等比数列前n项和题

2024-10-17

等比数列前n项和题（精选13篇）

1.等比数列前n项和题篇一

等比数列前n项和练习二

1.在等比数列｛an｝中，S4=2,S8=6,a17+a18+a19+a20等于()A.32

B.16

C.35D.162

2.已知等比数列｛a1n｝的公比q=3，且a1+a3+a5+…+a99=60，则

a1+a2+a3+a4+…+a100等于()A.100

B.80

C.60

D.40

3.等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30等于()A.70

B.90

C.100

D.120

4.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低13，现在的价格是 8100元，则15年后，价格降低为()A.2200元

B.900元

C.2400元

D.3600元

5.已知等比数列｛an｝中，an=2·3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为()n

A.3n

B.3(3n

-1)

C.913(9n

1)

D.4

6.在正项等比数列an中，若s2=7,s6=91，则s4的值为（）Ａ２８Ｂ３２Ｃ３５Ｄ４９ 7.在等比数列an中，sn表示前ｎ项和，若a3=2s2+1,a4=2s3+1则公比ｑ等于（）

Ａ３Ｂ－３Ｃ－１Ｄ１ 8.在等比数列｛an｝中，若Sn=93,an=48，公比q=2，则9.等比数列首项为2，公比为3，从前

项的和开始大于100.10.等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________

11.已知等比数列an，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式。

12.已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；

(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.

2.等比数列前n项和题篇二

提出问题: 已知等比数列{ an} 的首项为a1, 公比为q, 求它的前n项和Sn.

问题分析: 这个问题中给出的已知条件就是等比数列、首项和公比, 要求的是前n项和. 我们已经学习过等差数列的相关概念和公式, 那么等比数列是否也可以用类似于等差数列前n项和公式的推导方法进行推导呢? 经过思考和实践, 主要总结出了以下的几种推导思路.

一、以等差数列前n项和公式的推导为参考

当{ an} 为等比数列时, 这样就表示出了Sn, 但这个式子里面共有n项相加, 必须要化简, 消除其中的一些项, 只用某几项来表示. 从上面的式子我们可以观察到, 从第二项起, 每一项都是前一项的q倍, 那么我们可以采用类似于等差数列前n项和的方式, 对该式的两边同时乘q得到一个新的式子:, 用这个式子减去Sn, 就可以把大部分的项都消除掉, 得到, 整理得:且当q≠1时, 当 q = 1 时, Sn= na1.

反思这种方式类似于等差数列前n项和的推导过程, 主要就是通过适当的变形和相减, 把大部分项都消除掉, 达到化简的目的, 使Sn能够写成用a1, q和n表示的形式.

二、以等差数列的通项公式推导方式为参考

在等差数列中, 当n≥2时, 有a2- a1= d, a3- a2= d, …将这些等式的两边分别相加起来, 就可以消除掉等式左边的中间项, 得到an- a1= ( n - 1) d, 且当n = 1时, 这个等式也成立. 那么把这个推导方法运用到等比数列中得:也就是同样的, 把这些等式都加起来, 就得到了等式的左边少了加上a1可以凑成Sn等式的右边括号内加上an也可以凑成Sn, 所以等式可以写成Sn- a1= ( Sn- an) ·q且当q≠1 时, 当 q = 1 时, Sn= na1

反思这种方法是根据等比数列的定义推导出来的, 把每一项表示出来, 用累加的方式就可以得到与Sn相关的式子, 再进行适当的变换, 用已知把Sn表示出来就得到了我们需要的目标公式. 这种推导方式的实质就是建立一个有关于Sn的方程, 解出这个方程, 就是用相关的已知量来表示Sn, 因此, 这可以说是一种方程思想的应用.

三、以等比数列的定义结合比例式的性质进行推导

根据等比数列的定义，与方法二中相似的方法, 要使得式子中出现要求的Sn, 就要凑出通过观察可以发现这个式子的特点是分子中含有除a1外的其他项, 那么, 我们结合比例式的性质, 可以得到也就是同样可以得到有关于Sn的方程.

反思这种思路直接从定义出发, 结合等比例的性质, 更容易理解, 思路方面比第二种方法更加清晰自然. 相同之处都是运用了方程的思想, 用解方程的方式把所求的公式表达出来.

等比数列是高中数学的重点和难点, 特别是有关公式的推导, 教师在教学中一定要重视, 只有经过认真思考和推导之后, 学生们对公式的理解才比较彻底, 在实际运用中才能更加灵活.

参考文献

[1]吴静, 祝世清 (指导教师) .方程法变形数列递推公式.中学生数学:高中版, 2013 (9) .

[2]汪元健.求数列通项公式的技巧.中国文房四宝, 2013 (6) .

3.等比数列前n项和题篇三

教学是师生共同参与的活动过程，在这个过程中，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师的主导要为学生主体达到学习目标服务，也就是就教师在使用讲授法的同时，必须辅之以指导学生亲自探究、发现、应用等活动，为学生思维指路搭桥。通过学生自主的尝试活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使学生获取知识，提高能力，本堂课的设计正是以这个原则为主旨的。

二、学生情况与教材分析

1.学生通过上一节的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点。

2.几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习来理解数学，是数学学习中的重要方面。

3.本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1.知识目标

（1）了解等差数列前n项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前n项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式。

（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，利用公式求和；等差数列通项公式与前n项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值。

（3）会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究前n项和的最值。

2.能力目标

（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比的思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标

（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

四、教学重点、难点

重点：等差数列前n项和公式。

难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路。

五、教学方法

启发引导、交流讨论、合作探究。

六、教具准备

现代教育多媒体技术。

七、教学流程图

八、教学过程

1.引入新课

（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=______，通项公式an=______”（见黑板）

生1：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和，我由地想起德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3…+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。下面给同学们一点时间来挑战高斯。

生2：5050

师：看来我们班还是有不少高斯的。继续努力，说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。

生3：（说明如何进行首尾配对进行求和的。）

师：根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。不过，对于以下的题，“例：求等差数列8、5、2…的前20项的和（见课件）”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。

2.合作学习，探求新知

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。

（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

生4：利用刚才的方法.（略）

师：想一想，除了刚才的首尾配对求和的方法外，还有没有其他的方法呢？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生5：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为S8=

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和Sn等于多少？

生6：Sn=

解:钢管的数量为:S8=

等差数列前n项求和公式:Sn=

师：这个猜想对不对呢？下面我们用所学过的知识一起来证明一下。

板书：Sn=a1+a2+a3+…+an

即Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+［a1+（n-1）d］

把上式的次序反过来又可以写成：

Sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+［an+（n-1）d］

两式相加：

2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…（a1+an）=n（a1+an）

所以Sn=

看来，我们的猜想是正确的。下面我们做几道练习来熟悉一下公式。

3.合作学习，巩固并探求新知

学生练习一：（1）在等差数列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求S10.

（2）求正整数列是前1000个数的和;

学生小组合作练习，分组进行交流。

师：看来，大家对公式的掌握还是不错的。下面，我们再来看一道练习。

学生练习二：在等差数列｛an｝中，a1=1，d=-2已知a1=1，d=-2，求S10；

学生思考，并讨论解答。

学生讲解如何进行求解这题。

师：刚才那道题给出了a1，d和n=10，a10没有给出，但我们一样可以将S10求出，

那我们能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

学生根据求和公式一和通项公式导出公式二：Sn=na1+d

学生练习三：求正整数中前500个偶数的和（用多种方法求解）。

学生讨论解答此题，并请学生上台讲解。

4.总结

师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容。今天我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一，并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二，希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式。

5.教学反思

4.等比数列前n项和的教学设计篇四

内容分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A版）第二章第5节第一课时，从在教材中的地位与作用来看：《等比数列前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推倒过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。学情分析

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推倒与等差数列前n项和公式的推倒有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用公式的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。设计思路

《新课程改革纲要》提出：要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”.对这一目标本人认为应更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势利导，培养学生的创新思维能力，利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。三维目标

理解并掌握等比数列前n项和公式的推倒过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的的问题。

通过对公式推倒方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。

通过对公式推倒方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

教学重点：公式的推倒、公式的特点、公式的应用。

教学难点：公式的推倒方法和公式的灵活运用。公式推倒所使用的“错位相减法”是高中数学的数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴涵了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。教学手段：多媒体辅助教学教学过程

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，设计了如下的教学过程：

一、创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的2倍，直至第64格，国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？设计意图：

设计这个情景目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数122223„263，带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时对他们的这种思路给予肯定。

在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙的抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。

二、师生互动，探究问题

在肯定了他们的思路后，接着问：122223„263是什么数列？有何特征？122223„263应归结为什么数学问题呢？

学情预设

探讨1：设S64122223„263,记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有（2）两式，你有什么发现？ 2S6422223„263264，记为（2）式。比较（1）设计意图：

留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推倒关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住学生的辩证思维能力的良好契机。

经过比较、研究，学生发现：12两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到S642641。老师提出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么1式两边要同乘以2呢？

经过繁难的计算后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了!让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

三、类比联想，解决问题

这时在顺势引导学生将结论一般化，设等比数列an，首项为a1，公比为q，如何求前n项和Sn？这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。设计意图

在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。学情预设

a1a1qn在学生推倒完成后，再问：由1qSna1a1q得Sn对不对？这里的q能不能

1qn等于1？等比数列中的公比能不能为1?q=1时是什么数列？此时Sn？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）

再次追问：结合等比数列的通项公式ana1qn1，如何把Sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一种形式）设计意图

通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。

四、讨论交流，延伸拓展

在此基础上，提出：探究等比数列前n项和公式，还有其他方法吗？我们知道2„a1qn1a1q(a1a1q„a1qn2)，那么我们能否利用这个关系而求出Sna1a1qa1qSn呢？根据等比数列的定义又有Sn呢？

aa2a3a4„nq，能否联想到等比定理从而求出

an1a1a2a3设计意图

以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围。以上两种方法都可以化归到Sna1qSn1，这其实就是关于Sn的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用。

五、变式训练，深化认识

例1求等比数列变式1等比数列变式2变式31111，,„的前24816,8项和。

111163，，„的前多少项的和是？ 24816641111等比数列，，„，求第5项到第10项的和。

248161111等比数列，，„，求前2n项中所有偶数项的和。

24816首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其他同学进行评价，然后师生共同进行总结。

设计意图

采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成，通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。

六、例题讲解，形成技能

例2求和1aa2a3„an1 设计意图

解题时，以学生分析为主，教师适时给予点播，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。

七、总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推倒方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。设计意图

以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

八、故事结束，首尾呼应

最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.841019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一跳宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺。设计意图

把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。

九、课后作业，分层练习必做：课本本节练习1：（1）（2）;2;选做：思考题：（1）求和x2x23x3„nxn。（2)“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？设计意图

出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生思考的空间。教学反思

对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推倒方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。

等比数列前n项和的教学设计

济宁市任城区第二中学

褚

5.等差数列前n项和作业篇五

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生: 伍家濠授课时间:________年级: 高三

教师:

廖

1.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（）A.5 B.4 C.3 D.2 2.在等差数列an中，若a4a612,Sn是数列an的前n项和，则S9的值为()（A）48(B)54(C)60(D)66 3.设Sn是等差数列an的前n项和，若（A）

S31S,则6()S63S12311（B）

（C）8（D）

39104.已知数列{an}、其首项分别为a1、且a1b15，设b1，a1,b1N*．{bn}都是公差为1的等差数列，则数列{cn}的前10项和等于（）cnabn（nN*）A．55

B．70

C．85

D．100 5.设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315,a1a2a380，则a11a12a13（）

A． 120 B． 105 C． 90 D．75 6.an是首项a1=1，公差为d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于()（A）667（B）668（C）669（D）670 7.若等差数列an的前三项和S39且a11，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．6 8.等差数列an的前n项和为Sn若a21,a33,则S4＝（）[来源:学科网] A．12 B．10 C．8 D．6 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）A．63 B．45 C．36 D．27 10.等差数列an的公差是正数,且a3a712,a4a64,求它的前20项的和.11.已知数列an为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。

6.等比数列前n项和题篇六

生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。

2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式(I)或(II)，掌握知三求二的解题通法。

3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性质，看能否用整体思想的方法求a1+an的值。

师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性质，要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，主动积极地去学习。

本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

7.等比数列前n项和题篇七

等差 (比) 数列前n项和公式的推导堪称一个经典, 多年来, 老师们针对如何上好这两公式推导方法课 (即所谓的“倒序相加法”, “错位相减法”) 做了大量的研究工作, 也发表了许多有价值的案例, 笔者作为从教20多年的其中一员, 也倍感这两种数列求和公式的推导, 确实是教学的难点.每次上完这两节课后, 总有许多遗憾, 也常被一些问题困扰.譬如, 人教社课标教材模块5, A版, 为引出“倒序相加法”设置了小高斯求和的问题情境, 文[2]认为由“高斯算法”过渡到“倒序相加法”是一个思维跨越, 学生难以完成, 产生了困惑.文[1]认为困惑的原因是知识的深度、广度与学生的认知水平之间的差异产生的, 是教学的一个难点, 而非教材设计的缺陷, 并且针对文[2]中产生的困惑, 从引导学生对“高斯算法”的本质进行思考, 提出集合与对应思想指导, 实现从“高斯算法”到“倒序相加”过渡的解决问题的思路.笔者按这一思路实践了教学, 但仍有“倒序相加”揭示不充分、不自然的感觉, 用听课教师们的话说:“依然存在直接抛出‘倒序相加法’的嫌疑.”是笔者的水平有限, 启发不够, 还是我们仍没有领悟到小高斯求和的数学本质呢?

那么, 小高斯求和的数学本质是什么?换句话说, 是什么样的思想方法驱动小高斯这样想的呢?又譬如, 等差数列和等比数列被誉为数列中的姐妹花, 它们在定义和性质上有很多相似性, 给人以许多数学美的享受和启迪, 在教学中我们也多采用类比、归纳的方法让学生体会这种美.但教材中对两种数列求和公式的推导方法的处理上, 则表现出一种不和谐、不统一.因此, 也有不少教师们反映直接类比等差数列求和公式的推导方法来推导等比数列求和公式会碰壁, 两种求和方法有着怎样的数学本质呢?等等.

1等差 (比) 数列求和公式推导方法的数学本质是相同的, 两种求和方法只是一种运算技巧

不妨先回顾一下人教社课标教材A版模块5中, 两种求和公式的推导方法, 作以下对比分析.

等差数列求和公式的推导过程

Sn=a1+a2+a3+…+an, (1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a1, (2)

(1) + (2) 得

2Sn= (a1+an) + (a2+an-1) +…+ (an+a1) .

根据等差数列性质可得

(a1+an) = (a2+an-1) =…= (an+a1) , (3)

所以

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) n ‚ S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} .$

等比数列求和公式的推导过程

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, (4)

(4) ×q, 可得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn, (5)

(4) - (5) 得

$(1 - q) S_{n} = a_{1} + 0 + 0 + \dots + 0$ n-1个0 -a1qn. (6)

所以当q≠1时, $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} .$

对Sn=a1+a2+a3+…+an求和, 关键是处理带省略号的一段, 在 (3) 式中因为a1+an, a2+an-1, …, an+a1相等, 即可求和, 整体上处理了省略号;而在 (6) 中式因为出现了 (n-1) 个0, 也从整体上成功地求出了和.可见, 两种推导方法从解决省略一段的方式是相同的, 即都是把相同的数组成的数列求出和这一简单事实.那么, 这里的相同的数组成的数列是如何构造来的呢?从 (3) , (6) 式中不难看出, 是数与数“配对”后通过两个等式加、减而来, 之所以能求出和, 是因为通过“配对”将不同的数的数列求和化归为相同的数的数列求和 (即常数列求和) .这样, 我们认为“小高斯算法”本质是转化与化归的思想方法.而“配对”只是这一数学本质的表现形式, 这样看来, 所谓的“倒序相加法”和“错位相减法”有着相同的数学方法本质, 即转化与化归的思想方法.而这两种方法本身不过是一种数列求和的运算技巧而已, 不必被推崇为方法, 更不足称为数学思想了.

基于以上对两种数列求和公式推导方法的本质认识, 由“高斯算法”到“倒序相加法”的过渡启发也就迎刃而解了.教学实施中, 教师引导学生共同提炼出小高斯的求和本质, 然后抓住这一关键, 运用一般性问句:“能否利用这一思想方法 (将不同的数的数列求和化归为相同的数的数列求和, 即常数列求和) , 对一般的等差数列求和呢?”引导学生运用等差数列性质, 自然会出现对原来数列倒序相加, 所谓的“倒序相加法”水到渠成.正如曹才翰教授所说, 中学教学的绝大部分内容, 都是人类在长期的社会实践中经过千锤百炼的数学精华和基础, 其中的数学概念、方法与思想的起源与发展都是自然的.如果你感到某个概念生硬不自然, 是强加于人的, 那么, 只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用以及它与其他概念的联系, 就会发现它实际上是浑然天成的.它不仅合情合理, 而且很有人情味.[3]

这样, 就不难解决一直困扰不少老师为什么不能用类比等差数列求和公式的推导方法来启发学生推导等比数列求和公式的难题.如, 在教学实施中, 可引导启发学生, 运用一般问句:“能否类比等差数列求和公式的推导方法 (将不同数的数列求和转化为相同数的数列求和, 即常数列求和) 来推证等比数列求和公式呢?”适当引导后, “错位相减”也将自然形成.教学实践证明, 这样更符合学生的认知特征, 使学生思维更活跃, 探究欲望高涨.

2落实课标理念, 返璞归真, 既教猜想, 又教证明

普通高中《数学课程标准》第3页指出:“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动, 让学生体验发现和创造的历程, 发展他们的创新意识”.而这方面的培养, 一个最有效的工具就是加强合情推理的教学.[4]普通高中《数学课程标准》第56页也指出:“合情推理是根据已有的事实和正确的结论 (包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的结果, 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程, 归纳, 类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中, 合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用, 有利于创新意识的培养.”而合情推理的实质是“发现”, 正如牛顿曾说过的那样, “没有大胆的猜想, 就做不出伟大的发现”, 没有“发现”也就没有创新!中国数学在整体上仍和国际先进水平有相当的差距, 如果说我们在技巧、证明难度上比较强的话, 那我们在数学创意、新理论的建立、新科学奠基方面, 则有很大的差距, 如此考虑, 也许“推测数学”的提出, 正击中我们的弱点[5].因而, 在数学教学中教“创新”首先应该教“猜想”吧!

另一方面, 数学内在的自然和谐是寻求自然的教学过程的源泉.[5]由于教材是用归纳—猜想—证明这一思路求解的等差数列通项公式, 那么, 在教材编写上为什么不像处理等差、等比数列通项公式一样, 运用观察—归纳—猜想—证明这一思路来处理两种数列求和公式的推导呢?尽管人教社教材B版模块5中, 用“错位相减法”推导等比数列前n项和公式, 已退为方法2, 但方法1, 仍没按这种思路编写.更何况这是培养学生合情推理能力的良好素材!教学实践充分证明:按“观察—归纳—猜想—证明”这一思路来处理两种数列求和公式的推导, 让学生经历“再创造与再发现的过程”, 获得科学发现的体验, 不仅能激发学生学习数学的兴趣, 使学生在感受数学自然、亲切的同时, 产生“看个究竟”的冲动, 兴趣盎然地投入学习, 而且也更符合学生的心理特征和认知水平.

限于篇幅, 笔者仅对等差数列前n项和公式的猜测过程、思路的探索过程以及证明的教学片段与大家分享.

2.1等差数列前n项和公式的猜想过程

笔者给出数列{an}前n项和Sn定义:称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和Sn, 即Sn=a1+a2+a3+…+an.

说明 ①数列{an}前n项和Sn定义给出后, 笔者不仅强调了定义的判定功能, 而且还强调了性质功能.如a1=S1, a1+a2=S2, a3+a4+a5=S5-S2是让学生理解定义的判定功能;又如见到S1=a1, S2=a1+a2, S5-S2=a3+a4+a5是让学生理解定义的性质功能.教学经验告诉笔者, 在解题中学生遇到像an=a1+a2+…+an-1 (n≥2) 这样的条件不知道给了什么或不会使用这个条件 (实际上, 就是an=Sn-1 (n≥2) 这样一个简单事实) , 与我们定义教学中不强调定义的双重功能不无直接关系.

②笔者强调定义是针对一般数列而言的, 当然, 若数列{an}是特殊的等差数列时, 也是适用的.目的是为后面探求等差数列前n项和公式推证的通法 (裂项法) 埋下伏笔.

师:若数列{an}为等差数列, 求和a1+a2+a3+…+an, 意味着什么?

生:化简, 化简成一个更为简洁的表达式.

师:好!那么, 这个表达式可能用什么量表示呢?

生1:用a1, d, n表示.

师:你怎么想到的?说说看.

生2:受等差数列通项公式用a1, d, n表示an的启发 (其他同学点头认同) .

师:我也赞同, 还有其他可能的表达式吗?

生3:大概是a1, an, n表示.既然上一个同学说可用a1, d, n表示Sn, 如果用an=a1+ (n-1) d可代入消去d, 就是a1, an, n表示Sn.

师:你太棒了!这样, 我们有两种可能的目标:Sn=f (a1, an, n) , Sn=g (a1, d, n) .

生4:老师我想Sn一定是n的二次函数, 因为, an是n的一次函数, ……

师:好!是否Sn是n的二次函数, 待表达式结果研究出来以后, 我们就清楚明白.同学们, 我们已经有了两种可能的结果, 那么, 我们选择什么样的方法研究呢?

生5:找规律, 猜想的办法, 因为通项公式就是用这种办法. (生点头赞同)

师:好, 同学们, 我们就不妨选用Sn=f (a1, an, n) 这种形式开始吧!

猜测1 用a1, an, n表示.

$\begin{array}{l} S_{1} = a_{1} = \frac{(a_{1} + a_{1}) \times 1}{2} ‚ \\ S_{2} = a_{1} + a_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2}) \times 2}{2} ‚ \\ S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \\ = a_{1} + \frac{a_{1} + a_{3}}{2} + a_{3} = \frac{(a_{1} + a_{3}) \times 3}{2} ‚ \\ S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} \\ = a_{1} + (a_{1} + a_{4}) + a_{4} \\ = \frac{(a_{1} + a_{4}) \times 4}{2} ‚ \\ S_{5} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} \\ = a_{1} + a_{1} + a_{5} + a_{3} + a_{5} \\ = 2 (a_{1} + a_{5}) + \frac{2 a_{3}}{2} \\ = \frac{(a_{1} + a_{5}) \times 5}{2} ‚ \end{array}$

……

观察以上各式, 归纳猜想

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} \\ = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} . \end{array}$

说明 ①在笔者教学过程中, 当算出S3后, 学生仍鸦雀无声, 这时, 教师鼓励学生继续算出S4, S5的结果, 顿时学生脸上露出了惊喜, 全班情绪高涨.而且有的同学很快把S1, S2, S3改写为: $S_{1} = \frac{(a_{1} + a_{1}) \times 1}{2} ‚ S_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2}) \times 2}{2} ‚ S_{3} = \frac{(a_{1} + a_{3}) \times 3}{2}$ .另有一个同学窃窃私语, 结果与梯形的面积类似.笔者立即表扬了该同学的善于由“数”思“形”的好习惯和能力.接着笔者追问该生, 你能设计一个图形对我们的运算结果给一个解释或验证吗?生一筹莫展.这时笔者引导学生回忆等差数列{an}的各点 (n, an) 均在一次函数y=dx+ (a1-d) 的图像上, 是图像上均匀分布的无穷多个孤立点.如图1, 试问:你能根据图像对 $S_{4} = \frac{1}{2} (a_{1} + a_{4}) 4$ 进行验证或给出几何解释吗?设ai>0 (i=1, 2, 3, 4) , 则不少学生很快将图1画成图2, 并发现等差数列{an}a1, a2, a3, a4, 恰好为图2中各个实线小矩形的面积, 因此, 要求S4, 相当于求图2中这些实线小矩形的面积之和.生师讨论后, 只要在图2中再倒置一个与实线同样的虚线图形即可验证 $S_{4} = \frac{1}{2} (a_{1} + a_{4}) 4 = \frac{1}{2} S_{矩形} ‚ S_{i} = \frac{1}{2} (a_{1} + a_{i}) i = \frac{1}{2} S_{矩形} (i = 1 ‚ 2 ‚ 3 ‚ 4)$ , 进一步师生共同将图2画成图3对 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ 进行了验证.不过强调这里的an>0.

上述验证过程, 学生兴奋不已.这时笔者提问一个学生你高兴什么?学生回答说:我们猜对了.估计是学生体验到一种数、形的统一美吧!是啊!这何尝不是我们教学一直追求的和谐美呢?加强直观教学, 重视图形在数学教学中的作用, 鼓励学生借助直观进行思考, 做出猜想或验证, 揭示研究对象的性质和关系也是《新课标》所要求和大力提倡的.

②笔者发现个别同学将S1, S2, S3, S4, 写成了如下形式:

$\begin{array}{l} S_{1} = \frac{(a_{1} + a_{1})}{2} \times 1 ‚ S_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2})}{2} \times 2 ‚ \\ S_{3} = \frac{(a_{1} + a_{3})}{2} \times 3 ‚ S_{4} = \frac{(a_{1} + a_{4})}{2} \times 4 . \end{array}$

当时笔者还问学生为什么这样写呢?学生说美!那你为什么感觉美呢?学生说 $\frac{a_{1} + a_{1}}{2} ‚ \frac{a_{1} + a_{2}}{2} ‚ \frac{a_{1} + a_{3}}{2} ‚ \frac{a_{1} + a_{4}}{2}$ 都是平均数, 笔者当时没过多留意.下课后查阅了一下数学史发现:早在南北朝时, 我国的《张邱建算经》已有的计算等差数列前n项和公式就是 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n$ , 而不是 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ , 这说明古人是用算术平均数的观点求和的.如果笔者在课堂上知道的话, 借题发挥向学生讲一点数学史, 让学生感悟一下民族文化, 岂不是锦上添花吗?更何况这也是《新课标》大力提倡的, 这也充分印证了一位老教师说的话“每节课都有遗憾!”笔者深信不疑.

猜测2 用a1, d, n表示.

观察以上各式, 归纳猜想

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} \\ = (a_{1} + \frac{n - 1}{2} d) \times n = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d . \end{array}$

说明 ①在教学实施过程中, 师生共同将S1, S2, S3, S4表示成形式 (Ⅰ) 后, 学生比较沉默, 较难发现规律.师仍引导学生继续讨论研究, 过一会一同学发言:需将 (Ⅰ) ⇒ (Ⅱ) ;继续 (Ⅱ) ⇒ (Ⅲ) , 即可猜出结论, 最后写成 (Ⅳ) 的形式.可见, 学生的猜想能力是不可低估的.实际上, $S_{n} = (a_{1} + \frac{n - 1}{2} d) n$ 是刘徽在《九章算术注》中, 创造的等差数列计算公式之一.

②在猜测过程中, 还有学生发现:这里的问题实际上是对数列0, 1, 3, 6, …猜出一个通项公式, 并立即说出第n项为 $\frac{n (n - 1)}{2}$ .师追问, 该生说是受毕达哥拉斯的三角形数的启发.顿时, 教室气氛高涨, 并有不少同学说是这个结果的还有平面几何图形中线段条数 (图4, 若有n个点在一条直线上, 共能数出多少条线段?) 、角的个数 (图5, 若有n条射线经过同一个顶点, 共能数出多少个角?) 、三角形个数 (图6, 若BE边上共有n个点, 每个点都与A连结成线段, 能数出多少个三角形?) 等等.

2.2等差数列前n项和公式的证明思路探索及证明过程

以上, 我们主要从“数”的角度通过观察—归纳—猜出了等差数列前n项和公式的结果, 尽管也从“形”的角度给出了验证或解释, 但仍不能认为是正确的, 要确认其正确性必须给出严格的证明.那么, 如何证明这个公式呢?大家来探索一下思路吧, 请各抒已见, 大胆一些!

生6: (证法1) 当n为偶数时,

师:你证得太棒了!你是怎么发现这种思路的?说说看.

生:我是从我们前面对S1, S2, S3, S4, S5的计算中发现的思路.

这时, 师高度赞扬该同学, 且说著名数学家华罗庚倡导在研究和解决数学问题时要善于“退到原始状态”, “先退后进, 退是为了进”确是一种科学的方法, “退”是为寻找“进”的经验、方法或思路.

师:生6同学是用讨论的办法给出了证明, 但从Sn的结果来看是不受n为奇数、偶数的影响.哪位同学能想出一个避免讨论的办法呢?

以下教师引导学生研究学生6的证明过程, 并共同提炼出上述证法的实质是将不同数的数列a1, a2, a3, …, an求和转化为相同数的数列a1+an, a2+an-1, …, ai+an-i求和, 即常数列求和, 但要a1与an, a2与an-1, ……等配对, 再利用性质m+n=s+t⇒am+an=as+at即可证明.

生7: (证法2) 因为

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} \Leftrightarrow 2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) n$ ,

而 Sn=a1+a2+…+an-1+an,

又 Sn=an+an-1+…+a2+a1,

两式相加即得结论.

师:你怎么想到对Sn又倒序写出来呢?

生7:我看到式 (1) 中, 有 $\frac{1}{2}$ , 将 (1) 两边同乘以2, 得2Sn= (a1+an) n, 又要a1与an, a2与an-1配对, 而在统计学中, 改变数据的排列方式是分析数据的基本方法, 所以想到将Sn倒写出来, 并写成an+an-1+…+a2+a1的形式.这样才能将不同数的数列a1, a2, a3, …, an转化为相同数的数列a1+an, a2+an-1, …, ai+an-i求和.

师:你太聪明了!那你也给你发现的方法取一个名字吧?

生:倒序相加法.

说明 ①从生6, 生7的证明可以看出, 只要教师启发引导到位, 尤其是师生能归纳概括出将不同的数的数列求和转化与化归为相同数的数列求和, 并抓住这一关键, “倒序相加法”是能自然形成的.这样, 教材中的小高斯求和的情境也无须创设.但可以作激发学生学习兴趣的数学史料介绍给学生.

②不论是对公式 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ 的猜想, 还是证明, 学生都有统计学观点的流露.如将S1, S2, S3, S4写成 $S_{1} = \frac{(a_{1} + a_{1})}{2} \times 1 ‚ S_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2})}{2} \times 2 ‚ S_{3} = \frac{(a_{1} + a_{3})}{2} \times 3 ‚ S_{4} = \frac{(a_{1} + a_{4})}{2} \times 4$ 是学生对平均数这个统计量有较深入认识、理解的表现, 用平均数的观点去理解学生6的证法1, 那就是寻找到a1, a2, a3, …, an这些数平均数 $\frac{(a_{1} + a_{n})}{2}$ 再乘以n即得 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ .笔者冒昧猜测小高斯是否也是这样对1+2+…+100求和的呢.学生7改变数据的排列方式是分析数据的基本方法, 表明学生7已经善于用统计学的思想方法来分析、解决问题了.那么, 就更易理解“倒序相加”只是一种形式了.可见, 用统计的观点推导等差数列前n项和公式, 思路清晰, 简捷明了.既沟通了代数学与统计学的联系, 又拓展了我们认识问题的视野.

师:至此, 我们已对我们上节课中猜想出的 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ 进行了证明, 但这个公式仅对等差数列适用, 换句话说, 对非等差数列是不能用这个公式的.那么是否存在更一般的数列求和的方法呢?如果我们找到这种方法的话, 那么这种方法也一定可以用来推证等差数列前n项和的公式.

生:点头. (我想学生是在表示存在这种方法, 但目前不知道是什么方法)

师:那么, 我们确信一定有一种适用范围更广泛的方法, 是什么呢? (但一时学生似乎没什么思路, 笔者仍耐心引导)

师:到目前为止, 你做过数列求和的题目吗?你做过的话是用什么方法解答的?

说明平时教学, 我们应要求学生不应满足于特殊状态下的结论或方法, 而要探寻更一般的结论或方法.对一般结论或方法的探寻, 对学生各种能力尤其是创新能力提出了更高的要求, 即可充分调动学生的潜在能力, 知识储备, 数学经验, 又能激发对科学真理锲而不舍的追求精神.

生8:我在小学做过一道题目:

求: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100} .$

生:裂项法.

师:请同学们思考:等差数列的前n项和公式是否可用裂项法求和呢? (在学生讨论思考过程中, 笔者不断插话:“要裂项, 你应抓住哪一项进行裂项呢?”不一会)

生9:我有办法了.

$\begin{array}{l} 裂项方法 1 a_{n} = a_{n} \times \frac{d}{2} \times \frac{2}{d} \\ = a_{n} \times \frac{2 d}{2 d} = a_{n} \times \frac{a_{n + 1} - a_{n - 1}}{2 d} \\ = \frac{1}{2 d} (a_{n + 1} a_{n} - a_{n} a_{n - 1}) (n \geq 2) . \end{array}$

师 (追问) :你是如何想到的?

生9:是受 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ 的结果或目标中, 有 $\frac{d}{2}$ 的启发.

师:你太棒了!那么, 我们一起写出证明吧! (证法3)

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + \frac{1}{2 d} [(a_{3} a_{2} - a_{2} a_{1}) \\ + (a_{4} a_{3} - a_{3} a_{2}) + (a_{5} a_{4} - a_{4} a_{3}) \\ + \dots + (a_{n + 1} a_{n} - a_{n} a_{n - 1})] \\ = a_{1} + \frac{1}{2 d} (a_{n + 1} a_{n} - a_{2} a_{1}) \\ = a_{1} + \frac{1}{2 d} {(a_{1} + n d) [a_{1} + (n - 1) d] \\ - (a_{1} + d) a_{1}} \\ = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d . \end{array}$

(整个推证过程, 同学们兴奋不已, 有的为该同学的证法欢呼喝彩, 有的跃跃欲试想其它裂项方法)

说明 ①数学教学必须遵循人们认知的普遍规律, 即“由特殊到一般”, 也就是在认识个体的基础上去认识全体, 继而再用一般的结论或方法来解决具体问题.在上课过程中当学生完成了证法3后, 笔者板书了如下框图, 以帮助学生更好理解认识裂项法是数列求和的一般方法, 是通法.而“倒序相加法”适用于等差数列前n项和公式推导或求和的特殊方法, 是一般与特殊的关系.

以下是同学们讨论的裂项成果, 写出来与读者分享:

裂项方法2 受目标 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ 中有na1的启发

$\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \\ = a_{1} + \frac{d}{2} [n^{2} - (n - 1)^{2} - 1] \\ = [a_{1} + \frac{d}{2} n^{2}] - [\frac{d}{2} (n - 1)^{2} + 1] . \end{array}$

裂项方法3 因为2d=an+1-an-1 (n≥2) , 所以2dan=an+1an-anan-1 (n≥2) , 则

$a_{n} = \frac{1}{2 d} (a_{n + 1} a_{n} - a_{n} a_{n - 1}) (n \geq 2) .$

裂项方法4 由 (x+y) (x-y) =x2-y2,

$\begin{array}{l} 得 x y = (\frac{x + y}{2})^{2} - (\frac{x - y}{2})^{2} \\ = \frac{(x + y)^{2} - (x - y)^{2}}{4} . \end{array}$

令x=an, y=d, 则

$\begin{array}{l} a_{n} = \frac{(a_{n} + d)^{2} - (a_{n} - d)^{2}}{4 d} \\ = \frac{1}{4 d} (a_{n + 1}^{2} - a_{n - 1}^{2}) (n \geq 2) . \end{array}$

$\begin{array}{l} 裂项方法 5 由 (k + 1)^{2} - k^{2} = 2 k + 1 ‚ \\ k = \frac{(k + 1)^{2} - k^{2}}{2} - \frac{1}{2} ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} 得 a_{n} = \frac{(a_{n} + d)^{2} - (a_{n})^{2}}{4} - \frac{d}{2} \\ = \frac{1}{2 d} (a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2}) - \frac{d}{2} . \end{array}$

②教证明, 培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标.那么, 如何教证明, 又如何通过教证明让学生学会证明, 众多专家发表过许多真知灼见.在本课例中, 笔者运用了数学探究这一新课程大力倡导的学习形式, 对求和思路的发现, 形成以及多种裂项方法的探索, 在笔者的引导下, 让学生实施了局部探究, 从教学效果来看是令人满意的.在数学课堂中, 学生除了学习到应有的知识以外, 更要挖掘他们的创造潜能, 实现具有人文价值的创新与创造, 而这些都要以理性的探索、求真、质疑作为坚强的依托.理性的探索具体表现在对问题情境能合理地选择有效的手段和策略, 灵活运用所学的知识与方法进行探索研究, 理清解决问题的思路, 既快又准甚至是创造性地解决问题.[6]

③关注学生认知规律少, 强加于人的“不自然”现象, 在我们的课堂教学中并不少见, 它对学生学习兴趣的培养, 内部动机的激发, 学习效率和效果的提高都有着极为不利的影响.因此, 如何“采集”和“创造”有效的教学素材, 寻求适合学生的教学设计, 还课堂一个清新自然的过程, 使学生获得最优的发展, 就是摆在我们面前的一个不容忽视的问题.笔者对等差数列求和公式的推导运用了“归纳—猜想—证明”这一科学发现和解决问题的方法进行了尝试, 学生从中充满了火热的思考, 历经观察、归纳、猜想、证明, 结论的探究、方法的探求, 体验了知识创造过程的辛酸苦辣, 感悟了数学本质.总之, 我们的老师必须具有独特的教育素质、情感色彩和人格魅力, 让每个学生经历并用自己的内心体验“再创造与再发现的过程”, 完成个人体验的全过程, 获得丰富积极的数学体验, 这样学生的灵性才能完全释放出来, 创新意识才有可能形成, 并得到发展[7].

3教材编写建议

通过以上的探讨可以说, 数列求和 (包括等差 (比) 数列前n项和公式的推导) 最为自然基本的方法是“裂项法”, “裂项法”是数列求和的通法.而现行教材中对等差 (比) 数列求和公式的推导方法带有一定的技巧性和应用上的局限性, 事实上, 关于运用“倒序相加法”, “错位相减法”求和的练习题, 甚至高考题, 都是人为编造的, 价值不大.更何况这与今天倡导的数学课程应返璞归真, 注重揭示问题之根本, 大力提倡通性通法, 淡化技巧的理念是相悖的.最后, 我们建议:以后的教材编写时, 对数列求和问题 (包括等差 (比) 数列前n项和公式的推导) 的解决中, 自始至终地渗透“裂项、消项”思想, 并成为数列求和的一条主线, 而把现行教材中的“倒序相加法”, “错位相减法”降低要求或排为习题、思考题或编写为“阅读材料”之中, 对激发学生的学习兴趣, 让学生感悟数学美, 并因此欣赏数学, 热爱数学也是大有裨益的.

参考文献

[1]陆楷章.“是教材设计的缺陷吗”[J].数学通报, 2009, (1) .

[2]陈朝晖.“等差数列的前n项和公式推导”的商榷[J].数学通报, 2007, (5) .

[3]曹才翰, 章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社, 2007.

[4]李吉宝, 李树臣.新课程下中学数学教学之特征[J].数学教育学报, 2009, 18 (3) .

[5]张奠宙.数学教育经纬[M].南京:江苏教育出版社, 2003.

[6]杨帆.深入数学本质感悟数学精神[J].中学数学月刊, 2009, (9) .

8.《等差数列的前n项和》教学设计篇八

从近年来高考试题中分析得知，考查数列的比重越来越大，其价值越来越得到重视。尤其是相关数列的题型不仅能够锻炼学生的探究能力，培养学生严谨的思维能力，而且对学生分析能力、归纳能力的培养也起着不可替代的作用。同时，等差数列的前n项和也是上节课等差数列的后继内容。本节课的主要内容是：等差数列前n项和公式的推导及运用。

二、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）掌握等差数列前n项和的公式以及推导过程；

（2）会用等差数列的前n项和解决相关的一些问题。

2.能力目标：

通过让学生自主推导前n项和公式来锻炼学生的自主学习能力

通过相关问题情境的创设来培养学生的独立思考能力和探究能力。

3.过程与方法：

自主探究模式、数学思想的渗透。

三、教学重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的推导。

难点：等差数列前n项和公式的灵活运用。

四、学生分析

“以学生为中心”的教学思想是新课程改革下的基本教学理念，也是学生健全发展的保障。所以，对于高中阶段的学生来说，他们已经具备了自主学习的能力，而且多年的学习也促使学生有了特有的学习方法，因此，我们可以借助自主探究式教学模式来给学生搭建自主学习的平台，进而为学生获得更大的发展空间打下坚实的基础。

五、教学过程

导入环节：回顾等差数列的通项公式[（a■=a■+（n-1）d）]。思考：如果将某个等差数列各个项相加，会得到怎样的结果？

（设计意图：一是让学生回顾和复习上节课的内容；二是提出问题，调动学生的求知欲，使学生带着问题走进课堂。）

情境创设：德国伟大数学家高斯在九岁那年，用很短的时间完成了教师布置的一道数学题：对自然数从1到100的数进行求和。老师非常惊讶高斯为什么能在这么短的时间里计算出对这个年龄来说相当困难、相当耗费时间的题目。思考：高斯用了什么方法？

（设计意图：创设该环境只是为了要将本节课的正题引出，因为对于这样的题，学生很容易回答出答案为5050；对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98…）也就是我们通常所说的首尾相加。）

接着，让学生简述解题过程。接着，引导学生思考：如果这道试题改为“对自然数从1到n的数进行求和？”会得到怎样的答案。即求1+2+3+4+…+（n-1）+n

学生1：延续高斯的首尾相加。

第一项和倒数第一项相加：1+n

第二项和倒数第二项相加：2+（n-1）=n+1

第三项和倒数第三项相加：3+（n-2）=n+1

……

第n项和倒数第n项相加：n+[n-（n-1）]=n+1

于是所有的前n项和为■

学生2：借助等差数列的通项公式。

设y=1+2+3+4+…+n

观察可以看出，该式子各项之间是等差为1的等差数列。

即an=n所以，y=a■+a■+a■+a■+…+a■（1）

y=a■+an-1+an-2+an-3+…+a■+a■（2）

将（1）+（2）=（a■+a■）+（a■+an-2）+（a■+an-3）+…+（a■+a■）=2y

（1+n）+[2+（n-1）]+…（n+1）=2y

y=■

所以，1+2+3+…+n=■

……

（设计意图：引导学生发挥自己的主观能动性，积极动手、动脑寻找解答的过程，这样一来不仅能够加深学生对相关知识的印象，提高学生的理解能力，而且对学生综合能力的提高也起着非常重要的作用。同时，该环节的设计是等差数列前n项和公式推导出来的前提。）

在学生给出不同的解答过程之后，我接着引导学生思考：如果对于一个等差数列，第一项未知用a1表示、公差未知用d表示，你能否推导出该等差数列的前n项和公式。（学生思考，并在上述解答的思路中给予证明。）

证明：先求出等差数列的通项：an=a■+（n-1）d

设前n项和为Sn，即Sn=a■+a■+a■+a■+…+a■=a■+（a■+d）+（a■+2d）+…+[a■+（n-1）d]

=a■+a■+d+a■+2d+…+a■+（n-1）d

=na■+[d+2d+…+（n-1）d]=na■+d[1+2+3+…+（n-1）]

=na■+■d

当然方法不止这一种，在此不再进行详细的介绍。总之，在对学生的解题过程给予肯定之后，我明确了等差数列前n项和公式，并板书该公式，而且导入环节的问题也随之得到了解决。

（设计意图：该过程的设计就是为了让学生自主动手推导出等差数列的求和公式，这样不仅能够加深学生的印象，而且对提高学生数学知识的应用能力也起着非常重要的作用。）

思考问题：（1）在等差数列{an}中，a3+a7-a10=8，a1-a4=4，则S13等于；；。

（2）设等差数列{a■}的前n项和为S■，若a■=S■=12，则{a■}的通项a■= ；；。

（3）已知等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求前3m项和为多少？

（4）设等差数列an的前n项和为S■，已知：a■=12，S■>；0，S■<；0，求公差d的取值范圍？

……

（设计意图：这几道试题从难度上来说，由简至难，既符合学生的认知规律，而且对学生知识应用能力的培养也起着非常重要的作用。）

六、教学反思

在本节课的设计中，我首先引导学生回顾了上节课的知识，既要起到复习的作用，又要为本节课的顺利开展打好基础。之后，借助学生熟悉的情境将学生引入本节课的学习当中。在整个过程中，我一直坚持“以学生的发展为中心”“学生是课堂主体”的思想，借助自主探究模式，给学生搭建自主展示、自主思考的平台，进而让学生在自主学习、自主探究的过程中掌握本节课的重难点内容，同时，为了能够最大限度地发挥学生的主动性，激发学生的学习热情。当然，也为了加深学生的印象，使学生体验自主学习带来的成功喜悦，我还设计了相关的问题，以促使高效课堂的顺利实现。

9.等比数列前n项和题篇九

常州市第二中学季明银

一、教学设计意图：

数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分。现行教材把《数列》放在《函数》之后，非常合理。本节课《等差数列前n项和》，是在学生学习了数列的有关概念的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，也是培养学生数学能力的良好题材。数列部分历来是高考的重点，每年高考都要对其进行重点考察，不仅选择题填空题每年必考，而且解答题也是重点考察的对象。等差数列作为数列部分的主要内容，也就备受青睐。（1）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

二、教学目标描述

（1）知识目标：掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。

（2）能力目标：通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

（3）情感目标：（数学文化价值）

公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶；通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

三、教学过程设计

1、创设问题情景

德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。

2、师生互动

例1：计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。

拓展1： 1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？

数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.类比：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)Sn=

n个

(I)

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得Sn=na1+

上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式（I）是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n。引导学生总结：这些公式中出现了几个量？

四、能力提升

I直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例

2、计算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

d(II)

例

3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

拓展2：①数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

拓展3：②若此题不求a1，d而只求S10时，是否一定非来求得a1，d不可呢？引导学生运用等差数列性质，用整体思想考虑求a1+a10的值。

II用整体观点认识Sn公式。

例4，在等差数列{an}，（1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。

五、总结和评估

通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式及推导等差数列前n项和公式的方法。在Sn公式有5个变量,已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二）.在解题时应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解。已知等式是不能直接求出a1，an和d的，但由等差数列的性质可求a1与an的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。

六、教后反思

10.《等比数列的前n项和》教学反思篇十

今天讲授《等比数列前n项和公式》。引导学生探究等比数列前n项和公式是重要内容。在探究公式的计算方法时，让学生通过观察、分析、类比、联想解决问题。有意识地使学生在推导过程中，忽略公比q=1和q≠1的情形，从而突破了公比的q=1和q≠1难点，学生在推导公式中通过自己探究解决了“错位相减”的重要数学思想。高中新课程正强调对数学本质的认识，强调返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。

本节课后还有以下体会：

(1)以学生为主体

爱因斯坦说过：“单纯的.专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。这节课，通过创设了一系列的问题情景，边展示，边提问，让学生边观察，边思考，边讨论。鼓励学生积极参与教学活动，包括思维参与和行为参与，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。激励的语言、轻松愉悦的氛围、民主的教学方式，使学生品尝到类比成功的欢愉。

(2)巧设情景，倡导自主探索、合作交流的学习方式

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、合作交流等学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下，不断经历感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维过程，体验等比数列前n项和公式的“在创造”过程，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。

11.《等比数列的前n项和》教学设计篇十一

1.知识与技能目标:

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.

2.过程与方法目标:

通过公式的推导方法的探索与发现, 向学生渗透特殊与一般、类比与转化、分类讨论等数学思想, 培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维能力.

3.情感态度与价值观:

通过公式的探索发现过程, 学生亲历结论的“再创造”过程, 体验成功与快乐, 感悟数学美.

二、教学重点

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.

三、教学难点

等比数列前n项和公式的推导过程及应用公式解决与之有关的问题.

四、教学方法

采用教师引导学生自主探究的教学方法, 按照“创设情境——学生自主探究——得出定理——应用定理——变式训练”的模式来组织教学.

五、教学过程设计

在数学的天地里, 重要的不是我们知道什么, 而是我们怎么知道什么.——毕达哥拉斯

1.创设情景, 引入新课

“棋盘上的麦粒 (以2为底的幂) 历史典故, 通过历史典故引出《等比数列的前n项和》的课题.

2.出示三维目标

3.情境创设, 提出问题

数学游戏问题:甲、乙两人约定在一个月 (按30天) 内甲每天给乙100元钱, 而乙则第一天给甲返还一分, 第二天给甲返还两分, 即后一天返还的钱是前一天的两倍.请问谁赢谁亏?

分析:数学建模.{an}:100, 100, 100, …, 100, q=1.

{bn}:1, 2, 22, …, 229, q=2.

T30=100+100+…+100与S30=1+2+22+…+229比较大小, 求和问题如何化简?

4.启发引导, 探索发现

如何计算:S30=1+2+22+…+229.

启发:等比数列{an}的前n项和Sn也可以构成一个新的数列{Sn}.自然的化简Sn的问题就成了求新数列{Sn}的通项问题.

引导:归纳、猜想、证明是我们学习数列获得的一种重要方法, 是解决数列问题的通法.能否利用此法解决问题呢?

如何计算:S30=1+3+32+…+329.

启发:类比q=2时, Sn=2n-1.

由此可以猜想:undefined

那么undefined

公式推导——方法1 (验证法)

undefined

∴当q≠1时, undefined

从而undefined

公式推导——方法2 (错位相减法)

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn.

undefined

公式推导——方法3

由定义可得undefined, 由等比定理有undefined, 于是undefined, 得出undefined

5.应用示例, 巩固公式

数学游戏问题:甲、乙两人约定在一个月 (按30天) 内甲每天给乙100元钱, 而乙则第一天给甲返还一分, 第二天给甲返还两分, 即后一天返还的钱是前一天的两倍.问:谁赢谁亏?

T30=100+100+…+100与S30=1+2+22+…+229比较大小 , 求和问题如何化简?

数学游戏问题答案:230-1 (分) =10737418.23 (元) , 远大于3000元.

棋盘上的麦粒问题:

解 ∵a1=1, q=2, n=64,

人们估计, 如果把这些麦粒依次排列, 它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍.若按万粒400克计算, 可达7000亿吨, 而我国现年产量在1亿吨左右.

6.公式的灵活运用

在等比数列{an}中, 已知a1=2, a5=32, q>0, 求S5.

解由a1=2, a5=32, 可得32=2×q4.

又由q>0, 可得q=2.

于是当n=5时,

7.变式训练, 巩固公式

在等比数列{an}中, 已知a1=2, S3=6, 求q.

解 (1) 当q=1时, 满足题意;

整理得q2+q-2=0, 解得q=-2或q=1 (舍去) .

综上可得q=1或q=-2.

六、小结

1.五个量n, a1, q, an, Sn中, 解决“知三求二”问题.

2.q≠1时.

3.注意q=1与q≠1两种情形.

尝试小结请回顾一下本节课你学到了什么?

本节课你最大的收获是什么?

12.等比数列的前n项和的说课稿篇十二

(1)从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。

(2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。

(3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。

突破难点方法：

(1)明确难点、分解难点，采用层层推导延伸法，利用学生已有的知识切入，浅化知识内容。比如可以先求麦粒的总数，通过设问使学生得到麦粒的总数为，然后引导学生观察上式的特点，发现上式中，每一项乘以2后都得它的后一项，即有，发现两式右边有62项相同，启发同学们找到解决问题的关键是等式左右同时乘以2，相减得和。从而得知求等比数列前n项和 ……+ 的关键也应是等式左右各项乘以公比q，两式相减去掉相同项，得求和公式，也掌握了这种常用的数列求和方法——错位相减法，说明这种方法的用途。

(2)值得一提的是公式的证明还有两种方法：

方法二：由等比数列的定义得：运用连比定理，

后两种方法可以启发引导学生自行完成。这样学生从各种途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维。

等比数列前n项和公式及应用是本节课的重点内容。

依据如下：

(1)新大纲中有较高层次的要求。

(2)教学地位重要，是教学中全部学习任务中必须优先完成的任务。

(3)这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化为等比数列的求和上来。

突出重点方法：

(1)明确重点。利用高一学生求知积极性和初步具有的数学思维能力,运用比较法来突出公式的内容（彩色粉笔板书）：，强调公式的应用范围：中可知三求二。

(2)运用纠错法对公式中学生容易出错的地方，即公式的条件，以精练的语言给予强调，并指出q=1时，。再有就是有些数列求和的项数易错，例如的项数是n+1而不是n。

(3)创设条件、充分保证。设置低、中、高三个层次的例题，即公式的直接应用、公式的变形应用和实际应用来突出这一重点。对应用题师生要共同分析讨论，从问题中抽象出等比数列，然后用公式求和。

四、习题训练

本节课设置如下两种类型的习题：

1．中知三求二的解答题;

2．实际应用题.

这样设置主要依据：

(1)练习题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。

(2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传授的教学系统的思想确立这样的习题。

(3)应用题比较切合对智力技能进行检测，有利于数学能力的提高。同时，它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性，。

五、策略、方法与手段

根据高一学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，简称“例—规”法。

案例为浅层次要求，使学生有概括印象。

公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。

应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。

其中，案例是基础，是学生感知教材；公式为关键，是学生理解教材；练习为应用，是学生巩固知识，举一反三。

在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书、棋盘教具和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，加深了学生理解巩固与应用，有利于培养学生思维能力，落实好教学任务。

六、个人见解

在提倡教育改革的今天，对学生进行思维技能培养已成了我们非常重要的一项教学任务。研究性学习已在全国范围内展开，等比数列就是一个进行研究性学习的好题材。在我们学校可以按照Intel未来教育计划培训的模式，学完本节课后，教师可以给学生布置一个研究分期付款的课题，让学生利用网络资源，多方查找资料，并通过完成多媒体演示文稿和网页制作来共同解决这一问题。这样不仅培养了学生主动探究问题、解决问题的能力，而且还提高了他们的创新意识和团结协作的精神。

13.数列的前n项和练习题篇十三

1．错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.1．求和Sn12x3x2

2.求和：Snnxn1

123n23n aaaa

2．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。1.数列{an}的前n项和为Sn，若anA．1 B．

1，则S5等于（）

n(n1)511 C． D． 66302.已知数列{an}的通项公式为an

3.已知数列{an}的通项公式为an＝

4．求1

1，求前n项的和；

n(n1)n111，设Tn2a1a3a2a41，求Tn．

anan21111,(nN*)。121231234123n 1

5.已知等差数列{an}满足a20, a6a810.(1)求数列{an}的通项公式及Sn（2）求数列{

6.已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，{an}的前n项和Sn（1）求an及Sn（2）令bn

7．已知数列

前n和Snan中，a13，an}的前n项和 n121an12（nN），求数列{bn}前n项和Tn

1(n1)(an1)1 2①求证：数列②求数列an是等差数列

an的通项公式

1的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得TnM对一切正整数n都成anan11(n1)(an1)1 2③设数列立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。解：①∵SnSn1an11(n2)(an11)12Sn1Sn 1(n2)(an11)(n1)(an1)2整理得，nan1(n1)an1(n1)an2(n2)an11(n1)an2nan1(n2)an1(n1)an 2 2(n1)an1(n1)(an2an)2an1an2an∴数列②a1

an为等差数列。

3，nan1(n1)an1

a22a115a2a12an的公差为2即等差数列ana1(n1)d3(n1)22n1③ anan1(2n1)(2n3)11122n12n31111111Tn()235572n12n3 111()232n31又当nN时，Tn6要使得Tn正整数n

都成立，M的最小值为M对一切正整数n恒成立，只要M≥

1，所以存在实数M使得TnM对一切61。61n1a11,an1(1)ann{a}n2 8.在数列n中，bnann，求数列{bn}的通项公式（I）设（II）求数列{an}的前n项和Sn

an1an11nbn1bnn2 分析：（I）由已知有n1n2利用累差迭加即可求出数列

{bn}的通项公式:

bn212n1(nN*)（II）由（I）知nan2nn2n1，nnkk(2k)(2k)k12k1k1k12Sn=k1

【等比数列前n项和题】推荐阅读：

等比数列前n项和说课08-13

课时31 等比数列及其前n项和09-04

必修5教案2.2等差数列前n项和10-12

等比数列09-04

等比数列经典故事07-22

等比数列例题及习题09-02