高中数学选修11导数（10篇）
1.高中数学选修11导数 篇一
选修2-2
1.3.2
函数的极值与导数
一、选择题
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有()
A．极小值－2，极大值2
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－1，极大值1
D．极小值－1，极大值3
[答案] D
[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1
当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0
[答案] C
[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．
4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．
5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有()
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[答案] B
[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0 6．函数f(x)＝x＋的极值情况是() A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值 B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值 C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2 D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2 [答案] D [解析] f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [答案] A [解析] 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点． 8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是() A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 [答案] D [解析] ∵y′＝1－(x2＋1)′ ＝1－＝ 令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，当x<1时，y′>0，∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是() A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为 C．极大值为0，极小值为－ D．极大值为－，极小值为0 [答案] A [解析] 由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1① f′(1)＝0，∴2p＋q＝3② 由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1 ＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0.10．下列函数中，x＝0是极值点的是() A．y＝－x3 B．y＝cos2x C．y＝tanx－x D．y＝ [答案] B [解析] y＝cos2x＝，y′＝－sin2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点． 二、填空题 11．函数y＝的极大值为______，极小值为______． [答案] 1 －1 [解析] y′＝，令y′>0得－1 [答案] a＋4 a－4 [解析] y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)，令y′>0，得x>或x<－，令y′<0，得－ －9 [解析] y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有 14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________． [答案](－2,2) [解析] 令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图 观察图象得－2 三、解答题 15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间； (2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,3) (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 f(－1) 减 极小值 f(3) 增 (1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)； (2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值． [解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有 又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为f(x)＝x3－x.∴f′(x)＝x2－.令f′(x)＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大 值1 极小 值－1 由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值． (1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程． [解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即 解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故 f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故 f(x)在(－1,1)上是减函数． ∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上． 设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.∵f′(x0)＝3(x－1)，故切线的方程为 y－y0＝3(x－1)(x－x0)． 注意到点A(0,16)在切线上，有 16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)． 化简得x＝－8，解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.18．(2010·北京文，18)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用． 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c ∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.(1)当a＝3时，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立” 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9) 解得a∈[1,9]，即a的取值范围[1,9]． “新课标”在教程的目标、观念上的一个发展就是在数学教学和数学学习中更加强调对数学本质的认识和理解.在“导数的应用”教学中, 通过导数对函数的性质进行研究来认识函数的本质. 高中数学由必修和选修组成, 在所学课程中多处涉及导数方面的问题, 足以看到导数在高中数学中占有很高的地位. 在高中学习过程中, 学生通过学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等来理解函数的性质. 而这些性质都可以通过画出函数图像表示出来. 基本初等函数可用描点法画函数图像, 而一些比较难的非基本初等函数无法用描点法绘制函数图像. 在这种情况下, 我们可以用所掌握的导数知识来求一阶导数, 并利用其判定函数的单调区间、极值点、最值点, 利用二阶导数来判定函数的凹凸区间、拐点, 然后利用极限的思想来找出水平渐近线和垂直渐近线, 最后再利用描点法来画出较为准确的函数图像. 这不仅仅能使学生更好地掌握所学的基本知识, 同时扩展了数学思维. 让学生们体会研究导数所用到的思想方法: 先研究函数在某一点处的导数, 再进一步过渡到一个区间上; 在应用导数解决实际问题时, 利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质. 这种从局部到整体, 再由整体回到局部的思想方法是非常值得学生学习的. 二、导数在解题过程中的应用 1. 函数的单调性 函数的单调性是函数最基本的性质之一, 是我们研究函数所要掌握的最基本的知识. 它在中学数学中的用处是非常广泛的. 其思维方法有: ( 1) 利用增 ( 减) 函数的定义判断单调性. ( 2) 导数法. 利用在 ( a, b) 内可导的函数f ( x) 在 ( a, b) 上递增 ( 或递减) 的充要条件是f' ( x) ≥0 ( 或f' ( x) ≤0) , x∈ ( a, b) 恒成立 ( 但f' ( x) 在 ( a, b) 的任意子区间内都不恒等于0) . 方法 ( 1) 中的化简较为烦琐, 比较适合解决抽象函数的单调性问题, 而利用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握, 特别是对于具体函数更加适用. 2. 利用导数求极值和最值 最值和极值问题是高中数学的重点, 也是一个难点. 它涉及了高中数学知识的很多方面, 要解决这类问题往往需要各种能力, 同时需要选择合理的解题途径和策略. 用导数解决这类问题可以使解题过程简单化, 步骤清晰, 学生也更容易掌握. 应注意函数的极值与最值的区别与联系, 极值是一个局部性概念, 而最值是某个区间的整体性概念. 一般地, 函数f ( x) 在闭区间[a, b]上可导, 则f ( x) 在[a, b]上的最值求法: ( 1) 求函数f ( x) 在 ( a, b) 上的极值点; ( 2) 计算f ( x) 在端点和极值点的函数值; ( 3) 比较f ( x) 在端点和极值点的函数值, 最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 3. 切线问题 在某一点的切线方程为y - f ( x0) = f' ( x0) ( x - x0) , 但应注意点P ( x0, f ( x0) ) 在曲线y = f ( x) 上, 否则易错. 利用导数求切线问题一般可以分为两类: 过一点的切线方程和两曲线切线方程. 第一种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况, f' ( x0) 的几何意义就是曲线在点P ( x0, f ( x0) ) 处切线的斜率; 而第二类用常规方法求解, 运算量大, 过程特别烦琐, 而利用导数知识就为解决这类问题提供了简洁的方法, 即先分别求出两曲线的切线, 利用它们是同一直线来建立关系求解. 4. 证明不等式 纵观这几年高考, 凡涉及不等式证明的问题, 其思维量大、综合性强, 因此历来是高考的难点. 利用导数去证明不等式, 就是利用不等式与函数之间的联系, 直接或者间接等价转化后, 结合不等式的结构特征, 构造相应的函数. 通过导数运算判断出函数的单调性, 将不等式的证明问题转化为函数问题. 5. 讨论方程解的个数 在讨论方程的根的存在性及个数问题上, 导数是一个很好的工具, 在这一类的问题上关键是将方程的问题转化成函数的零点或者函数图像交点问题, 利用导数讨论函数的性质并结合根的存在性定理及函数图像来解决问题. 三、利用导数解决实际应用问题 导数不仅可以解决函数、切线、不等式问题, 还可以解决一些实际应用问题. 近年来, 高考越来越关注对实际问题的考查. 生活中经常遇到求利润最大、效率最高、费用最省等问题, 这些问题通常称为最优化问题, 我们可以通过导数求函数最值的方法来解决这类问题. 导数描述了一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢程度, 即因变量关于自变量的变化率. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: ( 1) 分析实际问题中各量之间的关系, 列出实际问题的数学模型, 写出实际问题中变量之间的函数关系y = f ( x) , 要注意x的范围. ( 2) 利用导数求函数f ( x) 的极值和函数的最值, 给出数学问题的解答. ( 3) 把数学问题的解答转化为实际问题的答案. 导数及其应用是微积分学的重要组成部分, 是解决许多问题的有力工具, 它全面体现了数学的价值. 既给学生提供了一种新的方法, 又开阔了学生的视野, 让学生接触到极限等新的数学方法和数学思想, 对数学新的发展将会有进一步的了解. 总而言之, 导数的开设促进了学生全面认识数学的价值, 而且发展了学生的辩证思维能力, 也为将来进一步学好微积分打下基础. 因此, 在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义. 摘要：导数把初等数学和高等数学紧密的结合, 在整个学习过程中充当着纽带、桥梁的作用.在教学解题过程中可以充分利用导数的思想来解决函数问题、切线问题、不等式问题以及实际中的应用问题. 关键词：高中数学；导数公式；应用 导数是一种比较特殊的函数，在它的应用中始终贯穿了函数的思想，利用导数研究函数是多种多样的，例如函数的连续性、单调性、函数的极值等。导数作为高等数学的基础，是一种强有力的工具，它在解决函数问题的过程中提供了新的思路和方法，可以使问题得到快速的解决.导数是微积分的最为基础概念，是微积分的核心概念之一。 导数作为一种重要而又有效的数学工具，在解决函数问题时非常方便。在具体的数学问题中有着广泛的应用。通过导数的解决函数问题的过程中，要重视对基础知识的理解，要努力熟练掌握导数的有关知识，进一步加深对大学数学知识的理解和认识。导数是两个无穷小变量比的极限，反映函数的变化率。同时，高中数学导数公式集中反映了导数公式应用思想。在结合课改和高中生身心发展现状时，要培养学生的辩证思想和掌握导数的变化趋势，这对于应用导数公式解决高中生日常数学难题，具有积极地指导作用。 参考文献 1 李小强.例谈导数在高中数学中的简单应用[J].读写算：教育教学研究，2011，（32）：128-128 [语言运用层] 1．下列各句中，加点的成语使用不正确的一句是（）A．昆曲和西方歌剧的表演风格大相径庭，昆曲的旋律节奏很慢，演员们的表演也更加细．．．．腻，服装非常漂亮。 B．随着高考的日益临近，大多数考生都忙于在题海遨游，不能自拔。．．．．C．几个月过去了，那场景至今让原告刻骨铭心。．．．．D．松山湖新兴综合市场内猪肉、水产、副食、蔬菜、水果等一应俱全。．．．．【解析】 A项，“大相径庭”表示彼此相差很远或矛盾很大；B项，“不能自拔”指深深陷入某种境况，自己没办法摆脱；C项，“刻骨铭心”形容记忆深刻，永远不忘；D项，“一应俱全”指一切齐全，应有尽有。 【答案】 B 2．下列各项中，没有语病的一项是（）A．当今的世界，各个国家、地区相互依存，已经形成了你中有我、我中有你的格局，是一个经济全球化的时代。 B．今年以来，全国房价过快上涨的势头虽然已经得到初步遏止，但是部分一线城市住房价格仍然过高，调控房地产市场的工作依然繁重。 C．记者在采访中发现，到场的不少爱心企业、慈善组织和热心人士大多希望在活动经费方面支持志愿服务项目的开展。 D．中国古老的智慧、经典的知识，尽管难以具有实际的功效，但它有着益人心智、怡人性情、改变气质、滋养人生的价值同样不可小视。 【解析】 A项，中途易辙，导致主宾搭配不当。B项，语序不当，“虽然”应移至“全国房价”前。D项，句式杂糅，应删去“同样不可小视”。 【答案】 C 3．填入下面一段文字横线处的语句，最恰当的一句是（）随着雾霾频发，油品质量对环境的影响引起了人们越来越多的关注。有测试表明，一些城市空气中PM2.5的20%左右来自机动车尾气，而只要使用符合新标准的汽油和柴油，________。有鉴于此，我国将加快推进成品油质量升级国家专项行动。 A．即使现有汽车不作任何改造，其尾气中相关污染物的排放也能减少10% B．汽车尾气中相关污染物的排放就可减少10%，现有汽车的改造并不是必须的 C．再加上对现有汽车进行改造，其尾气中相关污染物的排放就将减少10%以上 D．不管是否改造现有汽车，其尾气中的相关污染物排放都将减少10% 【解析】 本题考查语言表达连贯的能力。整个语段叙述的中心是尾气排放量对空气质量的影响，“使用符合新标准的汽油和柴油”、提升“成品油质量”都是为了降低尾气排放量。所以，要填写的句子的叙述重点也应该落到尾气排放量上。B项，叙述重点是“汽车的改造”；C项，“再加上对现有汽车进行改造”与原文中“只要使用……和柴油”矛盾；D项，“不管……都……”句式，不如A项的“即使……也……”语句强烈，更能显示出后文“加快推进成品油质量升级”的迫切性，所以A项更恰当。 【答案】 A 4．仔细阅读下面这幅北京市高考改革方案的漫画，按要求作答。 (1)用简洁的语言概括这幅漫画的主要信息。(不超过25字)________________________________________________________________ ________________________________________________________________(2)请从“语文”的角度，说说你对这一改革方案的看法及理由。(不超过30字)________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 【答案】(1)北京高考英语分值降低，母语权重增(或表述为：北京高考改革，英语降分，语文及文理科综合涨分)。 (2)(示例)支持(或“赞成”)。理由：①汉语是母语，承传着中华优秀的文化与传统；②语文是基础学科中的基础，是其他学科难以取代的；③语文是综合性、实践性很强的学科，它关系到国民整体素养的提升。(答对其中一点即可。如有其他答案，言之成理亦可) [阅读提升层] 阅读下面的文字，完成5～8题。 打猴儿 马步升 ①长鞭一甩，一道劲风割破空气的网，“啪”地上腾起一团黄尘，一只猴儿满地迅跑，刚挨了鞭子，猴儿转得快，在人的眼里，猴儿的两只眼睛叠成了一只。猴眼向着高天，匆遽地，一瞥，一瞥，又一瞥。如此快的转速，能瞥清楚个什么，眼里的乾坤一定是混沌的。那时候，我写作文时，常用天旋地转这个成语，实际上，至多是跌了一跤，或饿了一会儿肚子，目光有些恍惚，脚板有些虚飘，天哪里就旋了，地哪里就转了。我看见挨了鞭子的猴儿，转得快得一只眼睛赶上了另一只，我想只有当一只眼睛赶上另一只时，才算是天旋地转。 ②两只猴眼渐分渐离，终于各是各时，又一记重鞭，又一团黄尘，猴儿又转快了，两只眼睛又叠在一起。 ③鞭子在我手中，我抽，猴儿转。抽不抽，抽轻抽重，在我；转不转，转快转慢，由不得猴儿。 ④这要看我的兴致。主动权在我手中，谁叫我是手掌鞭子的人，而它是不由自主的猴儿呢。 ⑤猴儿是木头刻的，头面平整，肚儿凸圆，腿脚尖短，通常用枣木或杏木作料，这两种木头坚硬光滑，有重量，材料家家都有。猴儿的两只眼是涂上的蓝黑墨水。墨水瓶上印着八个字：由蓝变黑，不会褪色。真的，一只猴儿挨了多年重鞭，用墨水画一次眼圈，仍是那般蓝黑蓝黑的，那种颜色是渗入木头里面的，好比人的眼睛，落地时是什么颜色，入土时也变不了多少。猴儿在有些地方叫陀螺，我们叫猴儿。猴子身形矫健，好动，手脚没有闲的时候，挨了打，又奔跳不休。把陀螺叫猴儿，为没有生命的东西赋予了生命，颇有些隐喻成分。 ⑥抽猴儿的鞭子也是就地取材。鞭杆是用红柳枝做的，颜色暗红，木质坚韧而圆润，很有手感，抓在手里就有攻击的欲望，如同手里有一副弓箭，一支枪，不瞄准个什么，不击落个什么，由不得人。鞭梢是用麻坯搓的，搓成三棱棒，抽在猴儿身上，能听见碎裂声，可以让人获得热血沸腾的快感。一只猴儿从刻成到交付使用，到老迈转而不灵，身上到处都是森 森鞭痕。一鞭一痕，直到身体失去平衡，被主人随便遗弃在哪个荒凉的角落。碰到会过日子的主人，还会将它扔进火塘，发挥余热。 ⑦而猴儿的主人大抵都是不谙世事的孩童。 ⑧我从小学打猴儿，一直打到当生产队社员，不知抽断过多少鞭梢，不知抽烂过多少只猴儿。长大了，有力气挥鞭抽猴儿了，却不能再玩这种游戏。农村孩子长到虚岁十五，就算是大人了，就该独当一面为家分忧了。 ⑨确实，长大了有长大了的事情，打猴儿的权利只属于孩童。 ⑩过了多少年，蓦然回首，却发觉打猴儿的游戏从未中断过，与先前有别的是，我仿佛也是一只猴儿，鞭子却不知抓在谁手中。虽是无形之鞭，抽在身上却内外都痛。我不停地旋转、奔跑，稍作喘息，鞭子就来了。终于到了连挨鞭子的资格都没有时，缩在随便哪个角落，抚摸着身上森森鞭痕，举头向天，正感叹江阔云低断雁叫西风时，猛然瞥见被扔进火塘婉转叫号的同类，心里倒涌上被饶恕的庆幸和感恩。 5．第⑨段在文中有什么作用？请简要分析。 ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 【解析】 回答此题，既要整体把握文段内容，从文段所写内容出发；又要注意根据此段在文本中的位置从文章结构方面进行分析。题中，该段内容表现了长大后的无奈；在结构上起了承上启下的作用，既总结了上文所写童年打猴儿的经历，又引出了下文对不能打猴儿的感悟。 【答案】 ①结构上：承上启下，对上文写童年打猴儿经历的收束，引出下文对不能打猴儿的感悟。②内容上：表现了长大后的无奈。 6．文章从哪两个方面描写了猴儿的不由自主？请加以概括。 ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 【解析】 回答此题，要根据题目要求，从文本中筛选出“猴儿不由自主”的两个方面。先写表现后总结归纳或先总结归纳后写表现都可以。比如，猴儿转不转，转快转慢，都不由它自己决定；这是行动不由自主。猴儿被随便遗弃在角落，甚至扔进火塘烧掉；这是结局不由自主。 【答案】 ①转不转，转快转慢，都不由猴儿自己决定；行动不由自主。②猴儿被随便遗弃角落，甚至扔进火塘烧掉；结局不由自主。 7．请简要分析文中画线句子的表达特色。 ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 【答案】 从视觉、触觉、听觉和内心感受方面，多角度描写。运用比喻手法，生动形象地写出手拿鞭子的攻击欲。 8．请探究“打猴儿”的深刻寓意。 ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 【解析】 这是一道探究性试题，探讨文本所蕴含的寓意。文本写猴儿命运的不由自主，实际就是在写人的命运像猴儿一样身不由己；写猴儿在人的压迫下疲于奔命、结局悲惨，就是在写人在压迫下疲于奔命、结局悲惨；写人手拿鞭子就会产生鞭打猴儿的欲望，就是暗示一些人一旦拥有权柄，就有操控别人的欲望。 一.现阶段高中数学导数教学的现状 （1）教学模式单一，对学生学习方法引导不够 在文理分科的背景下，导数在高中数学学科中是作为一门选修课程来学的，这造成了文科学生由于对导数的应用了解不深而不能很好地掌握，利用导数求解函数参数问题也就无从谈起。同时由于实行新课改后，数学学科的课时被压缩，很多教师为了在短时间内完成大纲规定的内容，在教学过程中一般来说都是采取的教师讲授或者板书，毫无疑问，在整个教学的过程中学生都是被动听课的方式进行教学的，这种教学方式在一定程度上大大压制了学生思维的活跃性和课堂参与的积极性。这就造成了学生由于导数内容太难而失去学习激情，这更加不利于导数知识的掌握，不利于教学活动的开展。 （2）应试教育观念导致的教学僵化 一直以来，我国的应试教育体制在教育体系中的地位都比较稳固，甚至到现在为止还没有得到完全的消除。即使实行了新课改，很多教师由于教学观念没有转换过来，在教学过程中过于重视考试题型的讲解和练习，而忽视了帮助学生对数学思想和内涵进行正确认识，这导致了学生在导数学习中纯粹以考试为目的，机械式地背诵公式，无法将所学导数知识运用于生活和其他学科的内容学习中，这与新课改提倡的素质教育理念是不相符的。导数教学的难点在于学生对于导数的认识不足，难以理解导数概念，这需要老师利用物理学科或者生活中的场景进行深入了解，而不是用纯粹的理论化的数学概念来对学生进行“填鸭教育”。 二、新课改下提高数学导数教学质量的措施 （1）帮助不同的学生制定不同的学习计划 总的来说，学习方法是学生进行有效学习的基础，而且在一定程度上对学生的学习起着举足轻重的作用。正确的学习方法是学生有效掌握所学知识的保证，这就要求数学教师在课堂教学中除了对学生进行课堂内容讲解外，还需要通过一定的测试和沟通来了解学生的导数内容掌握情况，对于掌握不足的学生应该帮助制定相应的学习计划，测试的目的不是为了成绩，而是为了掌握学生的学习情况，同时针对学生的学习情况对教学计划进行适当的调整，如果后续的学习计划制定没有跟上，那么测试也就失去了意义。 （2）借助案例帮助学生加深对导数的理解 导数由于其对于高中学生来说过强的理论性，造成了学生对于导数的理解和应用往往掌握不够，这种情况下纯粹的理论教学只会造成学生进一步的不理解，这十分不利于学生的学习效率和老师的课堂效率，所以在导数的课堂教学中，老师要注意借助导数应用案例来激发学生的学习热情，比如物理运动的速度变化问题、加速度变化问题等，这样不仅能够帮助学生更好地理解导数内涵，而且能够使学生在加强对其他学科知识的理解的同时主动思考导数知识在生活中的应用，大大提高了教学质量和效率。 （3）加强导数技巧性和应用训练 在平时的教学中应该多鼓励学生应用导数内容求解函数等相关问题，这样可以进一步提高学生对导数的理解程度和应用水平。同时老师也可以针对导数的应用多出一些技巧性的题目对学生进行训练，比如利用导数知识来画出二阶、三阶函数的图像等，学生要做出这种题目就需要一定的技巧，随着解答的技巧性题目数量的增多，学生对于导数的应用也就更熟练。同时在导数的初学阶段，由于学生对于导数理解不够，老师可以出一些含有生活案例的题目让学生来解答，比如将学生骑车时速度变化的问题加入到导数题目中，这样可以促使学生主动思考导数知识，加深对导数的理解，为以后的导数深入学习打下基础。 三、结语 第一章 统计案例 1．线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：ybxa（最小二乘法） n xiyinxy i 1bn 2注意：线性回归直线经过定点(x,y)。2xnxi i1 aybx n (x 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：r i1n i x)(yiy) n i (x i1 i x) 2(y i1 y) 2注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关； ⑵①|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r| 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。3．回归分析中回归效果的判定： n ⑴总偏差平方和： (y i1 i y)⑵残差：eiyiyi；⑶残差平方和：(yiyi)；⑷回归平方和： i1 n n n n i (y yi)yi) i1 (yiy)－(yiyi)；⑸相关指数R i1 1 i1n。 i (y i1 注：①R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好； ②R越接近于1，则回归效果越好。4．独立性检验（分类变量关系）： 随机变量K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 第二章 推理与证明 一．推理： ⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 ②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。 二．证明 ⒈直接证明 ⑴综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2．间接证明------反证法 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 第三章 数系的扩充与复数的引入 1．概念： (1)z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z= z2≥0； (2)z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)； (3)z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0； (4)a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)； 2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di(a,b,c,d∈R)，则： (1)z 1±z2 =(a + b)±(c + d)i； (2)z1.z2 =(a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+(ad+bc)i； (3)z1÷z2 =(abi)(cdi) (cdi)(cdi) acbd cd22bcadcd22i(z2≠0); 3．几个重要的结论： (1)(1i)22i；⑷ (2)i性质：T=4；i4n1i1ii;1i1ii;4n21,i4n1i,i z。1,i4n3i；i4ni4n1i42i4n30;(3)z1zz1 4．运算律：（1）zmzznmn;(2)(z)zmnmn;(3)(z1z2)z1z2(m,nN);mmm 5．共轭的性质：⑴(z1z2)z1z2 ；⑵z1z2z1z2 ； ⑶(z1 z2)z1z2 ；⑷ zz。 6．模的性质：⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；⑵|z1z2||z1||z2|； ⑶| 关键词：导数,高中数学,不等式 导数是微积分的初步知识, 同时也是新教材的新增内容, 是研究函数、解决实际问题的有力工具, 在近年的高考中已占有突出的地位, 是高考和各地模拟考试的热点, 2006年以及2007年全国各地高考试卷中均有与导数有关的综合问题。从不同的角度对导数知识, 灵活考查了综合利用所学知识解决数学问题的能力。导数与不等式、方程、解析几何、数列、函数等其他知识的交汇进行命题, 考查应用数学知识解决综合问题的能力已成为近年来高考的一大亮点, 一直是高考命题的热点与焦点。因此, 在复习时要增强运用导数知识解决数学问题的意识。 (一) 导数在求函数最值中的应用 高中函数的最值问题是高中数学中的一个重点, 也是一个难点, 在导数引入高中课本以前, 求函数最值的方法就有很多种, 但是导数引入高中课本后, 对很多求最值类型的题目不仅多了一种解题的方法与思路, 而且更是解决问题的简便方法之一。 由于最值问题中二次函数的最值比较典型, 本文就以导数在求二次函数最值中的应用为例。在大部分高考题目中, 二次函数的区间最值是指二次函数在某个特定区间上的最大 (小) 值, 这类题往往含有参数, 是高考的热点与难点。如果用数形结合的思想和方法来解答, 则十分麻烦, 但利用导数来解答, 则简洁明了。导数的作用主要是判断函数在此区间上的单调性与函数的极值点, 解题的关键在于考察二次函数的极值点与区间的相对位置关系。 例1: (2002年全国高考题) 已知函数f (x) =ln (1+x) -x, 求f (x) 的最大值。 像这种比较特殊的复合函数求最值, 运用其他的方法一般比较复杂, 也很难找到突破口, 如果用导数的方法就显得相对比较简单了, 但是需要注意的是这类函数求最值问题一般需要先求出其定义域。 解:f (x) 的定义域为:x∈ (-1, -∞) 求导得: 令f′ (x) =0得x=0 当-1 又f (0) =0 所以当且仅当x=0时, f (x) 有最大值, 即:f (0) =0。 (二) 利用导数判断函数的单调性 在导数被引进高中数学课本以前, 判断函数的单调性最常规的方法就是定义法, 但是定义法一般常常用来判断一些简单函数的单调性, 遇到稍微复杂一点的函数在利用定法判断的时候比较繁琐。导数引进以后就可以尝试用导数来判断函数的单调性了。 利用导数判断函数单调性的基本原理就是, 针对一个函数f (x) , 如果它的导数f′ (x) 在区间[a, b]上大于0, 则函数f (x) 在区间[a, b]上是单调递增的, 否则则是单调递减。 例2:已知函数f (x) =x2eax (a≤0) , 讨论f (x) 的单调性。 解:f′ (x) =x (ax+2) ex 1. 当a时, 令f′ (x) =0, 得x=0, 若x>0, 则f′ (x) >0, 则f (x) 在 (0, +∞) 单调递增; 若x<0, 则f′ (x) <0, 则f (x) 在 (-∞, 0) 单调递减。 2. 当a<0时, 令f′ (x) =0, 得x=0或x=-2/a, 若x<0, 则f′ (x) <0, 则f (x) 在 (-∞, 0) 单调递减; 若0 若x>-2/a时, 则f′ (x) <0, 则f (x) 在 (0, +∞) 单调递减。 在解答本类型题目的时候需要注意两点:一是要掌握常见函数的导数的求法, 尤其是复合函数导数的求法需要重视, 二是在说明函数的单调性质时一定要指明是在哪个区间上具有什么样的单调性。 (三) 利用导数证明不等式 函数与不等式的结合是高中数学中比较典型的题目, 尤其是近年来在命题宗旨越来越趋向综合化的命题指导思想模式下, 函数与不等式的结合愈加紧密。根据以往很多省份的高考试题研究结果, 很多不等式的证明几乎都可以利用导数来解决。 例3:已知函数f (x) =x (x-a) (x-b) , 其中0 证明:首先求f (x) 导数, 得: f′ (x) =3x2-2 (a+b) x+ab 由f (x) 在x=s和x=t取到极值, 知: s, t是二次方程f′ (x) =0的两实根, 又:f′ (0) =ab>0 f′ (a) =a2-ab=a (a-b) <0 f′ (a) =b2-ab=b (b-a) >0 即f′ (x) 在区间 (0, a) (a, b) 内分别有一个实根, 由s 以上是用导数将二次函数“降次”转化为研究二次方程在 (0, a) 与 (a, b) 存在实根的问题, 结合实根分布理论, 运用数形结合的思想, 实现了不等式的证明。当然, 还有很多利用导数证明不等式的时候需要用到结合利用函数的单调性。 (四) 利用导数来解决切线问题 f′ (x0) 的几何意义就是曲线y=f (x) 在点 (x0, f (x0) ) 处的切线的斜率, 其切线方程可以表示为y-f (x0) =f′ (x0) (x-x0) 。近几年来, 随着高考对导数知识考查力度的不断加大, 关于高次曲线、分式曲线、根式曲线、指数曲线、对数曲线、三角曲线、圆锥曲线的切线问题逐渐进入高考试卷, 成为高考试卷中一道亮丽的风景线。导数的几何意义为这些用传统方法难以求解的切线问题提供了新思路、新方法、新途径, 拓宽了高考的命题空间。下面结合某些高考题或高考模拟题, 介绍导数在解决高中切线问题的基本方法与思路。 例4: (2006年安徽高考题) 若曲线y=x4的一条切线m与直线x+4y-8=0垂直, 求切线m的方程。 解:本题中切线m的斜率根据直线m与直线x+4y-8=0垂直很容易得出, 知道直线m的斜率后要想求出它的方程, 只需要找出一点就行了。 因为直线x+4y-8=0的斜率是-1/4, 所以直线m的斜率是4, 因此, y′=4x3=4, 所以x=1, 故切点为: (1, 1) 。 于是所求的切线m的方程为y-1=4 (x-1) , 即:4x-y-3=0。 由于篇幅限制, 关于导数在分式曲线、根式曲线、指数曲线、对数曲线、三角曲线、圆锥曲线的应用再次就不再累述, 但是基本的原理与思路都是相同的。 本文重点探讨了导数在求函数最值, 在证明不等式, 在求函数单调性以及在切线问题中的应用, 事实上, 导数的应用范围还远远不止这么多, 例如在向量中的应用, 在解析几何与立体几何中都具有重要的应用。关键是由于导数内容是安排在高中数学的最后一册, 而平时很多学生在解答题目的时候已经习惯用比较常规的定势思维来解决这些问题, 尤其是在考试那种氛围下更是难想到用导数的方法来解题, 这就需要在平时中多加训练。 参考文献 [1]范运灵.高中导数的交汇问题[J].考试, 2007, (3) . [2]何勇波.利用导数求二次函数的区间最值[J].数学教学研究, 2006, (9) . [3]李昭平.例谈高考中切线问题的七大类型[J].考试, 2006, (11) . [关键词] 导数 高中数学 合理应用 [中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0000 导数是高考出题的热点，这让教师和学生对导数学习的意识也逐渐加强.导数在数学教学中的引入，加深了学生对函数的理解，激发了学生的创新思维，同时引导学生将导数解题的方式运用到实际生活中去，并且对激发学生学习数学的积极性有一定的作用.所以导数是数学教学中有利的辅助工具.注重引导学生用导数进行解题，并且能熟练掌握已成为数学教学的教学目标之一. 一、导数在代数中的应用 导数不是很复杂难学的知识，只要将公式、法则、性质牢记于心，多做练习，自然就能熟练应用.运用导数求极值一般有固定的解题步骤：首先求出f′（x）的根值，根据所得数值，确定根两侧的函数单调性，再根据单调性呈现出来的递增或递减状态，得到相应的最大值或最小值.如果两侧单调性相同，则说明此根处没有相应的极值. 例如，用导数求函数f（x）=-x3+3x2+9x在单调区间[1，5]上的最大值. 解： 函数f（x）的导数为f′（x）=-3x2+6x+9，所以在区间（-1，3）上是单调递增的，即f′（x）>0.在区间（-∞，-1），（3，+∞）上是单调递减的；对于区间[1，5]在[1，3]的范围内f′（x）>0，即是递增，在[3，5]范围内f′（x）<0即为递减，所以根据极值的定义可得出，在x=3处取得最大值，即f（3）=63. 这类题目在高中是常见的基础题型，在某一区间内求取极值的问题，根据导数的定义，在区间内如果两侧符号不同，那就说明这个区间存在极值，以此为根据，有清晰的解题思路，就能快速地解出答案. 二、导数在几何中的应用 导数在几何题目的解答上都能使解题变得更高效简单.学生在导数知识章节的学习中，对于导数的公式和两个函数之间的四种求导法则，可以不用加以过多的证明，但一定要将公式和法则熟记于心，在遇到难题时，能够正确使用相应的步骤和法则.学生在导数知识的学习过程中，也要注意适时的进行总结，对知识有一个连贯性.注重知识的全面运用，可以提升学生自身的综合学习能力. 导数在几何解题的应用也可以有效地提高解题效率.比如常见的给出某M点坐标和曲线c方程，求出最终的切线方程.解题基本上也是有固定的步骤：首先确定M点是否在相应的曲线c上，另外要求得相应的导数f′（x）；根据题目的实际情况会得出不一样的数值，然后结合导数知识根据具体的情况运用相应的方程公式.如果点在曲线上，那么需要用的方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果点不在曲线上，那么需要用到的方程为y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此为根据，得出具体的x1的值，这样就能求得切线方程. 在几何题目的解答中，合理的应用导数可以使计算方法变得更加简单，通过这种方式可以提高数学题目解答的效率.在高中数学中我们经常会遇到坐标系中切线方程求解.一般的题目都是给出曲线外的一个坐标点，让学生来求解过这个点的曲线的切线方程，这些题目的解答都是通过导数来实现的. 例如：已知一条直线p：x+4y-4=0，以及曲线y=x4，直线p与曲线的一条切线n相互垂直，求切线n的方程.这是一道典型的采用导数来进行解答的曲线切线题目.在解题的过程中，我们要对题目所给的信息进行分析，根据直线x+4y-4=0与切线n相互垂直这一信息，来计算出n这条直线的斜率，然后再求出曲线的导函数.当导函数取具体值的时候，我们就可以将其对应的点坐标求出，这样就可以根据斜率和点的坐标来得出直线的方程.具体解题步骤为：y=x4，求导结果为y′=4x3，直线x+4y-4=0的斜率为-1/4，那么与这条直线垂直的直线n的斜率就是4.我们令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，这条直线与曲线的交点，也就是切点的位置就是（1，1），那么对应的切线方程就为y-1=4（x-1），即为y=4x-3. 学生要想在数学解题中很好地应用导数，必须是建立再对导数的概念、性质以及法则等有深刻理解的基础上的.通过导数典型性的应用，可以使一些题目变得一题多解，帮助学生对各个知识点有更加深层的掌握，并在此基础上选择较为简单的方法，更好的解决问题. 总之，导数在高数解题中的运用，有效地帮助学生更快速地解答难题；在有些包含导数、方程组、数列等方面的综合题目，通过使用导数进行解题，可以考察学生的综合思考能力，提高高中数学教学有效性. [ 参 考 文 献 ] [1]吴龙福.例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用[J].数学大世界：教师适用，2012，（11）：62-62. [2]郝利军.关于高中数学导数公式的应用研究[J].文理导航（中旬），2014，（8）：19-19. 建议先理论分析，再列举一个具体的例子. 【学习目标】 1.会用数学归纳法证明贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN，了解当n n 为实数时贝努利不等式也成立 2.培养使用数学归纳法证明不等式的基本技能 【自主学习】 1.使用数学归纳法独立完成贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN的证n 明 2.自我感悟什么样的不等式易于用数学归纳法证明？ 3.用数学归纳法证明不等式时要使用归纳假设进行放缩，如何放缩才能奏效，要积累经验，特别是出现二次式时要注意留心总结.4．对于两个数的大小的探究要提高警惕，一般探究要比较的丰富，才利于做出正确的猜测.【自主检测】 1.用数学归纳法证明1 12131*nnN,n1时，由n=k（k>1）时不等2n1 式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（） A.2k1B.2k1C.2kD.2k1 2.用数学归纳法证明11n1n2111nN*时，由n=k到n=k+1时，不nn2 4等式左边应添加的项是＿＿＿＿ 3.当n=1，2，3，4，5，6 时，比较2n与n2后，你提出的猜想是＿＿＿＿ 【典型例题】 111例1.用数学归纳法证明：nN,n1 111352n1 例2.设数列an满足an1an2nan1nN* 1.a12时，求a2,a3,a4并由此猜想an的一个通项公式 2a13时，证明对所有n1有1ann2 2例3.已知函数gxx22xx1,fxabaxbx，其中a、bR,a1,b1,ab,ab4对于任意的正整数n，指出fn与g2n的大小关系，并证明之 x11 +1a11a211 1an 2【课堂检测】 1.设n为正整数，fn1nN，计算知11231n 357f2,f42,f8,f163,f32，据此可以猜测得出一般性结论为()222 2n1n2n2 A.f2nB.fn2C.f2nD.以上都不对 222 n0为验证的第一个值，2.欲用数学归纳法证明对于足够大的正整数n，总有2nn3，则()A.n01B.n0为大于1小于10的某个整数C.n010D.n02 3.用数学归纳法证明111241127，n的起始值至少应取为n126 44.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n，点n,Sn均在函数 ybxr(b0,b1，b、r均为常数）的图像上.(1)求r的值 (2)当b=2时，记bn2log2an1 nN*，证明对所有正整数n，不等式 b11b21b1b2bn1 bn 【总结提升】 1.数学归纳法依然是证明与正整数有关的不等式行之有效的方法.但在证明递推的依据是成立的时候常常需要放缩，故千万要注意不等式的基本性质和函数的单调性的作用.2.数学归纳法证明不等式时有时不能直接进行，常需加强命题，为此难度就比较大，且加强又不易完成.如证明1 为111223211222315nN*,n1，就可以加强2n3152nN*,n1再用数学归纳法.2n32n1 答案与提示 第一章常用逻辑用语 1、1命题及其关系 1、1、1命题 1、1、2四种命题 1.C2.C3.D4.若A不是B的子集，则A∪B≠B5.①6.逆 7.(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数.真命题(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.假命题 8.原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交.逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行.否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交.逆否命题：在平面中，若两条直线相交，则这两条直线不平行.以上均为真命题 9.若ab≠0，则a,b都不为零.真命题 10.逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b) 1.C2.D3.B4.0个、2个或4个 5、原命题和逆否命题 6.若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数;真 7.逆命题：若a2=b2，则a=b.假命题.否命题：若a≠b，则a2≠b2.假命题.逆否命题：若a2≠b2，则a≠b.真命题 8.用原命题与逆否命题的等价性来证.假设a,b,c都是奇数，则a2,b2,c2也都是奇数，又a2+b2=c2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a,b,c不可能都是奇数 9.否命题：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0.真命题.逆否命题：若a≠0,或b≠0，则a2+b2≠0.真命题 10.真 11.三个方程都没有实数根的情况为(4a)2-4(-4a+3)<0,(a-1)2-4a2<0, 4a2+8a<0-32 1.A2.B3.A4.(1)/(2)/(3)(4)/5.充分不必要 6.必要不充分7.“c≤d”是“e≤f”的充分条件8.充分条件，理由略 9.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a<0 10.m≥911.是 122充要条件 1.C2.B3.D4.假；真5.C和D6.λ+μ=17.略8.a=-3 9.a≤110.略11.q=-1,证明略 1.3简单的逻辑联结词 131且（and）132或(or)133非(not)1.A2.C3.C4.真5.①③6.必要不充分 7.（1）p:2<3或q:2=3;真（2）p:1是质数或q:1是合数;假（3）非p,p:0∈;真（4）p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分;真 8.(1)p∧q：5既是奇数又是偶数,假;p∨q：5是奇数或偶数,真;：5不是偶数，真(2)p∧q:4>6且4+6≠10,假；p∨q：4>6或4+6≠10,假;:4≤6,真 9.甲的否定形式：x∈A,且x∈B;乙的否命题:若(x-1)(x-2)=0,则x=1,或x=2 10.m<-111.52，+∞ 1.4全称量词与存在量词 141全称量词 142存在量词 1.D2.C3.(1)真(2)真4.③ 5.所有的直角三角形的三边都满足斜边的平方等于两直角边的平方和 6.若一个四边形为正方形，则这个四边形是矩形；全称；真 7.(1)x，x2≤0(2)对x,若6|x则3|x(3)正方形都是平行四边形 8.（1）全称；假（2）特称；假（3）全称；真（4）全称；假 9.p∧q:有些实数的绝对值是正数且所有的质数都是奇数，假； p∨q：有些实数的绝对值是正数或所有的质数都是奇数，真； p：所有实数的绝对值都不是正数，假 10.(1)存在，只需m>-4即可(2)(4，+∞)11.a≥-2 143含有一个量词的命题的否定 1.C2.A3.C4.存在一个正方形不是菱形5.假 6.所有的三角形内角和都不大于180度 7.（1）全称；p假（2）全称；p假（3）全称；p真 8.（1）p：存在平方和为0的两个实数，它们不都为0（至少一个不为0）；假（2）p：所有的质数都是偶数；假（3）p：存在乘积为0的三个实数都不为0；假 9.（1）假（2）真（3）假（4）真10.a≥311.(-2，2)单元练习 1.B2.B3.B4.B5.B6.D7.B8.D9.C10.D 11.5既是17的约数，又是15的约数；假12.〔１，２） 13.在△ＡＢＣ中,若∠C≠90度,则∠A,∠B不都是锐角14.充要；充要；必要15.b≥0 16.既不充分也不必要17.①③④18.a≥3 19.逆命题：两个三角形相似，则这两个三角形全等；假； 否命题：两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；假； 逆否命题：两个三角形不相似，则这两个三角形不全等；真； 命题的否定：存在两个全等三角形不相似；假 20.充分不必要条件 21.令f(x)=x2+(2k-1)x+k2，方程有两个大于1的实数根 Δ=(2k-1)2-4k2≥0,-2k-12＞1, f(1)>0,即k＜-2,所以其充要条件为k<-2 22.(-3,2〕 第二章圆锥曲线与方程 21曲线与方程 211曲线与方程 1.C2.C3.B4.45.?56.y=|x|7.不是，理由略 8.证明略.M1(3,-4)在圆上，M2(-25,2)不在圆上 9.不能．提示：线段AB上任意一点的坐标满足方程x+y-3=0；但是，以方程x+y-3=0的解为坐标的点不一定在线段ＡＢ上，如Ｐ（-１，４），所以方程x+y-3=0不是线段AB的方程．线段AB的方程应该是x+y-3=0（0≤x≤3）10.作图略.面积为4 11.c=0.提示：①必要性：若方程y=ax2+bx+c的曲线经过原点，即(0,0)是方程y=ax2+bx+c的解，则c=0；②充分性：若c=0，即方程y=ax2+bx+c为y=ax2+bx，则曲线经过原点(0,0)212求曲线的方程 1.C2.B3.B4.y=5,或y=-55.x2-y2+6xy=0 6.y2=x+67.x2+y2=4(x≠?)8.x2+y2-8x-4y-38=0〔除去点（-３，５），（１１，-１）〕 9.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0．提示：设C(x,y)，因为直线AB的方程为4x-3y+4=0，|AB|=5，且点C到直线AB的距离为|4x-3y+4|5，故12|4x-3y+4|=10 10.4x-4y-3=0.提示：抛物线的顶点坐标为-m-12,-m-54，设顶点为(x,y)，则x=-m-12, y=-m-54.消去m得到顶点轨迹方程为4x-4y-3=0 11.x+2y-5=0 22椭圆 221椭圆及其标准方程 （一）1.C2.D3.A4.6546.?327.(1)x2+y26=1(2)x225+y216=1 8.x24+y23=19.m∈(2,3)10.x225+y29=1．提示：由△ABF2的周长为20,知4a=20，得a=5，又c=4，故b2=a2-c2=9 11.x225+y216=1(x≠?)．提示：以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立坐标系，由已知得|AB|+|AC|=10，即点A的轨迹是椭圆，且2a=10，2c=6,故a=5，c=3,从而得b2=a2-c2=16，又当A,B,C三点共线时不能构成三角形，故点A的轨迹方程是x225+y216=1(x≠?)221椭圆及其标准方程 （二）1.B2.A3.B4.x26+y210=15.5或36.x24+3y24=1(x≠?)7.x25+y24=1或x25+y26=1．提示：分焦点在x轴、y轴上求解 8.(1)9（2）当|PF1|=|PF2|=5时，|PF1||PF2|的最大值为25.提示：由|PF1||PF2|≤|PF1|+|PF2|2,得|PF1||PF2|≤|PF1|+|PF2|22=25，当且仅当|PF1|=|PF2|=5时取等号 9.x210+y215=1.10.54 11.x29+y24=1.提示：过点M作x轴、y轴的垂线，设点M(x,y)，由相似三角形知识得，|x||OA|=35,|y||OB|=25,即有|OA|=5|x|3,|OB|=5|y|2，由｜ＯＡ｜２＋｜ＯＢ｜２＝｜ＡＢ｜２，得x29+y24=1 222椭圆的简单几何性质 （一）1.D2.C3.A4.165.146.4或1 7.长轴长2a=6，短轴长2b=4，焦点坐标为F1(0,-5)，F2(0,5)，顶点坐标为Ａ１（-２，０），Ａ２（２，０），Ｂ１（０，-３），Ｂ２（０，３），离心率e=ca=53 8.x24+y2=1或x24+y216=1 9.x216+y212=1．提示：由△AF1B的周长为16，可知4a=16,a=4；又ca=12，故c=2，从而b2=a2-c2=12，即得所求椭圆方程 10.(1)x24+y2=1(2)x-122+4y-142=1 11.e=22．提示：设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则c2=a2-b2，F1(-c,0)，P-c,b1-c2a2，即P-c,b2a．因为AB‖OP，所以kAB=kOP，即-ba=-b2ac，b=c，得e=22 222椭圆的简单几何性质 （二）1.D2.D3.A4.120度5.356.x212+y29=17.x24+y23=1 8.x277832+y277212=1.提示：以ＡＢ为x轴，ＡＢ的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则 a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810，a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755,解得a=77825，c=9725,所以b=a2-c2=8755?810≈7721．因此，卫星的轨道方程是x277832+y277212=1 9.-3-22.提示：设原点为O，则tan∠FBO=cb，tan∠ABO=ab，又因为e=ca=22，所以a=2c，b=c，所以tan∠ABF=cb+ab1-cab2=1+21-2=-3-22 10.94.提示：设P(x，y)，先由12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|).12=12.|F1F2||y|可求得y值，再确定点P的坐标 11.6-3.提示:连结Ｆ１Ｑ，设｜ＰＦ１｜＝m，则|PQ|=m，|F1Q|=2m，由椭圆定义得｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝｜ＱＦ１｜＋｜ＱＦ２｜＝２a．∴|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a，即(2+2)m=4a，∴m=(4-22)a．又|PF2|=2a-m=(22-2)a，在Rt△PF1F 2中，|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，即(4-22)2a2+(22-2)2a2=4c2，∴c2a2=9-62=3(2-1)2，∴e=ca=6-3 222椭圆的简单几何性质 （三）1.B2.D3.C4.835.2556.-127.5 8.（1）-52≤m≤52（2）x-y+1=0，或x-y-1=09.y275+x225=1 10.3x+4y-7=0．提示：设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x214+y213=1①，x224+y223=1②，①-②得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)3=0，∴y1-y2x1-x2=-34.x1+x2y1+y2．又M为AB中点，∴x1+x2=2,y1+y2=2，∴直线l的斜率为-34，故直线l的方程为y-1=-34(x-1)，即3x+4y-7=0 11.(1)所求轨迹为直线4x+y=0在椭圆内的一条线段（不含端点）．提示：设l交C于点A（x1,y1），B(x2,y2)，由y=x+m, 4x2+y2=1,得5x2+2mx+m2-1=0，由Δ>0，得4m2-4?(m2-1)>0，得-52 231双曲线及其标准方程 1.D2.C3.C4.(0,6),(0,-6)5176.28 7.（1）x216-y29=1（2）y220-x216=18.x23-y22=1 9.x29-y227=1(x＜-3)．提示：由正弦定理，结合sinB-sinC=12sinA，可得b-c=12a=12|BC|=6，故点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的左支，且不含双曲线与x轴的交点．因为a双=3，c双=6,所以b2双=27，故所求动点的轨迹方程为x29-y227=1(x＜-3)1036.提示：分别记PF1，PF2的长为m,n,则m2+n2=400①，|m-n|=16②.①-②2得到2mn=144,所以△F1PF2的面积S=12mn=36 11.巨响发生在接报中心的西偏北45度,距中心68010m处.提示：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正方向，建立直角坐标系.则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020），设P（x,y）为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因为点B比点A晚4s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=340?=1360，由双曲线定义知点P在以A，B为焦点的双曲线x2a2-y2b2=1上，依题意得a=680,c=1020，∴b2=c2-a2=10202-6802=5?402，故双曲线方程为x26802-y25?402=1,将y=-x代入上式，得x=?805，∵|PB|>|PA|,∴x=-6805,y=6805,即P(-6805,6805),故|PO|=68010 232双曲线的简单几何性质 （一）1.B2.A3.C4.x2-3y2=365.60度6.53或54 7.实轴长2a=4；虚轴长2b=23；焦点坐标(-7,0),(7,0)；顶点坐标(-2,0),(2,0)；离心率e=ca=72；渐近线方程为y=?2x 8.（1）x29-y216=1．提示：设双曲线方程为y+43xy-43x=λ （2）∠F1PF2=90度．提示：设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1.d2=32，又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6，∴d21+d22-2d1d2=36,即有 d21+d22=36+2d1d2=100.又|F1F2|=2c=10,∴|F1F2|2=100=d21+d22=|PF1|2+|PF2|2.∴△PF1F2是直角三角形 9.x2-y22=1或y2-x22=110.y=?x 11.（1）e1=ca=a2+b2a,e2=cb=a2+b2b,∴1e21+1e22=a2a2+b2+b2a2+b2=1（2）22．提示：e1+e2=a2+b21a+1b≥2ab.21ab=22，当且仅当a=b时，(e1+e2)min=22 232双曲线的简单几何性质 （二）1.B2.C3.A4.465.466.（-12，0） 7.轨迹方程为y24-x23=1，点M的轨迹是以原点为中心，焦点在y轴上,且实轴、虚轴长分别4，23的双曲线 8.3x+4y-5=0 9.22．提示：设与直线l：x-y-3=0平行的双曲线的切线方程为y=x+m，根据直线与双曲线相切的充要条件可得m2=16，m=?，由题意得m=-4，将y=x-4代入双曲线方程，得x=254，从而y=x-4=94，故切点坐标为254,94，即是所求的点，dmin=22 10.-2 241抛物线及其标准方程 1.C2.D3.B4.y2=-20x556.y2=-12x7.(9，6)或(9，-6)8.若以(-3,0)为焦点，则抛物线的标准方程是y2=-12x；若以(0,2)为焦点，则抛物线的标准方程是x2=8y 9.y2=?x 10.抛物线的方程为y2=-8x,m=26或m=-26.提示：设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点F-p2,0，准线方程为x=p2，由抛物线定义得点M到准线的距离|MN|=3+p2=5,∴p=4,抛物线方程为y2=-8x；又M(-3,m)在抛物线上，∴m=26,或m=-26 11.y2=8x 242抛物线的简单几何性质 （一）1.A2.C3.B4.y2=?x526.727.y2=16x8.x2=8y（第9题）9.能安全通过．提示：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)．A(20,-6)在抛物线上，∴400=-2p.(-6)，解得-2p=-2003．∴x2=-2003y.又∵B(2,y0)在抛物线上，∴4=-2003y0．∴y0=-350，∴|y0|<1，∴载有木箱的竹排可以安全通过此桥 10.灯泡应安装在距顶点约35mm处．提示：在车灯的轴截面上建立直角坐标系xOy．设抛物线方程为y2=2px(p>0)，灯应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使OC=69，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A,B两点，AB就是灯口的直径，即AB=197，所以点A坐标为69,1972，将点A坐标代入方程y2=2px，解得p≈703，它的焦点坐标约为F(35,0)，因此，灯泡应安装在距顶点约35mm处 11.设P(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2x0，∴d=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=〔x0+(1-a)〕2+2a-1．∵a>0,∴x0≥0.①当00，此时有x0=0时，dmin=a ②当a≥1时，1-a≤0，此时有x0=a-1时，dmin=2a-1 242抛物线的简单几何性质 （二）1.D2.C3.B4.?586.x2=2y7.y2=43913x． 8.b=2．提示：联立方程组y=x+b, x2=2y,消去y，得x2-2x-2b=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2),由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，也即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0．由韦达定理，得x1+x2=2，x1x2=-2b,代入解得b=2(舍去b=0)9.-34．提示：当直线ＡＢ的斜率存在时，设lAB:y=kx-12，代入y2=2x,得ky2-2y-k=0，∴y1y2=-1,x1x2=y21y224=14，所以OA.OB=x1x2+y1y2=-34；当直线AB的斜率不存在时，即lAB:x=12，也可得到OA.OB=-34 1032.提示：假设当过点Ｐ（４，０）的直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k(x-4)，代入y2=4x,得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0，∴x1+x2=8k2+4k2，∴y21+y22=4(x1+x2)=4?k2+4k2=48+4k2>32.当过点P(4,0)的直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，则x1=x2=4，y21+y22=4(x1+x2)=4?=32;故所求的最小值为32 11.设A(x1,y1),B(x2,y2)，当ＡＢ的斜率存在时，设ＡＢ方程为y=kx-p2，代入y2=2px，得y2-2pyk-p2=0，∴y1y2=-p2，x1x2=y212p.y222p=p24,又|AF|=x1+p2=m,|BF|=x2+p2=n, ∴x1+x2=m+n-p.∵x1+p2x2+p2=x1x2+p2(x1+x2)+p24=mn，∴p24+p2(m+n-p)+p24=mn，∴p2(m+n)=mn，∴1m+1n=2p.当直线ＡＢ的斜率不存在时，m=n=p,上述结论也成立 242抛物线的简单几何性质 （三）1.A2.C3.C435.（2，3）6.４８３7.y=14x+1,y=1,x=08.略 9.（1）y2=x-2．提示：设直线OA：y=kx，则OB:y=-1kx，由y2=2x, y=kx,得A2k2,2k；由y2=2x, y=-1kx,得B(2k2,-2k)，设AB的中点坐标为(x,y)，则x=1k2+k2，y=1k-k,消去k得所求的轨迹方程为y2=x-2（2）由（1）知，直线AB的方程为y+2k=k1-k2(x-2k2)，令y=0，得它与x轴的交点为(2,0)．其坐标与k无关，故为定值 10.略 11.（1）y2=32x（2）∵yA=8,∴xA=2.∵F(8,0)为△ABC的重心，∴xA+xB+xC3=8，yA+yB+yC3=0,即有xB+xC=22, yB+yC=-8.又y2B=32xB, y2C=32xC,故(yB+yC)(yB-yC)=32(xB-xC),所以yB-yCxB-xC=-4，即直线BC的斜率为-4 单元练习 1.C2.C3.B4.C5.B6.C7.B8.A9.B10.B 11.212.8513.y=?3x14.23 15.点P的轨迹方程是x-y-2=0，点Q的轨迹方程是y=-2 16.（1）由a=3,c=2,得b=1,∴椭圆的标准方程为x23+y2=1（2）由y=x+m, x23+y2=1,解方程组并整理得4x2+6mx+3m2-3=0.由Δ>0,得-2＜m＜2 17.32或52．提示：由AB‖CD,设AB为y=x+b(b≠4)，代入y2=x，得x2+(2b-1)x+b2=0，由Δ=1-4b>0,得b<14．设A(x1,y1)，B(x2,y2),则|AB|=2|x1-x2|=2(1-4b).又AB与CD间距离为|b-4|2，|AB|=|CB|,∴2(1-4b)=|b-4|2，解得b=-2或-6.∴当b=-2时，正方形边长|AB|=32；当b=-6时，正方形边长|AB|=52 18.(1)不妨设点M在第一象限，由双曲线x2-y2=1,得a=1,b=1,c=2.∴|MF1|-|MF2|=2.∴(|MF1|+|MF2|)2=(|MF1|-|MF2|)2+4|MF1|.|MF2|＝４＋4?4=9.∴|MF1|+|MF2|=3>|F1F2|.故点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，其中a′=32,c′=2,b′=12.∴点M在椭圆x294+y214=1，即在4x2+36y2=9上（２）由x2-y2=1, 4x2+36y2=9,解得M324,24.又点M在抛物线y2=2px上，代入方程，得18=2p.324，解得p=224，故所求的抛物线方程为y2=212x 19.由y=-12x+2，x2a2+y2b2=1，消去y整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1+x2=8a2a2+4b2，x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2.设AB的中点为M(xM，yM)，则xM=x1+x22=4a2a2+4b2，yM=-12xM+2=8b2a2+4b2.∵kOM=yMxM=12，∴2b2a2=12,即a2=4b2.从而x1+x2=8a2a2+4b2=4，x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2=8-2b2.又|AB|=25，∴1+14(x1+x2)2-4x1x2=25，即5216-4(8-2b2)=25，解得b2=4.∴a2=4b2=16，故所求椭圆方程为x216+y24=1 20.(1)Q(5,-5)．提示：解方程组y=12x, y=18x2-4,得x1=-4, y1=-2或x1=8, y1=4,即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB=12,得直线AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5)(2)直线OQ的方程为 x+y=0,设 Px,18x2-4.∵点 P 到直线 OQ的距离d=x+18x2-42=182|x2+8x-32|,|OQ|=52,∴S△OPQ=12|OQ|d=516|x2+8x-32|.∵点Ｐ为抛物线上位于线段ＡＢ下方的点,且点Ｐ不在直线ＯＱ上,∴-4≤x<43-4，或4３-4 1.D2.C3.C4.BB′,CC′,DD′5.AD,CA6.①②③④ 7.(1)CA(2)AC（3）0（4）AB 8.作向量OA=a，AB=b，OC=c，则CB就是所作的向量 9.A1B=-a+b-c,AB1=-a+b+c 10.AB.提示：先分别用AB,AD,AA′表示AC′，D′B，再相加 11.（1）AC′.提示：利用MC′=BN（2）A′B′ 312空间向量的数乘运算 1.A2.A3.C4.①③5.256.①②③7.（1）AB1（2）NA1 8.MN=-12a-12b+14c9.AM=12a+12b+12c 10.EF=3a+3b-5c.提示：取BC的中点G，利用EF=EG+GF求解 11.提示：（1）由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF直接得出 （2）EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+mk(OB-OA)=kAD+mkAB=kAC 313空间向量的数量积运算 1.D2.C.提示：①②③正确3.D4.-175.①②③65 7.提示：AC.BD′=AC.(BD+DD′)=AC.BD+AC.DD′=0 812.利用PC=PA+AB+BC平方求解 9.14.提示：将a+b=-c两边平方，得a.b=32，再利用cos〈a，b〉=a.b|a||b|求解 10.120度.提示：利用公式cos〈a,b〉=a.b|a||b|求解 112或2.提示：利用BD=BA+AC+CD两边平方及〈BA,CD〉=60度或120度 314空间向量的正交分解及其坐标表示 1.D2.A3.Ｃ4.-３j5.(-2,3,-5)6.M1(3，-6，9)，M2(-3，-6，9)，M3(3，6，-9)7.2，-5，-88.AE=-12DA+12DC+DD′;AF=-12DA+DC+12DD′ 9.提示：证明AD=2AB+3AC 10.提示：假设{a+b,a-b,c}不构成空间的一个基底，则存在x,y∈R，使得c=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,知a,b,c共面，与题设矛盾 11.DM=12a+12b-c；AQ=13a+13b+13c 315空间向量运算的坐标表示 1.C2.C3.D4.(1,4,-1);2355.(2，4，-4)或(-2，-4，4)6.120度7.(1)(8，-1，1)(2)(5，0，-13)（3）-7（4）-15 8.（1）x=17（2）x=-52 9.〔１，５〕.提示：|AB|=(3cosα-2cosβ)2+(3sinα-2sinβ)2+(1-1)2=13-12cos(α-β)10.65.提示：cos〈a，b〉=a.b|a||b|=-27，得sin〈a，b〉=357，由S=|a|.|b|sin〈a，b〉可得结果 11.(1)证明BF.DE=0(2)１０１０.提示：分别以DA,DC,DD′为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，利用坐标运算计算得出 单元练习一 1.C2.A3.C4.B5.A6.37.1538.x<-49.213 10.-112AB-13AC+34AD11.13512.17+63 13.90度.提示：(a+b).(a-b)=a2-b2=0 14.提示：设AB=b，AC=c，AD=d，则b2=d2，(b-c)2=(d-c)2，∴b.c=d.c，而BD.AC=(d-b).c=d.c-b.c=0，∴BD⊥AC 15.156.提示：不妨设正方体的棱长为１，分别以ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ′为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，利用坐标运算计算得出 32立体几何中的向量方法 （一）1.B2.C3.D4.相交（但不垂直）5.互余6.相等或互补 7.-27，37，67或27，-37，-67.提示：所求单位法向量为：盇B|AB| 8.-1或49.814.提示：由题意a‖u，解得x=34，y=9 10.12,-1,1.提示：设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1)，则由n.AB=0且n.AC=0，解得x=12,y=-1 11.垂直.提示：证明n.AB=0且n.AC=0 32立体几何中的向量方法 （二）1.D2.B3.C4.3，25.2π3或π3 6.VOBCD.OA+VOCDA.OB+VODAB.OC+VOABC.OD=0 7.26.提示：利用CD=CA+AB+BD，平方及CA⊥AB，AB⊥BD，CA⊥BD求解 8.x=13+6cosθa.提示：利用AC′=AB+AD+AA′，再平方求解 9.60度.利用AC′=AB+AD+AA′，平方求解 10.a2+b2.提示：利用CD=CA+AB+BD,平方及〈CA,BD〉=120度求解 11.63.提示：连结AC，AC2=(AB+BC)2=3，∴AC=3，又AA′.AC=AA′.(AB+BC)=cos60度+cos60度=1.∴cos∠A′AC=AA′.AC|AA′||AC|=13∴所求距离=|AA′|sin∠A′AC=63 32立体几何中的向量方法 （三）1.B2.D3.B4相等或互补5.30度6.90度 72.提示：∵CD=CA+AB+BD，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l，∴CA.AB=0，AB.BD=0.又CA与BD成60度的角，对上式两边平方得出结论 8.45 9.60度.提示：令C(-2，0)，D(3，0)，利用AB=AC+CD+DB两边平方，及AC⊥CD，CD⊥DB，〈CA，DB〉=θ求解 10.155.提示：以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.可求得平面BB1D的法向量为n=(1，-1，0)，设θ是BE与平面BB1D所成的角，则sinθ=|cos〈BE，n〉|=|BE.n||BE||n|=105.∴cosθ=155 11.22.提示：以A为原点，直线AD，AB，AS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知D12，0，0，C(1，1，0)，S(0，0，1)，可知AD=12，0，0=n1是面SAB的法向量.设平面SCD的法向量n2=(x，y，z).∵SD=12，0，-1，DC=12，1，0，n2.SD=0，n2.DC=0，可推出x2-z=0，x2+y=0，令x=2，则有y=-1，z=1，∴n2=(2，-1，1).设所求二面角的大小为θ，则cosθ=n1.n2|n1||n2|=12?+0?-1)+0?12222+12+12=63，∴tanθ=22 32立体几何中的向量方法 （四）1.C2.D3.B4.33a5.246.２27.491717 8.33.提示：以B为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：B(0，0，0)，C(1，0，0)，D(1，1，0)，B1(0，0，1)，则BD=(1，1，0)，B1C=(1，0，-1)，BB1=(0，0，1)，设与BD，B1C都垂直的向量为n=(x，y，z)，则由BD.n=0和B1C.n=0，令x=1，得n=(1，-1，1)，∴异面直线BD与B1C的距离d=|BB1.n||n|=33 9.以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，Pa2，0，a2，Qa2，a2，0.设n=(x，y，z)是平面EFB的法向量，则n⊥平面EFB，∴n⊥EF，n⊥BE，又EF=(-a，a，0)，EB=(0，a，-a)，即有-ax+ay=0，ay-az=0x=y=z，取x=1，则n=(1，1，1)，∵PE=a2，0，a2，∴设所求距离为d，则d=|PE.n||n|=33a 10.33a（第11题）11.(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).设F(0，0，z).∵AEC1F为平行四边形，∴AF=EC1，即(-2，0，z)=(-2，0，2)，∴z=2.∴F(0，0，2).∴BF=(-2，-4，2).于是|BF|=26，即BF的长为26(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=(x，y，1).由n1.AE=0，n1.AF=0，得 x=1，y=-14.又CC1=(0，0，3)，设CC1与n1的夹角为α，则cosα=CC1.n1|CC1|.|n1|=43333.∴点C到平面AEC1F的距离为d=|CC1|cosα=43311 32立体几何中的向量方法 （五）1.B2.D3.A4.-１６5.３０度6.①②④ 7.不变，恒为90度.提示：以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易证明PN.AM恒为0 8.2.提示：设平面ABC的法向量为n，直线PN与平面ABC所成的角为θ，利用sin〈PN，n〉=|PN.n||PN||n|求解 9.155.提示：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知先得出AD=233.易知平面AA1B的一个法向量m=(0,1,0)，设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量，BD=-2,233,0，由n⊥BF, n⊥BDn.ＢＦ＝０，n.ＢＤ＝０-x+z=0, 2x-233y=0x=z, 3x=y.不妨设n=(1,3,1)，所以cos〈m,n〉=m.n|m||n|=155 10.255.提示：点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量n上的投影的长度，所以距离=|AB.cos〈AB,n〉|=|AB.n||n|=255，所以点A到平面BDF的距离为255 11.(1)60度.提示：以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设AC=AB=A1A=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，A1(0，0，2)，G(0，2，1)，∴AE=(1，1，0)，A1C=(0，2，-2)，∴cos〈AE，A1C〉=AE.A1C|AE||A1C|=12(2)66.提示：设平面AGE的法向量为n1=(x，y，z)，则AG.n1=0，AE.n1=0，令x=1，得n1=(1，-1，2)，又平面AGC的法向量为n2=(1，0，0)，∴cos〈n1，n2〉=n1.n2|n1||n2|=66(3)66.提示：∵平面AGE的法向量为n1=(1，-1，2)，AC=(0，2，0)，∴sin〈AC，n1〉=|AC.n1||AC||n1|=66 单元练习二 1.D2.C3.C4.A5.D6.C7.D8.A9.B10.A 11.229,329,-42912.21513.54,7214.-4或x=1 15.π216.①③17.43,43,8318.337,-157,-319.不共面 20.以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，设EA=a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)，D(0，2a，2a)，M(a，a，0).(1)∵EM=(-a，a，-a)，CM=(a，a，0)，∴EM.CM=0，故EM⊥CM(2)设向量n=(1，y0，z0)与平面CDE垂直，则n⊥CE，n⊥CD，即n.CE=0，n.CD=0.∵CE=(2a,0,a),CD=(0,2a,2a),∴y0=2,z0=-2,即n=(1，2，-2)，∴cos〈n，CM〉=CM.n|CM|.|n|=22，则所求的角是45度 21.（1）略（2）24(3)217（第22题）22.（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．设A(a,0,0)，S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0)，Ｅa,a2,0,F0,a2,b2,EF=-a,0,b2.取SD的中点G0,0,b2，则AG=-a,0,b2.∴EF=AG,EF‖AG,又AG平面ＳＡＤ，ＥＦ平面ＳＡＤ，∴EF‖平面SAD（2）33.提示：不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),E1,12,0,F0,12,1,EF的中点M12,12,12，MD=-12,-12,-12,EF=(-1,0,1),MD.EF=0,∴MD⊥EF.又EA=0,-12,0,EA.EF=0,∴EA⊥EF.所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角． 【高中数学选修11导数】推荐阅读： 高中数学选修21测试题08-01 初高中数学11个快速学习方法06-17 高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大选修2-2讲解06-09 高中数学常用公式06-18 高中数学所有目录06-26 高中数学思想方法07-07 高中数学常用方法07-15 高中数学替换法07-27 衡水中学高中数学07-29 高中数学定理证明汇总06-172.高中数学选修11导数 篇二
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