高中数学立体几何：垂直关系

高中数学立体几何：垂直关系（共11篇）（共11篇）

1.高中数学立体几何：垂直关系 篇一

欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.§9.4直线与平面垂直的判定和性质

（二）1．选择题

（1）直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是（）

（A）平行（B）垂直（C）在平面内（D）无法确定

（2）下面各命题中正确的是（）

（A）直线a，b异面，a，b，则∥；

（B）直线a∥b，a，b，则∥；

（C）直线a⊥b，a⊥，b⊥，则a⊥；

（D）直线a，b，∥，则a，b异面.（3）对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：

①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d.那么这样的直线b有（）

（A）1条（B）2条（C）3条（D）无数条

2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直.3．地面上有两根相距a米的直立旗杆，它们的长分别是b米，c米（b>c），求它们上端间的距离.4．平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.5．矩形ABCD所在平面外一点P，且PA⊥平面AC，连PB、PC、PD，E、F分别是AB、PC的中点

（1）求证：CD⊥PD；

（2）求证：EF∥平面PAD

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2.高中数学立体几何：垂直关系 篇二

纵观历年高考试题中立体几何的范围, 我们不难发现, 经常立足于考查“线线垂直、线面垂直和面面垂直”之间的相互转化关系。可是, 当前在对这部分内容的教学中却存在许多不利于促进课堂教学的因素, 导致课堂教学效果欠佳。比如:教学观念落后, 教学方式和手段单一;教学中忽略了对学生作图和看图能力的培养;以及忽视了对学生进行规范数学语言的培养等。因此, 基于高中学生的认知特点和思维方式, 针对不同的教学现状, 挖掘不同的教学应对策略来优化“立体几何中垂直关系”的课堂教学是至关重要的。

一、更新教育教学观念, 采用多媒体和几何画板的整合教学手段优化课堂教学

多媒体技术和几何画板的应用给课堂教学注入了生机和活力, 它以其容量大、资源共享、生动有趣等特点受到师生的普遍关注, 这弥补了传统教学方式的不足。教师只有改变传统的教学观念, 认真领悟多媒体技术和几何画板的优点, 把新的教学手段带入课堂, 使课堂教学更加具有高效性。

1.多媒体技术的应用具有直观性。可以把抽象的概念直观化, 加深学生理解概念的过程。在立体几何垂直关系的教学中, 学生常会遇到较难懂的问题, 若只是教师做简单的描述和单一的讲解, 学生很难接受和理解, 更谈不上能够应用定理。如, 教师可以利用多媒体辅助教学, 展示从不同角度观察到的图形, 有利于激发学生探索新知识的欲望, 也能培养学生的创新思维能力, 并将立体几何图形与现实生活中的物体进行对应, 再把垂直关系也添加到几何图形中, 并将立体几何图形与现实生活中的实物进行对应。可见, 利用多媒体教学听觉和视觉相结合的教学方式, 采用视频和音频的形式展示教学内容, 帮助学生获取更多信息量, 深刻地理解和掌握概念, 进一步运用定理和公式。

2.几何画板的应用具有动态性。几何画板是数学教学中常用的教学软件。特点表现为:简单实用、与学生互动性强、易制作和储存等特点。教师可以把几何画板带入课件的制作过程中, 使得枯燥、死板的数学课堂教学变得形象化和动态化。这样, 有利于学生从多角度理解空间的立体结构图。以此增强立体几何中垂直关系教学的趣味性, 提升学生的自主探究能力和空间想象能力。

二、注重授课过程中对学生作图和看图方法的指导以及模型的制作, 培养空间想象能力

学生在初中阶段先接触平面几何, 延续了平面几何的思维模式。所以, 在高中学习立体几何垂直关系时, 教师要把引导学生作图和看图作为突破这一知识点学习的重要策略。因此, 教师在授课过程中要对学生作图和看图进行训练, 特别对于立体空间中异面直线、图形的水平旋转直观图等问题都是难点, 学生的三维空间建立不容易。教师应着重培养学生的立体思维能力, 使学生能够根据纸上的图形想象物体真实的空间结构, 并能独自将三维立体图形使用线条以图示的语言进行表示。方法如下:教师带领学生进行多角度识图和实物写生, 也可以带领学生自制模型, 逐步培养学生识图、辨图能力。从反复练习中领悟平面图形和立体图形的差异, 找出点、线、面的结合点, 合理快速地画出空间立体图形。如, 教师可以创设作图的情境, 训练学生作图的能力。

【例1】已知三棱锥P-ABC中, E、F分别是AC、AB的中点, △ABC和△PEF都是正三角形, PF⊥AB。求证:PC⊥平面PAB。

当把以上题目展现给学生后, 教师可引导学生自行作图, 具体操作如下:出示三棱锥模型;引领学生分析已知条件;作图;最后进行解答。经过长期的训练, 学生对看图和作图就得心应手了, 分析处理数学问题的能力也提高了。

三、对学生正确使用规范数学语言解题能力的培养

数学语言能力的强弱是学生数学素养高低的重要标志, 学生能否正确运用规范的几何语言对于解决立体几何垂直问题至关重要, 如有的题目中文字叙述特别的繁琐, 很难理清题目的意思, 学生就感到无从下手。这时, 就要求学生能作出图形, 用简单的图示语言来转述题目的内涵, 再用数学符号语言进行求证。解题时学生数学思维形成过程中用文字语言描述这是最基本的, 也是全面的、易于理解的, 用图示语言表达是给人直观感、帮助学生理解, 用符号语言表达给人简练感, 只有学生能够在恰当的时候把三种语言进行相互变换, 才能提升学生在立体几何垂直关系中的理解能力、创新思维能力和解题能力。

四、提升学生的转化思维能力

转化思维在数学中的应用相当广泛, 如何把这种思维形式蕴含在题目中传递给学生, 这是值得教师深刻思考的问题。针对高中立体几何垂直关系的知识板块, 可从两个方面作出如下分析。

1.利用中点条件或适当地引入点作出辅助线进行转化, 垂直证明问题将化难为易。

【例2】已知平面 α⊥平面 β, 平面 α⊥平面 γ, 且 β∩γ=a, 求证:a⊥α。

解析:此题是线线、线面和面面垂直三者之间的转化典型题, 一题有多解, 但需要作出辅助线。不但可以培养学生的转化思维, 而且对沟通数学知识和方法, 开拓解题思路也是有益的。分析如下:

证明1:如图一

在 α 内取一点P, 作PA⊥β 于A, PB⊥γ 于B, 则PA⊥a, PB⊥a, 又PA⊂α, PB⊂α, PA∩PB=P,

∴ a⊥α。

证法2:如图二

在a上任取一点Q, 作QC⊥α 于C, ∵β∩γ=a,

∴Q∈β,

又β⊥α, ∴QC⊂β,

同理可证QC⊂γ,

∴QC为β与γ的交线a,

∴a⊥α。

证法3:如图三

在a上任取点R, 在 β 内作RD垂直于 α、β 的交线l于D,

∴RD⊥α,

同法在 γ 内, 作RE垂直于 α, 交 αα与 γ 的交线m于E,

则RE⊥α, 过平面外一点, 作这个平面的垂线是惟一的,

∴RD、RE重合, 则它既包含于β, 又包含于γ,

∴a⊥α。

证法4:如图四

在 β、γ 内分别取M、N分别作α、β 的交线l和 α、γ 的交线m的垂线c, d,

则c⊥α, d⊥α, c//d, c//a,

∴a⊥α。

由此可见, 解决立体几何垂直关系的相关问题时, 要能正确作出相应的辅助线, 这点显得尤为重要, 这也体现了数学转化思维的应用。

2.针对空间中的垂直关系进行相互转化。空间中的垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直三种。当接触到相关题目时, 若不能直接求证的, 需要引导学生在三种关系之间相互转化, 这是解题的关键, 也是对学生学习方法的引导和提升。

【例3】如图:在空间四边形ABCD中, 已知BC=AC, AD=BD, 引BE⊥CD , E为垂足, 作AH ⊥BE于H, 求证:AH⊥平面BCD。

解析: 要求证AH⊥平面BCD, 这是“线面垂直”问题, 需转化为“线线垂直”, 此过程可以通过证“线面垂直”来实现。而且, 定义可以双向使用, 直线a垂直于平面 β 内的任何直线, 则a⊥β, 反之, 若a⊥β, 则a垂直于平面内 β 的任何直线。这也反应了学生对数学转化思维的应用, 在定理和问题间可以通过转化搭一座桥梁。

证明:取AB中点F, 连结CF、DF,

∵AC=BC, ∴CF⊥AB,

又∵AD=BD, ∴DF⊥AB, ∴AB⊥平面CDF,

又CD⊂平面CDF, ∴CD⊥AB

又CD⊥BE, ∴CD⊥平面ABE, CD⊥AH

又AH⊥BE, ∴AH⊥平面BCD。

五、结语

总之, 高中立体几何中垂直关系的教学策略的探讨, 应该基于学生学情的真实分析、课标的要求以及教学中存在的相关问题为出发点, 探索出适合本地、本学校的教学策略。在转变教学观念的基础之上, 不断开拓创新, 探索新的教学方法和手段, 使得我们的高中数学课堂教学充满生机和活力, 使得我们的课堂成为一个开放式的、具有创新性质的课堂, 真正提高学生的解题能力。

参考文献

[1]姚立宏.直线与平面平行的判定[J].高中数理化, 2011.16期

[2]张洪海.浅谈在新课程标准下数学教学应注意的问题及解决的策略方法[J].科技信息, 2011.08

3.高中数学立体几何：垂直关系 篇三

重难点：能熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

经典例题：已知三角形的两个顶点是B(2,1)、C(-6, 3), 垂心是H(-3, 2), 求第三个顶A的坐标．

当堂练习：

1．下列命题中正确的是（）

A．平行的两条直线的斜率一定相等B．平行的两条直线的倾斜角相等

C．斜率相等的两直线一定平行D．两直线平行则它们在y轴上截距不相等

2．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为，则m,n的值分别为（）

A．4和3B．-4和3C．-4和-3D．4和-

33．直线:kx+y+2=0和:x-2y-3=0, 若,则在两坐标轴上的截距的和（）

A．-1B．-2C．2D．6

4．两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（）

A.m=1B．m=1C．D．或

5．如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a、b的值为（）

A．a=, b=0B．a=2, b=0C．a=-, b=0D． a=-, b=

26．若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合，则a等于（）

A．-1或2B．-1C．2D．

7．已知两点A（-2，0），B（0，4），则线段AB的垂直平分线方程是（）

A．2x+y=0B．2x-y+4=0C．x+2y-3=0D．x-2y+5=0

8．原点在直线上的射影是P（-2，1），则直线的方程为（）

A．x+2y=0B．x+2y-4=0C．2x-y+5=0D．2x+y+3=0

9．两条直线x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置关系是（）

A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．与m,n的取值有关

10．方程x2-y2=1表示的图形是（）

A．两条相交而不垂直的直线B．一个点

C．两条垂直的直线D．两条平行直线

11．已知直线ax－y＋2a＝0与直线(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则a等于（）

A．1B．0C．1或0D．1或－

112．点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（）

A．（-6，8）B．（-8，-6）C．（6，8）D．（-6，-8）

13．已知点P（a,b）和点Q(b-1,a+1)是关于直线对称的两点，则直线的方程为（）

A．x+y=0B．x-y=0C．x+y-1=0D．x-y+1=0

14．过点M（3，-4）且与A（-1，3）、B（2，2）两点等距离的直线方程是__________________．

15．若两直线ax＋by＋4＝0与(a－1)x＋y＋b＝0垂直相交于点(0, m)，则a＋b＋m的值是_____________________．

16．若直线 1：2x-5y+20=0和直线2：mx-2y-10=0与坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m的值等于 ________．

17．已知点P是直线 上一点，若直线 绕点P沿逆时针方向旋转角（00<<900）所得的直线方程是x-y-2=0, 若将它继续旋转900-，所得的直线方程是2x+y-1=0, 则直线 的方程是___________．

18．平行于直线2x+5y-1=0的直线与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程．

19．若直线ax+y+1=0和直线4x+2y+b=0关于点（2，-1）对称，求a、b的值．

20．已知三点A(1,0),B(-1,0),C(1,2),求经过点A并且与直线BC垂直的直线的方程．

21．已知定点A（-1，3），B（4，2），在x轴上求点C，使AC

参考答案：

经典例题： BC．

解： ACBH，, 直线AB的方程为y=3x-5(1)ABCH，, 直线AC的方程为y=5x+33(2)

由（1）与（2）联立解得A点的坐标为（-19，-62）.当堂练习：

1.B;2.C;3.C;4.D;5.C;6.B;7.C;8.C;9.B;10.C;11.D;12.D;13.D;14.x+3y+9=0 或13x+5y-19=0;15.2或－1;16.-5;17.x-2y-3=0;

18.解：依题意，可设的方程为2x+5y+m=0, 它与x,y轴的交点分别为（-

(0,-

10=0.19.解：由4x+2y+b=0，即

2x+y+=0, 两直线关于点对称，说明两直线平行，a=2.),由已知条件得：,m2=100, ,0）, 直线的方程为2x+5y在2x+y+1=0上取点（0，-1），这点关于（2，-1）的对称点为（4，-1），又（4，-1）满足

2x+y+=0, 得b=-14, 所以a=2, b=-14.20.解:kBC==1,kl =-1, 所求的直线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.21.解：设C(x,0)为所求点，则kAC=, kBC=ACBC,kAC kBC=-1, 即

4.高中数学知识点--立体几何 篇四

一 逐渐提高逻辑论证能力

立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法(“推出法”)形式写出。

二 立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在初学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：

(1)深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。(2)培养空间想象力。

(3)得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

三 “转化”思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

1.两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

2.异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

3.面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

4.三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

四 培养空间想象力

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位臵关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形(如：直线和平面)、简单的几何体(如：正方体)开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如：纸、黑板)上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

五 总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。六 典型结论的应用

5.高中数学立体几何：垂直关系 篇五

立体几何在历年的高考中有两到三道小题，必有一道大题。虽然分值比重不是特别大，但是起着举足轻重的作用。下面就如何学好立体几何谈几点建议。

一 培养空间想象力

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形（如：直线和平面）、简单的几何体（如：正方体）开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面（如：纸、黑板）上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

二立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：

（1）培养空间想象力。

（2）得出一些解题方面的启示。

（3）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

三总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多

用心爱心专心

1是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。

还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。

四逐渐提高逻辑论证能力

立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出

五典型结论的应用

在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。

我相信，如果在学习过程中做到了以上六点，那么任何题目也会迎刃而解。

六“转化”思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

1.两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

2.异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

用心爱心专心 2

3.面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

4.三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

6.高中数学立体几何：垂直关系 篇六

教案设计（1.2.3直线与平面垂直的判定）

②观察实例：学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系。

③提出思考问题：如何定义一条直线与一个平面垂直？

（2）观察归纳—形成概念

①学生画图：将旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

②提出问题：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？（学生讨论并交流）

③动画演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化，重点让学生体会直线与平面内不过垂足的直线也垂直。

④归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并要求学生用符号语言表示。

（3）辨析讨论—深化概念

判断正误：

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。②若a⊥α,bα，则a⊥b。（学生利用铁丝和三角板进行演示，讨论交流。）

这一环节是本节课的基础。线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，这样，不利于学生思维能力的发展。如何使学生从“线面垂直的直观感知”中抽象出“直线与平面内所有直线垂直”是本环节的关键，因此，在教学中，充分发挥学生的主观能动性，先安排学生课前收集大量图片，多感知，然后，通过学生动手画图、讨论交流和多媒体课件演示，使其经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念，最后，通过辨析讨论加深学生对概念的理解。这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般，由具体到抽象，既有助于学生对概念本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生的几何直观能力。

2、直线与平面垂直的判定定理的探究

这个探究活动是本节课的关键所在，分三步进行：

（1）分析实例—猜想定理

问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？

问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？

问题③由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？

学生提出猜想:

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（2）动手实验—确认定理

折纸实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：

问题④折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

问题⑤由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？（即AD⊥CD，AD⊥BD还成立吗？）由此你能得到什么结论？

学生折纸可能会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，分析“不垂直”的原因，从而发现垂直的条件—折痕AD是BC边上的高，进而引导学生观察动态演示模拟试验，根据“两条相交直线确定一个平面”的事实和实验中的感知进行合情推理，归纳出线面垂直的判定定理，并要求学生画图，用符号语言表示。

（3）质疑反思—深化定理

问题⑥如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？由于两条平行直线也确定一个平面，这个问题是学生会问到的。可以引导学生通过操作模型（三角板）来确认，消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条”、“相交”缺一不可！

在本环节中，借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，引导学生分析，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，并以此为基础,进行合情推理，提出猜想，使学生的思维顺畅，为进一步的探究做准备。

由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理。因而，安排学生动手实验，讨论交流、为便于学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，还增设了动态演示模拟试验，让学生更加清楚地看到“平面化”的过程。学生在已有数学知识的基础上，加之以公理的支撑，便可以确认定理。

教学中，让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力。与此同时，鼓励学生大胆尝试，不怕失败，教训有时比经验更深刻，使学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，为今后自主学习打下基础。

3、直线与平面垂直的判定定理的初步应用

考虑到学生处于初学阶段，补充利用练习（1）和练习（2）做铺垫。学生先尝试去做并板演，师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理。练习（3）使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。根据学生的实际情况，本题可机动处理。

4、布置作业—自主探究

7.高中数学立体几何：垂直关系 篇七

一、学习内容分析

本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第二章2.3.1节。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。

本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带。学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。

二、学习者分析

本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了线线垂直的证明，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于线面垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。但是学生对于理解线面垂直的定义有一定的困难，受线面平行的影响，很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。

三、教学重点、难点

重点：直线与平面垂直的判定定理。

难点：探究得出出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．

四、教学目标

（1）知识与技能目标：

1.描述直线与平面垂直的定义；

2.运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题.（2）过程与方法目标：

1.通过对实例、图片的观察，概括定义，正确理解定义，增强观察能力；

2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.（3）情感态度与价值观目标：

1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳，感受生活中的数学美；

2.通过经历直线与平面垂直判定定理的探究，体验探索的乐趣

五、教学过程

1．复习回顾，引入新课

问题：同学们，我们已经学习了空间中直线与平面的位置关系，有哪些位置关系？

【师生活动】学生集体可能回答：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交

【追问】有些位置关系是比较特殊的，一种是线面平行，还有一种呢？

【师生活动】教师引导学生回答线面垂直这种位置关系是一种特殊的线面位置关系并揭示课题

2．逐步探索，得出定义

问题：在日常生活中你见到的线面垂直的现象有哪些？

【师生活动】学生列举生活中的线面垂直现象，然后教师也展示生活中的一些线面垂直现象，例如篮球架和地面垂直，旗杆和地面垂直。对于旗杆与地面垂直的现象进行抽象化，让学生对下列问题进行思考。

思考：

(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线的位置关系如何?依据是什么？

【设计意图】：第（1）与（2）两问是为了让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问是为了进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，那么学生就可以得到直线AB与地面内任意一条直线垂直。在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．

【师生活动】师生一起给出线面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作：.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足。

3.创设情境，猜想定理

【师生活动】教师引导学生认识到由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直是非常困难的，需要寻找简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直。

【实验】准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作，．如图，过△的顶点折叠纸片，得到折痕，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使、边与桌面接触）

【师生活动】教师引导学生分别根据这两个示意图进行实验，并思考：

1.折痕与桌面一定垂直吗？

2.为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？

对于思考2教师引导学生根据定义进行回答。

【设计意图】：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例.【师生活动】教师引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？

【设计意图】：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线。

问题：如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？

问题：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，你认为直线还垂直于平面吗？

【设计意图】：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。

【师生活动】教师引导学生根据试验给出直线与平面垂直的判定方法。引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略.图形语言：

符号语言：

【教师归纳】“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.4.运用定理，证明问题

练习：1.如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？

2.如图６，已知，则吗？请说明理由．

【师生活动】引导学生分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明，并用文字语言概括：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

【教师归纳】：这个问题给出了判断直线和平面垂直的又一个方法，间接判定直线与平面垂直．这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．

练习：3如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．

证：AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；

（请学生判定后，追问：EF与VB的位置关系如何？）

5.回顾总结，作业布置

【师生活动】教师引导学生从知识和方法两个方面进行总结．

知识方面：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理．

8.高中数学立体几何：垂直关系 篇八

（二）1．选择题

（1）直线与平面平行的充要条件是（）

（A）直线与平面内的一条直线平行

（B）直线与平面内的两条直线平行

（C）直线与平面内的任意一条直线平行

（D）直线与平面内的无数条直线平行

（2）直线a∥平面，点A∈，则过点A且平行于直线a的直线（）

（A）只有一条，但不一定在平面内

（B）只有一条，且在平面内

（C）有无数条，但都不在平面内

（D）有无数条，且都在平面内

（3）若a，b，a∥，条件甲是“a∥b”，条件乙是“b∥”，则条件甲是条件乙的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

（4）A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（）

（A）0个（B）1个（C）无数个（D）以上都有可能

2．平面与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面

9.高中数学立体几何：垂直关系 篇九

【说教材】：

本课是小学数学空间与图形中的学习内容，它是在学生认识了两条直线的垂直关系的基础上安排的。教材在例题中呈现了从一点向已知直线所画的一条垂直线段和几条不垂直的线段，让学生通过度量，发现在这几条线段中垂直的线段最短，这是垂直线段的性质。接着揭示了点到直线距离的概念：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。“想想做做”安排了4道题，第一题让学生测量点到直线的距离;第二题让学生在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并测量这些线段的长度，发现这些线段同样长;第3、4两题是点到直线的距离和垂直线段的性质在日常生活中的具体运用。

【说教学目标】：

1、知识与能力目标：让学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。

2、过程与方法目标：让学生在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。

3、情感与态度目标：让学生进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。

【教学重点】：

引导学生发现垂直线段的性质，理解点到直线的距离的概念。

【教学难点】：

认识点到直线的距离，并能解决一些实际的问题。

【说教法和学法】：

新课标要求我们在实际课堂教学中应“激发学生独立思考和创新的意识，让学生感受理解知识产生和发展的过程”。本节课借助多媒体，让学生结合具体生活情境充分感知垂直线段最短，形成点到直线距离的概念。通过让学生在画一画、量一量的操作活动中加深学生对点到直线距离概念及垂直线段性质的认识。在操作活动中，不仅培养学生学会与人交流合作的能力，还调动了学生学习数学的积极参与程度。

【说教学过程】：

遵循学生学习数学的心理规律，从学生已有的生活经验和知识体验出发，我从三个环节来诠释整个教学过程。

第一环节：复习旧知

通过提问和作图帮助学生梳理了本单元已学的知识，并为下面的教学做好铺垫。

第二环节：创设情境，学习新知

1、通过预设的接力赛跑活动激发学生学习积极性。

2、提出比赛规则，出示比赛场景图，让学生初步发现垂直线段最短。

3、让学生自己测量5条线段的长度，并发现其中的垂直线段最短，认识垂直线段的性质。

4、教师指出点到直线的距离概念，指名学生说说什么叫“点到直线的距离”帮助学生更好理解概念。

第三环节：巩固新知，深化认识

1、第一题让学生说说什么叫“点到直线的距离”，再测量点到直线的距离，加深学生对概念的理解并发展学生的动手操作能力。

2、第二题让学生在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并测量这些线段的长度，发现这些线段同样长;

3、第3、4两题是点到直线的距离和垂直线段的性质在日常生活中的具体运用。加深学生对数学知识的理解，使学生体会学习数学的价值培养其数学应用意识。

第四环节：全课总结。

10.垂直关系小结 篇十

一、学习目标：

1.掌握三种垂直关系的互相转化。2.会求有关距离的问题。

二、重点：三种垂直关系的转化。

难点：如何求距离（点到面、线到面、面到面）。

三、复习引入：

1.证明线线垂直的方法：

2.证明线面垂直的方法：

3.证明面面垂直的方法：

4.点到面、线到面、面到面的距离分别指什么？

四、导思探究。

1.三种垂直关系之间的转化：线面垂直

线线垂直面面垂直

2.求距离的方法有哪些？

① 作出垂线段，并放在直角三角形中计算； ② 在三棱锥中可以用等体积求距离。

五、导练展示：

例1.已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AE

SB于E，过E作EFSC于F ① 求证AFSC

② 若平面AEF交SD于G，求证AG SD

例2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，则点A1到截面AB1D1的距离为

六、达标检测：

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD,ABAD,ACCD,∠ABC=60°，PA=AB=BC,E是PC的中点。⑴证明：CDAE

⑵证明：PD平面ABE

2.在三棱锥A-BCD中，AC底面BCD,BDDC,BD=DC,AC=a,∠ABC=30°，则点C到平面ABD的距离是

11.高中数学立体几何：垂直关系 篇十一

一、选择题

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确

2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35153．已知a＝1，－，b＝－3，λ，－满足a∥b，则λ等于()． 222

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()

A．(1，－1,1)3B.1，3，2



C.1，－3，2

二、填空题



D.－1，3，－

2

8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则

l1与l2的位置关系是_______．

9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．

三、解答题

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：

MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1

则M0，1，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，22→

1

1于是MN＝，0，2

2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得

x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

11

又MN·n＝，0，·(1，－1，－1)＝0，22→

∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)若点G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面

BCC1B1.→→

证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，→

→→

2

则GM＝0，－，z，而BF＝(0,3,2)，3

→→

由题设得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 22

，0、(0,0,1)．

22→22∴NE＝－，－1.22

2

2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1

22



→

22∴AM＝－，－1.22

→→

∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22

(2)由(1)知AM＝－，－1，22

→

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→