则x=b (消去律成立) .在矩阵运算中, 相似的运算律成立吗?在一元线性方程中, 若a≠0, 则方程ax=b有唯一解x=a-1b=ba-1.在线性方程组中, 若A≠0, 则线性方程组Ax=b也有唯一解, 并可类似地表示为x=A-1b=bA-1吗?若可以, A-1是什么?A-1乘在b的左边和右边都有意义吗?即使有意义 (当A, b是同阶数的方阵时, A-1b, bA-1都有意义) , 它们会相等吗?像这些问题, 我们都可以构造反例来说明, 使学生学起来对概念的理解会更清晰.文献[7]中, 孙兵提供了一些反例, 作为老师, 我们平时就要多积累一些反例, 当学生觉得以上运算的“怪现象”难以理解时, 我们就可以拿出反例说明问题.

4.通过线性代数的学习, 培养学生的团队合作精神

我们所处的社会是个竞争的社会.竞争, 就要有实力!个人的力量总是微不足道的, 然而, 团结起来力量大!我们的学生, 总是要面对社会的, 为了学生将来能很快适应社会, 我们有必要在教学过程中, 培养学生的竞争意识, 培养学生的团队合作精神.我们可以将学生分成若干个小组, 给每个小组出一个比较难点的题目, 让学生课后讨论.只要做对了, 或对问题有比较好的想法, 我们就给这一组的同学平时成绩加上适当的分数作为鼓励.这个比较难的题目, 学生实在做不出的话, 老师可以适当提示一下, 目的在于鼓励学生继续做下去.在分组时, 注意成绩好的与成绩稍差的, 要相互搭配 (谁成绩好, 谁成绩稍差, 老师在平时改作业时, 要注意做些记录) , 男女同学也要相互搭配, 这样他们讨论起来才有兴趣, 才更卖劲!做得比较好的, 要在班上表扬, 让学生感觉自己的劳动得到了老师和同学的认可.优秀学生是表扬与激励出来的!这种表扬, 也可增强同学们的集体荣誉感, 对培养学生的团队合作精神很有帮助.

5.对优秀学生要特别培养, 努力提高研究生升学率

我们培养的学生, 在毕业时, 总有一部分学生要再深造的.为了提高研究生升学率, 我们有必要在课件中穿插一些研究生升学考试题, 扩大同学们的知识面.在讲解研究生考题时, 要尽可能精讲, 讲清楚题目中所包含的知识面、解题方法的多样性.在选题时, 尽可能选综合程度比较高的题, 这样就可以通过精选出来的题将教材上的知识点穿插起来, 让同学有“一日游遍三川五岳”的感觉.学习优秀的学生从中受益匪浅, 学习一般的同学也增长了见识.

摘要：本文总结了作者上线性代数课的一些经验, 老师应该向学生讲清楚为什么必须学线性代数, 要抓住核心内容和核心方法, 要积累一些反例, 要培养学生的团队合作精神, 对优秀学生要进行特别培养, 努力提高研究生升学率.

关键词：线性代数,核心内容,核心方法,反例,团队合作

参考文献

[1]王郁文, 梁逸曾, 等.非线性问题线性化计算的改进[J].计算机与应用化学, 2005, 22 (4) :295-300.

[2]汪荣鑫.数理统计[M].西安:西安交通大学出版社, 2011.

[3]刘二根.线性代数[M].南昌:江西高校出版社, 2010.

[4]杨文茂, 李全英.空间解析几何[M].武汉:武汉大学出版社, 1999.

[5]李尚志.线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2006年5月.

[6]李尚志.让抽象变得显然[J].中国大学教学, 2006 (7) :11-13.

13.线性代数试题3 篇十三

（三）一、选择题

1.设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（）.（A）（B）（C）（D）的关系依而定 2.若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（）.（A）（B）（C）（D）

3.值不为零的阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（）.（A）保持不变（B）保持不为零

（C）保持有相同的正负号（D）可以变为任何值 4.设和都是阶方阵，下列各项中，只有（）正确.（A）若和都是对称阵，则也是对称阵（B）若，且，则

（C）若是奇异阵，则和都是奇异阵（D）若是可逆阵，则和都是可逆阵

5.向量组线性相关的充要条件是（）.（A）中有一个零向量

（B）中任意向量的分量成比例

（C）中有一个向量是其余向量的线性组合（D）中任意一个向量是其余向量的线性组合

6.设方阵的秩分别为，则分块矩阵的秩与的关系是（）.（A）（B）（C）（D）不能确定

二、填空题

1.设三阶方阵的特征值为1，2，3，则.2.设为正定二次型，则的取值范围为.3.设，则.4.阶行列式.5.设阶方阵的元素全为1，则的个特征值为.6.设是非齐次线性方程组的个解，若也是它的解，则.三、计算题

1.解矩阵方程，其中，.2.求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：

3.已知矩阵，求.4.向量组讨论取何值时，（1）能由线性表示，且表示式唯一，（2）能由线性表示，且表示式不唯一，（3）不能由线性表示.四、证明题

1.设是阶方阵的两个特征值，是对应的特征向量，证明不是的特征向量.2.设是阶方阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且，证明向量组是线性无关的.线性代数综合练习题

（三）参考答案

一、选择题

1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A

二、填空题

1.6 ； 2.； 3.； 4.； 5.（个），； 6.1.三、计算题 1.解：由，得，为此对矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵，所以.2.解：对施行初等行变换变成行最简形，所以，的前三列是的列向量组的最大无关组，且，.3.解：先求的特征值，=，当时，由得，的对应于2的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是，取.令，则，所以

.4.解：

（1）当时，可由线性表示，且表示式不唯一；（2）当，且，即时，不能由线性表示；（3）当且时，能由线性表示，但表示式唯一.四、证明题

1.证：假设是的对应于的特征向量，则

因为, 所以，由于是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，矛盾！

2.证：因为是线性方程组的解向量，所以.从而（），又由知（）.设，（1）

14.线性代数习题及解答 篇十四

说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，||||表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

a11a12a133a113a123a131．设行列式a21a22a23=2，则a31a32a33=（）

a31a32a33a21a31a22a32a23a33A．-6 B．-3 C．3

D．6 2．设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（）A．E+A-1 B．E-A C．E+A

D．E-A-

13．设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）

A．AA-1B可逆，且其逆为B-1 B．AB不可逆 C．AB-1D．B可逆，且其逆为A-1 AA-1B可逆，且其逆为B-1 4．设1，2，…，k是n维列向量，则1，2，…，k线性无关的充分必要条件是A．向量组1，2，…，k中任意两个向量线性无关

B．存在一组不全为0的数l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0 C．向量组1，2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D．向量组1，2，…，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5．已知向量2(1,2,2,1)T,32(1,4,3,0)T,则=（）A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T

D．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的维数是（）A．1

B．2）

（C．3 D．4 7．设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是

（）

A．+是Ax=0的解 C．-是Ax=b的解 8．设三阶方阵A的特征值分别为A．2,4,C．

B．+是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解

11，3，则A-1的特征值为（）24B．1 3111， 24311，3 241D．2,4,3 9．设矩阵A=21，则与矩阵A相似的矩阵是（）

1A．1123

01B．102

2C．

D．

21

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 C．正定矩阵的行列式一定大于零

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det(A)=-1，det(B)=2，且A，B为同阶方阵，则det((AB))=__________．

3B．正定矩阵的行列式一定小于零 D．正定矩阵的差一定是正定矩阵

112．设3阶矩阵A=42t23，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=__________． 1-131k13．设方阵A满足A=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A=__________． 14．实向量空间R的维数是__________．

15．设A是m×n矩阵，r(A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________． n17．设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A(32)=__________． 18．设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=__________．

19．设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||Px||=__________．

20．二次型f(x1,x2,x3)x15x26x34x1x22x1x32x2x3的正惯性指数是__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

222121．计算行列式142126142． 114121222．设矩阵A=35，且矩阵B满足ABA=4A+BA，求矩阵B．

-1-1-123．设向量组1(3,1,2,0),2(0,7,1,3),3(1,2,0,1),4(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．

124．设三阶矩阵A=24533，求矩阵A的特征值和特征向量． 4225．求下列齐次线性方程组的通解．

x1x35x40 2x1x23x40xxx2x023412242026．求矩阵A=3010360110110的秩．

1

2四、证明题（本大题共1小题，6分）

a1127．设三阶矩阵A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0，证明： a33a31a13a11a121a21,2a22,3a23线性无关．

aaa313233

线性代数习题二

说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或T

*

A表示方阵A未选均无分。

1.设3阶方阵A的行列式为2，则

12A()A.-1 B.14 C.14 D.1 x2x1x22.设f(x)2x22x12x2,则方程f(x)0的根的个数为（）

3x23x23x5A.0 B.1 C.2

D.3 3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若AB,则必有（A.A0 B.AB0

C.A0

D.AB0

4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（）A.(AB)2A22ABB2

B.(AB)(AB)A2B2

C.(AE)(AE)(AE)(AE)D.(AB)2A2B2

a1ba1b2a1b35.设A1a2b1aa0,b2b22b3,其中aii0,i1,2,3,则矩阵A的秩为（a3b1a3b2a3b3A.0 B.1 C.2

D.3 6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（）A.0

B.2））C.3 D.4 7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（）A.-10 C.3

B.-4 D.10 x1x2x348.已知线性方程组x1ax2x33无解，则数a=()2x2ax421A.C.1 2B.0 D.1 1 29.设3阶方阵A的特征多项式为A.-18 C.6

EA(2)(3)2,则A()

B.-6 D.18 10.若3阶实对称矩阵A(aij)是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（）A.-1，-2，-3 C.-1，2，3

B.-1，-2，3 D.1，2，3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

3011.设行列式D42,其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2253212.设Aaabb,B,则AB__________.aabb1032013.设A是4×3矩阵且r(A)2,B0,则r(AB)__________.10314.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.x1x2x3016.设方程组x1x2x30有非零解，且数0,则__________.xxx031217.设4元线性方程组Axb的三个解α1，α2，α3，已知1(1,2,3,4)T,23(3,5,7,9)T,r(A)3.则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且A25A0,则A的全部特征值为__________.2111a019.设矩阵A0有一个特征值2,对应的特征向量为x2,则数a=__________.413220.设实二次型f(x1,x2,x3)xTAx,已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵A(,22,33),B求

(,2,3),其中,,2,3均为3维列向量，且A18,B2.AB.111011122X101122.解矩阵方程0.110432123.设向量组α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，p+2）问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.T

T

T

T2x1x2x3124.设3元线性方程组x1x2x32, 4x5x5x1231（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵A的特征值为1（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明

22f(x1,x2,x3)x122x22x34x1x212x2x3为标准形，并写出所作的可逆线

11及2,方阵BA2.3A0.习题一答案

习题二答案

线性代数习题三

说明:在本卷中,A表示矩阵A的转置矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A|=()A.-8 B.-2 C.2 D.8

TT

*12.设矩阵A=1,B=(1,1),则AB=()111A.0 B.(1,-1)C. D.111 3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是()A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

12*-14.设矩阵A的伴随矩阵A=34,则A=()

A.143112112142  B.C.D.3431 342122225.下列矩阵中不是初等矩阵的是()．．101001100A.010 B.010 C.030 0001000016.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有()

100 D.010

201A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则()A.α1, α2,β线性无关 B.β不能由α1, α2线性表示

C.β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一 8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为()A.0 B.1 C.2

D.3 2x1x2x309.设齐次线性方程组x1x2x30有非零解,则为()xxx0231A.-1 B.0 C.1 D.2 10.设二次型f(x)=xAx正定,则下列结论中正确的是()A.对任意n维列向量x,xAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式

TT0112的值为_________.1212.已知A=23,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.1113

313.设矩阵A=,P=,则AP=_________.012414.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|AB|=_________.15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且

-113251,13,则该线性方程组的通解是_________.37491117.已知P是3阶正交矩,向量3,0,则内积(P,P)_________.2218.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.1219.与矩阵A=03相似的对角矩阵为_________.12T

20.设矩阵A=,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________.2k

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)012021.求行列式D=101221010210的值.01012022.设矩阵A=100,B210,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.001000112223.若向量组11,21,36,40的秩为2,求k的值.13k2k232224.设矩阵A110,b1.1210(1)求A;(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.2-

1x12y12y2y326.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换x22y12y2y3所得的标准形.x2y3