第五章 消费者权益保护法教案

第五章 消费者权益保护法教案（精选10篇）

1.第五章 消费者权益保护法教案 篇一

第五章 核酸化学 第一节 概述

一、染色体、基因和DNA

1、染色体和基因----遗传的基本单位

染色体是细胞核内能被碱性染料着色的物质的螺旋集缩体，由核酸、组蛋白、非组蛋白等组成。

经典遗传学认为，染色体和基因间有平行现象，基因存在于染色体上，基因在遗传中具有完整性和独立性，随染色体的分离、配对而进行独立的分配。

2、核酸---遗传信息的载体

基因位于核酸分子上，所以核酸是遗传变异的物质基础，是遗传信息的载体，在蛋白质生物合成中起十分重要的作用。

二、核酸的化学组成

1、分类---核酸分为RNA（mRNA、tRNA、rRNA）和DNA

2、核酸中的糖---核糖和脱氧核糖

3、含氮碱基---嘌呤和嘧啶衍生物

4、核苷酸---核酸的基本结构单位,由碱基、戊糖和磷酸组成。

5、核苷酸的衍生物（1）ATP和GTP ATP：腺嘌呤核糖核苷三磷酸；GTP：鸟嘌呤核糖核苷三磷酸

（2）cAMP和cGMP 主要功能是作为细胞之间传递信息的信使。

6、核苷酸的重要作用

（1）核苷酸是合成DNA和RNA的前体

（2）在多糖合成中尿苷二磷酸葡萄糖（UDPG）是葡萄糖的活性形式，是合成糖原葡萄糖基的直接供体

（3）ATP是生物体内生物能生成、储藏、转运的中心

（4）各种代谢反应中所需要的NAD（H)、NADP（H）等都是腺苷酸的衍生物

（5）cAMP为3‘，5`-环腺苷酸，它是由ATP转变而来的，在生物体细胞内具有传递生理信息的重要作用，被称为第二信使。

（6）鸟嘌呤-5‘-三磷酸（GTP）是生物大分子移位反应的主要动力来源。

第二节 核酸的结构

一、核酸的一级结构

指核苷酸的排列顺序，包括核苷酸间的连接键

1、磷酸二酯键----核苷酸间的基本连接 核苷酸之间通过3`，5 `-磷酸二酯键连接

2、一级结构----核苷酸的排列顺序

二、核酸的高级结构

1、DNA的二级结构----双螺旋结构模型（1）DNA双螺旋结构模型提出的依据

主要依赖于20世纪40年代X射线衍射技术的应用，不少人 得到了

大量核酸X的衍射图谱。

（2）DNA双螺旋结构模型的特征

主链:两链均为右手螺旋，磷酸二酯键方向相反。

碱基配对

碱基参数：双螺旋直径2nm，相邻碱基对之间的高度即碱基垂直堆积距离为0.34nm.螺旋表面（形成大沟和小沟）（3）DNA双螺旋结构的稳定因素 氢键（AT间两个，GC间3个氢键）碱基堆积力（两个平行的碱基环之间）

离子键（磷酸基团的解离，使DNA成为一种多电荷阴离子，有利于与带正电荷的组蛋白或介质中的阳离子形成静电作用，利于双螺旋的稳定）

2、tRNA二级结构---三叶草结构模型 四臂四环 氨基酸接受区 反密码子区 二氢尿嘧啶区

TΨC区（一臂一环）可变区

3、DNA的三级结构---超螺旋

DNA的三级结构是指双螺旋基础上分子的进一步扭曲或再次螺旋所形成的构象。其中，超螺旋是最常见并且研究最多的DNA三级结构。

第三节 核酸的性质及纯度测定

一、核酸的溶解性

1、溶解性—碱基、核苷酸和核酸具有不同的溶解性

DNA和RNA都是极性化合物，一般都微溶入水，不溶于乙醇、乙醚。核酸、核苷酸、碱基在水中的溶解度依次减小。2、0.14摩尔法---分离DNA蛋白质和RNA蛋白质

DNA蛋白的溶解度在低浓度盐溶液中随盐浓度的增加而增加，在1mol/LNaCI溶液中的溶解度比纯水中高2倍，但在0.14mol/的NaCl溶液中溶解度最低（几乎不溶），而RNA蛋白在0.14mol/L的NaCl溶液中溶解度较大，故可以在此盐浓度条件下分离DNA蛋白和RNA蛋白。

二、核酸的分离

1、多价解离—体内DNA呈多阴离子态（磷酸可解离成多价阴离子）。磷酸多级解离，多元酸；另外还含有含氮碱基，又呈碱性，所以核酸为两性电解质。

2、带电性—核酸和核苷酸可用离子交换分离

由于核酸、核苷酸是两性电解质，在一定pH条件下，如果核酸、核苷酸带正电荷，可用阳离子交换树脂进行分离，带电荷越多的核酸结合越牢固，最后被洗脱下来。

三、紫外吸收

1、紫外吸收—由碱基的共轭体系决定

由于嘌呤碱和嘧啶碱、核苷、核苷酸、核酸都在240-290nm范围内有特征吸收。通常选用260nm处测定

2、定量测定—核酸和核苷酸测定的基本方法

定性测定的几个数据判断：最大吸收波长、最小吸收波长、在两个吸收波长下吸光度比值(250/260、260/280>2.0，表示RNA样品中蛋白质含量低，>1.9表示DNA样品中蛋白质含量低。290/260）。

定量测定公式：核苷酸%=[(Mr×A260)/(ξ260×C)]×100 Mr为核苷酸相对分子质量； ξ260为在260nm处的吸收系数，C为样品浓度，mg/mL，A260为样品在260nm波长下的吸光度值。

对于大分子核酸的测定，常用比吸收系数法或摩尔磷原子吸收系数法。

比吸收系数ε是指一定浓度（mg/mL或ug/mL）的核酸溶液在260nm处的吸光度值。摩尔磷原子吸收系数ε（P）是指含磷浓度为1mol/L时的核酸水溶液在260nm处的吸光度值。

四、变性与复性

1、DNA变性---DNA生物功能实现所必需

变性：氢键、碱基堆积力等被破坏，双链成为单链的过程，但一级结构没有被破坏。变性因素：加热、极端的pH 条件、有机溶剂、尿素、甲酰胺等。

变性后的表现：由一定刚性变为无规则线团，DNA溶液的黏度降低，沉降速度加快，藏在内部的碱基全部暴露出来，DNA的A260增大，即增色效应。

2、DNA复性—核酸研究中的常用手段 复性的概念：

复性应用：变成单链再形成双链，用于DNA-DNA杂交。

五、核酸的含量与纯度测定

1、定磷法、定糖法—测定核酸含量

利用纯的核酸含磷元素的量为9.5%左右。用强酸消化核酸成无机磷酸，然后磷酸与定磷试剂中的钼酸铵反应生成磷钼酸铵，它在还原剂作用下被还原成钼蓝复合物，最后在650-660nm下比色测定，得出总含磷量，再减去无机磷（即不经硝化直接测定）的量即为核酸磷的真实含量，此值乘以系数10.5即为核酸含量。（2）定糖法

核酸分子含有核糖或脱氧核糖，这两种糖具有特殊的呈色反应。

RNA 在浓盐酸或浓硫酸作用下，RNA受热发生降解，生成的核糖进而脱水转化成糖醛，糖醛与3，5-二羟甲苯(苔黑酚)反应生成绿色物质，最后在670nm-680nm下比色测定。

DNA DNA受热酸解释放出脱氧核糖，后者在浓硫酸或冰醋酸存在下可与二苯胺反应生成蓝色物质，在595-620nm波长下进行比色测定。

定糖法的测定范围

苔黑酚法为20-250ugRNA，二苯胺法为40-400ugDNA.2、凝胶电泳---DNA纯度鉴定（1）紫外吸收法测定核酸纯度

利用测定260nm处和280nm处吸光度的比值来确定，纯DNA比值为1.8，纯RNA比值为2.0，在纯化DNA时，通常用比值在1.8-2.0之间作为纯度标准，大于此值表示有RNA污染，如果小于此值，则有蛋白质或酚等污染。（2）凝胶电泳法鉴定DNA纯度

琼脂糖凝胶电泳，目前分离纯化和鉴定核酸特别是DNA的标准方法。

DNA在琼脂糖凝胶中泳动率取决于：DNA分子大小、琼脂糖浓度、DNA构象及电流强度。

六、核酸碱基序列的测定

1、DNA碱基序列测定方法

（1）DNA碱基序列测定的基本步骤

DNA片段的制备（利用限制性内切酶和PCR方法）

DNA碱基序列测定

（2）Maxam-Gilbert（化学降解法）

原理是应用一定化学试剂，选择性的切断某种特定核苷酸（A、G、T、C）所形成的磷酸二酯键，得到不同链长的DNA小片段,包括两步：碱基选择性水解；对水解产物DNA小片段进行电泳分析和碱基序列的推测。（3）Sanger法（末端终止法）

原理是以DNA的酶促合成为基础，以被测DNA单链为模板，通过特殊设计的“末端终止技术合成出一系列相差一个核苷酸长度的互补链，然后利用凝胶电泳分离这些不同长度的DNA小片段，据此推测确定待测DNA链的碱基序列。（4）DNA的自动测序法

原理是以Sanger法为基础，主要改进是以荧光标记物代替同位素标记，即以不同颜色的荧光分别代表A、T、G、C四种碱基，电泳结果经激光束激发后，其最大的发射波长被转换成四种碱基含义的电信号，再由仪器的检测系统识别和记录。

2、RNA碱基序列测定方法 应用逆转录法，以待测的RNA链为模板，在逆转录酶催化下，合成DNA，然后用Maxam-Gilbert 法或Sanger法测定DNA碱基序列，再得出RNA的碱基序列。第四节

核酸的生物功能

一、DNA的复制与生物遗传信息的储存

DNA复制是保持生物种群遗传性状稳定的基本分子机制。

DNA复制理论为现代分子分子生物技术、如基因重组、聚合酶链式反应和基因突变技术等的发展奠定了理论基础和实验基础。

二、RNA是生物遗传信息表达的媒介

1、基因的转录—mRNA的合成

是以DNA为模板合成与其碱基序列互补的mRNA的过程

2、tRNA和rRNA的功能

tRNA是将mRNA携带的遗传密码翻译氨基酸信息，并将相应的氨基酸活化后，带到核糖体上进行蛋白质合成。

rRNA是组成核糖体的主要组成，目前的作用机制还不清楚

3、核酸与蛋白质的生物合成关系

（1）tRNA对氨基酸的识别、结合和活化

tRNA在氨基酰-tRNA合成酶的作用下，能识别相应的氨基酸，并通过tRNA氨基酸臂3‘-羟基与氨基酸的羧基形成活化酯-----氨基酰-tRNA（2）氨酰-tRNA在mRNA模板指导下组装成蛋白质

氨基酰-tRNA通过反密码子臂上的三联体反密码子识别mRNA上相应的遗传密码，并将所携带的氨基酸按mRNA遗传密码的顺序安置在特定的位置上，最后在核糖体中合成肽链。

三、生物遗传变异的化学本质—DNA结构变化

碱基序列颠倒，某个碱基被调换，少了或多了一对或几对碱基

四、核酸的催化性质

1、核酶的组成和结构

核酶是具有特殊结构的RNA，RNA是核酶的功能部分，有些核酶除含有RNA外，还含有蛋白质等成分。

2、核酶的催化作用

核酶的催化反应包括水解反应、连接反应和转核苷酰反应等。

如核酶RNaseP在tRNA前体的5‘端部分水解切除一个特殊序列，生成tRNA.3、核酶的研究现状与展望

研究发现，核酶在翻译、表达和核糖体功能的实现中可能具有重要作用。

存在的问题：核酶的催化效率太低；由于核酶本身是RNA，很容易被核酸水解酶所破坏。展望：定向分子进化技术、PCR技术等的应用为筛选特殊性质的新型核酶开辟了新的途径。

第五节 核酸化学中的几种重要技术

一、核酸的分子杂交技术

原理：利用核酸（DNA）的变性和复性的性质。

二、PCR技术 聚合酶链反应的简称

三、基因定点突变技术

是应用人工的方法，合成在某一点或某几点上碱基序列改变的突变DNA，然后再通过突变DNA的转录、翻译和表达，获得突变蛋白质的技术。基因定点突变技术的关键是合成一种特殊的引物DNA。

四、定向分子进化

主要是通过DNA或RNA的突变、筛选和扩增的不断循环，从而获得具有优良性能的新品种分子。

第五章

重点

1、聚合酶链反应（PCR）技术的原理和操作步骤

2、从tRNA的结构上，如何理解它在蛋白质翻译过程中的作用？

3、核酸的含量与纯度测定的方法和原理如何？

4、紫外吸收法测定核酸的原理是什么？

2.VC图像编程教案 第五章 篇二

VC图像编程教案 第五章

5.对话框及控制的应用 5.1 先以日历控件说明控件编程的重要性 5.2 说明编写控件所需要的知识： 控件的动态生成-全局变量(类的成员变量) 自定义消息的定义与响应; (见我空间里的文章“这篇技术的文章不错”等) 5.3 一个实现加法功能的对话框程序，由此函数说明两点： 控件关联变量和关联值的区别 UpdateData函数的`用法 5.4 将刚才的程序转化的控件程序，体会控件编程的思路 GetDlgItem的用法 5.5 如何在其他程序中使用对话框

3.中国旅游地理教案第五章 篇三

第一节 中国旅游交通

一、旅游交通概述(一)旅游交通内涵

同时，旅游交通又是构成现代旅游业的三个基本要素之一，被称为是旅游业的三大支柱产业（饭店业、旅行社业、旅游交通业）之一。

旅游交通，是“旅游媒介”，对旅游者和旅游对象起着联系纽带的作用。具体地说，旅游交通是为旅游者提供旅行游览所需交通运输服务而产生的一系列社会活动与现象的总称。

旅游交通是为旅游者由客源地到旅游目的地的往返，以及在旅游目的地各处旅游活动而提供的交通设施及服务。

旅游交通使客源地和目的地的空间相互作用的产生成为可能，它同整个交通运输体系联系在一起。旅游交通提供给旅游者的也是旅游产品的一部分，就旅游者主体来讲，影响其行为的时间、距离等因素往往通过交通便利程度表现出来，影响着其决策与选择；从旅游目的地来看，旅游交通联系客源地，使旅游地接待旅游者，发展旅游经济的愿望得以实现。旅游交通是发展旅游业的先决条件之一，只有发达的旅游交通业才能使旅游者顺利、愉快地完成旅游活动。因此，旅游交通便利程度，或称可进入性（可达性），不仅是开发旅游资源和建设旅游地的必要条件，而且也是衡量旅游业发达程度的重要标志。

(二)旅游交通的特性

旅游交通是国民经济中整体交通运输系统的一个组成部分，具有交通运输业的基本特征。旅游交通的主要特性：

1、公共性

2、特殊性

3、层次性

旅游交通按涉及的空间尺度和旅行过程可以分为三个层次。

第一层次是外部交通，是指从旅游客源地到目的地所依托的中心城市的交通，所涉及的是跨国、跨省的大尺度空间；交通方式主要是航空和铁路交通。

第二层次是由旅游中心城市到风景地或度假区的交通，它所涉及的一般是中小尺度的空间，其交通方式主要是铁路、公路和水路交通。如昆明到石林的铁路或公路，重庆到三峡的长江水路。

第三层次是内部交通，指风景区的交通，风景区内部主要靠步行或特种旅游交通，如滑竿、轿子、马车、游船、电瓶车、索道等。

4、季节性

(三)旅游交通在旅游业中的作用

正是由于现代旅游交通的发展，才有现代旅游业的迅速发展。旅游交通在旅游业中具有重要作用，主要表现在几个方面：

1、旅游交通是发展旅游业的先决条件

2、旅游交通是旅游收入和旅游创汇的重要来源

3、旅游交通本身也是旅游活动的组成部分

4、旅游交通促进旅游区、旅游点的形成与发

二、旅游交通的发展历史(一)古代旅游交通(二)近代旅游交通(三)现代旅游交通 20世纪初，飞机的出现可以说开创了现代旅游的新纪元，也开创了现代旅游交通的新纪元。现代旅游交通一个最大特点是铁路、水运、公路、航空等现代交通方式的综合运用。

现代旅游业的产生和发展与现代交通业的发展是紧密相连的。1825年世界上第一条铁路出现于英国，1841年，托马斯·库克组织了世界上第一个火车旅行团，从此才有了商业性的旅游业。第二次大战后，现代交通业的迅速发展，尤其是现代化大型喷气客机的普及和不断更新换代，为战后旅游业的大发展奠定了基础和提供了可能。一是加快了旅游速度，缩短了旅行时间；二是降低了旅行费用，使旅游活动的大众化成为可能；三是大大提高了舒适度，旅行过程本身也成为一种享受。

第二节

旅游线路设计

一、旅游线路的概念

旅游线路是指在一定的区域内，为使人们能够在最短的时间内获得最大的观赏效果，由交通线把若干个旅游景点或旅游城市合理连接起来，并形成具有一定特色的线路。完整的旅游线路应该包括以下内容：

（1）旅游时间（2）旅游目的地（3）旅游交通（4）旅游食宿（5）旅游活动安排（6）旅游服务（7）价格

二、旅游线路的设计原则

旅游线路的选定必须综合考虑旅游区的类型、品味、客源市场、交通条件、经济状况、旅游服务设施、接待能力和旅游季节等因素。选定的路线对游客来讲应该是最经济、最便捷、最省时，内容量丰富多彩，观览点分布合理、疏密相间，不走往返回头路，使整个旅程充满情趣、富节奏感。在设计上还要尽量达到客流平衡、冷热点兼顾。

旅游线路设计应遵循以下原则：（1）以满足游客需求为中心的市场原则

（2）内容丰富，独具特色，突出人无我有，人有我优的主题。

4.八年级物理上册第五章教案 篇四

了解眼睛的构造，知道眼睛是怎样看见物体的。

了解眼镜是怎样矫正视力的。

2、情感、态度、价值观

使学生具有眼保健意识。

有将科学技术应用于日常生活的意识。

重、难点：眼镜怎样矫正视力。

教学器材：近视眼镜、远视眼镜

教学课时：1课时

教学过程：

一、前提测评：

1、完成光路图：

空气

FF

水

二、导学达标：

引入课题：眼睛是如何看见物体的?为什么有的人会近视?

进行新课：

1、眼睛：

(1)、眼睛的结构：图3.4-1示

各部分的作用……晶状体：

睫状体：

视网膜：

(2)、眼睛如何看到物体：课本P63示

总结：眼睛实际上是一个可以改变透镜焦距(厚度)的高档照相机

2、近视眼与远视眼的产生原因：

(1)、近视眼：晶状体太厚，折光能力太强

眼球前后方向太长光线会聚在视网膜的前面

(2)、远视眼：晶状体太薄，折光能力差

眼球前后方向太短光线会聚在视网膜的后面

探究：如何调整?

3、眼镜：(1)、近视眼镜：让光线发散……凹透镜

(2)、远视眼镜：让光线会聚……凸透镜

4、眼镜的度数：度数越大，折光能力越强。

远视眼镜(凸透镜)……正数

近视眼镜(凹透镜)……负数

达标练习：完成物理套餐中的本节内容。

小结：根据板书，总结本节内容，明确重、难点。

课后活动：完成课本练习。

教学后记：实物眼睛……凸透镜比较

总结规律：眼睛是可调的凸透镜

5.第五章 消费者权益保护法教案 篇五

一、章节名称：第五章第一节 大学生创业风险

二、教学目的：对风险的掌控能力关系到一个大学生创业者创业活动的成败，因而通过本章学习使学生掌握创业风险主要类型与风险的管理

三、课时：30分钟

四、教学重点：创业风险的管理

五、教学难点：创业风险的评估

六、教学工具：多媒体PPT、视频

七、教学方法：以讲授为主，融入小组讨论、提问等方法。

八、教学过程：

1．导言；（3分钟）

风险案例：大学生要当“窝头大王”却草草收场 2．进入新课正题，课程主要内容提纲；（1分钟）

（1）何为创业风险？

（2）创业风险的类型

（3）创业风险的管理

（4）创业风险的规避

3.创业风险的基本认识；（5分钟）

（1）风险是指在一定环境、一定时间段内，影响决策目标实现的不确定性，或是某种损失发生的可能性。风险的存在意味着创业目标实现可能会遇到预料之内或预料之外的不确定的问题。

（2）创业风险的来源：①资金风险；②竞争风险（举例：苏宁创立之初，遭到8大电器卖场的联合抵制）；③信息和信任风险；④团队分歧风险；⑤业务骨干风险；⑥资源风险；⑦管理风险。

（3）如何看待风险：管理、控制、规避

讨论：如果你打算创业，你认为会遇到哪些风险，你会如何面对? 4.创业风险的主要类型；（5分钟）

（1）机会风险（创业意味着你丧失了其他更好的工作机会）；（2）环境风险：外界政治经济的变化（金融危机）

（3）市场风险（产品被消费者接受要有一个时间；传统气象行业市场窄小，如何拓宽气象服务领域，寻找市场盲点才能获得机会）；（4）资金风险（通货膨胀，导致贷款成本上涨）；

（5）管理风险（例子：开饭店，但由于管理混乱，导致服务人员不满情绪，后因火灾而创业失败）；

（6）决策风险（因为个人喜好而做出错误的判断）；（7）组织风险:相应规章制度的建立

（8）技术风险（例如电子行业，技术更新特别的快，要及时的拿出最新的产品，才能占领市场）；

5.创业风险的管理；（12分钟）（1）创业风险的识别

① 需要解决的主要问题：创业中需考虑哪些风险？风险的性质、根源是什么？风险发生的后果怎样？ ② 基本原则：

全面周详的原则：例如投资养殖业，不仅要考虑市场的需求，还要考虑天气、季节、消费者的饮食习惯等；

综合考察的原则：一些隐性的损失也要考虑到，例如间接的损耗 量力而行的原则：不要盲目扩大规模 系统化、制度化、经常化的原则 ③基本方法：

失误树分析法（防微杜渐）调查列举法（知己知彼）分解分析法（庖丁解牛）（2）创业风险的评估

①风险评估是对对特定创业风险发生的可能性或损失的范围与程度进行估计与衡量 ②评估的方法：引导学生进行进行风险投掷游戏并引入一些风险评估的量化方法（简介德尔斐法、矩阵分析法、序数法等）6.创业风险的规避策略（3分钟）

（1）完善组织架构，规范决策（丰田集团的例子）

（2）建立激励机制，凝聚人才（美欧日企业激励机制比较介绍）7.总结及课程回顾（1分钟）

理想是丰满的，现实是骨感的。坚定的创业意愿、准确的市场判断和有效的风险管控是创业成功的关键要素。

一、章节名称：第五章第二节 大学生创业实践

二、教学目的：创业最终要在行动上体现出来，如何将创业意愿变成现实的创业行为是每个创业者都必须面对的，通过本章学习掌握具体创业实践过程及其注意事项

三、课时：60分钟

四、教学重点：创业计划、初创企业的管理

五、教学难点：合理设计企业战略规划以及完善内部管理

六、教学工具：多媒体PPT、视频

七、教学方法：以讲授为主，融入小组讨论、提问等方法。

八、教学过程：

1．导言；（3分钟）

江苏仅一公司创业案例（介绍创业者吴立平的创业经历和管理理念）2．进入新课正题，课程主要内容提纲；（1分钟）

（1）创业项目选择

（2）制定创业计划

（3）进行创业融资

（4）注册企业流程

（5）初创企业管理 3.创业项目选择；（12分钟）

（1）提问：你所知道的好的创业想法实例有哪些，好在哪？（2）创意——创业成功的起点

德鲁克创业机会来源七条：意料之外的事件引发的、不协调的的启发、给予程序需要的创新、产业和市场结构变化、人口变化对创新的影响、认知情绪及意义上的变化、新知识的启发

（3）创业资源（条件）——创业成功的土壤

创业技术、创业资本、创业政策、创业关系（行业资源）（4）创业与市场——掌握市场就是掌握成功 △有关市场信息的问题： ① 什么是市场

② 创业者应该了解潜在消费者的哪些信息？ ③ 从哪里获得消费者信息？ ④ 什么是市场调查？ ⑤ 如何分析消费者对产品(或服务)的接收情况？ ⑥ 影响消费者市场的因素有哪些？ △市场的5个“W” who、what、when、where、why 举例：分析防雷业务市场现状、一般气象服务市场现状、气象装备产业市场现状（新产品、新技术研发的市场机会）4.制定创业计划（12分钟）

（1）创业计划的作用：明确方向、吸引投资；

（2）注意事项：突出产品与服务、了解市场现状（包含竞争对手）、介绍经营方略、展示管理队伍、出色的计划摘要、文本的准确性与编排；（3）创业计划书的内容和结构；

①基本内容：产品与服务、顾客、竞争对手、供应商、融资渠道、员工、地点等 ②主要结构： a、摘要 b、企业介绍

c、产品或服务介绍（通俗易懂、突出市场价值、盈利模式、可持续性）d、人员及组织结构

e、市场分析及预测（需求分析、市场规模、竞争对手及策略、未来趋势）f、营销战略（细分市场、渠道、队伍、广告、定价等）g、研发与生产计划（是否需要外包）

h、财务管理（今后三年的资产负债表、损益表和现金流量表）i、附录（附件、附图、附表）5.进行创业融资；（8分钟）（1）融资的意义

① 大部分创业企业初期资金不足是主要问题 ② 有利于分散风险（创业者与投资者共担风险）（2）融资的渠道和方式 ① 渠道：

银行贷款（抵押、担保、金融租赁等）非银行金融机构资金

财政资金（政府补贴与资助）

其他企业资金（其他企业的特殊投资）自有资金

亲友资金（个人关系的紧密性和长远发展的风险）② 方式：

股权融资：吸引直接投资、发行股票（包括风险投资）

债券融资：银行借款、商业信用（赊购赊销）、发行债券和租赁

两种融资方式的比较 ③ 注意：

不同融资渠道和方式的应用应根据创业企业的性质、发展阶段、规模和实力差别使用，合理评估自身资产价值，做好融资方案的选择，实现数量与配置合理、效益良好、信誉可靠的目标，初创企业特别要注重量入为出，慎重计算运营所需资金，留足头寸 6.注册企业流程（8分钟）主要讲的是创业载体和法律形式

①企业形式选择：有股份有限公司、有限责任公司、三资企业（外资、中外合作、中外合资）、股份合作企业、合伙企业、个人独资企业、个体工商户等。适合大学生创业的公司形式主要有：有限责任公司、个人独资企业、合伙企业、个体工商户等。

②有限公司、个人独资企业与合伙企业的优缺点比较

③绿地（新设）企业与并购企业的比较 7.初创企业管理（14分钟）（1）企业战略构成：

产品角度方面主要包括产品的创新战略、差异化战略、成本领先战略、快速跟随战略。市场角度方面主要包括专一化战略、市场宽度战略。战略制定方法：几个模型（重点介绍SWOT分析框架）。

初创企业应注意：①模仿或轻微改变；②从小做大，市场细分；③关注新兴市场；④关注边缘交叉领域（2）人力资源管理：

① 组建优秀的创业团队（详见创业团队部分）补述要点：互补、个性、进取、信任 ② 完善人力资源管理机制 a、b、企业文化（理想、人本主义、团队精神）

激励和薪酬管理制度（培训、多样化且公平的薪酬、考核与适度激励）应注重不同岗位的合理薪酬设计，做到能责利相适应；结合财务管理内容介绍期权激励机制的利弊（3）营销策略：       注重创新，精准定位（把握细分市场）精选客户，稳扎稳打（目标市场营销）复制扩张，超前行动 有效宣传，资源撬动 简化渠道，控制风险

内外营销，精炼队伍（市场营销组合）

（4）财务管理：

① 创业企业常见财务问题：集权与随意、不够专业、内容简单、控制能力弱、缺乏风险管控、融资能力差、风险大、投资决策盲目、预测不准确、忽视现金管理 ② 要考虑融资的阶段性特征和融资的风险管理

③ 要以有利的并购加速成长（准确的财务分析，恰当的并购方式，介绍投资银行）④ 要建立有效的长期财务激励机制（综合考虑企业财务状况，恰当运用期权，尤其注意实施的时机，不宜造成企业短期财务负担）8．总结及课程回顾（2分钟）

6.高中生物必修三第五章第一节教案 篇六

第五章 生态系统及其稳定性

第一节 生态系统的结构

一 教材分析

本节内容在全书及章节的地位：本节是高中生物必修三第5章《生态系统的稳定性》第一节。在教材中具有承上启下的作用。一方面，加深对种群、群落内容的理解，另一方面是生态系统的能量流动、物质循环、信息传递、生态系统的稳定性内容的基础。而通过本节的学习对培养学生系统分析的方法，建构模型的学习方法有积极意义，是高中生物教学的重要内容之一。二 教学目标

根据上述教材与内容分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，确定如下教学目标：

1、知识方面

(1)举例说明什么是生态系统(2)讨论某一生态系统的结构(3)尝试建构生态系统的结构模型

2、能力方面

培养学生观察、阅读、分析、归纳、推理、综合、语言表达能力

3、情感目标

认同生态系统是一个统一的整体，为树立人与自然和谐发展的观念，形成生态意识和环境保护意志奠定基础。三

教学重点、难点

本节的教学重点是师生、生生讨论某一生态系统的结构。难点是从物质和能量的角度说明生态系统是一个整体。因此，课堂教学的关键是通过一系列问题的讨论，让学生寻找生物与生物、生物与无机环境之间的联系，在讨论中体验物质与能量这一纽带的存在，从而认同生态系统是一个无机环境与生物群落相互作用的统一整体。

四、教法

“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。结合本节内容，教师通过图、文、科学事件等创设教学情境，联系学生生活实际，通过形式多样的活动，引导学生思维，在思考中形成生态系统概念，构建生态系统结构。

五、学法

高中课程改革的具体目标之一是“ 倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析和解决问题能力及交流与合作的能力”。以建构主义理论为指导，结合高中生物课程的基本理念，注重与现实生活联系，运用多媒体课件，着力引导创新学生学习方法。

六、课时设计

2课时

七、教学程序

第一课时

一、生态系统的概念和类型

1、生态系统的概念：生态系统是指生物群落与它的无机环境相互作用而形成的统一整体。

二、生态系统的结构：

1、组成成分

（1）非生物的物质和能量（无机环境）

-①无机物质：CO2、O2、N2、NH3、H2O、NO3 等各种无机盐 ②有机物质：糖类、蛋白质等

③其他：阳光、热能、压力、pH、土壤等

（2）生产者：主要是指绿色植物及化能合成作用的硝化细菌等。①绿色植物

②蓝藻、光合细菌（一种能进行光合作用而不产氧的特殊生理类群原核生物的总称，如红螺菌、紫硫细菌、绿硫细菌、紫色非硫细菌等）

③化能合成细菌：硝化细菌、硫细菌、铁细菌、氢细菌等

（3）消费者：包括各种动物。它们的生存都直接或间接地依赖于绿色植物制造出来的有机物，所以把它们叫做消费者。消费者属于异养生物。（从活体中获取营养的、营寄生生活的）

①大部分动物（但不是所有的动物）②非绿色植物（菟丝子等）、食虫植物——猪笼草、茅膏菜、捕蝇草

③某些微生物（根瘤菌、炭疽杆菌、结核杆菌、酿脓链球菌、肺炎双球菌、虫草属真菌等）、寄生生物（蛔虫、线虫、猪肉绦虫、大肠杆菌等）、病毒（SARS病毒、禽流感病毒、噬菌体等）。

消费者的作用：加快生态系统的物质循环、对于植物的传粉和种子的传播等有着重要作用。

（4）分解者：将动植物的遗体残骸中的有机物分解成无机物，主要是指细菌、真菌等营腐生生活的微生物。（营腐生生活的生物。分解者不一定都属于微生物，微生物也不一定都属于分解者）

①大部分微生物（圆褐固氮菌、反硝化细菌、乳酸菌等细菌，酵母菌、霉菌、蘑菇、木耳、灵芝等真菌、放线菌）；

②一些动物（蚯蚓、蜣螂、白蚁、甲虫、皮蠹、粪金龟子等）。

（5）生态系统中各成分的地位和作用：非生物的物质和能量为生物成分提供物质和能量，生产者是属于自养生物，能制造有机物，为生态系统提供物质和能量来源，在生态系统中有着举足轻重、不可替代的作用，是生态系统中的主要成分。消费者有利于生产者的传粉和种子的传播，保证能量流动和物质循环的通畅进行。分解者的作用是把动植物的遗体残骸分解成无机物，归还无机环境，保证物质循环的通畅进行，也是生态系统的重要成分。（6）生态系统中各成分的关系

生产者和分解者是联系生物群落和无机环境的两大“桥梁”；生产者与各级消费者以捕食关系建立的食物链和食物网，是能量流动和物质循环的渠道。它们的关系如下图：

第二课时

2、营养结构

（1）食物链：在生态系统中，各种生物之间由于食物关系而形成的一种联系。表示：草→兔→狐（注意：①箭头方向，②第一环节一定是生产者）

（2）捕食链中生态系统的成分、营养级的划分

同一种生物在同一食物链中只能有一个营养等级和一个消费者等级，且二者仅相差一个等级。

特别注意：

①食物链（捕食链）由生产者和各级消费者组成，食物链一般不会超过五个营养级，分解者不能参与食物链。

②食物链中的营养级是从食物链的起点（生产者）数起的，即生产者永远是第一营养级，消费者是从第二营养级（即植食性动物）开始的。

③在食物网中计算食物链的条数，一定是从生产者开始一直到具有食物关系的最高营养级为止，中间不能断开。

（4）食物网：一个生态系统中可能有多条食物链，各个食物链并不是彼此分离的，许多食物链彼此交错连结的复杂营养关系，叫做食物网。（如图）

（5）生物之间的关系：食物链中的不同种生物之间一般有捕食关系；而食物网中的不同种生物之间除了捕食关系外，还有竞争关系。

（6）某种生物数量的减少对其他生物的影响

①在某食物链中，若处于第一营养级的生物减少，则该食物链中的其他生物都将减少。②若一条食物链中天敌减少，造成被捕食者的种群数量先增加后减少，最后趋向稳定。〖例题〗如下图所示的食物网中，由于某种原因蚱蜢大量减少，蜘蛛数量将发生什么变化？（）

A．增加

少 B．减少

C．基本不变

D．可能增加也可能减【解析】A 本题考查食物网中各种食物链之间的关系。在该食物网中，由于蚱蜢大量减少，必然导致晰蜴和蛇的食源短缺，从而影响其数量使之减少。鹰作为该食物网中的最高级消费者，由于失去了原先占有的一个营养来源，于是鹰将增加对兔和相思鸟的捕食，这样导致蜘蛛的天敌（相思鸟）数量减少，进而使蜘蛛的数量增加。〖例题〗下图表示南极洲生态系统，该系统的大鱼因过度捕捞而急剧减少，那磷虾的数量将会发生什么变化？

【解析】当大鱼数量急剧减少，中间这条食物链不能为虎鲸提供大量的食物来源，虎鲸就会加剧对两侧食物链的捕食。对左侧食物链来说，虎鲸较多地捕食须鲸，使须鲸数量减少，从而使磷虾的数量增加。

（7）食物链的计数

在生态系统中，食物链不是单一存在的。由于动物的食物来源多种多样，食物链常交织成网。在计数食物链的时候，要注意食物链的起止：起于生产者，沿着箭头数，直到最后一个营养级，中间不能中断。在食物链中，第一营养级必定是生产者，草食动物必定在第二营养级，是初级消费者。在一条食物链中，营养级一般不超过五个，原因是生产者的能量流到第五营养级时，已经不足以维持一个营养级的生命活动。

〖例题〗下图是一个陆地生态食物网的结构模式图，下列叙述不正确的是（）

A．在该食物网中，共有5条食物链存在B．在该食物网中，H处于3个不同的营养级

C． 若B种群各年龄期的个体数量比例适中，则该种群的密度在一段时间内会明显变大

D．在该食物网中，如果C种群的数量下降10%，则H种群的数量不会发生明显变化

【解析】C 根据数食物链的原则，可知有如下食物链：①A→B→H，②A→C→D→H，③A→C→F→G→H，④A→E→F→G→H，⑤A→E→D→H。H在这五条食物链中，分别处在第三、四、五、五、四营养级，因此它处于3个不同的营养级。B种群各年龄期的个体数量比例适中，属于稳定型种群，种群密度相对稳定。由于C与B、E存在竞争关系，C数量下降，A的能量更多地流向B、E，并经过食物链传递给H，因此H的能量供给不会受到影响。

八、作业布置：《三维设计》P101-104

7.第五章 消费者权益保护法教案 篇七

第五章 导数和微分

教学目的：

1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；

2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；

3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。

教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。

教学时数：16学时

§ 1 导数的概念（4学时）

教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。

教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。

教学重点：导数的概念。教学难点：导数的概念。

教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。

《数学分析》教案

§ 2 求导法则（4学时）

教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。

教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。

教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法； 教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法： 以问题教学法为主，结合课堂练习。

一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课.二、讲授新课：

（一）.基本初等函数求导

推导基本初等函数的求导公式.（二）.导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式.(只证“ ”和“ ”)例1

求

求

（例2

例3 求

例4 证明:(用商的求导公式证明).例5 证明:

例6 证明:.《数学分析》教案

设函数

可导且

证（法一）用定义证明.（法二）由

恒有

或

严格单调.(这些事实的证明将在下一章给出.)因此,), 有

有反函数, 设反函数为

用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式.就有

例1.设

2.取对数求导法:

求

例2.设

例3.设 例4.设

求

求

求

3..抽象函数求导: 例5.例6 若可导，求

和

求

.§ 4 高阶导数（2学时）

教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。

《数学分析》教案

6． 分段函数在分段点的高阶导数：以函数

为例.三.高阶导数的运算性质: 设函数

1．和

求

均 阶可导.则

2．3． 乘积高阶导数的Leibniz公式： 约定

（介绍证法.）

例

2求

解

例

3求

解

《数学分析》教案

例6 求

解

§5 微分（2学时）

教学目的：

1.准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分。

2.弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算。

3.能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题。教学要求：

1.清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分。

2.明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数。会应用微分的实际意义解决某些计算问题。教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系 教学难点：运用微分的意义解决实际问题

一.微分概念:

1.微分问题的提出: 从求 数的情况, 引出微分问题.《数学分析》教案

例

5求 3．估计误差：

绝对误差估计： 的近似值.相对误差估计：

例6（[1]P138 E5）设已测得一根圆轴的直径为 绝对误差不超过 差.4.求速度: 原理:，并知在测量中

.试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误

例7 球半径 以 增大的 速度.四．高阶微分： 高阶微分的定义： 的速度匀速增大.求

时, 球体积

阶微分定义为

阶微分的微分，即

注意区分符号 的意义.1

《数学分析》教案

例3 设函数

定义在区间

内的函数

内，试证明:

（仅依赖于

和

在点.使 可导的充要条件是存在

在点 连续且适合条件

并有

证 设

存在, 定义

易验证函数 在点

设

连续，又

且 在点

连续.则有

即 存在且

（二）.求导数或求切线:

例4 E11.求

和

参阅[4]P92 例5 求

《数学分析》教案

例8 设

在点 可导.确定、使函数

和 的值，)

（四）.奇、偶函数和周期函数的导函数：

例9 可导奇函数的导函数是偶函数.(给出用定义证和用链导公式证两种证法)例10 设

证 是偶函数且在点

可导, 则

.由 存在，即

简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.（五）.关于可导性的一些结果: 1.若 义域内, 导函数 的定义域是

点 是函数 是初等函数, 则

也是初等函数.在初等函数 的不可导点.例如函数 在点

没有定义, 因此的定

8.第五章 消费者权益保护法教案 篇八

5.1：《认识一元一次方程》第一课时

一：教学目标

1、知识与技能：

①理解一元一次方程及解的概念，会检验一个数是不是某个方程的解；

②会根据数量关系或简单问题情境列一元一次方程。

2、过程与方法：

①经历判断一元一次方程的过程，进一步理解一元一次方程的含义。

②经历对实际问题情境的分析过程中感受方程模型的意义，感受数学与生活的联系。

3、情感、态度与价值观：通过已知的方程推导出未知量，形成概念，通过本节的学习，感受数学的实际价值，从中发现事物发展变化的规律，并培养学生的科学态度。二：教学重点：

一元一次方程的概念和解法是学习方程及其应用的重要基础。三：教学难点：

准确把握一元一次方程的概念是本节的难点一；本节内容还提出用尝试、检验的方法解决实际问题，这是难点二。四：教学方法：

1页

.本节课宜采用自主探索与互相协作相结合，交流练习互相穿插的活动课形式。同时，利用发现法和问题讨论等教学方法。五：教学过程：

Ⅰ、创设情境，引出课题 创设情境：

老师活动： 同学们，今天我们要认识数学王国里的几位新朋友。认识新朋友，可也别忘了我们的老朋友。看，老朋友来了！

(1)1+2=3(2)5=7-2(3)3+b=2b+1(4)4+x=7(5)2x-2=6 同学们，你们还认识它们吗？能叫出他们的名字吗？如果觉得有困难，就小组讨论一下 学生活动：讨论说出等式，方程的概念。

老师活动：好，再和老朋友加深一下印象。判断下列各式是不是方程

（1）-2+5=3()(2)3χ-1=7()(3)m=0()（４）χ﹥ 3()(5)χ+y=8()(6)2χ2-5χ+1=0()（７）2a +b()（8）x=4（）

学生活动：积极判断

老师活动：同学们能不能总结一下“方程”这位老朋友的特征？ 学生活动：判断方程的两要素： ①有未知数 ②是等式 老师活动：看，这边有两位小朋友在玩猜年龄的游戏，瞧瞧去！老师活动：引导学生看投影仪（课本130页），并思考怎样算年龄。

学生活动：算术法或方程法

2页

.老师活动：小彬同学遇到点儿困难，我们看能不能帮帮她。学生活动：继续看投影仪，并列方程。老师活动：继续引导学生用方程解决问题

学生活动：独立完成P130---P131四个问题根据题意列方程 老师活动：“方程”真是我们的好朋友，能帮我们解决这么多的问题！那，请同 学们思考一下，怎样列方程呢？

学生活动：分组讨论，总结列方程的步骤

（1）设未知数，看题目中求的是什么，一般求什么就设什么为

x（设其 他量也可以）

（2）分析已知量和未知量的关系，找出相等关系

（3）把相等关系的左、右两边的量用含

x（未知数）的代数式表示出来（列方程）

老师活动：同学们观察所列方程，总结一元一次方程特征 Ⅱ、交流对话，探求新知 引出课题：一元一次方程

大家观察这几个方程，思考一下，他们有什么共同的特点吗？ 知识点1（一元一次方程的概念）

通过对一元一次方程的观察，找出方程的特点，并引导归纳一元一次方程的概念。

（难点：等号两边都是整式这个特征学生较难得出，教师需适当引导。）

一元一次方程：方程的两边都是整式，只含有一个未知数并且未

3页

.知数的指数是1的方程。

引导：联系概念的名称，发现一元一次方程的特点“一元”、“一次”、“这样的方程”

老师活动：一元一次方程就是我们今天所要认识的新朋友，它的特征你记住了吗？同桌两个相互检查一下，再考考你们的眼力。

判断下列方程是不是一元一次方程？

（1）xy=x+1(2)1/x +2=7(3)x=2(4)y2-x=0(5)3(x+1)+5x/2=4(6)3x-y=2 学生活动：再试身手

1、下列各式中，哪些是一元一次方程？

（1）5x=0（2）1+3x（3）y²=4+y（4）x+y=5

（5）1/x=4x（6）4x +(x+4)=8

2、已知 ８Xa-1+5=0是关于x一元一次方程，则a的值为

老师活动：1是5x=0 的解吗？怎么验证？

学生活动：（急切的）只要代入方程„„（一起计算，得到验证）老师活动：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。知识点2（一元一次方程的解）

应用练习：2是2x=4的解吗？ 拓展练习：3是2x+1=8的解吗？

Ⅲ、应用新知，体验成功

例 检验下列各数是不是方程x-3=2x-8的解

(1)X=5(2)X=-2

4页

.解(1)把x=5代入方程左右两边，左边=5-3=2，右边=2×5-8=2，左边=右边．

所以x=5是方程x-3=2x-8的解．(2)把x=-2代入方程左右两边，左边=-2-3=-5，右边=2×(-2)-8=-12，左边 ≠ 右边．

所以x=-2不是方程x-3=2x-8的解．

学生活动：总结检验一个数是不是方程的解的步骤：

1、将数值代入方程左边进行计算，2、将数值代入方程右边进行计算，3、比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．

Ⅳ、梳理概括，知识内化

提问：本节课学到了哪些知识呢？体会到哪些数学思想呢？

1、一元一次方程的概念；

2、方程的解的概念；

3、用尝试检验的数学思想方法解决问题；

4、应用方程思想解决实际问题比小学的算术法更优越。Ⅳ、推荐作业，拓展应用

5页

.1、书面作业：作业本5.1

2、智力闯关,谁是英雄

① 第一关：xk-1+21=0是一元一次方程，则k=

第二关：xk+21=0是一元一次方程，则k=

.第三关：(k-1)xlkl+21=0是一元一次方程，则k=

.第四关：(k+2)x2+kx+21=0是一元一次方程，则k=

② 已知5是关于x的方程3x-2a=7的解，则a的值为（）

目的是巩固基础知识和基本技能 V 教学反思：

V板书设计： 课题

1)概念 一元一次方程

例题

2)方程的解

6页

9.第五章 消费者权益保护法教案 篇九

[课题编号] 18-5①

[课题名称] 组合体的概念和分析方法、组合形式 [教材版本] 王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材--机械制图（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材配套教学用书--机械制图习题集（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

[教学目标和要求]

一、知识与能力

1、掌握组合体的概念、形体分析法和表面连接关系。

2、具备运用形体分析法对组合体进行分析的基本能力。

二、学习方法与素质养成

通过对组合体的形体分析，初步掌握分析组合体问题的基本方法和能力。[教学重点] 组合体的概念和分析方法。[难点分析] 组合体的表面连接关系。[分析学生] 组合体的学习本课程的重点，是培养制图能力的关键环节。教学过程中，引导学生应把学习的重心放在对形体分析法的理解掌握和应用上，这是学习组合体，解决组合体读图及标注问题，提高学生分析问题、解决问题能力的基本方法。

[教学设计思路] 教学方法：讲练法、演示法、归纳法。[教学资源] 机械制图网络课程、圆规、三角板。[教学安排] 2课时（90分钟）

教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。[教学过程]

一、复习回顾（5～10分钟）

1、正等测图和斜二测图的轴间角和轴向伸缩系数各是多少；如何识别两种图样？

2、讲评作业批改情况和共性问题；

3、预习检测：什么叫组合体？组合形式有几种？

二、导入新课

简述本课主要内容、要点、作用和地位，导出本节教学目标和要求。组合体是由基本体经叠加或切割形成，可视为简化了的零件。组合体视图的学习，一方面为零件图的学习提供基本方法，同时又是培养制图基本能力的一个重要突破口，通过本章的学习，要熟练地掌握组合体视图的识读、绘制和尺寸标注，提高分析和解决物图转换问题的综合能力。

本节主要研究讨论组合体的概念和分析方法。

三、新课教学（70～80分钟）

1、组合体的概念和形体分析法；

2、组合体的组合方式；

3、形体表面间的连接关系。

教师结合教材例题讲授组合体的组合方式和形体分析，强化形体分析化整为零，积零为整的辩证的认识问题的思维方法和应用能力。

演示网络课程，讲授组合体组合型式和表面连接关系，通过动画演示两表面共面、相切和相交时表面交线变化趋势，增加学生的感性积累和空间思维能力。

能比较法讲解叠加类组合体和切割类组合体的不同分析角度，引导学生根据组合体结构特征进行形体分析，同时注意扩展基本体的变形体，避免形体分析时过于细化，化简为难。

学生结合教材实例进一步理解掌握组合体的分析方法和表面连接关系及交线变化情况，同时完成教材P.114 思考题 1、2。

四、小结（5～10分钟）

简述组合体的分析方法和表面连接关系。

五、作业

1、对本节内容进行归纳理顺，进一步掌握形体分析法。

3、预习：教材P.94-组合体的表面交线(截交线)。[板书设计] 参考相应的P.P.T文件。[教学后记]

机械制图电子教案（19）

[课题编号] 19-5②

[课题名称] 组合体的表面交线－截交线Ⅰ [教材版本] 王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材--机械制图（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材配套教学用书--机械制图习题集（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

[教学目标和要求]

一、知识与能力

1、掌握截交线的概念；圆柱截交线及求作方法。

2、会求作圆柱的截交线。

二、学习方法与素质养成

引导学生观察感知，归纳共性，把握交线的变化趋势和物力转换的对应性。过截交线的学习，提高综合应用知识的能力。

[教学重点]

圆柱截交线的求作方法。[难点分析] 圆柱截交线的求作方法。[分析学生] 具有相关的知识基础，截交线的求作有一定的难度。教学过程中，多采用直观教学法，充分利用网络课程和实体模型引导学生多观察积累感性知识。

[教学设计思路] 教学方法：讲练法、演示法、归纳法。

[教学资源] 机械制图网络课程、圆规、三角板、模型等。[教学安排] 2课时（90分钟）

教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。[教学过程]

一、复习回顾（5～10分钟）

1、何谓形体分析法？分析过程中注意什么？

2、讲评作业批改情况和共性问题；

3、预习检测：什么叫截交线？截交线有什么特点？

二、导入新课

简述本课主要内容、要点、作用和地位，导出本节教学目标和要求。

组合体的表面交线多为组合体在组合(或被切割)过程中所产生的交线或过渡线，按交线的形成和几何性质的不同，分为截交线和相贯线。本节课主要讨论学习截交线的概念和圆柱的截交线。

三、新课教学（70～80分钟）

1、截交线的概念和性质

2、圆柱的截交线和求作方法

教师结合教材图例讲解截交线的形成和性质。讲授截平面切割圆柱体，所形成的三种截交线情况；交叉演示网络课程平面与圆柱相交所得截交线的形成过程、形状及其求作方法。

通过教学，让学生掌握截交线是截平面和几何体表面的共有线这一特性，进而明确作图实质是求截平面和几何体表面的共有点，连接这些共有点，就可得到其截交线的作图方法。

学生详读教材，结合例题进一步理解掌握圆柱截交线的形式和求作方法。

四、小结（5～10分钟）

简述圆柱截交线的特征和求作方法。

五、作业

1、习题：完成习题集P.43-5-

1、5-3题的练习。

2、预习：教材P.95 表5-2 P.98-球的截交线。[板书设计] 参考相应的P.P.T文件。[教学后记]

机械制图电子教案（20）

[课题编号] 20-5③

[课题名称] 组合体的表面交线－截交线Ⅱ [教材版本] 王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材--机械制图（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材配套教学用书--机械制图习题集（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

[教学目标和要求]

一、知识与能力

1、掌握圆锥、球的截交线及求作方法。

2、会求圆锥和球的截交线。

二、学习方法与素质养成

引导学生观察感知，归纳共性，把握交线的变化趋势和物力转换的对应性。过截交线的学习，提高综合应用知识的能力。

[教学重点]

圆锥、球的截交线及求作方法 [难点分析] 复合体的截交线的求作 [分析学生] 具有相关的知识基础，截交线的求作有一定的难度。教学过程中，多采用直观教学法，充分利用网络课程和实体模型引导学生多观察积累感性知识。

[教学设计思路] 教学方法：讲练法、演示法、归纳法。

[教学资源] 机械制图网络课程、圆规、三角板、模型等。[教学安排] 2课时（90分钟）

教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。[教学过程]

一、复习回顾（5～10分钟）

1、圆柱的截交线有几种形式？当截平面与圆柱轴线成45°时，截交线是什么形状？

2、讲评作业批改情况和共性问题；

3、预习检测：平面截切球时，其表面交线是什么？当截平面经过球的直径时，截交线有什么特点？

二、导入新课

简述本课主要内容、要点、作用和地位，导出本节教学目标和要求。本节课主要讨论学习圆锥和球截交线及求作方法。

三、新课教学（70～80分钟）

1、圆锥的截交线

2、球的截交线和求作方法

教师结合教材图例和例题讲解圆锥、球截交线的形状和性质。

结合网络课程演示、讲授截平面切割圆锥所形成的五种截交线的形状和特征，球的截交线的形状和大小的变化特点及作图方法。

学生按教材例题进行练习，学习掌握圆锥、球的截交线的求作方法和作图步骤。

四、小结（5～10分钟）

简述圆锥、球的截交线的特征和求作方法。

五、作业

1、习题：完成习题集P.43-5-

2、5-

4、5-

5、5-6各题的练习。

2、预习：教材P.99 相贯线。[板书设计] 参考相应的P.P.T文件。[教学后记]

机械制图电子教案（21）

[课题编号] 21-5④

[课题名称] 组合体的表面交线－相贯线 [教材版本] 王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材--机械制图（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材配套教学用书--机械制图习题集（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

[教学目标和要求]

一、知识与能力

1、掌握两圆柱正交时相贯线的变化趋势；

2、掌握异径两圆柱正交时相贯线的画法和近似画法。

3、会画两圆柱正交时的内外相贯线。

二、学习方法与素质养成

在人们接受知识的方式上，形象远先于文字。观察，再观察，通过不断的感性积累促进知识的理解和掌握；通过相贯线的学习，培养空间思维能力。

[教学重点] 圆柱正交时的相贯线 [教学难点] 内表面相贯线的画法 [分析学生] 相贯线对空间概念的要求较高，学习有一定难度。教学过程中，多采用直观教学法，充分利用网络课程和实体模型引导学生多观察积累感性知识。

[教学设计思路] 教学方法：讲练法、演示法、归纳法。

[教学资源] 机械制图网络课程、圆规、三角板、模型等。[教学安排] 2课时（90分钟）

教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。

[教学过程]

一、复习回顾（5～10分钟）

1、圆锥的截交线有几种形式？当截平面与过锥顶时的交线是怎样的？

2、讲评作业批改情况和共性问题；

3、预习检测：什么是相贯线？相贯线是平面曲线吗？为什么？

二、导入新课

简述本课主要内容、要点、作用和地位，导出本节教学目标和要求。前面已学习了平面切割立体所形成的截交线，本节讨论两圆柱正交时的相贯线及求作方法。

三、新课教学（70～80分钟）

1、相贯线的特性

2、两圆柱正交时的相贯线

教师结合网络课程演示讲授两圆柱(等径和不等径)正交时的相贯线的特征、变化趋势和求作方法。

3、相贯线的特殊情况

教师讲授相贯线的几种特殊情况；交叉演示网络课程中圆柱体与圆柱体正交、两回转体有公共轴线、圆柱与圆柱轴线相交并公切于一圆球、两圆柱轴线平行或两圆锥共顶相交时的相贯线。

4、圆柱与四棱柱相贯 教师扼要介绍圆柱与四棱柱相贯的交线情况，为后续学习提供帮助。

学生按教材例题徒手进行作图练习，以熟悉、掌握作图方法和步骤，同时完成教材P.114 思考题 3。

教师就共性问题分析讲解。

四、小结（5～10分钟）

简述两圆柱正交时的相贯线特征及求作方法。

五、作业

1、习题：完成习题集P.46-5-7，5-8题选作。

2、预习：教材P.102 组合体补图的画法。[板书设计] 参考相应的P.P.T文件。[教学后记]

机械制图电子教案（22）

[课题编号] 22-5⑤

[课题名称] 组合体视图的画法(一)[教材版本] 王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材--机械制图（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材配套教学用书--机械制图习题集（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

[教学目标和要求]

一、知识与能力

1、掌握组合体视图的画图方法和步骤。

2、具备运用形体分析法对组合体进行分析并画出组合体视图的基本能力。

二、学习方法与素质养成

1、形体分析法是解决组合体补图的画、读及标注的基本方法，应善于运用；通过组合体视图的画图练习，提高表达能力的绘图技能。

[教学重点] 运用形体分析法对组合体进行分析和画图。[教学难点] 组合体初视图的画图步骤。[分析学生] 是否能顺利的画出组合体视图主要取决于正确的分析方法和画图技能，通过形体分析方法的学习和原有的作图基础，本节学习无大的障碍，教学重点依然放在形体分析法的理解和应用上，在此之上，解决画图步骤和技巧问题。

[教学设计思路] 教学方法：讲练法、演示法、归纳法。

[教学资源] 机械制图网络课程、圆规、三角板、模型等。[教学安排] 2课时（90分钟）

教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。

[教学过程]

一、复习回顾（5～10分钟）

1、什么是形体分析法？分析的目的和作用是什么？

2、讲评作业批改情况和共性问题；

3、预习检测：简述组合体视图的画图步骤。

二、导入新课

简述本课主要内容、要点、作用和地位，导出本节教学目标和要求。

掌握组合体视图的画法，是提高画图能力、促进读图能力提高的关键环节。本节主要讨论画组合体视图的基本方法和步骤。

三、新课教学（70～80分钟）

1、组合体视图的画图步骤

2、画图示例(以叠加类组合体为主)： 教师以教材轴承座为例，结合网络课程演示讲授叠加类组合体的形体分析和画图方法以及画图过程中应注意的问题和作图技巧。

教学过程中，注意指导学生正确的选择画图基准和作图技巧，要求三个视图对应作图，以保证组合体整体及各部分间正确的对应关系。

学生按教材例题徒手进行作图练习，以熟悉、掌握作图方法和步骤。教师就共性问题分析讲解。

四、小结（5～10分钟）

简述组合体视图的画图步骤和注意事项。

五、作业

1、习题：

1)习题集P.48 5-9。

2)按习题集P.51的作业要求完成5-11(2)的作图练习，不标注尺寸，但要留有足够标注尺寸的空间(各图间距在50左右为宜)。

[板书设计] 参考相应的P.P.T文件。[教学后记]

机械制图电子教案（23）

[课题编号] 23-5⑥

[课题名称] 组合体视图的画法(二)[教材版本] 王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材--机械制图（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材配套教学用书--机械制图习题集（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

[教学目标和要求]

一、知识与能力

1、掌握切割类组合体视图的画图方法和步骤。

2、具备运用形体分析法对切割类组合体进行分析并画出视图的基本能力。

二、学习方法与素质养成

1、形体分析法是解决组合体补图的画、读及标注的基本方法，应善于运用；通过组合体视图的画图练习，提高表达能力的绘图技能。

[教学重点] 运用形体分析法对组合体进行分析和画图。[教学难点] 组合体初视图的画图步骤。[分析学生] 具备作图基础，本节学习无大的障碍，教学重点依然放在形体分析法的应用上，在此之上，解决画图步骤和技巧问题。

[教学设计思路] 教学方法：讲练法、演示法、归纳法。

[教学资源] 机械制图网络课程、圆规、三角板、模型等。[教学安排] 2课时（90分钟）

教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。[教学过程]

一、复习回顾（5～10分钟）

1、画组合体的视画时，如何选择画图基准？画图过程中注意什么？

2、讲评作业批改情况和共性问题；

二、导入新课

简述本课主要内容、要点、作用和地位，导出本节教学目标和要求。本节继续学习讨论画组合体视图的基本方法和步骤。

三、新课教学（70～80分钟）

1、切割类组合体的形体分析及画图步骤；

2、画图示例

教师以习题集P.50 5-10第2题为例，演示讲解切割类组合体的形体分析、画图方法和步骤。

指导学生正确的选择画图基准，拟定合理的绘图步骤。对切割类组合体，通常先画整体轮廓，然后按主要结构进行局部切割。画图时，同样要求三个视图对应作图，保证组合体整体及各部分间正确的对应关系。

学生按教师的画法进行徒手作图，掌握、巩固作图方法和步骤。教师就共性问题分析讲解。

四、小结（5～10分钟）

简述切割类组合体视图的画图步骤和注意事项。

五、作业

1、习题：

1)习题集P.50 5-10。

2)按习题集P.51的作业要求完成5-11(1)的作图练习，不标注尺寸，但要留有足够标注尺寸的空间(各图间距在50左右为宜)。

[板书设计] 参考相应的P.P.T文件。[教学后记]

机械制图电子教案（24）

[课题编号] 24-5⑦

[课题名称] 组合体视图的尺寸标注 [教材版本] 王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材--机械制图（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材配套教学用书--机械制图习题集（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

[教学目标和要求]

一、知识与能力

1、掌握组合体视图的尺寸标注的基本方法。

2、具备运用形体分析法对组合体视图进行尺寸标注的基本技能。

3、通过组合体视图的标注练习，提高绘图和读图能力。

二、学习方法与素质养成

形体分析法是解决组合体补图的画、读及标注的基本方法，应善于运用；通过尺寸标注的学习和练习，提高组合体视图的读画能力。

[教学重点] 运用形体分析法对组合体进行分析和尺寸标注。[教学难点] 尺寸标注的完整性和尺寸布置。[分析学生] 尺寸标注是本课程贯串始终的学习内容，也是难点之一。要指导学生多参照标注示例，学习标注方法和技巧，提高尺寸标注的基本能力，为零件图的尺寸标注打好基础。

[教学设计思路] 教学方法：讲练法、演示法、归纳法。

[教学资源] 机械制图网络课程、圆规、三角板、模型等。[教学安排] 2课时（90分钟）

教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。[教学过程]

一、复习回顾（5～10分钟）

1、加深组合体的视画时的顺序是什么？怎样保证图面清晰整洁？

2、讲评作业批改情况和共性问题；

3、预习检测：组合体尺寸标注的基本要求是什么？

二、导入新课

简述本课主要内容、要点、作用和地位，导出本节教学目标和要求。前面学习了组合体视图的画法，只是解决了形状问题，要确定组合体大小和各部分相对位置，还要在视图上完整的标注其尺寸。

本节课讨论学习组合体视图尺寸标注的基本方法和步骤。

三、新课教学（70～80分钟）

1、组合体尺寸标注的基本要求和尺寸种类；

2、组合体尺寸标注的基本方法和尺寸基准；

3、尺寸布置和标注步骤及注意事项。

教师结合教材例题讲授组合体尺寸的种类和作用，引入尺寸基准的概念和选取方法，强调标注的基本要求和应注意的问题。

形体分析法依然是组合体尺寸标注的基本方法，只有在读懂视图并想象出形体的基础上，才能正确、完整的进行标注。

教师以支架为例，结合网络课程演示讲授支架视图的尺寸标注的方法和步骤及标注尺寸应注意的问题等内容。

尺寸标注的方案不是唯一的，教学中，鼓励学生质疑和发表独到见解，建立民主和谐的学习氛围，提高学习热情和学习效果。

学生对上两讲课完成的画图作业5-11(1)(2)两题进行标注，教师指导，就共性问题分析讲解。

四、小结（5～10分钟）

简述组合体视图的尺寸注法和注意事项。

五、作业

1、习题：习题集P.53 5-11(3)。

2、预习：教材P.108 看组合体的视图。[板书设计] 参考相应的P.P.T文件。[教学后记]

机械制图电子教案（25）

[课题编号] 25-5⑧

[课题名称] 看组合体视图 [教材版本] 王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材--机械制图（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材配套教学用书--机械制图习题集（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

[教学目标和要求]

一、知识与能力

1、掌握识读组合体视图的基本方法。

2、具备综合运用形体分析和线面分析法识读组合体视图的基本技能。

二、学习方法与素质养成

以读为主，读画结合，提高组合体视图的读图能力。

[教学重点] 运用形体分析法识读组合体视图。[教学难点] 线面分析法读切割类组合体视图和想象立体。[分析学生] 学生经过画组合体的三视图训练，具备一定的读图能力，但熟练识读组合体视图仍有一定难度，通过学习与不断练习，多看图、多想像，提高看图本领和能力。

[教学设计思路] 教学方法：讲练法、演示法、归纳法。

[教学资源] 机械制图网络课程、圆规、三角板、模型等。[教学安排] 2课时（90分钟）

教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。[教学过程]

一、复习回顾（5～10分钟）

1、简述组合体尺寸标注的基本方法和步骤；

2、讲评作业批改情况和共性问题；

3、预习检测：读组合体视图的基本方法是什么？通常有哪几个步骤？

二、导入新课

简述本课主要内容、要点、作用和地位，导出本节教学目标和要求。通过学习组合体视图的画和标注，使识读组合体视图有了较好的基础，为提高看图能力，本节进一步讨论识读组合体的视图的基本方法和步骤。本节课讨论看组合体视图的基本方法和步骤。

三、新课教学（70～80分钟）

1、看图的基本方法(形体分析法、线面分析法)

2、看图要点

1)必须把几个视图联系起来看；

2)要从反映物体形状特征的视图看起； 3)要善于分析视图中的线和线框的含义。

形体分析法是看图的基本方法。但对于一些复杂的物体切割类组合体，还要用线面分析法，分析视图中的线条、线框的含义和空间位置，帮助看懂较复杂的视图。

教师以支架的视图为例，结合网络课程演示讲解形体分析法看组合体视图的基本方法和步骤。

教师结合教材例题进一步讲授形体分析和线面分析法看图方法。对较复杂的形体，通常用形体分析法先做主要分析、用线面分析法再作补充分析，最后综合起来相像整体。

教学中，关注学情，提高讲授的针对性，改善学习效率和效果。学生进行习题集P.54～60 5-13的读图练习。

四、小结（5～10分钟）

归纳运用形体分析法和线面分析法看组合体视图的基本方法和要点。

五、作业

1、习题：习题集P.61～67 5-

13、5-14各题的看图和标注练习。

2、预习：教材P.111 补视图和补缺线。[板书设计] 参考相应的P.P.T文件。[教学后记]

机械制图电子教案（26）

[课题编号] 26-5⑨

[课题名称] 补视图和补缺线 [教材版本] 王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材--机械制图（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

王幼龙主编、中等职业教育国家规划教材配套教学用书--机械制图习题集（机械类），第3版，北京：高等教育出版社，2007。

[教学目标和要求]

一、知识与能力

1、掌握已知组合体两视图补画第三视图及补视图中缺线的基本方法。

2、具备综合运用形体分析和线面分析法补画组合体视图和缺线。

二、学习方法与素质养成

以读为主，读画结合，提高组合体视图的读图能力。

[教学重点] 运用形体分析法识读并补画组合体视图和缺线。[教学难点] 补切割类组合体的视图。[分析学生] 补视图的知识基础是形体分析法、线面分析法，学生已有基础，并具备补视图和缺线的能力水平，问题是如何熟练；

补视图是培养看图、画图能力的有效手段，通过学习与练习，把看图、画图能力提高一步。

[教学设计思路] 教学方法：讲练法、演示法、归纳法。

[教学资源] 机械制图网络课程、圆规、三角板、模型等。[教学安排] 2课时（90分钟）

教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。

[教学过程]

一、复习回顾（5～10分钟）

1、简述组合体尺寸标注的基本方法和步骤；

2、讲评作业批改情况和共性问题；

3、预习检测：读组合体视图的基本方法是什么？通常有哪几个步骤？

二、导入新课

简述本课主要内容、要点、作用和地位，导出本节教学目标和要求。在基本掌握了组合体视图的画法、尺寸标注和看图的基本技能的基础上，通过补画第三视图和缺线的练习，来检验、巩固和提高画、看图能力。

本节课学习讨论根据两视图补画第三视图及缺线的基本方法和步骤。

三、新课教学（70～80分钟）

根据两视图补画第三视图及缺线的基本方法和步骤

教师结合网络课程补画支座视图的演示、讲解补画视图和缺线方法和步骤。教师引导学生归纳补画方法：

通过形体分析，读懂并想象出形体的形状，弄清组合体的组合型式，而进分析弄清表面交线的演变趋势，按三等关系进一步补画出视图中的缺线。

学生进行习题集P.68～69 5-15的补图练习。

教师结合学生的掌握情况，提高指导的针对性，改善学习效率和效果。

四、小结（5～10分钟）

归纳补视图和缺线的基本方法和要点。

五、作业

1、习题：完成习题集P.70～75 5-15各题的补图和补线练习，其中5-15(5)选作。

2、结合本章小结，对本章学习内容进行归纳总结。

10.第五章 消费者权益保护法教案 篇十

第五章 定积分

第五章

定积分

教学目的：

1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、定积分的概念

2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。§5 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1 

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点i  以[xi1 xi ]为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n) 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af(1)x1 f(2)x2   f(n)xnf(i)xi

i1n

求曲边梯形的面积的精确值

显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{x1 x2   xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

Alimf(i)xi

0i1n

2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

求近似路程

我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔ti  在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i) 物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti  把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是

在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点

T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2

把[T 1  T 2]分成n个小段

[t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n] 

各小段时间的长依次为

t 1t 1t 0 t 2t 2t 1   t n t n t n1

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

S 1 S 2    S n

在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i(t i1 i t i) 以 i时刻的速度v( i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即

S i v( i)t i

(i1 2     n)

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

Sv(i)ti

i1n

求精确值

记  max{t 1 t 2   t n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程

Slimv(i)ti

0i1n

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积

(1)用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2     n)

(2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

f(i)xi(i1 2     n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn

(3)记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x iii1

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数

且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

(1)用分点T1t0t1t2  t n1tnT2把时间间隔[T 1  T 2]分成n个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记ti titi1(i1 2     n)

(2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)ti

(i1 2     n) 所求路程S 的近似值为

Sv()tii1nni

(3)记max{t1 t2   tn} 所求路程的精确值为

Slim0v()t iii

1二、定积分定义

抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2    xn1 xnb

把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn] 

各小段区间的长依次为

x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1

在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i(xi1  i  xi) 作函数值f( i)与小区间长度xi的乘积

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第五章 定积分

f( i)xi(i1 2   n) 并作出和

Sf(i)xi

i1n记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作af(x)dx

即

limf(i)xi af(x)dx0i1bnb其中f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2   xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记xixixi1(i1 2   n)

任 i[xi1 xi](i1 2   n) 作和

Sf()xii1ni

记max{x1 x2   xn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作即

根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx

变速直线运动的路程为ST2v(t)dt

1baf(x)dx

baf(x)dxlimf(i)xi

0i1nbT

说明

(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

af(x)dxaf(t)dtaf(u)du

(2)和f(i)xi通常称为f(x)的积分和

i1nbbb

(3)如果函数f(x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f(x)在区间[a b]上可积

函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f(x)在[a b]上可积呢？

定理

1设f(x)在区间[a b]上连续 则f(x)在[a b]上可积

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第五章 定积分

定理2 设f(x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f(x)在[a b]上可积

定积分的几何意义

在区间[a b]上 当f(x)0时 积分af(x)dx在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值

babf(x)dxlimf(i)xilim[f(i)]xia[f(x)]dx

0i10i1nnb

当f(x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分af(x)dx的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和

b用定积分的定义计算定积分

例1.利用定义计算定积分0x2dx

解

把区间[0 1]分成n等份分点为和小区间长度为

xii(i1 2   n1) xi1(i1 2   n)

nn

取ii(i1 2   n)作积分和 n

1f(i)xii1i1nni2xi(i)21

ni1nnn1i2131n(n1)(2n1)1(11)(21)

3ni1n66nn

因为1 当0时 n 所以n

n12xdxlim00i11(11)(21)1f(i)xinlim6nn

3利定积分的几何意义求积分:

例2用定积分的几何意义求0(1x)dx 解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以 1天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

0(1x)dx211211

1三、定积分的性质

两点规定

(1)当ab时

(2)当ab时 af(x)dx0

af(x)dxbf(x)dx

bbbab

性质

1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即

a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx

bb 证明:a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi

0i1nnn

limf(i)xilimg(i)xi

0i1b0i1

af(x)dxag(x)dx

性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

bakf(x)dxkaf(x)dxbnnbbb

这是因为akf(x)dxlimkf(i)xiklimf(i)xikaf(x)dx

0i10i1性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即

af(x)dxaf(x)dxcbcbf(x)dx

这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性

值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx af(x)dxaf(x)dxbf(x)dx

天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 cbcbcb成立 例如 当a

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第五章 定积分

于是有

af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxca1dxadxba

af(x)dx0(ab)

af(x)dxag(x)dx(ab)

ag(x)dxaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0

af(x)dxag(x)dx

bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx

性质

4如果在区间[a b]上f(x)1 则

性质

5如果在区间[ab]上 f(x)0 则

推论

1如果在区间[ab]上 f(x) g(x)则

这是因为g(x)f(x)0 从而

所以

推论2 |af(x)dx|a|f(x)|dx(ab)

这是因为|f(x)|  f(x) |f(x)|所以

a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dx

即 |af(x)dx|a|f(x)|dx|

性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则

m(ba)af(x)dxM(ba)(ab)

证明

因为 m f(x) M  所以

从而

m(ba)af(x)dxM(ba)

性质7(定积分中值定理)

如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间[ab]上至少存在一个点 使下式成立 bbbbbbb

amdxaf(x)dxaMdxbbb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

af(x)dxf()(ba) b这个公式叫做积分中值公式

证明

由性质6

m(ba)af(x)dxM(ba) 各项除以ba

得

b

m1af(x)dxM

bab再由连续函数的介值定理 在[ab]上至少存在一点  使

b

f()1af(x)dx

ba于是两端乘以ba得中值公式

af(x)dxf()(ba) b

积分中值公式的几何解释

应注意 不论ab 积分中值公式都成立

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第五章 定积分

§5 2 微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设物体从某定点开始作直线运动 在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程S可表示为

S(T2)S(T1)及T2v(t)dt

1T即 T2v(t)dtS(T2)S(T1)

1T

上式表明 速度函数v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1 T2]上的增量

这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？

二、积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x为[a b]上的一点我们把函数f(x)在部分区间[a x]上的定积分

af(x)dx

xx称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为 (x)af(x)dx 或(x)af(t)dt

定理1 如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

在[a b]上具有导数 并且它的导数为

x

(x)daf(t)dtf(x)(ax

dxxx

简要证明

若x(a b) 取x使xx(a b)

(xx)(x)a

af(t)dtxxxxxxf(t)dtaf(t)dt

xf(t)dtaf(t)dt x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

xxxf(t)dtf()x

应用积分中值定理 有f()x

其中在x 与xx之间 x0时 x  于是

(x)limlimf()limf()f(x)

x0xx0x

若xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若xb  取x<0 则同理可证(x) f(b)

定理

2如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数

(x)af(x)dx

就是f(x)在[a b]上的一个原函数

定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系

三、牛顿莱布尼茨公式

定理

3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则

xaf(x)dxF(b)F(a)

xb此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式

这是因为F(x)和(x)af(t)dt都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使

F(x)(x)C(C为某一常数)

由F(a)(a)C及(a)0 得CF(a) F(x)(x)F(a) 由F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a)

xb

证明 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数

(x)af(t)dt

也是f(x)的一个原函数 于是有一常数C 使

F(x)(x)C(axb)

当xa时 有F(a)(a)C 而(a)0 所以CF(a) 当xb 时 F(b)(b)F(a)

所以(b)F(b)F(a) 即

af(x)dxF(b)F(a) b 为了方便起见 可把F(b)F(a)记成[F(x)]ba 于是天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

aF(b)F(a)

af(x)dx[F(x)]bb

进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系

例1.计算0x2dx

解 由于1x3是x2的一个原函数 所以 11213131xdx[1x3]1010 03333

3例2 计算1dx2

1x

解 由于arctan x是12的一个原函数 所以

1x

13 ( )7

dx[arctanx]3arctan3arctan(1)134121x2

1例3.计算21dx

x

解 12ln 1ln 2ln 22xdx[ln|x|]11

例4.计算正弦曲线ysin x在[0 ]上与x轴所围成的平面图形的面积

解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积

A0sinxdx[cosx]0(1)(1)2

例5.汽车以每小时36km速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离？

解

从开始刹车到停车所需的时间

当t0时 汽车速度

v036km/h361000m/s10m/s

3600刹车后t时刻汽车的速度为

v(t)v0at 105t 

当汽车停止时 速度v(t)0 从

v(t)105t 0 得 t2(s)

于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为

210(m)

s0v(t)dt0(105t)dt[10t51t2]0222天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

即在刹车后 汽车需走过10m才能停住

例6.设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数F(x)在(0 )内为单调增加函数

xx 证明 d0 tf(t)dtxf(x) d0f(t)dtf(x) 故

dxdx0tf(t)dt

x0f(t)dtxF(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dt(0f(t)dt)xx2xxf(x)0(xt)f(t)dt(0f(t)dt)x2x

按假设 当0tx时f(t)>0(xt)f(t) 0  所以

0f(t)dt0 x0(xt)f(t)dt0

cosxetdtx212从而F (x)>0(x>0) 这就证明了F(x)在(0 )内为单调增加函数

例7.求limx0

解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则

limx0cosxetdtx2x212limx01cosxt2edtx2cosxlimsinxe1

x02x2e2提示 设(x)1etdt 则(cosx)1cosxt2edt

dcosxet2dtd(cosx)d(u)dueu2(sinx)sinxecos2x

dx1dxdudx

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第五章 定积分

§5 3 定积分的换元法和分部积分法

一、换元积分法

定理

假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(t)满足条件

(1)()a  ()b

(2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有

af(x)dxf[(t)](t)dt

这个公式叫做定积分的换元公式

证明

由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [(t)](t)在区间[ ](或[ ])上也是连续的 因而是可积的

假设F(x)是f(x)的一个原函数 则

baf(x)dxF(b)F(a)

另一方面 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t) 所以F[(t)]是f [(t)](t)的一个原函数 从而

bf[(t)](t)dtF[()]F[()]F(b)F(a)

因此 af(x)dxf[(t)](t)dt

例1 计算0a2x2dx(a>0)

解 ab0aa2x2dx 令xasint 02acostacostdt 

2a2222(a0costdt1cos2t)dt

20天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

221a2

a[t1sin2t]0224提示 a2x2a2a2sin2tacost dxa cos t  当x0时t0 当xa时t 例2 计算02cos5xsinxdx

解 令tcos x 则

20cosxsinxdx02cos5xdcosx

011 1t5dt0t5dt[1t6]01

令cosxt提示 当x0时t1 当x时t0

2或

20cosxsinxdx02cos5xdcosx 521cos61cos601

[1cos6x]066266

例3 计算0sin3xsin5xdx

解 0sin3xsin5xdx0sin2x|cosx|dx

3 2sin2xcosxdxsin2xcosxdx

023

32sin20xdsinx32sin2xdsinx

55222 [sinx]0[sin2x]2(2)4

555525提示 sinxsinxsinx(1sin35323x)sin2x|cosx|

在[0, ]上|cos x|cos x 在[, ]上|cos x|cos x

4例4 计算x2dx

02x

1解 04x2dx 令2x1t21232x1t32 1tdt11(t23)dt

t2312711122

[t33t]1[(9)(3)]232333天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

2t提示 x1 dxtdt 当x0时t1 当x4时t3

2例5 证明 若f(x)在[a a]上连续且为偶函数 则

af(x)dx20aaaf(x)dx

0a

证明 因为af(x)dxaf(x)dx0f(x)dx 而

所以

af(x)dx a0令xt af(t)dt0f(t)dt0f(x)dx

a0aaaf(x)dx0aaf(x)dx0f(x)dx

aa

0[f(x)f(x)]dxa2f(x)dx20f(x)dx

讨论

若f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问af(x)dx？

提示

若f(x)为奇函数 则f(x)f(x)0 从而

aaf(x)dx0[f(x)f(x)]dx0

aa

例6 若f(x)在[0 1]上连续 证明

(1)02f(sinx)dx02f(cosx)dx(2)0xf(sinx)dx 20f(sinx)dx

证明(1)令xt 则 02f(sinx)dx20f[sin(t)]dt

2

2f[sin(t)]dt2f(cosx)dx

002(2)令xt 则

00xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt

t)]dt0(t)f(sint)dt

0(t)f[sin（0f(sint)dt0tf(sint)dt

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第五章 定积分

0f(sinx)dx0xf(sinx)dx

所以

0xf(sinx)dx20 f(sinx)dx

x24xe x0

例7 设函数f(x)1 计算1f(x2)dx 1x01cosx

解 设x2t 则

14f(x2)dx1f(t)dt1201dt2tet2dt

01cost220

[tant]1[1et]0tan11e41

22222提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2

二、分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数u(x)、v(x) 由

(uv)uv u v得u vu vuv  式两端在区间[a b]上积分得

baauvdx 或audv[uv]aavdu auvdx[uv]bbbbb这就是定积分的分部积分公式

分部积分过程

baavdu[uv]aauvdx    

auvdxaudv[uv]bbbbb 例1 计算 解 12arcsinxdx 0

12arcsinxdx0112[xarcsinx]012xdarcsinx0

102xdx

261x21 021221d(1x2)

1x212231

[1x]012122 例2 计算0exdx

解 令xt 则

10e1xdx20ettdt

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第五章 定积分

20tdet

2[tet] 0 20etdt

2e2[et] 0 2

例3 设In02sinnxdx 证明

(1)当n为正偶数时 Inn1n331

nn242

2(2)当n为大于1的正奇数时 Inn1n342

nn2

53证明 In2sinnxdx0111102sinn1xdcosx

n1 2x] 0

[cosxsin02cosxdsinn1x



(n1)02cos2xsinn2xdx(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得

Inn1In2

n

I2m2m12m32m531I0

2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1

2m12m12m353而I002dx I102sinxdx1

2因此

I2m2m12m32m531

2m2m22m4422

I2m12m2m22m4422m12m12m353 例3 设In02sinnxdx(n为正整数) 证明

天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

I2m2m12m32m531 2m2m22m442 I2m12m2m22m442 2m12m12m353 证明 In02sinnxdx02sinn1xdcosx

[cosxsinn1 2x] 0(n1)02cos2xsinn2xdx



(n1)02(sinn2xsinnx)dx

(n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx

(n1)I n 2(n1)I n 

由此得 Inn1In2 n

I2m2m12m32m531I0 2m2m22m442

I2m12m2m22m442I1 2m12m12m353特别地 I02dx02 I102sinxdx1 因此

I2m2m12m32m531 2m2m22m4422

I2m12m2m22m442 2m12m12m3

53天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

§5 4 反常积分

一、无穷限的反常积分

定义1 设函数f(x)在区间[a )上连续 取b>a  如果极限

blimaf(x)dx

b存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分 记作af(x)dx 即

a这时也称反常积分af(x)dx收敛f(x)dxlimaf(x)dx

bb

如果上述极限不存在 函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分af(x)dx就没有意义 此时称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间( b ]上连续 如果极限

alimaf(x)dx(a

bb存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b ]上的反常积分 记作f(x)dx 即

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第五章 定积分

f(x)dxalimf(x)dx

a这时也称反常积分f(x)dx收敛如果上述极限不存在 则称反常积分f(x)dx发散

设函数f(x)在区间( )上连续 如果反常积分 bbbbf(x)dx和0f(x)dx

都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间( )上的反常积分 记作

0f(x)dx 即

f(x)dxf(x)dx00a0f(x)dx

b

limaf(x)dxlim0f(x)dx

b这时也称反常积分f(x)dx收敛

如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分f(x)dx发散

定义1

连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为

af(x)dxlimaf(x)dx

bb

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地 连续函数f(x)在区间( b]上和在区间( )上的反常积分定义为

f(x)dxlimaf(x)dx

abbf(x)dxlimaf(x)dxlim0f(x)dx

ab0b

反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则

af(x)dxlimaf(x)dxlim[F(x)]ba

bbb

limF(b)F(a)limF(x)F(a)

bx可采用如下简记形式

类似地 af(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a)

xF(b)limF(x)

f(x)dx[F(x)]bxb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

limF(x)limF(x)

f(x)dx[F(x)]xx 例1 计算反常积分12dx

1x

解 

11x2dx[arctanx]

limarctanxlimarctanx

xx

 ( ) 例2 计算反常积分0teptdt(p是常数 且p>0)

解 0teptdt[teptdt]0[1tdept]0

p

[1tept1eptdt]0pp

[1tept12ept]0pp

lim[1tept12ept]1212

tpppp提示 limteptlimtptlim1pt0

ttetpe 例3 讨论反常积分a 解 当p1时

当p<1时

当p>1时 1dx(a>0)的敛散性

xpa1dx1dx[lnx] 

aaxxpa1dx[1x1p] 

a1pxpa1dx[1x1p] a1p

a1pp1xp1p 因此 当p>1时 此反常积分收敛 其值为a 当p1时 此反常积分发散

p

1二、无界函数的反常积分

定义

2设函数f(x)在区间(a b]上连续 而在点a的右邻域内无界 取>0 如果极限

talimf(x)dx tbb存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dx

这时也称反常积分af(x)dx收敛

如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

类似地 设函数f(x)在区间[a b)上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限

tbbblimf(x)dx abt存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散

设函数f(x)在区间[a b]上除点c(a

都收敛 则定义

cbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx

否则 就称反常积分af(x)dx发散

瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界

定义2

设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为 bbcbaf(x)dxtlimatbbf(x)dx

在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散

类似地函数f(x)在[a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为

f(x)dx

af(x)dxlimatbbt

函数f(x)在[a c)(c b](c为瑕点)上的反常积分定义为

af(x)dxtlimcabtf(x)dxlimf(x)dx

ttcb反常积分的计算

如果F(x)为f(x)的原函数 则有

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第五章 定积分

af(x)dxtlimatbbf(x)dxlim[F(x)]bt

ta

F(b)limF(t)F(b)limF(x) taxa可采用如下简记形式

aF(b)limF(x)

af(x)dx[F(x)]bxab类似地 有

alimF(x)F(a)

af(x)dx[F(x)]bxbb当a为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)

aF(b)limxab当b为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)F(a)

alimxbb当c(acb)为瑕点时

F(x)F(a)][F(b)limF(x)]

af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx[xlimcxcbcb 例4 计算反常积分 解 因为limxaa01dx

2ax21 所以点a为被积函数的瑕点

a2x 0a1alimarcsinx0 dx[arcsinx] 0a2xaaa2x2

1例5 讨论反常积分112dx的收敛性

x

解 函数12在区间[1 1]上除x0外连续 且lim12

x0xx0 0 由于112dx[1]lim(1)1

1xxx0x01即反常积分112dx发散 所以反常积分112dx发散

xx

例6 讨论反常积分a

解 当q1时

当q1时 bbbdx的敛散性

(xa)qdxbdx[ln(xa)] b

aa(xa)qaxadx[1(xa)1q] b

aa(xa)q1q天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案

第五章 定积分

当q1时 dx[1(xa)1q] b1(ba)1q

aa(x1qa)q1qb 因此 当q<1时 此反常积分收敛 其值为1(ba)1q 当q1时 此反常积分发散

1q

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