复合函数求定义域

复合函数求定义域（精选5篇）

1.复合函数求定义域 篇一

一、求高中复合函数定义域的题型

题型一：单对单，如：已知f(x)的定义域为[-1,4],求f(x+2)的定义域。

题型二：多对多，如：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。

题型三：单对多，如：已知f(x)的定义域为[0、1],求f(2x-1)的定义域。

题型四：多对单，如：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

注：通解法——综合分析法的关键两步：

第一步：写出复合函数的复合过程。

第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母(最为关键)

下面用综合分析法解四个题型

题型一：单对单：

例3：已知f(x)的定义域为[-1、4],求f(x2)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：

f(x2)是由y=f(u),u=x22复合而成的。

(由于要同层考虑，且u与x的取值范围相同，故可这样变形)

f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。

∴f(x)的定义域为[-1、4]

第2步：找出复合函数定义域的真正对应

∴-1≤x1﹤4

即-1≤u﹤4

又∵u=x22

∴-1≤x22﹤4

(x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出)

∴-2﹤x2﹤2

∴f(x2)的定义域为(-2,2)

结论：此题中的自变量x1,x2通过u联系起来，故可求解。

题型二：多对多：

如例6：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。

解析：多对多的求解是比较复杂的，但由解题型三与题型四的结论：

已知 f(x)的定义域,可求出y=f[g(x)]的定义域”

已知y=f[g(x)]的定义域,可求出f(x)的定义域

可以推出f(x)与y=f[g(x)]可以互求。

若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),

同理，已知y1=f(x+3)的定义域，

故,

这里f(x)成为了联系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁，

其作用与以上解题中u所充当的作用相同。

所以，在多对多的题型中，可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出f(x)，再以f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域，具体步骤如下：

第一步：写出复合函数的复合过程:

f(x+3)是由y=f(u)u=x+3复合而成的。

f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5复合而成的。

∴4≤x+3≤5

∴4≤u≤5

设：函数y3=(u),u=x

∴y3=f(x)的定义域为[4、5]

第三步：通过桥梁f(x)进而求出y2=f(2x-5):

f(x) 是由y3=f(u),u=x复合而成的

∵4≤x≤5

∴4≤u≤5

∴4≤2x-5≤5

∴ ≤x2≤5

∴f(2x-5)的定义域为：[5]

小结：实际上，此题也可以u为桥梁求出f(2x-5), 详参照例2的解法。

题型三：单对多：

例4：已知f(x)的定义域为[0,1],求f(2x-1)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：

f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。

f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1复合而成.

第2步：找出复合函数定义域的真正对应：

∵0≤x1≤1

∴0≤u≤1

∴0≤2x2-1≤1

∴x2≤1

∴f(2x-1)的定义域为[，1]

结论：由此题的解答过程可以推出：已知f(x)的定义域可求出y=[g(x)]的定义域。

题型四：多对单：

如：例5：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：

f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1复合而成的。

f(x)是由f(u),u=x2复合而成的。

第2步：找出复合函数定义域对应的真正值：

∵0≤x1≤1

∴0≤2x1≤2

∴-1≤2x1-1≤1

∴-1≤u≤1

∴-1≤x2≤1

∴f(x)的定义域为[-1、1]

结论：由此题的解答过程可以推出：已知y=f[g(x)]的定义域可求出f(x)的定义域。

小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过u这个桥梁将x1与x2联系起来解题。

二、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。

如：例7：已知函数y=f(x)的定义域为[0、1]，求函数y=f(x2+1)的定义域。

解：∵函数f(x2+1)中的x2+1相当于f(x)中的x(即u=x2+1,与u=x)

∴0≤x2+1≤1

∴-1≤x2≤0

∴x=0

∴定义域为{0}

小结：本题解答的实质是以u为桥梁求解。

例8：已知y=f(2x-1)的定义域为[0、1],求函数y=f(x)的定义域。

解：由题意：0≤x≤1(即略去第二步，先找出定义域的真正对象)。

∴-1≤2x-1≤1(即求出u,以u为桥梁求出f(x)

视2x-1为一个整体(即u与u的交换)

则2x-1相关于f(x)中的x(即u与u的交换，

f(x)由y=f(u),u=x复合而成，-1≤u≤1,

∴-1≤x≤1)

2.复合函数求定义域 篇二

如何求复合函数的导数?分步求导, 再用乘法.在求复合函数的导数的过程中, 应注意哪些问题?下面分三类讨论.

一、一般的复合函数的导数

针对常见的复合函数的求导, 应注意要解到底, 不要半途而废.

例1 求y= (x3-x) 6的导数.

解 令t=x3-x, y= (x3-x) 6,

由y=t6与t=x3-x复合而成,

∴y′= (t6) ′·t′=6t5 (x3-x) ′=6 (x3-x) 5 (3x2-1) .

多数学生求解时, 解到 (t6) ′, 忘记乘以t′.

例2 求$y=\cos \sqrt{x}$的导数.

解 令$t=\sqrt{x},y=\cos \sqrt{x}$,

由y=cost与$t=\sqrt{x}$复合而成,

$\therefore y^{\prime }=(\cos t{)}^{\prime }\cdot t^{\prime }=-\sin t\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-\sin \sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.$

多数学生求解时, 注意别忘记乘以$(\sqrt{x}{)}^{\prime }.$

例3 求$y=2{}^{\frac{1}{x}}$的导数.

解 令$t=\frac{1}{x},y=2{}^{\frac{1}{x}}$,

由y=2t与$t=\frac{1}{x}$复合而成,

$\therefore y^{\prime }=(2{}^t{)}^{\prime }\cdot t^{\prime }=\ln 2\cdot 2{}^t\cdot \frac{-1}{x{}^2}=\ln 2\cdot 2{}^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{-1}{x{}^2}.$

注意求解时乘以$\left(\frac{1}{x}\right)´.$

二、隐方程中的复合函数的导数

求隐方程中的复合函数的导数时, 要注意y=f (x) 这个隐含条件.

例4 y3+x3-3xy=0, 求y′.

解 方程两边对x求导, 得

$\begin{array}{l}3y{}^2{y}^{\prime }+3x{}^2-3(y+x{y}^{\prime })=0‚\\ \therefore y^{\prime }=\frac{y-x{}^2}{y{}^2-x}.\end{array}$

注意y=f (x) 这个隐含条件, ∴ (y3) ′=3y2y′.

例5 y=xsinx, 求y′.

解 方程两边取自然对数, 得lny=sinx·lnx.

$\begin{array}{l}\text{方}\text{程}\text{两}\text{边}\text{对}x\text{求}\text{导}‚\text{得}(\ln y{)}^{\prime }=(\sin x\cdot \ln x{)}^{\prime }.\\ \frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=\cos x\cdot \ln x+\sin x\cdot \frac{1}{x}‚\\ \therefore y^{\prime }=\left(\text{c}\text{o}\text{s}x\cdot \text{l}\text{n}x+\text{s}\text{i}\text{n}x\cdot \frac{1}{x}\right)\cdot y\\ =\left(\text{c}\text{o}\text{s}x\cdot \text{l}\text{n}x+\text{s}\text{i}\text{n}x\cdot \frac{1}{x}\right)\cdot x{}^{\text{s}\text{i}\text{n}x}.\end{array}$

由于y=f (x) 这个隐含条件, $\therefore (\ln y{)}^{\prime }=\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }.$

三、积分上限函数是复合函数的导数

当积分上限函数是复合函数时, 这类函数的求导常出现错误, 错的原因是认不清它是个复合函数.

例6 求$\left({\displaystyle {\int }_0^{\text{s}\text{i}\text{n}x}\text{t}}\text{a}\text{n}mdm\right)´.$

解 ∵积分上限函数为∫${}_0^{\text{s}\text{i}\text{n}x}$tanmdm

由∫${}_0^t$tanmdm与t=sinx复合而成,

$\begin{array}{l}\therefore \left({\displaystyle {\int }_0^{\text{s}\text{i}\text{n}x}\text{t}}\text{a}\text{n}mdm\right)´=\left({\displaystyle {\int }_0^t\text{t}}\text{a}\text{n}mdm\right)´\cdot (\sin x{)}^{\prime }\\ =\tan t\cdot \cos x\\ =\tan (\sin x)\cdot \cos x.\end{array}$

多数学生没有乘 (sinx) ′导致错误.

例7 求$\left[{\displaystyle {\int }_0^{x{}^2}(}\text{c}\text{o}\text{s}t){}^{2}dt\right]´.$

解 ∵积分上限函数为∫${}_0^{x{}^2}$ (cost) 2dt令m=x2,

由∫${}_0^m$ (cost) 2dt与m=x2复合而成,

$\begin{array}{l}\therefore \left[{\displaystyle {\int }_0^{x{}^2}(}\text{c}\text{o}\text{s}t){}^{2}dt\right]´=\left[{\displaystyle {\int }_0^m(}\text{c}\text{o}\text{s}t){}^{2}dt\right]´\cdot m^{\prime }\\ =(\cos m){}^2\cdot 2x\\ =(\cos x{}^2){}^2\cdot 2x.\end{array}$

多数学生没有乘 (x2) ′导致错误.

如何正确求复合函数的导数呢?关键是正确拆分复合函数, 复合函数只有拆到底, 拆得对, 求导时求到最后一步, 注意到这些, 复合函数的求导就迎刃而解了.

参考文献

[1]李华, 王小军.应用数学 (上册) [M].郑州:大象出版社, 2006 (50-53) .

3.复合函数求定义域 篇三

定理17.7 若 fxy (x,y) 和fyx(x,y) 都在点(x0,y0)连续,则fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)

现将该定理的条件做变动:若fxy (x,y) 在[a ,b]上连续,则fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)

知识储备:1 若二元函数在点(x0,y0)处连续,则在x=x0 ,y=y0处连续。

2 若二元连续函数存在重极限和累次极限,则它们必定相等。

3 fxy(x0,y0)=

fyx(x0,y0 )=

證:不妨设(x0,y0)为(a, b)上的任意一点,令

F(△x, △y)=f(x0+△x ,y0+△y)- f(x0+△x ,y0)- f(x0 ,y0+△y)+f(x0+y0)

Φ(x)=f(x, y0+△y ) - f(x, y0)

于是F(△x, △y)=φ(x0+△x)-φ(x0) (1)

由于函数f存在关于x的偏导数,所以函数可导。应用一元函数的拉格朗日中值定理有

φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1 △x) △x=[fx(x0+θ1△x, y0+△y)-fx(x0+θ1△x,y0)] △x (0<1 <1)

又由函数存在关于y的偏导数,故对以y自变量的函数fx(x0+θ1△x,y)应用一元函数的拉格朗日中值定理,又使上式化为

φ(x0+△x)- φ(x0)= fxy (x0+θ1△x,y0+θ2△x)△x△y(0<1 , 2 <1)

由(1)则有 F(△x, △y)= fxy (x0+θ1△x,y0+θ2△x)△x△y(2)

将△x,△y除到左边, 可得

(3)式的左边= fxy(x0,y0)

因为fxy (x,y) 在任意点(x0,y0)处连续,则fxy (x,y)在分别在x=x0, y=y0 处连续

由fxy (x,y)在x=x0处连续,可知

lim△x→0 fxy(x0+θ1△x,y0+θ2△x)= fxy (x0,y0+θ2△x)

fxy (x0,y0+θ2△x)在y=y0 连续

lim△y→0 fxy(x0,y0+θ2△x)= fxy(x0,y0) 即有

lim△y→0 lim△x→0 fxy(x0+θ1△x,y0+θ2△x)= fxy(x0,y0)即

lim△x→0 lim△y→0 fxy(x0,y0+θ2△x)=fxy(x0,y0)(4)

同理可知,对于(3)式,令△y 0,△x0,可得

(3)式的左边= fyx(x0,y0) ,右边= fxy(x0,y0) (5)

由(4),(5)两个式子可知,有fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),命题得证。

说明: 1 在目前的数学分析习题当中,如果不加说明,通常认为混合偏导数在区间上连续,从而混合偏导数与求导顺序无关。

2 有关多元函数的相关证明,通常将其和一元函数建立联系,从而利用一元函数的性质来证明多元函数。例如本题当中就很好的利用了一元函数中值定理及连续性的性质。

多叉树方法来解决多元复合函数求偏导数问题

例题1 设Z=f(x,x/y),求Zx, Zxy

解 这里z是以x和y为自变量的符合函数,它也可改写成如下形式:z=f(u,v),u=x,v=x/y

反馈:多元函数求偏导数,通常的做法是用链式法则进行相关求解,然而在多数计算情况下,我们经常是漏掉某个项,或缺少“交叉项”,往往是因为某个小处而造成计算结果的错误。现给大家推荐一种通俗、直观的方法,即图论中的二叉树法,来进行多元复合函数求微分或偏导数。

解:仍旧以上面的例题为例

利用换元的结果,其二叉树分布如下

对于上述例题,用换元的方法即可进行求解,多叉树法的优点也不是多明显,接下来的一道例题,如果用换元法,很有可能会遗漏某个环节或交叉项,而如果将其和多叉树结合起来,计算过程相对会更顺利一些。

例题3:Z=z(f1(f2(x,y),f3(xy,x+y)),g1(g2(x,6y),g3(x,2y)),h1(h2(x2+y,y),h3(8x,y))),求Zx,Zy

分析:令a= f1(f2(x,y),f3(xy,x+y)),b= g1(g2(x,6y),g3(x,2y))c= h1(h2(x2+y,y),h3(8x,y)),d= f2(x,y),e= f3(xy,x+y),

f= g2(x,6y),g= g3(x,2y),h= h2(x2+y,y),i= h3(8x,y)),j= xy,k= x+y,l= x2+y,则对应的多叉树为

由多叉树图可知,对x的一阶偏导数共有7个路径,分别是zadx,zaejx,zaekx,zbfx,zbgx,zchlx,zcix.

对y的一阶偏导数共有8个路径,分别是zady,zaejy,zaeky,zbfy,zbgy,zchly,zchy,zciy.

运用多叉树方法求解偏导数的一般步骤:

1 运用换元的方法,有外至内依次进行换元,直至换到所要求的自变量。

2画出由多个变元构成的多叉树。

3依据问题,从左至右依次找出所求变量的路径。

4 按照复合函数的链式法则求偏导数。多数情况下,在涉及二阶以上的偏导数时,会涉及到乘积求偏导数问题,要按照乘积求导法则进行求导。

多元函数运用多叉树法,为求解多元函数微分及偏导数提供了一个很好的途径,不仅有助于学生对于多元函数求偏导数有更加清楚的认识和理解,而且大大提高了学生求解多元函数偏导数的速度和质量,不失为一种好的方法。

数学的学习,不单纯只是接受的过程,更重要的是一个思考的过程,正是在这样的过程中,我们才会真正体会到数学所蕴藏的乐趣,望大家勤于思考,刻苦钻研,最终定能够收获丰硕的果实。

参考文献:

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.2001.

[2] 许绍浦.数学分析教程[M].南京大学出版社.

[3] 陈纪修.数学分析[M].高等教育出版社.

4.复合函数求定义域 篇四

在平平淡淡的学习、工作、生活中，大家都写过作文吧，作文是人们把记忆中所存储的有关知识、经验和思想用书面形式表达出来的记叙方式。那么一般作文是怎么写的呢？以下是小编为大家整理的函数的定义福的定义初二作文，欢迎阅读与收藏。

幸福，是妈妈的.唠叨；幸福，是依偎在妈妈的怀抱里；幸福，是注视父母沧桑面庞的敬意。

我觉得幸福是和爸爸妈妈生活在一个温暖的家里，在一起欢笑，在一起嬉戏，虽然有时会吵架，但是这也是一种爱的表现，和爸爸妈妈在一起还可以......

家是最幸福的地方，如果在外面受到了挫折，回到家中可以得到父母的安慰和呵护，有时觉得妈妈太唠叨，总是说自己这也不好，那也不好，总是说自己不如别人，当时就会觉得妈妈很烦，但是现在回过头来想一想，妈妈这么做是爱我的，我现在觉得我很幸福，有一个爱我，疼我的父母。父母能给你的，都给你了，有父母是的地方就是最幸福的。

其次，我觉得幸福的就是和朋友，知己在一起的时候，可以在一起嬉戏，玩耍，打闹，可以互诉心声，有些事，有些秘密在家不想告诉父母，那么朋友便是你的一个好的倾诉对象，她会给你守住秘密，并且会在你最困难的时候帮助你，知己，便是一个你随叫随到的一个人物。

幸福，可能对于在一场大地震中受难的人来说，可能就是活着，见到自己的亲人，爱人，朋友。

幸福，对于乞丐来说，可能就是一顿饱饭。

幸福，对于一个孤儿来说，可能就是人们带给他们的爱与温暖吧！

幸福，对于世界上任何一个生物来说都有不同的意义。例如，猫的幸福就是天天有老鼠吃；鱼的幸福就是能够自由自在的在水里游，；恋人间的幸福就是一个温暖的拥抱；而对于父母而言。也许就是儿女的安全吧！

5.十、函数的定义和调用 篇五

程序员一般把函数当作“黑箱”处理，并不关心它内部的实现细节。当然程序员也可以自己开发函数库。

说明一点，函数这一节很重要，可以说一个程序的优劣集中体现在函数上。如果函数使用的恰当，可以让程序看起来有条理，容易看懂。如果函数使用的乱七八糟，或者是没有使用函数，程序就会显得很乱，不仅让别人无法查看，就连自己也容易晕头转向。可以这样说，如果超过100行的程序中没有使用函数，那么这个程序一定很罗嗦(有些绝对，但也是事实)。

一、函数的定义

一个函数包括函数头和语句体两部分。

函数头由下列三不分组成：

函数返回值类型

函数名

参数表

一个完整的函数应该是这样的：

函数返回值类型 函数名(参数表)

{

语句体;

}

函数返回值类型可以是前面说到的某个数据类型、或者是某个数据类型的指针、指向结构的指针、指向数组的指针。指针概念到以后再介绍。

函数名在程序中必须是唯一的，它也遵循标识符命名规则。

参数表可以没有也可以有多个，在函数调用的时候，实际参数将被拷贝到这些变量中。语句体包括局部变量的声明和可执行代码。

我们在前面其实已经接触过函数了，如abs(),sqrt()，我们并不知道它的内部是什么，我们只要会使用它即可。

这一节主要讲解无参数无返回值的函数调用。

二、函数的声明和调用

为了调用一个函数，必须事先声明该函数的返回值类型和参数类型，这和使用变量的道理是一样的(有一种可以例外，就是函数的定义在调用之前，下面再讲述)。

看一个简单的例子：

void a(); /*函数声明*/

main()

{

a(); /*函数调用*/

}

void a() /*函数定义*/

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

在main()的前面声明了一个函数，函数类型是void型，函数名为a，无参数。然后在main()函数里面调用这个函数，该函数的作用很简单，就是输入一个整数然后再显示它。在调用函数之前声明了该函数其实它和下面这个程序的功能是一样的：

main()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

可以看出，实际上就是把a()函数里面的所有内容直接搬到main()函数里面(注意，这句话不是绝对的，

)

我们前面已经说了，当定义在调用之前时，可以不声明函数。所以上面的程序和下面这个也是等价的：

void a()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

main()

{

a();

}

因为定义在调用之前，所以可以不声明函数，这是因为编译器在编译的时候，已经发现a是一个函数名，是无返回值类型无参数的函数了。

那么很多人也许就会想，那我们何必还要声明这一步呢?我们只要把所有的函数的定义都放在前面不就可以了吗?这种想法是不可取的，一个好的程序员总是在程序的开头声明所有用到的函数和变量，这是为了以后好检查。

前面说了，在调用之前，必须先声明函数，所以下面的做法也是正确的(但在这里我个人并不提倡)。

main()

{

void a();

a();

}

void a()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

一般来说，比较好的程序书写顺序是，先声明函数，然后写主函数，然后再写那些自定义的函数。

既然main()函数可以调用别的函数，那么我们自己定义的函数能不能再调用其他函数呢?答案是可以的。看下面的例子：

void a();

void b();

main()

{

a();

}

void a()

{

b();

}

void b()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

main()函数先调用a()函数，而a()函数又调用b()函数。在C语言里，对调用函数的层数没有严格的限制，我们可以往下调用100层、1000层，但是在这里我们并不提倡调用的层数太多(除非是递归)，因为层数太多，对以后的检查有一些干扰，函数调过来调过去，容易让自己都晕头转向。