余弦定理课件

余弦定理课件（共15篇）（共15篇）

1.余弦定理课件 篇一

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第一章

解三角形

§1.1.2正弦定理和余弦定理

班级

姓名

学号

得分

一、选择题

1．在△ABC中，已知b＝43，c＝23，∠A＝120°，则a等于……………….（）

A．221 B．6

C．221或6

D．21563

2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于…..()

A．15° B．30°

C．45°

D．60°

3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是…（）

A．135° B．90°

C．120°

D．150°

4．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于………………….()

A．90° B．120°

C．60°

D．120°或60°

5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...()

A．sinA＝sinB＋sinC＋2sinBsinCcos(B＋C)

B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)

C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC

D．sin(A＋B)＝sinA＋sinB-2sinBsinCcos(A＋B)6*．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则ABBC的值为……………………()

A．79

二、填空题

7．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．

13222222 B．69

C．5

D．-5 8．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

abac＝________． 9．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则bc9 10*．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝10，则BC＝________．

三、解答题

11．已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

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A12．在△ABC中，cos2 bc2c910，c＝5，求△ABC的内切圆半径．

13．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．

14*．已知a、b、c为△ABC的三边，且a-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．

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§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案

一、选择题

A D C D D D

二、填空题

17．57

8．-7

9．1 10．4或

5三、解答题

11．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(33)2＋22-2·23·2·(-2)＝49．

∴ b＝7，1113

S△＝2acsinB＝2×33×2×2＝2bc93．

12．解：∵ c＝5，2cA210，∴ b＝4

b1cosA22 又cos222bc2cbca2bc222 ∴ cosA＝c 又cosA＝

bca

∴ 2bcb2222222c∴ b＋c-a＝2b∴ a＋b＝c

∴ △ABC是以角C为直角的三角形．a＝cb＝3

∴ △ABC的内切圆半径r＝2(b＋a-c)＝1．

112222

13．解：∵ S＝a-(b-c)又S＝2bcsinA∴ 2bcsinA＝a-(b-c)

bca222

∴ 2bc114(4-sinA)∴ cosA＝4(4-sinA)∴ sinA＝4(1-cosA)

2tanAcosA28sin2A22AA ∴ 2sin22∴ tan214∴ sinA＝

1tanA24812171()4

21大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

SS41712bCsinA(bc)424176417bc64∴ c＝b＝4时，S最大为17

14．解：∵ a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0

由上述两式相加，相减可得

c＝4(a2＋3)，b＝4(a-3)(a＋1)1

∴ c-b＝2(a＋3)

∵ a＋3＞0，∴ c＞b

c-a＝4(a2＋3)-a＝4(a2-4a＋3)＝4(a-3)(a-1)1

∵ b＝4(a-3)(a＋1)＞0，∴ a＞3 1

∴ 4(a-3)(a-1)＞0

∴ c＞a

∴ c边最大，C为最大角

abc222

∴ cosC＝a22ab2

2116(a3)(a1)2a14116(a3)2212(a3)(a1)

∴ △ABC的最大角C为120°

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2.余弦定理课件 篇二

一、正余弦定理

正弦定理undefined

余弦定理undefined

二、正余弦定理的变化

定理:设三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 则有

undefined

(5) sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.

(6) a=bcosC+ccosB.

由于三角形中三条边及三个内角的对称性, 以上只给出了三个类似关系式中的一个, 并证明如下.

证明: (1) 由正弦定理及和差化积公式得acosA+bcosB=2RsinAcosA+2RsinBcosB=R (sin2A+sin2B) =2Rcos (A-B) sin (A+B) =2Rcos (A-B) sin (π-C) = (2RsinC) cos (A-B) =ccos (A-B) ≤c.

(2) 由正弦定理、三角形内角和定理、倍角公式及和差化积公式得

undefined (当且仅当A=B取等号) .

(3) 因为 (b-c) 2≥0⇒b2+c2≥2bc, 故由余弦定理及有关三角公式得undefined.故undefined

(4) 由正弦定理得

undefined

(2RsinA) 2= (2RsinB) 2+ (2RsinC) 2-2 (2RsinB) (2RsinC) cosA.

化简即得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.

(6) 由余弦定理得b2+c2= (c2+a2-2accosB) + (a2+b2-2abcosC) , 化简得a=bcosC+ccosB.

三、推论的应用

正余弦定理的应用是大家都知道的, 它们的推论也具有广泛的应用, 下面列举数例说明.

例1 (希望杯赛题) 在三角形ABC中, 求证undefined

证明:当三角形ABC是钝角或直角三角形时, 结论显然成立.

当三角形ABC是锐角三角形时, 由定理 (1) 得

undefined

三式相乘得undefined

例2 (全国高考题) 在三角形ABC中, 设a+c=2b, A-C=60°, 求sinB.

解:由题设及定理 (2) 得

undefined

从而得undefined.所以undefined

例3 (海淀区高考模拟题) 在三角形ABC中, 已知A=60°, a=10, 求bc的最大值.

解:由定理 (3) 得undefined, 故 (bc) max=100.

例4 (北京春季高考题) 在三角形ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c.证明undefined

解:由定理 (4) 及正弦平方差公式sin (x+y) sin (x-y) =sin2x-sin2y (课本习题) 得

undefined

例5 (全国高考题) 求sin220°+sin240°+sin20°sin40°的值.

解:构造三角形ABC, 使A=20°, B=40°, C=120°.应用定理 (5) 得

undefined

例6 (全国高考题) 已知α、β是锐角, 且3sin2α+2sin2β=1, 3sin2α-2sin2β=0, 求证α+2β=90°.

证明:由3sin2α+2sin2β=1及降次公式得undefined, 即2α和2β均为锐角.又由3sin2α-2sin2β=0得undefined.构造三角形ABC, 使A=2α, B=2β, BC=2, 则由正弦定理得undefined.由定理 (6) 得AB=ACcos2α+BCcos2β=3cos2α+2cos2β=3.所以AB=AC, 即知三角形ABC是等腰三角形, 故C=B=2β.由三角形内角和定理知2α+2β+2β=180°⇒α+2β=90°.

3.余弦定理课件 篇三

一、 解三角形

正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:① 已知两角和任一边,求其他两边和一角;② 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的边和角.

余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题:① 已知三边,求三个角;② 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

例1在△ABC中,a=2,b=6,A=30°,则边c= .

解法一 由正弦定理,得sinB==.又030°=A).

当B=60°时,c=90°,c==

4;而当B=120°时,C=30°,c=

2.

解法二 由余弦定理,得cosA=,即c2-6c+24=0,解得c=2或4.

点评 已知两边及其中一边的对角,解三角形时,需考虑解的个数.

二、 判断三角形的形状

利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.一般地,利用正弦定理的公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可将边的关系转化为角的正弦关系,然后利用三角恒等变换公式进行化简,其中往往要用到三角形内角和定理A+B+C=π;利用余弦定理的公式cosA= ,cosB=,cosC=,可将角的余弦关系转化为边的关系,然后充分利用代数知识来解决问题.

例2在△ABC中,若=,判断△ABC的形状.

解法一 由正弦定理,得=,即=,所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或 2A=180°-2B,即A=B或A+B=90°,所以△ABC为等腰或直角三角形.

解法二 由题设,有=,得=,化简,得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或 a2+b2=c2,所以△ABC为等腰或直角三角形.

点评 已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两条思路:① 化边为角,再进行三角恒等变换,求出三个角之间的关系式;② 化角为边,再进行代数恒等变换,求出三条边之间的关系式.两种转化主要是应用正弦定理和余弦定理.

三、 证明三角形中的恒等式

例3在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

证法一 a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2•2sinBcosB+(2RsinB)2•2sinAcosA=8R2sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=2absinC,

所以原式得证.

证法二 左边=a2•2sinBcosB

+b2•2sinAcosA=a2••+b2••=2ab•=右边,

所以原式得证.

点评 此题所证结论为△ABC的一种边角关系,证明考虑两种途径:一是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理的公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;二是把角的关系转化为边的关系,若是正弦形式,则通过正弦定理,若是余弦形式,则通过余弦定理.

四、 解决实际问题

例4某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离为10 n mile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢,于是我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.

分析 如上图,设舰艇与渔船在B处相遇,设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh,∠1,∠2可以求出,而AC已知,BC,AB均可用x表示,故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题,则利用余弦定理建立方程来解决较好.而有了路程后,在已知速度的情况下,时间便很好求了.

解 有AB=21x n mile,BC=9x n mile,AC=10 n mile,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°,

根据余弦定理,可得AB2=AC2

+BC2-2AC•BCcos120°,得(21x)2=102+(9x)2-2×10×9xcos120°,即36x2-9x2×10=0,解得x1= ,x2=-(舍去).

所以AB=21x=14,BC=9x=6.

则cos∠BAC===0.928 6,所以∠BAC=21°47′.

45°+21°47′=66°47′,小时即40分钟.

答:舰艇应以66°47′的方位角方向航行,靠近渔船需要40分钟.

点评 解好本题需明确“方位角”这一概念,方位角是指由正北方向线顺时针旋转到目标方向线的角,其范围是[0°,360°).设出未知量x,将由两个出发点及一个相遇点构成的三角形的各边、角用含x的式子表示,则可利用余弦定理建立方程求出x.

1. 在△ABC中,∠A=45°,a=2,c=,解此三角形.

2. 在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,判断△ABC的形状.

3. 在△ABC中,若a2=b(b+c),求证:A=2B.

4. 在△ABC中,已知内角A=,边BC=2.设内角B=x,周长为y.

(1) 求函数y=f(x)的解析式和定义域;

(2) 求y的最大值.

1. b=+1,∠C=60°,∠B=75°或b=-1,∠C=120°,∠B=15°.

2. 法一 根据正弦定理,有2sinB=sinA+sinC,由B=60°,可解得A=60°,C=60°,因此△ABC是正三角形.

法二 根据余弦定理,得2=a2+c2-2accos60°,整理得(a-c)2=0,所以a=c,所以△ABC是正三角形.

3. 法一 因为cosB====,所以cos2B=2cos2B-1=2×-1===.

又因为cosA===,所以cosA=cos2B,而A,B是三角形内角,所以A=2B.

法二 由a2=b(b+c),可得sin2A=sinB(sinB+sinC),

所以sin2A=sin2B+sinBsin(A+B),所以sin(A-B)sin(A+B)=sinBsin(A+B),

所以sin(A-B)=sinB,则A=2B.

4. (1) 由A+B+C=π,A=,B>0,C>0,得0

应用正弦定理,知AC=•sinB=sinx=4sinx,AB=•sinC=4sin-x.

所以y=4sinx+4sin-x+20

(2) 由(1)知y=4sinx+cosx+sinx+2=4sinx++2

4.余弦定理课件 篇四

一、教学目标

1．掌握正弦定理及其向量法推导过程；

2．掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．

二、教学重点正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用；

教学难点正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定．

三、教学准备

直尺、投影仪．

四、教学过程

1．设置情境

师：初中我们已学过解直角三角形，请同学们回忆一下直角三角形的边角关系： 生：RtABC中有abc 22

2acsinA

bcsinB

atanAb

AB90

ab sinAsinB

师：对！利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角．

师：在直角三角形中，你能用其他的边角表示斜边吗？

生：在直角三角形ABC中，cabc。sinAsinBsinC

师：这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理（板书正弦定理）．

2．探索研究

（1）师：为了证明正弦定理（引导学生复习向量的数量积），ababcos，式子的左边与要证明的式子有相似之处吗？你能否构造一个可以用来证明的式子．

生：如图，在锐角ABC中，过A作单位向量j垂直于，则j与的夹角为90A,j与的夹角为90C。

由向量的加法可得



对上面向量等式两边同取与向量j的数量积运算，得到

j

ACCBjAB

9090C)

90A)

asinCcsinA

同理，过点C作与垂直的单位向量j，可得

cb sinCsinB

∴abc sinAsinBsinC

师：当ABC为钝角三角形时，设A90，如图，过点A作与AC垂直的向量j，则j与的夹角为A90，j与的夹角为90C，同样可证得

abc sinAsinBsinC

师：课后同学考虑一下正弦定理还有没有其它的方法证明？

师：请同学们观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三

角形问题？

生：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。

（2）例题分析

例1在ABC中，已知c10,A45,C30，求b（保留两个有效数字）bc且B180(AC)105 sinBsinC

csinB10sin105∴b19 sinCsin30解：∵

例2在ABC中，已知a4,b42,B45，求A。abasinB1得sinA sinAsinBb2

∵ABC中ab∴A为锐角∴A30 解：由

例3在ABC中，B45,C60,a2(1)，求ABC的面积S。解：首先可证明：SABC

这组结论可作公式使用。

其次求b边 1111ahabsinCbcsinAacsinB。2222



A180(BC)75

∴由正弦定理，basinBsinA2(31)(2)4 2

∴SABC11absinC2(31)4()623 222

3．演练反馈

（1）在ABC中，一定成立的等式是（）

A．asinAbsinBB．acosAbcosB

C．asinBbsinAD．acosBbcosA

（2）在ABC中，若a

Acos2bBcos2cCcos2，则ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等边三有形

（3）在任一ABC中，求证a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0 参考答案：（1）C；（2）D；（3）证：由于正弦定理：令aksinA,BksinB,cksinC代入左边得：左边＝k(sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB)0＝右边

4．总结提炼

（1）三角形常用公式：ABC；S

弦定理以及下节将要学习的余弦定理。111absinCbcsinAcasinB；正222

a2RsinAabc（2）；b2RsinB；2R（外接圆直径）sinAsinBsinCc2RsinC

a:b:csinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理应用范围：

①已知两角和任一边，求其他两边及一角。

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

5.余弦定理教学反思 篇五

1、创设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环

本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

创设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第一章 1.3正弦、余弦定理应用的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。

“情境.问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

2．培养学生自主学习、合作学习、研究（探究）性学习的学习方式

（1）新教材与一期教材相比，有一个很大的变化就是在课本中增加了若干“探究与实践”的研究性课题，这些课题往往有着一定的实际生活情景，如出租车计价问题，测量建筑高度，邮资问题，“雪花曲线”等等，这些课题除了增强学生的数学应用能力之外，还有一个重要作用就是改变学生以往的学习方式。

在教学实践中，我对不同内容采取了不同的处理方式，像用单位圆中有向线段表示三角比；组合贷款中的数学问题主要在课堂引导学生完成；像邮件与邮费问题、上海出租车计价问题、声音传播问题、测建筑物的高度则采取课内介绍、布置、检查，学生主要在课外完成的方法。学生通过调查、上网收集数据，集体研究讨论，实践动手操作，无形之中使自己学习的主动性得以大大提高，自学能力也有所长足发展，从而有效的培养学生自主获取知识的能力，以适应未来社会发展的需要。

由此可见，新课程突出了“以学生发展为本”的素质教育理念与目标，强调素质的动态性和发展性，揭示了素质教育的本质，把学生素质的发展作为适应新世纪需要的培养目标和根本所在。因此，在教学实践中必须确立学生的主体地位。

6.余弦定理教案 篇六

余弦定理教案

一、说教材  《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了“边”与“角”的互化，从而使“三角”与“几何”产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的`认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为： ⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形； ⒉过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。 ⒊情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值； ⒋本节课的教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。 ⒌本节课的教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。 ⒍本节课的教学关键是:熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。 下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈

 

7.余弦定理课件 篇七

本文通过以余弦定理为例, 对新教材与旧教材关于余弦定理章节的内容编排特色做了一个比较, 主要对余弦定理的提出、余弦定理发现的证明过程等环节做了细致的比较, 并在此基础上, 提出合理科学的教学建议, 帮助教师形成合理的教学设计, 提高课堂教学效率。

一、新旧教材的内容设计比较

在人教版数学第二册 (下) 中, 余弦定理被设计在第五章——平面向量的第二节解斜三角形中。新教材人教版数学必修5, 余弦定理被设计在单独章节解直角三角形中。

1. 关于余弦定理的提出

旧教材直接提出问题, 基于特殊到一般的数学思想, 从解直角三角形入手, 切入余弦定理:新教材给出探究, 而新教材结合初中全等三角形的知识, 从量化的角度提出问题, 体现初中和高中的知识衔接, 也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。全等三角形的判定学生在初中时就已学过, 这样便于学生建构和联系余弦定理, 即三角形的边角关系。

2. 余弦定理的发现和证明过程

旧教材因为余弦定理编排在平面向量的章节中, 所以, 余弦定理的引入也毫无疑问地运用了向量的方法推导出。提出问题后, 直接用向量的方法研究问题。

例如, 在△ABC中, AB、BC、CA的长分别为c、a、b。

由此推出余弦定理。

新教材在推导余弦定理的设计上同样也用了向量数量积的方法进行证明, 但是提出了思考。引导学生用已学过的知识和方法来解决这个问题。

由于涉及了边长问题, 我们可以考虑用向量的数量积, 或者用解析几何中的两点间距离公式来研究这个问题。

于是, 得到以下定理:

余弦定:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 (2)

新旧教材都用了向量数量积的途径来展现余弦定理的证明这一问题。这样的设计合理、简捷, 但是对于学生来说, 这样的证明方法来得突然、不自然, 不利于发挥学生的主动性, 无法让学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程, 缺少新旧知识的搭建和连接。

3. 余弦定理在三角形形状判断的应用

旧教材并未涉及此内容。

新教材从余弦定理和余弦函数的性质两方面相结合, 分别对三种形状的三角形进行了量化讲解。

二、基于教材编写对比分析的教学建议

1. 对余弦定理提出的教学建议

在教学中, 提出问题、创设情境这一环节可直接用新教材的探究, 不仅体现了初中高中知识的衔接, 还为之后要说明满足已知边角边的三角形的解是唯一的, 不会出现正弦定理两解的情况留下了悬念。

2. 对余弦定理的发现和证明过程的教学建议

余弦定理的引入及其证明过程, 新旧教材中的向量方法虽然简捷, 但是这样的证明过程来得太突然, 我们可以设计得更自然一些, 既让学生联系已学过的知识, 又让学生体会到从特殊到一般的探究方法。可作如下设计:

已知直角△ABC, AB、BC、CA的长分别为c、a、b, 问如何去求出直角所对的边c边?

同学们很自然地会利用勾股定理解出c边。

其次, 若我们将点C沿边BC向左移动, 这时原来的直角△ABC变成了锐角△ABC, 这时如何去求c边?

若我们将点C沿边BC向右移动呢?这时又会形成钝角△ABC, 如何去求c边?

这就将特殊的问题延伸到了一般的问题, 形成对任意的三角形如何去求第三边的问题。这样既结合了旧教材的提出问题部分, 又是一种学生易接受的探究方法。

参考文献

[1]人民教育出版社中学数学室编著.全日制普通高级中学教科书 (必修) 数学第二册 (下) [M].北京:人民教育出版社, 2003.6.

[2]人民教育出版社, 课程教材研究所, 中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学 (必修) 5[M].北京:人民教育出版社, 2007.1.

8.测量问题中的正、余弦定理 篇八

常见的测量问题如下：

1.测量一个可到达的点和另一个不可到达的点之间的距离

例1如图1所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定A，B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度.

图1

分析求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高.而在河的一边，已测出AB，∠CAB，∠CBA，则三角形ABC可确定.

解由∠CAB=30°,∠CBA=75°,知∠ACB=75°.

由正弦定理，得ACsin∠CBA=ABsin∠ACB，

所以AC=AB=120m.

因为S△ABC=12AB•ACsin∠CAB=12AB•CD，解得CD=60m.

点评此题虽然计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”.

图2

例2如图2，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C,D处，已知△ACD为边长等于a的正三角形.当炮击目标出现于B处时，测得∠CDB=45°，∠DCB=75°，试求阵地到目标的距离AB.

分析线段AB同时位于△ABD和△ABC中，不妨从△ABC中考虑.先在△BCD中，通过正弦定理求出BC；然后在△ABC中，通过余弦定理，即可求出AB.

解在△BCD中，∠DBC=60°，

由正弦定理，有asin60°=BCsin45°，

所以BC=63a.

在△ABC中，∠BCA=135°，

由余弦定理,有AB2=63a2+a2-2×63a2cos135°=5+233a2,

所以AB=5+233a.

点评一个四边形中包含着四个三角形.

2.测量两个不可到达的点之间的距离

图3

例3如图3,在河彼岸可以看到两个目标物M,N，但不能到达，在河此岸选取相距40米的P，Q两点，测得

∠MPN=75°,∠MQP=30°，∠MQN=∠NPQ=45°，试求两个目标物M，N之间的距离.

分析要求出M，N之间的距离，可以在△MNQ或△MNP中去找关系式，但不管在哪个三角形中，除MN边的其余两边都是未知的，需要借助其他三角形才能找出合适的关系式.

解在△PQN中，PQ=40，∠PQN=30°+45°=75°，

∠NPQ=45°，故∠PNQ=180°-75°-45°=60°,

由余弦定理,PQsin∠PNQ=NQsin∠NPQ，即40sin60°=

NQsin45°,

NQ=40sin45°sin60°=4036.

在△PQM中，∠MQP=30°,

∠MPQ=75°+45°=120°，

故∠PMQ=180°-30°-120°=30°，

由余弦定理,PQsin∠PMQ=MQsin∠MPQ,故

40sin30°=MQsin120°,

MQ=40sin120°sin30°=403.

在△MNQ中,由余弦定理,MN2=MQ2+NQ2-2MQ•NQcos∠MQN,故

MN2=40632+(403)2-2×4063×403cos45°=80003.

所以两个目标物M，N之间距离40315米.

点评此题属于“不过河求对岸两点距离”问题.在用正、余弦定理求解实际问题时，尽量利用题中给出的关键点构造三角形，将已知条件向某一三角形集中，使问题迎刃而解.

引申河彼岸有一电线杆PO，若不能过河，你能测量出电线杆的高度吗？

图4

分析可以借鉴例3的条件去完成.

解可以测量.

步骤如下：

1.如图4，先在此岸找两点A与B（A，B与电线杆底O不共线），并测量它们之间的距离AB.

2.测出∠OAB与∠OBA的大小(由三角形内角和定理可求∠AOB的大小).

3.由正弦定理可求AO的长度.

4.量出∠PAO的大小.

5.计算电线杆的高PO，在△POA中，∠POA=90°，电线杆高PO=AOtan∠PAO.

点评已知条件非常隐蔽，构筑三角形的点要自己找，要求我们须仔细分析题意，哪三点组成三角形到达最佳，最利于解题测量时要合理构筑三角形.实际上，若选取的A，B与O共线，则只要测量AB，∠PAO，∠PBO即可.请看下一列.

图5

例4如图5，测量某一个底部不能到达的建筑物AE，在某B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30米至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103米至点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高.

分析本题给出的角度较多，涉及几个三角形，因此要思考从哪个三角形入手解答较为简便.

解在△ABC中，∠BAC=∠ACD-∠ABC=2θ-θ=θ，可得AC=BC=30,

在△ACD中，∠CAD=∠ADE-∠ACD=2θ，故AD=DC=103，

又∠ADC=π-4θ，AC=30，

由正弦定理，CDsin∠DAC=ACsin∠ADC,

即103sin2θ=30sin(π-4θ)=302sin2θcos2θ,

解得cos2θ=32,2θ=π6,则θ=π12.

在Rt△AED中,AD=103,∠ADE=4θ=π3,AE=ADsin∠ADE=15（米）.

所以θ=15°，建筑物AE的高为15米.

点评陆地上建筑物问题为应用背景，一定要搞清楚仰角的概念，解三角形时除了考虑正余弦定理，同时也要注意直角三角形中的边角关系的利用.

巩固练习

1.海上有A,B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和岛A成75°，则B,C间的距离是多少？

2.为了测定河的宽度，在一岸边选定A,B，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m,则河宽为多少？

3.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的高度为海拔1000m，速度为180km/h，飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420秒后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度.（取2=1.4，3=1.7）

4.已知两个观察点C,D之间的距离CD=80米，航船在A处时，测得∠ACD=105°和∠CAD=30°，经过20秒后，航船直线航行到B处，测得∠CDB=90°和∠BCD=45°，求航船的速度.

9.用复数证明余弦定理 篇九

=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得

asinB=bsinA,即

=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.法二：如图5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知，即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)

这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.2在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^

2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因为cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

题目中^2表示平方。

2谈正、余弦定理的多种证法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有

AD=b•sin∠BCA，BE=c•sin∠CAB，CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA

=b•c•sin∠CAB

=c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有

AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。

证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。

因为AB=AC+CB，所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，j•CB=|j||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，j•AB=|j||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.二、余弦定理的证明

法一：在△ABC中，已知，求c。

过A作，在Rt中，法二：，即：

法三：

先证明如下等式：

⑴

证明：

故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

结合⑴、有

即.同理可证

.三、正余弦定理的统一证明

法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根据向量的运算：

=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得

asinB=bsinA,即

=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.法二：如图5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知，即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)

10.余弦定理教学设计 篇十

余弦定理

一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章 第二节

二、设计思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。

3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。

4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问

找到解决问题的方法。

三、教学目标：

1、知识与技能：

理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题

2．过程与方法：

通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。

3．情感、态度与价值观：

探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。

四、教学重点：

通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。

五、教学难点：余弦定理的灵活应用

六、教学流程：

(一)创设情境，课题导入：

1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）

2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？

设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出课题：余弦定理

（二）设置问题，知识探究

1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理

2、①考虑用向量的数量积：如图 A

C

设CBa,CAb,ABc,那么，cab222ccc(ab)(ab)ab2abcosCB 即cab222ab2abcosC,引导学生证明22222

bc2bccosAca2cacosB2②还 引导学生运用此法来进行证明

3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的（可以让学生自己总结，教师补充完整）

（三）典型例题剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教师分析、点拨并板书证明过程

总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？

设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。

师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。

引入余弦定理的推论：cosA=cosB=acb2ac222bca2bc2222 , , cosC=

abc2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。

（2）、若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2

若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2

若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2

62,求A、B、C例2:已知在ABC中,a23,b22,c

先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。

总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:让学生板练，师生共同评判

3、三角形形状的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

（教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）

求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

让学生板练，发现问题进行纠正。

（四）课堂检测反馈：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,则△ABC的最大角的度数为（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,则A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形

（五）课时小结：

（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）

运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。

（六）课后作业：课本第10页A组3（2）、4（2）；B组第2题

（七）教学反思：

11.余弦定理课件 篇十一

一、教学片段实录

提出问题：

师：请同学们翻到课本第10页。看习题1.1A组第2题的第(2)小题。题目是：在△ABC中。a=lSem，b=10cm，∠A=60。，求c。

学生通过思考后能用正弦定理求解。

师：正弦定理我们是怎样推导的?三角证法的关键点是什么?

生：三角证法的关键是作高线，把解斜三角形问题转化为解直角三角形阃题。

此问题学生很难用正弦定理求解，对学生来说有一定的挑战性，此问题的设计给学生创设了很大的思维空间，学生思考后觉得比较难解，教师提示能用学过的知识解决，前面三角证法的关键点是作高线，这里是否也可以呢?学生通过作高线，作CD⊥AB，垂足为D，在RtAADC和RtACDB中求出AD、CD与BD，用勾股定理求出BC(即a)的值，再次让学生感受三角证法的关键点是作高线。

然后给出了变式2：在△ABC中，已知c，b，∠A，求a。

余弦定理源于向量和基于向量，它是“好看又好用”的又一数学典范。余弦定理向量证法的价值：向量的数量积是—个重要的工具。余弦定理向量证法基于一种新的数学结构——空间向量。

问题的引入：引用荷兰弗赖登塔尔数学研究所的一个问题“甲离学校10千米，乙离甲3千米，问乙离学校多少千米?”这问题太简单了，简直是小学生的问题。不过，该问题并没有说明甲、乙、学校三点是否在一条直线上。若三点在同一直线上，答案是13千米或7千米；若不在同一直线上，甲、乙、学校三点可以构成直角三角形，问题可以用勾股定理解决；若甲、乙、学校三点不能构成直角三角形，就变成已知三角形的“两边夹一角”如何确定第三边的问题，明确地指向余弦定理。

二、科学地解渎教材、合理地挖掘、利用教材

教材是课程的重要资源，是教师教学的重要依据和学生学习的重要文本。科学地解读教材，合理地挖掘、利用教材是每个教师必备的基本功，教师只有静下心来，仔细研究教材，充分发挥教材在教学中的引领作用，才能提高教学的有效性。教材是学术数学到教育数学转化的产物，教师使用教材的过程又是一个吸收和改造的过程。一节课教学设计的是否适合学生，首先取决于教师对整节课教学内容的准确把握。教师只有在认真研读新课标、全面理解全章节知识的基础上才能正确地把握整节课的教学内容，才能正确组织教学内容进行设计，才能明白本节课重点、难点，学生的疑点是什么。哪些内容不宜放在这一课，哪些知识在本节课学习比较合理，哪些知识适合后续学习；有没有必要在课堂上引领学生进行探究，习题该怎样变式，变式的核心是什么，问题的解决还有哪些方法，教学过程中要渗透什么数学思想方法，要培养学生什么能力等等，这些都值得教师深思。这要求教师从整体性、联系性的视角审视教学内容，应该根据学生的实际情况去进行教学，使教学设计不偏离数学本质。其实，余弦定理的证明方法很多，教材介绍了用极坐标证明余弦定理和复数证明余弦定理等等。为了培养学生对数学的兴趣，课后可以引导学生对定理给出新的證明方法。教师把握并使用教材是极富主动性、创造性的工作。在具体的教学过程中，我们要从学校、学生和自身的实际情况出发，主动地、合理地对教材进行解读，引领学生走进教材，要努力形成适合于自己、有益于学生的教学设计和方法。只要我们下真功夫研读教材，科学、合理、有效地用好教材，学生求知的星星之火定能成燎原之势。

三、对常态课的一点反思

常态课堂即一种自然、真实状态下的课堂教学活动，是师生在不受其他外界因素干扰下的双边教学过程。它是自然、真实的课堂，自然得带有几分朴实，真实得没有粉饰；它是和谐、欢乐的课堂，因为师生和生生之间的交流互动以及内心真切的体验而幸福快乐；它是充实、有效的课堂，我们必须在其间关注学生知识、能力、方法等方面的发展。叶澜教授曾指出，一节好课，应该是平时的课，是常态下的课，课堂应实实在在，不管谁在旁听，教师都要做到旁若无人，心中只有学生；一节好课，应该是真实的课，是不加粉饰、有待完善、值得反思的课，它不可能尽善尽美。如何上好常态课，进一步提高课堂的教学效率，值得我们每—位教师进行研究与探讨。

12.正弦、余弦定理综合应用 篇十二

正、余弦定理的综合应用

一、知识要点

（一）1．正弦定理：

a

sinA

（）2．变形公式：（1）a2RsinA，bc

（2）sinAa

2R，sinB，sinC

（3）a:b:c。

3．三角形面积公式：SABC。

（二）1.余弦定理：a2b2c2

。

2.余弦定理的变形：cosA，cosBcosC。

二、基本类型

类型一：解三角形

1、已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°

2、△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52，A＝2B，则cosB＝()A.55553B.45D.63、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32

则a的值为()A．1B．2C.3234、、三角形的三边分别为a,b,c，且满足(abc)(abc)

3ab，则c边所对的角等于（）

A

45B60C30D150

5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tanB3ac，则角B的值为()

A.π6B.ππ5ππ2π366D.3或36、在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________．

类型

二、判定三角形的形状

7、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosBbcosA,则三角形为

8、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosB

acosA,则三角形为

9、若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（）

（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.10、已知在ABC中，sin

Asin2Bsin2CsinBsinC，则ABC是（）

A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D正三角形

11、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边的长，且sin(B＋ππ2

4－sin(B－4＝2

.(1)求角B的大小；(2)若a、b、c成等比数列，试判断△ABC的形状．

三、体验高考题

12、（2010浙江理数）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C14

(1)求sinC的值；(2)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

13、（2010辽宁文数）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC（1）求A的大小；（2）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.14、（2010安徽文数）ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA1213

。(1)求AB

AC

13.余弦定理课件 篇十三

一、选择题

1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝()

A．52B．102C.6

3D．6

2．(2010·茂名调研)已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()

A．60°B．90°C．120°D．150°

3．在△ABC中，已知sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

4．△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()A.33

4C.23D.32或3

45．(2010·上海卷)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC()

A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

6．在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2，并且B为锐角，则△ABC的形状是（A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

二、填空题

7．在△ABC中，2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为3

2b等于________．

8．(2010·广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin A＝________.9．(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．

10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝1(a2＋b24－c2)，则角C的度数是________．

11．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．

三、解答题

14.余弦定理 三角函数（模版） 篇十四

们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C，则满足性质——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2c^2)/(2·a·b)

cosB =(a^2 + c^2a^2)/(2·b·c)

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）

第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cos C＋c·cos B，b＝c·cos A＋a·cos C，c＝a·cos B＋b·cos A。

编辑本段余弦定理证明

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2

sin2A=2sinA*cosA

三倍角公式

sin3a=3sina-4(sina)^3

cos3a=4(cosa)^3-3cosa

tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(pi/2-a)=cos(a)

cos(pi/2-a)=sin(a)

sin(pi/2+a)=cos(a)

cos(pi/2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinA/cosA

万能公式

sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

15.余弦定理的教案 篇十五

人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

二、学生学习情况分析

本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

三、设计思想

新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。

四、教学目标

继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。

五、教学重点与难点

教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

六、教学过程：

七、教学反思