二次函数的综合题（共15篇）（共15篇）
1.二次函数的综合题 篇一
《数形结合在二次函数中的应用》课后反思
一方面由于参加了教研中心组织的初三教师解题能力测试，另外参加了李梁老师关于初高中内容衔接的讲座，使我进一步认识到在平时的教学中渗透一些初高中衔接的内容对培养学生能力是很有帮助的。另一方面，我做了天津市07—09年中考题，尤其是二次函数的综合题，我发现用数形结合的方法会比用纯代数的方法容易很多。再者我认为学生具备较强的数形结合意识会对目前解决综合题提供较大帮助。因此我着手设计本节课。其实本节课在实施过程中，我发现学生对于这个有难度的内容对自己的确没有信心，其实学生在下面做对了，但害怕说错了。另外，由于有听课老师，学生表现出来的课堂气氛没有平常活跃。致使最后一道题没有彻底解决，从而给本节课留下了一个悬念。另外，就课上两个学生的疑问，还是说明学生对这节课的内容感到有难度。我在课后会带着学生进一步探讨问题的本质，争取让班内绝大多数同学都能对本节课有进一步的理解。
在本节课设计的过程中，的确得到了很多同仁的帮助和支持，从本节课设计伊始，雷老师就全程给予我们关心和指导。我们专家听课组的于老师也的确给予了我很多帮助。从选题到讲法都给予了我很多细致如微的指导。在此我一并表示感谢。
2.二次函数的综合题 篇二
一、利用数形结合思想求解策略
利用二次函数图像求极值问题, 是近几年各地数学中考试卷中很常见的题型, 此类题综合性比较强, 涉及的知识较广, 可以结合几何图形来解题, 实际上二次函数图像本身就是一个图形即抛物线, 图像上点的坐标就表示相关线段的长度, 点点相连成了几何图形, 实现从“数或式”到“形”的转化, 这一转化为解题创造了有利条件, 而能否熟练地解答, 则取决于是否把二者有机结合起来, 在解题中充分运用函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法.教师要适当引导学生, 使他们消除学习定势对解题思路的阻碍, 培养他们利用数形结合解题的技巧和能力.
例1:已知函数y=x2+bx+2的图像经过点 (3, 2) .
(l) 求这个函数的关系式; (2) 画出它的图像; (3) 根据图像指出:当x取何值时, y≥2?
分析: (1) 利用待定系数法, 可以求出b的值, 从而获得函数表达式; (2) 根据函数关系式画出函数图像; (3) 借助函数图像, 由“形”想“数”, 要“确定y=2时, x的取值范围“就是要求位于“直线y=2上方”图像的自变量取值范围.
解: (1) 根据题意, 得2=9+3b+2, 解得b=-3.所以函数关系式为y=x2-3x+2.
(2) 易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为 (1, 0) , (2, 0) , 与y轴的交点坐标为 (0, 2) , 对称轴为函数y=x2-3x+2的图像如图1所示.
(3) 根据图像可得, 当y=2时, 对应的x值为0和3.因此, 当x≤0或x≥3时, y≥2.
二、利用方程思想求解策略
二次函数图像与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时, 该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是:△>0, △=0和△<0.要判定△的值的情况, 往往要将函数y=ax2+bx+c (a≠0) 右边配方成完全平方式去确定交点个数.由此可见两者关系非常“密切”.在思路上要分清:方程与△值, 函数与x轴交点, △值与x轴交点之间的关系.而当二次函数y=ax2+bx+c (≠0) 中y=0时, 二次函数就转化为一元二次方程ax2+bx+c=0, 根据一元二次方程根与系数关系可以求出二次函数与x轴两个交点间的距离.
例2:如图2, 一元二次方程x2-3x+2=0的两根x1、x2 (x1
(1) 求此二次函数的解析式;
(2) 设此抛物线的顶点为P, 对称轴与线段AC相交于点Q, 求点P和Q的坐标;
(3) 在x轴上有一动点M, 当MQ+MA取得最小值时, 求M点的坐标.
分析: (1) 求出方程的两个根, 就相当于知道了B, C两点的坐标, 进而由A、B、C三点的坐标, 利用待定系数法, 很容易求出二次函数的解析式; (2) 要求交点Q的坐标, 只要将该抛物线的“对称轴方程”与“直线AC的解析式”联立得方程组, 解这个方程组就可得到; (3) 要求“MQ+MA”的最小值时, 只需作点A关于x轴的对称点即可, 用对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决.
解: (1) 解方程x2-3x+2=0, 得x1=-3, x2=1.所以抛物线与x轴的两个交点坐标为C (-3, 0) , B (1, 0) .
将A (3, 6) , B (1, 0) , C (-3, 0) 代入抛物线的解析式, 求得所以抛物线解析式为
(2) 由得抛物线顶点P的坐标为 (-1, -2) , 对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=3k+b, 将A (3, 6) 、C (-3, 0) 代入, 求得k=1, b=3, 所以直线AC的函数关系式为y=x+3.而Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点其方程为x=1, 两方程联立方程组, 解得x=-1, y=2, 所以点Q坐标为 (-1, 2) .
(3) 作A点关于x轴的对称点A′ (3, -6) , 连接A′Q, A′Q与x轴交点M即为所求的点.
设直线A′Q的函数关系式为y=kx+b.把A′ (3, -6) 、Q (-1, 2) 代入求解, 得b=0, k=-2.所以直线A′Q的函数关系式为y=-2x令x=0, 则y=0, 所以点M的坐标为 (0, 0) .
评析:求两个函数图像的交点问题, 其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图像的关系是, 若点的坐标满足函数关系式, 则点在函数图像上, 反之也成立本题中的第三问改为“若在y轴上有一动点N, 当NO+NA取得最小值时, 求N点的坐标”.
三、利用建模思想求解策略
对于有些简单实际问题, 可以利用二次函数进行求解.如有关最大利润、用料最省、最低成本等问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一此类题型要求学生会运用面积法、勾股法、相似法、利润法等建立函数模型, 然后利用二次函数的性质解答.这样可以培养学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力.
例3:某商店经销甲、乙两种商品.甲、乙两种商品的进货单价之和是5元, 甲商品零售单价比进货单价多1元, 乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元.按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件, 共付了19元.问:
(1) 甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
(2) 该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现, 甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元, 这两种商品每天可各多销售100件.为了每天获取更大的利润, 商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下, 当m定为多少时, 才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少?
分析: (l) 据题意设出未知数, 列方程组求解; (2) 根据利润=甲、乙两种商品每件的利润×销售数量, 转化为二次函数并配方, 根据图像性质求得最大利润.
解: (1) 设甲商品的进货单价是x元, 乙商品的进货单价是y元.根据题意知x+y=5和3 (x+1) +2 (2y-1) =19x, 两方程组成方程组求得x=2, y=3.
答:甲商品的进货单价是2元, 乙商品的进货单价是3元.
(2) 设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w元, 则
当m=0.55时, w有最大值, 最大值为1705.
答:当m值为0.55时, 才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大, 每天的最大利润是1705元.
综上所述, 解答二次函数综合题, 总的来讲要冷静分析, 缜密思考, 耐心梳理, 吃透题意, 运用二次函数有关性质, 同时要善于据题意采取有关数学思想:如方程的思想、数形结合思想、建模思想等, 确定解题策略, 并正确求解.
摘要：二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的知识面广, 是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系规模最大的内容之一.要解决好此类题目需要有扎实的基础知识, 较强的分析、演算、理解能力, 因此是近年来各地中考命题的重点和热点, 引起人们的广泛关注.它主要以压轴题的形式出现, 本文列举几例, 探究二次函数综合题的解题策略.
关键词：二次函数,综合题,解题策略
参考文献
[1]王赛英.新课程理念下中考“压轴题”的解题思路「J].数学通报, 2005 (02) .
[2]董玉成.我国当代中学函数教育特征研究[D].华东师范大学, 2007.
3.二次函数的综合题 篇三
中考压轴题希望遏制“题海战术”，注重试题公平性与原创性，注重试题的过程立意与能力立意。福建省莆田市2011年中考数学试卷第24题，是经过命题者精心编制的以二次函数为背景的压轴题，具有典型性、示范性、拓展性、研究性并有多种不同的解法。只有教师认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能让自己从一个单纯的执行者转变为开发者，从而能够更好地训练学生思维的创造性，教学也必将更加有效。现分析如下；
一、试题展示
已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与轴交于点A、B两点，与轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）
①如图1，当△PBC的面积和△ABC面积相等时，求点P的坐标；
②如图2，当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式（图略）
二、试题功能分析
本题作为试卷的压轴题之一，试题以二次函数为载体，条件简洁、内涵丰富；在代数与几何的核心知识交汇，融几何性质与代数运算为一体。试题通过面积相等与角度相等两个条件，通过点的运动带来的面积变化以及图形变化，考查的知识代数中有函数的解析式、图象与性质等，几何中有相似、全等、面积等内容。突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、化归转化、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题重视方法，思维的考查，重视一题多解、重视用运动的观点来分析问题，解决问题的能力考查。试题呈现科学性、思想性和导向性。本题结论开放、方法开放、思路开放，因而能有效地反映高层次思维，能给予优秀学生充分施展才能的空间。同时该试题的考核也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求，因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，培养学生的创造意识与创新能力。
三、试题解法荟萃（例试解法略）
四、试题解答情况
1、得分情况
本题难度0.16、区分度0.38，各个分数段分布如下： （图略）因统计含缺考等所以零分的人较多，若不考虑零分，显然试题能让不同水平的学生充分展示自己不同的探究深度， 较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知以及运用知识解决问题的能力。试题在注意控制难度的同时，又有恰当的区分度，不仅有利于高一级学校选拔合格的新生，而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担有良好的导向作用。
2、典型错误：
（1）设y=a（x-2）2-3错把a（x-h）2+k与函数上点（10，3）等同起来
（2） ①学生直接利用面积相等，计算量很大，不能正确运算或只求出 P1 （2，1） ，漏掉P2、P3。对同底等高的三角形面积相等性质不清，在方法上还不够灵活，思维不够全面。
②中学生直接解答由∠PCB=∠BCA △ABC≌△PBC，然后得出点P的坐标。
连接PB认为PB与AD分别为△ABC和△PBC的高，因为S△ABC=S△PBC所以AD=PB，忽视了PB是否是 △PBC的高，即PB是否一定垂直于CB。主要原因：学生对知识理解存在错误认识，思维存在偏差。评卷中发现学生大都只想求出点P的坐标，未能把握知识和方法的迁移与应用、等价与转化，从而没有思路或思维单一，无法入手。
五、试题教学启示
研究以二次函数为背景的解答题，可以发现试题的设计大都由简单到复杂的两到三个问题组成，由浅入深，逐层递进，涵盖了图形与坐标、图形与变换、函数图像与性质等核心知识，突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题一般不会以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动，使几何图形发生变化，从而让函数与几何有机结合起来。试题所运用的知识类型主要有两种。一是以建立函数模型为主的代数综合性问题、二是代数与几何有机结合的综合性问题。其中运动型问题居多，常见的有：（1）设置动点。通过点的运动对图形产生的影响，探求有关图形形状问题、最值问题、存在性问题等。（2）设置图形的平移、翻折与旋转。在图形的运动变化过程中，寻找规律，用函数研究变化的图形中的数量关系。
二次函数是中考的重点与热点，复习二次函数应掌握二次函数的基本概念、图像与性质的相互联系和相互转化，掌握二次函数与方程、不等式等知识的交汇与综合。注重教材的内涵、注重过程和联系、注重构建二次函数有关的知识网络。利用数形结合法，抓住图象特征掌握二次函数的性质是解决问题的主要方法。复习中应强化数形结合意识，掌握函数的基本技能和方法，注意观察、归纳、分析、比较，总结基本的方法、规律。其中常见的有：利用函数图像比较函数值的大小；利用函数图像求方程的近似解；利用函数图像求实际问题中的最大值与最小值等。要求学生会观察图像，利用数形结合的思想解决一些实际问题。
4.二次函数的综合题 篇四
（二次函数与线段、面积最值综合题型）
一．
突破与提升策略：
1．面积最大值
（1）三角形有一条边在坐标轴上：
以在坐标轴上的边为底边，过不在坐标轴上的顶点作垂线；
（2）三角形的三边都不在坐标轴上：
过其中一个顶点作平行于坐标轴的直线(应用最多)；
（3）四边形有两边在坐标轴上：
过不在坐标轴上的顶点作坐标轴的垂线.2.面积倍数关系：先求出其中一个图形的面积，再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间的面积关系，列方程求解；或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解．
二．典型题提升练习
1.如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4)，与坐标轴交于B，C，D三点，且B点的坐标为(－1,0)，(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数的图象位于x轴上方部分有两个动点M，N，且点N在点M的左侧，过点M，N作x轴的垂线交x轴于点G，H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
2.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是多少？
3.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC.求线段PM的最大值；
4.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
5.在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，已知A(1,4)，B(3,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)探究：如图①，连接OA，过点D作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
(3)应用：如图②，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m＋n＝－1，连接PA，PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．
提示：若点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为.6.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y
轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横
坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
7.如图，抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
8.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0,3）．
（1）求b，c的值；
（2）直线l与x轴交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式．
9.如图①，抛物线y＝－x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将
直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．
10.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC.(1)
求抛物线的解析式；
(2)
点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为；
(3)
点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
(4)
若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.11.如图所示，抛物线过点A（－1，0），点C（0，3），且
OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边
形ACDE的周长的最小值，（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5
两部分，求点P的坐标．
12.如图,已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(－5,0),B(－4,－3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC＝∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图，已知抛物线经过点（-1,0）、（5,0）.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积
（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）
14.如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，点为抛物线上一动点（不与、重合）．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）当点在直线l上方的抛物线上时，过点作轴交直线l于点，作轴交直线l于点，求的最大值；
5.二次函数的图象和性质 篇五
函数是中学数学学习的重要内容，函数概念通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。这种变化与对应的思想对于中学生来讲，学习起来非常困难。虽然，函数图像将函数的数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法，但在没有信息技术支持下的教学，研究函数图像对教师来讲也是较为困难的一件事。
二次函数教学时间约为 10课时，下面是第一课时的教学设计，此时学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和反比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值的方法解决实际问题．
二、教学目标：
知识技能
1．探索并归纳二次函数的定义；
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
数学思考：
1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法；
2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
解决问题：
1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；
2.能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。
情感态度：
1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；
2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．
三、教学重点、难点：
教学重点： 1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
教学难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．
四、教学方法：教师引导——自主探究——合作交流。
五：教具、学具：教学课件
六、教学媒体：计算机、实物投影。
七、教学过程：
[活动1] 温故知新，引出课题。
师：对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?
生：学过正比例函数，一次函数，反比例函数．
师：那函数的定义是什么，大家还记得吗?
生：记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
师：能把学过的函数回忆一下吗?
生：可以。
一次函数y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）
正比例函数y＝kx（k是不为0的常数）
反比例函数y=k/x（k是不为0的常数）
师：学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗?
生： 定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。
师：很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱．
师生行为：教师提出问题，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。
教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，对于一些概括性较强的问题，教师要进行适当引导。
设计意图：由复习回顾旧知识入手，通过回顾已经学过的函数的相关知识，对要探究的新的函数有个明确的方向，让学生由旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律，由浅入深，由表及里，逐渐深化。
[活动2]创设情境 探究新知：
问题
1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为是什么？
2．多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？
n边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作＿＿＿＿条对角线。因此，n边形的对角线总数d =＿＿＿＿＿＿。
3．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为。
4． 问题2中有哪些变量?其中哪些是自变量? 大家根据刚才的分析，判断一下式子中的d是否是n的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗?问题3呢？
5．观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？
师生行为：教师在大屏幕上逐一提出问题，问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正，问题4、5小组讨论完成，教师做适当的引导，点拨，得出问题结论。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。教师重点关注：1．强调几个注意的问题：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。（2）a,b,c为常数，且a≠0；（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（4）x的取值范围是任意实数。
2．学生在探究问题的过程中，能否优化思维过程，使解决问题的方法更准确。设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，并让学生感受到身边的数学，激发学生学习数学的好
奇心和求知欲。学生通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础。
[活动3] 例题学习内化新知
问题
例1，下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项。
(1)y=3(x-1)²+1(2)y=x+5
(3)s=3-2t²(4)y=(x+3)²-x²
(5)y=-x(6)v=10∏r²
2例2，函数 y=（m-3）x-3x+5
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）m取什么值时，此函数是二次函数？
师生行为：教师出示例1，同学们稍加考虑即可获得问题的结论，进而引出例2，例2让学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师再组织各小组展示自己的讨论结果，共同得到正确是结论，并获得解题的经验。
教师重点关注：（1）探究中各小组是否积极展开活动；（2）学生对二次函数概念是否理解透彻，应用是否得当；（3）教师在小组中巡视，尽可能多给学生一点思考的时间和空间，对学习有困难的学生适当引导。
设计意图：通过例1的设计，有利于学生对二次函数的概念的理解，边学边练，为下一个讨论做铺垫；例2中三个问题的设计，由浅入深，层层递进，在复习旧知的同时获得解决新问题的经验，进一步内化新知、突破难点。整个探究过程都是让学生自己去探索，在探索中发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，增强学生创造的信心，体验到成功的快乐。
[活动4] 练习反馈巩固新知
问题：
（1）P80．练习1、2
m-2（2）若y=3x+6x-4 是二次函数，求m的值．
师生行为：教师提出问题，问题（1）学生独立思考后写出答案，师生共同评价；问题（2）学生独立思考后同桌交流，指名口答结果，教师强调正确解题思路；
教师重点关注：学生能否准确用二次函数表示变量之间关系；学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，注重培养学生正确的思路和方法，积累解题经验。
设计意图：问题（1）是从简单的应用开始，及时巩固新知，让学生获得用二次函数表示变量之间关系的体验；问题（2）是让学生对二次函数定义很深层次的理解，培养数学思维的严谨性；
八、自主小结，深化提高：
请同学们谈谈本节课的体会和收获，各抒己见，不拘泥于形式，教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确。
设计意图：学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。
九、分层作业，发展个性：
十、教学反思：
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。二次函数第一课时，教材中安排的内容不多，但学生对函数的知识已经生疏，接受起来不会很顺
6.二次函数的实际应用的反思 篇六
张珺瑕
二次函数的实际应用，根据自己书写的教案，从教材分析、教学方法、学法及教学手段的选择、教学过程设计等方面做出具体的说明。
教学内容的地位、作用和意义，二次函数的实际应用是课标版教材第九册第二十章第5节的内容，该知识是在二次函数图像及性质、二次函数解析式的确定之后学习的一个理论联系实际的内容，加强了方程等内容与函数的联系，进而培养了学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力，通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。
本节内容突出体现了《数学课程标准》的要求：初中阶段学生能够结合具体情境发现并提出数学问题建立数学模型，从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题，验证解的正确性与合理性，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。教学目标：（1）、使学生能够运用二次函数的图象和性质解决实际问题。（2）、培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力）。教学重点：（1）、使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；（2）、使学生掌握将生活信息转化为数学问题的方法。教学难点：培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并应用二次函数的图象和性质加以解决，最后回归实际问题的能力．
教学方法、学法及教学手段的选择
二次函数的实际应用是中学数学中的重点与难点。为了充分体现“加强主体教学的要求”结合我所教班级的实际情况，本节课由教师创设问题情境，引发学生思考，经过学生的自主探究与小组合作交流完成数学建模过程，从而解决实际问题。为了直观地反映一些数量关系，便于学生观察，我运用了计算机辅助教学。
关于教学过程的设计：设计思路：教师创设问题情境 → 学生自主+合作完成数学建模 →一题多解思维拓展 → 掌握建模关键点形成解题技能。
7.多角度透视函数综合题的解答路径 篇七
下面举例分析函数综合题的解答路径.
一、导数的应用
导数是研究函数性质的重要工具, 从定义域出发, 用导数工具研究函数的单调性、最 (极) 值、值域等性质, 这是解答函数问题的通性通法.
例1 已知定义在R上的函数f (x) 的值域是 (-∞, 0], 并且f (x) 是单调函数, 则方程[f (x) ]3- 3f (x) - 1 = 0 的解的个数是 ( ) .
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
解析:令t=f (x) , 则有t3-3t-1=0.令g (t) =t3-3t-1, 则g′ (t) =3t2-3=3 (t+1) (t-1) , 可知g (t) =t3-3t-1 的图象如图1所示.
所以方程t3-3t-1=0有三个不同的解, 其中两个解是负的.已知函数f (x) 的值域是 (-∞, 0], 并且f (x) 是单调函数, 所以[f (x) ]3-3f (x) -1=0有两个不同的解.
故选B.
评注:这是一道涉及函数、方程、求导方法等知识的综合题, 主要考查分析问题、解决问题的能力, 考查对转化、变形、构造函数等方法的掌握, 考查导数的应用及画函数图形的几何直观思想, 属于难度较大的新颖题.
二、构造函数
对于某些没有函数的数学问题, 或者虽然有函数, 但通过一定的变形, 可以构造出新的函数的问题, 我们可以通过构造函数, 利用导数的相关知识来处理, 使问题快速获解.
所以f (θ) =C (常数) .
因为f (0) =1+cos2α-2cos2α-sin2α=0,
所以f (θ) =0.
故cos2θ+cos2 (α+θ) -2cosαcosθcos (α+θ) =sin2α.
评注:构造函数并求导, 若其导函数的值为零, 则该函数就是常值函数.这里是通过作差来构造函数, 有时, 也可以通过作商来构造函数, 或者先变形然后再通过作差来构造函数.构造函数的方式不同, 可使问题求解的繁简程度不同.例如:当x>0时, 求证:ex>x2.若构造函数f (x) =ex-x2, 需二次求导, 解答较复杂;若构造函数, 用一次求导就可以了;若把所证不等式ex>x2等价变形为x>2ln x, 通过作差构造函数h (x) =x-2ln x, 解答也很简单.看来, 解题思维的灵活性、变通性需要通过不断地琢磨、感悟来培养.
例3 已知a, b, c为正实数, 且a+b+c=12, ab+bc+ca=45, 试求abc的最大值和最小值.
解析:由a+b+c=12, 得a+c=12-b, 将其代入ab+bc+ca=45的变形式b (a+c) +ca=45, 得b (12-b) +ca=45, 即ca=b2-12b+45.
于是, 有函数f (b) =abc= (b2-12b+45) b=b3-12b2+45b (2≤b≤6) , 求导, 得f′ (b) =3b2-24b+45=3 (b-3) (b-5) .令f′ (b) =0, 得b=3或b=5.
当2≤b<3时, f′ (b) >0;当3<b<5时, f′ (b) <0;当5<b≤6时, f′ (b) >0, 于是, 函数的最大值为[f (b) ]max= max{f (3) , f (6) }=54.
不难得到, 当a=3, b=6, c=3, 或a=6, b=3, c=3, 或a=3, b=3, c=6时, abc取得最大值54.
函数的最小值为[f (b) ]min=min{f (2) , f (5) }=50.
不难得到, 当a=2, b=5, c=5, 或a=5, b=2, c=5, 或a=5, b=5, c=2时, abc取得最小值50.
评注:这个解法妙在把三个变量的问题转化为一个变量的问题来求解, 其中代入消元是关键.构造函数后, 还需要特别注意函数的定义域.三个变量的函数最值问题同学们可能都比较陌生, 而一个变量的函数最值问题大家就比较熟悉了, 这体现了函数思想和化归与转化思想的巨大作用.
三、参数的处理
函数综合题中多涉及参数, 处理参数常见的方法有:参数的分类讨论、消参数、分离参数等, 这些处理方法的使用需要读者在做题、读题的过程中去总结和把握.
例4已知函数.
(1) 当a≤1/2时, 讨论f (x) 的单调性;
(2) 设g (x) =x2-2bx+4, 当a=1/4时, 若对任意x1∈ (0, 2) , 存在x2∈[1, 2], 使f (x1) ≥g (x2) , 求实数b的取值范围.
解析: (1) 当a≤0时, 函数f (x) 在 (0, 1) 上单调递减, 在 (1, +∞) 上单调递增;
当a=1/2时, 函数f (x) 在 (0, +∞) 上单调递减;
当0<a<1/2时, 函数f (x) 在 (0, 1) 上单调递减, 在上单调递增, 在上单调递减. (过程略)
(2) 已知a=1/4∈ (0, 1/2) , 由 (1) 知函数f (x1) 在 (0, 1) 上单调递减, 在 (1, 2) 上单调递增, 从而在 (0, 2) 上有.
由题意知只需[f (x1) ]min≥[g (x2) ]min即可, 解得b≥ (17) /8.
综上, 实数b的取值范围是[ (17) /8, +∞) .
评注:第 (2) 问的求解关键是将问题转化为求[f (x1) ]min≥[g (x2) ]min的相关问题.
例5 设函数f (x) =x3+3bx2+3cx有两个极值点x1, x2, 且x1∈[-1, 0], x2∈[1, 2].求证:-10≤f (x2) ≤- (1/2) .
解析:f′ (x) =3x2+6bx+3c, 由题意可知, x1, x2是关于主元x的一元二次方程3x2+6bx+3c=0的两个实数根, 从而由根与系数的关系, 得x1+x2=-2b, x1x2=c.
下面研究函数的单调性.
因为x1∈[-1, 0], x2∈[1, 2],
这说明函数在[1, 2]上是递减函数, 于是有f (2) ≤f (x2) ≤f (1) , 即-4+6x1≤f (x2) ≤- (1/2) + (3/2) x1.
因为x1∈ [-1, 0], -4+6x1和- (1/2) + (3/2) x1均是增函数,
评注:对于多参问题, 视其中一个参数为“主元”, 其余为常数, 将此看作一个一元函数, 用函数的单调性就可获得不等式的证明, 请读者回味并琢磨思考之.类似的题目是:设函数f (x) =x3+3bx2+3cx有两个极值点x1, x2, 且x1∈[-1, 0], x2∈[1, 2], 试求函数值f (x1) 的取值范围.请给出你的答案.
四、不等式的证明
对于此类问题, 可通过构造函数, 利用导数研究所构造函数的单调性, 获得函数最值, 进而证明目标不等式.其中, 代数变形的方法不同, 可能建构的函数就不同, 其解题难度就有一定的区别.
例6 (2015年安庆市模拟) 已知函数.
(1) 若f (x) 在区间 (-∞, 2) 上为单调递增函数, 求实数a的取值范围;
(2) 若a=0, x0<1, 设直线y=g (x) 为函数f (x) 的图象在x=x0处的切线, 求证:f (x) ≤g (x) .
解析: (1) 由已知, 得.
由已知, 得f′ (x) ≥0对任意x∈ (-∞, 2) 恒成立.
故由x≤1-a对任意x∈ (- ∞, 2) 恒成立, 得1-a≥2, 则a≤-1即为所求.
(2) 证明:若a=0, 则.
函数f (x) 在x=x0处的切线方程为y=g (x) =f′ (x0) (x-x0) +f (x0) .
当x=x0时, f (x) =g (x) .
当x≠x0时, 要证f (x) <g (x) , 即证f (x) -g (x) <0.
令h (x) =f (x) -g (x) =f (x) -f′ (x0) (x-x0) -f (x0) (作差构造函数) , 则
设φ (x) = (1-x) ex0- (1-x0) ex, x∈R (再次局部构造函数) , 则φ′ (x) =-ex0- (1-x0) ex.
因为x0<1, 所以φ′ (x) <0.
所以φ (x) 在R上单调递减.
而φ (x0) =0,
所以当x<x0时, φ (x) >0, 当x>x0时, φ (x) <0;
即当x<x0时, h′ (x) >0, 当x>x0时h′ (x) <0.
所以h (x) 在区间 (-∞, x0) 上为增函数, 在区间 (x0, +∞) 上为减函数.
所以当x≠x0时, h (x) <h (x0) =0, 即有f (x) <g (x) .
综上所述, f (x) ≤g (x) .
评注:上面的证明中构造了两次函数, 其实, 将所要证明的不等式变形, 则只需构造一次即可.不等式, 构造函数.所以[h (x) ]max=h (x0) =0, 于是h (x) ≤0.原不等式获证.
例7 (2015年西北工业大学附中模拟) 已知函数f (x) =ex.
(1) 当f (x) ≥ex+a对任意的实数x恒成立, 求a的取值范围;
解析: (1) 设g (x) =f (x) -ex-a, 则g′ (x) =ex-e.
由g′ (x) >0, 得x>1;由g′ (x) <0, 得x<1.所以g (x) 在 (1, +∞) 上单调递增;在 (-∞, 1) 上单调递减.
所以[g (x) ]min=g (1) =-a≥0, 从而可得a的取值范围为a≤0.
(2) 证明:设a=ln m, b=ln n, 则所证不等式可化为.
构造函数.
可以证明h (x) 在 (1, +∞) 上为增函数, 则当x>1时, h (x) >h (1) =0.
若x<y, x, y∈R, 求证:
(2013年陕西高考试题) . (*)
事实上 (*) 式等价于2ey-2ex< (y-x) · (ey+ex) .
构造函数h (y) = (y-x) (ey+ex) - (2ey-2ex) (x<y, x, y∈R) (视x为常数, y为变量, 获得1元函数) .
求导, 得h′ (y) = (y-x) ey- (ey-ex) (难求零点, 需要再构造函数) .
构造函数g (y) = (y-x) ey- (ey-ex) (x<y, x, y∈R) , 求导, 得g′ (y) = (y-x) ey>0 (x<y, x, y∈R) , 所以函数g (y) = (y-x) ey- (ey-ex) 在 (x, +∞) 上是增函数, 得g (y) >g (x) =0, 也就是在 (x, +∞) 上h′ (y) >0, 从而, 函数h (y) 在 (x, +∞) 上是增函数, 得h (y) >h (x) =0, 故 (*) 式获证.
五、综合题探究
在解答函数综合性问题时, 要善于挖掘问题的本质, 建立知识之间的联系, 并要会活用坐标方法、三角方法、导函数方法、向量方法等解题方法, 择优而用之.
例8 某建筑物内有一个水平直角型过道如图2所示, 两过道的宽度均为3m, 有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道, 若该设备水平截面矩形的宽为1m, 长为7m, 问:该设备能否水平移进拐角过道?
解析:由题设, 我们分别以直线OB, OA为x轴, y轴建立直角坐标系, 问题可转化为:求以M (3, 3) 点为圆心, 1为半径的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截得的线段AB的长的最小值.
设直线AB的方程为, 因为它与圆 (x-3) 2+ (y-3) 2=1相切,
又因为原点O (0, 0) 与点M (3, 3) 在直线的异侧,
下面求的最小值.
再设t=sinθ+cosθ, 因为θ∈ (0, π/2) , 所以.代入 (3) , 得, 所以rt2-6t-r+2=0.
8.二次函数的综合题 篇八
关键词：二次函数；存在性；数形结合
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）16-081-02
二次函数与三角形、四边形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在，某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。
探究一、二次函数与三角形的结合
例1、如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点.
①若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.
分析：
（1）抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点B的坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点的坐标吗？ （2）要求抛物线解析式应具备哪些条件？ 由a=1，A（-3，0），B（1，0）三个条件试一试； （3）根据 列出关于x的方程，解方程求出x的值； （4）如何用待定系数法求出直线AC的解析式？ （5）D点的坐标怎么用x来表示？ （6）QD怎样用含x的代数式来表示？ （7）QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？ 解：（1）由题意知：点A与点B关于直线x=-1对称，A（-3，0），∴B（1，0）.
（2）①当a=1时，则b=2，把A（-3，0）代入 中得c=-3，
∴该抛物线解析式为 ，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
当 时， ；
当 时， ；
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）.
②∵A（-3，0），C（0，-3），则直线AC的解析式为y=-x-3.
设点Q为（a，-a-3），点D为（ ， ），
∴
当 时，QD有最大值，其最大值为 。
探究二、二次函数与四边形的结合
例2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方抛物线上的一动点。
（1）求这个二次函数的解析式.
（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
分析：
（1）图中已知抛物线上几个点？ 将B、C的坐标代入求抛物线的解析式； （2）画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？ （3）由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求△BPC的最大面积.
解：（1）将B、C两点的坐标代入 ，得 ，解得
∴这个二次函数的解析式为 。
（2）假设抛物线上存在点P（x， ），使得四边形POP′C为菱形，连接PP′交CO于点E，∵四边形POP′C为菱形，∴PC=PO，PE⊥CO，∴OE=EC=32，∴P点的纵坐标为 ，即 ，解得 ， （不合题意，舍去）。∴存在点P（ ， ），使得四边形POP′C为菱形。
（3）过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交OB于点F，设P（x， ），由 得点A的坐标为（-1，0），∵B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，-3），∴直线BC的解析式为：y=x-3，∴Q点的坐标为（x，x-3），
∴AB=4，CO=3，BO=3， ，
∴当x=32时，四边形ABPC的面积最大.，此时P点的坐标为（ ，四边形ABPPC的最大面积为 。
9.二次函数的最值问题 篇九
雷州市第一中学 徐晓冬
一、知识要点
对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。
二、典例讲解
例
1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。
例
2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。
变式
1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。
点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例
3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。
例
4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。
三、练习
1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。
2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．
3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。
4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga
5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．
10.二次函数复习 篇十
在二次函数复习这节课中，围绕（1）二次函数的定义（2）二次函数的图像、性质与a、b、c的关系（3）二次函数解析式的求法（4）数形结合这四个知识点进行练习。下面我要谈的是我对高老师这节课的反思：
首先，高老师在课堂上，高老师对知识的掌握很有深度，所以高老师课堂上的习题深度掌握很好，做到了面向全体。
其次，本节课体现的是分层教学，在课堂上的教学环节处处体现分层，无论是提问中得分层，还是习题中的分层做的都很好，这说明高老师对于分层教学的这种方法运用自如得当，真正的站在学生的角度来分层。
第三，课堂上的语言精辟，尤其是评价性的话语很多，很丰富。真正做到让学生为老师的一句话而振奋，因为为了争得老师的一句话而好好做题等等，这是我一直以来欠缺的一个重要点。
那么针对以上几点，我从自己的角度思考，收获了以下这些：
1.上课之前一定要反复的推敲，琢磨课本，找出本节课知识的“灵魂”，然后站在学生的角度，仔细研究，如何讲授学生们才能愿意听，才能听得明白。尤其不能把学生想像的水平很高，不是不自信，而是不能把学生逼到“危险之地”，以免打击自尊心，熄灭刚刚点燃的兴趣之光，真正做到“低起点”。
2.既然选择和实施了分层教学，就应该多下功夫去琢磨，去进行它。既然是分层就应该把它做到“顺其自然”，而不仅仅是一种形式。在分层的同时应该找到一个点，就是说，这个点上的问题是承上启下的，是应该全班都能够掌握的。对于尖子生，不能在课堂上想让他们吃饱，对于他们应该在课下，或者是采用小纸条的方法单独来测试，不能为了他们的能力把题目难度定的过高。再者，分层应该体现在一节课的所有环节，例如，在提问时，对于一个问题应该分层次来提，来回答。
3.应该及时地，迅速的提高自己的言语水平。
一堂课的精彩与否，教师的课堂语言也是很重要的一个方面，例如一节课的讲授过程，或者是对于学生的评价等等，督促自己多读书，多练习，以丰富自己的语言。
11.二次函数的综合题 篇十一
例1证明：-33≤sinx2-cosx≤33.
证明依题设结构，构造以±33为零点的二次函数，记f（t）=t-33t+33，由二次函数图像性质，欲证-33≤sinx2-cosx≤33成立，只需证f（sinx2-cosx）≤0即可.由f（sinx2-cosx）=sin2x2-cosx2-13=3sin2x-2-cosx232-cosx2=-1-2cosx232-cosx2≤0成立，故原不等式成立.
点评此题证明没用到三角中变形求值域方法，而是由结构巧妙构造二次函数零点式，依二次函数的函数值与不等式解集之间的紧密关系，数与形有机结合，方法美妙，令人印象深刻.对于证a≤f（x）≤b的形式的不等式，一般可考虑构造二次函数零点式来解决.
例2（数学通报201412期问题征解2217）设长方体的长宽高分别为a，b，c（a>b>c），p为长方体各棱长之和，为表面积，d为一条对角线，求证：a>13p4+d2-12s，c<13p4-d2-12s.
解析由求证结构形式，不妨构造以x1=13p4+d2-12s，x2=13p4-d2-12s为零点的二次函数，由韦达定理知x1+x2=p6=23a+b+c，x1x2=19p216-d2+12s=19[a+b+c2-a2+b2+c2+ab+bc+ac]
=13ab+bc+ac，构造二次函数f（x）=3（x-x1）（x-x2）=3x2-2a+b+cx+ab+bc+ac，由函数对称轴为x=a+b+c3，又a>b>c，故a>a+b+c3>c，又由f（a）=3a2-2a+b+ca+ab+bc+ac=
a2-ab+bc-ac=（a-b）（a-c）>0，f（c）=3c2-2a+b+cc+ab+bc+ac=c2+ab-bc-ac=（c-b）（c-a）>0，故c 点评此题用一般方法较难下手，而构造二次函数的零点式，问题的解决得以易乎寻常的顺畅.2巧比大小 例3设函数f（x）=ax2-x，g（x）=x-a（a>0），若p，q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足0 证明由f（x）-g（x）=0的两根为p，q，构建零点式，则f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），由x∈（0，p），且0 又f（x）-p-a=g（x）+a（x-p）（x-q）-p-a=x-p+a（x-p）（x-q）=x-pax-q+1a，由0 综上所述，gx 例4已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，方程f（x）-x=0的三根满足0 解析由题意，x1，x2，x3为方程f（x）-x=0的三根，构建零点式得f（x）-x=x-x1x-x2x-x3，由-ca+b+c=-f（0）[f（1）-1]=x1x2x31-x11-x21-x3，又由0 点评例3与例4是涉及到二次或三次函数的根的不等关系的证明问题，若按常规采用一般式方程进行处理，问题将变得较为复杂.一般地，一些二次或三次函数的题目中涉及方程的根时，常利用其零点式进行化归处理，可大大优化解题过程与步骤. 例5（2010年湖北龙泉中学考试题）已知实数a1 a1a2+a1a3+a2a3=b1b2+b1b3+b2b3，且a1 A.1B.2C.3D.4 解析由三次方程根与系数关系，构建三次函数f（x）=x-a1x-a2x-a3=x3-a1+a2+a3x2+ a1a2+a1a3+a2a3x-a1a2a3，a1 b1b2+b1b3+b2b3x-b1b2b3，b1 b1b2+b1b3+b2b3，则函数g（x）即为函数f（x）向下作了部分平移而得，如右图示： 故由图知（1）（2）显然正确，且a1a2a3 则（4）不对.故正确的为2个，选B. 点评在一些题目中，根据一元二次方程或一元三次方程的根与系数的关系可构造二次函数或三次函数零点式，巧妙解决一些数学问题，可起到让人耳目一新的效果.3解决不定方程问题 例6两个正整数的和比积小2015，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是. 解析由两正数的和与积，联想二次函数零点式，不妨设此两正整数分别为m，n（m>n>0），记f（x）=（x-m）（x-n），依题意，mn-m-n=2015，故f（1）=（1-m）（1-n）=2016=25×7×32，由m，n中有一个为完全平方数，则m-1=672， n-1=3，或m-1=84， n-1=24，或m-1=288， n-1=7.故m=673， n=4，或m=85， n=25，或m=289， n=8.所以m-n=669或60或281. 例7已知函数f（x）=x2+ax-a+2（a∈Z）有两个不同的正整数零点，求整数a的值. 解析不妨设此函数零点为m，n，则f（x）=x-mx-n，则由题意，m+n=-a，mn=2-a，故mn-m-n=2，则f（1）=1-m1-n=3，由m，n为不同的正整数零点，则m-1=1， n-1=3，或m-1=3， n-1=1. 所以两正整数只能为2，4，则a=-6. 点评当涉及两数和与积结构时，可联想二次函数零点式，在解决不定方程问题时，有时可使有关问题的解法变得简洁、明快. 零点式的应用是相当广泛的，不但二次与三次可利用其零点式解决问题，甚至一次函数也是如此.如像不等式证明中a 课题：一元二次函数性质.教学目标：1．掌握一元二次函数的图象和性质.2．掌握研究一元二次函数性质的方法.3．培养学生的观察分析能力、逻辑思维能力、运算能力和作图能力.培养学生用配方法解题的能力.渗透数形结合的思想方法.4．使学生掌握从特殊到一般的认识规律和认真仔细的态度，培养学生用对立统一的观点、全面的观点、联系的观点、运动变化的观点和具体问题具体分析的观点处理问题.教学重点：研究二次函数性质的方法.教学难点：探索二次函数的性质.教学方法：讲练结合法、演示法.教学手段：三角板、投影仪、胶片、计算机.课时安排：1课时.课堂类型：授新课.教学过程：课件1 课件 2一、复习导入 1．复习提问：(学生回答，启发学生通过配方得出结论.)函数函数？图象如何？如何化为 ＝(＋)＋的形式？ 叫什么 2．导入新课：(老师口述；板书课题.)在初中学习的基础上今天我们继续学习和研究二次函数的图象和性质.二、讲授新知 1．引例分析： 例1(板书)求作函数的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.) .由于对任意实数，都有≥0，所以≥－2.当且仅当＝－4时取等号，即作＝－2.(－4)＝－2，该函数在＝－4时取最小值－2，记 当＝0时，＝－6或＝－2，函数的图象与轴相交于两点(－6，0)、(－2，0).＝－6或＝－2也叫做这个二次函数的根.以＝－4为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表： 在直角坐标系内描点画图(图3－8): 结论：(投影，说明)该函数的图象关于直线＝－4对称，开口向上，有最低点(－4，－2)，最小值为－2；函数在区间(－∞，－4]上是减函数，在区间[－4，＋∞)上是增函数.例2(板书)求作函数＝－－4＋3的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.)＝－[(＋2)－7]＝ ＝－－4＋3＝－(＋4－3)－(＋2)＋7 由－(＋2)≤0得，该函数对任意实数都有号，即＝7，该函数在＝－2时取最大值7，记作 ≤7，当且仅当＝－2时取等＝7.以＝－2为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表： 在直角坐标系内描点画图(图3－9)： 结论：(投影，说明)该函数关于直线＝－2对称，开口向下，有最高点(－2，7)，最大值为7；在区间 (－∞，－2]上是增函数，在区间[－2，＋∞)上是减函数.2．一元二次函数的性质(启发学生归纳性质，板书.微机显示，说明.) 一般地，对任何二次函数(≠0)，都可通过配方，化为，其中，到二次函数的一般性质：，由此可得 (1)函数的图形是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(－，)，抛物线的对称轴是直线＝－； (2)当＞0时，函数在＝－处取最小值＝减函数，在[－，＋∞)上是增函数.(－)；在区间(－∞，－]上是 (3)当＜0时，函数在＝－处取最大值＝增函数，在[－，＋∞)上是减函数.(－)；在区间(－∞，－]上是 三、课堂练习(投影.启发学生思考、练习.老师总结订正.) 求作函数＝－＋4－3的图象，并回答下列问题： (1)指出曲线的开口方向； (2)当为何值时，＝0； (3)求函数图象顶点的坐标和对称轴.四、课堂小结(口述) 本节课主要掌握研究二次函数性质的方法，熟记二次函数的图象和性质.五、布置作业(投影、说明) 1．复习本节课所学内容.2．书面作业：第93页习题3－2第3题.3．预习作业：预习第89页，例 一、二次函数的几何型应用 例1 （2016·江苏泰州）二次函数y=x2-2x-3的图像如图1所示，若线段AB在x轴上，且AB为[23]个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右 【考点】等边三角形、二次函数. 【分析】由题意，点C满足两个条件，一是△ABC是等边三角形，二是点C在函数y轴右侧的图像上.设点C的坐标为（a，a2-2a-3），过点C作AB的垂线段CD，根据△ABC是等边三角形，AD=[3]，可得CD=3，列出关于a的方程，求出a的值，得出点C的坐标. 解：如图2，过点C作CD⊥AB，垂足为D. 设点C坐标为（a，a2-2a-3）， ∴CD=[a2-2a-3]. ∵△ABC是等边三角形且AB=[23]， ∴AD=[3]，∴CD=3， ∴[a2-2a-3]=3. ∴a2-2a-3=3，得出a=1±[7]. 图2 或a2-2a-3=-3，得出a=0或a=2. ∵a>0，∴a=1+[7]或2. ∴点C坐标为（1+[7]，3）或（2，-3）. 【总结】题中的点C满足两个条件，若先设点A的坐标，根据等边三角形的线段关系得出点C的坐标，再代入抛物线的解析式中，此种做法显得繁琐且方程难以解出，因此解题时如若遇到这种情况，不妨换种思路，先利用点C在抛物线上的条件设出点C的坐标，再结合等边三角形的知识列出方程，你会发现“柳暗花明又一村”. 二、二次函数的代数型应用 例2 （2016·江苏扬州）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a>0）.未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 . 【考点】利润问题、二次函数. 【分析】根据题意可以先列出第t天缴纳电商平台推广费用后的利润关于天数t的函数，再根据利润随天数的增大而增大的条件，结合二次函数的图像与性质、天数t的范围，列出关于a的不等式，求出a的取值范围. 解：由题意，第t天缴纳电商平台推广费用后一件时装的利润为（70-a-t）元，第t天时装的销量为（20+4t）件，设第t天获得的利润为y元，则y=（70-a-t）（20+4t）=-4t2+（260-4a）t+1400-20a. ∵此二次函数图像——抛物线的开口向下，且当0≤t≤30时，y随t的增大而增大，∴抛物线顶点的横坐标应大于或等于30， ∴-[260-4a-8]≥30，解得：a≤5. ∵a>0，∴a的取值范围是：0 【总结】此题有两大关键，一是正确列出利润y关于天数t的函数，二是结合图像及性质确定抛物线对称轴的范围.突破此两大难点，需要对知识点的熟练掌握和一定的分析问题的能力. 三、二次函数的综合型应用 例3 （2016·江苏南京）图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α，β，且tanα=[12]，tanβ=[32]，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系. （1）求点P的坐标； （2）水面上升1m，水面宽多少？（[2]取1.41，结果精确到0.1m） 【考点】三角函数、二次函数. 【分析】（1）根据三角函数的意义，过点P作OA的垂线段PB，设PB为x，用x表示OB、AB，由OA=4，列出方程求出x，写出点P的坐标. （2）根据抛物线经过点O、A、P，求出抛物线的解析式，当纵坐标为1时，求出相应的两个横坐标，从而求出水面的宽度. 解：（1）如图，过点P作PB⊥OA，垂足为B. 设PB=x，在Rt△POB中，∵tanα=[12]，∴[PBOB]=[12]，∴OB=2x，同理：AB=[23]x， ∵OA=4，∴2x+[23]x=4，可得x=[32]， ∴OB=3，PB=[32]，点P的坐标为[3，32]. （2）设此抛物线表示的二次函数为y=ax2+bx.由函数y=ax2+bx 图像经过（4，0）、[3，32]可得[16a+4b=0，9a+3b=32，]解得[a=-12，b=2.] ∴抛物线的解析式为y=-[12]x2+2x. 当水面上升1m 时，水面的纵坐标为1，即-[12]x2+2x=1，解得x1=2-[2]，x2=2+[2]. ∴x2-x1=2+[2]-（2-[2]）=2[2]≈2.8. 答：水面宽度约为2.8m. 【总结】本题结合抛物线经过原点解析式的特征，运用待定系数法来求解，当然也可以用交点式（双根式）或一般式求解.其次把实际问题抽象到数学问题，把求水面的宽度转化为求点的坐标，再利用抛物线上点的坐标与距离之间的关系求出水面的宽度.此类题目若能顺利转化为数学问题，求解过程一般不会太难. （作者单位：江苏省太仓市实验中学） 本章的教学是我对选题有了进一步认识，要体现教学目标，要有实际意义。要体现学生的“最近发展区”，有利于学生分析。如为了帮助学生建立二次函数的概念，从学生非常熟悉的正方形的面积的研究出发，通过建立函数解析式，归纳解析式特点，给出二次函数的定义．建立了二次函数概念后，再通过三个例题的分析和解决，促进学生理解和建构二次函数的概念，在建构概念的过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程．体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义． 接下来教学主要从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”循序渐进，由特殊到一般的学习二次函数的性质，并帮助学生总结性的去记忆。在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练。这部分内容就是中等偏下的学生容易混淆，还需掌握方法，加强记忆，强调必须利用图形去分析。通过教学，让学生对建模思想、图形结合思想及分类讨论思想都有了较清晰的认识，学会了分析问题的初步方法。 本章中二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分，主要是借助多媒体，动态的展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规律，很形象，便于记忆。 但在教学中，我自认为热情不够，没有积极调动学生学习热情的语言，感染力不足。今后备课时要重视创设丰富而风趣的语言，来调动学生的积极性。 总之，在数学教学中不但要善于设疑置难，而且要理论联系实际，只有这样，才会吸引学生对数学学科的热爱。 靖和中心学校 王军 一、教学目标 知识目标：通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。 能力目标：能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。情感价值观 ：让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。 二、教学重难点 重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式 难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质解决生活中的实际问题 三、教学方法：探究法、引导法、归纳法、讲解法 四、教学教具准备：三角板、课件 五、教学时间：1课时 六、教学过程 （一）温故而知新 问题一：（课件展示） 问题二：（课件展示）问题三：（课件展示） 先让学生看教材问题2，让学生知道在解决实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数关系式。在函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件，确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件，在确立正比例函数的解析式时，也只要一个条件就行了，下面我们来探讨，要确定二次函数的解析式，需要几个条件？ 归纳总结：二次函数常见的几种表达方式： (二)例题讲解 例1、已知二次函数的图象过A（0，-3），B（4，5），C（-1，0）三点，求这个二次函数解析式。（设为三点式可解） 小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。变式训练： 1、已知一个二次函数的图象过点（0,-3），（-1,0），（3,0）三点，求这个函数的解析式？ 2、已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？ 例 2、已知抛物线的顶点为（1，-4），且与y轴交于点（0，-3）；求这个二次函数解析式。（设为顶点式可解） 小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。 例 3、已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？ 小结： 已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2 为两交点的横坐标。变式训练：（课件展示）达标检测：（课件展示） 1、由学生小组讨论，合作交流自己完成。 2、同时，让学生演算，尝试完成。 3、老师点拨。 讨论：某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶． 它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？（1）学生建立坐标系，解答。（2）让学生说一说如何解答的？（3）观察那些方法较为简单？（4）总结应用型函数的解答思路。 （三）课堂小结 1、二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：_______________(a≠0)（2）顶点式：_______________(a≠0)（3）两根式：_______________(a≠0) 2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式： （1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。 （2）当已知抛物线的顶点坐标（或能求出顶点坐标）、对称轴、最值等与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。（h、k分别是顶点的横坐标与纵坐标）（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)。（其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标） 【二次函数的综合题】推荐阅读： 求二次函数解析式的题06-25 二次函数练习题及答案06-29 二次函数易错点剖析07-02 一元二次函数练习题07-08 数学教案－二次函数教学设计07-06 二次函数基础课时练习题(精选,类型)06-21 函数极限的证明08-30 构造函数构造函数08-06 高中数学幂函数的教案06-27 函数零点的教学设计06-3012.一元二次函数的性质教案专题 篇十二
13.直击中考——二次函数的应用 篇十三
14.二次函数的图像与性质教学反思 篇十四
15.求二次函数的解析式教案 篇十五