双曲线的标准方程学案

双曲线的标准方程学案（精选4篇）

1.双曲线的标准方程学案 篇一

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的`方程为x=±a/c(焦点在x轴上)或y=±a/c(焦点在y轴上)。

一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。(a、b、c不都是零，b2-4ac>0)

双曲线的标准方程：

标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)

标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)

双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)

双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。

2.双曲线的标准方程学案 篇二

具体通过以下几个例子来分析.

例1求与直线3x+4y-7=0垂直, 且在y轴上的截距为-2的直线.

解法一因为和直线3x+4y-7=0垂直, 所以所求的直线方程是4x-3y+m=0 (其中m是参数) .

因为直线过点 (0, -2) , 将 (0, -2) 代入4x-3y+m=0,

所以直线方程是4x-3y-6=0.

分析此解法先利用垂直的直线系方程设出方程, 再将 (0, -2) 代入, 使这道题变得简单易于理解, 计算量也小.

解法二因为“在y轴上截距为-2”, 所以设直线方程为y=kx-2.

因为所求直线垂直于3x+4y-7=0, 所以得

代入得所求的方程为4x-3y-6=0.

分析此解法从平行的直线系入手, 先得到直线方程为y=kx-2, 再根据垂直条件得到这样做思维简单易于入手.

解法三因为此直线过点 (-2, 0) , 用点斜式设直线方程为y+2=k (x-0) , 即y=kx-2, (斜率k是参数) .

因为直线垂直于直线3x+4y-7=0, 所以

代入得到所求的方程为4x-3y-6=0.

分析此解法先利用过已知点 (-2, 0) 的直线系方程得y+2=k (x-0) , 再根据垂直条件得到此法也是一个不错的选择.

例2求和直线3x+4y+2=0平行, 且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程.

解因为直线平行于直线3x+4y+2=0, 所以设所求直线方程为3x+4y+λ=0 (λ为参数) , 所以在x轴、y轴的截距分别为解得λ=±24.

所求直线l的方程为3x+4y±24=0.

分析此题是用了平行的直线系方程先设出方程, 再根据三角形面积的计算得出参数的值, 从而解决了问题, 此法不但思路清晰, 而且便于计算.

例3对于任意的实数k, 直线 (3k+2) x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是________.

解直线方程可化为k (3x-y) +2x-2=0, 由3x-y=0且2x-2=0得直线恒过定点 (1, 3) , 而点 (1, 3) 在圆上, 所以直线与圆相交或相切.

分析利用过交点的直线系方程可得直线恒过点 (1, 3) , 使这个题目变得简单.

通过上面的例子, 我们可以看出给直线方程引入参数, 可以勾画出满足某些特点的一组直线, 数学上称之为直线系, 利用已知直线系可以使我们理清思维, 简化做题过程, 并能大量地减少计算量.经总结发现直线系常见的有以下几种形式:

(1) 与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0 (λ是参数)

(2) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程BxAy+λ=0 (λ为参数)

(3) 过已知点P (x0, y0) 的直线系方程y-y0=k (x-x0) 和x=x0 (k为参数)

(4) 斜率为k的直线系方程y=kx+b (b是参数)

(5) 过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2) =0 (λ为参数)

在曲线方程中也有和直线系方程类似的曲线系方程的思想, 我们以圆和双曲线为例来分析.

3.双曲线的标准方程学案 篇三

一、教学目标:

⑴知识与技能目标:

进一步了解双曲线的定义及其标准方程,能根据条件求双曲线的标准方程,会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.

⑵过程与方法目标:

通过一题多变的训练,体会双曲线定义及标准方程的运用, 掌握定义法(用双曲线的定义)和待定系数法求曲线的方程

⑶情感态度与价值观目标:

让学生在学习过程中感受体验数学是活的,数学是有用的,通过变式训练培养学生的学习兴趣及锻炼学生的思维,提高思维的严谨性与灵活性. 使学生认识到一切事物“变”是绝对的，而“不变”是相对的，从“变”中认识“不变”，以“不变”应“万变”.

二、教学重点、难点

重点：用双曲线的定义及其标准方程求曲线的方程;

难点：双曲线定义的运用，用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.

三、教学方法

启发式教学法、师生共同讨论法

四、教学过程设计

i.一句话引入

师：上一节，我们学习了双曲线定义及推导出了双曲线的标准方程，这一节，我们一起来体会这些知识的应用.

ⅱ.新课讲授

例1.已知两定点 ,动点p满足 , 求动点p的轨迹方程.

解：∵ >6,

∴由双曲线的定义可知，点p的轨迹是一条双曲线,且焦点为

∴可设所求方程为：  (a>0,b>0).

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.

所以点p的轨迹方程为 .

(说明：例1目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式及解题规范的训练.)

(思考1)若题目改为:(变题①) 已知两定点 ,动点p满足 , 求动点p的轨迹方程.

(思考2)若题目改为:(变题②)已知两定点 ,动点p满足 , 求动点p的轨迹方程.

例2.已知a,b两地相距800m,在a地听到炮弹爆炸声比在b地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及在a地听到炮弹爆炸声比在b地晚2s，可知a地与爆炸点的距离比b地与爆炸点的距离远680m.因为|ab|>680m,所以爆炸点的轨迹是以a、b为焦点的在靠近b处的双曲线的一支上.

解:如图，建立直角坐标系xoy，使a、b两点在

x轴上，并且点o与线段ab的中点重合.

设爆炸点p的坐标为（x,y），则

即2a=680,a=340.

又 ∴2c=800,c=400,b2=c2－a2=44400.

∵ ∴x>0.

∴炮弹爆炸点的轨迹方程为： (x>0).

思考1:若例2改为: 已知a,b两地相距800m,在a,b两地同时听到炮弹爆炸声,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

答案又怎样?

4.双曲线的标准方程学案 篇四

在航空、航天等领域, 产品设计中包含大量重要的特殊曲线。这些特殊曲线往往是为了满足设计要求, 通过理论设计和计算推导得出, 具有明确的方程表达式。CATIA作为当代主流的CAD/CAE/CAM一体化软件, 已经在航空、航天领域广泛应用。CATIA软件提供诸如圆、椭圆、抛物线、双曲线、二次曲线、螺线、螺旋线等常规曲线建模工具栏命令, 可以通过工具栏命令直接进行这些曲线的设计建模, 其它曲线则没有直接的建模工具栏命令。因此, 实现一般方程曲线在CATIA软件中的设计建模显得尤为重要。

1 方程曲线设计建模方法探讨

专门针对CATIA方程曲线设计建模的国内文献较少。涉及、相关的文献大多集中在渐开线, 其它方程曲线较少。在渐开线设计建模方面:徐锐良等[1]在CATIA环境中利用渐开线的直角坐标参数方程得到一组渐开线上的离散点, 使用样条线将这些离散的点连接起来, 完成了渐开线的设计建模;周厚建等[2]依据渐开线生成的几何原理, 使用CATIA相关模块工具命令完成了渐开线的设计建模;朱明一等[3]根据渐开线的直角坐标系参数方程, 使用CATIA知识工程工具栏建立法则曲线, 结合相关曲线工具栏命令完成了渐开线的设计建模。这三种方法是目前典型的渐开线设计建模的三类方法。

结合方程曲线对比分析以上三种方法: (1) 通过样条线连接从曲线方程得到一组离散点来实现方程曲线设计建模的方法实际上是用样条线对方程曲线的一种近似, 特点是直观、简单, 但方程曲线的设计建模精度无法有效保证; (2) 依据曲线生成的几何原理进行曲线设计建模的方法可以获得CATIA软件系统支持精度的曲线模型, 曲线模型精度可以得到有效保证, 但对于没有明确几何原理的方程曲线该方法则无法完成, 具有很大局限性, 同时该方法需要把曲线生成的几何原理转换成CATIA软件支持的工具栏命令, 是基于CATIA工具命令的对曲线生成几何原理进行的二次设计定义, 设计建模过程复杂, 建模思想晦涩、不易理解; (3) 使用曲线方程建立法则曲线同时结合相关曲线工具栏命令实现方程曲线设计建模的方法具可以保证方程曲线设计建模精度, 同时相比较而言, 设计建模思想简洁、直观。通过以上对比分析, 结合实际工作经验, 对于方程曲线的设计建模

作者认为法则曲线结合相关曲线工具命令的方法在三种方法中最为理想。

2 基于法则曲线的方程曲线建模过程

法则曲线结合曲线工具栏命令的方程曲线设计建模方法具有诸多优点, 该方法建模过程一般包含由以下三个步骤: (1) 建立法则曲线; (2) 建立平行曲线; (3) 平行曲线的混合、投影等。

下面结合具体实例, 对法则曲线结合曲线工具栏命令的曲线设计建模过程进行说明。示例曲线方程如下:

2.1 建立法则曲线

CATIA法则曲线使用的曲线方程为直角坐标方程, 同时要求曲线方程可以转化为函数表达式, 或者直角坐标参数方程。在CATIA知识工程工具栏中打开法则曲线编辑器, 创建名称rule.y法则曲线, 在规则编辑器中输入y关于t的函数关系。同理, 依据x关于t的函数关系建立rule.x法则曲线。

2.2 建立平行曲线

在CATIA软件中沿Z轴方向建立一直线段, 作为平行曲线命令操作对象, 直线段的长度限定了参数方程中以t为自变量的函数曲线的建模范围。选择平行曲线命令, 以直线段为对象, ZX平面为支持面, 建立法则曲线rule.x的平行曲线, 如图1a) 。同理, 以ZX平面为支持面, 建立法则曲线rule.y的平行曲线, 如图1b) 。

2.3 平行曲线的混合、投影

选择混合命令, 建立两条平行曲线的混合曲线, 如图2a) 。将混合曲线向XY平面投影, 得到的投影曲线即为要求的方程曲线, 如图2b) 。

对于可以写成函数表达式y=f (x) 的简单曲线方程, 只需按照函数表达式建立法则曲线, 创建法则曲线的平行曲线即为所需的方程曲线, 而无需进行平行曲线混合、投影。

3 结束语

文章对CATIA环境下一般方程曲线设计建模方法进行了探讨和研究, 通过实例对基于法则曲线的方程曲线建模方法进行了论述和说明, 对方程曲线设计建模工作有很好的借鉴和指导意义。

摘要：对于圆、椭圆等常规曲线CATIA软件提供有工具栏命令, 可以直接进行这些曲线的设计建模, 其它曲线则没有直接的建模工具栏命令。因此, 实现一般方程曲线在CATIA软件中的设计建模显得尤为重要。文章对CATIA环境下方程曲线设计建模方法进行了探讨和研究, 通过实例对方程曲线建模过程进行了论述和说明, 对方程曲线设计建模工作有很好的借鉴和指导意义。

关键词：方程曲线,建模方法,CATIA

参考文献

[1]徐锐良, 房雷.基于CATIA的渐开线斜齿轮的建模方法的研究[J].机械工程与自动化, 2011 (1) :77-79.

[2]周厚建, 柯江林.基于CATIA的渐开线齿轮建模及其参数化设计[J].中原工学院学报, 2012, 23 (3) :76-78.