大学物理及数学积分公式

大学物理及数学积分公式（精选5篇）

1.大学物理及数学积分公式 篇一

Г函数及一类广义积分公式在概率统计中的应用

该文通过多个实例说明Г函数及相关广义积分公式在数字特征、矩生成函数、特征函数、熵以及参数估计理论中都有广泛的应用,提出在新编概率统计类教材以及在教学中,都应重视其工具性的作用,应对其加以介绍和应用.

作 者：程龙生  作者单位：南京理工大学经济管理学院,南京,210094 刊 名：南京理工大学学报(自然科学版)  ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF NANJING UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY 年，卷(期)： 27(z1) 分类号：O172.2 O242.28 关键词：Г函数   数字特征   矩生成函数   特征函数   熵  

 

2.大学物理及数学积分公式 篇二

设n是一个正整数, Sn是欧氏空间Rn+1中的单位球面, P (x) =P (x0, …, xn) 是定义在Rn+1上的一个多项式, 我们想计算P (x) 在Sn上的积分, 这里dσn表示Sn的体积形式。由积分的线性, 我们只需要考虑P (x) 是一个单项式的情形, 因此以下我们假设, 这里a= (a0, …an) ∈Nn+1是一个多重指标, N代表全体自然数。单位球面上单项式的积分有以下的显式公式, 见文献[1]。

引理 (1) 如果某个ai是奇数, 则。

(2) 如果a0, …, an都是偶数, 则

这里是大家熟知的Gamma函数。

推论单位球面Sn的体积为。

证明在引理中令a= (a0, …, an) = (0, …, 0) 即可。

二、高斯-博内公式及其改进

1. 高斯-博内公式。

现在设n是一个正偶数, M是Rn+1中的一个紧致的光滑超曲面, 它总是可定向的。对于任意的y∈M, 可以确定M在y点处的单位外法向量G (y) , 这样得到的映射G:M→Sn称为超曲面M的高斯映射。高斯映射在y点处的Jacobian被称为M在y点处的高斯曲率, 记为K (y) , 这等价于说G* (dσn) =Kd A, 这里d A是超曲面M的体积形式。

高斯-博内公式设n是一个正偶数, M是Rn+1中的一个紧致的光滑超曲面, 则有, 这里χ (M) 是M的欧拉示性数。

我们来简要分析一下这个公式的证明:由微分形式的拉回G* (dσn) =Kd A和映射度的定义, 我们有,

最后一个等号用到了等式, 它的证明可见文献[2]的第320页。

2. 高斯-博内公式的一个改进及其简证。

现在设c= (c0, …, cn) ∈Rn+1是一个单位常向量, 我们用 (c, G) 表示c和G的内积。高斯-博内公式有如下的改进, 见文献[3]。

定理设n是一个正偶数, m是一个自然数, M是Rn+1中的一个紧致的光滑超曲面。

(1) 如果m是奇数, 则。

(2) 如果m是偶数, 则。

下面我们给出一个新的较为简洁的证明。

证明令f (x) = (c, x) m= (c0x0+…+cnx) m, 则有

是单项式的线性组合。

(1) 如果m是奇数, 则至少有一个ai是奇数, 由引理的 (1) 可知。

(2) 如果m是偶数, 由引理的 (1) 可知,

再利用引理的 (2) 可知, 这个积分等于

利用Gamma函数的性质Γ (s+1) =sΓ (s) 可知, 当s是一个自然数的时候, 有, 所以

因为c= (c0, …, cn) ∈Rn+1是单位向量, 所以c02+…+cn2=1, 因此

最后, 利用即可得到。证毕。

下面, 我们看一个有趣的例子。

例取m=n=2, 此时M是R3中的紧致光滑曲面, 我们有

设G= (G1, G2, G3) , 我们可以进一步取c= (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) , 得到

摘要：由极坐标下积分的变量替换公式, 我们可以得到单位球面上多项式的积分的显式公式。利用这个显式公式, 我们可以给出高斯-博内公式的一个改进的简洁证明。

关键词：单位球面,极坐标,伽马函数,高斯-博内公式

参考文献

[1]Folland G.B.How to Integrate a Polynomial over a Sphere.Amer.Math.Monthly[J], 2001, (108) :446-448.

[2]张筑生.微分拓扑新讲[M].北京:北京大学出版社, 2002.

3.论大学数学积分方法的现实应用 篇三

数学积分现实应用

数学这一学科源于生活，应用与生活，而积分这一分支更是与生活密不可分，息息相关。积分方法在我们生活中无处不在，它的发现和发展为我们的生活提供了很多便利。最早积分的产生就是为了解决这些实际问题，如求物体运动的路程、变力做功多少、曲线围成的面积和曲面围成的体积等。积分的进一步发展后推动了现代力学、工程学及天文学等学科的发展，对于科学的发展和变革有重要意义。

一、积分方法概论

1.积分的含义

积分是用来研究函数的微分及相关概念和应用的一个数学分支学科。这一概念是为了计算某一变量的瞬时变化值而提出的，即数学积分研究的是变量在函数中的应用；如果站在物理学的角度看积分，则是为了解决速度和加速度的问题。积分这一概念的关键点在于“变”，因此积分对现实生活才具有了应用价值。

2.积分思想

积分应用的极限的思想。积分首先是一种数学的思想，我们常说的微分法是无线细分的思想，而积分则是无限求和的思想。上述无限即为极限的思想，它是微积分理论的基础思想，这种思想是站在运动的角度即“变”的角度来看待问题和解决问题。这种思想的关键点在于用微元和无限接近，将一个变量拆分为无限多个小的单元来看待，就可以把它看待为常量来处理，最终将常量叠加起来就解决了变量的问题。

积分的这种极限思想是生活中的基本原理之一，在伟大科学家们的分析和拓展之后，积分的极限思想更好的为人类服务。牛顿就是利用积分的思想研究了运动的过程，为后人研究物理问题提供了极大的理论支持。有了微积分原理，才有了历史上的几次工业革命，才有了先进的生产力和现代社会。动车、高铁、航天飞机、宇宙飞船等心高科技的交通工具都是在积分思想的指导下得以实现的。因此，积分在人类社会的发展过程中做出了巨大的贡献。

二、积分方法的发展和应用

1.积分方法的发展历程

微积分的酝酿主要发生在17世纪早期。该时期自然科学的发展特别是天文学和力学上遇到数学困难，因此积分的理论在这时开始受到科学界的广泛关注。科学家们在研究解析几何的同时为积分学问题的研究提供了代数理论。卡迪尔、费马等人的研究成果都为积分的诞生奠定了基础。经过近半个世纪的酝酿，牛顿和莱布尼兹完成了微积分的创立。牛顿在剑桥大学学习的期间先后发明了“正流数术”即微分法和“反流数术”即积分法，他的《流数简论》这篇论文是历史上第一篇有关微积分的系统性文献。牛顿的著名著作《自然哲学的数学原理》中首次公开为积分学说，在该著作中用微积分原理推导了万有引力定律、开普勒的行星运动三大定律。基本是同时期内莱布尼兹也发表了他的微积分学论文，是世界上第一篇关于微积分的正式文献。18世纪的欧拉对微分和积分学进行了完善，发表了《微分学》和《积分学》两部里程碑式的巨著，为积分理论的发展和应用做出了伟大的贡献。

2.积分方法的应用

实际上积分的发展离不开它的实际应用。它在力学、天文学、工程学中得到了广泛应用，后来随着科学技术的发展，积分还被应用到了生物学、化学以及经济学中。因为万物都是由微小的、不断运动的粒子组成，因此数学中引入变量这一概念后即积分的出现，用数学来描述万物的运动得以实现。积分的应用在其理论建立之初主要有以下几方面：第一类是研究运动，即求运动的即时速度；第二类应用是求解曲线的切线；第三类是曲线全长，曲线围成图形的面积、曲面所围成的体积以及不对称物体的中心位置等；第四类应用时求解某一函数的最值的问题。第五类应用是求解体积很大的物体之间的引力问题。积分学的应用极大地推动了数学、自然学科如天文学、力学、物理学和物理学的快速发展，尤其是随着计算机技术的出现和应用，这种推动力更加凸显出来。

三、积分方法的现实应用

1.积分方法在数学中的应用

积分法是数学中的一个重要的分支，它在高等数学中用来研究函数的微分、积分及其相关概念，是数学中的一个重要部分。积分方法来源于实践，有着很强的实用性，用积分法研究一些数学原理，以便更好的将数学这一重要工具用于生产实践中服务于社会。

2.积分方法在经济学中的应用

积分法在经济学上的应用，主要是利用该方法解决边际需求和边际供给的问题。在现实生活中很多统计问题是没有办法精确化的，但是微积分方法中极限思想的引入使得一些函数可以解决这样的问题。利用微积分方法引申出的弹性函数，可以很好地解决经济学中行情不稳定的事物的价格走势等问题。某一变量随时间变化所引发的无规则变化，因变量的变化规律很难找出，解决这一困难的唯一方法就是积分法，即利用积分法引申的弹性函数来预测事物发展规律。

3.积分方法在物理学中的应用

积分法是解决物理难题的重要工具。将极限这一原理应用到物体的匀变速运动中，则可以方便的研究出物体的位移问题和瞬时速度问题；极限这一思想在研究变力做功的问题以及匀速圆周运动中向心加速度的问题上做出极大的贡献。积分方法很好的解决了物理学中“速度”这一难题，而“速度”又带动了运动定律和天体运动规律的发展，最终推动了物理学的跨越式发展。

4.积分方法在生活中的应用

积分方法在生活上、学习上都有其独特的、最优的价值。现实生活中有很多实例可以提现积分法的作用，积分方法的思想是极限，对于一些不规则图形的面积计算积分法是唯一的方法。因此积分法常用在制图设计中，一些复杂工程的不规则表面的设计就要用到积分法；积分方法还可以应用到园艺建设中，该方法计算不规则面积的优点可以准确计算园艺土地面积、植物的体积，这对做好园艺建设有重要意义；积分方法在管理上也起到了重要作用，在企业管理中积分法可以用来预测模型，从而制定更加合理的管理方案，有利于企业更加健康地发展。

四、结语

积分法是一个重要的数学原理，它与人类生活息息相关，源于生活也用于生活，它的诞生和应用时人类智慧的体现。积分法的发现和发展对人类社会的发展和进步有着重要意义。积分法的研究工作是以实际问题为出发点，将抽象的现实问题转化为数学问题，整个积分方法的研究和应用对社会进步有着决定性作用。因此，我们不仅要学习现有的积分方法的原理和应用，還要在前人研究成果的基础上进一步的研究和探寻积分法的更深层次的应用，以便更好地服务现代社会。

参考文献：

[1]焦云航.以开放的学习态度学习微积分[J].新课程，2010，（10）：56-59.

4.大学如何学好高等数学微积分 篇四

学习高等数学时，还要多加注意问题与问题之间的联系，做到自觉灵活地分析和解决问题。

对于1/x的不定积分，其一个原函数为lnx，这是一个大家都很熟悉的公式，再有我们还熟知f(x)导数的不定积分=f(x)+c。如果将这两个知识点联系起来，便可组成一个求解不定积分的问题。解决不定积分的根本出路是用公式积分，教材中列出了13个基本积分公式。但直接套用公式的积分问题是很少的。我们所遇到的大多数问题与积分表中所列公式存在差异，因此求解不定积分的基本方向是改变被积分的形式，从而达到能够运用基本积分公式的目的。于是教材中列出了三种常用的基本积分法。一是直接积分法;二是换元积分法，具体地又分为第一换元法(又称为凑微分法)和第二换元法;三是分部积分法。积分时选用哪一种方法，这就要根据题目的特点来定，当然学习者平时的经验积累与敏锐的观察力也是必不可少的。就此例来说，被积函数中含有1/x和lnx，联系它们之间的关系，我们可选用换元法中的凑微分法，将(1/x)dx写成d(lnx)，此类问题即可迎刃而解。

5.大学物理及数学积分公式 篇五

这个主要还是因人而异，在高中数学的学习中有很多人难懂的但是非常重要的知识点，对于某些空间想象力的，立体几何会比较难。对有些人，可能排列组合理解起来费劲。但是对大多数人而言的难点，一个是函数，一个是圆锥曲线。当然，圆锥曲线的难点关键在于它冗杂的计算。

提高数学成绩的方法有哪些

1、认真听好每一节课。有的同学上课不听，下课不看，资料不做，考试前拿着课本在那记公式，总结知识点，考试成绩是一塌糊涂。

2、记数学笔记，特别是对概念不同侧面的理解，以及典型例题。

3、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到能从反面入手深入理解;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对阵下药;解答问题完整、推理严密。

4、记忆数学规律和数学小结论。高中数学不是靠死记硬背，但是不代表不背，基本的规律和结论还是必须记的，记的熟练了，自然也就能灵活运用了。

5、在有能力的基础上做一些数学课外题，加大自学力度。

6、反复巩固，消灭前学后忘

7、学会总结归类。

学好高中数学的小窍门有哪些

不乱买辅导书。把从高三发的第一张卷子起到最后一张高考结束后全部留着，这些卷子留好后你从第一张看的时候和辅导书是一样一样的 因为高三复习的时候都是按章节来的，所以条目很清晰。

每一张卷子不留题。

不留错题和不明白的题，把每一个题目都弄明白，不会的就去问别人问老师。

整理错题。把所有卷子集中起来把错题回顾了一遍，不一定动笔(太懒)去做，在脑子里想一遍，一般只用不到一分钟一道，这个时间什么时候都抽得出来的。

整理笔记。关于一些好题难题错题典型题，把这些题从纸上剪下来贴到本子上再做一遍，到高考前把这个错题本全部重新再做一遍。

高中数学学习方法有什么?

一个老生常谈的话题，也是提到学习方法必将的一个，话虽老，虽旧，但仍然是不得不提。虽然大家都明白该这样做，但是真正能够做到课前预习的能有几人，课前预习可以使我们提前了解将要学习的知识，不至于到课上手足无措，加深我们听课时的理解，从而能够很快的吸收新知识。

这里主要指的是课堂笔记，因为每节课的时间有限，所以老师将的东西一般都是精华部分，因此很有必要把它们记录下来，一来可以加深我们的理解，好记性不如烂笔头吗，二来可以方便我们以后复习查看。如果对课堂讲述的知识不理解的同学更应该做笔记，以便课下细细琢磨，直到理解为止。

不能埋头苦干，挑那些精华去做，一般学校给发的卷子都是老师组的题，应该都还不错，做一道会一道。最后如果心里没底，假期就先去补课吧，适应一阶段比较好上手。至于看之前学长学姐什么的说一定要有错题本什么的，我觉得没啥大用，整理题浪费时间，就要用心感悟，做的时候就让他会了，学会方法，可以整理个笔记，把你积累的做题方法技巧记下来，概念公式都记准。

什么是良好的学习习惯?它包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习等多个方面。

(1)制定计划。从而使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳打稳扎，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨练学习意志。

(2)课前自学。这是上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

(3)专心上课。“学然后知不足”，这是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。课前自学过的学生上课更能专心听课，他们知道什么地方该详细听，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全盘抄录，顾此失彼。

(4)及时复习。这是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。

(5)独立作业。这是掌握独立思考，分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的必要过程。这一过程也是对学生意志毅力的考验，通过作业练习使学生对所学知识由“会”到“熟”。

其实，不仅仅是数学考试，在参任何一门考试之前，你都要弄清楚或明确几个问题：考试一共有多长时间，总分多少，选择、填空和其他主观题各占多少分。这样，你才能够在考试中合理分配考试时间，一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间，影响了其他题的解答。

拿安徽省的数学高考题为例，安徽省数学高考满分为150分，时间是2小时，其中选择题是12道，每题5分，共60分;填空题4道，每题是4分，共16分，解答题一共74分。所以在了解这些内容后，你一定要根据自己的情况，合理安排解题时间。

一般来说，选择题填空题最迟不宜超过40分钟，按照我们新东方培养的标准是让学生在30分钟之内高效的完成选择填空题。你必须留下一个多小时甚至更多的时间来处理后面的大题，因为大题意味着你不仅要想，还要写。