函数的概念的教学设计

函数的概念的教学设计（精选11篇）

1.函数的概念的教学设计 篇一

2012年河南省高中数学优质课评比

《函数的概念》教学设计

商丘市实验中学 路亚芳

课题：函数的概念

教材：普通高中课程标准实验教材教科数学必修(1)人教版 授课教师：商丘市实验中学

路亚芳

2012年9月

【教学目标】 了解：通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；了解构成函数的三要素；

理解：函数概念的本质；抽象的函数符号f(x)的意义；

经历：让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程，在过程中渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力；

体验：通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体验函数思想；通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中感受数学的抽象性和简洁美.【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.【教学难点】函数概念及符号y =f(x)的理解.【教法与学法】本节课采用探究发现式教学法，由浅入深、由特殊到一般的提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探究、合作交流的学习方法，同时借助于多媒体辅助教学，让学生经历函数概念的形成和应用过程.【教学手段】多媒体课件辅助教学 【教学过程设计】

一、创设情景 引入课题 同学们，今年6月16日，万众瞩目的“神舟九号”飞船发射成功了，从“神九”飞天的过程中，我们可以看出，当时间发生变化时，“神舟九号”离我们的距离也随之发生了改变，这种运动变化中的变量关系在数学上我们通常用函数来描述.[设计意图]：从身边熟悉的例子入手，便于引起学生的注意，集中学生的精力． 问题一：在初中已学习过函数的概念，请同学们回顾初中函数的定义.生：在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量, y叫因变量．

初中概念从运动变化的角度刻画了变量之间的依赖关系.上一章我们学习了集合，并且知道集合是现代数学的基本语言，能否用集合和对应的语言来描述函数？函数又有哪些构成要素呢？这将是本节课探讨的主要内容.[设计意图]：通过回忆初中函数的定义，为探究新课作好铺垫．

二、观察分析 探索新知 实例（1）：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是： h =130t-5t2.（﹡）

问题二：1.你能得出炮弹飞行1秒、5秒、10秒时距地面多高吗？ 2.时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？ 炮弹飞行时间t的变化范围是数集{t|0≦t≦26}，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集{h|0≦h≦845}.3.你能用集合与对应的语言描述出时间t和高度h这两个变量之间的关系吗？ 从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.实例（2）：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.问题三：观察分析图中曲线，时间t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集{t|1979≦t≦2001}，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集{s|0≦s≦26}.对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.实例（3）：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.表1

“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间(年)1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

城镇居民家庭 恩格尔系数(%)53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

问题四：请同学们仿照实例（1）（2）用集合与对应的语言来描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.根据上表，可知时间t的变化范围是数集{1991,1992,1993,1994,1995,1996，1997,1998,1999,2000,2001},恩格尔系数y的变化范围是数集{53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9}.对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.三、抽象概括 形成概念

问题五：以上三个实例有什么共同特征？

活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.归纳以上三个实例，可看出其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系f；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应.记作f：A→B.教师进一步引导学生思考：满足以上共同特征的两个集合间对应称为函数，那么

问题六：你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？ 活动：让学生继续交流，讨论归纳出

函数的概念: 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域.四、分析探讨 深化概念 强调：

(1)函数的本质是两个非空数集间的一种确定的对应关系.(2)符号f(x)的整体性：

f(x)是一个整体符号，不能把此符号拆成一个算式，认为是f与x的乘积，应该理解为

x

f(x)，即自变量x在对应关系f下对应的函数值.其中f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x), F(x)等表示．(3)函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.其中值域是定义域A在对应关系f下产生的另一个集合，所以值域由定义域和对应关系唯一确定；显然，值域是集合B的子集.五、新知演练 及时反馈

例1：初中学习了哪些函数？你能写出这些函数的定义域、值域、对应关系吗？ 活动：让学生参考幻灯片分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.一次函数

二次函数 反比例函数

a > 0

a < 0

[设计意图]：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素.例2.请同学们思考

(1)y = ± x(x >1)是函数吗？(2)如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？ 定义中的哪些关键词可以作为判断的依据？

请同学们勾画出概念中的关键词，并用简洁的语言说明． ①A和B都是非空的数集；

②A中的任意性与B中的唯一性；

③确定的对应关系，对应关系f可以是解析式、图象、表格． [设计意图]:目的在于帮助学生巩固函数的概念．

探究：在我们身边有很多函数的例子，你能举出函数的实例吗？ 活动：让学生分组讨论交流，比一比哪一组的例子最多、最贴切.教师总结：在我们生活中有很多函数的例子，比如:

细胞分裂的总数随着分裂次数的增加而增大；世界人口的总数随着时间的增加 而增多；

刘翔比赛时距离起点的位移随着时间的增加而增大；蛟龙号在水下承受的压强随着深度的增加而变化等等.可以说，函数来源于生活，应用于生活.只要你有一双善于观察的眼睛，便会发现生活中到处都有函数.[设计意图]：使学生更深刻理解函数的概念，体会函数与现实生活的联系，培养学生的数学应用意识.练习反馈

下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（B）

六、提炼总结 分享收获

通过本节课的学习你有哪些收获？ 1.本节课学习了哪些知识？

2.高中函数概念与初中函数概念相比，有什么联系? 3.留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？

[设计意图]：新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我既设置了总结性内容，又设置了开放性的问题，期望通过这些问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．

七、分层作业 自主探究

1.举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域.2．课本P24习题1.2 1、3、4题 3.选做题：P25 1题

[设计意图]：在布置作业环节中，设置了探究题、必做题和选做题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣． 板书设计

函数的概念

一、实例分析

二、归纳概括

三、函数的概念 1.定义

2.f(x)≠f ? x

应为自变量x在f下对应的函数值.3.函数的三要素：

定义域、对应关系、值域；

各位专家，以上就是我对这节课的教学设想，不足之处恳请各位专家批评指正．

谢谢！

2.函数的概念的教学设计 篇二

人教版全日制普通高级中学数学教科书 (必修) 在介绍了函数的概念之后写道:如果将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合, 可以得到映射的定义。设A、B是两个集合, 如果按照某种对应关系f:对于集合A中的任何一个元素, 在集合B中都有唯一的元素和它对应, 那么这样的对应 (包括集合A、B, 以及集合A到集合B的对应关系f)

叫做集合A到集合B的映射, 记作f:A→B然后给出了几个映射的例子, 最后介绍了象与原象的概念。这样的处理让人觉得特别别扭, 映射似乎是可有可无的内容, 由于教材不涉及一一映射, 所以在学习反函数时, 就说不清什么样的函数具有反函数。教材虽然给出了反函数的概念, 但这个概念学生并不能深刻领会。对于反函数学生领会到的只是:“反解→互换→求原来函数的值域”, 至于什么样的函数有反函数学生不得而知。

作为教师要提高函数概念教学的有效性必需分析学生已有的函数概念的基础是什么?在高中数学学习中需要上怎样一个台阶?上这个台阶的意义?怎样上这个台阶?下面就谈谈我对这四个方面的理解。

一、函数概念的本质和学生已有的知识经验

函数概念的本质是对应。但是大多数初中学生对函数的认识都停留在感性认识阶段, 即“在一个变化过程中, 有两个变量x和y, 并且对于x的每一个确定的值, y都有唯一的值与其对应, 那么我们就说x是自变量, y是x的函数”。而且在教学中我还发现这个定义对于初中生而言并非深入人心, 他们对于具体的函数“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数”较为了解, 所以对他们来说更愿意将变量之间的依赖关系理解为“一个量用含有另一个量的解析式来表示, 有了这个公式就能刻画变量之间的关系了”。

二、高中函数概念学习需要上的新台阶

在初中教科书函数概念的定义及学生对于函数概念的理解之下, 下面这些问题 (1) 乘坐兰州焦家湾开往公交印刷厂的71路公交车时, 不管乘坐几站票价都是1元, 在这个过程中票价还是站数的函数吗? (2) y=1 (x∈R) 是函数吗? (3) f (x) =1, g (x=x0是同一个函数吗? (4) f (x=x2, x∈R+与g (=t2, t∈R+是否为同一函数? (5) 某地的出租车按如下方法收费, 起步价10元, 可行3km (不含3km) ;3km到7km (不含7km) 按⒈6元/km计价 (不足1km, 按1km计算) 7km以后都按⒉4元/km计价 (不足1km, 按1km计算) , 车费是行车里程的函数吗?就不好回答了。

由此看来, 需要对函数概念进行更理性的思考, 更高度的抽象。于是需要用集合与对应得眼光重新审视函数的概念。这就是高中学生学习函数概念需要上的新台阶。

三、集合语言表述函数概念的意义

人教版全日制普通高级中学数学教科书中函数的概念是这样表述得:“设A, B是非空的数集, 如果按某个确定的对应关系f, 使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数f (x) 和它对应, 那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数, 记作y=f (x) , x∈A其中, x叫做自变量, x得取值范围A叫做定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值, 含数值的集合{f (x) x∈A}叫做函数的值域。”

这样的表述突出了对应法则, 定义域和值域。不知道对应法则就无从了解函数, 给出了对应法则就给出了函数, 这样我们认识的函数就丰富了许多, 如:邮资的分段计费, 城市水费标准的制定, 公民应缴纳的所得税等。定义域就是自变量的取值范围, 初中对于函数的自变量的取值范围不太关注。学生认为只要解析式形式上相同的两个函数就是相同的函数而不知道对应法则形式上相同但定义域不同的函数是不同的函数。同一个函数解析式, 当自变量的取值范围分别是全体实数、开区间, 、闭区间、半开半闭区间或者是全体自然数或有限证整数……时, 就变成了许多不同的函数。用集合语言表述函数的概念有助于抓住函数概念的本质, 不被表面现象所迷惑。

四、灵活处理教材引导学生上台阶

鉴于上述对函数概念的认识及学生已有的知识经验, 本人认为教材的内容安排顺序不利于学生对函数理解的概念及后续章节的学习。由于函数概念的本质是对应, 所以, 首先应从学生初中接触过的对应入手, 引导学生学习并举出生活和数学中的各种对应现象, 并选择一些对应让学生给分分类, 让学生了解“一对多”、“多对一”、“一对一”;接下来学习映射的概念及一一映射;然后在回顾初中课程中的函数概念的基础上, 出示文中的几个问题, 让学生体会到仅用初中学习的函数概念很难回答上面的问题。函数研究的是变量之间的依存关系, 文中提到的问题反映的是变量之间的依存关系, 所以需要从新的高度来认识函数概念。

3.函数概念教学的实践与思考 篇三

【关键词】函数概念 教学 实例

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）02-0133-01

高中数学有许多数学概念不容易理解，如函数、三角函数、向量等概念。这些概念的教学是老师们最头疼的问题之一而函数的概念教学却又是被公认的最难教学的数学概念。

通过教学理论的学习和函数概念教学情况的调查研究，并结合自身多年教学的经验，在函数概念教学上作了一些肤浅的研究和思考：

1.函数概念教学的状况与分析

1.1学生掌握的情况

经过调查发现，刚刚学过函数概念的高一学生中，约有50%的学生表示根本不懂什么是函数； 高二学生并非比高一学生更理解函数概念， 约有70%的学生认为自己现在不关心函数的概念了，其实现在更加不懂了；即将参加高考的高三学生当中， 约有60%的学生认为自己已经完全不知道函数的概念是什么了。

1.2教师的教学情况

经过调查发现，自己在教学时有这样的感受：自己所教的学生当中至少有一大半的学生还没有理解函数的概念，但为了赶教学进度早就草草了事。高一第一学期有两本数学书要上，在加上时间又紧，因此就有不少老师就放弃函数概念的教学。

在教学方法上，大多数老师都结合教材给出的实例，通过学习实例帮助学生建立函数的概念，也就是首先通过几个实例的介绍，然后呈现出函数概念的定义，再给出若干个注意点.实际上，这种方法教学是不太容易帮助学生建立函数的概念，也较难达成函数概念的教学目标。

可见，高中数学函数概念的教学效果不尽人意。

2.函数概念教学目标难以达成的原因是客观的

2.1概念抽象是教学目标难以达成主要原因

初中教科书里是以物理学中物体运动变化方式描述函数的概念，即用“变量说”描述函数的概念。用“变量说”来描述函数的概念学生比较容易理解，学生也已经根深蒂固了。而到了高中再一次学习函数，学生遇到了困难。高中课本用“对应说”来给函数下定义的。“对应说”本身就比较抽象，抽象思维不太强的高一学生比较难以理解。形象思维强而抽象思维不发达的学生，在课堂上带着排斥的心里学习，自然也就不容易理解高中的函数概念。

用“变量说”理解函数的概念，不需要太多的基础知识，学生结合物体运动变化容易理解函数的概念。用“对应说”理解函数的概念，需要具备较多的数学知识，如集合的概念、对应关系、任一个、唯一一个等。这些数学术语本身就已经比较难以理解了。没有充分理解这些预备知识就学习这个函数的概念，教学效果肯定不好。

2.2抽象思维能力薄弱是教学目标难以达成重要原因

刚刚进入高一年级的学生其实还是一位初三的学生，他们抽象逻辑思维虽然开始有了很大的发展，但是仍然是形象的感性思维为主。绝大多数同学还属于经验型，他们的逻辑思维需要通过形象的感性的经验来支持。函数概念的学习需要他们具备较强的抽象逻辑思维能力来学习。

可见，函数概念的教学难以达成教学目标不是学生的错，也不是老师的错，归根结底是函数概念的本身太难了。

3.改变教学变量，实现函数概念的教学目标

3.1改变教学环境，帮助学生掌握预备知识

函数概念的教学，是一门深奥的艺术。不是短短几分钟的教学就可以使学生学好，需要较长时间才能理解。函数概念的教学需要分多个环节进行，对各个预备知识完全理解才能更好教学。函数概念的预备知识多，如“任意一个”、“唯一一个”、“对应”等数学术语.这些数学术语需要让学生充分理解，教学时需要列举更多的实例让学生体会。

3.2.改变教学策略，引导学生分析函数实例，逐步理解生成函数的概念

3.2.1有计划有组织的引导学生分析函数实例是理解函数概念的前提

教材例举的第1个实例是炮弹高度与时间关系的函数。这个函数本质上就是初中教课书中定义函数概念的一个典型例子，教学时要有计划的把学生引导到高中函数概念中。

教学设计时，要把原来的“变量说”下的函数定义逐步转换为“对应说”下的函数实例。教学时可以这样设计：

炮弹一共飞行了多少时间？炮弹飞行的高度的取值范围是什么？如果把炮彈飞行的每一时刻的时间的取值看成集合A，把炮弹距地面的高度h的变化范围看成集合B，那么在集合A中取了某一个数t0，问在集合B中有没有数和它对应？有几个？这个数是多少？如果随便取一个是否也有数和它对应？这个数是什么？

3.2.2有目的有层次的引导学生分析函数实例是理解函数概念的关键

教材第2个实例是臭氧层空洞问题。教学时不是对照课本读一遍，而是要有目的有层次的设问，一步一步把学生引导到高中函数概念中。

对于实例1老师不解释学生也容易理解，因为这个函数有一个解析式，而这个实例中的函数给不出解析式。如果学生仍然用原来的“变量说”理解这个函数，那么肯定会有困难。

3.2.3有方向有主题的引导学生分析函数实例是理解函数概念的根本

一个非常抽象的数学概念——函数，但它却和我们每天都息息相关。教材实例3所列举的函数是与一个生活有关的函数，即恩格尔系数问题。

要始终有方向性的有主题的围绕函数的概念展开教学。不能就把恩格尔系数介绍一下，然后大谈恩格尔系数有关问题，学生课堂中肯定感兴趣，但是偏离了教学方向和教学目的。

3.2.4有归纳有总结的引导学生分析函数实例是理解函数概念的目标

通过三个实例，老师有指引性的问：这三个实例中，每个实例分别有几个变量？这些变量所形成的集合分别有几个？它们之间有什么关系？如果集合A中任取一个数x，那么在集合B中有没有数与之对应？这种对应关系f在高中数学里叫做什么？如何用一句话说说函数这个概念？如何给函数下一个定义？

通过前面的教学自然的把初中时代的“变量说”过渡到了高中时代的“对应说”下函数概念，学生不会感到脱节，这样化学生排斥心理为喜悦主动接纳心理，函数概念的教学目标就不难达成。

4.依托丰富的实例，引导学生进一步理解函数的概念

要彻底掌握这个难以理解是数学概念，仅仅靠老师的指引还不够，还必须让学生全方位参与到理解概念中来。

举例子是可以让学生参与课堂的好方法，让学生例举出生活中的函数的例子，并用高中的函数的定义解释所举的函数。通过举例，可以使学生内化知识，可以使学生再认识，可以使学生体会知识的产生和发展。

此外，还需要对函数的概念进行细致化、精致化、通俗化、具体化、形象化和应用等后续工作进一步深化理解函数的概念。函数概念的教学设计还应充分了解学情，了解学生的认知水平，了解学生的心思。只要老师们居高临下的教授函数的概念，牢牢抓住学生的心，力求把难以理解的函数概念露裸到学生的眼前，就能顺利达成函数概念的教学目标。

参考文献：

[1]朱哲，唐恒钧，张维忠.在读懂数学教学的基础上把握教学策略[J].中学数学杂志，2013.（2）

[2]任红章.关于数学新概念生发途径的探索[J].中学数学杂志，2013.（2）

4.函数的概念教学设计说明 篇四

一、本质、地位、作用分析：

函数这一章在高中数学中,起着承上启下的作用,本节《函数的概念》是函数这一章的起始课.它上承集合,下引性质.是派生数学概念的强大“固着点”.本节在复习初中函数概念的基础上，用集合和对应的观点来研究函数，加深对函数概念的理解，为高中后续课程的学习打下基础，函数的概念将贯穿整个高中数学的始终，渗透到数学的各个领域。

二、教学目标分析

我们生活的世界时刻都在发生变化，变化无处不在.这些变化着的现象都可以用数学有效地描述它们的变化规律.函数正是描述客观世界变化规律的重要数学模型，通过函数模型可以帮助我们科学地预测将发生什么，进而解决实际问题．因此，学习函数知识对研究客观世界、掌握事物变化规律具有重要的意义．教科书采用了从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.这样不仅为学生理解函数概念打了感性基础，而且注重培养了学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.本课主要是从两集合间对应来描绘函数的概念，是一个抽象过程，学生学习可能有所不适应.教学中宜逐步设计合理的阶梯，从实际问题逐步建构函数的初步定义，对函数的概念的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，学生在对生活中的实例观察感知基础上，借助帮助学生总结它们的共同特征得出定义，构建函数的一般概念,并通过辨析问题深化对定义的理解，这样就避免了学生死记硬背概念，有利于理解数学概念的本质。使学生更好地参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.为更好地巩固函数的概念，设置了有梯度的例题，例1的三个小题都是选择题，第一小题重点考察是变量x与y是否具有函数关系，紧扣定义，验证定义即可；第二小题考察从集合A到集合B的函数应该满足什么条件，方法一可以通过定义验证对于集合A中的每一个元素，在集合B中是否有元素而且是唯一的元素与之相对应；另一种方法是从集合A到集合B的函数，其特点是：A就是函数 的定义域，B包含函数的值域，值域可以变化，只要是B的子集即可。如果条件“从A到B的函数”改为“以A为定义域，以B为值域的函数”，学生应当注意这道题变化前后的区别，再次加深函数的概念的理解；第三个题考察函数相等的条件，了解函数的三要素是定义域、对应关系和值域，而三者中起决定因素的是定义域和对应关系，使学生对于函数有直观的认识。例2是一道解答题，考察求函数的定义域问题，函数问题首要考虑定义域，这是研究函数的值域，单调性等一些性质的前提，所以函数的定义域显得尤为重要，本例的意图是让学生总结如何求函数的定义域；例3是求函数值问题，旨在让学生明白f(a)与f(x)的区别，真正理解函数；最后设计了一道易错题，考察含参问题一定要注意分类讨论。这四个题都是学生自己讨论、自己写出解题过程、自己讲解，最后教师点评。

整个教学过程主要是对函数概念的探究和应用。通过对概念的探究，不仅培养和提高了学生对抽象问题的感知和概括能力，而且通过对函数概念的感性认识进一步让学生认识到数学和生活密不可分，数学来源于生活并服务于生活，加深了学生学习数学的兴趣。

三、教学问题诊断：

（1）班级学生状况分析：

1.在学习本节课之前，学生在初中已经学习了函数的概念，对函数已经有了一些直观的认识；

2.学生已具有小组合作学习的经验，能积极参与讨论，对高效课堂的学习模式已经熟悉，但部分学生课前预习抓不住重点，自学能力不强；

3.少部分学生能从初中所学的函数的概念再加上生活中一些函数模型学习本课，大部分学生对于抽象的、不可触摸的函数概念理解不透彻，不知道怎么应用，因此我们采取对生活中常见的三类例子进行分析，从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.这样不仅为学生理解函数概念打了感性基础，而且注重培养了学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.4.学生对学习概念兴趣不高，对学习抽象的函数概念有畏惧情绪，所以，学生需要受到鼓励和安慰，增强学习的兴趣。

（2）学情分析：

学生在初中已经学习了函数，并且已经认识一次函数、二次函数、正比例函数和反比例函数，对于函数已经有了直观的认识，但对于类似“x=1”、“y=1”、x1x0等一些表达式是否是函数没有概念，无从下手，这就说明初 f(x)x1x0 中所学的概念太过狭隘，这就要求我们从更高的层面再次学习函数。函数的概念从初中的变量学说到高中阶段的对应学说，显得很抽象，不好理解，特别“对于A中的任意一个元素，B中都有唯一的元素与之相对应”这句话的怎么理解，它有什么深刻的含义，这就要求我们用生活中同学们所熟悉的实例出发，提出问题让学生思考，解释为什么要强调A中任意，B中唯一，很自然的归纳出函数的定义，并通过一些例题加深对函数概念的认识和理解。对于函数的三要素、函数相等的条件、函数的定义域问题以及函数求值问题是对函数概念的升华，是为了加深对函数概念的理解，也是对函数概念的应用

四、教法特点以及预期效果分析：

（1）教法特点：

·情境激趣策略：根据学生的特点，本节课借助对生活中常见的三类实例及多媒体手段，观察思考数学在生活中的应用，促进思维的深层次加工和提高课堂参与度，激发学生兴趣，调动学生的积极性，使学生觉得学有所用；

·问题目标引导探究策略：通过问题目标的驱动，引导学生积极思考生活中的函数问题，并通过直观感知、抽象概括一步步加深对函数概念的理解，使学习循序渐进、由浅入深，积极地参与到猜想、探究的学习中；

·自主合作、实验探究式学习策略：建立小组讨论、交流、合作的课堂氛围，主张“先学后导，问题评价”的教学思维，采用小组合作学习方式，师生共同围绕研究这节课的主要内容和问题进行自主学习、合作交流，在讨论的过程中使学生思维更加开放、多样和灵活，给予学生一定的自主性和创造发挥的空间，使学生乐意学习，主动学习。（2）预期效果分析：

本节课借助多媒体辅助教学，采用“引导-探究式“教学方法，整个教学过程遵循”直观感知-归纳总结“的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，降低对抽象问题理解的难度，同时加强了抽象问题具体化的培养，注重知识产生的

过程性，使学生更容易的记住本节课知识。考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫和引导，既巩固已有知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生的主体地位。

5.函数概念的发展和教学研究 篇五

（华中师范大学数学与应用数学黄样430079）

摘 要：数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡。本文回顾了函数概念的历史发展，并且回顾了函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，它不仅有助于中学生提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助中学生领悟数学概念对数学发展、数学学习的巨大作用。

关键字：函数；概念；发展

函数这样一个重要概念的形成和发展是经过了漫长岁月的。在不同的阶段，从观点上和表示方法也不尽相同。回顾函数概念的定义以及演变历史，对加深函数概念的理解大有裨益。函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，中学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。函数概念的三种定义

在当代国内外教学教材中,关于函数概念有三种代表定义。(1)变量说

函数概念的形成和发展经历了很长的时期。变量说是函数的原始定义,它把函数定义为：依一定规律依赖于一个变量的另一个变量。

虽然这一定义简单粗糙，但人们对它的探索却是最漫长的。函数概念萌芽于17世纪时对方程个数时的不定方程的求解，例如对方程x+y=100写成y=100﹣x，则y值的变化取决于x的赋值，这就产生了变量概念及依存关系。

把“函数”一词最早用做数学术语的是莱布尼兹（G.W.Leibnitz）。在他1673年的一部手稿里用“函数”（function）一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，如切线、法线等的长度及纵坐标。而曲线本身则是由方程给出的。莱布尼兹还引用了“常量”、“变量”和“参变量”。直至1718年，约翰·伯努利给出了“解析的函数概念”：“函数是由任意变数和常数的任意形成所构成的量”，这是函数概念的第一次扩张。而后约翰·伯努利的学生欧拉（Leonard Euler）发展了这种函数“变量说”。1748年，欧拉将“解析表达式”定义为函数，他说：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量组成以任何方式组成的。”并创用函数符号y=f(x)，其中f解释为由变数与常数组成的解析表达式。这个定义是不完善的，它把函数这一广泛的概念与某个解析表达式混在一起，而把图形或其它方式给出的函数排除在外了。因而欧拉（L.Euler）为了适应积分需要，把函数的概念进一步向“图象定义”推进。在1775年由欧拉精确化：如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量-----即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，那么前面的变量称为后面变量的函数。他认为，任意画出的曲线表示所确定的x、y间的关系就是函数。并和达朗贝尔（Dalembert）在弦振动的研

究中首先采用了函数记号。但这个定义强调“随着变化”而缩小了函数概念的外延。

后来，由于积分运算式子以及分段函数等等都不符合一个解析式的定义，1821年，法国数学家柯西（Cauchy）对函数概念进行了扩张，先后两次将函数定义为变量之间的依赖关系：“在某些变量之间存在着一定的关系，当给定其中某一变量时，其它变量的值也随之确定，则称最初给定的变量为自变量，随之确定的量为函数。”此后，1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）提出了函数的定义：对于x的每一个值，y都有一或多个确定的值与之对应，那么y叫做x的函数。几乎同时，黎曼也给出了函数的定义：对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，不论x、y所建立的对应方式如何，y都叫做x的函数。黎曼的定义已十分接近现在许多初中教科书所采用的定义。它出色地避免了函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以清晰完美的方式为人们所接受。这个定义也为19世纪数学的发展指明了道路[1]。

(2)对应说与关系说

“对应说”是函数的近代定义，其内容是这样的：

给定两个集合A和B，如果按照某一确定的对应法则f，对于集合A内的每一个元素x有唯一的一个元素y∈B与它相对应，那么f就是确定在集合A上的函数，A称为函数的定义域，f(A)=｛y︱y=f(x),x∈A｝称为函数的值域，显然f(A)包含于B。

自17世纪引入函数的“变量说”以来，人们发现它有很大的缺点。首先变量的意义是不清楚的。其次，“变量说”中函数已允许连续或不连续地取值了。但是，x一般能取的值是a≤x≤b，并且x总是被考虑为连续取值。于是人们就想，能否扩大x的取值范围，或干脆取消把变量限制在数中的条件。19世纪，椭圆函数、超椭圆函数和阿贝尔函数的产生，使代数函数论得到蓬勃发展，函数的概念由特殊函数扩大为一般函数。于是人们对函数概念的认识飞跃到一个新的阶段，函数的两个本质定义出现了。1834年的数学家给函数的定义是这样的：

X的函数是这样一个数，它被每一个x所给出，且与x一起变化，函数式可以用公式表达出来，也可以用某种条件给出，这种条件指出怎样把所有的数加以验算。函数关系可以存在而关系本身可以不知道。

这个定义叫做“列表定义”。因为从一个x值可以给出一个函数值y，就好像我们中学代数中列表表示函数值的方法一样，表中一栏是x值，和它对应的一栏就是y值。这里建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重要发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分。1837年，人们给函数下了这样的定义：

如果对于任意x的值，相应地有完全确定的y值与之对应，那么称y为x的函数。在此用什么方法建立对应是完全不重要的。

函数的这个定义的优点，是直截了当地强调与突出了“对应”关系，但它的缺点是，把生动的函数变化思想省略简化掉了。随着19世纪人类对各种函数类（连续函数、可微函数、解析函数）的进一步研究，以及集合论的问世，建立了函数的集合定义，也就是用“集合”与“对应”来叙述．以美国的维布伦为代表的数学家给出了函数的近代定义：在变量y的集合与另一个变量x的集合之间，如果存在着对于x的每一个值，y有确定的值与之对应这样的关系，那么变量y叫做变量x的函数。

在这个定义中的x、y，既可作为数，也可以作为点；既可以作为有形之物，也可以作为无形之物。再经后人加工，这一定义便成了我们所看到的近代函数的定义。（高中阶段，基本上采用这一定义，只不过是把A、B限定为非空的数的集合。）由此前进，又定义了以集合的集合（称为类）为元素的集合函数。尽管如此，随着人们对客观世界的不断深入，又出现了δ函数、广义函数论等。但函数的概念还在不断的发展与完善之中。到了20世纪初，人们给出了函数的现代定义，即“关系说”，它把函数定义为满足条件“若（x1,y1）∈f,(x1,y2)∈f,则y1=y2”的二元关系f[1]。

在我国，函数一词是清代数学家李善兰（1811年—1882年）最初使用的，他在1859年与英国学者伟烈亚力（1815年—1887年）合译的《代数学》一书中，将“function”一词译成“函数”。函数概念的教学研究

函数是中学数学的主线，也是整个高中数学的基础。在中学教学中，函数的教学大致可分为两个阶段，第一阶段在初中，学生初步掌握了函数的传统定义以及函数的表示法，并讨论了一些常见函数，对函数有了一定的感性认识；第二阶段在高中，学生学习了集合、映射等有关概念之后，运用集合、对应的思想概括出函数的近代定义，让学生掌握函数的实质，实现从感性认识到理性认识的飞跃。函数概念与中学课程的其他内容(如：三角函数、数列、不等式、方程等)有着非常密切的联系。学好函数的有关概念，是学好上述内容的基础，也是进一步研究函数性质及应用的基础。

2.1 函数概念的教学思想构想

在中学数学教学中，函数是最重要的概念之一，函数概念深刻反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系。它告诉人们一切事物都在不断地变化着，而且相互联系、相互制约。因而函数概念是培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的有力工具。

怎样教学函数概念呢?在“新数学”中，有过一个大胆的尝试，即企图按照集合与笛卡尔积去建立函数概念的形式定义：设A与B为两个集合，并记A*B为

A、B的笛卡尔积，则称A*B的一个子集f为一个函数。如果当(X1，Y1)，(X2，Y2)是f的元素，且X1=X2时，就有Y1=Y2，然而，许多来自经验的事实表明，虽然这一定义是数学上一项优秀的基础，但它不可能是好的认知根源[2]。在此新构造中，必须使用新的集合论的定义去取代早期的与过程有关的定义，这一重新构造对于学生来说显得极其困难。西厄平斯卡(Sierpinska)断言：在向年轻学生介绍函数时，使用久经揣摩而得的现代定义，这是教学法上的一个错误，是一个反教学法的颠倒。

在函数概念学习之前，基本上是常量数学，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。函数研究变量，变量的本质是辩证法在教学中的应用，即函数是一个辩证概念，函数三要素(定义域、值域、对应法则)的确定，符号“f”(对应法则)表示的意义，学生最难理解，因为“f”具有“隐蔽性”，它的具体内容很难从符号上来想象，即使“f”所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的、为符号“f”建立起具体内容的经验基础。这样，一方面是学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期，思维水平基本上还停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、分割地、抽象地认识所学的事物，另一方面函数却是一个辩证概念，其特征是发展的、变化的、处于与其他概念相互联系之中。形成函数概念，必须要冲破形式逻辑思维的局限，进入到辩证思维的领域，这个矛盾构成了函数概念学习的认识障碍。函数的构成应当从映射入手。在一般关系的范围中，它是一个不确定的难以理解的运算。最重要的是函数关系的定义无论从内容还是从一记号上来讲，都没有运算价值。不少教学法专家认为，关系概念比函数概念更基础、更一般，主张教师在教学中用关系来定义函数。关系缺乏应用的原因是它具有类似于一览表那样的记录特征。科学的内容不是描述性的记录，而是联系。这种联系不是用关系，而是要用相互关联的程度来描述。引入函数概念可以不考虑关系。在学生接触了许多函数，己经能作出函数以后，再让他们去归结什么是函数，这才是数学活动的范例。

2.2 高中函数概念教学的实例运用

关于函数与函数值函数的统一记号是f(x)或y=f(x)或f(x,y)=0，学生常常搞不清哪个是哪个的函数。如果设函数的集合为A，那么f(x)∈A所表示的是函数值属于A，这种表示就错了。同样y=f(x)∈A或f(x,y)=0∈A也是错的。我们所指的函数是f，记号f∈A才是正确的。例：f(x)=2x+1，求f(x-1), f[f(x)]，并说明f(x)与f(x-1)是否为同一函数。显然f(x)与f(x-1)不是同一函数，这里虽然定义域，值域都相同，但对于x来说，“对应法则”是完全不同的。

函数概念比较抽象，学生不容易理解，这是教学的难点。教师在设计时，注意到遵循人们认识事物的规律，从感性到理性，从具体到抽象[3]。

首先创造情境，从实例引入概念。然后通过几个实例的比较，抽象概括得出函数的概念。再进一步深入分析函数的定义，让学生理解函数的概念。最后通过多种形式的训练，巩固函数的概念，从学生的学习心理角度分析，学生主要经历了一个概念形成的过程，即从具体事例或具体概念中抽象出了函数的一些关键特征，如变量是可以任意赋值以及可以不断变化数值的量，而常量则是无法变化数值的量，整个的心理过程是分化、抽象、概括。

3总结

函数概念是重要的。从函数的演变历史，我们可以看到函数概念的内涵不断被挖掘、丰富和精确刻画的历史过程，同时看出,数学概念并非生来就有、一成不变的，是人们在对客观世界深入了解的过程中得到的，我们知道的只是其中很少的一部分，所以还需要不断加以发展，以适应新的需要。

参考文献

[1] M.克莱茵.古今数学思想(第三、四册)。

[2]张九彦高中阶段二次函数教学摭谈[J].青海教育，2006，（04）。

6.函数的概念的教学设计 篇六

【知识与技能】

1.理解反比例函数的意义.2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.【过程与方法】

经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.【情感态度】

经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.【教学重点】

理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式 【教学难点】

反比例函数解析式的确定.一、情境导入，初步认识

问题 京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？

【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导.二、思考探究，获取新知

问题1 某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？

问题2 已知北京市的总面积为1.68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由.思考 观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看.【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知.k反比例函数：形如y =(k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，xy是x的函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.试一试

下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析式表示？

(1)一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位: m3/h)的变化而变化；

(2)某长方体的体积为1000cm3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S(单位：2 cm)的变化而变化.(3)—个物体重100牛，物体对地面的压强 P随物体与地面的接触面积S的变化而变化.【教学说明】学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视，关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.三、典例精析，掌握新知

例1 已知y是x的反比例函数，当x=2 时,y = 6.(1)写出y与x之间的函数解析式；(2)当x=4时，求y的值.k【分析】由于y是x的反比例函数，故可说其表达式为y =，只须把x=2，x12y=6代入，求出k值，即可得y =，再把x=4代入可求出 y=3.x【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程，教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.例2 如果y是z的反比例函数，z是x的 正比例函数，且x≠0，那么y与x是怎样的函数关系？

k【分析】 因为y是z的反比例函数，故可设y =1(K1≠0)，又z是x的z正比例函数，则可设 z = k2x(k2≠0) x≠0， y =

k1.k2xk10,k20,k1k0, 故y =1是y关于x的反比例函数.k2k2x【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交流探索结论.最后教

k师予以评讲，针对学生可能出现的问题（如设：y =，z=kx时没有区分比例系

x数）予以强调，并对题中x≠0的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比例函数意义的理解.四、运用新知，深化理解

1.下列哪个等式中y是x的反比例函数? yy = 4x, = 3, y=6x+1,xy=123.x22.已知y与x成反比例，并且当x= 3时,y=4.(1)写出y和x之间的函数关系式,y是x 的反比例函数吗？(2)求出当x =1.5时y的值.【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.只有等式xy=123中,y是x 的反比例函数.k2.解：（1)由题知可设y =y2,x3时y=4， k= 4×9 = 36，x36即 y = 2，y 不是 x 的反比例函数.x3636(2)y=2，x=1.5 时，y= =16.1.51.5x

五、师生互动，课堂小结 1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？

7.函数的概念的教学设计 篇七

关键词：APOS理论,职高数学概念课,《函数的概念》

一、引言

能够识别一类刺激的共性, 并对此作出相同的反映, 这一过程被称为概念学习. 数学是反映现实世界中空间形式和数量关系的学科, 而数学概念是数学学科知识体系的基础, 是数学知识本质属性的反映, 是构建数学理论的基石.因此数学概念学习就成为数学学习的核心. 数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式.它排除了对象具体的物质内容, 抽象出内在的、本质的属性.在现实教学中, 由于数学概念的抽象性与概括性, 往往令很多学生头疼.实际上, 中职学生原本数学基础比较薄弱, 对那些抽象的数学概念难以理解, 学习时更是困难重重.如何上好职高数学概念课, 让学生理解掌握数学概念呢? 本文就以一节概念课为例进行探讨.

二、APOS理论

20世纪90年代以后 , 建构主义的教育理论思潮迅速流行. 其主要观点就是学生获取知识不是被动的, 而是通过学习主体自主建构.APOS理论是以建构主义为基础的数学学习理论, 由美国学者杜宾斯基 (E.Dubinsky) 提出的, 主要针对数学概念的学习, 从数学心理学的角度将学生的心智建构分为四个阶段:action (操作) 、process (过程) 、object (对象) 和schema (图式) .它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识, 分析数学问题情境, 从而建构他们自己的数学思想.

(一) 操作 (Action) 阶段———引入概念.

操作阶段是学生理解概念的基础.通过操作感觉事物, 感受概念的直观背景和概念间的联系, 是感性认识阶段.

(二) 过程 (Process) 阶段———概括概念.

教学中应充分发挥学生主体的能动性, 通过前一阶段的操作活动进行思考, 经历思维的内化过程, 总结出概念的定义.

(三) 对象 (Object) 阶段———分析概念的内涵与外延, 揭示 概念的关系.

通过对概念演化发展过程中资料的分析、抽象, 认识概念的本质, 对其赋予形式化的定义及符号, 使其达到精致化, 成为一个具体的对象.

(四) 图式 (Scheme) 阶段———深化学习.

学生不断调整自身已有的认知结构, 通过同化和顺应建立新的平衡, 形成新的知识图式.

APOS理论充分反映了个体认知数学概念的思维过程 , 揭示了数学概念学习的本质. 对职高数学的概念教学具有极大的启发意义.

三、教学设计

(一) 教学内容解析.

函数是贯穿整个中职数学课堂的主线之一, 它所蕴涵的数学思想和方法渗透到科技和生活的各个领域, 是现代数学的基础. 函数的教与学使学生由初中形象思维向高中抽象逻辑思维转化, 培养学生基本运算能力和解决实际问题能力.因此, 在学生高中数学知识体系的构建上, 本节课起到了至关重要的基石作用.

函数概念的教学要求利用集合的观点, 对初中学过的函数知识进行再认识, 拓展了函数概念的外延, 丰富了其内涵. 针对学生的实际认知水平, 本课的教学基于建构主义的APOS理论, 采用问题驱动的方式, 利用生活中的实例启发和引导学生抽象出函数的概念, 从而使学生掌握知识和发展思维.

(二) 教学重难点.

本课的重点确定为:函数的概念, 函数的两要素, 求函数的定义域.而对函数的概念及记号的理解, 判断两个函数是否相同, 这些内容作为本课的难点.

重难点突破:利用加油站计价器的动画导入函数的概念, 让学生体会探究并发现两个变量之间的依赖关系, 从集合的角度抽象出函数的概念. 通过计价器的变化帮助学生理解函数的定义域, 指导学生求出函数值.通过三个计价器的动画对比剖析, 引导学生深入理解定义域与对应法则是函数的两个要素, 判断两个函数是否相同要看这两个要素是否相同.

(三) 教学目标解析.

通过生活中实例帮助学生建立函数的概念, 理解函数的定义及函数符号的含义; 使学生能用集合与对应的语言描述函数, 深入理解函数的两个要素.通过从实例中抽象出函数概念的活动, 培养学生的抽象概括能力及数学思维能力;理解函数定义域的含义, 会求函数的定义域, 并能将函数的定义域用集合的方式表示出来;通过函数值的求解, 培养学生的计算能力;认识函数的两要素, 掌握判断两个函数是否相同的方法, 培养学生对比分析问题的能力, 学会抓住问题的关键.

教学过程中鼓励学生积极、主动地参与课堂教学的整个过程, 感受数学严谨的逻辑推理过程, 通过师生的课堂问答, 帮助学生建立攻克难点的自信, 发现探索新知的乐趣, 获得成功的体验.

(四) 教学过程设计.

依据APOS理论, 本课的教学分成四个阶段:

1.操作阶段:创设情境, 问题引导.

播放动画:3月初, 小王开车来到中国石化加油站加油.请同学们仔细观察视频中加油计价器上数字的跳动.

回答下面四个问题:

(1) 这个加油的变化过程中 , 有哪些量在变化 , 哪些没有变化? 哪个量依附于哪个量在变化?

(2) 请同学们计算, 当加油量为15升, 36升和48升时, 计价器上显示的金额分别是多少?

(3) 加油量是否一直在增大 ? 写出加油量的变化范围.金额是否一直在增加? 写出金额的变化范围.

设计意图:

问题 (1) 是让学生寻找加油过程中的两个变量, 引导学生用已有的运动变化的观点抽象出函数概念.

问题 (2) 是引导学生求函数值, 培养学生的计算能力.

问题 (3) 因为汽车油箱容积一定, 所以加油到50升时就满了, 油箱的容积决定了函数的定义域, 加满油时金额也不会再上升, 初步找出加油量与金额的变化范围, 并用集合表示出来.

(4) 如果把加油量看成x, 把金额看成y, 你能建立起x与y之间的关系吗?

由于前三个问题的铺垫, 水到渠成, 学生顺利得出加油量与金额之间的函数关系, 对于自变量x的取值范围, 应加以强调.

通过以上回忆、计算、推理等数学操作活动, 学生对函数的概念有了感性认识.

2.过程阶段:对照引例, 形成概念.

在上述例子中, 我们可以发现, 在汽车加油的变化过程中有两个变量:加油量x与金额y, 因为油箱只有50升, 即自变量x有它自己的取值范围:D={x|0≤x≤50}.在D中的每一个加油量x, 按照8元/升的价格, 都有唯一的金额y与之对应, 我们可以建立起加油量x与金额y之间的对应关系:y=8x{0≤x≤50}.由此总结出函数的概念:在某一个变化过程中有两个变量x和y, 设变量x的取值范围为数集D, 如果对于D内的每一个x值, 按照某个对应法则f, y都有唯一确定的值与它对应, 那么把x叫做自变量, 把y叫做x的函数, 记作y=f (x) .

设计意图:把引例中的数学问题进行压缩、提升, 将新的集合的观点描述的函数的概念, 加入学生已有认知结构中.

3.对象阶段:概念剖析, 巩固强化.

y=f (x) 是函数概念的形式化的符号, x表示自变量, 如例中的加油量, y是x的函数, 如例中的金额, f表示对应法则, 如例中加油量与金额之间的对应法则是单价8元/升, 那么, 不同的对应法则可以用不同的符号表示, 如g (x) , h (x) , F (x) 等, 自变量x的取值范围叫做函数的定义域, 如例中油箱的容积为50, D= {x|0≤x≤50}.

定义域与对应法则称为函数的两个要素.

当x=x0时, 函数y=f (x) 对应的值y0叫做函数在点x0处的函数值, 记作y0=f (x0) , 如f (15) =8×15=120, 表示函数在x=15处的函数值.函数值的集合{y|y=f (x) , x∈D}叫做函数的值域, 如金额y的取值范围C={y|0≤y≤400}.

基于学生对函数概念的初步认识, 设计了3个例题.

例1.判断下列代数式哪些是函数, 哪些不是?

设计意图:前两小题学生能很快做出回答, 分别是熟悉的一次函数及一元二次函数.学生对3、4题的判断出现了意见分歧.有的学生仍停留在初中对函数概念的认识, 认为3不是函数, 因为没有变量x, 而4是函数, 因为x和y都有.这时回顾函数的集合定义, 强调定义中的“每一个”“唯一一个”的准确理解. 从而使学生对函数概念的理解上升到理性阶段.

例2.求下列函数的定义域:

设计意图:强调函数的定义域是自变量x的取值范围.在实际问题中, 定义域是由问题的实际意义所确定的, 如油箱的容积为50, 在用代数式表示的函数中, 定义域是使代数式有意义的自变量x的取值范围.

例3.设函数试求f (0) , f (2) , f (-5) , f (b) 的值.

设计意图:第一题由老师求解, 后面三小题可由学生板演.

通过有关函数值的计算, 培养学生的计算能力.

4.图式阶段:对比实例, 深入解析.

观察三次加油的课件:

1.2014年3月初, 小王车加油, 油箱50升, 单价8元/升.

2.2014年3月初, 小张车加油, 油箱35升, 单价8元/升.

3.2014年1月初, 小王车加油, 油箱50升, 单价7元/升.

问题1:观察1、2两个加油过程, 计价器的变化相同吗, 为什么? (定义域不同)

问题2:观察1、3两个加油过程, 计价器的变化相同吗, 为什么? (对应法则不同)

设计意图:回归到汽车加油问题中, 改变加油量的最大值与单价, 教师引导学生从中得出判断两个函数为同一函数的标准:定义域与对应法则是否相同.紧随其后设计例题.

例4.指出下列函数中, 哪个与函数y=x是同一个函数:

函数的定义域与对应法则是函数的两个要素, 判断两个函数是否相同就是判断两个函数的定义域与对应法则是否相同, 而与表示函数所选用的字母无关.

设计意图:通过以上四个例题的分析求解, 深化目标.学生最终形成函数概念的心智结构.

通过本课的学习, 学生的认知结构中只能形成函数概念的初始阶段的图式, 今后还需要长期的学习活动 (如指对函数、三角函数等) 进行完善.

紧扣本节课的重难点, 设计几道课堂练习题, 帮助学生应用知识, 强化训练.

1.求下列函数的定义域:

2.已知f (x) =3x-2, 求f (0) , f (1) , f (a) .

3.判断下列各组函数是否为同一函数:

最后进行归纳小结, 布置作业.

四、设计体会

APOS理论对学生的函数概念的理解作了分层分析 , 真实反映了学生的心智建构过程, 揭示了函数概念学习的本质.学生对本概念的理解不是线性的, 而是呈循环螺旋上升的趋势. 基于APOS理论设计的本课的教学, 实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现, 学生在形成函数概念时自觉地完成了由感觉、知觉到表象, 由感性认识上升到理性认识的过程. 在函数的概念教学中, 教师引导学生不断探索, 相互交流, 培养了学生解决实际问题的能力; 引导学生自主实践, 勇于发现, 培养了学生的创新能力.

参考文献

[1]刘超, 王志军.论核心数学概念及其教学.高中数学教与学, 2011 (11) .

[2]叶立军.数学课程与教学论.浙江大学出版社.

[3]翁凯庆.数学教育概论.四川大学出版社.

[4]顾泠沅, 鲍建生.数学学习的心理基础与过程.上海教育出版社.

[5]张奠宙, 宋乃庆.数学教育概论 (第二版) .高等教育出版社.

8.函数的概念的教学设计 篇八

[关键词]HPM视角 三角函数 教学探究

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2016）110007

HPM是一种简称，它是数学史与数学教学关系国际研究小组的简称，该小组是在第二届国际数学教育大会上成立的.HPM主要是数学史对教学设计等内容进行深入的研究.一般情况下，我们所说的HPM视角下的数学教学就是从数学史与数学教育关系的角度对数学知识进行教学研究.把数学史应用到数学教学实践活动中，对提高数学教学质量具有十分重要的积极作用.但是怎样进行正确引入以及具体引入哪些内容，是一个复杂的系统性问题.对我国来说，在数学史与数学教学关系方面的研究比较少，因此在实际教学中有很多教师没有做好数学史对教学设计等内容进行深入的研究.因此本文从HPM视角对“任意角三角函数概念”进行深入研究，希望能够对数学史与数学课堂完美融合进行一定程度的探索，为进一步提高数学教学质量开辟新的途径.

一、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学学情的分析

通常情况下，学生在开始学习任意三角函数的概念前，已经学习了弧度制.教师要在弧度制的教学过程中有目的、有意识地加入数学史的内容，这样可以使学生从自己的思想意识中明确为什么要将弧度制引入到数

学教学活动中，同时也能够帮助学生加深对单位圆的理

解[1].学

生在初中已掌握了锐角三角函数的相关含义，比如正弦和余弦以及正切等概念有了一定程度的了解.因此本文认为教师可以在弧度制的教学讲解过程中对锐角三角函数的概念进行复习和回顾，之所以这样做是因为从本质上来说，弧度制是一种度量方式，最早也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的.为了充分提高教学的质量，在实际的教学过程中，教师应当先不要讲述三角函数的定义，而是要等到学生对任意三角函数的概念深入掌握后再将高中和初中的知识进行对比，这样可以帮助学生建立一个清晰完整的三角函数知识体系.

二、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学情境设计

学生到了高中阶段，其生活经验和联想能力都得到了发展和提高.所以教师要从生活的现象入手，激发学生对任意角三角函数的学习兴趣[2].如引导学生对钟表指针的旋转以及自行车轮子的旋转进行观察，因为在这些运动中都存在着180°以上的角度，而且其运动的轨迹都和圆存在着十分直接的联系.因此从某种角度来说，三角函数也叫圆函数[3].在这种情况下，完全可以借助单位圆引入任意角三角函数的概念.

问题1：怎样从单位圆的角度出发去理解任意三角函数的定义？

如图1所示，我们完全可以假设α是一个任意的角，在此基础上进一步假设α的终边和单位圆相交于一个点M（x，y）.在这种情况下，首先y就是角α的正弦，即sinα=y；其次，x就是角α的余弦，即cosα=x；y/x就是角α的正切，即tanα=y/x.

问题二：点M（x，y）的坐标和任意三角函数的正负存在着什么样的内部联系？

此时，教师要利用这个问题导向，积极引领学生对三角函数的定义进行深入分析，利用该定义对三角函数符号和点M（x，y）的坐标关系进行分析，通常情况下，只要r的值是正数，那么横坐标和纵坐标的正负就可以直接决定三角函数值的符号.

问题三：在分析和学习三角函数的周期性时，怎么实现对单位圆这一工具的有效利用？

此时，对图1的单位圆进行深入的分析和实际的计算可以得出这样一个重要的结论，那就是每当角度转动了360°或者是360°的整数倍的时候，角的终边都能够回到原来的位置上.在这种情况下，三角函数在转动前后的同名函数值应该是相等的.因此，我们可以对这样一种现象进行深入的分析和有效的利用，从而能够通过有效的转换，变成求0到2π角的三角函数值.

三、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学效果的问卷调查

为了对HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学效果进行深入的了解和掌握，本次研究做了充分的调查，并在某学校进行了课堂教学的实践.该学校的文理科比例是1∶4，从总体上来看，理科生对本节课的兴趣高于文科班.部分学生认为本次课堂的感觉比较好，比以前更加有趣，还有的学生认识到单位圆具有周期性和对称性，对用来研究三角函数具有很有效的帮助.总体来说，三角函数历史悠久，将几何知识、代数知识等融为一体，教师在教学的过程中应当注意各个知识之间的联系.

综上所述，三角函数是高中学习中非常重要的知识内容，从周期性的角度来说，三角函数是周期函数，同时三角函数也为解决其他问题提供十分重要的工具，与后续学习的很多内容有关联.HPM主要对数学史的教学设计等内容进行深入的研究.因此我们要进一步进行深入思考和研究，采取有效措施，加强HPM视角的数学教学研究，让学生了解数学的来龙去脉，这样既有利于提高学生学习数学的兴趣，又能够加深学生对数学知识的理解.

[ 参 考 文 献 ]

[1]龚亮亮.“任意角的三角函数”教学设计[J].中国教育技术装备，2011（4）.

[2]曾荣.高中数学教材“推广型”内容的教学策略[J].教学与管理，2015（7）.

[3]陈汉裕.关于“任意角三角函数的定义”的教学[J].科技信息（科学教研），2007（7）.

9.高中数学教学论文 函数概念教案 篇九

函数概念教案

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函

用心

爱心

专心 1

数抽象符号的理解。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。教学目标确立的依据：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据：

教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。重点难点确立的依据：

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理：

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

用心

爱心

10.幂函数的概念及其性质 篇十

一、单选题(共12道，每道8分)1.下列命题正确的是（）

A.幂函数在第一象限都是增函数

B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1)

C.若幂函数是奇函数，则

是定义域上的增函数

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限

答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象

2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是（）

A.B.C.D.第1页 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性

4.当时，幂函数

为减函数，在实数m的值是（A.2

B.﹣1

C.﹣1或2

D.第2页)

答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性

5.函数 的图象大致是（）A.B.C.答案：B 解题思路： D.第3页

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象

6.若 是幂函数，且满足，则的值是（）A.B.C.2

D.4

答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算

7.已知幂函数

在区间

第4页

上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是（）

A.16

B.8

C.﹣16

D.﹣8

答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质

8.若，则不等式的解集是(A.B.C.D.答案：D 解题思路：

第5页)

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性

9.已知，下列不等式：①；②；③；

④ ；⑤．其中恒成立的有（）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：C 解题思路：

第6页 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

10.若 A.C.答案：D 解题思路： B.D.，，则的大小关系是（）

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

11.已知幂函数（）的图象经过点，且，则实数a的取值范围是

第7页 A.C.答案：D B.D.解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算

12.函数 A.C.答案：D 解题思路： B.D.的单调递减区间是（）

第8页

试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性

11.函数的概念的教学设计 篇十一

1 情景设置，巧妙衔接，明确概念

集合这一数学概念，学生初中阶段没有接触过.若教师照本宣科，开门见山直接讲解，新知识与初中已有知识衔接不上，不仅枯燥无味，而且学生难以理解和掌握.如果教师能精心设计某一情景，把初、高中的知识内容巧妙衔接起来，由浅入深把学生带到高中数学的课堂，那将是事半功倍的好方法.例如：集合第一节课，我们可以这样设置问题：“某同学第一次到商场买了墨水、日记本和练习本，第二次买了练习本和钢笔，问这个同学两次一共买了几种东西？”学生会马上回答：4种！然而结果为什么不是3+2=5种呢？这里运用了一种新的运算，即集合的并的运算：{a，b，c}∪{c，d}={a，b，c，d}，可见，这一问题中所研究的对象已不仅仅是数，而是由一些具有某种特征的事物所组成的集合，这样自然就导入了集合的教学.因为问题情景熟悉，学生倍感亲切;因为解答涉及到新的运算，学生注意力很快被吸引，课堂教学内容也就自然地过渡到集合的概念上.可以说，正是因为巧妙的构思、合理的问题设置，符合了学生这个年龄的心理特征和学习特点，教师才很好地达到了第一节初高中数学课衔接教学的目标.

2 搭建桥梁，由浅入深，掌握新知

初高中数学知识在教学中的衔接，实际上就是一种承上启下的过渡.针对初高中知识的脱节，尤其断层与跳跃的部分，教师要善于挖掘知识间内在的联系，通过搭建桥梁，做好铺垫，让新旧知识自然过渡，紧密衔接，这样高一学生才能轻松走进高中数学课堂.例如：函数的定义，初、高中“函数的概念”的表述差异很大，初中以学生比较熟悉的“运动”为出发点引入两个变量来描述函数，而高中则以抽象的“集合”为出发点利用“映射”来研究函数.由两个变量“运动”的关系到两个集合“映射”概念的引出，学生确实感觉反差很大，这种跳跃之感学生很难理解.如何在这两者之间搭建一座桥梁，使学生自然接受呢？为此，我们不妨设置这样一个问题：甲、乙两地相距S公里，一辆汽车从甲地匀速地开往乙地，速度为V公里/小时，所需时间为t小时，回答下列问题：

（1）已知V=45公里/小时，写出S关于t的表达式，求出当t=4时甲乙的距离S;

（2）已知S=100公里，写出V关于t的表达式，并求出当V=30时所需时间t;

（3）用集合表示自变量的取值范围.

上面这三个问题学生都能在初中知识的基础上顺利完成.在解答的过程中，教师就已经初步渗透了：“函数值”、“一个t的值唯一对应于一个S的值”，“映射”、“解析式”、“定义域”等函数问题及相关概念.通过上面这些逐步深入、环环相扣的问题的解决，教师再因势利导，逐步地将学生的思维向函数定义靠拢，函数的概念也就自然生成！顺利地完成从“运动”向“集合”的过渡！同时，教学中教师有意识地使用抽象函数符号S=S（t），V=V（t）等更能诱发学生的好奇心与求知欲，更好地搭建“运动”、“集合”、“映射”之间的桥梁.并为将来学习规范书写答题打下了基础.

3 转化语言，化难为易，凸显性质

高一教材对函数单调性的定义表述（叙述）为：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，D∈I，如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）即：（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0或f（x1）-f（x2）x1-x2>0;那么就说f（x）在这个区间D上是增函数;

如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）即：（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0或f（x1）-f（x2）x1-x2<0.那么就说f（x）在这个区间D上是减函数.

从函数单调性定义可以看出，尽管课本定义叙述严谨，但文字冗长，涉及到多个抽象的数学符号及符号语言：“当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）”或“（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0”，“f（x1）-f（x2）x1-x2>0”等.而这与初中“图像上升、下降”形象的文字描述相比，理解起来显然要困难的多！抽象思维的要求明显提高.

如何过渡到高中的“符号语言”的教学呢？老师在学生已有的“图形语言”的基础上，让学生观察课本上的三个图像，再次感受到“图像上升与下降”的印象，然后再以熟悉的、具体的函数y=x，y=x2图像为例，让学生进一步观察图像，发现：“函数y=x的图像在（-∞，+∞）是上升的，函数y=x2在（-∞，0）是下降的，在（0，+∞）是上升的”，老师进一步提问：如何将“函数y=x，y=x2的图像上升或下降”现象用文字语言来描述呢？学生不难回答：“函数y=x的值随着自变量x的增加而增加”，“函数y=x2的值在（0，+∞）上随着自变量x的增加而增加，在（-∞，0）上随着自变量x的增加反而减少”.这就实现了“图形语言”向“文字语言”的转化！紧接着，老师乘胜追击：你能用数学符号的语言来描述这一现象吗？这是学生用文字语言顺利过渡到“函数单调性定义”的符号语言描述的关键！观察图像，在老师的启发下，学生不难得到“当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）”的描述.类比让学生根据“y=x2图像上升与下降”的现象，用符号语言描述函数图像的这一特征：“当x∈（-∞，0），当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），当x∈（0，+∞），当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）”，在此基础上，进一步引导学生可以得到等价的符号语言

“（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0”，“f（x1）-f（x2）x1-x2>0”等式子.

这样的教学，体现了高一学生的认知规律，将初中的画图、识图与高中的辨图、用图有机地衔接.通过第一层图像语言的观察，再到第二层文字语言的描述，最后到第三层符号语言的归纳，环环相扣，步步深入，自然就衔接到函数单调性，“增函数”与“减函数”的概念也就水到渠成了！

设计“各种语言相互转化”的教学，老师要善于分析课本的素材，深入领会教材的意图，充分挖掘其隐含的“各种语言相互转化”的教学的情景.让更多的学生参与课堂，感受到知识形成的来龙去脉.长期这样，不仅较好地衔接新旧知识，而且对学生以后良好的学习方法、学习习惯、学习兴趣的培养也是极其有利的！

4 延伸素材，形数结合，寻找最值

初中生熟悉图像的画法，尤其二次函数的图像，学生非常熟悉.列表时一般找几个对称点，这样，图像迅速图1作出.如何由初中二次函数图像等内容为素材延伸衔接到高中图像变换及函数最值呢？我们的老师在上这节衔接课时，如下设置一题组：

（1）画出y=x2，y=x2-2x+1，y=x2-2x+3的图像.

（2）指出这三个函数图像特征及其区别.

由学生观察，不难得到y=x2-2x+1=（x-1）2的图像

由y=x2的图像向右平移一个单位得到;而y=x2-2x+3=（x-1）2+2的图像是由y=（x-1）2向上平移2个单位得到.归纳出：函数y=a（x-k）2+h的图像可以通过平移函数y=ax2的图像得到，即将函数y=ax2的图像向左（k>0）或右（k<0）平移k单位，得到y=a（x-k）2的图像，再沿y轴向上（h>0）或向下（h<0）平移h单位得到.

至此：由初中二次函数图像的知识适当延伸并顺利地衔接到高中图像变换规律.紧接着，老师继续给出两个问题：

（1）描点法画出函数y=2x的图像，并指出如何利用图像平移得到函数y=2x-1的图像.

（2）求函数y=2x-1，x∈[2，6]的最大与最小值（课本例题）.

图2

问题（2）是课本上一个例题，在另一个平行班听课时，老师照本宣科，没有相关知识的衔接，也没有涉及到求函数值域的知识，而是直接呈现本题，很多学生无从下手！但是，这节课，由于有了图像平移变换的规律的衔接，以及补充问题（1）的垫铺，学生很容易发现函数y=2x-1的图像是由初中熟悉的反比例函数y=2x图像向右平移1个单位得到.再观察函数y=2x-1在[2，6]的图像，学生不难发现：

（1）函数y=2x-1在[2，6]的图像是一段曲线，两个端点分别是A（2，2），B25;

（2）y=2x-1在[2，6]上是减函数（当然教学时还要求学生按照定义给出单调性的证明）.

学生有了（1），（2）的发现，函数最大值与最小值的问题也就圆满解决！

自此，课应该马上可以结束了，但该教师因势利导，继续将二次函数知识延伸并与闭区间、图像性质、抽象字母、最值等知识综合起来，于是老师补充一道衔接练习：设函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m]的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围.

图3

题目一给出，学生立即画图，讨论，其中有几个同学很快能发现对称轴x=1一定要含于闭区间[0，m]内，于是得到m∈[1，2].

课后老师还布置了一道衔接作业：已知函数f（x）=4x2-4ax+a2-2a+2在闭区间[0，2]上的最小值为3，求实数a的取值范围.

从这里可以看出，尽管两个老师教学水平相当，但其中一个老师巧妙地将二次函数相关知识适当衔接延伸到课堂的讲解、练习，作业之中.教学效益明显提高.教师不仅归纳出函数图象平移规律，而且还介绍了寻找函数最值的图像解法.这为下节课最值的进一步研究提供一种重要的方法.从学生的状态来看，课堂气氛活跃，师生配合默契，同学的作业、问题的回答也要明显好于另一个班级！

本文仅通过函数部分几个典型问题的衔接，谈谈高中衔接教学的一些做法.实际上，高初中教学的衔接，不仅在高一、高二，甚至高三的教学也要注意渗透.例如高三“平面几何选讲”的绝大部分内容就是初中平几的衔接与延伸，初中韦达定理在高二的解几教学中常常碰到，初中绝对值的概念是高中分类讨论的一个重要依据，不等式解法、因式分解等内容也是高中数学的重要工具.所以，衔接教学要贯穿于高中数学课堂的始终！但是，由于高一教学很紧，衔接教学又要分担不少的课时，如何处理衔接与进度的关系呢？这就要求老师钻研课本、熟悉衔接的内容，科学设计，将关联的知识化整为零，将衔接的内容渗透到每堂课.这样高一的学生才能跟上老师的节奏，促使师生课堂思维的同频，也只有这样，我们的教学才更有针对性，课堂教学效益才会不断提高.

参考文献

[1] 廖顺宏，数学课堂设计与学生创新思维的培养[J].数学通报.2000（9）.

[2] 高洪武，追求数学课堂的自然高效[J].中学数学杂志，2013（3）.