高等数学上册总结

高等数学上册总结（12篇）

1.高等数学上册总结 篇一

《高等数学》上册

一、函数与极限

1.函数基本概念—了解

1． 集合及集合的运算

2． 数轴、无穷大和无穷小的几何表示、区间 3． 常量和变量

4． 函数的定义和函数的表达方式 5． 函数的定义域和函数的计算 6． 基本初等函数

7． 复合函数和初等函数 8． 分段函数

2.函数的极限及运算法则—理解极限的含义，会计算求极限的题目；涉及范围较广，高等数学上册下册均有求极限的题目，极限的方法是研究函数的工具。（不会涉及证明用极限定义证明极限的题目）

1． 数列及数列极限 2． 函数的极限

3． 无穷大和无穷小的极限表示

4． 无穷大和无穷小的关系及无穷小的性质（运算注意前提条件有限个和无限个的区别）5． 极限的有界性定理及应用

6． 复合函数求极限（变量代换的方法）

3.两个重要极限（两个极限的运算法则的条件、推广和应用）

1． 第一个重要极限

2． 第一个重要极限的应用 3． 第二个重要极限

4． 第二个重要极限的应用（注意：单调 且有界是证明题的关键部分）4.无穷小的比较

等价无穷小及其应用

重要部分！5.函数的连续性和间断点

1． 增量

2． 函数连续的两个定义 3． 左连续和右连续

4． 函数的间断点分类（重要，出小题）

5． 连续函数四则运算的连续性（运算法则的条件、推广和应用）6． 反函数和复合函数的连续性

7． 连续函数的性质（注意：闭区间上连续函数的性质，重要，但一般不单独出题）一致连续性不用看 练习题一

2.导数与微分（重要,小题必考章节！）1.导数的定义和导数四则运算法则

1． 导数的定义（重要），2． 导数的几何意义（理解；其中数一数二导数的物理意义；数三，经济意义、边际函数、弹性函数）

3． 函数可导性与连续性的关系（必需的！）4． 求导公式表（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 函数导数的四则运算（必需的，熟悉到1+1=2！）2.不同类型函数的求导法则及高阶导数

1． 复合函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隐函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 参数方程所确定的函数的求导法则（小题，理解！多元隐函数的求导）4． 高阶导数（重要）

3.函数的微分及应用（理解，重要同导数必考，小题）

1． 微分的定义

2． 微分的几何意义

3． 微分的基本公式和运算法则 4． 复合函数的微分公式

5． 利用微分进行近似计算（除去不用看）练习题二

3.导数的应用（考大题 难题，重要章节！）

1.中值定理和洛必达法则（中值定理包括费马定理的应用及相关的证明题，必须会做证明题！）

1． 罗尔定理及几何意义

2． 拉格郎日中值定理及几何意义

3． 利用拉格郎日中值定理证明不等式

4． 洛必达法则（必考;泰勒公式及其应用，参照张宇的老师的导学或视频）2.函数的极值和最值（考小题，单调性及极值点、最大值最小值）

1． 函数的单调性及判断 2． 函数的极值 3． 函数的最值

3.曲线的凸凹性，拐点及函数作图（考小题，单调性及极值点、凹凸性及拐点、渐近线的定义理解）

1． 曲线的凸凹性及判断 2． 曲线的拐点 3.曲线的渐近线

4.函数作图（会大致描绘图形帮助做题）5.曲率

（了解即可）练习题三

4.不定积分（重要！运算的基础知识。与数

一、数三相比，数二有可能大题。）

1.不定积分的概念和基本公式

1． 原函数与不定积分（理解原函数）

2． 不定积分的定义（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定积分的性质（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 基本积分表（必需的，熟悉到1+1=2！）5． 直接积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）2.换元积分法

1． 换元积分法的引入

2． 第一类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 第二类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 第二类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）3.分部积分法和不定积分技巧的综合应用

1． 分部积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）

2． 被积函数和积分变量的选取（必需的，熟悉到1+1=2！）

3.有理函数的积分（重要，常见的一些题型，基本的运算方法的综合利用）4.综合题举例（积分表不必看）

5.定积分（重要！非常重要，是多元函数的二重积分，三重积分，线面积分的基础）1.定积分的定义和基本运算

1． 定积分的定义（理解！）

2． 定积分的性质

3． 变上限的积分函数（理解！）

4． 牛顿—莱布尼兹公式 各种题型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定积分的换元法和分部积分法

若不定积分学好，这一部分涉及的计算应该1． 定积分的换元法 很简单！2． 定积分的分部积分法

3． 利用方程和数列求定积分

常见的各种类型的题目一定要熟悉，再熟悉，3.广义积分（理解！考小题）再再熟悉，怎么熟悉都不为过！

1． 积分区间为无穷区间的广义积分 一元函数的极限，导数，微分，不定积分，定2． 被积函数有无穷间断点的广义积分（Г积分这是高等数学的基础，根本所在；然后多函数不用看）元函数（二元函数）的类似运算，只要把定义4.定积分的运用（会应用）相关推理过程理解了，则 自然会有 水到渠成1． 定积分的元素法 效果，难点不再难点！2． 利用定积分求平面图形面积

3． 利用定积分求体积（数三只看旋转体 体积）

4.曲线的弧长（数

一、数二公式记住，数 三不考）

2.高等数学上册总结 篇二

关键词：高等数学,微课,教学方法

随着高校扩招步伐的加快,我校近十年的生源数量急剧增加,每年修高等数学课的学生数在4500人左右,而数学系承担高等数学课教学任务的老师不足20人,每个教学班学生数平均在140人左右,这种大班教学的现状在近几年内很难得到改变.大班教学很容易造成老师对学生的管理不到位,学生迟到、旷课现象时有发生,老师对学生的学习状况和心理状况了解很少,甚至老师很少能叫出班上学生的名字,更不要说和学生建立深厚的师生情谊.自古道:亲其师,信其道!可相对淡漠的师生关系很难在这里发挥积极作用.学生对现在的多媒体教学已不再感兴趣,而在这几年兴起的微课由于其自身具有的较大优势而很受学生的喜爱.我校在把微课引入高等数学课中做了较好的尝试,并取得了初步的成效.对此总结如下:

一、目前高等数学课教学存在的主要问题

(一)过于重视理论知识的传授而忽视知识的探索过程

高等数学是理工科学生的一门侧重培养学生抽象的逻辑思维能力和推理能力的基础课.现行教材是经过逻辑加工的、完成了的数学形式,是一个严格的演绎体系,大多呈现出一种由“概念—公式(定理)—例题”所组成的数学体系.老师在授课过程中更多地追求知识体系的完整性和逻辑的严谨性,而很少涉及概念的形成过程、公式(定理)的发现过程、解题的探索过程,呈现给学生的是完整的结论和滴水不漏的严格证明.至于它们是如何被发现的,解决问题的方法是如何想到的,对学生来说基本上是拿来主义,只是知其然而不知其所以然.整个教学过程缺少了师生共同探索的环节,看似完美的课堂实际上少有新意和创新.正如有人说数学家们曾经火热的思考只剩下了冰冷的美丽.

(二)注重学生共性而轻视学生个体能力差异

一个班级里的学生来自于很多不同省份,学生入学成绩也有很大不同,不同学生对同一个问题的接受能力和理解能力也有着很大的差异.而现在的高等数学教学中,基本上采用一刀切的形式,对授课学时、授课内容都做出统一规定.不论学生禀赋如何,所有学生统一齐步走,统一的要求造成老师对学生的个体差异视而不见.统一的要求对基础很好的学生来说吃不饱,基础差的学生消化不良,跟不上老师的进度.这种情况的延续对提高教学质量、提高大学生的素质形成了很大的障碍.

(三)重视知识传授而轻视实践能力的培养

高等数学教材已沿用近四十年(同济大学第一版编写于一九七八年),现在使用的是同济第六版(编于二○○六年).虽然经历五次改版,但更多的是概念表述的严谨化和部分知识点的删减,很少增加实际应用的问题.老师在课堂上更多的时间在讲理论推导和定理证明,对于所学知识的应用很少涉及.学生在学习中也很少有人问为什么要学这个知识点,这个知识有什么作用等问题,教学中的理论和实践脱节很大.

二、认真学习微课制作方法,提高微课制作水平

针对我校高等数学教学存在的以上诸多问题,我系高等数学课任课教师在系主任的组织下,积极探讨高等数学课程教学改革,特别是进行了如何利用微课进行高等数学辅助教学的研讨,并组织十余名高数任课教师利用课余时间进行微课制作,具体做法如下:

(一)集体学习,理解什么是微课,以及微课有哪些特点

微课又称微课程微课(Miro-Course Online Video),它是以微型教学视频为主要载体,针对某个学科知识点(如重点、难点、疑点、考点)或教学环节(如学习活动、主题、实验、任务等)而设计开发的一种情境化、支持多种学习方式的新型在线网络视频课程.其特点可以用四个字概括,即短小精悍,“短”是指视频时间短,“小”是指教学主题小和资源容量小,“精”是指教学设计精巧、教学活动精彩,“悍”是指交互性强,应用面广.

对微课的实质和特点的了解对后面微课的制作前提.

(二)根据教学内容的不同选择不同的微课类型

高数课教学内容多,全书分上下两册,共计十二章内容,我们根据教学内容的差异对制作的微课进行分类,并对每一类微课提出了各自的侧重点,具体总结如下:

1. 新授类微课,着重于讲解新的知识点、重点和难点,并主要用于翻转课堂.

老师针对新课内容中的某个知识点或者某个难点知识点做成微课,提前传给学生,让学生提前学习,这样有助于学生在课堂上对重点和难点知识的学习和理解,实现了课内外的反转;

2. 习题类微课,着重于讲解典型习题或较难的题,主要用于弥补习题课的不足.

老师精选例题,针对一个例题制作一个微课,学生通过观看例题教学的微课,对于例题解法的理解会有更大的提高,而且可以随时反复观看,避免了下课后没有了板书,没有了老师的讲解而没法及时把问题搞明白;

3. 问题解决式微课,着重于针对难点、疑点来讲解学习中普遍存在的问题,主要作用是答疑解惑.

老师针对章节中的难点知识和学生容易搞混的知识点制作微课,对难点知识进行逐步剖析,学生通过微课的形式反复观看,同时对一些易错的知识点,以及学生学习中普遍存在的问题进行答疑解惑,往往能起到事半功倍的效果;

4. 复习类微课,着重于重要概念、重点难点、知识脉络,主要用于章节复习.

老师通过制作图文并茂的多媒体课件,再通过微课的形式制作成视频,把每章的知识体系、知识脉络呈现给学生,使学生在复习时更容易抓住重点,从而更好地理解知识之间的联系;

5. 思想方法类微课,着重于介绍重要的数学思想方法,使学生领悟数学精神.

老师通过归纳整理高等数学课程中所包含的重要的数学思想方法,特别是极限思想、微积分思想、化归、类比以及数学建模思想,针对一种数学思想方法制作一个微课,并通过具体的例子加以说明,使学生在潜移默化的过程中理解并掌握数学思想方法.

(三)精心进行教学设计,提高微课制作水平

教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点,将教学诸要素有序安排,并确定合适的教学方案的设想和计划.一般包括教学目标、教学重难点、教学方法、教学步骤与时间分配等环节.教学设计要聚焦教学的主要内容,应围绕主题和教学目标进行内容取舍,确保内容的科学性.同时要根据学生认知规律和授课类型选择教学策略,教学步骤清晰,一般要包括引入—主题讲解—小结或反思.在进行微课教学设计时要注意微课与普通课程教学设计的区别,微课并不是传统课堂的一个部分或一个环节.决不能重复于传统的知识讲解,否则微课就变成短课时的课堂,和传统课堂比起来只是时间短了.此外在教学设计中还要特别注意要合理使用教具以及应用多媒体视听技术.不要为了震撼的视听效果而有意地加入各种多媒体视听技术,还是要根据需要合理使用多媒体视听技术.

三、结语

通过高等数学课程微课制作,广大高等数学课任课教师普遍反映这一工作对老师的知识和能力都有很大的提高,特别是学校已经实现了无线网络全覆盖,学生随时随地都可以上网看微课视频.通过对学生调查了解,通过观看微课视频,自己对高等数学知识的理解加深了,而且学习效率也提高了.事实上,总结我校基于移动平台的高等数学微课辅助教学方法的探索这一工作才起步,我们还有不少的工作要做,相信随着时间的推移,广大老师在微课制作水平上的提高,我校高等数学教学水平将会有更大的提高,学生学习高数的热情也将会增强.

参考文献

3.考研.数学 高等数学总结1 篇三

一、基本概念定理

1、极值点与极值—设连续yf(x)(xD)，其中x0D。若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极大点；若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极小点，极大点和极小点称为极值点。

2、极限的保号性定理

定理 设limf(x)A0(0)，则存在0，当0|xx0|时，xx0

f(x)0(0)，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。

A0，因为limf(x)A，由极限的定义，xx0xx02

AA0。存在0，当0|xx0|时，|f(x)A|，于是f(x)22【证明】设limf(x)A0，取0

3、极限保号性的应用

【例题1】设f(1)0,limf(x)2，讨论x1是否是极值点。x1|x1|

【例题2】（1）设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点；

（2）设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点。

f(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，xaxa

f(x)f(a)0。当0|xa|时，有xa【解答】（1）设f(a)0，即lim

当x(a,a)时，f(x)f(a)；当x(a,a)时，f(x)f(a)。显然xa不是f(x)的极值点。

（2）设f(a)0，即limf(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，当xaxa

f(x)f(a)0。0|xa|时，有xa

当x(a,a)时，f(x)f(a)；当x(a,a)时，f(x)f(a)。显然xa不是f(x)的极值点。

【结论1】设连续函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0或f(a)不存在。

【结论2】设可导函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0。

二、一阶中值定理

定理1（罗尔中值定理）设函数f(x)满足：（1）f(x)C[a,b]；（2）f(x)在(a,b)内可导；（3）f(a)f(b)，则存在(a,b)，使得f()0。

定理2（Lagrange中值定理）设f(x)满足：（1）f(x)C[a,b]；（2）f(x)在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f()

【注解】

（1）中值定理的等价形式为： f(b)f(a)。ba

f(b)f(a)f()(ba)，其中(a,b)；

f(b)f(a)f[a(ba)](ba)，其中01。

（2）对端点a,b有依赖性。

（3）端点a,b可以是变量，如f(x)f(a)f()(xa)，其中是介于a与x之间的x的函数。

定理3（Cauchy中值定理）设f(x),g(x)满足：（1）f(x),g(x)C[a,b]；（2）f(x),g(x)在(a,b)内可导；（3）g(x)0,x(a,b)，则存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()。g(b)g(a)g()

题型一：证明f(n)()0

【例题1】设f(x)C[0,3]，f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明：存在(0,3)使得f()0。

【例题2】设曲线L:yf(x)(x[a,b])，f(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导，连接端点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线L交于内部一点C(c,f(c))(acb)，证明：存在(a,b)，使得f()0。

(a)f(b)0，证明：存在【例题3】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f

(a,b)，使得f()0。

题型二：结论中含一个中值，不含a,b，且导出之间差距为一阶

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()0。

【例题2】设f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()g()0。

【例题3】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内二阶可导，且f(0)f(1)，证明：存在(0,1)，使得f()2f()。1

题型三：含中值,

情形一：含中值,的项复杂度不同

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，证明：存在,(a,b)，使得e[f()f()]1。

【例题2】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导(a0)，证明：存在,(a,b)，使得

f()(ab)f()。2

情形二：含中值,的项复杂度相同

【例题1】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1。

（1）证明：存在c(0,1)，使得f(c)1c。

（2）证明：存在,(0,1)，使得f()f()1。

【例题2】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1，证明：存在,(0,1)，使得213。f()f()

三、高阶中值定理—泰勒中值定理

背景：求极限limx0xsinx。x3

定理4（泰勒中值定理）设函数f(x)在xx0的邻域内有直到n1阶导数，则有

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)，2!n!

f(n1)()且Rn(x)(xx0)n，其中介于x0与x之间，称此种形式的余项为拉格(n1)!

郎日型余项，若Rn(x)o[(xx0)n]，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。特别地，若x00，则称

f(0)f(n)(0)n2f(x)f(0)f(0)(xx0)xRn(x)，2!n!

f(n1)(x)n1为马克劳林公式，其中Rn(x)x(01)。(n1)!

【注解】常见函数的马克劳林公式

xn

o(xn)。

1、e1xn!x

x3(1)n

2n

12、sinxxxo(x2n1)。3!(2n1)!

x2(1)n

2n3、cosx1xo(x2n)。2!(2n)!

11xxno(xn)。1x

11x(1)nxno(xn)。5、1x4、x2(1)n1

nxo(xn)。

6、ln(1x)x2n

专题一：泰勒公式在极限中的应用 【例题】求极限limx0xsinx。x3

专题二：二阶保号性问题

设函数f(x)的二阶导数f(x)0(0)，这类问题主要有两个思路：

思路一：设f(x)0，则f(x)单调增加

【例题1】设f(x)在[0,)上满足f(x)0且f(0)0，证明：对任意的a0,b0有f(a)f(b)f(ab)。

【例题2】设f(x)在[a,)上满足f(x)0且f(a)2,f(a)1，证明：f(x)在(a,)内有且仅有一个零点。

思路二：重要不等式

设f(x)0，因为f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

所以有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，其中等号成立当且仅当xx0。

【例题1】设f(x)C(,)，f(x)0，且limx0f()(xx0)2，2!f(x)1，证明：f(x)x。x

【例题2】设f(x)0(axb)，证明：对任意的xi[a,b](i1,2,,n)及ki0(i1,2,,n)且k1k2kn1，证明：

f(k1x1k2x2knxn)k1f(x1)k2f(x2)knf(xn)。

【例题3】设f(x)C[0,1]且f(x)0，证明：

4.二年级上册数学总结 篇四

本学期我担任二年级（1）班的数学教学工作。一学期来我努力根据学生的实际情况，采取有效的措施，激发学生的学习兴趣，培养学生的学习习惯，引导学生参与学习的全过程，取得了一定效果，也存在一些困惑，现对本学期的教学工作作出如下总结：

一、基本情况分析：

二（1）班有学生人数58人，经过一年级一整年以及二年级上学期的熟悉和训练，大部分学生的学习习惯和行为习惯有了较大的进步，上课能懂得怎样听讲，知道按老师的要求完成作业，能上课积极举手回答问题，同学之间能互相帮助,互相学习,互相团结。个别学生知识的掌握较差，有些学生现在上课还是不会听讲，注意力不集中，理解能力较差，因此，在今后的教学中，要注意学生学习习惯的培养等。

二、教学工作分析：

1、备课方面

认真备课，不但备学生而且备教材备教法，根据教材 内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结，写好教学反馈，认真按搜集每课书的知识要点。

2、教学方面

运用恰当的教具、学具，把抽象的数学知识变成生动活泼的具体形象，以激发学生的学习数学的兴趣。数学课上，强化了知识的趣味性，以数学知识本身的魅力去吸引学生、感染学生；结合事例和史料对学生进行了学习目的的教育。在上学期我注意了课内容丰富多采，形式多样，富有吸引力，激发了学生参与的兴趣，学生在数学课中感到新颖有趣。并得到成功的满足，培养对数学的兴趣，学生乐在其中，坚定学生学好数学的信心，增强了学生的意志力，养成了良好的习惯。通过数学游戏培养兴趣的目的，爱游戏是儿童的天性，绝大多数学生对数学游戏都有浓厚的兴趣。在本学期教学过程中，可能性，数学广角，两节内容，学生对其中的教学游戏特别感兴趣，我想要是能够通过不断的加工，使我们的教学不断的游戏化，学生学的快乐。

把书本知识与实际生活相联系，发展思维，培养能力，当学生掌握了基本知识后，把学生的实际生活与学习的知识联系起来，提高了学生的学习兴趣，又发展了学生的思维能力和推理能力，使学生立足实际，面向未来，进一步实现素质教育。

3、作业批改方面

在布置作业时争取做到有针对性，批改作业时努力做到全批全改。让学生的练习有针对性，有层次性。同时对学生的作业批改及时、认真，分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题作出分类总结，进行透切的评讲，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。

三、今后努力的方向：

1、针对我们班学困生比较多的特点，我主要是课上多提问，课下多辅导，和家长取得联系，争取家长的配合，继续抓好常规管理，使学生明确学习的目的和意义，以便更好的把全部精力投入到学习中去。

2、继续强抓学习习惯，数学的学习不在于学了多少，而是学会了多少，在每一个知识点的讲解学习中，争取顾虑到每一个同学，让他们更好的吸收知识。

3、结合教学内容进行德育渗透，在教学中注意培养学生学习数学的兴趣和良好的学习习惯。

5.高等数学教法探讨 篇五

(一) 高等数学课和学生所学专业课的联系

很多学生产生放弃高等数学课的念头的原因就是不知道“学这门课有什么用”, 这需要教师自己弄清楚, 然后给学生解决, 使学生明白这门课和后续的专业课之间的联系, 了解高等数学课的重要性。只有解决了这一点, 才能调动起学生学习的自觉性, 不再被动、漫无目的的学习。

(二) 利用各种方法提高学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师, 如果激发起了学生学习高等数学课兴趣, 就能唤起学生学习的动机, 主动、积极的学习, 使学生真正成为教学的主体。高等数学是一门抽象的学科, 有很多概念, 上课时教师必须注重它的文字讲解和逻辑推导, 但如果仅仅如此, 就必然使课堂枯燥乏味, 学生很容易丧失兴趣, 也就难以达到预期的教学效果。为了解决这个问题, 教师在教学时首先应注意面部表情和手势等肢体语言, 良好的表情和肢体语言的引导, 会让学生有一种轻松的感觉;其次, 学科背景、实际问题和趣味问题的选取, 也会增加学生的兴趣。比如在讲述导数和微分的定义时, 就给学生介绍了以下历史背景:由于课程改革的要求, 现在的教材中降低了对学生利用极限的“ε-δ”定义证明极限的要求, 导致许多学生不了解函数极限的ε-δ定义及其几何意义, 仅仅明白“所谓极限就是在自变量无限的接近于某个x0时, 函数值无限的接近于某一定值”, 也不了解无穷小和0的区别。因此, 在讲授导数和微分的定义时, 要向学生介绍了历史上第二次数学危机的概况:在牛顿和莱布尼茨创立微积分的时候, 并没有严格的理论基础和极限定义, 而仅有描述性定义。在自由落体运动中, 设在时间t下落的距离为s (t) , 则有公式其中g是固定的重力加速度, 要求物体在t0的瞬时速度, 可以先求平均速度, 即用下落距离的改变量除以时间的改变量:

这就得到了平均速度的表达式。牛顿考虑, 当Δt越小时, 平均速度就越接近物体在t0时的瞬时速度, 如果让Δt变成无穷小, 该平均速度就成为物体在t0的瞬时速度, 由于Δt无穷小时, 位移的改变量Δs也是无穷小。因此, 牛顿认为, 瞬时速度是两个无穷小的比。牛顿的这个方法非常好用, 解决了大量过去无法解决的科技问题, 得到了科技界的广泛接受, 并得以迅速发展, 微积分成为当时数学的重要内容。但是, 如果“无穷小”Δt是0, (1) 式左端当Δt和Δs变成无穷小后分母为0, 就没有意义了;如果“无穷小”Δt不是0, (1) 式右端的就不能任意去掉。同时, 推出 (1) 式时, 是假定了Δt≠0才能做除法, 所以, (1) 式成立是以Δt≠0为前提的, 那么, 为什么又可以让Δt=0而求出瞬时速度呢?因此, 有人提出:这一套运算就如同5×0=3×0出发, 两端同除以0, 得出5=3一样荒谬。这个问题一经提出, 立刻在数学界引起了巨大的震动, 顷刻之间, 微积分的基础动摇了, 整个数学的基础似乎也动摇了。这就是历史上著名的第二次数学危机, 这次危机的爆发, 根本原因就是当时的微积分学说没有严格的理论基础, 直到200年后, 在韦尔斯特拉斯 (Weierstrass) 提出“ε-δ”语言, 拉格朗日 (Lagrange) 、柯西 (Cauchy) 等人完善了极限的定义之后才得到了解决。在介绍了这些背景之后, 学生们对前面学习的极限定义作了复习, 了解了它们的理论基础和历史背景, 明白了基本概念和定义的重要性, 同时也产生了深入学习的兴趣, 教学效果有了明显的提高。

(三) 根据教材的内在联系, 优化教学内容

高等数学的教材, 因为面向的是广大学生, 因此, 非常重视基础知识部分, 为了便于学生理解, 对许多浅显的雷同性的知识, 介绍过多, 甚至重复介绍, 如果按部就班的讲授, 势必造成学时的不必要浪费和上课效率的降低。因此, 根据教材的内在联系, 优化教学内容, 是提高课堂效率的有效途径。例如, 在给学生介绍完定积分、二重积分, 特别是二重积分转化为二次计分的方法之后, 给学生留下以下思考题:计算如下两个积分:其中D=[0, 1]×[0, 1], 那么, 积分应该如何处理。有些学生会先去预习三重积分然后在回答, 但是更多学生会根据现有的知识体系, 按照二重积分转化为二次计分的运算思路, 把三重积分转化为三次积分来进行计算。在学生给出解答以后, 教师再介绍三重积分的定义和计算, 也达到了预期的教学目的, 同时还能锻炼学生的发散性思维和逻辑思维能力。同样, 在学习曲线积分、曲面积分的过程中, 也可以使用上述方法。

通过近几年来的教学实践认为:为了提高教学质量, 促进教学的改进, 在教学过程中, 必须把抽象的内容具体化, 把复杂的问题简单化, 使教学接近于生活, 帮助学生理解数学应用数学, 从而提高学生学习数学的兴趣。

摘要：文章就优化高等数学课教学, 培养学生的创造性思维能力问题, 对高等数学教法进行了探讨, 提出一些新的教学方法和注意事项。

关键词：高等数学,教学改革,教学方法

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]刘桂茹, 孙永华.微积分[M].北京:高等教育出版社, 2008.

[3]顾沛.数学文化[M].北京:高等教育出版社, 2008.

6.教学总结一年级数学上册 篇六

时光飞逝，转眼间在风华的第一个学期就要结束了，回想起这一学期感慨真的很多很多。自踏入风华我就决心要以勤勤恳恳、踏踏实实的态度来对待我的工作，以“师德”规范自己的教育教学工作，以“当一名好老师”作为自己工作的座右铭,所以在平时的教学生活中我也是这样努力的。

现将一学期的工作总结如下：

一、在教育教学上，努力将数学与孩子的生活实际联系起来，更要培养孩子的综合能力。

把学生教好，让学生成功，是每位教师最大的心愿、最高的荣誉。当然，对于我来说也是一样的，我希望我的孩子们个个都能成为最优秀的！我深知数学知识来源于生活，学习数学要与孩子的生活实际联系起来，这样才能激起孩子对数学的学习兴趣。所以，在平时的课堂教学中我会努力用最贴近孩子生活的语言来解释一些数学问题。我会尽量用孩子们生活中最熟悉的物品来作为例子讲，比如：在学习“认识长方体和正方体”时，我首先介绍的就是常见的电冰箱、电脑屏幕、粉笔盒、墨水瓶盒子等，然后再和孩子们进一步讨论谁是长方体谁是正方体，并要求孩子们找出它们的特征，最后我和孩子们一起用硬纸分别做了一个长方体一个正方体，这样也锻炼了孩子的动手能力。

在教学中，我还重点训练了孩子的语言表达能力。由于我所面对的这些孩子都是刚从幼儿园毕业的一年级的小朋友，所以有好多在语言表达方面都不是很好，所以训练孩子的思维能力的时候，我就会要求他们把自己所想的用尽可能完整的语言表达出来，这也是对孩子综合能力培养的一方面吧。比如：在观察多媒体的情境图时，我会先让孩子自己去发现并说出他所想象的图意，然后提出数学问题来，一般只要合情合理的我都会予以肯定并给与鼓励。

二、在工作上，服从安排，积极主动

我时时都在告诉自己，对集体的工作要做到积极主动，服从安排，为孩子、为大家、为集体做自己力所能及的事情，做到不推脱、不推卸。不管什么工作，只要是我能做到的，就一定会认真的去做，因为我做到只有被需要，才能体现你的价值！

我们的学校无论是环境还是领导、教师都给人一种宽松、和谐、民主、团结的好感，所以在这样的集体中工作虽然有时任务较重，但心理上还是比较轻松、愉快的，所以工作上比较主动，希望自己能最大限度地为学校的建设献出微弱的力量。同事之间能做到顾全大局，服从安排，互相关心，互相帮助，互相沟通。

三、提高素养，不断创新

在不断的工作实践中，我深深地认识到自己的不足，这就需要我不断的加强学习、反思，提高自身的素养。本学期我一共听了三十五节数学课，每节课都能让我学到很多东西，我也一直都在认真而又努力的学习着。在我的心理他们个个都成为了我的老师，都成为了我努力的方向。平时 在校内，我虚心学习，不断吸取别人的精华，在自己的教学中也不断实践，不断总结，不断提高。平时向书本学习、向身边有经验的老师学习，提高自己的课堂教学水平。

总之，在风华的短短的一学年中，我不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。在今后的工作中，我将会继续扬长补短，不断努力。

7.二年级数学上册教学总结 篇七

本学期末我接担任二年级5班的数学教学，虽然这些学生来自不同的家庭，家长的文化水平、道德素质、教育观念等都存在着较大的差异，但在家长和老师的积极配合下，大部分学生的学习的自主性和自觉性明显增强，上课能积极举手回答问题，懂得怎样听讲，知道按老师的要求完成作业。经过师生的共同的努力,较好的完成了本学期的教学任务，使大部分学生已经掌握了所学的基本知识。但是也有个别学生由于基础差，作业完不成，学习习惯差造成了成绩较差的现象。为了更好的总结经验和教训，推动今后的教学工作，下面我将取得的成绩和存在的问题、困惑两个方面对本学期的教学工作总结如下：

一、取得的成绩和经验：

1、培养学生在实践中探究知识的能力。

低年级学生的思维以具体形象为主，针对这一特点，在本学期的教学中我根据教学内容的不同，安排一定的实践活动，让学生在实践活动中，体会到教学中的疑难点变得具体形象化。在《角的初步认识》中，学生通过做活动角，体会到角的大小和角两边的长短没有关系，而和角的两边叉开的大小有关。在《乘法口诀表》的整理中，学生通过用自己制作的乘法口诀卡片对乘法口诀表进行了整理，自我建构了乘法口诀表的排列规律。

2、联系学生生活实际教数学。

小学数学的教学内容多数都和生活实际相联系，在教学中，我把教材和现实生活有机的结合起来，使学生体会到数学来源与生活，生活离不开数学。在两位数加减两位数的教学中，用2008年北京奥运会各国的金牌数作为教学素材进行教学，即激发了学生的爱国热情和学习兴趣，又使学 生

在解决问题的过程中体会到数学和生活的紧密联系。在乘法口诀的教学过程中，用一个人有5个手指、青蛙的腿数、一星期的天数、螃蟹的腿数等生活中的素材进行教学，使学生在学习中既经历了乘法口诀的形成过程，又使学生明白了成口诀在生活中的应用。在《统计》中，让学生统计自己喜欢的小动物，减少了学生数学学习的枯燥感，激发了学生对数学学习的浓厚兴趣。

3、重视学生审题能力的培养。

在单元检测中，我常常遗憾的发现，好多学生错题的原因没有读懂题目的意思，只要让他自己再读一读，他就会很快的把这道题做对，就其原因学生和家长的看法相同，认为是粗心造成的。但深入分析就会发现，解题是一个过程，是学生动用自己的知识储备解决问题的过程，而读题、审题就是在获取信息，然后用自己已有的知识经验处理信息的过程。针对这一情况，我重点培养了学生的认真读题、认真分析题目的能力。要求学生静下心来读通题目，划出关键字词，理解关键词语的意思，明白所解答的问题之后再动笔进行解答。我还经常就针对某一应用题，交给学生如何分析题目的方法。经过一学期的训练，学生对题目分析的能力都有不同程度的提高。

二、存在的问题和困惑。

1、家长和教师的教育观念存在差异。由于家长和教师的工作性质和所处环境的不同，从而导致教育观念的不同。有个别家长对自己的孩子不闻不问，不加以引导任其自由发展，而有的家长对自己的孩子管的过死，不给孩子留有玩耍的时间，从而导致孩子对学习逐渐感失去学习的兴趣，学习成绩下滑。

8.高等数学上册总结 篇八

数学的起源, 有的人说来自一个相传的“河图洛书”神话, 数学就是由“龙马”和“神龟”驮着送到人类的视野里, 不管是真的与否, 都给数学蒙上了一层神秘的面纱, 让人类对数学这个神奇的工具产生了无限的好奇之心, 想要去探究和发现数学中蕴含的秘密, 正是这些因素让数百年前乃至几千年前的祖先们开始了他们追逐数学的道路, 也正因为如此才给我们今天的数学打下了牢不可摧的根基, 让我们可以站在古人的肩膀上来探讨今天的高等数学教育以及优秀的数学文化.所谓的数学文化不仅在于数学知识的本身, 还离不开孕育它的悠久历史.从微观方面来说, 数学的文化价值指的是具有数学概念、方法以及思想来揭示数学文化的由来与底蕴, 正因如此, 数学文化在数学教育的长河中有着十分重要的价值.对于从事教育的研究者而言, 数学的文化价值更体现于对数学学习者的思维、观念乃至价值观等各方面的影响.

二、揭开数学神秘的面纱, 展示数学文化的应用价值

数学文化对数学教育一直有着不可忽视的影响, 它的魅力在于与其他科学教育有着紧密的联系, 例如自然科学、社会科学等, 让数学学习者对数学这门神奇的语言有更深入的理解与认识, 感受数学的应用价值与社会需要, 体会到“生活处处有数学, 数学无时不在”的感受, 改变了人类认为数学知识只是一种单纯的计算工具和计算方法的单一认识, 引起人类求知的欲望, 激起学生学习数学的欲望, 从而将数学的学习由被动变为主动.

在讲授课程时, 可以引入各种科学知识来引起学习者的兴趣.例如讲授线性规划时, 可引入“海王星”的发现来引起学生的好奇心, 让学生对数学的应用价值有了新的认识;也可以在讲授新课的时候, 通过传说或者古代的真实故事来引起学生的求知欲, 从而达到更好的上课和学习效果.

三、从数学的文化价值到高等数学教育

(一) 所谓高等数学, 指的是比初等数学“高等”的数

学, 广义地说, 初等数学之外的数学都是高等数学, 也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学, 作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡.通常认为, 高等数学是将简单的微积分学、概率论与数理统计以及深入的代数学、几何学, 以及它们之间交叉所形成的一门基础学科, 主要包括微积分学, 其他方面各类课本均有差异.

高等数学教育, 则是针对本科及本科以上的学生开的一门课程, 其内容与学生以往学习的不一样.而随着大学的扩招, 现在的大学本科以及本科以上的学生人数逐年激增, 由原来的几十万学生到现在的五百多万的学生, 这样也使得高等数学的教育变得大众化和普遍化.

(二) 高等数学的教育开始出现了问题.

学生人数的激增也不禁让大学的老师们感觉到力不从心, 上课的人数增多, 课程的效果下降, 高等数学教育开始面临着瓶颈, 老师们无法再像以前一样全身心地投入到高等数学理论的教育当中, 面对着有些学生影响课堂的行为老师们也是无暇顾及, 因为大班制的教学不能因为某个人的问题而耽误课程的进度, 更不可能因为顾及某些人的接受程度而减慢上课速度, 在高等数学这门深奥的教育课程中是不允许我们纠缠于关于除课程外的细枝末节, 因为等着我们的不是数学文化中的一节一章, 而是几百年来数学中总结的精华真理, 待我们去体会和领悟, 正因这样自然而然课堂效果不好, 这样就使得高等数学的教育效果就变得不甚理想了.最重要的是高等数学与学生们高中时所学的数学有很大差异, 这让刚升入大学的学生们一时间很难适应, 也因此对高等数学的理解有了很大的偏差, 觉得高等数学是很难学很难理解的课程, 对待高等数学的学习感到无力和难以负重, 不知道如何下手从何学起, 就连对知识和定义的理解也变得迟缓, 久而久之, 从而由开始对高等数学的主动求知欲变为后来的被动学习, 也使得对数学这么充满奥秘的学科产生了畏惧, 这无疑也给教育工作者提了一个难题, 如何让学生们尽快地从高中的数学中脱离出来以适应高等数学的教育理念和方法?如何让枯燥的定义公式转化成学生们可以接受的神奇工具?如何让学生们在领悟高等数学的真谛之余发现数学存在的文化价值?如何让老师们更加轻松地讲解这门课程?如何让每个专业的学生都可以掌握属于自己行业的技巧数学?这一直都是大学的教育工作者努力的方向.随着社会的进步和科技的发展, 先进的科学技术早已被引入了课堂, 那就是多媒体技术.现在的大学课堂早已经不像以前上课还用粉笔写板书, 现在上课的大纲都是用多媒体展现在学生们的面前, 学生也只能通过看幻灯片来接触和理解课堂上的内容.不能说多媒体技术对高等数学的教育全无好处, 当然它也有自己长处的一方面, 比如立体效果明显, 可以让学生展开想象, 视觉冲击明显, 便于学生们的理解等, 可是有的课程使用多媒体技术则不利于学生的理解, 关键的步骤和要点还是需要老师按部就班地讲解与分析, 而且使用多媒体速度太快, 学生们无法及时地做好笔记, 这样不利于学生们的课后复习, 会造成对课堂不理解的地方加深, 但是一般由老师亲手写在黑板上的板书和强调的重点往往才更使学生们印象深刻.当然出现这样的问题也不是教育者的过错, 现在从事教育事业的老师们, 多媒体技术早已是他们评级考核的标准之一, 而且这项技术不仅可以减轻老师上课写板书的烦琐, 也节约了上课讲课的有效时间, 所以大多数的老师都会采取这样的措施.然而高等数学是一门深奥而神秘的学科, 它需要人们的思维理解和动手操作, 需要从自己的练习和分析每个步骤的内容从而熟练掌握, 这样才能领会到高等数学的内涵.对于高等数学教育的问题最重要也是最根本的就是施教的问题, 从古至今都提倡因材施教, 可是现在的高等数学教育都是书本上一板一眼的死知识, 统一的出版统一的学习, 这种教育并不适合每名学生, 但是我们无法不面对事实, 这就是现在的教育环境给予我们的设施和范围, 并不是每个人都可以在高等数学中找到自己所青睐的数学领域进行研究, 所以也就越来越少的学生去钻研和探究高等数学中的奥秘了.

(三) 高等数学教育想要发展就必须作出改善.

现在高等数学教育的发展状况趋势趋于下降, 想要改变这种局面, 就需要老师和学生们的共同变通, 老师需要找到方法开启学生们学习高等数学的求知欲和好奇心, 而学生则需要端正态度, 正确地对待高等数学这门课程.想要让高等数学发展起来就必须从根做起, 抓好每个细节, 从多方面考虑, 从根本出发, 改变环境, 改变态度, 改变方法, 改变施教, 我们管这叫教育上的“四改”.这种教育理念不仅让高等数学的教育可以有很大的改变, 也可以使得各科的教育有所提高.所谓改变环境, 指的不仅是上课的环境, 还有校园环境, 大学生的人数就注定了不可能走上小班教学的路线, 然而我们可以改变周围的环境, 目的则是为了给学生们一个良好的学习氛围, 熏陶学生们的情操, 让他们有一个端正的态度和积极的行动去面对学习和校园生活.所谓改变方法, 则是改变上课的方法, 不再是像以前那样枯燥乏味只有老师站在讲台上滔滔不绝地讲解课程, 而是应该把高等数学的教育融入到学生的日常生活当中, 在课上大家都可以讲解自己对于高等数学的理解, 或者可以把每个定义的命名人的故事讲给大家听, 增添高等数学的故事色彩, 讲述传奇数学家探究数学的神秘之旅, 引起学生们的兴趣与向往.可以在老师讲解完本堂课的内容之余让同学上台讲述自己对这堂课的认识, 做一把“假”老师, 感受一下老师的角度, 这不仅有利于学生对知识的巩固, 而且有利于学生与老师之间的沟通, 这样的教学效果会更加好.所谓的改变施教, 就是分门别类, 不同的专业不同的院系采用不用的教学版本, 不一样的高等数学教育理念, 寻找最合适和最具有针对性的教材对学生因材施教.当前的高等数学教科书无论是哪个高等院校使用的教材内容几乎都是大同小异, 这样不利于学生们的掌握与利用, 因为大学就是一个分门别类的学校, 工科、理科、理工科都是学生们不同的选择, 然而对高等数学的学习却是一致的, 但是这些学生走出校园将迈入各行各业, 从事着不同的工作, 所以他们对高等数学的需求与利用也是存在差异的, 如果一样的书籍一样的知识, 只能让学生们对高等数学有着简单浅显的理解, 而不能让其攻克自己所学专业的难关, 将自己学到的高等数学知识灵活地运用.只有将高等数学教育划分, “对症下药”, 才可以让每名学生体会和了解到高等数学的奥秘精髓, 激发起学生们的求知欲和探索心理, 让其主动地钻研和挖掘高等数学中蕴藏的文化价值和底蕴, 才可以将高等数学的理念植入到他们的骨髓, 让其如影随形相伴一生, 使学生们受用无穷.另外, 适当地运用科学技术也是对高等数学教育的辅助, 让高等数学与科技、社会、文化等领域相接轨, 才可以让数学的文化价值发展到最大, 让数学这门集工具和技术于一体的学科被人类所接受, 被社会所认可, 才是高等数学教育发展下去的长久之道.

综上所述, 高等数学教育的发展离不开人类的进步和努力, 在强大的数学文化价值背后蕴含着怎样的能量, 需要人类的发掘与探索, 只有认识到高等数学教育的重要意义和作用, 才可以找到开启探索之旅的大门.每一种文化价值的诞生都不是偶然, 都有着特定的意义和内涵, 然而数学就是这样一门学科, 在人们不断探索和不断发展过程中成长起来, 它就像是一棵树苗一样需要人类的关爱, 而追逐在高等数学教育中的人们就是灌溉它的水, 让它滋养丰富, 茁壮成长.所以, 高等数学的教育发展是迫切的, 数学的文化价值是强大的, 人类的智慧是无穷的, 尽管科学的探索之路是坎坷的, 但我们仍相信高等数学教育的成功是指日可待的.

摘要：数学, 是一门有专业研究价值的科学语言, 是一把开启智慧空间的钥匙, 更是一把利刃, 让人们去了解和探知不熟悉的世界.生活中处处都是数学文化价值的最高体现, 都是让人们了解数学文化魅力的渠道.而高等数学教育, 则是建立在这些神奇的数学基础之上加上人类数学史的发展融合而成的一门课程, 它可以教会学生体会数学的奥妙和掌握数学的思维方法, 发展学生对数学的创造能力和培养学生对数学的兴趣, 从而实现学生对数学的高理解高认识.本文就从数学的价值出发, 探讨高等数学教育.

9.高等数学教学改革实践总结报告 篇九

郑丽霞 朝鲁

(内蒙古工业大学理学院数学系)众所周知,高等数学是工科院校最重要的课程之一.其重要的原因不仅在于可以学到一些数学概念,公式和结论,为其它数学课和专业课的学习打好基础,更重要的是通过学习数学可以培育人的理性思维品格和思辩能力;能启迪智慧,开发创造力.因而数学教学的好坏直接影响到21世纪人才的培养,进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程.然而怎样实现数学教学的目的,改变数学教学效果低下的局面呢 很多数学教育研究者在教学模式,教学方法,教学内容上都做了深入广泛的研究,教学内容的改革是其核心.因此,我们在理学院领导的支持下,根据我校的实

情况,在教学内容的改进上做了一些探讨.我们选用了面向21世纪课程教材,《微积分简明教程》(上,下册,内蒙古大学 曹之江,刘元俊著),在学校部分院系展开试点工作.也作为我校承担的教育部世行贷款21世纪初高等教育教学改革项目“理工科少数民族本科教育的教学模式及主要基础课程体系及教学内容改革和实践(1282A05031)”的配套教学改革内容的一部分,与预科教学改革进行

了交流和借鉴.教学实践总结如下.教材的特点

1.起点高 系统性强 体系完整 思想与应用兼顾

本教材和同济第四版相比内容有所增加,使其起点高 系统性强 体系完整.该教材第一章 实数及其上的映射,其中第一节为无理数与微积分危机.在这一节,从自然数的产生,到有理数的出现, “无理”的数的存在,微积分的危机,一直讲到实数的构造成功.结合具体的历史事实,阐述了数学的发展过程.这段描述生动有趣,不仅使我们了解到我们将要研究的微积分,其立论的基础―实数的来之不易,更重要的是能使读者体会到数学的严密性与抽象性,体会到数学的思维方法.即数学不是直观经验的归纳和总结,而是一种理性的抽象理论.对于学生数学思想方法的形成有积极的作用.紧接着在第二节讲了一维连续统――实数,使学生知道实数的连续性是它与有理数本质的不同点,是全部微积分原理的出发点,从而使微积分的研究有了坚实的基础.而高等数学传统的做法是对数域的连续性避而不谈,只告诉学生在实数域上考虑.事实上是教学生怎样做,而没告诉为什么,以至于《高等数学》学完了,竟不能说出实数域是连续的这种本质特征.教材在内容上作了适当补充,如序列与上,下极限,n!与Euler常数,三角级数的均方逼近等概念的引入,不仅使该书有丰富的数学内容,同时实现了自身的完整性与严密性.另外,本教材增强了数学概念背景材料介绍,加强了数学知识与实际应用的结合.例如,在第五章“动力机制的数学模型――微分方程”中,除了我们熟悉的力学,电学问题外,还增加了人口增长,溶液淡化,二体运动(行星绕日运动)的模型.充分体现了各学科对数学的依赖程度,开阔了学生的认识领域,提升了学生的学习兴趣.有效地培养了学生综合运用知识分析问题,解决问题的能力.起到既教数学,又教思想的作用.该教材通过数学知识这个载体,反复不断的向学生传递着数学思想,数学方法,使这种思想方法

根植在我们的脑海中,终身受益.2.局部章节采用了一些新思路,新观点,新讲法.局部章节采用了一些新思路,新观点,新讲法.有效地化解了数学中的难点,使学生视数学为畏途的局面有所改变.我们知道极限是微积分实现其严密化的一种理论方法,是构筑微积分坚实理论体系的基石,是每种《高等数学》教材都要讲的内容.同时它也是课程的难点,每当讲到这部分时,学生如坠雾里云中,晕头转向,摸不着头脑.这部分内容传统的讲法是:数列的极限,函数的极限,无穷小与无穷大,极限四则运算法则,极限存在准则 两个重要极限,无穷小的比较.其中在讲数列极限时,往往是先通过具体事例,建立极限思想,然后给出数列{}以A为极限的定义及几何解释,最后给出收敛数列的性质:极限的唯一性,收敛数列的有界性.该教材的讲法是:离散变量的极限[包括1).以正整数为定义的函数――序列,2).无穷小量,3).序列的极限,4).无穷大量5).夹逼定理,6).单调有界序列的收敛性, 7).超越数e,8).n!与Euler常数C,9).重要序列极限例举,10).无穷小与无穷大的比较与级,11).子序列与上,下极限],连续变量的极限.通过比较可以看出,本教材在这部分内容的处理上采用了一些新思路,新讲法.它强调无穷小分析是微积分的思想与方法的核心.所以首先给出无穷小量的定义,进一步对无穷小进行量级的比较,给出同级无穷小中的规范形式.无穷小分析方法在后面多次被使用,特别是在级数部分,定理的叙述及例题计算中.由于无穷小量比较直观,所以学生很快就掌握了无穷小量的含义,同时由于无穷小量的运算的引入,使得后面的一些定理证明得到简化,从而使这部分的学习变的较为容易.此外该教材在Fourier级数部分也做了较大改动,例如三角级数均方逼近概念的引入极大提高了学生对收敛的认识程度,拓展了“距离”的概念.教材统一处理了定积分和不定积分,从具体模型提出黎曼可积的概念,给出了定积分的定义.利用连续函数变上限(即变区间)在一点对区间的导数是被积函数这一结论给出了“牛顿――莱布尼兹”,至于不定积分的出现是为了计算定积分的需要.不定积分的计算及技巧,只不过是求导的逆运算,这种处理逻辑自然,还了定积

分不定积分的历史面目.3.语言精练,详略得当.该教材增加了许多内容,但篇幅并没有增加,其主要原因是详略得当.该教材注重数学思想与数学方法的学习,而只做必要的基本解题技能的训练.在微积分中,有两大运算――微分运算与积分运算.在这两部分往往要花大量的笔墨放到例题上,而该教材这方面却比较经济.例如定积分的换元积分法,同济第四版有27 个例题,本教材只有16个;函数的几何形态部分,同济第四版有18 个,该教材有8个.这样做可以把学生从学数学就是学会算题的误区中解放出来,而把主要精力放在数学方法的掌握上.在语言表达方面该教材也很有特点,可谓言简意赅,切中要害.这一点从一些章节的标题中可体现出来,例如,微分――函数局部平直化,函数的多项式局部拟合――泰勒公式等.这些通俗直观的语言,容易记忆,便于联想,使掌握的知识牢固可靠.二,教材的使用情况

《高等数学》授课时数为180 学时.所以我们没有时间把《微积分简明教材》的内容全部讲完.考虑到学生的实际情况,比如考研,及课业负担,我们把教改教材与同济第四版做了比较,授课原则是第四版要求讲的内容,不管《微积分简明教材》是否打*号都讲.对《微积分简明教材》的必讲内容,而在第四版为选讲的内容,根据不同情况而定.讲课版本以《微积分简明教材》为准,尽量保持该教材的体系与特色,这样也就增加了教学难度,内容多学时少的矛盾尤为突出.因此在这一年的教学中,教师的课外投入偏大,除了刻苦钻研教材外,还经常需兼顾方方面面的因素反复推敲,决定讲课内容,讲课方式.在讲课过程中做到尽力改变教学的低效性,克服教学中的认知难度,使学生最大限度地掌握必要的数学知识.从学生的学习过程来看,大多数学生能做到认真听课,认真复习,认真做作业,他们从中感到了数学的乐趣.抽象思维的能力得到培养和提高,数学的知识面得到拓宽.但是,书中的一些抽象概念及定里,也让同学们付出了较多的时间与精力.我们应该承认,该教材有一定难度,学生水平存在差异,有约四分之一的学生感到吃力,甚至跟不上.从作为检验教学效果的唯一手段――考试的情况来看,教改班的学生的成绩略好一些.2000年到2001年第一学期末,教改班的同学需参加两次高数考试.一次是由认课教师自己出题,要求有难度,有特色.另一次是参加全校统一考试,两次成绩取其高分作为其高等数学成绩(实际上对大多数同学来说,参加统考的分数高),我班的不及格率为29.8%(校平均不及格率为32.1%).第二学期只参加全校统一考试,我班的不及格率为16.7%(校平均不及格率为26.1%).考试成绩较为理想.显然使用该教改教材的同学,其整体数学成绩有了明显提高.因此该教改教材在教学中的优势是应该肯定的.三,总结

这一阶段教改实践工作,在老师与同学的共同努力下已圆满结束.通过这次教改活动,锻炼了老师,取得了经验,为进一步教学改革奠定了基础.我认为该教改教材既有深度也有广度,是一部好教材.它的诸多特点和风格,使学生的数学能力得到了培养,对提高学生的数学成绩有所裨益,它的作用是应该肯定的.该教材自始至终注重数学思想教育,数学方法教育.它能使优秀生得到很好的训练但也能使较差学生学习的比较吃力,所以我们建议,对预科学生和类似预科班基础较弱的班级不宜使用该类教材.其他班级可分层次使用该教材.所谓分层次指的是数学基础好,所学专业对数学要求高的学生可以使用,而其他学生暂缓使用.教学应该因人而易,只有受到与自身能力相适应的教育,才能取得好的效果.对于我校高数教学效果低下,不及格率偏高的局面,不但有好教材,还需要教师队伍的建设,提高学生的积极性等多方面的改革才能得到解决.工科数学教学改革是一个复杂的系统工程,要使数学教学改革有突破性的进展,必须做多方面的改进,它是几方面综合作用的产物.只有处理好教学手段与课堂教学形式等问题,理论与应用的问题,经典与现代的问题等,能让大多数同学变被动学习为主动学习,认为数学有趣,有用,那末我们的数学教学改革就可以说成功了.总之,数学教学改革任重而道远,还需继续探讨.只有千千万万第一线的工科数学任课教师广泛参与,才会走出数学教学改革的成功之路.这是我们进行教育教学改革的初步实践工作,还有很多艰巨的任务有待进行

参考文献

高等数学(第四版),同济大学数学教研 主编,高等教育出版社

微积分简明教程,曹之江,刘元俊编,高等教育出版社.教育部世行贷款21世纪初高等教育教学改革项目(1282A05031)结题材料

高等数学教学改革实践总结报告

10.高等数学的美学探索 篇十

关键词：高等数学,数学美

0 引言

数学美古已有之,早在古希腊时代,毕达哥拉斯学派已经论及数学与美学的关系,毕达哥拉斯本人既是哲学家、数学家,又是音乐理论的始祖,他第一次提出“美是和谐与比例”的观点。我国当代著名数学家徐利治指出:“数学美的含义十分丰富,如数学概念的简单性、统性、结构系统的协调性、对称性,数学命题与数学模型的概括性、典型性与普适性,还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容”。

1 数学意境的形象美

高等数学中有些概念比较抽象,学生在理解上会有一定的困难.在教学中通过创设适当的情境,将抽象的概念具体化、形象化,这样易于学生理解。例如,讲授极限的概念时先介绍刘徽的割圆术:“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”。又如,《庄子天下篇>中的“一尺之捶,日取其半,万世不竭”。同时再辅以多媒体技术,学生一定会在感官上感受到极限的美妙。

2 数学探索的创新美

数学的发展离不开人们对于美的追求,数学家也是美的追求者。实际上,人们在研究数学时,都在自觉不自觉地应用美学原则,爱因斯坦科学思想的伟大继承人狄拉克说:“我没有试图直接解决某个物理问题,而只是试图寻求某种优美的数学”,他认为:“如果物理学方程在数学上不美,那就标志着一种不足,意味着理论有缺陷,需要改进,有时候,数学美比实验相符更重要”。

高斯在回顾二次互反律的证明过程时说:“寻求一种最美和最简洁的证明,乃是吸引我去研究的主要动力”。

“美是真理的光辉“这句拉丁格言的意思是说,探索者最初是借助这种光辉来认识真理的.历史的事实给我们以深刻的启迪,为了培养高素质的创新人才,必须加强数学美的教育。

3 数学语言的简洁美

数学家将自己的劳动成果用最合理的形式(一般是用式子)来表达,这就是数学美中很重要的一种美———简洁美。数学语言借助数学符号把数学内容扼要地表现出来,体现了准确性、有序性、概括性、简单性与条理性。如数列极限与函数极限的分析定义是用“ε-N”、“ε-δ”语言给出的,定义中具有任意性与确定性,ε的任意性通过无限多个相对确定性来实现,ε的确定性决定了N和ε的存在性。这种定义精细地刻划了极限过程中变量之间的动态关系,表达了极限概念的本质,并且为极限运算奠定了基础,学过微积分的人无不赞赏它的完美,评价它是最严密、最精炼、最优美的语言。

4 数学内容的统一美

数学的统一美是指在不同的数学对象或者同一对象的不同组成部分之间存在的内在联系或共同规律。

欧拉公式:1+eiπ=0,曾获得“最美的数学等式”称号。欧拉建立了在他那个时代,数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系,包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣莫弗~欧拉公式cosθ+i sinθ=eiθ把人们以为没有什么共同性的两大类函数三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对它们的结合,人们始则惊诧,继而赞叹确是“天作之合”,因为,由它们的结合能派生出许多美的、有用的结论来。

爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系,这不能不说是一件统一的艺术品。人类在不断探索者纷繁复杂的世界,又在不断地用统一的观点认识世界,宇宙没有尽头,统一美也需要永恒的追求。

数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希尔伯特所说的:“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简洁的方法的发现密切联系的,这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。”

5 数学方法的简捷美

解题方法的简单、巧妙是一种理性的美,简捷的解题方法和明快的思维令人心旷神怡,在心里激起愉快的情感体验和愉悦的美感,在成功的喜悦中对数学审美和数学创新会有更迫切的要求。

例如,求极限:该极限直接计算是无法得到结果的,但只要我们注意到三角函数的倍角公式和,就可以将极限号内的无限多个函数转化为有限多个函数,于是就有:

利用数学的美感激发创新灵感,迸发创造性思维火花,产生许多新颖别致又简捷的解题方法和技巧,解题者因此得到愉快的心灵感受,从内心自觉地产生发现、运用和创造数学美的渴望,增强学好数学的浓厚兴趣,不断提高数学能力。

6 数学理论的奇异美

数学中许多理论与人们的直觉相背离,有时让人觉得不可思议,给人以无尽的遐想,有时又带给人一种“山穷水复疑无路,柳岸花明又一春”的绝妙境界,它印证了我国数学家徐利治所说的:“奇异是一种美,奇异到了极限更是一种绝佳的美”。

例如,有无限个连续点(无理点)和无限个间断点(有理点)的黎曼函数;在任一点都不连续狄利克雷函数;处处连续但处处不可微的魏尔斯特拉斯函数(其中α为奇数,),这些函数我们都无法准确地描绘出它的图像。但是黎曼函数、狄利克雷函数和魏尔斯特拉斯函数的美就恰似一幅幅神奇的抽象画,虽奇异古怪,却是数学家们依靠想象而产生的艺术精品。

与之相反,数学家皮亚诺构造出的可充满一个正方形的曲线“皮亚诺曲线”,也让我们感受到数学的“奇异美”。

总而言之,高等数学中包含的数学美的内容是非常丰富的,正如罗素所说:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且有至高的美”。只要我们善于去观察,善于去总结,我们还会有所发现,有所创新。把它们及时地引进课堂,对高等数学的教学是非常有利的,让越来越多的人感受到高等数学的美,引导学生对美的追求,使他们逐步体验到数学美,使他们摆脱“苦学”的束缚,走入“乐学”的天地。

参考文献

[1]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉:华中工学院出版社.

11.小学五年级数学上册教学总结 篇十一

新城小学：彭晓琼

本学期，我担任五年级（1）班数学教学工作，我结合本班学生的实际情况，采取有力的措施，按计划、有步骤地开展工作，圆满地完成了教学任务。现总结如下：

一、主要教学措施

(一)认真备课。不但备学生，而且备教材、备教法。根据教学内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都做了详细的记录，认真写好教案。每堂课都在课前做好充分的准备，课后及时对该课作出总结，有的在课后写出教学反思。

(二)增强上课技能，提高教学教学质量。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，觉得愉快，同时还培养了学生动口动手动脑的能力。

(三)认真批改作业，布置作业有针对性，有层次性。对学生的作业批改及时，认真分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题做出分类总结，进行透切的讲评，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。

(四)做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，同时加大了对后进生的辅导的力度。对后进学生的辅导，并不限于学生知识性的辅导，更注重的是学生思想的辅导，提高后进生学习兴趣。

(五)积极提高学生数学素质。在教学工作中注意了能力的培养，把传授知识、技能和发展智力、能力结合起来，在知识层面上注入了思想情感教育的因素，发挥学生的创新意识和创新能力。让学生的各种素质都得到有效的发展和培养。

二、教学中存在的问题

本学期对学困生的帮扶还不够深入，对学生心理特点了解不够，教学方法还有待于改进，教学成绩还有待于提高。

三、今后整改措施

12.高等数学易错问题总结 篇十二

1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？

答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？

答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)*(x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y)求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求FZ(z)= Fx(z)* FY(z)和FZ(z)=1-(1-Fx(z))*(1-FY(z)),再对z求导的麻烦。为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。

答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x)在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x)在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。

考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)x不等于0, f(x)=0当x=0时，当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在，所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原函数F(x)=x平方* sin(1/x)x不等于0，F(x)= 0当x=0时。对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分？

答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数t=y-ax（截距式参数）t=y除x(斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或y与x的函数关系确定y与x的取值范围，从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于t的定积分。

从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经常看到的直角坐标，二是极坐标即r与角度（逆时针方向增大）的关系，第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。关于复合函数连续与可导的问题

答：对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在，y=g(u)在u=b {b=f(a)}处连续，则极限符号可以提到括号里面去，如果y=g(u)在u=b {b=f(a)}处可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处不可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)))在x=a处可以可导。比如内函数为u=f(x)=x+（x的绝对值），外函数为y=g(u)=u+（u的绝对值），虽然u=f(x)在x=0处不可导，y=g(u)在u=0处不可导,但是y=g(f(x))在x=0处可导。可积一定有界，但反过来不一定成立，举个反例 答：狄利克雷函数，因为此函数当x趋于有理数时极限等于1，趋于无理数时极限等于0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数，所以该函数有无穷多个第一类间断点，与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。如果一个函数在一个点x0处可导，能不能推出它在x0的某一领域内可导? 答：不能，反例，f(x)=x平方，当x为无理数。f(x)=0，当x为有理数，先考察在x=0处的可导性。当函数从无理数趋于0时，导数为x平方除x，为x。又x=0，所以导数为0。当函数从有理数趋于0时，导数为0除x，为0。所以函数在0处可导。当x不为0处（设为x0处）的导数，分两种情况，一是在有理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为x平方除x，为x，当函数从有理数趋于x0时，导数为0除x，为0，不相等所以不可导。二是在无理数处的导数，当函数从无理数趋于x0时，导数为0除x，为0，当函数从有理数趋于x0时，导数为负x平方除x，为负x，不相等所以不可导。如何求两条异面直线的公垂线？

答：思路一：根据给出的两条空间直线L1与L2的方程（可以是一般方程或是对称方程），求出它们的方向向量S1={m1,n1,p1}, S2={m2,n2,p2}.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={m3,n3,p3}，然后取包含S3的第一个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L1上一已知点{a1,b1,c1},做向量S4={x-a1,y-b1,z-c1},根据S4, S1, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。同理取包含S3第二个平面上的一点（x,y,z）（任意一个未知的代数点）与L2上一已知点{a2,b2,c2},做向量S5={x-a2,y-b2,z-c2},根据S5, S2, S3三向量共面，混合积等于0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。联立这两个平面的一般方程，就得到了公垂线的一般方程。思路二：设两个参数t与m, t为起始点的参数，m为步长参数，把L1先化为对称式方程，并设它等于t，然后写出x=x(t)，y=y(t),z=z(t)，再在L1上取一起始点A{ x(t), y(t), z(t)} 然后根据公式求出这两个向量的垂直向量S3={a,b,c}，(a,b,c是三个具体的数)沿此向量取一步长m，,则A点沿公垂线平移的向量改变量为S={am,bm,cm},则终点为

B{ x(t)-am, y(t)-bm, z(t)-cm},把它带入到L2的方程里去，便可求出参数t与m的值，这样便可求出公垂线的方程。注意第一类广义积分与上限或下限为0的第二类广义积分审敛法的区别

分析：前者是无穷限积分，把函数与x分之一的p次方做比较，当p>1时，由审敛公式极限等于0或常数时，积分收敛。当p<=1时, 由审敛公式极限等于常数或无穷大时，积分发散。后者是在x=a处的被积函数为无界的积分，把函数与(x-a)分之一的p次方做比较，当p<1时, 由审敛公式极限等于常数或0时，积分收敛。当p>=1时，由审敛公式极限等于无穷大或常数时，积分发散。需要注意的是此时a=0，(x-a)分之一的p次方变成了x分之一的p次方，所以此处很容易出错，最重要的是要看一下被积函数在x=0处是否有界，有界属于前者，无界属于后者。审敛时p的取值范围正好相反。证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序，且变换次数与这个n阶排列具有相同的奇偶性。

证明：根据数学归纳法，设一个排列为k阶排列，先证明任何一个n阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。当k=1时，结论显然成立。假设当k=n-1时结论也成立，即j1j2到

Jn-1可以变成123到n-1。则对于k=n，当jn=n时，结论显然成立。当jn不等于n时，则第一步先把jk(k为1到n-1的任意一个整数)它的值为n,与jn做对换，接下来的对换方法如同jn=n时，因为一个n阶排列可变为自然排列，所以自然排列也可以变为这个n阶排列，且变换次数相同，又因为自然排列是偶排列。且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列，经过偶数次对换变成偶排列，所以命题得证。隐函数求导的三大法则 一 等式两边对x求导 二 利用隐函数求导公式 三 等式两边取全微分 关于二重积分的保向性的理解

分析：因为积分区间相同，被积函数有大小比较关系，所以把两个积分相减，得到的式子大于零，就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体，它在xoy面上方大于零，在xoy面下方小于零。保向性在定积分与三重积分也成立。对于不等式两边同时取极限也成立。如果lim(n趋于无穷大)Xn*Yn=0,能不能说lim(n趋于无穷大)Xn=0,或lim(n趋于无穷大)Yn=0？

答：不能，设数列{Xn}为0,1,0,2，0,3,0,4一直下去，其通项为1加上1的n次方的和除以二再乘以n。设数列{Yn}为1，0,2,0,3,0,4,0一直下去，其通项为1加上1的n-1次方的和除以二再乘以n。这就是一个反例。因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变，但收敛域的变化有什么规律? 答：设幂级数逐项求导的收敛域为I1,原幂级数收敛域为I2，幂级数逐项积分的收敛域为I3，则I1< I2< I3,即幂级数逐项求导在端点（此处端点可分单侧和双侧两种，各针对这两种情况）处收敛，则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛，幂级数逐项积分在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。幂级数逐项积分在端点处收敛，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散，幂级数逐项求导在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。“泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗? 答：不是，前者是要满足三个条件的后者，一是级数在展开点x0的某个领域内的任意一点的和的函数值S(x)必须等于这个函数f(x)在该点处的函数值，二是余项的极限要为零，三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。

注意div rot grad 的对象与结果

分析：div是指散度，是把一个场A的分量P Q R分别对x,y,z求偏导，然后把三个结果相加。应用主要是高斯公式，即先对空间一个场A，求出divA对它在作用区域（注意该区域一定是体积封闭的）内的三重积分等于一个曲面微元点乘该点处的单位法向量，即把该点处的曲面微元向量化，变为(dydz, dxdz,dxdy),然后把场A的向量（P Q R）与(dydz, dxdz,dxdy)做点乘所得的结果再做第二类曲面积分,结果表示通量，是一个数。Div的对象是一个三维向量，divA的结果是一个三元函数，代入具体某一点时表一个数。

Rot表示旋度，对象是一个三维向量，把场A的向量（P Q R），rotA为向量（R对y求偏导-Q对z求偏导，P对z求偏导-R对x求偏导, Q对x求偏导-P对y求偏导）,结果是一个三维向量。应用主要是斯托克斯公式，即对于一个曲面（不封闭），用rotA点乘(dydz, dxdz,dxdy)再在这个曲面上取第二类曲面积分等于向量（P Q R）绕底部空间曲线（一定是封闭的）的曲线积分，注意曲线的绕向与所取曲面的侧的法向量必须满足右手定则，如不满足，在结果前加一个负号，结果是一个数，表示环流量。

要注意用高斯公式和斯托克斯公式，前者在封闭曲面，后者在封闭曲面内向量（P Q R）必须有连续一阶偏导数，即P Q R在积分区域内连续，且处处可偏导，无奇点。有奇点对于高斯公式要画一个包括奇点的单位球，要求曲面外侧，则结果为球面内侧通量，要求曲面内侧，则结果为球面外侧通量。注意球面外侧通量与球面内侧通量互为相反数。同理高斯公式对于二维的就是格林公式，逆时针封闭曲线积分与顺时针封闭曲线积分互为相反数。