分式函数的解法

分式函数的解法（共18篇）

1.分式函数的解法 篇一

教师想方设法为学生设计好的问题情景，同时给学生提供充分的思维空间，学生在参与发现和探索的过程中思维就会创在一个又一个的点上，这样的教学日积月累对于培养学生的创新意识和创新能力是有巨大的作用的。我认为学好数学最好的方法是在发现中学习，在学生的再创造中学习，并引导学生去学习。

教学设计中教师要根据目的要求，内容多少，重点难点，学生的条件，以及教学设备等合理地分配教学时间。其次，要注意节省时间，特别是在讲授新知识时，要抓住重点，不能企图一下讲深讲透。要安排一定的练习时间。通过练习的反馈，再采取必要的讲解或补充练习。再次，要注意尽量安排全班学生的活动，如操作、练习巩固，解应用题等，避免由少数人代替全班学生的思维活动，使大多数学生成为旁观者。要注意在一节课内提高学生的平均做题率。此外，还要注意选择有效的练习方式和收集反馈信息的方式，以便节约教学时间，并能及时发现问题。

班级的学生有整体的特点，当一定存在个体差异。如果要求每一个教学目标都人人过关，实属不智行为。效率是整体利益的平衡结果，不能因为个别同学目标未达成而牺牲整体的时间利益，这会造成新的教学问题。所以在集体教学时，把握大多数，将整体利益平衡好，这样的集体教学才是有效率可言的。当然教师在教学过程还是要关注每一位学生，关注其是否在听教师的讲解分析，以及自身是否在积极思考问题。千万不可只顾自己按照教案设计去讲，而忽视学生的思维。

2.分式函数的解法 篇二

(极限的除法运算法则) 设极限都存在, 且, 则极限也存在, 且有

例1

分析

通过计算可得:, 故可直接利用 (1.1) 式.

解

例2

求极限, 其中a为常数.

分析

通过计算可得:, 由于分母的极限与a有关, 故求此分式函数的极限需对a分情况讨论.

解

(ⅰ) 当a≠2时, 分母的极限不为零, 由 (1.1) 式得：

(ⅱ) 当a=2时, 分母的极限为零, 不能利用 (1.1) 式, 但可考虑此分式函数的倒函数的极限:

于是, 由无穷小与无穷大的关系, 有:

例3

分析

通过计算可得:在计算此分式函数的极限之前, 我们先介绍一个定理:

定理 (洛必达法则)

设函数f (x) 与g (x) 满足条件:

解

由洛必达法则可得:

通过上面的三个例子, 对于求的极限我们总结如下:

(ⅰ) 若分母的极限不为零, 直接利用极限的除法运算法则求此极限;

(ⅱ) 若分母的极限为零, 但分子的极限不为零, 可通过求倒函数的极限, 再根据无穷小量与无穷大量的关系, 求得此极限为∞;

(ⅲ) 若分子、分母的极限都为零 (或∞) , 可采用洛必达法则.

例4

求下列极限:

分析

本例中三个待求极限的分子、分母极限均不存在, 不能利用极限的除法运算法则.但分子、分母同除以x的最高次幂将其变形, 并利用无穷小与无穷大的关系即可求解.

解

(1) 分子、分母同除以x4, 可得:

(2) 分子、分母同除以x3, 可得:

(3) 我们看此分式的倒数, 分子、分母同除以x4, 可得:

通过总结以上例子, 有如下的结论:

其中ai (i=0, 1, 2, …, n) , bj (j=0, 1, 2, …, m) 为常数且a0≠0, b0≠0, 为非负整数.

3.关于抽象函数有关问题的解法 篇三

一、求表达式

(一)换元法:即用中间变量u表示原自变量 的代数式,从而求出 f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1:已知,求 f(x)。

解:设 ,则 x=(u-1)2,u≥1,

∴f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1

∴ f(x)=x2-1(x≥1)。

(二)配凑法:在已知f(g(x))=h(x)的条件下,把h(x)拼凑成以g(u)表示的代数式,再利用代换即可求 f(x),此解法简洁,还能进一步复习代换法。

例2:已知,求f(x)。

解:∵

又∵

∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x ,(| |≥1)

(三)待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,求出关系式中的未知系数。

例3:已知f(x)是二次实函数,且f(x+1)+f(x-1)=x2 +2 +4,求f(x) 。

解:设f(x)=ax2+bx+c ,则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2(a+c)=x2+2x+4

比较系数得

∴

(四)利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式。

例4:已知y=f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)=lg(x+1),求f(x) 。

解:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称,故先求 x<0时的表达式。

∵-x>0,∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x),

∵ f(x)为奇函数,∴lg(1-x)=f(-x)=-f(x)

∴当x<0时f(x)=-lg(1-x)

∴

例5:已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f(x)+g(x)= ,求f(x),g(x)。

解:∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,

∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),

不妨用-x代换f(x)+g(x)= ………①中的x,

∴f(-x)+g(-x)=即f(-x)-g(-x) = - ……②

显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)=再代入①求出

g(x)=

(五)赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出f(x)的表达式。

例6:设f(x)的定义域为自然数集,且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x)。

解:∵f(x)的定义域为N,取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1

∵f(1)=1, ∴f(2)=f(1)+2, f(3)=f(2)+3

……f(n)=f(n-1)+n

以上各式相加,有f(n)=1+2+3+……+n=n(n+1)/2

∴f(x)=1/2x(x+1),x∈N

二、利用函数性质,解f(x)的有关问题

(一)判断函数的奇偶性

例7: 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立,且 ,求证: 为偶函数。

证明:令x=0, 则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)……①

在①中令y=0则2f(0) =2f(0)

∵f(0)≠0∴f(0)=1

∴f(y)+f(-y)=2f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴f(x)为偶函数。

(二)确定参数的取值范围

例8:奇函数f(x)在定义域(-1,1)内递减,求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数 的取值范围。

解:由f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2),

∵f(x)为函数,

∴f(1-m)

又∵f(x)在(-1,1)内递减,

(三)解不定式的有关题目

例9:如果f(x)=ax2+bx+c对任意的t有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小。

解:对任意t有f(2+t)=f(2-t)

∴x=2为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴,

又∵其开口向上

∴f(2)最小,f(1)=f(3),

∵在[2,+∞)上,f(x)为增函数,

∴f(3)

4.有理分式函数的图象及性质 篇四

【知识要点】 1．函数y

axbcx

d

(c0,adbc)dcdc

（2）值域：{y|y

（1）定义域：{x|x单调区间为(,直线x

dc,y

dcacb

x),(,+)（4）dc,ac，对称中心为点()

（5）奇偶性：当ad0时为奇函数。（62．函数yax

(a0,b0)的图象和性质：

（1）定义域：{x|x0}（2）值域：{y|y或y（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y轴和直线yax为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数yax

b(a0,b

0)的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数y

1x

1的图象是（）

A

x1

B

C

x3x

2D

x3x2

2．函数y

A.y

x3x2

2x

3(x1)的反函数是

x3x2

（）

(x1)

(x2)B.y

x2xa

(x2)C.y(x1)D.y

3．若函数f(x)的图象关于直线yx对称，则a的值是（）

A.1B.1C.2D.2

2x1

4．若函数f(x)存在反函数，则实数a的取值范围为

xaA.a1B.a1C.a

（）

D.a

5．不等式4x

A.(

12,0)（12

1x的解集为

12)（12

（）,0)(0,12),)B.(-,

axb,)C.(,0)(0，+)D.(

6．已知函数f(x)的图象如图所示，则a,b,c的大小关系为2

xc

A.abcB.acbC.bacD.bca 7．若正数a、b满足abab3,则ab的取值范围是_____。8．函数y

3xx

4（）的值域是。的反函数的图象关于点(1,4)成中心对称，则实数

9．若函数y

axxa

1a。

10．函数y

e1e1

x

x的反函数的定义域是。

11．不等式

2x1x

31的解集是。

12．函数y

xxxx1的值域是。

13．设f(x)x

ax1,x[0,+)。

（1）当a＝2时，求f(x)的最小值；

（2）当0＜a＜1时，判断f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值。14．设函数f(x)调性． BABDAD

331,]9．310．(1,1)11．x3或x412．[,1)443

213．解：（1）a＝2时，f（x）＝x＋＝ x＋1＋－1≥22－1，等号在x＋1＝，x1x1x1

xaxb

(ab0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单

7．[9,+)8．[

x＝2－1（∵x∈[0，＋∞））时成立．

（2）当0＜a＜1时，设x1，x2 ∈[0，＋∞），x1＜x2 ． 则f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）＋

ax21

－

ax11

a

＝（x2－x1）（1－

a

(x11)(x21)）．

∵ 0＜a＜1，∴

a

(x11)(x21)

＜1，1－

(x11)(x21)

＞0，又 x2－x1＞0，于是f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）（1－

a

(x11)(x21)）＞0，f（x2）＞ f（x1），f（x）是增函数． 在x＝0时，f（x）的最小值是a． 14．解：函数f(x)

xaxb的定义域为(,b)(b,)

f(x)在(,b)内是减函数，f(x)在(b,)内也是减函数

证明

f(x)

在(b,)内是减函数

取x1,x2(b,)，且x1x2，那么

x1ax1b

x2ax2b

f(x1)f(x2)





(a-b)(x2x1)(x1b)(x2b)

∵ab0,x2x10,(x1b)(x2b)0 ∴f(x1)f(x2)0 即

f(x)

在(b,)内是减函数，同理可证

f(x)

在(,b)内是减函数。

浅 说 函 数 的 对 称 性

函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是f(x)+ f(2a－x)= 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0)。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)

定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)

是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠

b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称。定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

(B)是偶函数，但不是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

‘

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)

例2：设定义域为R的函数y = f(x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5)= 1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2)反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，12

f(x)= －x，则f(8.6)= _________（第八届希望杯高二 第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3

例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）(A)0.5

(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5

解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数。

5.分式函数的解法 篇五

分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=

axb(ac0)函数值域的求法 2cxdxe解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数

②分子分母同除以t，把分母化为关于t形如y =t+k/t的函数(t>0,k>0)

③利用函数y=t+k/t的单调性或均值不等式来求值域

例1

y =x1

x1,

x23x3解令x+1=t,得 t0,且x=t-1 ∴y=t=t2t1111tt

13

6.分式的乘除教案 篇六

一、例题分析

（P17）例4.计算

[分析] 是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.（补充）例.计算

3ab28xy3x()322xy9ab(4b)(1)3ab28xy4b()329ab3x(先把除法统一成乘法运算)=2xy3ab28xy4b23 =2xy9ab3x（判断运算的符号）

16b23 =9ax（约分到最简分式）

2x6(x3)(x2)(x3)23x(2)44x4x

2x61(x3)(x2)23x =44x4xx3(先把除法统一成乘法运算)2(x3)1(x3)(x2)2x33x =(2x)(分子、分母中的多项式分解因式)2(x3)1(x3)(x2)2(x3)=(x2)x3 =2x2

二、课堂引入

1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高

vm，问题2求大拖拉机的工abnab作效率是小拖拉机的工作效率的倍.mn[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.2.P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.3．[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？

类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.三、例题讲解

P15例2.[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.P15例.[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是500、500，还要判断2a1a12出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1

计算

22c2a2b22（1）（2）n4m3（3）y abc2m5n7xx2（4）-8xy2y(5)2a45xa21(6)y26y9(3y)2a2a1a4a4y2

五、课后练习

7.抽象函数问题解法 篇七

一、利用函数性质的解题思想

函数性质是反映函数特征的主要途径, 充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质, 选择适当的方法解决抽象函数问题。

1. 利用对称性, 数形结合

例1:已知函数f (x) 对一切实数x都有f (2+x) =f (2-x) , 如果方程f (x) =0恰好有4个不同的实根, 求这些实根之和。

策略:由f (2+x) =f (2-x) 可知是函数图像关于直线x=2对称。又f (x) =0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4, 则x1+x4=2×2=4, x2+x3=2×2=4, ∴x1+x2+x3+x4=8。

2. 利用奇偶性分析函数特征

例2:已知函数f (x) =ax+bsinx+3, 且f (-3) =7, 求f (3) 的值。

策略:注意到g (x) =ax+bsinx=f (x) -3是奇函数, 可得g (-3) =-g (3) , 即f (-3) -3=-[f (3) -3], f (3) =6-f (-3) =-1。

3. 利用单调性等价转化

例3:已知奇函数f (x) 在定义域 (-1, 1) 上是减函数, 试求满足不等式f (1-a) +f (1-a2) <0的a的取值范围。

策略:由单调性可知, 原不等式等价于:

4. 利用周期性研究函数特征

例4:已知f (x) 是定义在正整数集上的函数, 对任意正整数x都有f (x) =f (x-1) +f (x+1) , 且f (1) =2002, 求f (2002) 。

分析:根据x的任意性, 判断函数的周期。

略解:由f (x) =f (x-1) +f (x+1) , 可得:f (x+3) =-f (x) 。

∴f (x+6) =-f (x+3) =[-f (x) ]=f (x) ,

∴f (x) 是以6为周期的周期函数,

∴f (2002) =f (333×6+4) =f (4) =f (3+1) =-f (1) =-2002。

注:对这一类抽象函数求值问题, 利用周期性研究其特征求解。

二、研究抽象函数的背景, 利用具体模型函数求解

大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得的, 解题时, 若能从研究抽象函数的“背景”入手, 根据题设中抽象函数的性质, 进行分析、类比, 确定具体的函数模型, 据此求解。

例5:已知函数f (x) 对任意实数x、y, 均有f (x+y) =f (x) +f (y) , 且当x>0时, f (x) >0, f (-1) =-2, 求f (x) 在区间[-2, 1]上的值域。

简析:由题设可知, 可确定函数y=kx, (k≠0) 为模型函数。解:设x1<x2, 则x2-x1>0, ∵当x>0时, f (x) >0, ∴f (x2-x1) >0, ∵f (x2) =f[ (x2-x1) +x1) ]=f (x2-x1) +f (x1) ,

∴f (x2) -f (x1) =f (x2-x1) >0, 即f (x2) >f (x1) , ∴f (x) 为增函数。在条件中, 令y=-x, 则f (0) =f (x) +f (-x) , 再令x=y=0, 则f (0) =2f (0) , ∴f (0) =0, 故f (-x) =f (x) , f (x) 为奇函数,

∴f (1) =-f (-1) =2, 又f (-2) =2 f (-1) =-4,

∴f (x) 的值域为[-4, 2]。

例6:设函数y=f (x) 定义在R上, 对于任意实数x、y, 有f (x+y) =f (x) f (y) , 且当x>0时, 0<f (x) <1。

(1) 求证:f (0) =1, 且当x<0时, f (x) >1; (2) 求证:f (x) 在R上递减。

简析:由题设可猜测f (x) 的解析式, 可确定指数函数y=ax为模型函数, 从而猜想f (0) =1, 且f (x) >0。当x>0时, 0<f (x) <1, 可猜想0<a<1。

证明: (1) f (0) =f (0+0) =f (0) , 得f (0) =1或0。

有f (1) =f (1+0) =f (1) ·f (0) >0, ∴f (0) ≠0, ∴f (0) =1。

f (0) =f (x-x) =f (x) ·f (-x) , ∴f (-x) =1/f (x) 。

当x>0时, -x<0, 当x>0时, 0<f (x) <1, f (-x) =1/f (x) >1, ∴当x<0时, f (x) >1。

(2) 从已知和以上证明得f (x) >0,

设x1<x2, 则x2-x1>0, ∵当x>0时, 0<f (x) <1, ∴1>f (x2-x1) >0, 0<f (x2-x1) =f (x2) ·f (-x1) =f (x2) /f (x1) <1, ∴f (x1) >f (x2) ,

∴f (x) 在R上递减。

三、利用特殊化的方法求解

利用一些特殊化数学思想求解, 有时会收到事半功倍的效果。

例7:已知定义域为 (0, +∞) 的函数f (x) , 对于任意的x>0、y>0时, 恒有f (xy) =f (x) +f (y) 。

(1) 求证:当x>0时, f (1/x) =-f (x) ;

(2) 若x>1时, 恒有f (x) <0, 求证:f (x) 必有反函数。

简析:可取x=y=1, 求f (1) , 再求解。

解: (1) 在f (xy) =f (x) +f (y) 中, 令x=y=1, 得f (1) =0, 又令y=1/x, 得f (x) +f (1/x) =f (x·1/x) =f (1) =0,

∴当x>0时, f (1/x) =-f (x) 。

注:根据题设条件挖掘函数性质, 合理赋值, 可使这类抽象函数问题迅速获解。

8.求函数定义域的题型及解法分析 篇八

例1 一矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的解析式，并写出定义域.

解 矩形另一边长为40-x，并且设矩形的面积为y，则y=x（40-x）=-x2+40x.

因为40-x＞0，并且x＞0，所以定义域为{x|0＜x＜40}.

点评 在实际应用问题中，除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义.

由函数解析式求定义域的基本思想是根据限制条件转化为自变量的不等式（组），进而求得定义域.

在此类问题中，求使函数有意义的x的集合，常用以下依据：?譹?訛 分式的分母不等于0；?譺?訛 偶次根式被开方式大于等于0；?譻?訛 对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；?譼?訛 指数为0时，底数不等于0.

例2 （2010年湖北卷）函数y=的定义域为（）

A. ，1B. ，+∞

C. （1，+∞）D. ，1∪（1，+∞）

解 由log0.5（4x-3）＞0且4x-3＞0，得0＜4x-3＜1，即＜x＜1.所以函数的定义域为，1，答案为A.

点评 求函数定义域时，应全面利用制约自变量取值范围的条件，一般原则是“宁重不漏”，如果漏掉某一限制条件，就会造成自变量取值范围的扩大，从而导致错误.

复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义.它主要有以下三种类型：

1. 已知f（x）定义域，确定函数f ［g（x）］的定义域

设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D.又f对g（x）作用，作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为f ［g （x）］的定义域.

例3 若函数f（x）的定义域为［0，1］，求函数f（x2-1）的定义域.

解 据题意，0≤x2-1≤1，所以1≤x2≤2，所以1≤x≤或-≤x≤-1，所以f（x2-1）的定义域为［-，-1］∪［1，］.

点评 g（x）必须符合f（x）的定义域，否则不可以代入.

2. 已知f ［g （x）］定义域，确定函数f（x）的定义域

设f ［g （x）］的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E.又f对x作用，作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.

例4 若函数f（x2+1）的定义域为（-3，-1）∪（1，3），求函数f（x）的定义域.

解 据题意，-3＜x＜-1或1＜x＜3，则2＜x2+1＜10，故f（x）定义域为（2，10）.

3. 知f ［g （x）］定义域，求函数f ［h（x）］的定义域

设f ［g （x）］的定义域为D，即x∈D，由此得g （x）∈E，f 的作用范围为E.又f 对h（x）作用，作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f ［h（x）］的定义域.

例5 已知函数f（x+1）的定义域为［0，1］，求函数f+1的定义域.

解 据题意，0≤x≤1，故1≤x+1≤2，于是1≤+1≤2，故0≤≤1，所以x≥1，故f+1定义域为{x|x≥1}.

点评 该题型综合了前两种题型的解法.

综上，若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子集.

1. 函数f（x）=+lg（2+5x-3x2）的定义域是（）

A. -，2B. -，1

C. -2，D. -∞，-

2. 若函数f （x）的定义域是［0，2］，则函数g （x）=的定义域是（）

A. ［0，1］B. ［0，1）

C. ［0，1）∪（1，4］D. （0，1）

3. 已知函数f （2x-1）的定义域为［1，4］，那么函数f （x）的定义域为.

4. 已知函数f （2x）定义域是［1，2］，则函数f（log2x）的定义域为.

9.分式的基本性质教案 篇九

分式的基本性质

七年级（下）第九章

教学目标

1、认知目标：通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分

式的基本性质；掌握约分的方法和最简分式的化简方法。

（知道分式的基本性质，学会简单的约分，知道最简分式）

2、能力目标：使学生学习类比的思想方法，培养类比转化的思

维能力；使学生掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力。

（知道分式的基本性质与分数的基本性质之间非常类似）

3、情感目标：通过与分数的类比，导出分式的基本性质，渗透

事物是联系及变化发展的辨证关系。即类比— —联系— —归纳— —发展。

（让她感受课堂的快乐以及一起学习的愉悦）教学重点及难点

重点是理解并掌握分式的基本性质。

难点是灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分式的化简方法。

（区分最简分式，把分式约分变为最简分式）

教学过程设计

一、情景引入

1．观察

在括号内填写每一步骤的依据

计算：

11解：（由她来完成这个题目）+63

=+66 =6

1= 2

[通过填空和观察，使学生明确分数的计算和化简实质是进行分数

9x3（1）某人先写出分式,再写出分数?说这两个是相等的，请问他的根据是什么？15x53y-6xy2（2）某人先写出分式,再写出分式说这两个是相等的，请问他的根据是什么？?5x10x2y

[通过此例（书上的例题，稍有改动）的练习，使学生初步熟悉分式的基本性质，并注意分式基本性质中的关键词语。继而引出约分和最简分式的概念。] 例2 化简：6x2y（1）;29xyx+y(2);22x-y-2x+3x2(3).2x

（教师板书一道后，站在她旁边看着她模仿完成其中一道）[通过简单例题（书上例1）的练习，使学生能正确找出分子分母的相同因式，然后将分式化简。并归纳出将分式化简到最简分式的方法。] 例3：化简?（1）x-2;2x-4x+4x2-x-6(2);2x-915b-5a(3).2a-6b

10.分式方程的应用(参照) 篇十

1、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵工人为支援四化建设每天比原计划增产%25可提前10天完成任务问原计划日产多少台

2、现要装配30台机器在装配好6台后采用了新的技术每天的工作效率提高了一倍结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.3、某车间需加工1500个螺丝改进操作方法后工作效率是原计划的212倍所以加工完比原计划少用9小时求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝

4、打字员甲的工作效率比乙高%25甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟求甲乙二人每分钟各打多少字

5、甲加工180个零件所用的时间乙可以加工240个零件已知甲每小时比乙少加工5个零件求两人每小时各加工的零件个数.6、某工人师傅先后两次加工零件各1500个当第二次加工时他革新了工具改进了操作方法结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍求他第二次加工时每小时加工多少零件?

7、某校招生时 2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍已知甲的输入速度是乙的2倍结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩

8、要装配30台机器在装配好6台后采用了新的技术每天的工作效率提高了一倍结果共用了3天完成任务。原来每天能装配多少台机器

9、一台电子收报机它的译电效率相当人工译电效率的75倍译电3 000个字比人工少用2小时28分.求这台收报机与人工每分钟译电的字数.二、路程问题

1、某人骑自行车比步行每小时多走8千米已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等求这个人步行每小时走多少千米



2、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动先遣队与大队同时出发但行进的速度是大队的2.1倍以便提前半小时到达目的地做准备工作求先遣队和大队的速度各是多少.3、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走15分钟后抢修车装载着所需材料出发结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍求这两种车的速度.4、AB两地相距135千米有大小两辆汽车从A地开往B地大汽车比小汽车早出发5小时小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为25求两辆汽车的速度.5、AB两地相距135千米两辆汽车从A地开往B地大汽车比小汽车早出发5小时小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是52求两辆汽车各自的速度.6、一队学生去校外参观他们出发30分钟时学校要把一个紧急通知传给带队老师派一名学生骑车从学校出发按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?

7、电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走15分钟后抢修车装载着所需材料出发结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍求这两种车的速度.8、甲乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米B、C两城的距离为400千米甲车比乙车的速度快10千米/时结果两辆车同时到达C城.求两车的速度.9、甲、乙两地相距828km一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍直达快车比普通快车晚出发2h比普通快车早4h到达乙地求两车的平均速度

10、某人骑自行车比步行每小时多走8千米如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等求他步行40千米用多少小时?

三、水流问题

1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等已知水流速度每小时3千米求轮船在静水中的速度.2、已知轮船在静水中每小时行20千米如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同那么此江水每小时的流速是多少千米?

3、一船自甲地顺流航行至乙地用5.2小时再由乙地返航至距甲地尚差2千米处已用了3小时若水流速度每小时2千米求船在静水中的速度.四、营销问题

1、小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶周六再去买时正好遇上商场搞酬宾活动同样的酸奶每瓶比上次降价0.5元因此多花2元钱却比上次多买2瓶酸奶问她上周三买了几瓶酸奶

2、某商店销售一批服装每件售价150元可获利25%。求这种服装的成本价。

3、小明和同学一起去书店买书,他们先用15元买了一种科普书,又用15元买了一种文学书.科普书的价格比文学书高出一半,因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少

4、某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格?

5、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场就用8万元购进这种衬衫面市后果然供不应求商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫所购数量是第一批购进量的2倍但单价贵了4元商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元最后剩下的150件按八折销售很快售完在这两笔生意中商厦共赢利多少元。

6、一个批发兼零售的文具店规定凡一次购买铅笔300枝以上不包括300枝可以按批发价付款购买300枝以下包括300枝只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔如果给八年级学生每人购买1枝那么只能按零售价付款需用120元如果购买60枝那么可以按批发价付款同样需要120元 1 这个八年级的学生总数在什么范围内 2 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同那么这个学校八年级学生有多少人

7、某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后其平均价比原甲种原料0.5kg少3元比乙种原料0.5kg多1元问混合后的单价0.5kg是多少元

五、数字问题

11.分式函数的解法 篇十一

中考压轴题希望遏制“题海战术”，注重试题公平性与原创性，注重试题的过程立意与能力立意。福建省莆田市2011年中考数学试卷第24题，是经过命题者精心编制的以二次函数为背景的压轴题，具有典型性、示范性、拓展性、研究性并有多种不同的解法。只有教师认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能让自己从一个单纯的执行者转变为开发者，从而能够更好地训练学生思维的创造性，教学也必将更加有效。现分析如下；

一、试题展示

已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与轴交于点A、B两点，与轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）

①如图1，当△PBC的面积和△ABC面积相等时，求点P的坐标；

②如图2，当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式（图略）

二、试题功能分析

本题作为试卷的压轴题之一，试题以二次函数为载体，条件简洁、内涵丰富；在代数与几何的核心知识交汇，融几何性质与代数运算为一体。试题通过面积相等与角度相等两个条件，通过点的运动带来的面积变化以及图形变化，考查的知识代数中有函数的解析式、图象与性质等，几何中有相似、全等、面积等内容。突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、化归转化、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题重视方法，思维的考查，重视一题多解、重视用运动的观点来分析问题，解决问题的能力考查。试题呈现科学性、思想性和导向性。本题结论开放、方法开放、思路开放，因而能有效地反映高层次思维，能给予优秀学生充分施展才能的空间。同时该试题的考核也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求，因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，培养学生的创造意识与创新能力。

三、试题解法荟萃（例试解法略）

四、试题解答情况

1、得分情况

本题难度0.16、区分度0.38，各个分数段分布如下： （图略）因统计含缺考等所以零分的人较多，若不考虑零分，显然试题能让不同水平的学生充分展示自己不同的探究深度， 较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知以及运用知识解决问题的能力。试题在注意控制难度的同时，又有恰当的区分度，不仅有利于高一级学校选拔合格的新生，而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担有良好的导向作用。

2、典型错误：

（1）设y=a（x-2）2-3错把a（x-h）2+k与函数上点（10，3）等同起来

（2） ①学生直接利用面积相等，计算量很大，不能正确运算或只求出 P1 （2，1） ，漏掉P2、P3。对同底等高的三角形面积相等性质不清，在方法上还不够灵活，思维不够全面。

②中学生直接解答由∠PCB=∠BCA △ABC≌△PBC，然后得出点P的坐标。

连接PB认为PB与AD分别为△ABC和△PBC的高，因为S△ABC=S△PBC所以AD=PB，忽视了PB是否是 △PBC的高，即PB是否一定垂直于CB。主要原因：学生对知识理解存在错误认识，思维存在偏差。评卷中发现学生大都只想求出点P的坐标，未能把握知识和方法的迁移与应用、等价与转化，从而没有思路或思维单一，无法入手。

五、试题教学启示

研究以二次函数为背景的解答题，可以发现试题的设计大都由简单到复杂的两到三个问题组成，由浅入深，逐层递进，涵盖了图形与坐标、图形与变换、函数图像与性质等核心知识，突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题一般不会以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动，使几何图形发生变化，从而让函数与几何有机结合起来。试题所运用的知识类型主要有两种。一是以建立函数模型为主的代数综合性问题、二是代数与几何有机结合的综合性问题。其中运动型问题居多，常见的有：（1）设置动点。通过点的运动对图形产生的影响，探求有关图形形状问题、最值问题、存在性问题等。（2）设置图形的平移、翻折与旋转。在图形的运动变化过程中，寻找规律，用函数研究变化的图形中的数量关系。

二次函数是中考的重点与热点，复习二次函数应掌握二次函数的基本概念、图像与性质的相互联系和相互转化，掌握二次函数与方程、不等式等知识的交汇与综合。注重教材的内涵、注重过程和联系、注重构建二次函数有关的知识网络。利用数形结合法，抓住图象特征掌握二次函数的性质是解决问题的主要方法。复习中应强化数形结合意识，掌握函数的基本技能和方法，注意观察、归纳、分析、比较，总结基本的方法、规律。其中常见的有：利用函数图像比较函数值的大小；利用函数图像求方程的近似解；利用函数图像求实际问题中的最大值与最小值等。要求学生会观察图像，利用数形结合的思想解决一些实际问题。

12.函数值域问题解法研究 篇十二

1. 观察法求值域

函数的定义域和对应法则直接制约着函数的值域, 对于一些比较简单的函数可通过观察法求得值域.

∴函数的值域为y∈[0, 2].

2. 配方法求值域

如函数是二次函数利用配方可求值域, 但应注意可变量的取值范围.

例2求函数y=4x2-12x+3 (-1≤x≤5) 的值域.

∵-1≤x≤5,

∴由函数图像可得出函数的值域为[-6, 43].

3. 反函数法求值域

如分子、分母是一次函数, 且自变量是一定范围的有理函数, 可用反函数法求得值域.

∴函数的值域为 (-∞, 1) ∪[2, +∞) .

4. 分离常系数法求值域

若分子、分母是一次函数的有理函数, 也可用分离常系数法求值域.

∴函数的值域为{y|y≠3}.

5. 换元法求值域

若函数是无理函数时可用换元法求值域, 尤其是三角代换求得值域.

∴结合函数图像可知函数的值域为 (-∞, 1].

6. 判别式法求值域

若分子、分母中含有二次项的有理函数, 可用判别式法求值域.

将函数解析式变形可得:2yx2-3yx+y-1=0.

当y≠0时, 上述关于x的一元二次方程有实数解.

∴Δ=9y2-8y (y-1) =y (y+8) ≥0, ∴y≤-8或y>0.

当y=0时, 上述方程无解, 故y=0不是原函数的函数值.

∴函数的值域为 (-∞, -8]∪ (0, +∞) .

7. 单调性法求值域

若函数为单调函数根据其单调性和定义域求函数值域.

例7求函数y=22-x (x≥-1) 的值域.

解令u=2-x, ∵x≥-1, ∴u≤3.

又∵y=2u为单调增函数,

∴函数的值域为 (0, 8].

8. 数形结合法求值域

函数图像是掌握函数性质的重要手段, 利用数形结合方法, 根据图像可求得函数值域.

9. 重要不等式法求值域

若函数可拆配成能利用重要不等式的形式, 利用重要不等式求值域.

10. 利用有界性求值域

若函数中含有有界性的式子或变量, 反解求这个式子 (变量) , 利用其有界性从而求出函数值域.

1 1. 解析法求值域

若函数含有一定的几何意义, 可运用其几何意义, 根据解析几何的知识求值域.

解根据函数式子及解析几何知识可转化为求动点 (cos x, sin x) 和定点 (-1, 1) 的斜率的取值范围.又0≤x<π, ∴动点是单位圆x2+y2=1中的上半圆.O

由图像易知:y≤0.

∴函数的值域为: (-∞, 0].

1 2. 导数法求值域

可利用导数求函数的极值, 从而求函数最值得函数值域

解∵f (x) =x3-3x, ∴f′ (x) =3x2-3=3 (x-1) (x+1) .

令f′ (x) =3x3-3=0, ∴x=-1或x=1.

当x变化时, f (x) 的变化情况:

13.数学中分式的定义 篇十三

看到这个题目，你是不是感到眩晕了?别害怕，我们先定定神，观察一下，这个算式的分子有什么特点呢?你看，分子是由一些有规律的乘法算式连加而成，第二个因数都是第一个因数的两倍。如：2是1的2倍，……202是101的2倍。

让我们进一步观察，分子的这些算式之间有什么联系呢?它们都和哪一个算式相关呢?对了，后面的算式都和第一个算式“1×2”相关。后面的每一个算式都可以看成是第一个算式的几倍呢?我们先从第二个算式来观察，“2×4”是“1×2”的几倍呢?你说2倍?再仔细想想?嗯，第二个算式的每一个因数都是第一个算式的2倍，那么它的结果应该是第一个算式结果的(2×2)倍，也就是22倍。继续往后看，后面的算式依次是第一个算式的32倍、42倍、52倍……1012倍。

好了，规律已经被我们发现，既然每一个算式都可以看成第一算式的平方倍，那么第一个算式是不是也可以看成是自己的12倍。这样我们就可以根据我们发现的规律，运用乘法分配律，把分子进行变形：1×2×(12+22+32+……+1012)。

接下来，按照这样的方法去观察分母，我们是不是也能得到类似的规律，进行类似的变形呢?对，就是这样：2×3×(12+22+32+……+1012) 这样，原分式就可以变形为：

现在，你应该不像刚看到算式的时候那样紧张吧，你是不是发现，经过我们的加工变形，分子和分母居然具有了相同的数学结构，而这个相同部分(12+22+32+……+1012)你准备怎么处理它呢?计算?还是……对了，不需要计算，只要约分就可以轻轻松松把他们灭了，先把相同部分(12+22+32+……+1012)约分，再把前面的2继续约掉，最后的结果就是……，对了，是。这时候你是不是感到很轻松呢?原来，这么复杂的算式居然也可以算的这么简单!

最后，让我们反思一下，是什么让复杂的计算变得如此简单呢?对，是观察和思考，只有认真观察，才能发现分子和分母的共同规律，我们才能用乘法分配律对算式进行转化，提炼出相同的数学结构，为约分提供方便。现在，下面的这道题你会写出解答过程吗?(答案：)

14.《分式的乘除》的说课稿 篇十四

各位评委：

下午好！今天我说课的题目是《分式的乘除法（第1课时）》，所选用是人教版的教材。下面我将从教材分析，教法分析，学法分析和教学过程分析四个方面加以说明。

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节教材是八年级数学第十六章第二节第一课时的内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的基础上，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础。因此，我认为，本节课起着承前启后的作用。

2、教学目标分析

根据新课标的要求和本节课内容特点，考虑到年级学生的知识水平，我制定了如下课的三维教学目标：

1.认知目标：理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。

2.技能目标：经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养学生类比的探究能力，加深对从特殊到一般数学的思想认识。3.情感目标：教学中让学生在主动探究，合作交流中渗透类比转化的思想，使学生在学知识的同时感受探索的乐趣和成功的体验。

3、教学重难点

本着课程标准，在充分理解教材的基础上，我确立了如下的教学重点、难点： 教学重点：运用分式的乘除法法则进行运算。教学难点：分子、分母为多项式的分式乘除运算。

下面，为了讲清重点难点，使学生能达到本节课的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

二、教法分析

本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以师生互动的形式，在教师的指导下突破难点：分式的乘除法运算，在例题的引导分析时，教学中应予以简单明白，深入浅出的分析本课教学难点：分子、分母为多项式的分式乘除运算。让学生在练习题中巩固难点，从真正意义上完成对知识的自我建构。

另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。

三、学法分析

从认知状况来说，学生在此之前对分数乘除法运算比较熟悉，加上对本章第一节分式及其性质学习，抓住初中生具有丰富的想象能力和活跃的思维能力，爱发表见解，希望得到老师的表扬这些心理特征，因此，我认为本节课适合采用学生自主探索、合作交流的数学学习方式。一方面运用实际生活中的问题引入，激发学生的兴趣，使他们在课堂上集中注意力；另一方面，由于分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似，以类比 的方法得出分式的乘除法则，易于学生理解、接受，让学生在自主探索、合作交流中加深理解分式的乘除运算，充分发挥学生学习的主动性。不但让学生“学会”还要让学生“会学”

四、教学过程分析

新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，接下来，我再具体谈谈本节课的教学过程安排：

1、创设情景，引入课题

俗话说：“好的开端是成功的一半”同样，好的引入能激发学生兴趣和求知欲。因此我用实际出发提出现实生活中的问题：

问题1求容积的高是vm，（引出分式乘法的学习需要）。

abnab问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的（引出分式除法倍，mn的学习需要）。

设计意图：从实际出发，引出分式的乘除的实在存在意义，让学生感知学习分式的乘法和除法的实际需要，从而激发学生兴趣和求知欲。

2、合作交流，探究学习

315315师生活动：首先让学生计算式子（1）（2）

5252

解后反思：（1）式是什么运算？依据是什么？（2）式又是什么运算？依据是什么？能说出具体内容吗？（如果有困难教师应给于引导）

（学生应该能说出依据的是：分数的乘法和除法法则）教师加以肯定，并指出与分数的乘除法法则类似，引导学生类比分数的乘除法则,猜想出分式的乘除法则.（板书）分式的乘除的法则是：

设计意图：由于分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似，故以类比的方法得出分式的乘除法则，易于学生理解、接受，体现了自主探索，合作学习的新理念。

3、成果展示，巩固提高

P11的例1，在例题分析过程中，为了突破重点，应多次回顾分式的乘除法法则，使学生耳熟能详。

设计意图：这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，在计算结果，先判断运算符号。

P11例2是分子、分母为多单项式的分式乘除法则的运用，为了突破本节课的难点我采取板演的形式，和学生一起详细分析，提醒学生关注易错易漏的环节，学会解题的方法。

设计意图： 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进 行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘不必把它们展开。

P12例3是分式乘除的应用题。

设计意图：考查运用分式乘除解决实际问题。题意也比较容易理解，两个小问的式子也比较容易列出来，先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出它们的单位面积产量，分别是

500a2、500，但要注意根据问题的实际意义可

21a1知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1

500a2<

500 得到“丰收2号”

21a1设计意图：这两道练习的题型与例题完全相同，主要是为了通过课堂跟踪反馈，达到巩固提高的目的，进一步熟练解题的思路，也遵循了巩固与发展相结合的原则。让学生板演，一是为了暴露问题，二是为了规范解题格式和结果。

5、课堂小结，回扣目标

引导学生自主进行课堂小结：

1、本节课我们学习了哪些知识?

2、在知识应用过程中需要注意什么？

3、你有什么收获呢？

师生活动：学生反思，提出疑问，集体交流。

设计意图：学习结果让学生作为反馈，让他们体验到学习数学的快乐，在交流中与全班同学分享，从而加深对知识的理解记忆。

6、布置作业

教科书习题6.2 第1、2（必做）

练习册P

（选做），我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。

15.分式函数的解法 篇十五

例1 2013年重庆高考高职类第21题 (本小题满分12分)

例2 2014年重庆高考高职类第22题 (本小题满分12分)

已知函数f (x) =2sin2x+sin2x+a。

(2) 由函数图像性质知:

综上, 对于这类问题, 我们的解题思路是:

1.利用2倍角、和差公式等将其解析式化为正余弦函数, 或者用和差公式等展开正余弦型从而实现函数值的计算;

16.分式的约分练习题 篇十六

1.已知分式(x?1)(x?3)有意义，则x的取值为( ) (x?1)(x?3)

A.x≠-1 B.x≠3 C.x≠-1且x≠3 D.x≠-1或x≠3

2.下列分式，对于任意的x值总有意义的是( ) x?5A.2 x?1

3.若分式x?1x2?1B.2 C. x?18xD.2x 3x?2|m|?1的值为零，则m取值为( ) 2m?m

A.m=±1 B.m=-1 C.m=1 D.m的值不存在

4.当x=2时，下列分式中，值为零的`是( ) A.x?2 x2?3x?2B.2x?41 C. x?9x?2 D.x?2 x?1

5.每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( ) A.nx?my元 x?yB.mx?mym?n元 C.元 x?yx?yD.1xy(?)元 2mn

6.下列约分正确的是( ) a?b22(b?c)2x?y1(a?b)2

???A. B. C. D. ??122222a?ba?ba?3(b?c)a?3y?x2xy?x?y(b?a)

7..等式aa(b?1)?成立的条件是( ) a?1(a?1)(b?1)

B.a≠1且b≠1 C.a≠-1且b≠-1 D.a、b 为任意数 A.a≠0且b≠0

8.如果把分式x?2y中的x和y都扩大10倍，那么分式的值( ) x?y

B.缩小10倍 C.是原来的A.扩大10倍 3 D.不变 2

9.不改变分式的值，使

化为( ) A.1?2x的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可?x2?3x?3B.2x?1 2x?3x?3 2x?12x?12x?1 C. D. 222x?3x?3x?3x?3x?3x?3

4y?3xx2?1x2?xy?y2a2?2ab10、分式，4，，中，最简分式有( ) 4ax?1ab?2b2x?y

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

11、下列分式运算，结果正确的

第一文库网是( )

?3x?3x3acadm4n4m4a2?2a???A.53? B.? C.? D.? ??23??2bdbc4ynmna?b?a?b??4y?

4y?3xx2?1x2?xy?y2a2?2ab12、分式，4，，中是最简分式的有( ) 24ax?1ab?2bx?y

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

13、下列约分正确的是( ) A 23?x?yx?aam?32x?y? D ?3 ??1 B ?0 C x?bbm2x?yx?y

二.完成下列习题

1.根据分数的约分，把下列分式化为最简分式： 26a?b8a2125a2bc326?a?b? =_____;=_______=__________=________ 22213a?b12a45abc13a?b22、x?1??x?1?2?，2则?处应填上_________，其中条件是__________. x?1x?1x?1x?1

3、约分 3a3b3c?x?y?yx2?xyx2?y2

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2212ac2xy2x?yx?y

三. 当x取何值时，下列分式的值为零?

x?12x?3x2?4① ② ③ 2 3x?5x?2x?2x?3

四. 不改变下列分式的值，使分式的分子、分母首相字母都不含负号。 ①?y?x?y?x?y ②? ③ ?xx?2y?x?y

五.约分 2b?ab(a?b)2?c216a4b2c56x2y?2xy2

①2 ② ③ ④ a?2aa?b?c12a3b4c29x2?y2

3a2?abm2?2m?1?3a2b(m?1)2x2y(x?y)2

(5) (6) (7) (8)2 b?6ab?9a21?m29ab2(1?m)12xy2(y?x)

2a?2bx2?6x?9a2?9m3?2m2?m(9). (10) 2 (11) (12). 2224a?4bx2?9a?6a?9m?1

15mn2?10m2nm2?3m?22y(2y?x)4

(13). (14). (15) 235mnm?m6x(x?2y)

六、化简求值：

211a2?2a?3x2?4yx?,y?(1). 若a=，求2的值 (2)其中。 2324a?7a?124x?8xy

a2?94x3y?12x2y2?9xy3

(3)2其中a?5 (4).，其中x=1，y=1 a?6a?94x3?9xy2

x4x2?8xy?4y2x2?xy?3y2

17.分式的基本性质 篇十七

（1）；

由学生口述分析，并反问：为什么？

解：∵

∴．

（2）；

学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件．）

解：∵

∴．

（3）

学生口答．

解：∵，

∴．

例2  填空：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．

例3  不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．

（1）；

分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？

解：．

（2）．

解：．

例4  判断取何值时，等式成立？

学生分组讨论后得出结果：

∴．

（二）随堂练习

1．当为何值时，与的值相等

A．B．C．D．

2．若分式有意义，则，满足条件为（ ）

A．B．C．D．以上答案都不对

3．下列各式不正确的是（ ）

A．B．

C．D．

4．若把分式的和都扩大两倍，则分式的值

A．扩大两倍 B．不变

C．缩小两倍 D．缩小四倍

18.分式函数的解法 篇十八

一、赋值法

先以特殊值作尝试, 在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点, 从而使问题得以解决。这类问题经常出现, 要认真理解其解题的要领和方法。

例1设函数f (x) 的定义域为自然数集, 若f (x+y) =f (x) +f (y) +x对任意自然数x, y恒成立, 且f (1) =1, 求f (x) 的解析式。

分析:当令y=1时, 可得f (x+1) =f (x) +x+1, 这相似于数列中的递推关系, 再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。

解:令y=1, 则f (x+1) =f (x) +f (1) +x=f (x) +x+1,

各式相加得:f (n) =1+2+3+…+n=

例2已知函数f (x) 满足f (x+y) +f (x-y) =2 f (x) ·f (y) , x∈R,

y∈R, 且f (0) ≠0, 求证:f (x) 是偶函数。

分析:当令x=y=0时, 可得f (0) =1, 再利用题中条件变形求解。

证明:令x=y=0

令x=0, 则f (y) +f (-y) =2f (0) ·f (y)

∴f (x) 是偶函数

例3已知函数f (x) 的定义域为 (0, +∞) , 对任意x>0, y>0

恒有f (xy) =f (x) +f (y)

求证:当x>0时, f () =-f (x)

分析:当令x=y=1时, 可得f (1) =0, 再灵活运用f (1) =f (x·) 可求得。

证明:令x=y=1, 则f (1) =f (1) +f (1) , ∴f (1) =0

又令y=, x>0, 则f (1) =f (x) +f ()

∴f (x) +f () =0

即f () =-f (x)

例4. (2006重庆高考) 已知定义域为R的函数f (x) 满足f (x) 满足f (f (x) -x2+x) =f (x) -x2+x.

(Ⅰ) 若f (2) =3, 求f (1) ;又若f (0) =a, 求f (a) ;

(Ⅱ) 设有且仅有一个实数x0, 使得f (x0) =x0, 求函数f (x) 的解析表达式。

解: (I) 取x=2, 又f (2) =3得

又f (0) =a, 故f (f (0) -02+0) =a-02+0,

即f (a) =a。

(Ⅱ) 又满足f (x0) =x0的实数x0唯一,

由f (f (x) -x2+x) =f (x) -x2+x可知

对任意x∈R有f (x) -x2+x=x0。

在上式中令x=x0有f (x0) -x02+x0=x0。

再代f (x0) =x0得x0-x02=0,

故x0=0或x0=1。

若x0=0, 方程f (x) =x有两个根, 故x0≠0。

若x0=1, 则有f (x) =x2–x+1,

易验证该函数满足题设。

“赋值法”是解抽象函数问题最常用的方法, 解题的关键是灵活运用题设条件合理赋值, 赋值要有明确的目标、依据和灵活的策略。

二、穿脱法

解决这类抽象函数, 通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、奇偶性、周期性等性质, 对函数进行“穿脱”, 从而达到相应的目的。常见的方法是变量代换。

例5已知f (x) 是奇函数, 当x>0时, f (x) =x (1+x) , 求当x<0时, f (x) 的解析式。

分析:利用变量间的代换, 把x<0表示成-x>0, 先求出相应f (-x) , 再结合函数的奇偶性, 求出f (x) 。

解:令x<0, 即-x>0

∴f (-x) = (-x) (1-x)

又∵f (x) 是奇函数

∴-f (x) =-x (1-x)

∴f (x) =x (1-x)

例6已知f (x) 是周期为2的函数, 且在区间[-1, 1]上表达式为

f (x) =-x+1则在[2k+1, 2k+3], k∈Z上的表达式为___

分析:利用周期性把要求区间转化为已知的区间, 结合条件求出表达式。

解:设t∈[-1, 1], 则2k+2+t∈[2k+1, 2k+3],

令T=2k+2+t, 则t=T-2k-2

又∵f (x) 是周期为2的函数

三、定义法

在熟练掌握函数的定义、性质的基础上, 对题中抽象函数给出的条件进行分析研究, 运用定义、性质进行化简、变形, 寻找解决问题的方法。

例7函数f (2x) 的定义域是[-1, 1], 则f (x) 定义域为

f (log2x) 定义域为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

分析:认真理解复合函数定义域的定义, 区分好题中三个定义域所指的变量x。

解:∵-1≤x≤1

∴≤2x≤2∴f (x) 定义域为[, 2]

∴≤log2x≤2∴≤x≤4

∴f (log2x) 定义域为[, 4]

例8已知f (x) 是周期为2的偶函数, 且在区间[0, 1]上是增函数, 则

f (-6.5) 、f (-1) 、f (0) 的大小关系为_________________

分析:利用周期性, 把各个变量表示在同一区间内, 再结合其单调性, 求出相应的函数值, 比较大小。

解:∵f (x) 是周期为2的偶函数

又∵f (x) 在[0, 1]上是增函数, ∴f (0) <f (0.5) <f (1)

故f (0) <f (-6.5) <f (-1)