《正比例函数》教案

《正比例函数》教案（精选19篇）

1.《正比例函数》教案 篇一

11．2．1正比例函数教案 教学目标

知识技能

1、理解正比例函数的概念及正比例函数图象特征。

2、知道正比例函数图象是直线，会画正比例函数的图象；进一步熟悉作函数图象的主要步骤。数学思考

1、通过“燕鸥飞行路程问题”的探究和学习，体会函数模型的思想。

2、经历运用图形描述函数的过程，初步建立数形结合，体会函数的三种表示方法的相互转换。经历探索正比例函数图象形状的过程，体验“列表、描点、连线”的内涵。问题解决

能从数学角度提出问题，运用y= kx中，x、y的关系等知识解决问题。情感态度

1、结合描点作图培养学生认真细心严谨的学习态度和学习习惯。

2、培养学生积极参与数学活动，勇于探究数学现象和规律，形成良好的质疑和独立思考的习惯。教学重点

探索正比例函数图形的形状，会画正比例函数图象 教学难点

正比例函数图象性质 教学过程安排 活动过程

活动内容和目的

活动

1、问题引入

通过“燕鸥飞行路程问题”建立数学模型，理解行程与时间的对应函数关系，为导出正比例函数做铺垫。

活动

2、正比例函数概念的学习

通过若具体实例，概括归纳出一类有共性的函数关系表达式，导入正比例函数概念。

活动

3、画正比例函数的图象

通过师生共同活动，学会运用描点法画出正比例函数图象

活动

4、正比例函数图象特征的探究

通过对若干实例的观察分析、比较、概括归纳出正比例函数图象的特征。

活动

5、小结、布置作业

回顾和重现本节重点内容加深本节知识范围的理解，通过巩固性练习尝试运用本节知识解决问题。教学过程设计 问题与情境

师生行为

设计意图 情境

1、问题

（1）

你知道候鸟吗？它们在每年的迁徙中能飞多远？（2）

燕鸥的飞行路程与时间之间有什么样的数量关系？

教师用课件展示问题。

让学生在地图上找出芬兰和澳大利亚，并将两处用直线连接，然后思考并解答课本上的问题。学生自主解决三个问题。

教师在学生得到结论的基础上提醒：这里用函数y=200x对燕鸥飞行路程进行了刻画，尽管只是近似的，但它反映了燕鸥的行程与时间的对应规律。

从具体情境入手，使学生认识到数学与现实问题总是密不可分的，人们的需要产生了数学。

路程、速度与时间之间的关系学生较熟悉，当速度一定时，路程是时间的函数，用这些简单的实例不断从现实世界中抽象出数学模型，建立数学关系的方法。

情境

2、问题

（1）课本上有4 个实例，这些实际问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？

教师出示四个实例问题的幻灯片，要求学生（1）能找出变量对应关系表达式（2）能说出表达式中的自变量、自变量的函数

学生自主探究，分组讨论；然后教师让各小组代表回答问题。师生互动对回答的问题进行分析评价。教师引导学生观察分析上面的五个表达式的共性：都是常数与自变量乘积的形式。教师口述并在黑板上板书正比例函数的概念。

教师让学生看书，在定义处画上记号，并提出问题：这里为什么强调k 是常数，k≠0 通过这些实际问题使学生进一步加深对函数概念的理解，也为导出函数概念做好铺垫。

通过归纳、分析使学生明白正比例函数的特征、理解其解析式的特点

情境

3、问题

（1）

我们知道了怎样用解析式表示正比函数能否用图象来表示它呢？（2）

怎样在直角坐标系中画出正比例函数图象。（3）

观察、分析图象的特点（4）

巩固性练习画图象

学生在事先准备好的坐标纸上，用描点法画出y=2x和y=-2x的图象。教师用超级画板演示。

说明描点后先观察形状，再连线。对这个问题老师应关注

（1）

组织学生一起对所画图象进行评价。（2）

和学生一起简要总结主要步骤。

（3）

用画板演示，当x增大时，y也相应地增大。演示描更多个点的情况 学生讨论分析、比较y=2x与y=-2x图象的异同之处，填写所发现的规律

学生独立练习在同一坐标系中画出 图象，让学生说明了这两个图象的异同之处

经历探索正比例函数图象形状的过程，体验“列表、描点、（观察形状）、连线”的内涵。比较异同之处，为后面分析讨论正比例函数图象的特征作准备。

练习画出图象通过多个实例，使学生进一步分析研究后能领悟这一类图象的特点。

情境

4、问题

（1）

从以上作图过程可以发现正比例函数的图象有什么特征。

（2）

经过原点与（1，k）的直线是哪个函数的图象？

教师对画图过程进行巡回指导和个别辅导，学生画完图后请学生回答这两个图象的特点并与上面的特点相比较。

教师用画板演示

学生在老师的引导下概括、归纳出正比例函数图象的特征。教师板书教科书25页上的正比例函数图象的特征。

对于这个问题教师应重点关注

（1）

学生是否通过对正比例函数解析式观察分析，发现当k>0时函数y与自变量x同号；当k<0时函数y与自变量x异号。

（2）

学生对正比例函数图象观察分析，知道其图象是一个随x增大而增大或减小的直线。学生讨论左边的问题。教师注意：（1）提醒学生从解析式入手，探究当x=0时或x=1时，y的值分别是几；（2）正比例函数的图象为什么一定过（0，0）和（1，k）这两点；（3）因为两点确定一条直线，因此，画正比例函数图象时，只须过原点和（1，k）画一条直线即可。

在多个实例的基础上，归纳得到正比例函数图象的性质，潜移默化地对学生进行了概括、归纳、比较、分析的思维方法的教育。

这里通过对解析式和图象的分析，可使学生明白解析式和图象对正比例函数的刻画各有优势。

了解事物的特征就可以使解决问题来得更简捷一些，不断培养学生分析和解决问题的能力。这里同时让学生加深领会数形结合的思想。

（3）

用你认为最简单的方法画出正比例函数图象（教科书26页练习）。

学生练习用“两点法”画图象，教师巡回辅导，并安排一名学生在黑板上画。教师应当关注：

（1）

学生画图中是否采用的是“两点法”；

（2）

这两点是否最简单（其中关键是对k的确认）。

完成当堂练习，巩固“两点法”画图象的方法。

情境5 问题

本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？

布置作业

教科书习题11。2第1、2、6、7题。

学生稍作思考后分组讨论，让3~4名学生回答。

教师应当关注：

（1）

允许学生答案不同，回答结论的不同只会对学生学习更有帮助，应当鼓励；（2）

最后应达到师生共同小结，明确正比例函数的概念、图象特征的效果

学生独立完成作业，（其中第7题可作为选作题）。

2.《正比例函数》教案 篇二

一、吃透教材

正比例函数是在认识了函数、函数的图像基础上进行的本节课主要学习特殊的一次函数、正比例函数概念、图像和性质。本节内容既是前面知识的深化和应用。又为今后学习一次函数、反比例函数、二次函数的概念、图像、性质, 提供了一般思路和方法。因此本节课具有承上启下的重要作用, 在函数的学习中起到非常重要作用。所以教师要认真备好和吃透教材, 同时又要了解学生, 采用行之有效的方法教好这一课。

在教学过程中, 我以教科书的问题和大量的生活实例为背景, 引出正比例函数的概念。一般地, 形如y=kx (k是常数, k≠0) 的函数, 叫做正比例函数, 其中k叫做比例系数。正比例函数的本质是函数的特殊形式, 同样也是反映两个变量之间关系的重要函数。

同时, 函数图像可以直观、清楚地表示函数关系, 所以我通过正比例函数图像来研究它的性质, 从而得到了研究函数的一般方法。本节课的教学重点是正比例函数的概念、图像与性质和体验研究函数的一般思路与方法。

二、目标和目标解析

教学目标:

1.通过书中的例题分析归纳并理解正比例函数的概念。

2.在用“描点法”画正比例函数图像的过程中发现正比例函数的性质, 体验数学结合的思想。

3.利用发现的性质简便地画出正比例函数的图像, 掌握画函数的一般方法。

4.通过对正比例函数性质的探究, 使学生经历做数学的过程, 初步形成正确、科学的学习方法。

本节课要求学生能借助教科书上的问题和大量的课后习题的研究, 提炼出正比例函数的概念, 并能通过画图像、直观感知、讨论、探究、练习和实际操作, 得到正比例函数的性质, 进一步感受数形结合思想在解决问题过程当中的重要作用。通过探究归纳正比例函数的概念、图像、性质, 体验研究函数的一般思路与方法。

三、学生已有的知识

学生在小学阶段就已经对正比例关系有所了解, 在讲解正比例函数时, 我们可以比照小学研究过的正比例关系, 利用画图像的方法来引入教学。但是, 学生对新知识的理解和掌握总是有个过程, 所以作为教师我们要耐心细致地分析讲解, 不能操之过急。教学的难点是抽象出正比例函数图像是一条直线和由图像总结出正比例函数的性质以及性质的运用。为了有效实现教学目标突破难点, 可以借助计算器辅助教学和表格。

四、教学设计

(一) 新课引入

1.师生共同阅读书中的问题, 再逐一提出问题 (1) 、 (2) 、 (3) , 并列出相应的函数关系式, 认真分析比较这些函数关系式的共同特征。

设计意图:在复习学过的知识的同时, 使学生在不知不觉中接受新知识。

2.教师紧接着提问:上述问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点?类比一元一次方程的定义, 师生共同归纳出正比例函数的概念。导出正比例函数的一般形式 (y=kx, 且k≠0并提问当k=0时会是什么样的结果) 。

教师分析:正比例函数是特殊的一次函数, 一次函数的形式为y=kx+b, b=0时即为正比例函数。因此一次函数包括正比例函数。

设计意图:用学过的知识来理解分析新知识, 促进新概念的形成, 同时也便于学生掌握理解新知识, 使学生认清了正比例函数和一次函数之间的关系。

3.提问:上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么?正比例函数中自变量的指数是多少?

4.练习:已知y+m与x+n (m, n为常数) 成正比例求y与x之间的函数关系式。

设计意图:体会正比例函数的系数特征, 记住正比例函数的指数。通过指出常数、自变量、自变量的函数, 对函数的概念进行回顾, 从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点。这样可以当堂巩固、加深学生对正比例函数概念的理解且提高了运用概念能力, 为研究正比例函数图像的性质和学习其他函数埋下伏笔。

(二) 认识的扩大

1.画出下列正比例函数的图像

y=4x, y=-4x

2.提问:正比例函数的图像是什么图形?

设计意图:让学生通过列表、描点、连线画出图像。学生描的点可能在同一直线上, 也有可能不在同一直线上, 出现了本节课的第一个难点, 让学生通过自己的操作, 直观演示, 学生自己观察, 从而使学生理解正比例函数图像是一条直线, 从而突破难点, 得到正比例函数性质的第一部分, 进一步体会数型结合的思想。

3.提问:上面正比例函数图像分别经过了哪些象限?经过的象限由解析式中的哪些量决定?上面函数中, 随着x值的增大, y的值分别如何变化?直线左右上升和左右下降与y值随着x值的变化而变化之间的关系, 并且与k值的正负有何关系?

师生共同归纳:正比例函数图像的性质是:正比例函数y=kx, (k是常数k≠0) 我们通常称之为直线y=kx当k>0时直线y=kx经过一、三象限, 函数图像自左到右是上升的y随着x值的增大而增大。当k<0时直线y=kx经过二、四象限, 函数图像自左到右是下降的y随着x值的减小而减小。

设计意图:通过一系列的提问引导学生总结出正比例函数性质的第二部分。

(三) 新知检验

1.经过原点与点 (1, 3) 的直线是哪种函数的图像?

经过原点与 (1, -3) 呢?经过原点与 (a, k) 呢?为什么?

设计意图:通过当堂练习, 让学生利用总结的正比例函数图像特征与解析式的关系, 完成由图像到关系式的转化, 进一步理解数形结合思想的意义, 并掌握正比例函数图像的简单画法及原理。以上问题逐一出示, 让学生之间相互交流。由学生思考后回答, 教师只是帮助解决。这样会使学生的认识更加深刻, 有利于提高学生的积极性。

2.练习巩固:用最简单的方法画出y=-3x的函数图像。

设计意图:引导学生掌握画正比例函数图像的简单方法。

(四) 小结归纳

师生共同归纳:在本节课中我们经历了怎样的过程?有怎样的收获?

教师分析概括:在以后的学习中, 我们将继续这样的思路来研究各种具体的函数, 根据它们共同的结构给它们取名, 画出它们的图像与研究它们的性质。

3.§3.4 反比例函数 篇三

解析：反比例函数的图象在第二、第四象限内，所以 k＜0，在图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而增大.由于2 ＞5>0，这说明两点都在第四象限，所以 y1＞y2.

点评：这道题所给的两个点都在同一个象限内，所以直接用性质就可以了.有时所给的两点不在同一个象限内，就需要先算出 y 值，再比较两个 y 值的大小.

第2课时反比例函数的应用

主要知识点

1. 与学科内的知识相结合

反比例函数与一次函数或几何知识相结合.这类题目综合性较强，能较好地考查同学们综合运用知识的能力.

2. 反比例函数与其他学科的知识相结合

反比例函数在自然科学领域有很广泛的应用.因此中考中常出现反比例函数与其他学科知识相结合的考题.

经典例题

例 1 当三角形的面积S为常数时，底边长a与底边上的高h的函数关系的大致图象是（）.

（1） 把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式.

（2） 当弹簧秤的示数为24 N时，弹簧秤与O点的距离是多少？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？

解析：（1） 描点画图如图3；由表中的数据，可发现y与x成反比例函数关系.由表中任意一组数值即可求出解析式.

4.反比例函数教案及教学反思 篇四

主备人

陈春莲

知识与技能目标：①了解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；

②会求简单实际问题中的反比例函数解析式，反比例函数教案及教学反思。

程序性目标：①从现实情景和学生的已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，从而加深对函数概念的理解；

②使学生经历抽象反比例函数概念的过程中感悟反比例函数的概念。

情感与价值观目标：

①通过反比例函数概念的教学，使学生亲身经历知识的发生、发展的过程，培养学生的自主、合作的意识以及确立良好的认知观；

②学生通过对反比例函数的简单应用，使其初步形成数学的建模意识和能力。

教学重点

反比函数的概念

教学难点

例1涉及较多的《科学》学科知识，学生理解问题时有一定的难度。

教学媒体准备

教学设计过程

（①教学程序设计；②教法设计；③学法设计；④教材的处理与媒体。）

一、通过对两个变量之间的反比例关系的讨论和探究，使学生感受彼此之间特殊的一一对应关系，从而加深对函数概念的理解。

（创设情境

写出下列各关系：

1.长方形的长为6，宽y和面积x之间有什么关系？

2、长方形的面积为6，一边长x和另一边长y之间要有什么关系？）

两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个变量的积是一个不为零的常数，我们就说这两个变量成反比例．借助正比例关系与反比例关系的类比，为问题的后续探究构建感性的氛围。

（请看下面几个问题：

探究：

问题1：北京到杭州铁路线长为1661km。一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为x(h),火车行驶的平均速度为y（km/h),(1)你能完成下列表格吗？

X(h)

y(km/h)

87.4

(2)Y与x成什么比例关系？能用一个数学解析式表示吗？）

（问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．

设它的一边长为x(米)，请写出另一边的长y(米)与x的关系式．

根据矩形面积可知

xy＝24，即……）

使学生在体验探究的过程中，感受知识的形成过程，从而为知识的内化和正迁移创造了条件。

二、引导学生尝试自主、合作的学习，使学生经历知识构建和发现的过程，借此提出反比例函数的概念，培养了学生建模的意识、也发展了数学建模的能力。

（挑战自我

1、某住宅小区要种植一个面积为1000平方米的矩形草坪，草坪长为y米，宽为x米，则y关于x的关系式为＿＿＿＿＿＿；

2、已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，全市总人口为　n　人，人均占有土地面积为　s　平方千米，则s关于n的关系式为＿＿＿＿＿＿；

３、京沪线铁路全程为１463km，某列车平均速度为　v（km／h），全程运行时间为t（h），则v关于t的关系式为＿＿＿＿＿＿。）

构建互动、和谐的课堂教学氛围，使学生对反比例函数概念完成从感性体验到理性认知的过渡。

（发现：

一般地，若变量y与x反比例，则有xy=k(k为常数，k≠0),也就是y=。

归纳：上述几个函数都具有y=的形式，一般地形如y=(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportionalfunction)．k叫做反比例函数的比例系数，且反比例函数的自变量x的值不能为零。）

（练习

1、下列函数中，哪些是反比例函数？说出反比例函数的比例系数

⑴y=-3x；⑵y=2x+1；⑶y=；⑷y=3(x-1)2+1；⑸y=（s是常数，s≠0）；⑹xy=-；⑺x=-5y；）

利用学生对反比例函数概念的初步认识，引导学生借助自主练习，进一步加大学生对该概念的正迁移力度。

三、利用阿基米德的“撬动地球”的历史故事，结合了学生的心理发展特点，很好的激发了学生对问题探究的兴趣。我们常说，于其让学生“苦学”，不如让学生“乐学”。

创设一种欲罢不能的心理氛围，从而使学生形成了问题探究的动机。进一步培养学生分析问题、解决问题的数学建模能力。

（背景知识

给我一个支点，我可以撬动地球！

——阿基米德）

（【例1】如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力y（N），动力臂为x（cm）

（图中杠杆本身所受重力略去不计，教学反思《反比例函数教案及教学反思》。杠杆平衡时：动力动力臂=阻力阻力臂）

(1)求y关于x的函数解析式。

这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；

(2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；

(3)利用y关于x的函数解析式，说明当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？）

例题1涉及较多的《科学》学科的知识，学生在理解问题的背景时

有一定的难度，是本节教学的难点，教师在给出例题以前，有必要介绍一下“杠杆原理”，借助多媒体的教学辅助作用,使问题的出示显得活泼、直观，增强了问题的趣味性，从而更好的促使学生对问题的体验、探究。

（回顾与思考

练1.一个三角形,一边长为xcm,这边上的高为ycm,它的面积为25cm2.求(1)y关于x的函数关系式,并判断是什么函数？（2）自变量x的取值范围(3)当y=10时x的值.练2.一个矩形的面积是20cm2,相邻的两条边长为xcm和ycm,那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?

练3.某村有耕地346.2公顷,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?）

在一次引导学生通过对以上问题的回顾与思考，更有效的促使学生亲历知识发生和发展的过程。很好的紧扣了本课时的过程性教学目标。

（课内练习：

1、已知反比例函数y=kx-，⑴说出比例系数；

⑵求当x=‐10时函数的值；

⑶求当y=2时自变量x的值。

2、设面积为10cm的三角形的一边长为a（cm），这条边上的高为h（cm），⑴求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；

⑵h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数

⑶求当边长a=25cm时，这条边上的高。）

应该说，本课时的教法设计能很好的结合学生的心理发展特点和规律、结合学生的认知水平和经验、结合学生发展的能力要求。应该真正确立“以人为本”的教学理念。课堂教学中情景、例题、互动练习的设计；及多媒体的应用无不体现了这样的要求。

四，借助学生自主进行的课时及所学问题的小结，辅之以教师对反馈问题的设计，应该在培养学生良好的思维品质（反思），在培养学生对问题看法的自我校正、自我反馈的意识和能力有一定的作用。

（通过这节课的学习，你有什么收获？）

（交流反思：

本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如y=(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportionalfunction)．

k叫做反比例函数的比例系数,其中反比例函数的自变量x的值不能为零。）

（检测反馈

1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？

(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；

(2)体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2；

(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2；

(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米．）

《反比例函数的意义》教学反思

昆阳二中陈春莲

《反比例函数的意义》教学反思：首先简单复习了一次函数、正比例函数的表达式，目的是想让学生清楚每种函数都有其特有的表达式，对反比例函数表达式的总结作了一个铺垫。其次利用题组

（一）中的三个题目列出了

v=（1）及教学反思----------陈春莲“TITLE=”1.1反比例函数（1）及教学反思----------陈春莲“/>,xy=k(k为常数，k≠0),也就是y=。s=（1）及教学反思----------陈春莲”TITLE=“1.1反比例函数（1）及教学反思----------陈春莲”/>

三个表达式，当让学生观察这三个表达式与以前我们所学的y=kx+b和y=kx有什么联系时，居然有很多同学认为它们和正比例函数类似，当时在课堂上对于这个问题的处理过于仓促，现在想来应注意细节问题。利用题组

（二）对反比例函数的三种表示方法进行巩固和熟悉。

例题非常简单，在例题的处理上我注重了学生解题步骤的培养，同时通过两次变式进一步巩固解法，并拓宽了学生的思路。在变式训练之后，我又补充了一个综合性题目的例题，（在上学期曾有过类似问题的,由于时间的久远学生不是很熟悉）但在补充例题的处理上点拨不到位，导致这个问题的解决有点走弯路。

题组

（三）在本节既是知识的巩固又是知识的检测，通过这组题目的处理，发现学生对本节知识的掌握还可以。从整体来看，时间有点紧张，小结很是仓促，而且是由老师代劳了，没有让学生来谈收获，在这点有些包办的趋势。

虽然在题目的设计和教学设计上我注重了由浅入深的梯度，但有些问题的处理方式不是恰到好处，有的学生课堂表现不活跃，这也说明老师没有调动起所有学生的学习积极性。总之，我会在以后的教学中注意细节问题的。

5.《正比例函数》教案 篇五

教学目标(1)进一步体验现实生活与反比例函数的关系．(2)能解决确定反比例函数中常数志值的实际问题．(3)会处理涉及不等关系的实际问题．(4)继续培养学生的交流与合作能力． 重点：用反比例函数知识解决实际问题．

难点：如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，用数学知识解决实际问题． 教学过程

1、引入新课

上节课我们学习了实际问题与反比例函数，使我们认识到了反比例函数在现实生活中的实际存在．今天我们将继续学习这一部分内容，请看例1(投影出课本第50页例2)． 例1码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(吨／天)与卸货时间t(天)之间有怎样的关系? 由于紧急情况，船上货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么每天至少卸货多少吨?

2、提出问题、解决问题

(1)审完题后，你的切入点是什么?，由题意知：船上载物重是30×8=240吨，这是一个不变量，也就是在这个卸货过程中的常量，所以根据卸货速度×卸货天数=货物重量，可以得到v与t的函数关系即vt=240，v=240，所以v是t的反比例函数，且t>0． t

(2)你们再回忆一下，今天求出的反比例函数与昨天求出的反比例函数在思路上有什么不同?(昨天求出的反比例函数，常数k是直接知道的，今天要先确定常数k)

(3)明确了问题的区别，那么第二问怎样解决?

根据反比例函数v=240(t>0)，当t=5时，v=48．即每天至少要48吨．这样做的答 t

案是不错的，这里请同学们再仔细看一下第二问，你有什么想法．实际上这里是不等式关系，5日内完成，可以这样化简t=240／v，0

3、巩固练习

例2某蓄水池的排水管道每小时排水8 m3，6 h可将满池水全部排空．(1)蓄水池的容积是多少?(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，将满池水排空所需时间为t(h)，求Q与t之间的函数关系式．(3)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每小时排水量至少为多少?(4)已知排水管的最大排水量为每时12 m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空?

这个巩固练习前三问与例题类似，设置第四问是为了与第一堂课相衔接，使学生学会将函数关系式变形．授课时，教师要对第四问进行细致分析．由学生板书，师生分析，为小结作准备．

4、小结让学生以小组为单位进行合作交流，总结出本节课的收获与困惑，而后师生共同得出结论：(1)学习了反比例函数的应用．(2)确定反比例函数时，先根据题意求出走，而后根据已有知识得出反比例函数．(3)求“至少”“最多”值时，可根据函数的性质得到．

5、作业设计①必做题：(1)课本第61页第2题．

6.《正比例函数》教案 篇六

一、教学目标

1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力

二、重点、难点

1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式

三、例题的意图分析

教材第57页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。

教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。

补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题

四、课堂引入

寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？

五、例习题分析

例1．见教材第57页

分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）问则是与（2）相反

例2．见教材第58页

分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？ 例1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得P96V，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可 1

先求出气压P＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于

23立方米

六、随堂练习

1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为

2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式

333．一定质量的氧气，它的密度（kg/m）是它的体积V（m）的反比例函数，当V＝10时，＝1.43，（1）求与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度 答案：＝14.3V，当V＝2时，＝7.15

七、课后练习

1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）

（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

答案：v3600t，v＝240，t＝12 2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天（1）则y与x之间有怎样的函数关系？（2）画函数图象

（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？

7.反比例函数错因解析 篇七

一、忽视概念的本质属性，缺乏整体思想

从学生能力来讲，初二学生心理发展处于少年期，抽象逻辑思维在一定程度上仍以具体形象作支柱，属于“经验型”，虽然具备了一定的逻辑推理能力，但缺乏整体思想，学生在此处出现不完全概括也属于可理解的范围。因此，在进行本节概念教学时，为了使学生顺利地获取有关知识，不仅要提供丰富的感性材料让学生观察，在观察的基础上还需要发挥教师的主导作用，通过教师的启发引导，对感性材料进行比较、分析、综合，最后再抽象概括出概念的本质属性。通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运用，使学生的逻辑思维能力逐步得到提高。

二、忽视函数图象所在象限，产生认知缺陷

反比例函数的内容是在学习了一次函数的基础上进行的。由于一次函数具有连续性，学生在学习反比例函数的时候，出于认知的惯性，忽视反比例函数的图象的不连续性，在研究函数的性质特别是函数的增减性的时候，会忽视“在每个象限内”这一条件。学生只注意知识的共同要素，忽视了它们之间的差别与联系，产生了僵化的思维定势，缺乏灵活与变通性。为了解决这个问题，教师在教学活动中，必须让学生多描点画图，亲自探索反比例函数的图像及性质，体验函数变化的趋势。对于负迁移带来的影响，教师应及时地做出对比分析，必要时还要借助图表突出他们的本质区别，并在以后的学习中有机地反复应用和练习。

三、考虑问题不全面，忽略取值范围

在实际问题中建构函数模型，自变量常常要考虑其取值范围。但学生由于思维不严密，容易出现考虑不周全的情形。例如“已知水池水量为，请写出放水时间y与水流速度x之间的函数关系式，并画出函数图象”。学生很快就可以得出函数解析式为，根据k>0，画出函数图象在一、三象限。出现错误的原因是由于学生的生活实际经验比较少，没有留意自变量的取值范围，单纯地从函数的角度来解决问题。此教师在平时的教学中要发挥主体作用，不断渗透考虑问题要全面的思想，培养学生严谨的思维习惯。

四、缺乏数形结合的思想，忽视K的几何意义

8.反比例函数创新题赏析 篇八

一、按部就班的程序框图题

（2011年河北省）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图像，过点M作PQ∥x轴交图像于点P、Q，连接OP、OQ。则以下结论：①x＜0时，y=；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°。

其中正确的结论是（ ）

A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤

解析 根据程序图可知，当x＞0时，y=，x＜0时，y=-，因此①错误。

直接从图像可以看出，当x＞0时，y随x的增大而减小，因此③错误。

而S△OPQ=S△POM+S△QOM=×4+×2=3为定值，因此②正确。

设点M的坐标为（0，a），则点P（-，a），点Q（，a），

所以MQ=，PM=，所以MQ=2PM，因此④正确。

从图像可以看出，随着直线PQ向下移动时，∠POQ逐渐增大，当PQ无限靠近x轴时，∠POQ近似成为平角。所以∠POQ可以等于90°，因此⑤正确。

因此正确的结论是②④⑤，故答案选B。

点评 本题以程序框图的形式命题，形式活泼新颖。另外，本题直接从图像可以判断③错误，这样可以排除选项C、D，再根据程序框图可以判断①错误，又可排除选项A，从而可以快速找出正确选项，而无需再看②④⑤是否正确。

二、一箭双雕的双反比例函数题

（2011年陕西省）如图2，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于点A、B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）

A．3B．4

C．5D．6

解析 连接AO、BO，

因为AB//x轴，所以△ABC和△ABO在AB边上的高相等。

所以S△ABC=S△ABO。

而S△AOB=S△APO+S△BPO=×-4+×2=3。

所以S△ABC=3。故答案选A。

点评 本题将两个不同的反比例函数放在同一个坐标系中考查，解答本题的关键是利用平行线的“传递面积功能”（即同底等高的两个三角形的面积相等），将△ABC的面积转化为△ABO的面积，进而利用反比例函数的比例系数k的几何意义分别求出△APO和△BPO的面积，从而求出△ABO的面积。

三、按图索骥的规律探究题

（2011年四川省达州市）给出下列命题：

命题1：直线y=x与双曲线y=有一个交点是（1，1）；

命题2：直线y=8x与双曲线y=有一个交点是（，4）；

命题3：直线y=27x与双曲线y=有一个交点是（，9）；

命题4：直线y=64x与双曲线y=有一个交点是（，16）；

…………

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；

（2）请验证你猜想的命题n是真命题。

解析 （1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=有一个交点是（，n2）；

（2）将x=代入y=n3x，得y=n3×=n2，所以（，n2）在直线y=n3x上。

将x=代入y=，得y==n2，所以（，n2）在直线y=上。

所以直线y=n3x与双曲线y=有一个交点是（，n2）。

点评 解答本题既要注意横向比较正比例函数和反比例函数的系数、交点的横坐标和纵坐标之间的关系，又要注意纵向比较正比例函数和反比例函数的系数、交点的横坐标和纵坐标各自之间的关系。

四、现学现用的实际应用题

（2011年湖南省郴州市）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系。寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升）。如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克。

（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；

（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？

解析 （1）可先分别设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式，然后将x=1，y=1.5和x=1，y=2分别代入函数关系式，利用待定系数法求出函数关系式；

（2）将y=0.5分别代入已经求出的函数关系式即可求出漂洗次数，根据题意又知小红、小敏每次漂洗的用水量，将漂洗次数与每次漂洗的用水量相乘即得用水量。

（1）设小红的衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式为y=，小敏的衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式为y=。

把x=1y=1.5代入y1=，得1.5=，所以k1=1.5。

把x=1y=2代入y2=，得2=，所以k2=2。

所以小红的函数关系式为y=（x为正整数），小敏的函数关系式为y=（x为正整数）。

（2）把y=0.5分别代入y=和y=，得0.5=，0.5=。

所以x1=3，x2=4。

小红共用水10×3=30（升），小敏共用水5×4=20（升），从节约用水的角度来看，小敏的方法更值得提倡。

9.《正比例函数》教学反思 篇九

《正比例函数》是中学教学中非常重要的内容，是学生第一次学习数形结合，正比例函数是一次函数的特例，是学生第一次涉及到一个具体的函数的学习和研究，也是初中数学中的一种简单最基本的函数，是后面学习一次函数的基础。

本节课中，我收集了生活中的一些实际应用的例子，引导学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。

在教师的情景诱导下使学生快速进入到本节课内容当中，通过问题式的探究，使学生自己研究和小组的探索、讨论来解决问题，再通过学生的展示、教师的点拨、总结进行知识归纳，然后老师再出变式练习，检测学生在本节课还有哪些方面的问题，以及使学生能力得到进一步提升。最后让学生总结本节课学到了什么，还有那些困惑。整堂课学生发现，探索，质疑，实践，归纳，练习，环环相扣，严谨有序，通过练习检测学生学习情况，效果良好。不足之处教师讲解引导多，没有真正把课堂给学生。

10.初中正比例函数教学设计 篇十

一、教学目标

（一）知识与技能

1．初步理解正比例函数的概念及其图像的特征； 2．能够画出正比例函数的图像；

3．能够判断两个变量是否构成正比例函数关系。

（二）过程与方法

1．通过正比例函数图象的学习和探究，感知数形结合思想； 2．能按要求运用“列表法”和“两点法”作正比例函数的图像； 3．会利用正比例函数解决简单的数学问题。

（三）情感态度与价值观

1．结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯； 2．通过正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是由于人们需要而产生的，与现实世界密切相关，同时渗透热爱自然和生活的教育。

二、教学重难点

（一）教学重点 正比例函数的概念。

（二）教学难点 正比例函数图象的特征。

三、教学方法

讲授法、演示法、课堂讨论法、启发法。

四、教学过程

活动一：问题的引入

提问同学们：（1）你知道候鸟吗？它们在每年的迁徙中能飞多远？

（2）候鸟燕鸥的飞行路程与时间之间有什么样的数量关系？

教师用投影仪展示燕鸥飞行距离示意图，1996年，鸟类研究者在芬兰给一直燕鸥套上标志环，4 月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它。让学生在地图上找出芬兰和澳大利亚的位置，并将两处用直线连接。然后让学生稍作思考，自主解答教科书上的三个问题：

（1）燕鸥每天飞行的路程；

（2）燕鸥总行程y（千米）与飞行时间x（天）的关系式；（3）燕鸥飞行1个半月的行程。

在讲解第二小题时路程和天数是近似的，但是它依旧反映了燕鸥的行程与时间之间的对应规律。指出自变量是飞行时间，自变量取值范围是0到127天，因变量是总行程，将两点带入近似计算得出自变量的函数为y=200x。第三题将x=1.5带入关系式即可求出。

活动二：正比例函数概念的学习

教师在投影仪上出示教科书23页上的4个实例：（1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化；

（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化；

（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摆在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；

（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度为T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。

给学生5分钟时间相互讨论，得出：（1）找出变量对应关系表达式；（2）说出表达式中的自变量、自变量的函数。教师抽取几个学生回答每个实例的两个小题，在黑板右侧写下答案，对回答进行分析评价。

提问学生甲：这4个函数有什么共同点？ 学生甲答：都是常数和自变量函数的形式。教师口述并在黑板左侧写上板书正比例函数的概念：

形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k为比例系数。让学生看书，在定义下画线，并提问：这里为什么强调k是常数且k≠0?让学生们讨论，相互举例补充。讨论后需要再次强调：不要误以为表达式中的字母都是表示变量；能对表达式中的自变量、比例系数、函数关系进行正确的解释。

让学生举几个例子。

教师口述并在黑板中间写下问题：（1）以下表示梯形和圆的面积的函数式是否是正比例函数？在什么情况下是？①S（2）

1(ab)h；②Sr2。2在上面的实例（4）中，由函数解析式T=-2t,当冷冻时间不超过1小时，物体的温度最低可达多少度？

活动三：画正比例函数图像

问题：我们知道了怎样用解析式表示正比例函数，能否用图像来表示它呢？怎样在直角坐标系中画出正比例函数的图像？

在黑板左侧演示用描点法画出y=2x的图像。接着要求学生独立画出y=-2x的图像，请两个同学到黑板上画。最后和学生一起简要总结列表画图象的主要步骤：列表、描点、连线。让学生观察分析两个图象的异同之处，填写PPT上所发现的规律：两图象都经过原点，两个图象都是直线，函数y=2x的图象从左向右上升，经过第三、一象限；函数y=-2x的图象从左向右下降，经过第二、四象限。

巩固练习画图象：学生独立练习，在同一坐标系中画出y图象，让学生观察分析这两个图象异同之处。活动四：正比例函数图象特征的探究

教师提问：从以上作图过程可以发现正比例函数的图像有什么特征？

通过对比正比例函数解析式观察分析，我们可以发现当k＞0时，函数y与自变量x同号；当k＜0时函数y与自变量x异号。

学生对正比例函数图象观察分析，知道其图象是一个随x增大而增大或减小的直线。

学生看到第25页中间段结论：正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我称它为直线y=kx。当k＞0时，直线y=kx经过第三、11x与yx的22一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

看到思考题：经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？让学生分组讨论。

讨论时提醒学生从解析式入手，探究当x=0时和x=1时，函数y的值分别是几；正比例函数的图象为什么一定过（0,0）和（1，k）这两点；因为两点可以确定一条直线，因此，画正比例函数时只须过原点和（1，k）画一条直线即可。

做教科书26页练习：用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：①y3x；2②y3x。请两名学生分别上台画这两幅图，其余学生自己画图。（教师关注：学生画图中是否采用的是“两点法”；这两点是否最简单。）活动五：小结，布置作业

问题：本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？学生精加思考后分组讨论，请3至4名学生回答。最后师生共同小结，明确正比例函数的概念、图象特征的效果。

11.生活中的反比例函数 篇十一

一、电路中的反比例函数

例1某闭合电路中,电源电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例,如图1表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图像,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()。

A.I= B.I=- C.I= D.I=

分析由于电源电压为定值,电流I与电阻R成反比例关系,因此可设其函数关系式为I=。

解设所求函数关系式为I=,由图1可知反比例函数的图像经过点B(3,2),因此有k=6,从而可得函数关系式为I=。故答案选A。

点评解答本题的关键是从图像中找到所需要的条件,把图像上的某一点作为切入点。

二、用电中的反比例函数

例2某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度。本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元)成反比例,又当x=0.65时,y=0.8。

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]

分析在市场经济中,销量与价格是成反比例关系的。因此,可建立反比例函数关系式。

解(1)由y=,当x=0.65,y=0.8,得k=0.8×(0.65-0.4)=0.2。

故y与x之间的函数关系式是y=,即y=。

(2)设电价调至每度x元时,本年度的收益比上年度增加20%。

因为上年度的收益为1×(0.8-0.3)=0.5(亿元),所以本年度的收益为0.5(1+20%)=0.6(亿元)。

故(x-0.3)+1×(x-0.3)=0.6,

整理得10x2-11x+3=0,即(5x-3)(2x-1)=0,

故x1=0.6,x2=0.5,又0.55

答:电价调至每度0.6元可增加用电量0.1亿度,使收益比上一年度增加20%。

点评从本题可知,要想提高销售效益,可以通过提高价格来做到,但价格也不能提得太高,因为价格太高,销量又会减少,销量一减少,效益就会下降。

三、食品中的反比例函数

例3你吃过拉面吗?实际上做拉面的过程就渗透着数学知识:一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)s(mm2)的反比例函数,其图像如图2所示。

(1)写出y与s之间的函数表达式;(2)求当面条粗1.6 mm2时,面条的总长度是多少米?

解析(1)因为y是s的反比例函数,可设y=k/s,把s=4、y=32代入得k=128,所以其函数表达式为y=128/s。

(2)当s=1.6时,y=128∕1.6=80,即当面条粗1.6 mm2时,面条的总长度是80米。

点评在反比例函数y=k/x中,只有一个待定系数,只需一组对应值就能确定其表达式。从本题可以看出,数学无处不在,这就要求我们关注身边的实际问题,能从实际生活中发现数学模型并用数学知识解决生产、生活中的实际问题。

四、产品销售中的反比例函数

例4水产公司有一种海产品,共2 104千克,为寻求合适的销售价格,进行了8天试销,试销情况如下:

观察表中数据,发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系。现假定在这批海产品的销售中,每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系。

(1)写出这个反比例函数的解析式,并补全表格;

(2)在试销8天后,公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克,并且每天都按这个价格销售,那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出?

(3)在按(2)中定价继续销售15天后,公司发现剩余的海产品必须在不超过两天内全部售出,此时需要重新确定一个销售价格,使后面两天都按新的价格销售,那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售计划?

分析借助待定系数法,选取一组已知数据代入,确定函数的解析式。

解(1)设函数解析式为y=(k≠0) ,将(400,30)代入,可得k=12 000,所以函数解析式为y=,然后分别将x=240,y=40代入函数解析式,得:x=300,y=50,填入相应的空中。

填表如下:

(2)2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1 600。

所以8天试销后,余下的海产品还有1 600千克。当x=150时,y==80。1600÷80=20,所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出。

(3)1600-80×15=400,400÷2=200,即如果正好用2天售完,那么每天需要售出200千克,当y=200时,x==60。所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售计划。

点评本题通过图表的形式给出题目的条件,要求同学们通过阅读材料和理解图表信息,寻找有用的信息,把这些信息转化为数学知识。

五、材料加工中的反比例函数

例5制作一种产品,需先将材料加热到60℃后,再进行操作。设该材料温度为y(℃),从加热开始计算的时间为x(分钟)。据了解,设该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图3)。已知该材料在操作加工前的温度为15℃,加热5分钟后温度达到60℃。

(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数关系式;

(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15℃时,须停止操作,那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间?

分析本题主要考查一次函数、反比例函数解析式的求法。(1)显然将材料加热时,当0≤x≤5时,y与x是一次函数关系,直线过点(0,15)、(5,60);停止加热时,当x≥5时,y与x是反比例函数关系,图像过点(5,60),易求得函数关系式;(2)当材料的温度低于15℃时,需停止操作,即令y=15,求对应的自变量的值。

解(1)将材料加热时,y与x是一次函数关系,可设y=kx+b(0≤x≤5),

∵当x=0时,y=15;当x=5时,y=60,

∴b=15,5k+b=60, 即b=15,k=9。 ∴当0≤x≤5时, y与x的函数关系是y=9x+15。

停止加热时, y与x成反比例函数关系,

设y=( x≥5), ∵当x=5时,y=60, ∴60=,∴ k=300。

∴当x≥5时, y与x的函数关系是y=。

(2)把y=15代入y=,得15=, ∴ x=20。

即从开始加热到停止操作,共经历了20分钟。

点评本题是由一次函数和反比例函数组成的分段函数,要注意分类讨论,分别写出函数关系式。

六、流感预防中的反比例函数

例6为了预防流感,某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物在释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例关系;药物释放完毕后,y与x成反比例关系,如图4所示。根据图中提供的信息,解答下列问题:

(1)写出从药物释放开始,y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围;

(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时学生才能进入教室?

分析由图4看到函数可以分为两段,前一段是正比例函数,后一段是反比例函数。并且都经过点(12,9)由待定系数法可以确定这两个函数的解析式,当药品释放完毕后经过一段时间降低到0.45毫克以下时,学生方可进入教室,将y=0.45代入可以得到时间。

解(1)设药物燃烧阶段函数解析式为y=k1x(k1≠0),由题意得:9=12k1,则k1=(0≤x<12)。∴此阶段函数解析式为y=x;设药物燃烧结束后的函数解析式为y=(k≠0),由题意得:9=,则k2=108。∴此阶段函数解析式为y=(x≥12)。

(2)将y=0.45代入y=,x=240,所以在240分钟后学生方可进入教室。

12.反比例函数解析式的“三副面孔” 篇十二

一、指数式常用来确定正、反比例函数的解析式

例1已知函数y= (m-2) xm2-5m+5+ (m-1) (m-3) (m是常数) 。

(1) 当m取什么值时, 它是正比例函数?它的图像在哪几个象限?

(2) 当m取什么值时, 它是反比例函数?它的图像在哪几个象限?

分析:函数y=kxn+b为正、反比例函数的条件分别是k≠0, b=0, n=1和k≠0, b=0, n=-1。

解: (1) 由正比例函数的概念可知:m-2≠0, 且m2-5m+5=1, (m-1) (m-3) =0, 解得m=1。

当m=1时, 函数为:y=x, 所以其正比例函数的图像在第一、三象限;

(2) 由反比例函数的概念可知:m-2≠0, 且m2-5m+5=-1, (m-1) (m-3) =0, 解得m=3。

当m=3时, 函数为:y=x-1, 所以其反比例函数的图像分别在第一、三象限。

二、乘积式常用来区分正、反比例函数

例2 (1) 已知y与z成正比例, z与x成反比例, 问y与x成什么关系?

(2) 已知三角形的底边为x, 底边上的高为y, 其面积为5, 问y与x成什么关系?

分析判断两变量是正比例函数还是反比例函数, 主要是看它们是两变量的积为常数, 还是两变量的比为常数。若两变量的积为常数, 这两变量是反比例的关系;若两变量的比为常数, 这两变量是正比例的关系。

解 (1) ∵y与z成正比例, ∴y=k1z (k1≠0的常数) ,

∵k1k2≠0的常数, ∴y是x的反比例函数。

(2) 由题意得:所以y是x的反比例函数。

三、一般式可以用来判断图像、求函数值等

例3正比函数y=2kx与反比例函数在同一坐标系中的图像不可能是 ()

分析一般式也叫定义式, 它的用途很广, 可以用它解决正反比例的一切问题, 特别是函数的图像判断, 这是因为函数的性质是用一般式归纳出来的。

解A、B、C都有可能, 但是D不可能, 这是因为其正比例函数的图像在第二、四象限, 2k应小于零。k-1也应小于零, 此时的反比例函数的图像不会在第一、三象限。

13.数学评课稿-《正比例函数性质》 篇十三

1、设计贴切学案的设计符合新课标的要求，设计中体现了教师对教材的理解和处理，牢牢地抓住了以教材为“生长点”，问题的设置很好地放在了引导学生如何学上，充分体现了授课教师力求做到:启发与发现的结合；动手与动脑的结合；智力与非智力因素的结合。

2、实施大胆30多分钟时间大胆得让学生自主探究，充分体现了学生的主体地位，使每位学生都能参与到课堂中来，快者快学，慢者慢学，每位同学都能在这堂中有所收获，同时有利于学生自主能力的培养。

3、适时点拨在学案实施过程中，教师是巡视，观察，对自学比较薄弱的同学进行个辅导，而辅导形式采用“点而不破”，另对发现自学过程中多数学生难以解决的一个或几个带共性的问题，能够适时地给学生指出如何寻找解决问题恰当得认识条件和方法。

14.《正比例函数》教案 篇十四

图象：一条经过原点的直线。

性质：

(1)当>0时，随x的增大而增大;

(2)当<0时，随x的增大而减小。

1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出的值;

2、根据第一步求的x、的值描出点;

3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。

正比例函数的图像：

1. 若p1(x1，1) p2(x2，2)是正比例函数=-6x的图象上的两点，且x1

2. 如果<-2，那么正比例函数=(+2)x的图象经过第 _____象限.

3. 正比例函数=-x的图象经过原点和第一、三象限，则直线=x+3不经过第_____象限.

4. 对于函数=-2x(是常数，≠0)的图象，下列说法不正确的是()

A.其函数图象是一条直线

B.其函数图象过点(，-)

C.其函数图象经过一、三象限

D.随着x增大而减小

5. 有下列函数：①=-3x;②=x-1;③=-(x<0);④=x2+2x+1.其中当x在各自的自变量取值范围内取值时，随着x的增大而增大的函数有()

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

6. 下列函数中，随x的增大而减小的有()

①=;②=x-1;③=-3x+1;④=;⑤=-(x>0);⑥=(x<0).

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

7. 关于正比例函数=-2x，下列说法错误的`是()

A.图象经过原点

B.图象经过第二，四象限

C.随x增大而增大

D.点(2，-4)在函数的图象上

8. 下列函数中，当x>0，随x的增大而减小的是()

A.=x

B.=

C.=

D.=2x-1

9. (2008泉州)已知正比例函数=x(≠0)的图象经过原点、第二象限与第四象限，请写出符合上述条件的的一个值：().

10. (2006防城港)正比例函数=(a+1)x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+(1-2a)x+a2=0，则此方程的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

15.《正比例函数》教案 篇十五

函数是在探索具体问题的数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要数学模型。在初二已学习过一次函数的相关内容, 学生对函数已经有了初步的认识, 在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念, 为后续学习产生积极影响。本节课的反比例函数图象与性质, 旨在让学生进一步熟悉做函数图象的主要步骤。即:列表, 描点, 连线。通过对反比例函数图象的全面观察和比较, 发现函数自身的规律, 进行语言表述, 从而得出反比例函数的主要性质。在第一课时, 学生已经得到了相应的结论, 本节课在此基础上进一步巩固所学内容。对于反比例函数的增减性, 学生掌握较差, 我们可通过练习得出y=x (k≠0) 中k值的几何意义。实际上, 本节课就是一节习题课, 如何上好一节习题课, 并有效地进行师生间的互动是对我的挑战。

课堂上先复习反比例函数的概念以及它的图象, 回忆性质并列成表格的形式, 以便于学生理解记忆, 然后通过练习进一步巩固所学知识。

例⑴:已知点A (2, y1) , B (1, y2) , C (-1, y3) , D (-2, y4) 都在反比例函数y=6/x的图象上, 比较y1, y2, y3, y4的大小。

学生基本都能得出正确结果, 并有不同的做法, 经过总结归纳出三种方法。

方法一:分别求出y1, y2, y3, y4的值;

方法二:通过反比例函数的增减性来判断;

方法三:画草图, 通过观察图象来比较大小。

我对学生的表现进行了鼓励:大家能用所学的知识解决这个问题, 并有不同的方法, 说明大家都用心思考了这个问题, 在此基础上, 我们再来看例⑵, 大家能解决么?此时, 学生们都在积极思考下一个问题。

例⑵:已知点A (x1, y1) , B (x2, y2) 都在反比例函数y=6/x的图象上, 且x1>x2, 比较y1, y2的大小。

此题对于学生有难度, 学生受上一题的影响, 很容易根据增减性得出y1x2, 可得出y1x2>0; (2) x1>0>x2; (3) 0>x1>x2。

这样处理这道例题, 比我直接给出正确答案效果要更好, 学生的印象也更为深刻。从第二天作业的反馈中也可以看出, 学生对这类型的题掌握得不错。如果这道例题没有经过由错误到正确的过渡, 学生在今后很容易犯这样类似的错误, 这还要“归功”于**同学呢。

《数学课程标准》指出:“数学教学应该建立在学生认识发展水平和已有的知识经验基础上, 教师激发学生的学习积极性, 向学习者提供充分从事数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能, 数学思想和方法, 获得广泛的数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能, 数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验。学生是学习的主人, 教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”

因此, 面对新课程, 教师首先要转变角色, 确认自己新的教学身份。在学生学习的过程中, 要由管理者变为组织者, 由传授者变为协助者, 由仲裁者变为促进者。但要真正具体落实到课堂教学上, 我有时仍然感到迷惘, 甚至是无所适从。往往在课堂上还是滔滔不绝地讲, 学生死气沉沉地听;接二连三地问, 学生断断续续地答。“如何根本性地改变教师角色, 实现学生自主学习”这个问题显得尤为突出。在课堂上应该让学生自主活动、合作学习。教育心理学家早已作出论断:教师讲, 学生听, 学生只能记得15%;如果学生自己看书, 可以记得其中的25%;如果既看又听, 效果不再是两者的代数和, 而是65%。这是一个很大的飞跃。如果不仅用耳听, 而且动眼看, 动手做, 动嘴讲, 特别是多动脑筋, 效果自然会更好。因此, 我们可以让学生尝试错误, 这种错误出现后, 教师应善于捕捉这种机会, 将它转化为学生学习探究的课题, 调动学生的探究积极性, 在教师的引导下, 通过自主学习、小组合作、共同探讨等教学手段, 让学生自己纠正错误, 得出正确的结论。这样, 学生的印象会更深刻, 学习的效果也会更好。

在今后的教学中, 我将不断地反思自己教师角色的定位:

1.要做学生学习的促进者。学生自我建构知识的前提还是先有参与的意愿。“兴趣是最好的老师”, 因而教师要熟练驾驭教材及与之相关的拓展知识, 把科学性与趣味性有机地结合起来。然后为学生主动探究提供足够的时间和空间, 并且在学生的合作探究过程中, 不断给以鼓励, 最大限度地促进学生参与探究新知的活动。

16.反比例函数中的数学思想 篇十六

一、分类讨论思想

分类讨论思想就是根据问题可能存在的情况，进行分类讨论，从而解决问题的一种数学思想。这是一种重要的数学思想，对培养思维的周密性大有好处。在分类讨论时应明确标准，不重不漏。

已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函数y=的图像上，且x1＞x2，比较y1与y2的大小。

分析 讨论反比例函数图像的增减性有一个前提条件：x在哪一象限内，而已知条件中点是否在同一象限不确定，所以要分类讨论。

解 （1）当两点在同一象限时，即当x1＞x2＞0或0＞x1＞x2时，由于k＞0，所以y随x的增大而减小。因为x1＞x2，所以y1＜y2；

（2）当两点不在同一象限时，即当x1＞0＞x2时，因为k＞0，x1＞0，所以y1＞0。同理y2＜0，所以y1＞y2。

点评 比较函数值的大小问题时，若反比例函数y=中的k的符号不确定时要进行分类。

二、数形结合思想

数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

如图1，正比例函数y1=k1x的图像与反比例函数y2=的图像相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4。过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。

（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；

（2）结合图像，求出当k3x+b＞＞k1x时x的取值范围。

分析 （1）因为S△BDO=4，由k的几何意义得y2=。由A点可得y1，由A、E两点可得y3。在第（2）问中，就是求y3＞y2＞y1时x的取值范围，要结合图像，通过观察直接写出结果。

解 （1）y1=x；y2=；y3=-2x+10；

（2）x＜-4或1＜x＜4。

点评 对第（2）问，以形助数观察出结果很重要，不要去解不等式，直接观察图像就可得出答案，这也是解这类题的通法。

三、方程思想

方程思想就是根据所要解决的问题建立方程模型。

如图2，P1是反比例函数y=（k＞0）图像在第一象限的一点，点A1的坐标为（2，0）。

（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？

（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标。

分析 第（2）问中有正三角形，可想到作正三角形底边上的高：作P1C⊥OA1于C，作P2D⊥A1A2于D。先求出P1的坐标，则函数的解析式也就知道了。若能表示出P2的坐标，则可代入函数解析式列方程求解。

解 （1）△P1OA1的面积将逐渐减小；

（2）作P1C⊥OA1于点C，因为△P1OA1为等边三角形，

所以OC=1，P1C=，所以P1（1，）。

把点P1的坐标代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=。

作P2D⊥A1A2于点D，设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，所以P2（2+a，a）。

把点P2的坐标代入y=，得（2+a）a=，化简得a2+2a-1=0。

解得：a=-1±。

因为a＞0，所以a=-1+。

所以点A2的坐标为（2，0）。

点评 若把图2中的两个正三角形改为正方形或等腰直角三角形，仍可列方程求解。

四、转化思想

转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种数学思想。

如图3，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图像交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）

A.3B.

C.2D.4

分析 连接AO、BO，将S△ABC转化为S△ABO，然后运用k的几何意义求解。

解 因为AB∥x轴，所以△ABC与△ABO同底等高。

所以S△ABC=S△ABO=S△APO+S△PBO=+=，故答案选B。

17.反比例函数的性质 篇十七

单调性

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小;

当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

相交性

因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

面积

在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的.平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=|k|。

图像表达

反比例函数图象不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。

k值相等的反比例函数图象重合，k值不相等的反比例函数图象永不相交。

|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

对称性

反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点;反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x;反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。

18.正比例函数怎么判断？ 篇十八

正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b中(k为常数，x的次数dao为1，且k≠专0)，若b=0，即所谓“y轴上的`属截距”为零，则为正比例函数。 正比例函数属一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

正比例函数的关系式表示为：y=kx(k为比例系数)。 当k>0时(一三象限)，k的绝对值越大，图像与y轴的距离越近;函数值y随着自变量x的增大而增大; 当K<0时(二四象限)，k的绝对值越小，图像与y轴的距离越远。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。

19.《正比例函数》教案 篇十九

一、有已知, 求面积

这一类题型就是给出已知的条件, 或点的坐标, 或函数解析式等, 然后根据题意求三角形或其他形状的图形面积.

例1如图, Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=-x+ (k+1) 在第四象限的交点, AB⊥x轴于B, 且S△ABO=

(1) 求这两个函数的解析式;

(2) 求直线与双曲线的两个交点A, C的坐标和△AOC的面积.

分析 (1) 要求函数的解析式关键是求出点A的坐标, 于是设A (x, y) , 然后将线段OB, AB的长度表示出来, 根据S△ABO=×OB×AB=, 可以求出k=-3, 从而得到反比例函数的解析式为y=-, 一次函数的解析式为y=-x-2.

(2) 求交点的坐标就是联立两个函数式y=-, y=-x-2, 将其组成方程组, 再解出方程组的解x1=-3, y1=1;x2=1, y2=-3, 得到交点的坐标A (1, -3) , C (-3, 1) .而△AOC的面积一般不能够直接求出, 而是转化为有一边在坐标轴上的三角形的面积的和或差.设直线AC与y轴交于点D, 则D点坐标为 (0, -2) , 所以OD=2, 于是△AOD和△DOC的面积之和就是△AOC的面积, S△AOC=S△AOD+

一次函数与反比例函数图像中的面积问题一般转化为三角形的面积来求, 而且这样的三角形通常至少有一边在坐标轴上, 三角形的高就是另一点的横坐标或纵坐标的绝对值.

二、有面积, 求未知

这一类题型往往给出一个三角形的面积, 而要求某个数的值, 比如求k值或者解析式的值.学生可先用带有某个未知数的式子表示三角形的面积, 通过面积求出未知数, 从而使问题得以解决.

例2如图, 已知一次函数y=-x+8和反比例函数y= (k≠0) 的图像在第一象限内有两个不同的公共点A, B.

(1) 求实数k的取值范围; (2) 若△AOB的面积S=24, 求k的值.

分析 (1) 因为A, B两点是一次函数y=-x+8和反比例函数y=的交点, 所以可以把这两个解析式结合起来组成方程组, 消去y, 得x2-8x+k=0, 又Δ=64-4k>0, k<16.设两个公共交点的坐标A (x1, y1) , B (x2, y2) , 又x1>0, x2>0, 所以, x1+x2=8>0, x1x2=k>0 (或者从图像可知k>0) , 所以, 0

(2) 在y=-x+8中, 令x=0, 得y=8, 所以可以得出OC=8, S△AOB=S△COB-S△COA=, 又x2-8x+k=0, 用k代替里面的x1与x2等值, 可以求出k=7.

这道题需要先把两个解析式组成方程组, 得出一个二元一次方程, 利用两个函数的交点个数确定k的取值范围.在第二问中已知△AOB的面积S=24, 而△AOB可以转化成两个小三角形来表示, 这样就顺利地把面积与函数联系起来, 从而轻松地求出k的值.

三、关于探索型面积问题

所谓探索型面积问题是指有些题目中的已知量并不是常量, 往往是一个动态变化的过程, 或分成几种情况讨论, 或其值为一个固定常数等.

总之, 初中反比例函数有关面积问题的题目无外乎以上三种类型, 当然在具体的试题当中也有许多变形和衍化, 这就需要学生灵活运用, 融会贯通, 通过勤练习, 一定能够掌握解答这类题型的方法和技巧.

摘要：反比例函数是初中函数部分的重要教学内容, 函数题目里有一种专门的题型就是有关面积问题的:有已知, 求面积;有面积, 求未知;探索型面积问题等.这种题型难度相对较大, 需要综合运用知识, 所以在课堂教学中, 教师要注重方法的传授, 提高学生解答有关面积问题题目的能力.

关键词：初中数学,反比例函数,面积

参考文献

[1]肖建祥.浅谈反比例函数图像中的面积问题.读与写 (教育教学刊) , 2009 (3) .