等差数列知识点

等差数列知识点（共18篇）

1.等差数列知识点 篇一

高三数学《等差数列及其前n项和》知

识点总结

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一、等差数列的有关概念

．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d．

2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝/2，其中A叫做a，b的等差中项．

二、等差数列的有关公式

．通项公式：an＝a1＋d.2．前n项和公式：Sn＝na1＋n/2d+d＝n/2.三、等差数列的性质

．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq.2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值．

5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．

四、解题方法

.与前n项和有关的三类问题

知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．

Sn＝d/2*n2＋n＝An2＋Bn⇒d＝2A.利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．

2．设元与解题的技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；

若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

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2.等差数列知识点 篇二

一、方程思想

方程是已知量与未知量构成的条件等式, 是通过分析已知量与未知量之间的内在联系, 寻求它们之间的相等关系, 方程是已知量与未知量构成的矛盾统一体, 是从已知探求未知的桥梁。

例1在等比数列{αn}中, , , 求αn。

分析:本题可以结合等比数列的求和公式来列方程组进行求解。

点评:等比 (或等差) 数列{αn}的通项公式、前n项和公式集中了等比 (或等差) 数列的五个基本元素α1、q (或d) 、n、αn、Sn。“知三求二”是等比 (或等差) 数列中最基本的题型。因此, 我们常依据等比 (或等差) 数列的这一内在关系列出方程 (组) , 通过解方程 (组) 的方法解决问题。

二、函数思想

数列中数的有序性是数列定义的灵魂, 要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同, 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性, 又要注意数列方法的特殊性。

例2已知则数列{αn}的前30项中的最大项和最小项分别是________________

分析:数列可以看作是定义在正整数集 (或其有限子集) 上的函数, 本题可以运用分离变量法整理an, 将问题转化为关于自变量n的函数, 利用函数的单调性使问题迎刃而解。

∵数列中的项是函数上的一个个孤立点的纵坐x-姨99标, 而f (x) 的图象如图所示, 因此上是减函数, 在 (-∞, ) 上也是减函数, 从而可知当n=9时αn最小, n=10时αn最大。

∴最大项和最小项分别为α10, α9。

点评:在解决数列问题时, 可以把数列看作特殊的函数, 然后把函数的性质融于函数图象中, 将“数”与“形”结合起来分析、研究, 使复杂抽象的数量关系通过几何图形直观地表现出来, 就能避免繁杂的运算过程。本题以函数思想为指导, 以数列知识为工具, 考查了数列的最大项、最小项问题。

三、分类讨论思想

分类讨论思想就是在研究与解决数学问题时, 如果问题不能以同一种方法处理或同一种形式表述、概括, 可根据数学对象的本质属性的相同和不同点, 按照一定的原则或某一确定的标准, 将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分逐类进行讨论, 从而得出问题的答案。在数列中需要进行的分类讨论主要有以下三个方面: (1) 涉及等比数列的前n项和公式时注意对公比的讨论; (2) 求前n项和公式时, 要注意对n的奇、偶数的讨论; (2) 对数列中涉及绝对值时或其它参数时, 要注意讨论等。

例3 (2006年安徽卷) 在等差数列{αn}中, α1=1, 前n项和Sn满足条件, n=1, 2, …。 (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 记bn=αnpαn (p>0) , 求数列{bn}的前n项和Tn。

解: (Ⅰ) 设等差数列{αn}的公差为d, 由得:, 所以α2=2, 即d=α2-α1=1,

点评:本题第 (Ⅱ) 问在解答中由于等比数列的公比是字母p, 因此求和时必须对p分等于1和不等于1进行讨论。

例4求数列1, 3α, 5α2, …, (2n-1) αn-1, … (α≠0) 的前n项之和。

分析:这里需要注意α是否等于1, 要分两种情况来讨论。

解:数列1, 3α, 5α2, …, (2n-1) αn-1, …的通项为αn= (2n-1) αn-1, 其中数列{2n-1}是等差数列, 数列{αn-1}是等比数列。

点评:分类是按一定的标准把所要研究的对象分成若干种情况, 把一个复杂的问题分解成若干个相对简单的问题, 最终使整个问题得以解决。如等比数列的前n项和公式就是对公比q按q=1和q≠1分类讨论获得的。

四、整体代换的思想

整体代换是一种常用的数学方法, 利用整体代换法可以简化运算, 避开不必要的未知量求解。

例5已知数列{αn}、{bn}都是公差为1的等差数列, 其首项分别为α1, b1, 且α1+b1=5, α1, b1∈N*。设cn=αbn (n∈N*) , 则数列{cn}的前1 0项和等于 ( )

∴数列{cn}的前1 0项和S10= (1+3) + (2+3) +…+ (1 0+3) =85。

故答案选 (C) 。

点评:在本例中, 利用已知的α1+b1=5, 就可以避免求α1和b1, 大大简化了运算。同时也开阔了学生的视野, 考查了考生灵活运用所学知识解决问题的能力。

五、递推思想

递推思想是解决数列问题的一种典型的数学思想, 对于具有递推关系的数列问题, 常常需要通过转化为常见的等差、等比数列, 再利用等差、等比数列的相关公式或性质进行解答。

例6 (2007年全国Ⅰ理科) 已知数列{αn}中, α1=2, , n=1, 2, 3, …。

(Ⅰ) 求{αn}的通项公式;

(Ⅱ) 用数学归纳法证明, 略。

3.第18讲 等差数列、等比数列 篇三

等差数列和等比数列与高中数学的有些章节具有相应的应用与交汇.各地以往的高考中一般在选择题、填空题中考查等差（比）数列的定义、基本量的运算和特有性质，而在解答题中考查等差（比）的判断与证明、求通项公式、与函数及不等式的综合考查等.

统计表明，各地高考试卷大多设置一大一小两题，涉及该讲知识的大约10分.其中的小题，并多在选择题居中的位置，或填空题靠后的位置，一般为基本运算或类比推理等.而大题位置靠前，并设置在本道题的第一小问，一般以考查等差（比）基础知识和基本运算为主，更多地是为第二问及以后的运算解答提供支持与铺垫.

各地文、理科试卷在选择部分与大题中出现时的差别不大，往往文理科试卷题完全一样，而若以填空题出现时文理通常以姊妹题的方式出现.

命题特点

等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的.解等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于[a1]和[d]（或[q]）的方程（组）；②巧妙运用等差、等比数列的性质.

1. 等差、等比数列的基本运算

例1 等比数列[x，3x+3，6x+6，…]的第四项等于 （ ）

A.-24 B.0

C.12 D.24

解析 因为[x，3x+3，6x+6，…]成等比，则[（3x+3）2=x（6x+6）]，解得：[x=-3].由等比数列性质[a1?a4=a2?a3]得：[-3×a4=-6×（-12）]，解得第四项等于-24.

点拨 解决特殊数列——等差或等比数列的基本运算问题的关键是利用好公式.以本题为例，首先利用等比中项知识建立了关于未知数[x]的方程，再利用等比的性质：当正整数[p，q，r，s]满足[p+q=r+s]时，[ap?aq=ar?as]，从而获解.

例2 已知[△ABC]的一个内角为[120°]，并且三边长构成公差为4的等差数列，则[△ABC]的面积为________.

解析 设三边长分别为[a-4，a，a+4（a>4）]，显然边[a+4]所对的内角为[120°]，由余弦定理得：[（a+4）2=a2+（a-4）2-2a（a-4）cos120°?a=10]，即三边长为[6，10，14]，因此[SΔABC=12×10×6sin120°=153].

点拨 本题对三角形三边赋值时采用了常用的技巧——对称设法，此时三个数成等差时设为：[a-d，a，a+d；]四个数成等差可设为：[a-3d，a-d，a+d，a+3d]等.

例3 对于整数数列[an]，如果[ai+i][（i=1，2，3，…）]为完全平方数，则称数列[an]具有“高大上品质”.不论数列[an]是否具有“高大上品质”，如果存在与[an]不是同一数列的[bn]，且[bn]同时满足下面两个条件：①[b1，b2，b3，...，bn]是[a1，a2，a3，...，an]变换次序后的另一个排列；②数列[bn]具有“高大上品质”，则称数列[an]具有“高大上潜质”.下面三个数列：①数列[an]的前[n]项和[Sn=n3（n2-1）]；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“高大上品质”的为________；具有“高大上潜质”的为___________.

解析 对于①，当[n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=n2-n，]又[a1=0]，[所以an=n2-n（n∈N*）].所以[ai+i=i2（i=1，2，3，…）]是完全平方数，数列[an]具有“高大上品质”.对于②，数列1，2，3，4，5具有“高大上潜质”，数列[bn]为3，2，1，5，4.对于③，数列1，2，3，…，11不具有“高大上潜质”，因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数，所以数列1，2，3，…，11不具有“高大上潜质”.故具有“高大上品质”的为①；具有“高大上潜质”的为②.

点拨 本题是由数列的基础知识引出的一种探索问题，构思起点高，但解决问题的手段很常规.考生在碰到此类问题时要细致品味个中涵义，不能被表面的文章所禁锢.

2. 等差、等比数列的判定

等差、等比数列的判定通常作为解答题的第1问来考查，一般用下面的基本方法来判定：①利用定义：[an+1-an=]常数，或[an+1an=]常数；②利用中项的性质：[2an=an-1+an+1（n≥2）]或[a2n=an-1?an+1（n≥2）].

例4 已知数列[an]满足：[a1=1，a2=3]，且[an+2=3an+1-2an]，令[bn=an+1-an].

（1）证明：数列[bn]是等比数列；

（2）求数列[an]的通项公式.

解析 （1）因为[an+2=3an+1-2an]，

∴[an+2-an+1=2（an+1-an）].

又因为[a1=1，a2=3]，所以[b1=a2-a1=2]，则[bn+1bn=2].

故数列[bn]是首项为[2]，公比为2的等比数列.

（2）由（1）得，[bn=2n]，

所以[an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1]

[=bn-1+bn-2+b1+a1][=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1].

点拨 本题主要考查等比数列的判定及数列求和，同时考查推理论证能力及转化化归能力.

3. 创新与拓展

例5 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，[1，a1，a3]，第[n]个三角形数为[n（n+1）2=12n2+12n]. 记第[n]个[k ]边形数为[N（n，k） （k≥3）]，以下列出了部分[k ]边形数中第[n]个数的表达式：

nlc202309032100

三角形数 [N（n，3）=12n2+12n]，

正方形数 [N（n，4）=n2]，

五边形数 [N（n，5）=32n2-12n]，

六边形数 [N（n，6）=2n2-n]，

…

可以推测[N（n，k）]的表达式，由此计算[N（10，24）=]_________.

解析 三角形数[N（n，3）=12n2+12n]，正方形数[N（n，4）=n2=（12+12︸2×12）n2+（12-12）n，]，五边形数[N（n，5）=32n2-12n=（12+12+12︸3×12）n2+（12-12-12）n]，六边形数[N（n，6）=2n2-n=（12+12+12+12︸4×12）n2+（12-12-12-12︸2×（-12））n]，

…

推测[k]边形

[N（n，k）=（12+12+...+12+12︸（k-2）×12）n2+（12-12-12-12-...-12︸（k-4）×（-12））n][=12（k-2）n2-12（k-4）n].

所以[N（10，24）=12×（24-2）×102-12×（24-4）×10]

[=1100-100=1000].

点拨 对课本上出现的三角形数、四边形数加以引申与拓展，利用类比和推理的方式思考问题，展现出数学学习中不断深化、不断提高、循序渐进的理念.对问题的不断探求有助于加深我们对基础知识的认知.

备考指南

（1）要把握基础知识， 在复习时，首先要把握好等差、等比数列的概念与通项公式的推导方法，熟练掌握它们基本量与其他量间的互化关系.同时要熟练并准确掌握与之相关的等差、等比中项概念与运算公式等.

（2）重点掌握等差、等比数列各自特殊的性质，并达到准确熟练运用的能力.

（3）善于利用类比和归纳推理的方法将非等差（比）数列，通过适当变形、换元等方式，从而转化变成等差（比）数列，达到从一般到特殊的转化目标.

限时训练

1.在等差数列[an]中，[a3+a4+a5=12]，那么[a1+a2+…+a7=] （ ）

A.14 B.21 C.28 D.35

2.在[a，b]之间插入[n]个数构成等差数列，则其公差为 （ ）

A.[b-an] B.[a-bn+1] C.[b-an+1] D.[b-an-1]

3. 在等比数列[an]中，已知[a1=19，a5=9] ，则[a3=] （ ）

A.1 B.3 C.[±1] D.[±3]

4. 数列[an]是公差不为0的等差数列，且[a1，a3，a7]为等比数列[bn]的连续三项，则数列[bn]的公比为 （ ）

A. [2] B. [4] C. [2] D. [12]

5. 如果[-4，a，b，c，-9]成等比数列，那么 （ ）

A. [b=6，ac=36] B. [b=-6，ac=36]

C.[b=±6，ac=-36] D. [b=±6，ac=36]

6. 数列[an]的首项为3，[bn]为等差数列且[bn=an+1-an]，若[b3=-2，b10=12]，则[a8=] （ ）

A. 0 B. 3 C. 8 D. 11

7. 两个正数[a，b（a>b）]的等差中项是[52]，[-6]是它们的等比中项，则双曲线[x2a2-y2b2=1]的离心率[e]= （ ）

A. [52] B. [132] C. [53] D. [133]

8. 已知方程[（x2-2x-m）（x2-2x+n）=0]的四个根组成一个首项为[14]，公差为正的等差数列，则[m-n=] （ ）

A. [-118] B. [±118] C. [±12] D. [12]

9. 已知等比数列[an]，记[bn=am（n-1）+1+am（n-1）+2+...][+am（n-1）+m]，[cn=am（n-1）+1?am（n-1）+2?...?am（n-1）+m（m，n∈N*）]，记公比为[q]，则一定正确的是 （ ）

A. 数列[bn]为等差数列，公差为[qm]

B. 数列[bn]为等比数列，公比为[q2m]

C. 数列[cn]为等比数列，公比为[qm2]

D. 数列[cn]为等比数列，公比为[qmm]

10.已知数列[an]满足[3an+1+an=0，a2=-43，]则[an]的前10项积等于 （ ）

A.[31-3-10] B.[31+3-10]

C.[-410345] D.[410345]

11.若[2，a，b，c，9]成等差数列，则[c-a=]_________.

12.设等比数列[an]的首项为[1]，公比为[-2]，则[a1+|a2|+a3+|a4|=]_________.

13.等差数列[an]中，公差[d≠0]，且[2a3-a72+2a11=0]，数列[bn]是等比数列，且[b7=a7]，则[b6b8]=___________.

14.观察下列等式：

（1+1）=2×1

（2+1）（2+2）=[22×1×3]

（3+1）（3+2）（3+3）=[23×1×3×5]

照此规律， 第[n]个等式可为________.

15.已知等差数列[an]的公差[d=1]，前[n]项和为[Sn].

（1）若[1，a1，a3]成等比数列，求[a1]；

（2）若[S5>a1a9]，求[a1]的取值范围.

16. 已知数列[an]满足：[a1=1，a2=a（a>0）.]数列[bn]满足[bn=anan+1].

（1）若[an]是等差数列，且[b3=12，]求[a]的值及[an]的通项公式；

（2）当[bn]是公比为[3a+4]的等比数列时，[an]能否能构成等比数列？若能，求出[a]的值；若不能，请说明理由.

17. 等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，已知[a1=2，][S6=22].

（1）求[Sn]；

（2）若从[an]中抽取一个公比为[q]的等比数列[akn]，其中[k1=1]，且[k1

18. 给定常数[c>0]，定义函数[f（x）=2|x+c+4|-|x+c|]，数列[a1，a2，a3，…]满足[an+1=f（an），n∈N*].

（1）若[a1=-c-2]，求[a2]及[a3]；

（2）求证：对任意[n∈N*，an+1-an≥c]；

（3）是否存在[a1]，使得[a1，a2，…an，…]成等差数列？若存在，求出所有这样的[a1]，若不存在，请说明理由.

4.高考数列核心知识 篇四

广东高考涉及数列的题目通常是一“小”一“大”。

1.小题属于中、低档题，主要考查等差（比）的概念、公式以及性质，复习重点应放在“基本量法”（也俗称“知三求二”）和性质的应用上。

2.大题属于中、高档题，主要考查考生推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力。近几年的题目条件主要集中在：（1）已知数列的递推关系式；（2）已知Sn与an的关系式；（3）通过函数关系（或解析几何）建立Sn与an的关系或递推关系等几种形式。考查的问题主要集中在：（1）确定数列的通项公式；（2）证明某些和（积）式的不等关系等。

对于问题（1）的处理，复习重点应放在认真分析递推关系式上，识记能用累加、累乘、倒数法求通项公式的结构特点，掌握形如an1panq(p0且p1,q0)的一阶递推以及其演化的递推式an1panqn和二阶递推式an2pan1qan的用待定系数法构造新等比数列求通项，以及先猜想出通项公式、再用数学归纳法证明的方法。

5.等差数列知识点 篇五

参考答案

一、选择题：

21.已知a01,a13,anan1an1(1)n,(nN),则a3等于（A）

(A)33(B)21(C)17(D)102.中,有序实数对(a,b)可以是(D)41114111(A)(21,-5)(B)(16,-1)(C)(-)(D)(,-)222

23.等差数列an中,a1a(a0),a2b,则此数列中恰有一项为0的充要条件是(C)

(A)(a-b)N（B）(a+b)N（C）abN（DN

abab

4.设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（B）

(A)1(B)2(C)4(D)6

5.若等差数列的前n项和为48，前2n项和为60中,则前3n项的和为（C）

（A）84（B）72（C）36(D)-2

46.已知135（2n-1）115(nN),则n的值为（C）2462n116

（A）120(B)121(C)115(D)116

7.等差数列an中，a1a2a324,a18a19a2078,则此数列前20项和等 于（B）

（A）160(B)180(C)200(D)220

8.若等差数列an中，已知a3:a53:4,则S9:S5的值是（D）

279412（A）（B）（C）（D）2043

59.将含有k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和为781，则k的值为（A）

（A）20(B)21(C)22(D)2410.一个等差数列共2n1项,其中奇数项之和为276,偶数项之和为241,则这个数列的第n+1项等于(C)

(A)31(B)30(C)35(D)28

11.数列anb中，a,b为常数，a0,该数列前n项和为Sn,那么n2时有（C）（A）Sn（na+b）(B)Snan2bn

（C）an2bnSn（na+b）(D)（na+b）

12.设yf(x)有反函数yf1(x),又yf(x2)与yf1(x1)互为反函数,则

f1(2004)f1(1)的值为（B）

（A）4008（B）4006（C）2004（D）2006

二、填空题：

13.已知an是等差数列，且a511,a85,则这个数列的通项公式是an=-2n+21.14.在等差数列an中,a11,当a1a3a2a3取得最小值时公差d=-.15.在等差数列an中,a10,S160,S170,则当nSn最大.16.设一等差数列前m项的和Smm2p(pZ),前n项的和Snn2p,则其前p项的和Spp3.三、解答题：

7an2b13

17.已知数列2，2,的通项公式为an,求这个数列的第四项和第五项,4cn4

和是否为这个数列中的一项?

abc2

aR且a0

4ab7

解得b3a解：将n=1,n=2,n=3代入可得 2c4c2a

9ab

3c2

n231914an,a4,a5

2n85

1n2313n2319得n=6,或n=(舍)，而方程无正整数解，由

22n42n4

因此

1319

是这个数列中的第6项，不是这个数列中的一项。44

18.在等差数列an中,(1)已知d2,an11,Sn35,求a1,n;(2)已知a610,S55,求a8和S8;(3)已知a3a5a12a19a2115,求S23;

ana1(n1)da12(n1)11

a11a13

解：(1) 或1

Snna1n(n1)dna1n(n1)35n7n52

aa15d10a5

(2)61a816,S844

S55a110d5d3

(3)a3a5a12a19a2115a123S23

23(a1a23)

23a1269

19.数列an的前n项和Sn

a112

n2n(nN),数列bn满足bnn(nN).2an

(1)判断数列an是否为等差数列，并证明你的结论；

解：(1)当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1n）

(2)求数列an的前n项的和；(3)求数列bn中值最大的项和值最小的项.35

a1满足（）式，annnN）

anan11(常数)an是等差数列。

12

n2n,1n22

（2）设an的前n的和为Tn,Tn

1n22n4,n32

11155

1,函数f(x)1在区间及，

55an22nx22

上分别为减函数，当n2时，bn最小为b21,当n3时，bn最大为b33(3)bn1

n1



,20.已知数列通项anlg1002

（1）写出这个数列的前三项；（2）求证这个数列是等差数列；

（3）这个数列的前多少项之和最大？求出这个最大值.解(1)anlg100(n1)lg

2(lg2)(n1), 22

a3,2 lg2a12,a22lg2

21)anan1lg2n(2数列)a(2n为等差数列

（3）由

an02(n4

0n1n14 lg2

an102n40nn13 lg2

lg2 2

当n=14时，Sn的值最大，即前14项之和最大，且S1428

21.已知函数f(x)

（1）求f(x)的反函数f1(x);（2）设a11,x2).f1(an)(nN),求an;an1

m

成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.25

（3）设Sna12a2an,bnSn1Sn,问是否存在最小正整数m,使得对任意

nN有bn

解：(1)设y

x2,x1

y=f(x)x0)

(2)

1111

224,是公差为4的等差数列。2

an1an1anan4(n1)4n3,且a0,ann22

ana1

a11,(3）假设满足题设的m存在bnSn1Sna

n1

1m25

,由bn得m对nN恒成立4n1254n1

6.等差数列 篇六

教学目标                        1．明确等差中的概念．     2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式     3．培养学生的应用意识．     教学重点                    等差数列的性质的理解及应用     教学难点                    灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题     教学方法                        讲练相结合     教具准备                        投影片2张(内容见下面) 教学过程                        (i)复习回顾 师：首先回忆一下上节课所学主要内容： 1．  等差数列定义： （n≥2） 2．  等差数列通项公式： （n≥2） 推导公式： （ⅱ）讲授新课 师：先来看这样两个例题（放投影片1） 例1：在等差数列 中，已知 ， ，求首项 与公差 例2：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。1．  解：由题意可知 解之得 即这个数列的首项是-2，公差是3。 或由题意可得： 即：31=10+7d 可求得d=3，再由 求得1=-2 2．  解设 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33,  a12=110，n=12 ∴ ,即时10=33+11 解之得： 因此， 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 师：[提问]如果在 与 中间插入一个数a，使 ，a， 成等差数列数列，那么a应满足什么条件？ 生：由定义得a- = -a 即： 反之，若 ，则a- = -a 师：由此可可得： 成等差数列，若 ，a， 成等差数列，那么a叫做 与 的等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是否和风细雨的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来， 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则， 生：结合例子，熟练掌握此性质 师：再来看例3。（放投影片2） 生：思考例题 例3：已知数列的通项公式为： 分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。 解：取数列 中的任意相邻两项 与 （n≥2）， 则： 它是一个与n无关的常数，所以 是等差数列。在 中令n=1，得： ，所以这个等差数列的首项是p=q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为： ，其中 、是常数。 （ⅲ）课堂练习生：（口答） （书面练习） 师：给出答案 生：自评练习（ⅳ）课时小结 师：本节主要概念：等差中项 另外，注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。 （ⅴ）课后作业 一、课本 二、1．预习内容     2．预习提纲：①等差数列的前n项和公式； ②等差数列前n项和的简单应用。 教学后记

7.等差数列的性质及其应用 篇七

1.通项公式的推广an=am+ (n-m) d或

例1: (2010年全国高考I卷文科) 设等差数列{an}满足a3=5, a10=-9,

(Ⅰ) 求{an}的通项公式;

(Ⅱ) 求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。

简析:

(1) 由an=am+ (n-m) d得

又a3=5, 代入通项公式an=a1+ (n-1) d, 得a1=9,

∴an=11-2n。

∵Sn=- (n-5) 2+25, ∴当n=5时, Sn取得最大值。

点评:等差数列的通项公式{an}是n的一次函数或常数函数, 它的图像为一条直线上一系列孤立的点, 而两点可以确定一条直线, 故已知等差数列的两项即可确定这个数列。

2. 在等差数列{an}中, 如果m+n=p+q, 则am+an=ap+aq, 特别地, 如果m+n=2p, 则am+an=2ap

例2: (1) 在等差数列{an}中, 已知a3+a99=200, 求数列的前101项的和S101;

(2) 已知一个项数为n的等差数列的前四项的和为21, 末四项和为67, 前n项和为286, 求项数n。

(2) ∵a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67,

即286=11n, 解得n=26。

点评:灵活运用性质“若m+n=p+q, am+an=ap+aq”和前n项和公式可以避繁就简, 使问题迅速获解。

3. 若公差d>0, 则此数列为递增数列;若d<0, 则此数列为递减数列;若d=0, 则此数列为常数列。

例3: (2009安徽高考卷理科) 已知{an}为等差数列, a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99, 以Sn表示{an}的前n项和, 则使得Sn达到最大值的n是 () 。

(A) 21 (B) 20 (C) 19 (D) 18

简析:由a1+a3+a5=105得3a3=105, 即a3=35, 由a2+a4+a6=99得3a4=99, 即a4=33, ∴d=-2, an=a4+ (n-4) × (-2) =41-2n, 由得n=20, 选B。

点评:在等差数列{an}中,

因为所以Sn是n的二次函数 (d≠0时) , 因此也可以根据二次函数的性质确定Sn的最值。

4. 若数列{an}是等差数列, (1) 正常数k1, k2, k3, …, kn成等差数列, 则数列ak1, ak2, ak3, …, akn也成等差数列, 即在等差数列中取间隔相等的项组成的新数列仍然是等差数列; (2) 数列{pan}, {pan+c} (p, c均为常数) 也都是等差数列。 (3) 若数列是{an}, {bn}是等差数列, 则{an+bn}, {man+pbn}也都是等差数列。

例4:已知两个等差数列{an}∶5, 8, 11, …;{bn}∶3, 7, 11, …, 则新数列{2an-bn}的第10项是多少?

8.浅谈等差数列的灵活运用 篇八

一、从等距的角度开展等差数列的教学

根据等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。理解等差数列的关键在于理解“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”这句话，教学中必须让学生充分理解后一项与前一项都相差d，即an+1-an=d（常数）。

例如：下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…问：（1）第1998个算式是（）+（）；（2）第（）个算式的和是2000。

解析：（1）第1个加数依次为1，2，3，4，1，2，3，4，…，每4个数循环一次，重复出现。1998÷4=499……2，所以第1998个算式的第1个加数是2。第二个加数依次为1，3，5，7，9，11，…，这是个首项为1，公差为2的等差数列。根据等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第二个加数：1+（1998-1）×2=3995，所以第1998个算式是2+3995。

（2）由于每个算式的第二个加数是奇数，所以和是2000的算式的第1个加数一定是奇数，不会是2和4。只有1+x=2000或3+x=2000。其中，x是1，3，5，7，9……中的某个数。

若1+x=2000，则x=1999。根据等差数列的项数公式可得：（1999-1）÷2+1=1000，这说明1999是数列1，3，5，7，9…中的第1000个数。因为1000÷4=250，说明第1000个算式的第1个加数是4，与假设1+x=2000矛盾，所以x不等于1999。

若3+x=2000，则x=1997。与上同理，（1997-1）÷2+1=999，说明1997是等差数列1，3，5，7，9…中的第999个数。由于999÷4=249……3，说明第999个算式的第一个加数是3，因此第999个算式为3+1997=2000。

点评：第二个加数为等差数列，那么第n项的值an=首项+（项数-1）×公差，项数=（末项-首项）÷公差+1。利用这些公式，可以快速得到答案，而且还能确保正确率，运用起来十分灵活、方便。

等差数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要灵活利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。

二、从推导通项公式展开等差数列教学

教师在授课时要注重从具体生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

例如：水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？

教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数。

学生：18，15.5，13，10.5，8，

5.5。

教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念。

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的……只要合理教师就要给予肯定。

教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义。

点评：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达。

三、从一次函数角度理解等差数列的通项公式

从函数的角度来理解等差数列，合理运用数形结合思想直观简化问题，在解决等差数列的问题时，能事半功倍。函数思想是重要的数学思想，教师需要在平常教学时逐步渗透，如若在等差数列的教学过程中，对学生进行函数思想的熏陶，能拓展思维，使学生的知识网络不断优化与完善，使学生的思维能力不断发展与提高。

9.等差数列求和教案 篇九

教学目标

1.掌握等差数列前

项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前

项和公式（1）了解等差数列前

推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前 公式与前

项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；

（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学建议（1）知识结构

本节内容是等差数列前 前

项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．（2）重点、难点分析

教学重点是等差数列前

项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．

推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 变用公式、前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．

高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前 式综合运用.②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.项和公

③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.④补充等差数列前

项和的最大值、最小值问题.项和公式.⑤用梯形面积公式记忆等差数列前

等差数列的前教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式教学设计示例

项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点 教学重点是等差数列的前 教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学过程 一.新课引入

提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是（板书）“ ”

这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，„，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？ 二.讲解新课（板书）等差数列前 1.公式推导（板书）项和公式

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二： 上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两

式左右分别相加，得，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和.2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 等差数列前 项和的两个公式.项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着

3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；

（2）（结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 三.小结

1.推导等差数列前 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.项和公式的思路；

10.等差数列说课 篇十

一．教材分析

1．教材的地位与作用

本节课《等差数列》是高中数学必修5第二章第二节的内容，是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入学习。数列是高中数学重要内容之一，同时也为后面学习等比数列提供依据。2．教学目标的确定及依据

（1）教学参考书和教学大纲明确指出：本节的重点是等差数列的概念及其通项公式的推导过程和应用。本节先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算。可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力。

（2）从学生学习的角度看：学生对数列有了初步的接触和认识，对方程、函数、数学公式的运用具有一定技能，函数、方程思想体会逐渐深刻。

二、重点、难点

重点：等差数列的概念及通项公式。

难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

（2）从函数、方程的观点看通项公式

三、教学目标

知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单实际问题。

能力目标：（1）培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力；

情感目标：（1）通过对等差数列的研究，体会从特殊到一般，又到特殊的认识事物规律，培养学生主动探索，勇于寻找规律发现问题的求知精神。

四.教学程序设计

本节课的教学过程由

（一）创设情境 引入课题

（二）新课探究，推导公式

（三）应用例解

（四）练习反馈 强化目标

（五）归纳小结

（六）课后作业 运用巩固，六个教学环节构成。

（一）创设情境 引入课题

1.回顾练习：数列、通项公式定义及求简单数列的通项公式 2.检查预习情况：梳理知识结构

（二）新课探究：

1.观察与思考 下面的几个数列性质并给出结论：（1）2，5，7，9，11，13，15，17 2，2，2，2，2，2，2，2，2

4，5，6，7，8，9，10；(2)

3, 0,-3,-6…

引导学生观察：数列①、②有何规律?

引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列.（板书课题）（教学设想：通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备；练习2和3 引出两个具体的等差数列,创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力。使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的。学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化。）

(二).新课探究，推导公式

等差数列的概念．

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。通过设问强调： ①它是每一项与它的前一项的差（从第2项起）必须是同一个常数。②公差可以是正数、负数，也可以是0。得到等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。2等差通项公式

探究：数列满足 判断此数列是否为等差数列。等差数列通项公式

推倒方法：

一、不完全归纳法。

二、迭代法。

三、叠加法

（三）应用举例

例：1.求等差数列8，5，2，„的第20项。

2.-401是不是等差数列-5，-9，-13，„的项？如果是，是第几项？

例2：在等差数列中，已知第5项为10，第12项为31，求第1项、公差。注意：在ana1(n1)d中n，an，a1，d四数中已知三个可以求出另一个。对通项公式的进一步探讨：

3.请在12，24中间插入一个数字a，使得12，a, 24成等差数列，则a的值为多少。

五、等差中项

a, A, b成等差数列 A叫做a,b的等差中项 关于等差中项： 如果a,A,b成等差数列，则Aab并给与证明 2研究：在等差数列中一些特殊形式

（四）练习巩固 实际应用

某露天剧场有30排座位，第一排有28个座位，后面每排比前排多2个座位，最后一排有座位__________个。

（五）归纳小结

1.等差数列的概念，会判断一个数列是否为等差数列。2.等差数列的通项公式与递推公式及其应用。

（六）课后作业：

本节课的重点是等差数列的定义及其通项公式与应用，因此把强调的问题放在较醒目的位置，突出了重点 本节课我始终以“教师为主导，学生为主体”的思想进行教学，最终达到教学效果。

一、说课的含义：

所谓说课，即教师在学习有关教育教学理论、现代教学手段，钻研专业知识、课程标准（教学大纲）与教材的基础上，有准备地在一定的场合下，根据教材中某一章节内容的教学任务，向同行分析教材内容，并结合学生的特点和教材的育人功能阐述教学目标，讲解自己的教学方案的一种有组织、有目的、有理论指导的教学研究与交流活动形式。

二、说课与上课的区别：

说课不仅要说准备好的教学方案怎样教，而且要说为什么要这样教，运用了什么教育理论；要说备课中的有关思考；还要对教学目标充分地分析，揭示学生所应形成的能力或倾向，确定促使这些能力或倾向形成的有效的教学条件。使教学理论得到最佳的应用与发展，使备课的过程趋于理性化。 上课的对象是学生；说课的对象是同行。

 上课有准备与突发事件的矛盾；说课无对象的不稳定性。

 一般要求在10－15分钟内，用凝炼、浓缩的语言，说完一节课的内容。

三、说课时的要求：

1.教态特征：介于教师与讲解员之间； 2.语言表达：简洁明了，具有准确性；

3.目标表述：全面、具体、明确，具有可测性。（戒假、大、空）4.教法分析：合理性、针对性，并体现学生的主体性，具有可操作性； 5.教学程序：有层次性和逻辑性，设疑反馈具有及时性；

6.媒体手段：设计合理，有利于突出重点，突破难点，具有不可替代性。

四、说课的内容

教材分析

1．说明该内容在教学大纲或课程标准对本年级的要求；

2．说明该内容在本单元、本章乃至整套教材中的地位作用及前后联系；

3．明确提出本课时的具体教学目标，从认知、能力、情感目标三个方面加以说明；

4．分析教材的编写意图、结构特点以及重点、难点、关键点等；

教学对象

1．分析学生原有的认知基础，即学生具备的与该内容相联系的知识点、技能、方法、能力；

2．分析学生的生理、心理基础，即该内容与学生现时的年龄特点的适应性，若不适应则作如何处理；

3．分析学生群体中的个体差异，如何对班级中不同层次学生分层递进，从而达到整体推进；

4．分析学生掌握教学内容所编写具备的学习技巧，以及是否具备学习新知识所必须掌握的技能和态度。

教法与教学手段

1．说明教法的选择与组合，及其理论根据；

2．介绍如何调动学生学习的积极性与主动性，充分体现以学生为主体的设想； 3．说明选用的教学媒体（包括教具）及其原因，并指出其具有的不可替代性。

教学程序

1．教学思路与教学环节的基本安排；

2．教与学有机结合的安排与构想，及其理论依据； 3．说明新课的引入以及重点与难点的处理； 4．说明板书设计。

教学评价

1．分析教学反馈与调节的措施；

2．分析练习题的功能与教学目标是否具有一致性。

五、说课的评价标准（仅供参考）

评价表一

1、科学性（30分）：教材分析（10分）、教学内容（10分）、教学目标（10分）

2、理论性（30分）：整体设计（10分）、典型设计（10分）、教法设计（10分）

3、实践性（15分）：方案对学生的可操作性和实践性（10分）、方案对执教者可重复操作性和实践性（5分）

4、逻辑性（15分）

5、艺术性（5分）

6、时间性（5分）

评价表二

1、教材内容（20分）：教材把握适切度（10分）、重、难点表述的正确性（10分）

2、教学目标（20分）：目标的科学性、全面性、层次性（10分）、目标具体明确，具可测性（10分）

3、教学程序（45分）：整体设计（10分）、教学方法（10分）、教学环节（10分）、学生主体性（10分）、反馈与矫正（5分）

4、教师素质（15分）：语言表达的逻辑性（10分）、语言表达的艺术性

说课时，说课教师应报告课题，说明本课题选自哪一版本的教材、在教材中处于哪一册、哪一课时。说课的主要内容按顺序介绍如下：

一、说教材：

1．教材分析（教材的地位和作用）：本节教学内容是在学生已学哪些知识基础上进行的，是前面所学哪些知识的应用，又是后面将要学习的哪些知识的基础，在整个知识系统中的地位如何。在学生的知识能力方面有哪些作用，对将来的学习有什么影响等。

2．教材处理：根据课堂教学需要，不盲目地依赖教材而循规蹈矩，创造性地对教材内容进行授课顺序调整和补充，以纵横知识联系，降低学生认知难度。把有关知识、技能、思想、方法、观点等用书画文字等形式加工整理，转化为导向式的教学活动。教材处理的目的是使学生容易接受、融会贯通，体现教师熟悉教材的程度，把握教材的能力。

3．重点难点：指出本节的教学重点和难点以及确定重点和难点的依据。

4．教学目标：教学目标包括①知识目标、②能力目标、③德育目标。要阐述确定教学目标的依据。

二、说教法：“教学有法，教无定法，贵在得法”。常用的“教学方法有讲授法、谈话法、演示法、读书指导法、参观法、实验法、实习作业法、练习法等；近年来随着教学方法的改革，提出了情境教学法（发现法）、启发式教学法、程序教学法、多媒体教学法等”。

选择教学方法的基本依据是：①教学任务，②教学内容，③学生的年龄特征、学生的认识规律和发展水平。选择教学方法不要局限于某种方法，要灵活多样，对症下药，一把钥匙一把锁。使学生灵活地掌握知识、培养能力、发展智力。

要说明通过什么途径有效地运用这些教学方法，要达到什么效果。如何发挥教师的主导作用。

三、说学法：阐述如何引导学生运用正确的学习方法完成本节课的教学活动，怎样让学生进入角色充当课堂教学的主体，怎样帮助学生自觉、生动地进行思维活动。使学生既学到了知识又掌握了学习方法，既培养了能力又发展了智力。

四、说教学程序：说教学程序是说课中最重要的环节。

1．导入新课：导入新课的方法很多，温故知新式、提问式、谈话式等都是巧妙的方法。阐述采用什么方式导入新课，这样导入的好处是什么。

2．讲授新课：讲授新课是教师主导课堂教学的全过程。怎样引经据典、循循善诱、循序渐进、精心设疑，引导学生积极思维。怎样启发学生踊跃参与，进入角色充当主体。哪些答疑让个别学生独立完成，哪些答疑让群策群力来实现。要学生掌握哪些知识、培养哪些能力、达到什么目的。学生在课堂上有哪些思维定势，需要采取哪些克服措施。如果学生的活动脱离教师的思路轨道，怎样因势利导，采取哪些应变措施稳妥地引上正轨。如何诱导学生生动活泼地学习，不仅学会，而且会学；既学到知识，又掌握了学习方法，一举两得。

讲授新课是课堂的重中之重，是精彩之处、关键所在。要阐明怎样让课堂运作起来，体现教师的主导。怎样规范板书和口语表达，既设疑又答疑，既突出重点又分散难点，既注意教学程序又运用教学手段；既正常发挥又采取应变补救措施，既正确地叙述和分析教材又做到思想性和科学性的统一、观点和材料的统一。

3．例题示范：根据教学内容的需要，安排有针对性、实用性、有目的性的例题示范，以巩固和强化教学内容。要说明例题的出处、功能和目的，学生可能出现的思路反映等问题。

4．反馈练习：分析学生在解题时可能出现的情况，针对学生暴露出的问题，用什么应变措施。做好练习反馈工作。

5．归纳总结：教师说课时应着重综合归纳本节课教学目的，传授了哪些知识，并且将其纳入原有知识的体系之中。加强知识之间纵横联系的复习，培养各种能力，培养辩证唯物主义思想。同时提出一些思考性的问题，既激发学生的求知欲望，又为下一节课教学做准备。

五、展示板书：展示观摩课的完整板书设计。板书设计是用教师教学基本功中的规范“粉笔字”来体现的，要概括课文的全面性、准确性、工整性和美感性。

说课为上课提供了可靠的理论依据；说课是上课的升华；说课的最终目的是为了更好地上课。说课与上课不能有大的反差，怎样上课，就怎样说课，如出一辙。

11.等差数列求和微课教学实践研究 篇十一

1.选题

等差数列选自江苏教育出版社中职高一数学第二册，第6章《数列》的第二节内容。是高中数学的重要内容之一，它的地位作用可从三方面来看。

第一，从知识特点来看，等差数列有着广泛的应用。如堆放物品总数的计算会用到等差数列知识，储蓄的有关计算也会用到等差数列的一些知识。

第二，从教材体系来看，等差数列起着承前启后的作用：一方面，初中数学的许多内容在解决等差数列的问题中得到了充分运用，同时等差数列与前面学习的函数等知识有密切联系；另一方面，学习等差数列又为进一步学习等比数列做好了准备。

第三，从能力培养来看，等差数列是培养学生数学能力的良好题材，例如公式推导应用过程中渗透的类比、归纳、数形结合和方程等思想方法。

2.设计

该微课分为六个部分。

第一部分，课题导入。在一段动感音乐背景下，以动画为载体，展示出该节微课的课题、教材、出版社和适用学生年级。在动画和音乐中，迅速吸引学生的注意力，提醒学生做好学习准备。

第二部分，旧知复习。复习等差数列的文字定义和数学表达式定义，强调公差d，复习等差数列通项公式的两种形式，并提出巧妙记法，复习等差数列下标和相等的性质，并进行简单的证明。教师组织学生进行定义、通项公式、性质的复习，为该节课等差数列求和公式的推导探究和运用做好准备。

第三部分，探究新知。 探究学习等差数列求和的三种求法为简单直接型、瞎琢磨型、数形结合型。三种方法，由浅入深，由形象到抽象，推进合理，且不失幽默，一气呵成，将该课推向高潮，培养了学生的分析问题、解决问题的能力。

第四部分，例题评析。使用两个公式，两种方法解决求数列前10项和的例题，通过例题的评析，巩固提高了学生对两个求和公式的理解。

第五部分，课堂小结。复习本课学习的等差数列求和的两个公式，再次加强学生对公式的记忆。

第六部分，结束微课。在一段舒缓的音乐中，结束本节微课，愉悦学生心情，缓解学习的疲劳。

二、等差数列求和微课的应用方案

1.准备工作

任教班级学生群体基本能达到每人一部智能手机。学校已经实现了校园无线网络全覆盖。图书馆电子阅览室提供大量可供学生使用的电脑。班级已经建立了QQ群、微信群。教师利用空余时间已将数列这一章各节内容录制成微课。笔者任教的两个中职高一班级，专业相同，入学基础相当，一个班级使用微课教学，另一个班级使用传统的教学模式，一同完成数列这一章的学习任务。

2.应用步骤

教师将录制的微课上传至班级QQ群，布置学生预习任务。学生自学通过QQ群下载的微课，借助班级QQ群、微信群等学习交流平台，及时将自学中的疑惑与同学和老师交流，并完成课前导学案。

在课堂教学中，教师首先对学生课前的微课自学效果进行提问检查。教师对学生理解困难的问题进行重点讲评点拨，通过共同探讨，完成对新授知识的学习。课后教师将该课相应的练习题微课上传，让学生下载自学，进一步巩固该节知识点。

三、等差数列求和微课的应用优缺点及改进策略

1.优点

等差数列求和微课能更好地提高学生学习的效率。针对中职学生数学基础薄弱的情况，微课可以在课前预习，重点、难点解析，课后复习等多方面来帮助学生进一步理解知识的重难点。微课视频可以重复使用，反复观看。学生在课堂上听不懂的问题，可以在课外利用微课进行反复的观摩理解。通过微课视频，学生可以自定学习进度。

2.缺点

微课带来的翻转课堂需要学生课前课后观看和学习微课。这对学生提出了更高的学习自觉性要求。如果学生自觉性不足，经常偷懒，就会影响后续的课堂讨论和应用。

3.改进策略

加强学生微课学习方法的指导和对学生学习自觉性的培养。在微课的制作中，遵循宜小不宜大、时间宜短不宜长、讲解宜精不宜粗、形式宜新不宜老、互动宜多不宜少的基本原则。

四、小结

作为现阶段中职数学教学的一种优质补充方式，微课带给我们的改变是明显的。每一位中职数学教学的相关工作者都不能忽视这些改变，而要以积极的态度对待它们。

12.也探一类等差数列问题的解法 篇十二

先看下面的两个问题.

这是《中学数学教学参考》 (2010·7 (上旬) ) 上的两个问题, 也是高三复习时常见的一类等差数列的问题.先看下面的三种解法.

解法1:设等差数列{an}、{bn}的首项和公差分别为a1、d1和b1、d2, 则它们的前n项和分别为

, 观察此式的分子和分母, 不妨设d1=7k, 则d2=k, 2a1-d1=45k, 2b1-d2=3k (此处k为比例系数, 可以是某个常数或整式) , 可得

解法2:设等差数列{an}、{bn}的首项和公差分别为a1、d1和b1、d2, 等差数列{an}的前n项和公式可以看做是变量n的二次函数, 由, 不妨直接设An=kn (7n+45) , Bn=kn (n+3) ,

解法3:在等差数列{an}中, 若m, n, p, q∈N+, 且m+n=p+q, 则am+an=ap+aq, 特别地, 2an=a1+a2n-1,

反反复复地研读这三种解法, 思量着解法1和解法2中的某些步骤实在是非常精妙, 而解法3又太巧太特殊了, 它又只能解决问题1.然而, “老师, 这些解法怎么这么难啊!”“老师, 这些解法怎样想得到啊?”“老师, 这些解法怎样记得住啊?”“这些学生怎么搞的?这些内容、方法我都讲了多少遍还是没有掌握.”这些声音在数学课堂上、在数学教师之间恐怕没少听到吧.我们教研室正在做一个课题研究:山区农村学校校本研修的有效策略研究.研究校本研修的有效策略, 探索山区农村学校校本研修的基本方式和基本方法, 目的是提高教师的素质和专业水平, 促进教师的专业发展, 加强山区农村学校的教师队伍建设, 推进山区农村学校的课程改革, 最终提高教育教学质量.2010年颁布和实施的《国家中长期教育改革和发展规划纲要 (2010—2020) 》, 对教师提出了更高的要求, 高中的新课程标准也将在广西全面开展实施, 这是一个教育的转型时期.但是, 无论什么时候, “教什么”, “怎么教”, 总是每一个教师必须面对的问题.因此, 要有效地提高课堂教学质量, 还必须把设计“教师如何教”转变为设计“学生如何学”, 使有效教学与高效学习相结合, 这也是新的课程改革对教师教育的新要求.

李海良老师有一篇文章是《读着并困惑着》[《中学数学教学参考》 (2010·7 (上旬) ) .李老师认为, 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法:没有任何一节课 (一道题) 是可以教 (解决) 得十全十美的, 总剩下些工作要做, 经过充分的探讨与钻研, 我们能够改进这个教学 (解答) , 而且在任何的情况下, 我们总能提高自己对这个教学 (解答) 的理解水平.文中的“困惑5”令笔者深有同感, 关于一题多解, 李老师应该是希望能找到一种大多数学生比较容易想得到的, 也能做得下的方法, 哪怕这个解法的计算多一些、书写长一些.笔者非常赞同李老师的这种观点, 更希望广大的中学数学教师也能这么想这样做.

基于此, 再对问题1、问题2作进一步的探究, 还可以得到下面的解法4.

至此, 反回去又可以再验证

13.等差数列 教学反思 篇十三

《等差数列（-）》教学反思

________________________________________________________________ 本节课《等差数列》是高二必修5第二章第二节第一课时的内容，是学生学习了数列的基本概念和给出数列两种表示方法基础上来研究的，对数列的理解还不够透彻，仅停留在表面上，而对等差数列定义的理解更有一些问题。（1）对定义中“从第二项起（n≥2）”，“每一项与前一项的差”，“同一个常数”三个关键词理解上，需要反复的锤炼。（2）为了更好地揭示数学的本质常常需要把自然语言转化成符号语言，在高一已经在这方面得到训练，由于刚接触等差数列的定义，学生不能很好的把定义转化成符号语言，还需要给出一定的提示。（3）判断数列是否是等差数列时，对于 “同一常数”的意义理解不到位。（4）在推导通项公式上，只有个别学生能给出推导过程，大部分学生还不能独立完成，甚至没有思路。（5）学生在理解等差数列与一次函数之间的联系上会遇到问题（6）在练习知三求一问题时（通项公式的应用），解方程的思想要重点强调，学生的解题步骤应加强规范，运算能力还有待于提高。

在课堂实施过程中，我采用启发引导式、合作探究式、自主探究式以及讲练结合的教学方法，通过问题情境激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。整个课堂教学脉络清晰，节奏明快，重点突出，难点也突破的较好。学生对问题的回答比较踊跃，愿意主动参与课堂教学。学生对定义有了较深刻的认识。而在通项公式的推导上遵循一个科学的分析方法，由特殊到一般，组织学生共同探讨。学生对公式的获取思路明确，理解比较深刻，较好地完成了课前预设的目标。但由于教学内容的紧凑，课堂时间有限，在课堂教学中受传统教学方式影响较多，对学生创新思维的培养就显得的不足，从某种意义讲束缚了学生的思想，阻碍了学生的思维发展，这一点在今后的教学中要逐渐改进。但从总体上看，达到了预期的效果，较好的完成了本节的教学目标。

14.学案：等差数列及和 篇十四

一．高考考纲

1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．

2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法． 二．基础知识 1．等差数列的定义

如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为。3．等差中项：如果，那么A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a*

n＝am＋()d(n，m∈N)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则(m，n，p，q∈N*)． 5．等差数列的前n项和公式

若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则 其前n项和公式为Sn＝.三．典型例题

【例1】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

【例2】：已知数列{a项和为SS1

n}的前nn且满足an＋2Sn·n－1＝0(n≥2)，a1＝2

.(1)求证：1

S是等差数列；(2)求an的表达式

n

【例3】设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n.四．巩固提高

1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．A．4B．5C．6D．7

2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()．A．31B．32C．33D．34

3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．1B．9C．10D．55

4．(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()．A．13B．35C．49D．63

15.一类等差数列比值题的解法探究 篇十五

说明:在等差数列{an}中,若m,n,p∈N*,且m+n=2p,则am+an=2ap.

点评:解析1是把所求向已知转化,解析2是把已知向所求转化,都体现了化归与转化的数学思想方法,

体现了一般与特殊的数学思想方法,我们只是令了满足题意的其中最为简单的一个数列而已;另一方面这两种解法也都有一个共同的缺陷,即所求项的比值下标要一样,是不是呢?如果不一样,那又应该如何处理呢?

显然,这类问题的三种解法充分展现了构造的美丽,淋漓尽致地体现了化归与等价转化数学思想方法的魅力,认真“咀嚼”,仔细回味,我们不得不承认,只要经常站在数学思想的角度去分析、处理问题,定会收到无限的惊喜.

摘要：运用三种方法,例析了一类已知两个等差数列前n项和的比值,求这两个数列里项的比值问题;剖析了比值的下标同与不同,需运用不同的解法,希望对读者有所帮助与启发.

关键词：等差数列,前n项和,项,比值

参考文献

16.等差数列知识点 篇十六

关键词:高考;等差数列;考查

在等差数列{an}中,有性质:若m,n,p,q∈N,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq成立,应用这个性质,可以简化运算,节省时间。

例1:设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S6=36,Sn=324若Sn-6=144,(n>6)求项数n。

解析:此题的一个常规的想法是列方程求出项数n,可以根据已知条件列出关于a1,d,n的方程求解,思路很自然,但解的过程很复杂。而应用上面的性质就可以很簡单:

因为S6=a1+a2+…+a6=36

?摇Sn-Sn-6=an+an-1+…+an-5=180

所以S6+(Sn-Sn-6)=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216

所以a1+an=36,再利用公式Sn=■=■=324就可以解出n=18。

在等差数列前n项和中,这个性质可以推广:因为?摇Sn=■=■=…

所以,当n为奇数时,前n项的中间项,记为a中即a

有a1+an=2a中

所以Sn=na中,在解题中应用也很广泛。

例2:(08全国)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则■=

解析:由于a5是前9项的中间项,?摇a3是前5项的中间项,由上面给出的性质很容易得到S9=9a5,S5=5a3,所以很快就可以算出■=9

另外,经常出现的应用还有:等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,已知■=■,求?摇■= ?摇

此题可与上题用相同的解法,即■=■=■=■=■。

另外有一类与求前n和的最值有关的问题是很多学生感到头痛的问题,但是用上这个性质,问题就变得简单多了。

例3:已知a2006与a2007是首项为正数的等差数列{an}相邻的两项,且函数y=(x-a2006)(x-a2007)的图像如图所示,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()

A.4011B.4012C.4013D.4014

解析:本题的常规思路是可以写出Sn关于n的二次函数。

再解关于n的不等式,但由已知条件得到的a1与d是一个不等式关系,所以有些学生解题的过程就容易出现错误,导致题算错或浪费时间。用上面所给的性质,就可以把题变得很简单了。

由图像及已知可知a2006>0,a2007<0,且a2006+a2007<0,则有S4011=4011a2006>0(因为前4011项的中间项是a2006)

S4012=■<0(因为a1+a4011=a2006+a2007)

即从4012项起有Sn<0,故本题选A。

本题还经常出现另一种变式:在首项为正数的等差数列{an}中,Sn是其前n项和,若S4011>0,S4012<0,则使前n项和Sn最大的自然数n的值为()

A.2005B.2006C.2007D.2008

解析:因为数列的首项为正数,使Sn最大的n即为使?摇?摇an>0的最大n值,而S4011=4011a2006>0,所以a2006>0,

?摇S4011=■<0(,所以a2006+a2007<0,所以a2007<0,很明显,本题选B。

17.等差数列教学设计 篇十七

1、知识目标 2．能通过前n项和公式Sn求出等差数列的通项公式an． 教 学 提高对等差数列的认识，优化解题思路、解题方法，提升数学表达的能

2、能力目标 目 力。标

3、德育目标 培养学生认识数学的美。重点：熟练掌握等差数列的性质运用。难点：：解题思路和解题方法的优化。教学过程：【知识精讲】

一、基本概念、性质

1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数d叫做等差数列的，2、等差中项：若三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a与b的，即2A 或A。

3、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；

18.等差数列复习教案 篇十八

高考考点：

1.等差数列的通项公式与前n项和公式及应用；

2.等差数列的性质及应用.知识梳理:

1.等差数列的定义：

2.等差中项

3.通项公式

4.前n项和公式

5.等差数列的性质（基本的三条）

典型例题：

一.基本问题

例：在等差数列an中

（1）已知a1533，a45153，求a61

（2）已知S848，S12168，求a1和d

（3）已知a163，求S31

变式：（1）（2008陕西）已知an是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列的前10项的和等于（）

A.64B.100C.110D.120

(2)(2008广东)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1

A.16B.24C.36D.48 1，则S6（）S420，2

二.性质的应用

例：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146。，且所有项的和为390，则这个数列有_____项

（2）已知数列an的前m项和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是______

（3）设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对于任意的nN，都有*Sn7n1，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比为________ Tn4n27

变式：（1）已知等差数列an中，a3，a15是方程x6x10的两根，则2

_a7a8a9a10a11_____

（2）已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且An5n63，则Bnn3使得

an为整数的正整数n的个数是________ bn

三.等差数列的判定

例：已知数列an的前n项和为Sn且满足an2Sn1Sn(n2)，a11

（1）求证：1是等差数列 Sn

（2）求an的表达式

变式：数列an中，a1

an1，an1，求其通项公式 2an1

四.综合应用

例：数列an中，a18，a42，且满足an22an1an，nN *

（1）求数列an的通项公式；

（2）当n为何值时，其前n项和Sn最大？求出最大值;

(3)设Sna1a2an，求Sn

变式：（08四川）设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值是_______

课后作业

1.（09年山东）在等差数列an中，a37，a5a26，则a6______

2.若xy，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，y 各自成等差数列，则

A.a2a1（）b2b12433B.C.D.3324

3.集合A1,2,3,4,5,6，从集合A中任选3个不同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有（）

A.4个B.6个C.10个D.12个

4.(09安徽)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）

A.21B.20C.19D.18

5.（10浙江）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是___________

6.已知数列an中，a13,anan112an(n2,nN*)，数列bn满足5

bn1(nN*)an1

（1）.求证：数列bn是等差数列