不等式的基本性质练习

不等式的基本性质练习（精选12篇）

1.不等式的基本性质练习 篇一

不等式的基本性质——教学反思

石河子师范学校 王魁

北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级下册

本节课我采用从生活中创设问题情景的方法激发学生学习兴趣，采用类比等式性质的方法，引导学生自主探究，教给学生类比，猜想，验证的问题研究方法，培养学生善于观察、善于思考的学习习惯。

活动

一、通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点进入数学课堂，也为学习新知识做好准备。在这一环节上，留给学生思考的时间有点少。

从学生的生活经验出发，让学生感受生活中数学的存在，不仅激发学生学习兴趣，而且可以让学生直观地体会到在不等关系中存在的一些性质。这一环节上展现给学生一个实物，使学生获得直观感受。

问题2的设计是为了类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想方法中类比思想的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。在这个环节上，我讲得有点多，在体现学生主体上把握得不是很好，在引导学生探究的过程中时间控制的不紧凑，有点浪费时间。

让学生比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，这样不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握知识、发展学生的辨证思维。

让学生通过构图反思，进一步引导学生反思自己的学习方式，培养他们归纳，总结的习惯，让学生自主构建知识体系，激起学生感受成功的喜悦。

活动

三、通过两个题帮助学生应用提升，第一题以判断得形式让学生体验不等式性质的简单应用，第二题是利用性质化简不等式成“x>a”或“x

整节课在运用符号语言的过程中，学生会出现各种各样的问题与错误，因此在课堂上，我特别重视对学生的表现及时做出评价，给予鼓励。这样既调动了学生的学习兴趣，也培养了学生的符号语言表达能力。本节课，我觉得基本上达到了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把握得不错。其中还存在不少问题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步的完善自己的课堂。

2.不等式的基本性质练习 篇二

义务教育课程标准教科书数学 (人教版) 八年级上册150页第12题:等腰三角形两底角的平分线相等吗?两腰上的中线呢?两腰上的高呢?证明其中的一个结论.显然, 等腰三角形两底角的平分线相等, 两腰上的中线相等, 两腰上的高也相等。它们都很容易用全等三角形证明.由此我们很自然地思考与它们相反的问题:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条中线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条高相等的三角形是等腰三角形吗?经过探究会得到结论:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形, 有两条高相等的三角形也是等腰三角形.但是证明上述命题, 有难有易.我们很容易用全等三角形证明“有两条高相等的三角形是等腰三角形”, 但是用全等三角形证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形”却比较困难.令我欣喜的是有学生还根据“三角形的面积等于底乘高的一半”, 很方便地用等式性质证明了“有两条高相等的三角形是等腰三角形, 等腰三角形两腰上的高相等”。这就启发我们, 也可以用等式的性质证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形的两底角的平分线相等, 等腰三角形两腰上的中线相等”。

上面的命题的题设和结论都很简单, 分别是三角形角平分线的关系、中线的关系、边之间的关系.如果能得到三角形的中线、角平分线与三角形的三边关系式, 就有可能用等式的性质证明上述命题。

二、三角形的中线、角平分线与三角形三边的关系的公式推导

1、证明余弦定理.

如图1, 在△A BC中, A B=c, BC=a, CA=b, 过点B作BD⊥A C, 垂足为D。在△A BD中, BD=A Bsin A=csin A, A D=A Bcos A=ccos A, CD=A C-A D=b-ccos A。在△BCD中, 用勾股定理得, BC2=BD 2+D C2= (csin A) 2+ (b-ccos A) 2=b2+c2-2bccos A, 即a2=b2+c2-2bccos A.如果垂线段BD不在三角形内部, 同样可以得到结论。

2、证明三角形中线与三边的关系.

如图2, 在△A BC中, A M是中线, 三边BC=a, A C=b, A B=c.由余弦定理得:AM2=AB2+BM2—2AB×BM×cos B=c2+ (2—1a) 2-2*21a*c*2aca2+c2-b2=c2+41a2-21 (a2+c2-b2) =41 (2b2+2c2-a2) 。即得中线A M=Ma=21

3、证明角平分线与三边的关系.

三、等腰三角形的有关性质与判定的证明

1、等腰三角形两腰上的中线相等

如图3, 在△A BC中, AB=AC, BD和CE是两腰上的中线.根据公式得:。又b=c, 所以BD=CE。

2、有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形

如图3, 在△A BC中, BD和CE分别是两边A C、A B上的中线, 且BD=CE.根据公式得:

即AB=AC。

3、等腰三角形两底角的平分线相等

如图4在△A BC中, A B=A C, BD和CE是两底角的平分线。根据公式得, 又b=c, 所以, BD=CE。

4、有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形

如图4, 在△A BC中, BD和CE分别是∠A BC和∠A CB的角平分线, 且BD=CE.根据公式得

3.第21讲 不等式的基本性质 篇三

不等式的基本性质与一元二次不等式式不等式是高中数学的重要内容和基础内容，是分析、解决有关数学问题的基础与工具，也是高考考查的重点，在近几年高考中，有关不等式的试题都占有较大的比重， 考查内容中不仅有不等式的基本性质、二次不等式的求解、求证、恒成立问题，而且容易与集合问题、二次方程和二次函数、三角、数列、复数、立体几何、解析几何等进行综合，形成中档或难题.

命题特点

不等关系常伴随函数、数列、立体几何、解析几何或实际问题进行考查，高考中考查不等式的性质多以选择、填空形式出现.而对于一元二次不等式，一般采用以下两种形式考查：一是考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题，二是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题.

1. 比较代数式（值）的大小

例1 已知[x，y∈R]， 比较[x2-xy+y2]和[x+y-1]的大小.

解析 [（x2-xy+y2）-（x+y-1）] [=（x2-x）+（y2-y）-xy+1]

[=12（2x2-2x+2y2-2y-2xy+2）]

[=12（x2-2x+1+y2-2y+1+x2+y2-2xy）]

[=12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]].

∵[（x-1）2≥0]，[（y-1）2≥0]，[（x-y）2≥0]，

∴[12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]≥0].

∴[x2-xy+y2≥x+y-1].

点拨 作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.

2. 不等式性质的应用

例2 对于实数[a ，b ，c]，判断以下命题的真假.

（1）若[a>b]， 则[ac>bc]；

（2）若[ac2>bc2]，则[a>b]；

（3）若[aab>b2]；

（4）若[a|b|]；

（5）若[a>b]，则[ab>1]；

（6）若[a>b]且[1a>1b]， 则[a>0 ，b<0]；

（7）若[a>b]，则[a3>b3]；

（8）若[a>b]，则[|a|>b].

解析 （1）因为[c]的符号不定，所以无法判定[ac]和[bc]的大小，故原命题为假命题.

（2）因为[ac2>bc2]， 所以[c≠0]， 从而[c2>0]，故原命题为真命题.

（3）①因为[aab.]②又[ab2].综合①②得[a2>ab>b2]，故原命题为真命题.

（4）两个负实数，绝对值大的反而小.故原命题为真命题.

（5）当[b≤0]时，[ab>1]不成立，故原命题为假命题.

（6）因为[a>b，1a>1b，?a-b>0，1a-1b>0，?b-a<0，b-aab>0，]所以[ab<0].

又因[a>b]，所以[a>0，b<0].故原命题为真命题.

（7）因为[y=x13]的函数在[R]上单调递增，故原命题为真命题.

（8）因为[a≥a，a>b]，所以[a>b]，故原命题为真命题.

点拨 判定不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式时常用赋值法.

3. 不等关系在实际问题中的应用

例3 甲乙两车从[A]地沿同一路线到达[B]地，甲车一半时间的速度为[a]，另一半时间的速度为[b]；乙车用速度为[a]行走一半路程，用速度[b]行走另一半路程，若[a≠b]，试判断哪辆车先到达[B]地.

解析 设从[A]到[B]的路程为[S]，甲车用的时间为[t1]，乙车用的时间为[t2]，则[t12a+t12b=S，]

[∴t1=2Sa+b，t2=S2a+S2b=S2（1a+1b）]，

[∵2Sa+b-S21a+1b=2Sa+b-（a+b）S2ab] [=4abS-（a+b）2S2ab（a+b）=-（a-b）2S2ab（a+b）<0]，

所以甲车先到达[B]地.

4. 二次不等式的解法

例4 设不等式[x2-2ax+a+2≤0]的解集为[M]，如果[M?[1，4]]，求实数[a]的取值范围.

解析 [M?[1，4]]有三种情况：其一是[M=?]，此时[Δ<0]；其二是[M≠?]，此时[Δ>0]与[Δ=0]，所以分三种情况计算[a]的取值范围.

设[f（x）=x2-2ax+a+2]，

∴[Δ=（-2a）2-（4a+2）=4（a2-a-2）=4（a+1）a-2）].

（1）当[Δ<0]时，[-1

（2）当[Δ=0]时，[a=-1]或[2].

若[a=-1]，则[M=-1?][[1，4]].

若[a=2]，则[M=2?[1，4]].

（3）当[Δ>0]时，[a<-1]或[a>2].

设方程[f（x）=0]的两根[x1，x2]，且[x1

那么[M=[x1，x2]]，[M?[1，4]]，[?][1≤x10，]

即[-a+3>0，18-7a>0，a>0，a<-1或a>2，]解得，[2nlc202309032007

综上，[M?[1，4]]时，[a]的取值范围是[（-1，187]].

点拨 本题表面上是解二次不等式，实质上是二次方程的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在.

5. 二次不等式恒成立问题

例5 设函数是定义在[（-∞，+∞）]上的增函数，如果不等式[f（1-ax-x2）

解析 [∵f（x）]是增函数，

[∴f（1-ax-x2）

[?1-ax-x2<2-a]对于任意[x∈[0，1]]恒成立.

[?x2+ax+1-a>0]对于任意[x∈[0，1]]恒成立.

令[g（x）=x2+ax+1-a]，[x∈[0，1]]，

所以原问题[?g（x）min>0].

又[g（x）min=g（0）， a>0，g（-a2），-2≤a≤0，2， a<-2，]

即[g（x）min=1-a， a>0，-a24-a+1，-2≤a≤0，2， a<-2，]易求得[a<1].

点拨 本题考查数学化归转化的数学思想：利用函数的单调性把原不等式问题转化为[1-ax-x2<2-a]；将对于任意[x∈[0，1]]，[1-ax-x2<2-a]恒成立转化为二次函数的区间最值求解.

备考指南

备考过程中，要求学生熟练掌握不等式的性质与二次不等式的基础知识方法，将数学各部分知识融会贯通，同时注重对解题方法的总结，领悟不等式作为一个工具在解决数学问题（包括实际问题）中的重要性.

1. “差比较法”的依据[a>b?a-b>0]，其中变形是关键，常进行通分、因式分解、配方或分子（母）有理化等.

2. 求代数式的范围时常用“待定系数法”，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围，这样才能确保范围不大不小.

3. 一元二次不等式[ax2+bx+c>0][（a≠0）]的解集的确定受[a]的符号、[b2-4ac]的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象，数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为[ax2+bx+c>0（或<0）]（其中[a>0]）的形式，其对应的方程[ax2+bx+c=0]有两个不等实根[x1，x2（x10]），则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.

4. “二次型”函数（不等式）中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；另外解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论，若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.

限时训练

1.设[a=0.512，b=0.914，c=log50.3]，则[a，b，c]的大小关系是 （ ）

A. [a>c>b] B. [c>a>b]

C. [a>b>c] D. [b>a>c]

2.已知函数[f（x）=x（1+a|x|）]. 设关于[x]的不等式[f（x+a）

A.[1-52，0] B.[1-32，0]

C. [1-52，0?0，1+32] D.[-∞，1-52]

3.已知[a<0，-1

A. [a>ab>ab2] B. [ab2>ab>a]

C. [ab>a>ab2] D. [ab>ab2>a]

4、设变量[x，y]满足约束条件[x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0，]则目标函数[z=2x+3y+1]的最大值为 （ ）

A.11 B.10 C.9 D.8.5

5. 已知[a，b∈R，且a>b]，则下列不等式中一定成立的是 （ ）

A. [ab>1] B.[a2>b2]

C.[lg（a-b）>0] D. [（12）a<（12）b]

6.已知不等式[f（x）=ax2-x-c>0]的解集为[{x-2

[A] [B] [C] [D]

7.在[R]上定义运算[?]：[x?y=x（1-y）].若不等式[（x-a）?（x-b）>0] 的解集是[（2，3）]，则[a+b=] （ ）

A. [1] B. [2] C. [4] D. [8]

8.如果[a

A. [1a<1b] B. [ab

C. [-ab

9. 已知不等式[ax2-bx-1≥0]的解集是[-12，-13]，则不等式[x2-bx-a<0]的解集是 （ ）

A.（2，3） B. [（-∞，2）∪（3，+∞）]

C. [（13，12）] D. [（-∞，13）∪（12，+∞）]

10.关于[x]的不等式[x2-（a+1）x+a<0]的解集中，恰有[3]个整数，则[a]的取值范围是 （ ）

A.[（4，5）] B.[（-3，-2）?（4，5）]

C.[（4，5]] D.[[-3，-2）?（4，5]]

11.不等式[x2+x-2<0]的解集为___________.

12.若[1

13.若不等式[x2+ax+4≥0]对一切[x∈（0，1]]恒成立，则[a]的取值范围是________.

14.已知[f（x）]是定义在[R]上的奇函数.当[x>0]时，[f（x）=x2-4x]，则不等式[f（x）>x]的解集用区间表示为________.

15.甲厂以[x]千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求[1≤x≤10]），每小时可获得利润是[100（5x+1-3x）]元.

（1）要使生产该产品[2]小时获得的利润不低于[3000]元，求[x]的取值范围；

（2）要使生产[900]千克该产品获得利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

16.已知[x，y]为正实数，满足[1≤lgxy≤2，3≤lgxy][≤4]，求[lg（x4y2）]的取值范围.

17.解关于[x]的不等式[（1-ax）2<1].

18.解关于[x]的不等式[ax2-（a+1）x+1<0].

4.高中不等式的基本性质知识点 篇四

1．不等式的定义：a-b>0

a>b, a-b=0

a=b, a-b<0

a

①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

如证明y=x3为单增函数，设x1, x2∈(-∞,+∞), x1

+x22]

再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)

2．不等式的性质：

①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有：

(1)a>bb

(2)a>b, b>ca>c(传递性)

(3)a>ba+c>b+c(c∈R)

(4)c>0时，a>bac>bc

c<0时，a>bac

运算性质有：

(1)a>b, c>da+c>b+d。

ac>bd。(2)a>b>0, c>d>0(3)a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。

(4)a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

5.《不等式及其基本性质》教案2 篇五

【教学内容】

课本上不等式的五个基本性质，并学会应用.【教学目标】

1、掌握不等式的五个基本性质并且能正确应用.2、经历探究不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题和解决问题的能力.3、开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值.【重点难点】

重点：理解不等式的五个基本性质.难点：对不等式的基本性质3的认识.【教学方法】

本节课采用“类比－实验－交流”的教学方法.【教学过程】

一、回顾交流.1、等式的基本性质 解一元一次方程的基本步骤

2、问题牵引：

用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律：

（1）5>3，5+2

3+2，5－2 3－2 ；

（2）–1<3，-1+2 3+2，-1－3 3－3 ；

结果：

（1）>、>（2）<、< 根据发现的规律填空：

当不等式两边加或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向______

3、继续探究，接着又出示（3）、（4）题： 5 2×5，6×（3）6＞2，6×（-5）

2×（-5），6 3×6，（4）2<3，（-2）×（-2）×（-6）

3×（-6）.得到：

当不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变； 当不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.总结出不等式的性质： 不等式的性质1：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.c

> b±c 字母表示为：如果a＞b，那么a±不等式的性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.字母表示为：如果a>b，c>0那么ac

> bc，不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.字母表示为：如果a＞b，c＜0那么ac

< bc，不等式的对称性：如果a>b，那么bb，b>c，那么a>c

二、范例学习，应用所学.1、利用不等式的性质解下列不等式．（1）x-7＞26

（2）3x<2x+1（3）3x﹥50

（4）-4x﹥3

22、逐题分析得出结果.（1）x-7＞26 分析：解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x﹥a或x﹤a的形式．

解：（1）为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得 x-7+7﹥26+7 x﹥33（2）3x<2x+1

为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等号的方向不变.3x-2x﹤2x+1-2x x﹤1 通过两小题得到：解不等式时也可以“移项”，即把不等式的一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．（3）3x ﹥50 2为了使不等式 32x﹥50中不等号的一边变为x，根据不等式的性质２，不等式的两边都乘

23不等号的方向不变，得 x﹥75（4）-4x﹥3

6.等式的基本性质说课稿 篇六

一、教材分析

第十一章《一元一次不等式和一元一次不等式组》是在学习了数轴、等式性质、解一元一次方程、一次函数的基础上，从研究不等关系入手，展开对不等式的基本性质、不等式的解集、解一元一次不等式(组)、一元一次不等式与一次函数的研究学习。本课题为第十一章第二节《不等式的基本性质》。它在教材中起着承上启下的作用。关于它的学习以等式的基本性质为基础，它是学生以后顺利学习一元一次不等式和一元一次不等式组的解法的重要理论依据，是学生后继学习的重要基础和必备技能。

二、教学目标

知识目标：

1、经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

2、掌握不等式的基本性质，运用不等式的基本性质将不等式变形。

能力目标：

1、培养学生类比、归纳、猜想、验证的数学研究方法。

2、发展学生的符号表达能力、代数变形能力。

3、培养学生自主探索与合作交流的能力。

情感目标：让学生感受生活中数学的存在，并且在自主探索、合作交流中感受学习的乐趣。

三、教学重点和难点

重点：掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形

难点：不等式基本性质3的运用

四、教法分析

活动是影响人发展的决定性因素，学生的学习只有通过自主活动并从中体验、感悟、建构自己的知识经验，培养积极的学习情感，才能得到自身的发展。但学生主动参与学习活动的方向，活动过程的积极化离不开教师的“导”。本节课我采用从生活中创设问题情景的方法激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动。在整个探究学习的过程充满师生之间，生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。

五、学法分析

“教为不教，学为会学”，“授之以鱼”更要“授之以渔”。在教的过程中，关键是教学生的学法，本节课教给学生类比，猜想，验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。

六、教学过程分析

(一)本节教学将按以下五个流程展开：

回顾思考，引入课题

创设问题情景，探索规律

尝试练习，应用新知

总结反思，获得升华

布置作业，深化巩固

(二)教学过程

1、回顾思考，引入课题

观察下面两个推理，说出等式的基本性质

(1)∵a=b

∴a±3=b±3

a±(x2+2y)=b±(x2+2y)

(2)∵a=b

∴3a=3b

-a/4=-b/4

提出问题：那么不等式有没有类似的性质呢?引入课题。

[设计意图：“有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始”。不等关系与相等关系有着辨证的关系。学生已经在六年级上册学习了等式的基本性质，因此，要类比等式的基本性质进行不等式基本性质的教学。课堂开始通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点，使学生进入一种“心求通而未得，口欲言而未能”的境界，使他们有兴趣的进入数学课堂，为学习新知识做好准备。]

2、创设问题情景，探索规律

问题1：在天平两侧的托盘中放有不同质量的砝码。

右低左高说明右边的质量大于左边的质量。往两盘中加入相同质量的砝码，天平哪边高，哪边低?减去相同质量的砝码呢?(拿一个天平让学生亲手操作，获得直观感受)

[设计意图：数学源于生活，问题1的设计是为了从学生的生活经验出发，让学生感受生活中数学的存在，不仅激发学生学习兴趣，而且可以让学生直观地体会到在不等关系中存在的一些性质]

问题2：在不等式的两边加上或减去相同的数，不等号的方向改变吗?

如不等式7>4,-1<3不等式的两边都加5，都减5。不等号的方向改变吗?你能得出什么结论?再举几例试试，验证你所得的结论正确吗?(让学生先独立思考，后合作交流)

一般学生会得到：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。

这时可提出问题：把“数”的范围扩大到整式可以吗?

学生讨论可能得出结论：可以，因为整式的值就是实数。

让学生归纳总结：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。(教师板书：不等式的基本性质1)

引导学生说出符号语言：

如果a

如果a>b，那么a+c>b+c,a-c>b-c(教师板书)

[设计意图：类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想

方法中类比思想的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，

让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。]

问题3：若不等式两边同乘以或除以同一个数，不等号的方向改变吗?

如不等式2<3，两边同乘以5，同除以5(即乘以1/5)，同乘以0，同乘以-5，同除以-5。你能得出什么结论?再举几例试试，验证你所得的结论正确吗?

(结合不等式基本性质1的探索方法，学生可能很快就探索出不等式的基本性质2、3)

让学生归纳总结：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;

不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

(教师板书：不等式的基本性质2，不等式的基本性质3)

引导学生说出符号语言：

如果a>b，c>0，那么ac>bc

如果a0，那么ac

如果a>b，c<0，那么ac

7.不等式的基本性质练习 篇七

众所周知，不等式有以下两种性质：a＞b，c＞da+c＞b+d；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.

将其运用到数列当中，就有如下结论：对于数列{an}，{bn}，其前n项和分别记为An，Bn，前n项积分别记为A′ n，B′ n.若满足an＞bn对任意的n∈N*均成立，则An＞Bn；若满足an＞bn＞0对任意的n∈N*均成立，则A′ n＞B′ n.

例1 求证：++…+＞（n∈N*）.

证明 设数列{an}的通项公式为an=，则其前n项和An=++…+；设数列{bn}的通项公式为bn=-=，则其前n项和Bn=.

易知＞，即an＞bn对任意的n∈N*均成立.

则An＞Bn，即++…+＞对任意的n∈N*都成立.

例2 求证：1+•1+•1+•…•1+＞（n∈N*）.

证明 设数列{pn}的通项公式为pn=，则其前n项积Pn=•••…•；设数列{qn}的通项公式为qn=，则其前n项积Qn=.

易得pn=＞0，qn=＞0，===＞1对任意n∈N*恒成立.

故pn＞qn＞0对任意的n∈N*恒成立，

则pn＞Qn，即•••…•＞对任意的n∈N*都成立.

通过上述证明可以看出，要借助此方法证明数列不等式，需要所证数列不等式的两边都可以表示成数列的和（或积）.解决这类数列不等式的关键在于根据所要证明的数列不等式恰当构造两个数列，通过两个数列的通项建立不等关系，然后利用不等关系的可加性（或可乘性）达到解决问题的目的.

1. 求证：1+++…+＜ 2-（n∈N*）.

2. 求证：1+++…+＜n（n∈N*）.

3. 求证：（1+1）•1+•1+•…•1+

＞（n∈N*）.

1. 提示：＜（n∈N*，n≥2）.

2. 提示：+++…+＜1（n∈N*）.

8.不等式的基本性质练习 篇八

不等式和它的基本性质

现实世界中的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。我们知道，相等关系可以用等式来表示，不等关系怎样来表示呢？我们来看下面的式子：

－7＜－5，3＋4＞1＋4，5＋3≠12－5，a≠0，a＋2＞a＋1，x＋3＜6

这些式子含有不等号“＜”“＞”，“≠”，像上面用不等号表示不等关系的式子，叫不等式。

我们再来看上面的最后一个不等式x＋3＜6，请同学们研究何时这个不等式成立？ 练习：

1、用小于号“＜”或大于号“＞”填空:

(1)4－6(2)－10(3)–8－3(4)–4.5－4

2.用小于号“＜”或大于号“＞”填空:

(1)7＋34＋3(2)7＋(－3)4＋(－3)

(3)7×34×3(4)7×(－3)4×(－3)

3.用不等式表示:

(1)a是正数;(2)a是负数

(3)a与6的和大于5;(4)x与2的差小于－1

(5)a的4倍大于7(6)y的一半小于3

一般地说,不等式有下面三条性质:

不等式的基本性质1不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质1不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质1不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.例1.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式:

(1)x－2＜3(2)6x＜5x－1(3)2x＞5(4)–4x＞3.例2.设a＞b,用“＜”或”＞”号填空:

(1)a－3b－3(2)2a2b(3)–4a－4b

练习:

1.解下列不等式,并把它们的解集在树轴上表示出来:

(1)5x＞－10(2)－3x＋12＜0

(3)x3＞3;(4)x＜－3 25

(5)8x－1＞6x＋5(6)3x－5＜1＋5x

9.基本不等式练习题 篇九

一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若aR，下列不等式恒成立的是（）

A．a21aB121C．a296aD．lg(a1)lg|2a| 2a

12.若0ab且ab1，则下列四个数中最大的是（）

Ａ．1Ｂ．

2xa2b2Ｃ．2abＤ．a3.设x>0,则y33x的最大值为（）

Ａ．3Ｂ

．3 Ｃ．

3Ｄ．－1

4.设x,yR,且xy5,则3x3y的最小值是()

A.10

B.C.D.5.若x, y是正数，且141，则xyxy有（）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值11 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1616

6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）

A．a2b2c22B．(abc)23

C

．1

a1

b1

cD

．abc7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）

A．11111B．1C

2D．1 xy4xyxy

8.a,b是正数，则

Ａ

．

ab,22ab三个数的大小顺序是（）ab ab2abab2abＢ

．2ab2ab

2ababＤ

．ab22ababab2Ｃ

．9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）

Ａ．xpqpqpqpqＢ．xＣ．xＤ．x 2222

10.下列函数中，最小值为4的是（）

Ａ．yxＢ．ysinx

x

Ｃ．yex4eＤ．

x

4(0x)sinx

ylog3x4loxg 3

二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.11.函

数y的最大值为12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和

池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为_________元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。（1）若a、b∈R，则

baba

＋≥2＝2（）abab



（2）若x,yR，则lgx＋lgy≥2lgxlgy（）

（3）若x0，则x＋

4≥－2x＝－4（）xx

（4）若x∈R，则2x＋2x≥22x2x＝2（）

三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出

必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15..16.设a, b, c(0,),且a+b+c=1，求证：(1)(1)(1)8.a

1b

1c

17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;的最小值.18.2）求ab

ab

（基本不等式

1.若a,bR，则aba

b2

2（当且仅当ab时取“=”）

2.若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）

3.若

x0，则

x

2(当且仅当x

x1时取“=”）;若x0，则x12(当且仅当

x

x1时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植

时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x＋

12x

（2）y＝x＋

x

解：（1）y＝3x＋

2≥22x

3x·

2＝2x

6∴值域为[6，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2

x

1x· ＝2；

x

x· =－2

x

当x＜0时，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2

xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1.已知2.当3.若

4已知

时，求

x，求函数y4x2

1的最大值 4x

5yx(82x)的最大值。

x,yR且2xy1，求

11的最小值 xy

a,b,x,yR且

ab

1，求xy

xy的最小值

应用二：利用均值不等式证明不等式

5.已知

6.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

7.已知a、b、cR，且



a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

111

abc1。求证：1118

abc

应用三：均值不等式与恒成立问题

8.已知

x0,y0且

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy

应用四：实际应用题及比较大小

1ab)，则P,Q,R的大小关系是例：若ab1,Palgb,Q(lgalgb),Rlg（22

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0Q（lgalgb)algbp

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

10.基本不等式专项练习题高中数学 篇十

一、选择题

1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是

A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1

C．2x＋2－x D．x(1－x)

答案：C

2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()

A．32－3 B．－3

C．62 D．62－3

解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)3(22－1)＝62－3.

3．已知m、nR，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()

A．200 B．100

C．50 D．20

解析：选A.m2＋n22mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．

4．给出下面四个推导过程：

①∵a，b(0，＋)，ba＋ab2baab＝2；

②∵x，y(0，＋)，lgx＋lgy2lgxlgy；

③∵aR，a0，4a＋a 24aa＝4；

④∵x，yR，，xy＜0，xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]－2－xy－yx＝－2.

其中正确的推导过程为()

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．

①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；

②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；

③∵aR，不符合基本不等式的条件，

4a＋a24aa＝4是错误的；

④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．

5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()

A．2 B．22

C．4 D．5

解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

A．最大值64 B．最大值164

C．最小值64 D．最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，

当且仅当8x＝2y时等号成立．

xy64.

二、填空题

7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．

答案：1

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．

解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.

答案：大 116

9．(高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．

解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.

当且仅当x3＝y4时取等号．

答案：3

三、解答题

10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；

(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．

解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.

y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5

2 x＋14x＋1＋5＝9，

当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．

x＝1时，函数的.最小值是9.

(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1

＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.

(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.

当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，

y有最小值8.

11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.

证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，

1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，

同理1b－12acb，1c－12abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.

当且仅当a＝b＝c时取等号．

12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．

总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200

＝800(x＋225x)＋12000

1600x225x＋12000

＝36000(元)

当且仅当x＝225x(x＞0)，

11.不等式的性质 教案 篇十一

教材分析

这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．

教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．

教学目标

1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．

2.理解并掌握比较两个实数大小的方法．

3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．

任务分析

这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，通常要通过论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．

教学设计

一、问题情境

教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．

1.公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km／h，用不等式表达即为v≤40km／h． 2.某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元？

x·［80000－2000（x－25）］≥200000．

3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．

设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则

通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质．

二、建立模型 1.教师精讲，分析

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0的数．

一般地，设ａ，ｂ∈R，则 ａ＞ｂａ＝ｂａ＜ｂａ－ｂ＞0，ａ－ｂ＝0，ａ－ｂ＜0．

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．

2.通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质

（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？（3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来． 用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质： 定理1 如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ． 定理2 如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ． 定理3 如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ． 定理4 如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ； 如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ． 3.定理1～4的证明

关于定理1～4的证明要注意：（1）定理为什么要证明？

（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？（3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．

（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明．

4.考虑定理4的推论2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命题，得出定理5 定理5 如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．

由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

证法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0． ∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

证法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．

［练习］

1.判断下列命题的真假，并说明理由．（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．

（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．

四、拓展延伸

1.如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范围．

2.如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？为什么？

3.如果ａ＞ｂ＞0，那么吗？（其中为正有理数）

点 评

这篇案例从实际问题引入不等关系，由如何求非不等关系引入不等式的求法，进而点出教学的主题———不等式性质，由学生熟悉的实数性质，及现实生活中的常识，将语言表达转化为数学符号的一般表示，进而得出不等式的常见性质．通过对不等式的证明，使学生理解对数学定理证明的必要性，增强学生的逻辑推理能力．就整个教学设计的效果看，这种设计是成功的，尤其是由定理的应用，达到了对性质的理解和升华，巩固了教学的重点，效果比较理想．此外，这篇案例也十分关注由学生自主探究去开发其潜在能力，培养其发散思维能力．

12.不等式的基本性质练习 篇十二

《等式的基本性质》是五年级第二学期认识方程的第二、三课时。等式的基本性质是解方程的认知基础，也是解方程的重要理论依据，因此学习和理解等式的性质就显得尤为重要。这学期我们学习等式的两个性质，因此把等式两边同加的这条性质作为重点讲解内容，另一条性质在第一条性质之后，由学生通过观察、理解、操作等学习方法，共同探索得出结论，教师只是给予适时的点拨，总结。加法是学生学习计算的基础，因此在教学等式的性质一时，通过课件演示，第一层次，在天平两边同时放上同样的物品，并用等式表示（50=50）。第二层次，问：怎样在天平的两边增加砝码，使天平仍然保持平衡？得出两个等式50+10=50+10；50+20=50+20；……50+a=50+a问：你发现了什么？学生清楚地意识到：天平是否保持平衡，不是取决于放的物品是相同的，而是真正取决于所放物品的质量是否相同。也就是等式两边同时加上同一个数，所得的结果仍然是等式。这样的设计，将学生的思维引入到了对事物的本质探究上，使学生明确对知识的探索不要仅停留在表面，而要进行更深入的思考。教师在引导学生进行实验的同时，也注意到将等式与课件演示进行结合学生对于等式的同加性质有了更深入的理解，能够较为准确地概括出等式的性质。有了这样的学习基础，为学生更深入的研究等式的性质做了坚实的铺垫。在教学等式两边同减、同乘、同除的性质时，教师便逐渐放手，让学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证的过程中，积极参与验证自己的猜想，在实验的同时获得了成功的喜悦，感受到思考的乐趣，对等式的性质有初步的了解，为后面学习解方程奠定了良好的基础。