圆的标准方程教学案例

圆的标准方程教学案例（精选7篇）

1.圆的标准方程教学案例 篇一

圆的标准方程教学反思

本节讲授《圆的标准方程》第3课时，主要目的是让学生在熟练掌握圆的标准方程的基础上，能够准确地判断点与圆的位置关系，体会数形结合的数学思想，形成代数方法处理几何问题的能力，培养学生的观察、分析、归纳、概括的思维能力。下面是我对本节课堂教学的.一些反思：

（一）优点

1、根据职中学生的知识特点，因材施教，尽量降低学习难度，让学生愿学、乐学。教学方法采用：启发式、探讨法、数形结合、练习法，多种教学方法并存提高教学效果。

2、导入新课过渡自然，新旧知识紧密联系，并能很好地集中学生的注意力，调动起学生的学习兴趣，帮助学生树立学习数学的自信心。

3、善于设疑，启发学生思考，让学生带着问题对新知识进行探究，充分发挥学生的主体地位。如点与圆有哪几种位置关系？圆上的点都满足什么条件？圆内的点都满足什么条件？圆外的点都满足什么条件？

4、注重对学生学法的指导，培养学生把“未知的问题”转化为“已知问题”的解题思想和能力。培养学生数形结合的数学思想，提高学生的观察、分析、归纳能力。如：画出圆，让学生上台画出点与圆的几种位置关系，从而直观地观察、分析并归纳出点在圆上、圆外与圆内时，点到圆心的距离与圆的半径的关系。

5、教学环节紧凑，做到讲练结合。通过变式训练，让学生思维得到提升。

6、讲课思路清晰流畅，分析透彻，并采用多媒体辅助教学，节省了板书的时间，大大提高了课堂效果。

（二）不足

1、学生课堂上相互讨论、合作交流的机会不够多。

2、有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题，可以适当选择一些内容供学有余力的学生课后研究，满足学生不同程度的求知欲。

从这节课可以看出职高学生学习数学的耐心不够，前面有兴趣，比较新鲜问题会听一下，也能接受，但没有余热。因此要教好职高数学，其中一方面要从学生感兴趣的问题着手（天天如此，感觉好难，本人只能偶尔这样）。而如何使学生把兴趣保持到下去，也是我今天在教研方面应该琢磨、不断探讨的问题。

2.圆的标准方程教学案例 篇二

两个教学目标:(1)掌握圆的标准方程,并能够根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径;(2)会根据已知条件求圆的标准方程,进一步培养学生的数形结合能力、方程思想和合作探究能力.

主要采用小组合作探究教学,通过小组合作探究的学习方法,让学生在自学、对学中根据导学案自觉、主动学习,共同探讨、研究,使学生在课堂学习中能够充分发挥主观能动性,充分展示自我,积极思考,主动探究,激发其潜在学习动力.“圆的标准方程”教学活动设计需要考虑以下几方面:(1)从学生已有的生活经验出发;(2)由浅到深,化难为易;(3)激起学生的认知冲突;4因材施教,根据学生差异分层设计,让所有学生都能积极参与到课堂学习中.

一、引入课题,分配任务

课堂前五分钟,结合学生已有的经验,引入课题,激发学生对本节内容的学习兴趣.教师可让学生举出几个日常生活中圆的例子,学生马上就会想到太阳、脸盆、车轮、盘子等.然后出示幻灯片,问学生:初中圆是 如何定义的呢?让学生进行思考.很多学生都知道,初中圆的定义为:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为半径.最后,向学生提 出本节课学习课题和教学目标,再次明确并鼓励学生完成本节教学目标,激发学生学习本节课的热情.

将学习任务分配给学生.教师通过抽签法将导学案分成四块,分配给各 组.组长领到 任务后,马上回组 讨论,明确分工.学生互相答疑解惑,教师巡视指 导,做好展示前的充分准备.

二、学生展示

课堂上,应给学生提供一个充分展 示自我的 平台,通过学生的展示来了解学生小组合作学习效果,也让学生学会寻找自身的闪光点和不足.下面为四组学生的展示成果.

第一组问题:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么?试一试如何推导.

学生讲解:根据圆的定义,设点M(x,y)为圆C上任一点,则〡MC〡 =r(r > 0),由距离公 式得:,两边平方化简得:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).

教师请其他组对本组展示成果进 行质疑、评论,提出自己的想法,然后对本组进行点评.该题的关键点是圆的定义和等式代换,易错点是化简.教师总结,指导学生进一步认识圆的标准方程的特征:一是已知圆心坐标和半径,马上写出圆的标准方程;二是已知圆的标准方程,马上写出圆心坐标和半径.最后,通过多媒体出示两道小题,让学生积极思考并口答,以加深学生印象.

第二组问题:求过点A(6,0),且圆心B的坐标为(3,2)的圆的方程.

学生板书 讲解,圆的半径,圆心B的坐标(3,2),所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13.该题的关键点是求出圆的半径,易错点是两点间距离公式的应用.

第三组问题:求以直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点为圆心,半径为的圆的方程.

学生:由方程组,解得:x=0,y=1,即所求圆心坐标为(0,1),半径.所以所求圆的方程为:x2+(y-1)2=3.该题关键点是求圆心坐标,易错点是解二元一次方程组.通过多媒体出示两组小题以巩固例题.

第四组问题:本节总结.(1)圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2[圆心(a,b),半径r].(2)当圆心在原点时a=b=0,圆的标准方程为x2+y2=r2.由于圆的标准方程中含有a、b、r三个参数,因此必须具备3个条件才 能确定圆,即可用定 义法求得.

需要注意的是,学生的展示不仅要关注小组合作学习成果,还要关注学生在合作学习过程中的学习态度、学习见解等.学生展示成果后,教师最好当堂检测,以进一步发挥学生的创造性.最后布置作业,进行巩固练习.

摘要：研究新课标理念下的教学设计,是落实课标精神的体现.其中小组合作学习方式的教法设计,是很好的例子.

3.直线和圆的方程考题解析 篇三

例1(湖南卷)设集合A={(x，y)|y≥12|x-2|)}，B={(x，y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠.

(1) b的取值范围是；

(2) 若(x，y)∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是.

图1

解析(1) A表示由折线y=12|x-2|及其上方的点组成的集合，B表示由折线y=-|x|+b及其下方的点组成的集合.如图1，若A∩B≠，只需b≥1，即b∈[1，+∞).

(2) 设x+2y=t≤9，则 t2表示直线y=-x2+ t2在y轴上的截距.故截距最大时t最大.

因为(x，y)∈A∩B，所以(0，92)为A∩B所表示的图形内在y轴上的最高点，所以b=92.

点评这是一道集合“包装下”的线性规划问题，线性规划问题实际上是“直线的方程”与“不等式”知识的综合题.题目不难，有兴趣的同学，不妨仔细读一读.不理解之处可以翻看教材必修5中的“不等式”一章.解此类题的一般步骤是：作出图形(可行域)，分析目标函数的几何意义(截距、距离、斜率等)，借助形的直观有目的地计算.对于由含绝对值的不等式表示的平面区域，也可同二元一次不等式一样，先作方程的图形，再取特殊点判断.

例2(重庆卷)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为()



A. -3或3B. 3

C. -2或2D. 2

图2

解析直线过定点P(0，1)，又点P，Q在圆上，且∠POQ=120°，由圆的对称性知，有两条直线符合要求.

如图2，由平面几何知识，可知∠PRO=60°，k=3，故选A.

点评解析几何是用代数方法研究几何问题的学科，用好图形的几何性质可以简化代数计算，解题时需在代数算法和几何算法之间做出选择.

例3(上海卷)圆x2+y2-2x-1=0的关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（）

A. (x+3)2+(y-2)2=12

B. (x-3)2+(y+2)2=12

图3

C. (x+3)2+(y-2)2=2

D. (x-3)2+(y+2)2=2

解法一已知圆的方程可化为：(x-1)2+y2=2，圆心为(1，0)，半径为2，故所求圆的半径也为2.

如图3，显然所求圆的圆心应在第二象限，故选C.

解法二(x-1)2+y2=2，圆心为(1，0)，半径为2，故所求圆的半径也为2，排除A,B.

又因为0-21-（-3）•2=-1，所以选项C中圆的圆心与已知圆的圆心的连线与已知直线垂直，故选C.

点评两圆若关于某直线对称，则两半径相等，两圆心关于该直线对称(连心线与该直线垂直，且中点在该直线上)；本题也可以用选项中半径为2的两个圆的方程分别与已知圆的方程相减，所得方程为已知直线的即为所求，这便是2001年高考上海理科卷第11题的应用.该题是：已知两个圆：①x2+y2=1；②x2+(y-3)2=1，则①式减去②式可得两圆的对称轴的方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题.推广的命题为.

例4(上海卷)如图4，A，B是直线l上的两点，且AB=2.两个半径图4相等的动圆分别与l相切于点A，B，点C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围是.

解析圆的半径r∈[1，+∞)，

当r→+∞时，点C到AB的距离→0，则S→0；

当r=1时，两圆外切于点C，设此时两圆的圆心分别为O1，O2，则S=S矩形O1ABO2S扇形O1ACS扇形O2BC=2-π2，所以S∈0，2-π2.

点评不规则图形的面积的计算常用割补法.本题中圆弧与线段所围成的图形的面积的大小与圆弧的半径的大小有关，合情推理知：半径越大面积越小.

例5(江西卷)设有一组圆Ck：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题：

A. 存在一条定直线与所有的圆均相切

B. 存在一条定直线与所有的圆均相交

C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交

D. 所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）

解析从简单的开始研究，将(0，0)代入圆系方程，得2k4-10k2+2k-1=0，该方程无正整数解，故D正确；圆Ck的圆心为(k-1，3k)在直线y=3x+3上，直线y=3x+3与所有的圆均相交，故B正确而C错误；设存在一条直线y=ax+b与所有的圆均相切，则圆心到它的距离d等于圆的半径r，即 |a(k-1)-3k+b|a2+1=2k2，方程可转化为两个关于k的一元二次方程，不可能对任意的k(k∈N*)均成立，故A错误.

所以填B，D.

点评这种“多项选择题”需逐一考虑，一着不慎，满盘皆输.本题中B,C互为否定，一真一假；C,D以否命题的形式出现,要注意加点的字.直线与圆的位置关系常用圆心到直线距离与半径的关系来研究.

例6(全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.

(1) 求圆O的方程；

(2) 圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA•PB的取值范围.

解析(1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离，即r=41+3=2,得圆O的方程为x2+y2=4.

(2) 不妨设A为(x1，0)，B为(x2，0)，且x1＜x2.由x2=4,得A(-2，0)，B(2，0).

设P为(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得(x+2)2+y2•(x-2)2+y2=x2+y2，即x2-y2=2①.

由点P在圆O内，得x2+y2＜4②,

而PA•PB=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=x2-4+y2=2(y2-1)，

由①②得y2＜1.故PA•PB的取值范围为[-2，0).

点评本题是由基本概念和基本运算组成的简单问题，能否得到理想的分数，就看你的运算能力了.关于向量的知识，同学们可翻看教材必修4.

4.《圆的标准方程》的说课稿 篇四

【一】教学背景分析

1． 教材结构分析

《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.2.学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：

3．教学目标

(1)知识目标：①掌握圆的标准方程；

②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；

③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.(2)能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；

②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用； ③增强学生用数学的意识.(3)情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：

4.教学重点与难点

(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点： ①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；

②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：

【二】教法学法分析

1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程.2．学法分析 通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求的过程.下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：

【三】教学过程与设计

整个教学过程是由七个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：

创设情境 启迪思维 高

深入探究 获得新知

应用举例 巩固提

反馈训练 形成方法

小结反思 拓展引申

下面我从纵横两方面叙述我的教学程序与设计意图.首先：纵向叙述教学过程

（一）创设情境——启迪思维

问题一 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生回顾了旧知——求轨迹方程的一般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题.用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.（二）深入探究——获得新知

问题二 1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？

2．如果圆心在，半径为时又如何呢？

这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点，半径为4的圆的标准方程后，引导学生归纳出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法.得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节.（三）应用举例——巩固提高

I．直接应用 内化新知

问题三 1．写出下列各圆的标准方程：

（1）圆心在原点，半径为3；

（2）经过点，圆心在点

.2．写出圆的圆心坐标和半径.我设计了两个小问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，第二题是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问题作准备.II．灵活应用 提升能力

问题四 1．求以点为圆心，并且和直线

相切的圆的方程.2．求过点，圆心在直线上且与

轴相切的圆的方程.3．已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程.你能归纳出具有一般性的结论吗？

已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是什么？

我设计了三个小问题，第一个小题有了刚刚解决问题三的基础，学生会很快求出半径，根据圆心坐标写出圆的标准方程.第二个小题有些困难，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.第三个小题解决方法较多，我预设了四种方法再一次为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一点圆的切线方程的过程中，又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮.III．实际应用 回归自然

问题五 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）.我选用了教材的例3，它是待定系数法求出圆的三个参数的又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生建模的习惯和用数学的意识.（四）反馈训练——形成方法

问题六 1．求过原点和点，且圆心在直线

上的圆的标准方程.2．求圆过点的切线方程.3．求圆过点的切线方程.接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计三个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地，让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.另外第3题是我特意安排的一道求过圆外一点的圆的切线方程，由于学生刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程，因此很容易产生思维的负迁移，另外这道题目有两解，学生容易漏掉斜率不存在的情况，这时引导学生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的知识进行判断，这样的设计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果.（五）小结反思——拓展引申

1．课堂小结

把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法

①圆心为，半径为r 的圆的标准方程为：

；

圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：

.②已知圆的方程是.，经过圆上一点的切线的方程是：

2．分层作业（A）巩固型作业：教材P81-82：（习题7.6）1，2，4.（B）思维拓展型作业：

试推导过圆

3．激发新疑

上一点的切线方程.问题七 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？

2．方程

表示什么图形？

在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.以上是我纵向的教学过程及简单的设计意图，接下来，我从三个方面横向的进一步阐述我的教学设计：

横向阐述教学设计

（一）突出重点 抓住关键 突破难点

求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，主要是因为应用问题的题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模型，缺乏解决实际问题的信心，为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入，激发学生的求知欲，同时我借助多媒体课件的演示，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强了信心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题五.这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破.（二）学生主体 教师主导 探究主线

本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的.另外，我重点设计了两次思维发散点，分别是问题二和问题四的第三问，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务.（三）培养思维 提升能力 激励创新

5.圆的方程 篇五

形如①的方程的曲线是否都是圆?

师生共同讨论分析：

如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关，具体如下：

(1)当 时，②表示以 为圆心、以 为半径的圆;

(2)当 时，②表示一个点 ;

(3)当 时，②不表示任何曲线.

6.圆的极坐标方程公式怎么推导 篇六

圆的极坐标公式：ρ2=x2+y2，x=ρcosθ,y=ρsinθ tanθ=y/x，(x不为0)

1、如果半径为R的`圆的圆心在直角坐标的x=R,y=0点,即(R,0),也就是极坐标的ρ=R,θ=0,即(R,0)点：那么该圆的极坐标方程为：ρ=2Rcosθ。

2、如果圆心在x=R,y=R,或在极坐标的(√2R,π/4),该圆的极坐标方程为：ρ^2-2Rρ(sinθ+cosθ)+R^2=0。

3、如果圆心在x=0,y=R,该圆的极坐标方程为：ρ=2Rsinθ。

4、圆心在极坐标原点：ρ=R(θ任意)。

7.求圆的切线方程的几种解法 篇七

例题 求经过点P2 (-1, -2) 且与圆x2+y2=1相切的切线方程并作图.

解1:利用过圆上一点的切线方程如图1, 设过点P2 (-1, -2) 的直线与圆x2+y2=1相切于P1 (x1, y1) , 根据过圆上一点求切线方程的公式, 得圆的切线方程为

x1x+y1y=1 (1)

因为切线过点P2 (-1, -2)

所以x1=-2y1-1 (2)

又因为点P1 (x1, y1) 在圆上

所以x${}_1^2$+y${}_1^2$=1 (3)

联立 (2) (3) 得

$\{\begin{array}{l}x{}_1=-1,\\ y{}_1=0;\end{array}\{\begin{array}{l}x{}_2=\frac{3}{5},\\ y{}_2=-\frac{4}{5}.\end{array}$

代入 (1) 即得所求圆的切线方程为x=-1和3x-4y-5=0.

解2:利用勾股定理

设所求切线与已知圆相切于点P1 (x1, y1) , 因为圆的方程为x2+y2=1, 所以圆心O的坐标为 (0, 0) , 连接OP1、OP2, 则OP1⊥P2P1, 所以由勾股定理, 得OP${}_1^2$+P2P${}_1^2$=OP${}_2^2$, 即 (x${}_1^2$+y${}_1^2$) + (x1+1) 2+ (y1+2) 2= (0+1) 2+ (0+2) 2, 所以x${}_1^2$+y${}_1^2$+x1+2y1=0 (1) 又因为点P1 (x1, y1) 在圆上, 所以x${}_1^2$+y${}_1^2$=1 (2) , 联立 (1) (2) 得

$\{\begin{array}{l}x{}_1=-1‚\\ y{}_1=0;\end{array}\{\begin{array}{l}x{}_2=\frac{3}{5},\\ y{}_2=-\frac{4}{5}.\end{array}$

代入切线方程x1x+y1y=1中, 即得所求圆的切线方程为x=-1和3x-4y-5=0.

解3:利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系.

设所求直线与圆相切于P1 (x1, y1) , 则$k{}_{{\rm O}{\rm P}{}_1}=\frac{y{}_1}{x{}_1}$.因为OP1⊥P2P1, 所以$k{}_{{\rm P}{}_2{\rm P}{}_1}=-\frac{1}{k{}_{{\rm O}{\rm P}{}_1}}=-\frac{x{}_1}{y{}_1},$

所以切线的方程为$y-y{}_1=-\frac{x{}_1}{y{}_1}(x-x{}_1).$

因为过点P2 (-1, -2) , 所以代入上式得

x${}_1^2$+y${}_1^2$+x1+2y1=0 (1)

而 x${}_1^2$+y${}_1^2$=1 (2)

以下同解2.

解4:利用圆锥曲线切线的定义

设P (x1, y1) 是圆x2+y2=1上任意一点, 作割线P1Q交圆于另一点Q (x, y) , 则

$k{}_{{\rm P}{}_{1}Q}=\frac{y{}_1-y}{x{}_1-x}(1)$, 又因为P1、Q两点都在圆上.

(2) - (3) 得$\frac{y{}_1-y}{x{}_1-x}=-\frac{x{}_1+x}{y{}_1+y}$代入 (1) , 得$k{}_{{\rm P}{}_{1}Q}=-\frac{x{}_1+x}{y{}_1+y}$, 当Q与P1重合时, 即当x=x1, y=y1时, 割线的斜率kP1Q就变成过圆上一点P1 (x1, y1) 的切线的斜率k,

所以$k=-\frac{x{}_1+x{}_1}{y{}_1+y{}_1}=-\frac{x{}_1}{y{}_1}$.以下仿解3.

解5:利用点到直线的距离公式

设过点P2 (-1, -2) 且与圆x 2+y2=1相切的切线的斜率为k, 则所求切线方程为y+2=k (x+1) , 即kx-y+k-2=0.因为圆心O的坐标为 (0, 0) , 半径r=1, 所以由点到直线的距离公式, 得

$\frac{|k\cdot 0-0+k-2|}{\sqrt{k{}^2+1}}=1$, 解得$k=\frac{3}{4}.$

所以切线方程$\frac{3}{4}x-y+\frac{3}{4}-2=0$, 即3x-4y-5=0, 再结合图形知另一条切线方程为x=-1.

解6:利用斜率为k的圆的切线方程

因为圆的方程为x2+y2=1, 所以r=1, 故根据圆x2+y2=r2的切线方程

$y=kx\pm r\sqrt{1+k{}^2},$

得$y=kx\pm \sqrt{1+k{}^2}.(1)$

因为P (-1, -2) 点在切线上,

所以$-2=-k\pm \sqrt{1+k{}^2}.$

解得$k=\frac{3}{4}$, 将k值代入 (1) 即得所求切线的方程为3x-4y-5=0, 再结合图形知另一条切线方程为x=-1.

解7:利用切线与圆只有一个公共点的性质

设所求圆的切线方程为

y=kx+b

代入x2+y2=1中, 整理得

(k2+1) x2+2kbx+b2-1=0. (2)

因为直线和圆相切, 它们只有一个公共点, 所以方程 (2) 有两相等实数根, 所以Δ=0, 即 (2kb) 2-4 (k2+1) (b2-1) =0, 所以

k2-b2+1=0 (3)

又因为切线过P2 (-1, -2) 点, 所以由 (1) 得 k=b+2 (4)

解 (3) 、 (4) , 得$b=-\frac{5}{4},k=\frac{4}{3}$代入 (1) 得3x-4y-5=0, 再结合图形知另一条切线方程为x=-1.

解8:利用参数方程

设所求切线的参数方程为

代入方程x2+y2=1中, 消去x、y, 整理得

t2-2 (cosθ+2sinθ) t+4=0.

因为直线和圆相切

所以Δ=4 (cosθ+2sinθ) 2-16=0,

即 (cosθ+2sinθ) 2=4.

因为cos2θ+4sinθcosθ+4sin2θ=4 (sin2θ+cos2θ) ,

所以cosθ (3cosθ-4cosθ) =0.

所以cosθ=0或3cosθ-4sin=0,

即$\tan \theta =\frac{3}{4}.$

因为θ∈ (0, π) ,

从 (1) 用代入法消去参数t得

(x+1) sinθ-ycosθ-2cosθ=0, (3)

将 (2) 中sinθ, cosθ的值代入 (3) 即得所求圆的切线方程为3y-4y-5=0和x=-1.

解9:利用两条直线重合的条件

设所求直线与圆相切于P (x1, y1) , 则切线方程为x1x+y1y=1 (1)

因为切线过点P2 (-1, -2) 和P1 (x, y1) , 所以根据两点式所求切线的方程可表示为

$\frac{y-y{}_1}{-2-y{}_1}=\frac{x-x{}_1}{-1-x{}_1},$

即 (2+y1) x- (1+x1) y+y1-2x1=0 (2)

因为 (1) 、 (2) 表示同一条直线, 所以根据两条直线重合的条件, 得

$\frac{x{}_1}{2+y{}_1}=\frac{y{}_1}{-(1+x{}_1)}=\frac{-1}{y{}_1-2x{}_1},$

解得

$\{\begin{array}{l}x{}_1=-1,\\ y{}_1=0；\end{array}\{\begin{array}{l}x{}_2=\frac{3}{5},\\ y{}_2=\frac{4}{5}.\end{array}$

代入 (1) 或 (2) 即得所求圆的切线方程同上.

解10:利用过圆外一定点的圆的切线方程

因为过定点 (x1, y1) 向圆x2+y2=r2引两条切线的方程为 (x${}_1^2$+y${}_1^2$-r2) · (x2+y2-r2) = (x1x+y1y-r2) 2 (推导省略)

所以过点P2 (-1, -2) 的圆x2+y2=1的切线方程为 (1+4-1) · (x2+y2-1) = (-x-2y-1) 2.

化简整理, 得

3x2-2 (2y+1) x- (4y+5) =0.

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}x=\frac{(2y+1)\pm 2\sqrt{(y+2){}^2}}{3}\\ =\frac{(2y+1)\pm 2(y+2)}{3}.\end{array}$

所以$x=-1,x=\frac{4y+5}{3}$故所求圆的切线方程为x=-1和3x-4y-5=0.

最后必须引起注意的是, 本题中的一条切线x=-1是和y轴平行的.由于一切平行于y轴的直线的斜率都是不存在的, 因而解5、解6、解7开始只求出一条切线方程3x-4y-5=0, 而另一条平行于y轴的切线x=-1就遗漏了.遇到这种情形时, 必须结合图形找到另一解, 切不可疏忽大意.