中心极限定理习题

中心极限定理习题（共10篇）（共10篇）

1.中心极限定理习题 篇一

CH5 大数定律及中心极限定理

1.设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi=

1001,事件A发生；0,事件A不发生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100

相互独立。令Y=

i1Xi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（）

y80

4A.Ф(y)

2.从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取100粒,则这100粒种子的发芽率不低于88%的概率约为.(已知φ(0.67)=0.7486)

3.设随机变量X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且i=1，2…，0

nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)

Yn

i1Xi,n1，2，.Φ（x）为标准正态分布函数，则limPn1（）np(1p)Ynnp

A．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．1

4.设

5.设X服从(-1,1)上的均匀分布，试用切比雪夫不等式估计

6.设

7.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报纸的概率为0.2，且他们买报纸与否是相互独立的。试求报童在想100为行人兜售之后，卖掉报纸15到30份的概率

8.一个复杂系统由n个相互独立的工作部件组成，每个部件的可靠性（即部件在一定时间内无故障的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使得整个系统工作。问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95

9.某人有100个灯泡，每个灯泡的寿命为指数分布，其平均寿命为5小时。他每次用一个灯泡，灯泡灭了之后立即换上一个新的灯泡。求525小时之后他仍有灯泡可用的概率近似值相互独立的随机变量，且都服从参数为10的指数分布，求 的下界 是独立同分布的随机变量，设, 求

2.中心极限定理习题 篇二

1 教学过程中经常遇到的问题

1.1 学生对于中心极限定理非常茫然, 不知道它是什么意思

在实际问题中, 许多随机现象都是由大量相互独立的随机因素综合影响所产生的, 而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小之极, 人们更加关心的是这些微小的影响造成的总的影响, 也就是大量独立随机变量和的问题, 而中心极限定理则告诉我们, 这些微小影响的总和近似服从正态分布。亦即, 首先将问题转化为大量独立随机变量和, 其次为了使独立随机变量和的极限分布有意义, 对其进行标准化, 从而只需讨论标准化变量的极限分布为标准正态分布, 由此可知独立随机变量和近似服从正态分布。但由于课时不多, 教师往往对这部分讲解的比较快, 就导致学生对此理解不透甚至不理解, 就此产生不知其意的感觉。

1.2 结论的多样性使学生产生学习的恐惧和抵触心理

教材中所给的中心极限相关定理和推论较多, 分别是:

中心极限定理 设随机变量X1, X2, …, Xn, …相互独立, 服从同一分布, 且EXi=μ, DXi=σ2 (i=1, 2, …) , 若记Sn=X1+X2+…+Xn, 则对任意实数x, 有

undefined

推论 设随机变量X1, X2, …, Xn, …相互独立, 服从同一分布, 且E (X1) =μ, D (X1) =σ2≠0, 则当n充分大时, undefinedXi服从正态分布undefined。

学生对这定理和推论的含义不理解, 且不了解推论其实只是定理的另一种表述, 加上定理的抽象性, 使得他们以为结论多而烦, 产生恐惧和抵触心理。

1.3 学生学习之后不知道如何应用

学生学习中心极限定理时, 对于老师讲解的例题能够理解, 但是真正要自己动手去做一道习题, 就无从下手, 不知道怎么将问题转化为中心极限定理所需的条件。这个主要是由于学生对中心极限定理的理解不透, 搞不清中心极限定理与实际问题之间的联系造成的, 并且有些学生对于中心极限定理在应用方面的理解就是死套定理中的极限表达式, 以为是一种机械行为, 这就导致这些学生在老师讲解定理的思想时不认真听或者不加以领会。

2 中心极限定理教学设计

2.1 由具体到抽象, 通过引例激发学生学习的兴趣

例1 盒中装有100个球, 其中20个编号为0, 30个编号为1, 50个编号为2。随机抽取1个并记取得的球的编号数为X1, 则X1的概率分布图如图1。将取得的球放回盒中, 再取第2个球, 记取得球的编号数为X2, 显然X1和X2独立且有相同的分布, 记S2=X1+X2分布图如图2。将第2个球放回盒中, 再取第3个球, 记取得球的编号数为X3, S3=X1+X2+X3, 分布图如图3。

如果无限的继续往下做, 我们会发现一个非常明显的规律:一个非常不对称的分布, 它的多次独立观察的和的分布逼近正态分布。

例2 某保险公司开办一年人身保险业务, 被保人每年需交付保险费160元, 若一年内发生重大人身事故, 其本人或家属可获得2万元赔金。已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005, 现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少?

由于该例与学生日常生活相关, 学生的学习兴趣一下子就被激发出来。这时可以相应地提出一些问题, 引发学生思考, 比如5000个参保人中的每个人是否发生事故如何去刻画, 能不能用随机变量来描述?此项保险业务的总收益又该如何用变量表示出来, 两变量之间的关系如何?等等。

2.2 引入中心极限定理的思想

经过学生的思考后, 老师应该及时的引入中心极限定理的思想, 然后给出中心极限定理。

由于5000人可以分别看成5000个随机试验, 每个人是否发生重大人身事故都是不确定, 而影响每个人是否发生事故的因素多种多样, 有可能是交通事故、摔伤、被他人打伤等等。而我们要考虑的是5000人对此项保险业务的总收益的影响, 也就是这些因素对此项业务的影响总和。这些影响的总和反映在总收益中其实就是一些随机变量和, 因此只要知道这些随机变量和的分布就可以求出, 总收益在20万元到40万元之间的概率了, 那么怎么求它的分布, 由于变量非常多, 若用卷积公式求解随机变量和的分布, 那将是一件非常麻烦的事情, 那有没有其他的方法解决这个问题呢?有, 那就是中心极限定理。这样就很自然的引入中心极限定理的思想。然后再对中心极限定理思想的一般化进行必要的阐述。

2.3 给出中心极限定理, 并对其含义、作用和变式进行讲解

给出中心极限定理的表述之后, 我们需要对该定理的表述进行必要的解释, 首先将问题转化为大量独立随机变量和, 其次为了使独立随机变量和的极限分布有意义, 对随机变量和进行标准化, 这样只需讨论标准化变量的极限分布为标准正态分布, 由此可知独立随机变量和近似服从正态分布。然后再对其作用和几个变式进行讲解。而由于定理的证明要用到特征函数, 证明过程复杂难懂, 因此可以省略不讲。最后, 应用该定理解决引例提出的问题。

2.4 定理的推论

给出中心极限定理的推论, 并对其进行讲解, 问学生推论和中心极限定理的关系, 然后再进行讲解, 它只是中心极限定理的另一种表述。因此, 只要记住中心极限定理, 那自然就记住了推论。

2.5 给出应用中心极限定理的一般方法和步骤

在给出两个中心极限定理之后, 再选一到两个典型的例题进行仔细讲解, 讲解完之后与学生一起总结应用中心极限定理解决实际问题的一般方法和步骤。

2.6 课堂练习

最后, 在总结完方法步骤之后, 让学生随堂解决一两个类似的相关问题, 检验学生学习情况, 巩固所学知识。到此, 课堂教学基本结束。

摘要：中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理, 衔接着概率论知识与数理统计的相关知识, 既是教学重点又是难点。通过结合学生的基础和知识结构以及该定理讲解中常遇到的问题, 对中心该定理的课堂教学进行探讨, 并给出相应的教学设计。

关键词：中心极限定理,正态分布,教学设计

参考文献

[1]张琳.中心极限定理的优势[J].唐山师范学院学报, 2008, 30 (2) :36-37.

[2]周德华.袁书娟.中心极限定理应用举例[J].中国科技信息, 2009 (16) :46-47.

[3]黄业文.中心极限定理课堂教学漫谈[J].企业家天地, 2008 (8) :196.

3.投资模型中收益率的极限定理 篇三

关键词 投资模型； 收益率；似然比；极限定理

中图分类号 O211.4 文献标识码 A

Some Limit Theorems Of Return Rate in Investment Modeling

LI Wenhan1,LIU Zhiqiang2

(1. College of Mathematics and Physics, Shijiazhuang University of Economics,Shijiazhuang,Heibei 050031,China;

2.Science College,Beijing University of Civil Engineering and Architecture; Beijing 100044,China)

Abstract In virtue of the notion of likelihood ratio ,the limit properties of the sequence of continuous random variables were studied ,and a class of strong deviation theorems represented by inequalities with return rate and their estimated expectation were obtained when there are deviations between the estimated and the real distributions of the return rate.

Key words investment modeling; return rate; likelihood ratio;limit property

1 引 言

收益率是投资的收益率，是检验投资行为很重要的一个指标．Cover等［1］通过选择投资策略，系统的研究了log-最优投资组合问题；文献［2，3］进一步推广了他们的工作，得到了关于投资组合的一些极限定理；文献［4］通过引入似然比作为随机变量序列相对于不同测度差异的一种度量，建立了一种新型的定理-强偏差定理．本文将文献［4］方法引入到证券市场模型中来，讨论了证券收益率变量的估计分布与真实分布的一些极限性质，推广了文献［3，5］的应用．

2 模型假设

假设投资者的初始财富为单位资金(即S0=1)，在证券市场上进行风险投资(比如股票)．他每次都将上一周期末，所得的财富进行整合，然后全部投资到下一个周期，这里假设每一个周期都是单位时间，用Rn表示在第n个周期中股票的收益率，那么在第n个周期末投资者总的资产为 Sn=e∑nk=1Rk．

假设1）在证券市场中，进行连续交易过程中没有手续费、税费等任何其他收费；2）在每一个周期初投资，都是利用上一个周期末的财富，投资何种股票没有要求；3）收益率Rn是一个随机变量，可以取任意的实数，但是对于任意n,满足e∑nk=1Rk＜∞．

3 定义及符号表示

设n个周期收益率的随机过程{R1,…,Rn}为概率空间(Ω,F,P)上的连续性随机变量序列，其真实的联合分布密度为

fn(x1,…,xn)＞0,n=1,2,….(1)

假如投资者对每一个周期的收益率都有一个估计，也就是对于n个周期上的收益率R1,…,Rn在概率空间(Ω,F,Q)上存在一个估计分布 (或者称为经验分布)，概率密度函数记为 qn(x1,…,xn)．若投资者考虑每个周期上的收益率的概率密度函数都与以前周期上的收益率有关，那么在这里给出投资者n个周期上的收益率R1,…,Rn估计分布的密度函数

qn(x1,…,xn)=

f1(x1)∏nk=2fk(xk|x1,…,xk－1),k＞1，(2)

其中，fk(xk|x1,…,xk－1)表示在R1=x1,…,Rk－1=xk－1的条件下，第k个周期收益率Rk的估计条件概率密度函数．

为了表征{R1,…,Rn}的真实联合分布密度fn(x1…xn)与估计联合分布密度qn(x1,…,xn) 之间的差异，引进如下的似然比的概念．

定义1 在{R1,…,Rn}的真实联合分布密度与估计联合分布密度分别为fn(x1…xn)和qn(x1,…,xn), 令

rn(ω)=fn(x1,…,xn)/qn(x1,…,xn)

=fn(x1,…,xn)/［f1(x1)∏nk=2fk(xk|x1,…,xk－1)］(3)

经 济 数 学第 29卷第1期李文汉等：投资模型中收益率的极限定理

为{R1,…,Rn}的真实分布相对于估计分布密度的似然比,其中ω是样本点．

定义2 在R1=x1,…,Rk－1=xk－1的条件下,第k个周期收益率Rk的估计数学期望定义为：

E(Rk|R1=x1,…,Rk－1=xk－1)=

∫∞－∞xkfk(xk|x1,…,xk－1)dxk ，

记为mk.(4)

定义3 对于Rk,设

Mk(t,x1,…,xk－1)=E(etRk|R1=x1,…,

Rk－1=xk－1)=∫∞－∞etxkfk(xk|x1,…,xk－1)dxk.(5)

Mk(t,x1,…,xk－1)称为第k个周期收益率Rk在R1=x1,…,Rk－1=xk－1的条件下,关于估计分布的条件矩母函数,简记为Mk(t)．

4 主要结果

定理1 设n个周期收益率的随机过程{R1,…,Rn}为概率空间(Ω,F,P)上的连续性随机变量序列，rn(ω),Mk(t)如前定义，c≥0为常数，t0＞0，使得在t∈［－t0,t0］ 内,Mk(t)＜∞,k=1,2,…n.设

D(c)={ω:r(ω)=limn→∞sup1nln rn(ω)≤c} ，(6)

则有

limn→∞inf1n∑nk=1［Rk－mk］≥α(c),

a.e.,ω∈D(c),(7)

其中

α(c)=sup{φ(t),－t0≤t＜0}, (8)

φ(t)=limn→∞inf1n∑nk=1［ln Mk(t)/t

－mk］+c/t,－t0≤t＜0. (9)

注：1)数值c可以看成真实分布密度和估计分布密度偏差的一种度量,c越小,偏差越小,当真实密度函数和估计密度函数相同时,没有偏差； 2)结论说明了n个周期收益率均值和其估计分布数学期望的一种偏差，偏差由式(7)和式(26)决定．

证明

令gk(t,xk)=etxkfk(xk|x1,…,xk－1)/Mk(t), (10)

则

∫+∞－∞gk(t,xk)dxk=1.(11)

令

fn(t;x1,…,xn)=∏nk=1g(t,xk)

=∏nk=1［etxkfk(xk|x1…xk－1)/Mk(t)］,(12)

由式(11)知fn(t;x1…xn)是n元概率密度函数.令

tn(t,ω)=fn(t;R1,…,Rn)fn(R1,…,Rn)． (13)

由于{tn(t,ω)}是a. e.收敛的非负上鞅［6］，故存在A(t)∈F,P(A(t))=1，使得

limn→∞sup1nln tn(t,ω)≤0,ω∈A(t).(14)

通过式(10)，式(13)~(14)，有

limn→∞sup1n－∑nk=1ln Mk(t)+

t∑nk=1Rk－ln rn(ω)≤0,ω∈A(t), (15)

令t=0得

limn→∞inf1nln rn(ω)≥0,ω∈A(0), (16)

由此得到

limn→∞sup1nln rn(ω)≥0,ω∈A(0), (17)

即

r(ω)≥0,ω∈A(0).(18)

当－t0≤t＜0时,由式(15)与式(6)有

tlimn→∞inf1n∑nk=1Rk≤limn→∞sup1nlnMk(t)

+r(ω)≤limn→∞sup1nlnMk(t)+c,ω∈A(t)∩D(c)． (19)

利用下极限的性质

limn→∞inf(an－bn)≥dlimn→∞inf(an－cn)

≥liminfn→∞(bn－cn)+d.

并将式(19)两边同除以t，得

limn→∞inf1n∑nk=1［Rk－mk］

≥limn→∞inf1n∑nk=1［lnMk(t)t－mk］

+c/t,ω∈A(t)∩D(c). (20)

设Q是负有理数的全体，A=∩t∈QA(t),则P(A)=1.由式(20)有

limn→∞inf1n∑nk=1［Rk－mk］

≥limn→∞inf1n∑nk=1［lnMk(t)t－mk］

+c/t,ω∈A∩D(c),t∈Q. (21)

由式(21),式(18)与式(9)，得到

limn→∞inf1n∑nk=1(Rk－mk)≥φ(t),

ω∈A∩D(c),s∈Q.(22)

因为φ(t)关于t连续,且当－t0≤t＜0时,limc→∞φ(t)=－∞,故由式(8) 与式(18)知,对每个ω∈A,存在sn(ω)∈Q,n=1,2,….使得

limn→∞φ［sn(ω)］=α(c).(23)

由式(22)知

limn→∞inf1n∑nk=1(Rk－mk)≥φ［sn(ω)］,

ω∈A∩D(c),n=1,2,…. (24)

通过式(23)与(24)，得到

liminfn→∞1n∑nk=1［Rk－mk］≥α(c),

ω∈A∩D(c). (25)

因为P(A)=1,故由式(25)知式(7)成立.

定理证毕.

定理2 设n个周期收益率的随机过程{R1,…,Rn}为概率空间(Ω,F,P)上的连续性随机变量序列，rn(ω),Mk(t)如前定义，c≥0为常数，t0＞0，使得在t∈［－t0,t0］ 内, Mk(t)＜∞,k=1,2,…n.设

D(c)={ω:r(ω)=limn→∞sup1nlnrn(ω)≤c},

则有

limn→∞sup1n∑nk=1［Rk－mk］≤β(c),

a.e.,ω∈D(c), (26)

其中 β(c)=inf{ψ(t),0＜t≤t0}, (27)

ψ(t)=limn→∞sup1n∑nk=1［lnMk(t)/t

－mk］+c/t,0＜t≤t0, (28)

当0＜t≤t0时，同样的方法可以得式(26)成立．

设随机过程{R1,…,Rn}关于估计概率分布具有马氏性的连续型随机变量序列，即式(2)变为［7］，

πn(x1,…,xn)=f1(x1)∏nk=2fk(xk|xk－1),(29)

则式(3)变为

r′n(ω)=fn(x1,…,xn)/f1(x1)∏nk=2fk(xk|xk－1). (30)

下面重新定义2和定义3为：

定义4 设随机过程{R1,…,Rn}关于估计概率分布具有马氏性的连续型随机变量序列， 定义第k个周期收益率Rk的估计数学期望为： E(Rk|xk－1)=∫∞－∞xkfk(xk|xk－1)dxk， 记为m′k．

定义5 设随机过程{R1,…,Rn}是关于估计概率分布具有马氏性的连续型随机变量序列, 定义它的条件矩母函数为

Mk(t,xk－1)=E(etRk|Rk－1=xk－1)

=∫∞－∞etxkfk(xk|xk－1)dxk. (31)

于是,由定理1容易得到

定理3 设周期平均收益率的随机过程{R1,…,Rn}为概率空间(Ω,F,P)上 的连续性随机变量序列, r′n(ω),m′k,Mk(t,xk－1)如前定义,c≥0为常数,t0＞0,使得在t∈［－t0,t0］ 内,Mk(t,xk－1)＜∞,k=1,2,…n.设

D(c)={ω:r(ω)=limn→∞sup1nlnr′n(ω)≤c}

则有

limn→∞inf1n∑nk=1［Rk－m′k］≥α′(c),

a.e.,ω∈D(c), (32)

limn→∞sup1n∑nk=1［Rk－m′k］≤β′(c),

a.e.,ω∈D(c),(33)

其中 α′(c)=sup{φ′(t),－t0≤t＜0}, (34)

β′(c)==inf{ψ′(t),0＜t≤t0}, (35)

φ′(t)=limn→∞inf1n∑nk=1［lnMk(t,xk－1)

/t－m′k］+c/t,－t0≤t＜0,(36)

ψ′(t)=limn→∞sup1n∑nk=1［lnMk(t,xk－1)

/t－m′k］+c/t,0＜t≤t0,(37)

由定理1的证明,很容易得到结论.

推论1 在定理1的条件下,若估计分布和真实分布是同分布,则有

limn→∞1n∑nk=1［Rk－mk］=0,a.e. (38)参考文献

［1］ T M COVER,J A THOMAS.Element of information theory［M］.New York:John Willey Sons,Inc,1991.

［2］ 叶中行,周煦,徐云.投资组合的增长率及其极限定理［J］.上海交通大学学报,2005,39(6):1020-1024.

［3］ 包振华,叶中行,杨卫国.Log-最优投资组合的极限定理［J］.数学杂志,2007,27(4):467-470.

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［5］ 白云芬,叶中行.序列投资模型中的强偏差定理［J］.上海交通大学学报,2008,42(12):2056-2059.

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4.第六章 第三节中心极限定理 篇四

第三节 中心极限定理

在对大量随机现象的研究中发现,如果一个量是由大量相互独立的随机因素所造成,而每一个别因素在总影响中所起的作用较小,那么这种量通常都服从或近似服从正态分布.例如测量误差、炮弹的弹着点、人体体重等都服从正态分布,这种现象就是中心极限定理的客观背景.设随机变量X,X,,X,独立

12n同分布,且Xi~N(,)，2(i1,2,)

记YX,(EYn,DYn)，2nni1inn 1 YEYYn Y称为Y的标准DYn*nnnnnn化, 则有Y~N(0,1)

FY*(x)P{Yn*x}(x)

n*n对任意实数x,有

Ynx}

limP{nnnP{Yn limn(x)x*x}limF(x)

nYn*1edt.2t22一般地，有下述结果。定理三(同分布的中心极限定理)设随机变量X,X,,X,独立同分布,且存在有限的数学期望和方差

EX,DX0，12n2ii(i1,2,)

记YX,(EYn,DYn)，2nni1innYEYYn Y称为Y的标DYn*nnnnnn 2 准化, FYn*(x)P{Yx}

n*则对任意实数x,有

Ynx}

limP{nnnP{Yn limn(x)x*x}limF(x)

nYn*1edt.2t22

定理表明,当n充分大时,随机变量Xni1inn近似地服从标准正

ni1i态分布N(0,1).因此,X近似地服从正态分布N(n,n).由此可见,正态分布在概率论中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplace定理)

2设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次 试验中发生的概率, 则对任意区间[a,b],成立 limP{annpnnp(1p)b}

ba1edt(b)(a)2t22 证明 引人随机变量

1,第i次试验中A发生 X ，0,第i次试验中A不发生i则n次试验中事件A发生的次数

nXXX ，12n12n由于是独立试验,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即

P{X1}p,P{X0}1p,i1,2,,nii于是

EXiip, DXp(1p)

由定理三,即得

limP{nnpnnp(1p)ni1ix}

limP{nXnpnp(1p)x}

x1edt(x), 2t22于是对任意区间[a,b],有

limP{anp(1p)b}

nnnpt22ba1edt(b)(a).2

近似计算公式:

npNnpMnp，NMnp(1p)np(1p)np(1p)nnP{NM}nn

npNnpMnpP{}np(1p)np(1p)np(1p)MnpNnp()().np(1p)np(1p)例1 某计算机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有10个以上的终端在使用的概率.解 以X表示使用终端的个数, 引人随机变量 1,第i个终端在使用 X ，0,第i个终端不使用i i1,2,,120 , 则

XXXX ，121202120由于使用与否是独立的,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即 P{X1}p0.05,P{X0}1p,i1,2,,120 1ii于是,所求概率为

P{X10}1P{X10}

Xnp10np1P{}，np(1p)np(1p)由中心极限定理得

P{X10}1P{X10}

Xnp10np1P{}

np(1p)np(1p)10np)

1(np(1p)101200.051()

1200.050.951(1.68)10.95350.0465.例2 现有一大批种子,其中良种占1.现从中任选6000粒,试问在这些61种子中,良种所占的比例与之误差

6小于1%的概率是多少？ 解 设X表示良种个数, 则

1X~B(n,p),n6000,p , 所求概率为 X1P{||0.01}P{|Xnp|n0.01}n6

Xnpn0.01P{||}

np(1p)np(1p)Xnp60000.01P{||}

15np(1p)600066(2.078)(2.078)

2(2.078)120.9810.96.例3 设有30个电子器件D,D,,D,它们的使用情况如下: 1230D损坏,D接着使用;D损坏,D接1223着使用等等.设器件D的使用寿命服从参数0.1(单位:h)的指数分布.令T

为30个器件使用的总时数,问T超过350h的概率是多少？

i1 8 解 设Xi为 器件D的使用

i寿命,Xi 服从参数0.1(单位:h)

1的指数分布, X,X,,X相互独1230立, TX1X2Xnn30, EX11i0.110 , 2DXi1210.12100, 由中心极限定理得

P{T350}1P{T350}

1P{Tnn350nn} 1(3503003010)1(530)1(0.91)10.8186

0.1814.，例4 某单位设置一电话总机,共有200架电话分机.设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话,假定每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要安装多少条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用.解 依题意

设X为同时使用的电话分机个数, 则X~B(n,p),n200,p0.05, 设安装了N条外线, 引人随机变量

1,第i个分机在使用 X ，0,第i个分机不使用i i1,2,,200 , 则

XXXX ，122002200由于使用与否是独立的,所以X,X,,X相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即 1 10 P{X1}p0.05,iP{X0}1p,i1,2,,200, i {XN}保证每个分机都能即时使用, P{XN}0.9 , 0.9P{XN}

XnpNnp} P{np(1p)np(1p)Nnp)

(np(1p)N2000.05()

2000.050.95N10N10()()，3.089.5查标准正态分布表

N10z1.28, 3.080.9N1.283.081013.94, 取 N14, 答: 需要安装14条外线.例5 设随机变量X的概率密度为

xe,x0 f(x)m!，0,x0其中m为正整数，证明

mxmP{0X2(m1)}.m1 证明

xEXxf(x)dxxedx

m!1xedx m!mx0m21x011 (m2)(m1)!m1, m!m!

xEXxf(x)dxxedxm!m222x0

1x m!0m31edx

x

11(m3)(m2)!(m2)(m1), m!m!

DXEX(EX)

222

(m2)(m1)(m1)

m1 , 利用车贝谢不等式,得 P{0X2(m1)}

P{(m1)X(m1)(m1)} P{|X(m1)|(m1)} P{|XEX|(m1)}

DXm111

5.中心极限定理习题 篇五

0,事件A不发生

1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令

1,事件A发生

10000

Y=

X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）

ii

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）

Xn≥

n

C．PX≤1-

A．P

2n

X≥1-n

n

D．PXn≤



B．P

2

3.设随机变量X的E（X）=,D(X)=2，用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空题

1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率

近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则n

Xni

i1

x_对任意实数x，limP

nn





___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32) ___8/9________。

4．设随机变量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估计P（|X－_____1/4___________．

5．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知，11

|≥）≤2

P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=X

i1100i，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___16________。

7．设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n

9．设随机变量X～B(100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40

10.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，则当n充分大的时候，随机变量Zn

6.正弦定理和余弦定理练习题 篇六

一.选择题：

1.在ABC中，a23，b22，B45，则A为（）

A.60或120B.60C.30或150D.30

sinAcosB

2.在C中，若，则B（）

abB.45C.60D.90

A.30

3.在ABC中，a2b2c2bc，则A等于（）B.45C.120D.30

A.60|AB|1，|BC|2，(ABBC)(ABBC)523，4.在ABC中，则边|AC|等于（）

A.5B.523C.523D.523

5.以4、5、6为边长的三角形一定是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.锐角或钝角三角形

6.在ABC中，bcosAacosB，则三角形为（）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

7.在ABC中，cosAcosBsinAsinB，则ABC是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.正三角形

8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为（）

A.52 B.21

3C.16 D.4

二.填空题：

9.在ABC中，ab12，A60，B45，则a_______，b________

10.在ABC中，化简bcosCccosB___________

11.在ABC中，已知sinA:sinB:sinC654::，则cosA___________

12.在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB，则ABC是_________

三.解答题：

13.已知在ABC中，A45，a2，c6，解此三角形。

14.在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。

15.已知ABC的外接圆半径是2，且满足条件22(sin2Asin2C)(ab)sinB。

（1）求角C。

（2）求ABC面积的最大值。

四大题

证明在△ABC中abc===2R，其中R是三角形外接圆半径 sinAsinBsinC

证略

见P159

注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例 二 在任一

△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0

证=

：左边=2RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)

2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]=0=右边

例三 在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c

asinB3sin453解一：由正弦定理得：sinA b22∵B=45<90 即b

∴A=60或120

bsinC2sin7562当A=60时C=75 c sinB2sin45bsinC2sin1562当A=120时C=15 c sinB2sin45解二：设c=x由余弦定理 b2a2c22accosB 将已知条件代入，整理：x26x10 解之：x62 2222622)3bca13622 当c时cosA2bc2622(31)22222（从而A=60

C=75

当c62时同理可求得：A=120

C=15 2例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161 例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x223x20的两个根，且 2cos(A+B)=1 求 1角C的度数 2AB的长度 3△ABC的面积 解：1cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=ab232由题设：

ab2∴AB=AC+BC2AC•BC•osCab2abcos120 22∴C=120 222a2b2ab(ab)2ab(23)2210

即AB=10

111333S△ABC=absinCabsin1202 22222例六 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长 解：在△ABD中，设BD=x 则BA2BD2AD22BDADcosBDA 即142x2102210xcos60 整理得：x210x960

A

B D

C 解之：x116 x26（舍去）由余弦定理：

BCBD16sin3082

∴BCsinCDBsinBCDsin135例七（备用）△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。

解：1设三边ak1,bk,ck1 kN且k1

a2b2c2k4∵C为钝角 ∴cosC0解得1k4

2ac2(k1)∵kN ∴k2或3 但k2时不能构成三角形应舍去

1当k3时 a2,b3,c4,cosC,C109

42设夹C角的两边为x,y xy4 SxysinCx(4x)当x2时S最大=15

三、作业：《教学与测试》76、77课中练习

a2b2b2c2c2a20 补充：1．在△ABC中，求证：

cosAcosBcosBcosCcosCcosAD

1515(x24x)442．如图ABBC CD=33 ACB=30 BCD=75 BDC=45 求AB的长(112)

A

B

C 3 【试题答案】

一.选择题：

1.A

提示：aba3，sinAsinB sinAsinBb

22.B

提示：由题意及正弦定理可得tanB3.C

1提示：由余弦定理及已知可得cosA

24.D 2

提示：ACABBC，AC(ABBC)(ABBC)

2AC52

32|AC|AC523

5.A

提示：长为6的边所对角最大，设它为

1625361

则cos0

2458

090

6.C

提示：由余弦定理可将原等式化为

b2c2a2a2c2b2a

b

2bc2ac

即2b22a2，ab

7.C

提示：原不等式可变形为cos(AB)0

0AB，B(0，)

从而C(AB)（8.B

2，)

3提示：由题意得cos或2（舍去）三角形的另一边长5232253cos52213 二.填空题：

9.36126，1262提示：absinAsin606，abbb sinAsinBsinBsin452

又ab12，a36126，b12624

10.a

a2b2c2a2c2b2ca

提示：利用余弦定理，得原式b2ab2ac1

11.8提示：由正弦定理得a:b:c654::

设1份为k，则a6k，b5k，c4k

b2c2a21

再由余弦定理得cosA2bc8

12.钝角三角形

提示：由cosAsinB得sin（A、B均为锐角，2A)sinB

A(0，)，B(0，)222

而ysinx在(0，)上是增函数 2AB

即AB2

C(AB)(，)

2三.解答题：

13.解：由正弦定理得：

sinCc623sinAa222

C60或120

当C60时，B180(AC)75 a262sinB31 sinA422

当C120时，B180(AC)15

b

ba2sinBsinA226231 b31，C60，B75

或b31，C120，B15

14.解：设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x

则有3x7x4x10x360

解得x15

A45，B105，C60，D150

连BD，在BCD中，由余弦定理得：

BD2BC2DC22BCDCcosCa24a22a2a3a2

BD3a

此时，DC2BD2BC2

BCD是以DC为斜边的直角三角形

CDB30

BDA15030120

在BD中，由正弦定理有：

ABBDsinBDAsinA3a3232a

2225 32a 2

15.解：（1）R2且22(sin2Asin2C)(ab)sinB

AB的长为2

(22)2(si2nAsinC)(ab)22sinB

即(2R)2sin2A(2R)2sin2C(ab)2RsinB

由正弦定理知a2c2(ab)b

即a2b2c2ab

a2b2c2ab1

由余弦定理得cosC2ab2ab2

C60

（2）SabsinC

2RsinA2RsinBsin60

232sinAsinB3[cos(AB)cos(AB)]

3[cos(18060)cos(AB)]13[cos(AB)]2

133

7.中心极限定理习题 篇七

19世纪后半叶, 随着数学基础的逐步加强, 俄罗斯开始形成自己的数学学派, 这就是以切比雪夫 (P.L.Chebyshev, 1821-1894) 为首的圣彼得堡概率论学派。该学派的中流砥柱则是马尔可夫 (A.A.Markov, 1856-1922) 和李雅普诺夫 (A.M.Lyapunov, 1857-1918) 。他们师徒互相合作, 分别用矩方法和特征函数法第一次严格证明了中心极限定理, 发展了中心极限定理理论, 奠定了现代概率论的基础。正是圣彼得堡概率论学派把概率论从濒临衰亡境地挽救出来, 并恢复为一门数学学科。

然而, 目前国内外系统研究中心极限定理思想者还较少, 尤其是对圣彼得堡概率论学派的概率思想介绍仅见于一般数学通史著作中, 这无疑是一个缺憾。鉴此本文在解读有关讲义、文集和其他原始相关文献的基础上, 系统探讨了圣彼得堡概率论学派的中心极限定理思想, 力图对其研究过程中概率思想的发展提出更为合理的诠释。

一正态分布和中心极限定理的提出

极限定理源于伯努利试验概型。在伯努利试验中, 若以μn记n次独立试验中随机事件A出现的次数, 则μn/n便是在这n次试验中事件A出现的频率, 故讨论频率μn/n的极限行为是理解概率论中最基本概念——概率所不可缺少的。

为研究μn的极限行为, 可讨论其分布。但由于Eμn=np, Dμn=npq, 对于固定的x来说, P (μn

误差分析是概率论的生长点之一。若把随机变量总和中的每项看作小的“基本误差”, 则中心极限定理就为观察误差中正态分布的发生给出解释。高斯 (C.F.Gauss, 1777-1855) 于1809年在研究测量误差时再次发现了正态分布。

拉普拉斯很快得知高斯的研究成果, 并将其与中心极限定理联系起来。为此, 他在即将发表的一篇文章 (发表于1810年) 上加了一点补充, 指出若误差可看作许多量的叠加, 据中心极限定理, 则误差理应服从正态分布。这是历史上首次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、种种原因产生的元误差叠加而成, 这也是中心极限定理的第一次应用[3]。

二中心极限定理的第一次严格证明和发展

正态分布作为一种统计模型, 在19世纪极为流行, 一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。故需要通过对中心极限定理的研究来阐明其相关理论、适用条件和发展空间。圣彼得堡概率论学派充分认识到中心极限定理的重要性, 率先对其展开了研究。

(一) 母函数法证明中心极限定理

虽切比雪夫仅发表了4篇关于概率论的论文, 但其影响难以估量。正是切比雪夫给门庭冷落的概率论带来了勃勃生机, 其概率思想引发了古典概率论的变革[4]。

切比雪夫对概率论的研究可分为两个阶段: (1) 攻读硕士学位阶段 期间, 受布拉斯曼 (N.D.Brashman, 1796-1866) 的影响, 对概率论产生兴趣并写下有关的硕士论文。 (2) 讲授概率论课程阶段 切比雪夫深受法国数学家比埃奈梅 (J.Bienaymé, 1796-1878) 和俄罗斯数学界元宿布尼亚科夫斯基 (V.Y.Buniakovsky, 1804-1889) 的影响。布尼亚科夫斯基从1850年到1859年退休一直讲授概率论这门课程。当切比雪夫接替布尼亚科夫斯基讲授概率论时, 再次把研究兴趣聚焦在概率论。关于中心极限定理的证明, 切比雪夫发表于1887年, 但他在讲授概率论时用母函数给出该定理的一个证明。

母函数在19世纪被拉普拉斯引进, 它是概率论中第一个被系统应用的变换法。该方法在整数值随机变量场合很有用, 是特征函数的先导, 由此发展起来的Z变换法已成为解决许多问题的重要方法。母函数最基本的性质是独立随机变量和的母函数等于原母函数的乘积, 这给计算带来了方便。切比雪夫所给证明为[5]:

设随机变量X, Y, Z, …, 取值于xi, yi, zi, …, 的概率分别为pi, qi, ri, …, (i=1, 2, …, n) 。

undefined

利用母函数性质得到

undefined

因B是方差之和, 故为正数且随着随机变量个数的增加而递增。切比雪夫假定积分上限为无穷大, 则有

undefined

进而得到积分定理

undefined

切比雪夫注释到, 为了严格证明, 这里做了一些假设, 因而就会导致产生一些错误。从目前看, 当时的数学工具还不能导出满意的边界值。

(二) 矩方法证明中心极限定理

1.矩方法思想及其发展

比埃奈梅在1833年向巴黎科学院递交的一篇论文中, 将力学中矩的概念作了推广, 并给出现今所谓的切比雪夫不等式。1867年, 切比雪夫将论文“论均值”同时以俄语刊登在《圣彼得堡数理学报》, 和以法语发表在《刘维尔杂志》上。直到发表后, 切比雪夫方知比埃奈梅早已给出了相关证明。刘维尔 (J.Liouville, 1809-1882) 将比埃奈梅的论文刊登在切比雪夫的论文前面, 并给出编者按, 暗示这两篇文章的相互联系。切比雪夫立即意识利用矩方法可解决许多困难的极限估计问题, 并试图应用于中心极限定理的证明。

1874年, 切比雪夫在递交给法国学术会议的论文《关于积分的极限值》 (Sur les valeurs limites des intégrales) 中, 指出矩方法的精髓:

“这个方法以∫undefinedf (x) dx, ∫undefinedxf (x) dx, ∫undefinedx2f (x) dx, …来确定积分值∫undefinedf (x) dx。这里A>a, 且f (x) 是未知函数并假定在积分区间内恒为正值。”[6]

切比雪夫通过连分数收敛于级数的形式分解, 给出积分

undefined

的取值范围及一些不等式, 但没有详细证明。

马尔可夫对切比雪夫的矩问题作了深入研究。在1884年的《某些切比雪夫积分的证明》 (Démonstration de certaines inégalités de M.Tchebycheff) 论文中, 马尔可夫给出了这些不等式的严格证明, 并在同年通过的博士论文第三部分给出了切比雪夫问题的完整解答。后又在1897年的一系列论文中作了进一步的阐述, 其中最为重要的一篇是《关于矩的L问题》 (L-проблема моментов) 。文中他把切比雪夫问题拓广为:

已知 (1) mk=∫baxkf (x) dx (k=0, 1, 2, …, n+1)

(2) 0≤f (x) ≤L (L为常数)

(3) g (x) 为 (a, b) 上的已知实函数

来确定积分∫baf (x) g (x) dx对所有f (x) 的最值。[7]126

这里出现了泛函的雏形。马尔可夫在g (x) 前n+1阶导数存在且在 (a, b) 上不变号的条件下解决了问题。

荷兰数学家斯捷尔吉斯 (Th.J.Stieltjes, 1856-1894) 同时也进行了类似研究, 他给出了与马尔可夫相近的结果。俄罗斯数学界宣称拥有优先权。斯捷尔吉斯声称未见马尔可夫的论文, 也不知切比雪夫所提问题。后马尔可夫与斯捷尔吉斯成为好朋友, 他们频繁交流在矩理论以及有关内插法、构造积分、余项估价和连分数等方面的新成果。

斯捷尔吉斯综述了有关研究结果, 并解决了无穷区间 (0, ∞) 上的矩问题, 给出所要寻找函数的一切整数阶矩的连分数表达式。马尔可夫在1895年发表的《某些连分数收敛性的两个证明》 (Deux démonstrtions de la convergence de certaines fractions continues) 中, 给出了斯捷尔吉斯连分数收敛的充要条件。[8]

2.中心极限定理的切比雪夫矩方法证明

1887年, 切比雪夫的论文《论概率论中的两个定理》 (О двух теоремах относительно вероятностей) 作为圣彼得堡科学院院刊附录而问世, 在1890以法语发表在《数学学报》上。切比雪夫利用矩方法来证明中心极限定理。他的命题很正确, 尽管证明中有些漏洞。切比雪夫注释到, 他没有给出定理的严格证明, 但应用Chebyshev-Hermite多项式的渐进展开可以得到更严密的证明。[9]

设随机变量序列ξ1, ξ2…ξn…, 其均值皆为0, 将其标准化undefined, 相应k阶矩记为mk, 而标准正态分布的k阶矩记为μk。

按照切比雪夫的观点, 要证明中心极限定理, 需要证明

(a) 当n→∞时, 对任意k, 有mk→μk;

(b) 对任意k, 若有mk→μk, 则Fξn (x) →Φ (x) , 这里Φ (x) 为标准正态分布的分布函数[10]。

马尔可夫于1884年证明了切比雪夫所给出的一些不等式, 这无疑加快了切比雪夫的研究。在1886年, 切比雪夫证明若mk=μk, 则有F (x) =Φ (x) 。他认为该条件等价于 (b) , 但马尔可夫不赞同。

1887年, 切比雪夫又证明了 (a) 。最终切比雪夫所给中心极限定理为[11]:

若 (1) u1, u2, …un, …为随机变量列, 且Eui=αundefined=0 (i=1, 2, …)

(2) 设Euundefined=αundefined=0 (i=1, 2, …) , 且对所有k一致有界。则有

undefined

这里把 (b) 转换成了 (2) 。切比雪夫所给的条件是不严密的。他没有说明随机变量必须是相互独立的, 这是沿用了当时的学术研究习惯。他没有考虑到当n→∞时, 表达式 (1/n) ∑undefinedαundefined可能趋于0, 在这种情况下, 结论是错误的。第 (2) 条太苛刻, 它依赖于矩的阶数, 事实上没有必要要求对所有k成立。正是由于这个条件使证明变得相当繁杂。

切比雪夫还提出了估计中心极限定理中有关收敛速度的问题。他猜想:在一定条件下, 有可能依照n-1/2的方幂渐进展开独立随机变量和的分布函数, 这里n为随机变量和的项数。这一猜测被后来的研究所证实。

3.中心极限定理的马尔可夫矩方法证明

马尔可夫认为, 切比雪夫在1887年所给中心极限定理的证明存在某些缺陷。在给圣彼得堡数学学派的另一成员, 喀山大学的瓦西里耶夫 (A.V.Vassilyev, 1853-1929) 的信中, 马尔可夫写道:

“在较长一段时间内, 切比雪夫正在证明的定理被认为是无误的。实际上, 他所给的是一不精确的过程, 之所以没有说其为证明, 因我认为那是一个不严密的证明。定理的由来简洁易懂, 而切比雪夫以初等工具为基础, 把问题变得复杂化了。这样自然有了疑问, 是否二者本质上一致?可否给出严格的证明?你对切比雪夫工作的研究, 加强了我很久以来的愿望, 那就是在简化整个证明过程的同时, 确保切比雪夫分析的精确化。”[7]128

他特别称老师的结果为“切比雪夫正在证明的定理”, 这封信后来以《大数定律和最小二乘法》 (The law of large numbers and the method of ledst squares) 为题发表在1898年的《喀山大学数理学报》上。同年, 马尔可夫在另一论文《论方程undefined的根》 (Sur les racines deundefined中, 尽力精确地陈述并证明了切比雪夫所提出的命题。改进后的方法被人称作切比雪夫-马尔可夫方法。

马尔可夫把切比雪夫原条件:当n→∞时, 对任意k, 有mk→μk改为:

(1) 对任意k, Eξundefined, Eξundefined, …有界; (2) 对所有n, D (ξ1+…+ξn) ≥cn, c>0。

相应计算以多项式 (x1+x2+…+xn) 2的展开式为基础, 以连分数为工具进一步分析了切比雪夫不等式。马尔可夫通过实例验证条件 (2) 是不可忽略的, 但切比雪夫没有注意到这一点[12]。

马尔可夫认为, 需要添加条件, 一个是随机变量序列相互独立, 再者

undefined

即上述极限存在且不为0。他给出一随机变量相互独立的简化表达式

undefined

马尔可夫宣称用上述条件, 可以导出中心极限定理[13]。即若对任意自然数m, 有

undefined

则

undefined

马尔可夫称上述定理是他和切比雪夫共同创立的。他应用狄利克雷不连续因子建立了这个定理, 并承认证明是不严格。

这样, 马尔可夫所给的中心极限定理为[14]:

设相互独立的随机变量序列ξ1, ξ2, …, ξn, …, 记undefined

undefined

对r≥3的所有整数有

undefined

则

undefined

不久, 马尔可夫就将原来的条件

undefined

换成下述不等式

undefined

他还证明, 对独立随机变量序列ξ1, ξ2, …, ξn, …, 若有二阶矩bk, k=1, 2, …, 存在绝对矩Eξundefined≡bundefined, α=3, 4, 5, …, 则使得下式成立

undefined

1908年, 马尔可夫再次扩展了矩方法的应用, 并证明了中心极限定理[14]362。此时, 他把定理的条件换成李雅普诺夫条件:

undefined

至此, 矩方法严格证明中心极限定理获得圆满成功。

(三) 特征函数法证明中心极限定理

李雅普诺夫虽仅发表两篇关于概率论的论文, 但在概率论发展中却具有划时代重要作用。在大学三、四年级时, 李雅普诺夫曾系统地听了切比雪夫的概率论课, 对老师当年在讲到极限定理证明时的一段话有着深刻印象。切比雪夫当时说:

“我们在证明时做了种种假设, 但却未能顾及出由此而产生的误差, 因而结论是不严密的。然而在目前, 我们还无法采用任何令人满意的数学手段来证明这些结论。”[15]

李雅普诺夫不像马尔可夫那样深受切比雪夫的影响, 他有一套独特的思维方法, 被切比雪夫誉为“超越方法”。正是他不同凡响的方法激起马尔可夫“暴风雨般的技巧”。

马尔可夫对中心极限定理的证明要求对任何整数p>2, 独立随机变量序列的p阶矩在一定意义下的平均值Mundefined→0 (n→∞) 。能否找到适当的δ>0 (δ不一定是整数) , 以p=2+δ阶矩的性质来代替马尔可夫的条件呢?这便是李雅普诺夫所考虑的问题。

李雅普诺夫在1900年发表的《概率论的一个定理》 (Sur une proposition de la théorie des probabilités) 论文中指出, 矩方法过于复杂和笨拙, 因而应从一个全新的角度去考察中心极限定理, 并引入了特征函数这一有力工具, 而利用特征函数法来证明中心极限定理, 其证明方法与现在用于素数理论中的方法相类似, 避免了矩方法要求高阶矩存在的苛刻条件[16]。

李雅普诺夫首先将δ取作1, 试图仅用Mundefined→0 (n→∞) 来代替马尔可夫的条件, 但是由于推算中的困难, 他不得不做了某些让步, 另外加上所有随机变量的3阶矩一致有界等条件, 从而部分实现了用3阶矩的存在去代替一切矩存在的拓广。接着, 他又于1901年发表的《概率论极限定理的新形式》 (Nouvelle forme du théorème de probabilité) , 对0<δ≤1的任意δ都证明了中心极限定理。

李雅普诺夫的成功, 其意义不仅在他所证明定理的内容, 更在于证明过程中所创造的一种崭新方法——特征函数法。与矩方法相比, 特征函数法显得更灵活、更具一般性。而且通过特征函数实现了数学方法上的革命, 为中心极限定理的进一步精确化奠定了基础, 为概率论学科的飞跃发展准备了条件。

所谓特征函数方法, 就是对每个随机变量 (或其分布函数) 作傅里叶变换, 得到实变数的复值函数。在此变换下, 相互独立的随机变量和的特征函数等于随机变量特征函数的乘积。这就为研究独立随机变量和的极限分布提供了一个简便有力的工具。因为独立随机变量和的分布是各加项分布的卷积, 而在加项数目趋于无穷的场合, 对卷积作数学处理是比较困难的, 为此切比雪夫和马尔可夫才设法通过矩来考察其一般规律, 所以矩方法所损失的信息过多。特征函数方法则保留了随机变数分布规律的全部信息, 同时提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间一一对应的关系。因而这一方法的引入使独立随机变数和的弱极限理论获得了疾足长进的机会。李雅普诺夫中心极限定理为:

设ξ1, ξ2, …, ξn, …是相互独立的随机变量序列, 且具有有限的数学期望和方差:

E (ξk) =μk, D (ξk) =σundefined≠0, (K=1, 2, …) 记undefined, 若存在正数δ, 使得

(1) dn=E|ξn|2+δ有界;

undefined, 则对于任意x∈ (-∞, +∞) , 随机变量undefined的分布函数Fn (x) 均有:

undefined

上述定理表明, 当n→∞时, Zn服从标准正态分布N (0, 1) 。[17]

定理的条件已接近于充要条件。尽管条件 (2) 类似于切比雪夫和马尔可夫所给条件, 但条件 (1) 比切比雪夫和马尔可夫所给条件要宽松得多, 没有要求3阶及以上矩存在[18]。

在证明中, 李雅普诺夫利用了引理:

设Fn (t) 是随机变量zn的分布函数, 且Ezn=1, Dzn=0。若zn的特征函数E[exp (iθzn) ]在任何关于原点对称的有限区间上一直收敛于正态分布的特征函数undefined, 则对所有t, 有Fn (t) →Φ (t) 。

尽管李雅普诺夫未明确提出上述引理, 但已含有其证明。后林德贝格 (J.W.Lindeberg) 和莱维 (Paul Lévy, 1886-1971) 都深受其启发, 进而给出中心极限定理的更完善发展。林德贝格直率地承认李雅普诺夫的优先权, 并致以感谢。而勒维及其他法国数学家始终未认可俄罗斯数学家的贡献。

深受泊松和柯西的影响, 很早以前李雅普诺夫就引进了特征函数和狄利克雷间断因子。这里他利用特征函数精确描述了中心极限定理的条件, 第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。这是对拉普拉斯和切比雪夫方法的发展。

另外一个从理论和应用上都应当关心的问题是, 仅知道某个概率分布渐近正态分布是不够的, 还必须知道换成正态分布后误差有多大。李亚普诺夫又给出了这个误差的一个上限, 并准确估计出正态分布随机变量和收敛的速度。[19]

后马尔可夫一直追求恢复矩方法的声誉。由于李雅普诺夫放弃了随机变量所有矩存在的条件, 马尔可夫也不得不弃之。但利用矩方法这是最基本的条件, 是无法超越的障碍。

经过8年的努力马尔可夫终于获得成功, 在《论院士李雅普诺夫所建立的概率极限定理》 (Теорема о пределе вероятности для случаевакадемика А.М.Ляпунова ) 一文中, 他创造了一种“截尾术”, 即在适当的地方截断随机变量使其有界, 这样就可以既不改变它们和的极限分布, 又能保证其任意阶矩的存在。这一成果不仅克服了特征函数法过分依赖独立性的弱点, 开辟了通向非独立随机变量研究的道路, 而且突破了特征函数仅适用于弱极限理论范畴的局限, 为强极限理论发展提供了有力的手段。应用这一技术, 马尔可夫一举实现了他多年来精确论证中心极限定理的理想, 其研究成果被收入其《概率演算》的第3版中。马尔可夫和李雅普诺夫关于概率论方法论的竞争, 极大地丰富了本世纪初概率论的内容, 对该学科的现代化产生了深远的影响。今天, “截尾术”与“对称化”、“中心化”成为现代极限理论中的三大技术, 发挥着难以估量的作用。

三结束语

圣彼得堡概率论学派所从事的中心极限定理研究还属于古典极限定理范畴。当时这门学科的基础尚未奠定, 一些重要的理论工具如集合论、测度论也不具备, 甚至概率论本身也隐藏着循环推理的致命内伤, 贝特朗 (J.Bertrand, 1822-1900) 悖论又使几何概型陷入困窘的境地。圣彼得堡概率论学派正是在这荆棘丛生、危机四伏的环境中开出一条新路。他们所完成的方法论基本变革不仅满足于严格证明的要求, 而且能够随时精密地估计试验的结果。切比雪夫引出的一系列概念和研究题材为俄罗斯以及后来苏联的数学家继承和发展。马尔可夫对“矩方法”作了补充, 圆满地解决了随机变量的和按正态收敛的条件问题。李雅普诺夫则发展了特征函数方法, 从而引起中心极限定理研究向现代化方向上的转变。

8.习题课1—数列极限2009 篇八

第一次习题课（数列极限）

一、内容提要

2n2121.数列极限定义，验证limn3n22n13.2.极限性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式）.3.极限四则运算.求limn1nn

2n(n)，limn(1nn2)

4.收敛准则（迫敛准则、单调有界准则、柯西收敛准则）.二、客观题

1.设f(x)1,x

1x1，则ff(x)___________.0,2.若数列{xx

n}与{yn}发散，问数列{xnyn}，{xnyn}，{n

y}是否一定发散？

n

3.若数列xn收敛，列yn发散，则数列xnyn是否存在？

4、若单调数列{an}含有一个收敛的子数列，则数列{an}必收敛（）.5、若数列{an}发散，则{an}必为无界数列（）.6.当（）时，有lim(k

n1n)ne.三、计算题

1.一些重要结论：

lim(n1n

nn)e，limn(n1n)ne1，limnqn0,(|q|1)，limna1,(a0)，limnn21.2.计算下列极限

（1）limsinn

nn0（M）.（2）lim

1n(2n1n2n2n2)2（求和法）.（3）lim(1

nn21

2n2n

2n2n)（夹逼）.（4）limn(113n1nn2)，（4）limn(1n2).（5）.设f(x)axa0,a1，求lim1

nn2lnf(1)f(2)f(n).1limnn1，《数学分析I》第1次习题课教案 xn1ann!（6）设xn，求极限.limnnnxn

四、证明题

1.已知limana，证明极限limn[nan]a.nn1

cos1cos2cosn2n,（n1,2,，）是收敛数列.2222..应用柯西收敛准则，证明an

3.设x1a0，xn112(xn)，证明：数列{xn}收敛并求其极限（单调有界原理）.2xn

n4.按数列极限的N定义证明limn22n210.anbnn1,2,,试证明数列{an}，bn1anbn，25.给定两个正数a1与b1(a1b1)，我们令an1

与{bn}的极限皆存在，并且limanlimbn.nn

9.勾股定理习题课教学设计 篇九

课题：勾股定理习题课

授课类型：复习课

日期：3月17日

一、教学目标：

1.会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

2.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。

二、教学重点：勾股定理及逆定理的综合应用

三、教学难点：利用方程解决翻折问题

四、教学方法：例题讲解法

五、典型例题

（一）勾股定理及逆定理的综合应用

1.（1）如图，分别以Rt △ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则S1，S2，S3之间的关系为。．

（2）以△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如果S1 +S3=S2 则此三角形是 三角形。

S

S

S2.教材29页13题

（二）利用方程解决翻折问题

3.如图，Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上，求CD的长。

A

C´

B C

D

（三）勾股定理的应用

4.一根70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中，能放进去吗？（长方体的高垂直于底面的任何一条直线）5.教材29页14题

（四）最短路程-展开图

六、家庭作业 1.教材39页9题

2.设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a,b及h.求证：

111 a2b2h23.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________。

10.中心极限定理习题 篇十

1.f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)g(a),f(b)g(b),证明：(1)(a,b),使f()g()

(2)(a,b),使f()g()证明：设f(x),g(x)分别在xc,xd处取得最大值M，不妨设cd(此时acdb)，作辅助函数F(x)f(x)g(x),往证(a,b),使F()0

令F(x)f(x)g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)F(b)0，① 当cd，由于 F(c)f(c)g(c)Mg(c)0F(d)f(d)g(d)f(d)M0由“闭.连.”零点定理，[c,d](a,b),使f()g()② 当cd，由于F(c)f(c)g(c)f(c)g(d)MM0即(a,b),使f()g()

对F(x)分别在[a,],[,b]上用罗尔定理，1(a,),2(,b)，使

在[1,2]上对F(x)在用罗尔定理，F(1)F(2)0，(1,2)(a,b)，使F()0，(a,b),使f()g().2.设数列{xn}满足0x1,xn1sinxn,n1,2,

xn存在，并求该极限(1)证明limn

xn1x1n(2)计算lim()nxn

分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可

1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn

解：易得0xn1(n2,3,)，所以xn1sinxnxn,n(2,3,)，即{xn}为

xn存在，并记为limxna,则a[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim nn

对等式xn1sinxnxn,两边令n取极限，得asina,a[0,1]，所以

a0,即limxn0.n

lim((2)n



xn1sinxn)lim()

nxnxn

2xn

2xn

令txn

lim（t0

sint)et0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t0

t

ln(sin)ttsint

ln[1(sin1)]1-1t2sintt洛cost11tt2

limlimlimlimlim t0t0t0t0t03t2t2t2t33t26

xn1xn1

所以lim()e.nxn

3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)0,f(1)1，证明：(1)(0,1),使f()1，(2)存在两个不同点,(0,1),使f()f()1

证：(1)令F(x)f(x)x1，则F(x)在[0,1]上连续，且

F(0)10,F(1)10，由“闭.连.”零点定理，(0,1),使F()0,即f()1

(2)f(x)在[0,],[,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以

(0,),(,1)，使

f()f(0)f()(0),f(1)f()f()(1)，即

f()f()

f()





1



1f()1(1)

111

f()f()

1







1

1

4.设方程xnnx10，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正



实根xn，并证明当1时，级数xn收敛.n1

证：令f(x)xnnx1,则f(x)在(0,)上连续，且

f(0)10,f()()n0

nn

所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f(x)n(xn11)0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.

由上述知，对n1,2,，有0xn,有0xn



1n

1n1n

1n

1n1，n

此外，由1知，级数

收敛，所以由正项级数比较审敛法，知

n1n

x收敛.nn1



5.求lim(cosx)

x0

1ln(1x)

x0ln(1x)

解：lim(cosx)

x0

1ln(1x)

=e

lim

lncosx，其中limln(1x

x0

lncosx)

lim

x0

ln[1(cosx1)]ln(1x)

lim

x0

x22x



(cosx)所以，limx0

ln(1x)

e



6.f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)0,f(0)0,若

af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）

0lim

af(h)bf(2h)f(0)af(h)af(0)af(0)bf(2h)bf(0)bf(0)f(0)

lim

h0h0hhaf(h)af(0)bf(2h)bf(0)[(ab)1]f(0)[(ab)1]f(0)limlimlim(ab)f(0)limh0h0h0h0hhhh

ab1

由f(0)0,f(0)0,得,即a2,b1

a2b0

解2：按解1，只要假定f(x)在x0处可导即可，但在题中“f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim

h0

h0

af(h)bf(2h)f(0)

0得 limaf(h)bf(2h)f(0)=0

h0h

即0limaf(h)bf(2h)f(0)(ab1)f(0)，由f(0)0,得ab1（1）

af(h)bf(2h)f(0)洛

limaf(h)2bf(2h)(a2b)f(0)且f(0)0,又由0lim

h0h0h

所以 a2b0（2）

由（1）、（2）得a2,b1.2esinx

.7.求lim4x0x1e

解：

2eesinx2esinx

1 limlim44x0x0xx1ee12esinx2esinx

1 limlim44x0xx01ex1e

所以 原式 = 1

8.求lim

x0

143

xx2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

xx2[1

1111

xx2o(x2)][1xx2o(x2)]22828(x0)

x2o(x2)~x2

所以

1x2

xx21limlimx0x0x2x24

解2：（洛必达法则）



xx2洛必达limlimx0x0x22x1xx1

limlim x0xx4x0x