利用定积分的定义求极限

利用定积分的定义求极限（精选2篇）

1.利用定积分的定义求极限 篇一

浅析反常积分与定积分的定义与性质

刘汉兵1，刘树兵2

（1.中国地质大学（武汉） 数理学院，湖北武汉430074；2.湖北省鄂州市第二中学，湖北鄂州436001）

摘要：积分学是微积分理论中的一个重要部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类。这两类积分各自具备一些性质，而这些性质常常被拿来相互比较。本文将从定义出发，结合一些反例，深入剖析定积分和反常积分的性质差异及其原因。

关键词：反常积分与定积分；性质差异；定义

作者简介：刘汉兵（1985-），男（汉族），湖北鄂州人，博士，讲师，研究方向：微分方程的最优控制理论；刘树兵（1982-），男（汉族），湖北鄂州人，本科，高中教师，研究方向：数学教学教育。

积分学是微积分理论中的一个重要组成部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类，反常积分又包含了无穷积分与瑕积分，它们可以看作是定积分的推广，是定积分的某种意义下的极限形式。粗略来看，反常积分是更为一般的积分，定积分作为更为特殊的积分，应该具备反常积分所具备的性质。但是在这部分内容的学习过程中，可以看到反常积分与定积分的一些性质有所区别，甚至从表面上看，反常积分的一些性质，定积分并不具备。本文将从定义出发，剖析这些性质的差异及其原因，以更加准确深刻的理解定积分和反常积分的异同。

一、无穷积分与定积分的`定义与性质

我们知道对于无穷积分，有如下的一个重要性质。

这显然是不合情理的，因为无穷积分是定积分的推广，定积分是更为特殊的积分。仔细分析会发现，上述两个命题中第二个命题即为定理2的结论，是真命题，而命题一看似定理1的结论，但是它与定理1的描述相比，去掉了一个非常重要的条件：“f在任何有限区间[a，u]上可积”，所以命题一是错误的。实际上，我们上述定义的函数E（x）可以更直接的说明命题一是不对

从定理的证明我们也可以进一步认识到A、B两部分内容的差异对定理结论的影响。定理1的两个证明都是围绕积分上限趋于正无穷时，变上限积分极限的存在性展开的，而定理2的证明则是依赖于有限区间上的可积性定理，即证明当划分足够细时，Daboux大和与Daboux小和收敛到同一个极限，这是完全不同的两个对象。另一方面，我们从证明里面看到，定理1确实是依赖于条件A的。在定理1的证明里，我们用到了f（x）在任一有限区间上的定积分，如果没有条件A，这些定积分是不存在的，这也说明了为什么不能运用定理1的证明方法得到定积分的类似性质。

从以上的分析我们可以看到反常积分的一些性质，()特别是基于条件A的一些变限积分极限的收敛性质不能简单的从表面形式上与定积分的可积性质进行比较，更不能因此错误的认为反常积分具有定积分所不具备的性质。定理1和定理2所表述的是两个毫不相关的对象的性质，把它们进行比较没有实质的意义，反而容易产生认知上的混淆。

二、瑕积分与定积分的定义与性质

瑕积分的定义与无穷积分有类似的特点。

从以上的论述我们可以认识到，不论是无穷积分还是瑕积分，它们都是定积分的推广。这两类积分的收敛性首先都要以某类有限区间上的可积性为前提，其次是要求积分上（下）限在某一趋势下的变限积分的极限存在。反常积分的一些性质，形式上看起来可以与定积分的某些性质进行比较，但是实际上这种比较是非常牵强的，甚至会混淆概念、模糊认知，因此，应该从定义出发，区分这些性质的异同，理解背后本质的原因，更加准确深刻地理解反常积分和定积分。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系。数学分析[M].北京：高等教育出版社，.

[2]同济大学数学教研室。高等数学[M].北京：高等教育出版社，.

2.利用定积分的定义求极限 篇二

一、利用夹逼准则求极限

二、利用定积分定义求极限

从定积分定义可以看出, 定积分为积分和的极限, 且该极限不受对区间[a, b]的分法和iζ的取法的影响。所以, 当已知函数xf) (在区间[a, b]上可积时, 则可对区间[a, b]做某种特殊的划分, 如n等份, 取iζ为小区间的左端点或右端点, 使得这种特殊的和的极限恰为所求的极限, 则该极限值就等于定积分∫ba) (xdxf。看下面的例子

分析观察这个和式的极限, 发现形式上和例1很相似, 但利用夹逼准则却不易求出, 这时可考虑利用定积分的定义来求。

化为定积分时, 关键是如何根据所求数列和式的特点正确确定出被积函数和积分区间来。

为了正确求出被积函数和积分区间, 首先要通过恒等变形把所求数列极限中的和式化为积分和的形式, 使和式中的通项表示为

注:定积分定义经常用来求n项和的数列极限, 但有时所求数列极限不能直接使用定积分的定义, 这时可将数列适当变形。例如若所求数列为n-1项和时, 可通过增加一项补成n项和后再利用定积分定义;或者当所求数列为n项乘积时, 也可考虑能否将乘积转化为求和 (如取对数) 后再用定积分的定义来求。

三、结束语

通过比较上面所举的两个例子可以发现, 利用夹逼准则和定积分的定义所求的数列极限从形式上看有时很相似, 这时就要仔细分析所求数列的特点, 确定选用哪种方法来求。如果利用夹逼准则, 关键就要将所求数列适当的放大和缩小, 且放大和缩小后所得数列极限要相同。而选用定积分定义时关键要将所求数列通过适当的变形化为某可积函数的积分和的形式, 从而确定出被积函数和积分区间, 再将数列极限转化为定积分计算。

摘要：极限是高等数学的重要组成部分, 是微积分的理论基础。本文针对高等数学中两种形式非常相似但解法却完全不同的n项和的数列极限进行了比较分析, 并给出了相应的计算方法.

关键词：极限,夹逼准则,定积分定义

参考文献

[1]同济大学应用数学系:《高等数学》 (上册) .高等教育出版社, 2006

[2]姜长友、张武军等:《高等数学同步辅导教程》.北京航空航天大学出版社.2006

[3]王丽燕:《高等数学大讲堂》.大连理工大学出版社.2004