高中数学立体几何证明公式

2024-07-10

高中数学立体几何证明公式（12篇）

1.高中数学立体几何证明公式篇一

欢迎登录100测评网进行学习检测，有效提高学习成绩.§9.9 多面体欧拉公式的发现

（一）1．判断下列命题是否正确

（1）凸多面体是简单多面体.（）

（2）简单多面体是凸多面体.（）

（3）欧拉公式：V+F-E=2适用于所有多面体.（）

2．选择题

（1）一个凸十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其他的顶点处都有相同

数目的棱，则其他顶点各有棱（）

（A）1条（B）5条（C）6条（D）7条

（2）连接正十二面体各面中心，得到一个（）

（A）正六面体（B）正八面体（C）正十二面体（D）正二十面体

（3）已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F-V等于（）

（A）2（B）4（C）8（D）12

3．求证：任一简单多面体中，所有面的内角和：S=（V-2）2π，其中V是多面体的顶点数.4．正六面体各面中心是一个正八面体的顶点，求这个正六面体和正八面体的表面积之比.5．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：V=2F-4.本卷由《100测评网》整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提升.

2.高中数学立体几何证明公式篇二

高中教材中对二项分布、超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导过程, 现笔者给出一推导过程仅供读者参考.

预备公式1

iC $_{n}^{i}$ =nC $_{n - 1}^{i - 1}$ (n≥1) , 利用组合数计算公式即可证明.

预备公式2

Dξ=Eξ2- (Eξ) 2, 证明见教材.

预备公式3

C $_{n}^{0}$ C $_{m}^{k}$ +C $_{n}^{1}$ C $_{m}^{k - 1}$ +C $_{n}^{2}$ C $_{m}^{k - 2}$ +…+C $_{n}^{k}$ C $_{m}^{0}$ =C $_{n + m}^{k}$ (n, m, k∈N*, k≤n, k≤m) , 利用恒等式 (1+x) n+m= (1+x) n (1+x) m的二项展开式中xk的系数相等可证.

一、二项分布

在独立重复实验中, 某结果发生的概率均为p (不发生的概率为q, 有p+q=1) , 那么在n次实验中该结果发生的次数ξ的概率分布为:

E (ξ) = $\sum_{i = 0}^{n}$ iCinpiqn-i

= $\sum_{i = 1}^{n}$ iCinpiqn-i

= $\sum_{i = 1}^{n}$ nC $_{n - 1}^{i - 1}$ piqn-i (利用预备公式1可得)

=np $\sum_{i = 1}^{n}$ C $_{n - 1}^{i - 1}$ pi-1qn-i

=np (p+q) n-1

=np.

V (ξ) =Eξ2- (Eξ) 2

= $\sum_{i = 0}^{n}$ i2Cinpiqn-i-n2p2

= $\sum_{i = 1}^{n}$ niC $_{n - 1}^{i - 1}$ piqn-i-n2p2

=n $\sum_{i = 1}^{n}$ (i-1) C $_{n - 1}^{i - 1}$ piqn-1+n $\sum_{i = 1}^{n}$ C $_{n - 1}^{i - 1}$ piqn-i-n2p2

=p2n (n-1) $\sum_{i = 2}^{n}$ C $_{n - 2}^{i - 2}$ pi-2qn-i+

np $\sum_{i = 1}^{n}$ C $_{n - 1}^{i - 1}$ pi-1qn-i-n2p2

=p2n (n-1) (p+q) n-2+np (p+q) n-1-n2p2

=p2n (n-1) +np-n2p2

=np-p2n

=np (1-p) .

二、超几何分布

一批产品共N件, 其中有M件不合格品, 随机取出的n件产品中, 不合格数X的概率分布为:

其中l=min (n, M) .

E (x) = $\sum_{i = 0}^{l}$ $\begin{array}{l} i \frac{C_{Μ}^{i} C_{Ν - Μ}^{n - i}}{C_{Ν}^{n}} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ C $_{Μ - 1}^{i - 1}$ C $_{Ν - Μ}^{n - i}$

$= \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} C_{Ν - 1}^{n - 1}$ (利用预备公式3可得)

$\begin{array}{l} = \frac{n Μ}{Ν} . \\ V (x) = \end{array}$ $\sum_{i = 0}^{l}$ $\begin{array}{l} i^{2} \frac{C_{Μ}^{i} C_{Ν - Μ}^{n - i}}{C_{Ν}^{n}} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ $\begin{array}{l} i C_{Μ - 1}^{i - 1} C_{Ν - Μ}^{n - i} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ $\begin{array}{l} (i - 1) C_{Μ - 1}^{i - 1} C_{Ν - Μ}^{n - i} + \\ \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ $\begin{array}{l} C_{Μ - 1}^{i - 1} C_{Ν - Μ}^{n - i} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} (Μ - 1) \end{array}$ $\sum_{i = 2}^{l}$ $\begin{array}{l} C_{Μ - 2}^{i - 2} C_{Ν - Μ}^{n - i} + \\ \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} \end{array}$ $\sum_{i = 1}^{l}$ $\begin{array}{l} C_{Μ - 1}^{i - 1} C_{Ν - Μ}^{n - i} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} (Μ - 1) C_{Ν - 2}^{n - 2} + \frac{Μ}{C_{Ν}^{n}} C_{Ν - 1}^{n - 1} - (\frac{Μ n}{Ν})^{2} \\ = n \frac{Μ}{Ν} (1 - \frac{Μ}{Ν}) (1 - \frac{n - 1}{Ν - 1}) \end{array}$ .

3.几何推理与数学证明的教学策略篇三

【关键词】几何推理数学证明教学策略

1前言

有效教学指的是在教学活动中教师遵循一定的教育教学规律，采用各种方式和手段，以尽可能少的时间、精力、教学设施的投入，取得尽可能多的教学效果，实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需求而组织实施的活动。提高课堂教学效率是无数教育工作者的共同心愿和奋斗目标，时代要求我们构建一种新型的、高效率的课堂教学模式。教学有没有效益，并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学得好不好。因此，教学策略显得尤为重要。

2教学策略及其特点、分类

教学策略是实施教学过程中的教学思想、方法模式、技术手段这三方面动因的简单集成，是教学思维对其三方面动因的进行思维策略加工而形成的方法模式。

教学策略具有指向性、整合性、可操作性、灵活性、调控性、层次性等特点。所谓指向性，指教学策略是为实际的教学服务的，是为了达到一定的教学目标和教学效果。目标是教学整个过程的出发点。教学策略的选择行为不是主观随意的，而是指向一定目标的。所谓整合性，指教学过程是一个彼此之间相互联系、相互作用的整体，各个教学环节连接紧密，各个教学因素的变化都会起到牵一发而动全身的作用。所谓可操作性，指所有的教学活动并不是一成不变的，一成不变的教学只会让学生感觉枯燥乏味，影响教学效果，因此，必须从学生的整体出发不断调整适合学生的、学生易于接受的教育教学策略。所谓灵活性，指教师在教学活动中具有很强的调控权利，能够从学生的整体利益和教育教学效果出发，适当调整自己的教育教学方法策略，灵活地运用多种教学策略。所谓调控性，是教师在教育教学工作中的调控能力。每一位教师都有自己的教育教学策略和教学风格，最好的教育教学策略是真正适合大部分学生的方式方法，所以，教师在选择教育教学策略时的调控力显得更为重要。层次性指教学具有不同的层次，加涅把教学分为课程级、科目级、单元级和要案级四种水平。

根据各种教学策略的不同特点，可以将其分为产生式教学策略、替代式教学策略、独立学习与小组学习策略和竞争与合作学习策略。

3几何推理与数学证明的教学策略研究

几何推理和数学证明具有抽象性，并且对于毕业生来说，该部分所占分数比例较重，但是掌握了相关的方法策略确实很容易得分，因此，教师必须设计较为良好的教学策略，使学生在短时间内更好地掌握。

3.1讲授法

讲授法是指教师通过口头语言，辅助以板书、挂图、投影等媒体向学生传递语言信息的方法，是一种教师讲、学生听的活动。讲授法的优点是能在短时间内让学生获得大量系统的科学知识;缺点则是学生比较被动，师生都难以及时获得反馈信息，个别差异也很难全面照顾。因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位，所以首先要采用讲授法教学生，并在讲授的基础上归纳出“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求。例如定理：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。 “一划”就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分，如“直角三角形”“高线”“相似”。 “二画”就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。“三写”即能用符号语言表达，争取不丢分。

3.2演示法

演示法指借助实物、图片，或使用投影、电视、电影等手段，将要感知的过程或要学习的技能记录下来播放、演示，通过不同形式的直观化方式，增强学生的感性认识，或在已有理性认识的情况下，再通过感性材料深化理性认识的教学方法。借助现代教学媒体，如电影、电视、多媒体计算机等，可以化静态为动态，因而其逼真程度和直观程度更高。学生觉得几何抽象还因为几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤，因此必须采用演示的方法，使学生能够有一个全方位的理解。演示法的具体教学步骤：首先选择各种类型的证明题，根据方法利用进行分类，再将正确的、规范的解答步骤向学生演示，同时给予一道解题方法相似的题目加以巩固。

3.3训练和实践法

训练和实践法是让学生通过一系列设计好的实践活动来进行练习，运用所学知识解决同类任务，以增加技能的熟练程度或增加新能力的方法。使用这种方法的前提是假设学习者在练习之前已基本掌握了与某种训练有关的概念、原理和技能。现代多媒体技术、人工智能技术和虚拟现实技术可以为学习者创设逼真的学习和实践情境，使学习者在真实的情境中进行练习和实践。基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

4小结

教学策略是教学效果的重要影响因素，结合几何推理与数学证明问题的抽象性和考试相关要求提出的教学策略具有适应性、针对性、灵活性和快捷性。在教育教学工作中，结合学生实际情况，有针对性地创新教学策略，使学生易于接受、牢固记忆，不断促进教育教学工作更好发展。

【参考文献】

[1]和学新.教学策略的概念、结构及运用[J].教育研究.

[2]熊川武.反思性教学[M].上海：上海华师大出版社.

4.高中立体几何证明方法篇四

一、平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：

面面平行性质

//

a,

ab

//b)

线面平行性质

////



a

b

a//a//b

//

a



//

a//

2.线线、线面、面面垂直关系的转化：

在内射影a

则aOAaPOaPOaAO

l

线面垂直定义





a



la



ba a,ab







a a

面面垂直定义

l，且二面角l

成直二面角





3.平行与垂直关系的转化：

a//ba

a

b

a



//

面面平行判定2 面面平行性质

3ab

a//b

//a

a

4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：

二、三类角

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（0时，b∥或b

）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

5.如何理解高中几何证明篇五

与以往高中数学课程中的立体几何内容相比，《标准》中立体几何内容的变化主要表现在几何定位的变化，几何内容处理方式的变化以及几何内容的分层设计等方面。《标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能力等。在处理方式上，与以往点、线、面、体，从局部到整体展开几何内容的方式不同，《标准》按照整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程。立体几何内容分层设计，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。对于进一步的论证与度量则放在选修系列2中用向量处理。在处理立体几何的证明问题时，老师应从以下几个方面把握。

（1）立体几何中的证明始终是高中数学中的难点。

标准对立体几何内容是分层设计的。因此，立体几何中的证明也要分层，不能一步到位。

在立体几何初步中，首先，以长方体作为载体，给出了点、直线、平面的位置关系，以及一些基本的概念。通过直观感知、操作确认，归纳出了四个判定定理和四个性质定理，还有一个从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理。本部分明确给出的定理共有九个。四个判定定理：

① 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

② 如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

③ 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四个性质定理：

① 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

② 两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③ 垂直于同一平面的两条直线平行。

④ 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

（2）立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很直观的证明方法。

直线a、b垂直于同一平面，只有两种情况，直线a、b共面或者异面。如果是共面则直接转化为平面几何的问题，结论易证。如果是异面，则过B点作直线c与直线a平行，可得，直线c与直线a共面，且直线c也垂直于平面。因为直线b和直线c相交于点B，所以直线b和直线c也在同一个平面内。又因为过B点有两条直线b和c都垂直于平面，这与公理矛盾。所以原命题得证。

反证法使学生比较难理解的方法，老师可以通过上述这种直观的方法，来帮助学生理解这个定理的证明。

（3）要把握好立体几何初步中证明的“度”。

6.初二数学几何证明题篇六

2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

3.。如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。

4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。

5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？

6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。

1.求证四边形ABCD是菱形。

2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。

7.七年级下数学几何证明篇七

∴∠F＋∠E＝180°（两直线平行，同旁内角相等）

∵EF∥DC（已知）

∴∠E＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角相等）

∴∠F＝∠D（同角的补角相等）

又 ∵BC∥DE，（已知）

∴∠D＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角相等）

∵DC∥AB（已知）

∴∠B＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角相等）

∴∠B＝∠D（同角的补角相等）

∴∠F＝∠B（等量代换）

2、如图，已知AD∥BC，BCDBAD，试说明AB∥CD。

证明：AD∥BC

D1

2BCDBAD，12

3

4AB∥CD

CABBCD1BAD22题图

3.已知：CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°，求证：DA⊥AB.证明： CB⊥AB

B90 3题图

 CE平分∠BCD，DE平分∠CDA

1ADE,2BCE

∠1+∠2=90°

ADEBCE90 

A360BADCDCB90

 DA⊥AB.4、已知；如图 2-87，DF//AC，∠C＝∠D，求证：∠AMB=∠ENF

证明： DF//AC

ABDD

又∠C＝∠D

ABDC

 BD//CE

ENFDMN

又AMBDMN

∠AMB=∠ENF

5.如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG∥AB.C

证明：∠EFB+∠ADC=180°

又FDAADC180

FDABFE

EF∥AD

1EAD

又∠1=∠2

2EAD

8.2012高考数学几何证明选讲篇八

模块点晴

一、知识精要

值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑

6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似。

形与三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应

条直线平行于三角形的第三边。

1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；

（2）相似三角形周长的比等于相似比；

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。的比例中项。

两条切线的夹角。

二、方法秘笈

⒈几何证明选讲内容的考点虽多，主要还是集中在对圆的相关内容的考查，而圆中又主要以与切线有关的性质、圆幂定理、四点共圆这几个内容的考查为主。

⒉虽然本书内容主要是由原初三内容改编过来，而在初中，相关内容也已经删去，似乎教师教与学生学都有一定难度，但是由于学生经过两年的高中学习，逻辑性、严密性都有了较大的提高，只要教学得法，学生对这部分的学习应该并不会感到困难。

⒊紧扣课本中的例习题进行学习，重视各个定理的来龙去脉，理解其中渗透的重要的数学思想方法，因为高考试题中所采取的一些方法多来自课本中定理的证明方法及例习题的证明方法；

试题解析

一、选择题

例1.（2012北京、理科）如图.∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于

点E.则()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²

【解析】A。在ACB中，∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，所以CD理的CD

二、填空题

例1.（2012全国、文科）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D.过点C作BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点

F,AF3,FB1,EF

ADDB,由切割线定

CECB,所以CE·CB=AD·DB。

32,则线段CD的长为

【解析】如图连结BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A

A1，又∠B=∠B，CBF∽ABC，CBBFCBCF,,代入数值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行线等分线段定理得解得CD=

ACCD



AFFB,.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于

_______.PO交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知

PAPBPCPD,即1(12)(3-r)(3r),r

例3.（2012天津、理科）如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=

32，则线段CD的长为

【解析】∵AF=3，FB=1，EF=

432

ABAF，由相交弦定理得AFFB=EFFC，所以FC=2，FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

FCBD，BD=

2=

83，设CD=x，则AD=4x，再由切

割线定理得BD=CDAD，即x4x=（练习题

1.（2012湖北、理科）)，解得x=，故CD=

43.如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________。

答案：

22.（2012陕西、文理科）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB5。

三、解答题

例1(2012年全国新课标卷)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BCCF//BD//ADCDBFCF//ABAFBCBCCD

（2）BC//GFBGFCBD

BC//GFGDEBGDDBCBDCBCDGBD

O相交例2．（2012辽宁、文理科）如图，⊙O和⊙

于A,B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D

两点，连接DB并延长交⊙O于点E。

证明

（Ⅰ）ACBDADAB；（Ⅱ）ACAE。

例3.（2012江苏、理科）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结

BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．

求证：EC．

【解析】

9.初中数学几何证明中考知识点真题篇九

2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．

其中正确的结论个数为（）

A．4 B． 3

考点：四边形综合题．.分析： ①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；

②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S四边形BCDG=S四边形CMGN，易求后者的面积； ③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF； ④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；

⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．解答：解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴GM=CG，CM=

CG，∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=

CG2，故本选项错误；

③过点F作FP∥AE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，C．∴ 2 FP：BE=FP：

=1：D6．，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；

④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；

综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B．

10.高中数学立体几何证明公式篇十

初中几何证明题不但是学习的重点。而且是学习的难点，很多同学对几何证明题。不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写，这样，导致大部分的学生失去了几何学习的信心，虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁。一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整，教学中怎样才能把几何证明题的求解过程叙述清楚呢?根据教学经验，我在教学中是这样做的，希望与大家一起探讨。

(1)“读”——读题

如何指导学生读题？仁者见仁、智者见智，我们课题组结合我们的研究和本校学生的实际，将读题分为三步：第一步，粗读（类似语文阅读的浏览）。快速地将题目从头到尾浏览一遍，大致了解题目的意思和要求；第二步，细读。在大致了解题目的意思和要求的情况下，再认真地有针对性地读题，弄清题目的题设和结论，搞清已知是什么、需要证明的是什么？并尽可能地将已知条件在图形中用符号简明扼要地表示出来（如哪两个角相等，哪两条线段相等，垂直关系，等等），若题中给出的条件不明显的（即有隐含条件的），还要指导学生如何去挖掘它们、发现它们；第三步，记忆复述。在前面粗读和细读的基础上，先将已知条件和要证明的结论在心里默记一遍，再结合图形中自己所标的符号将原题的意思复述出来。到此读题这一环节，才算完成。

对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生。

(２)“析”——分析

指导学生用数学方法中的“分析法”，执果索因，一步一步探究证明的思路和方法。教师用启发性的语言或提问指导学生，学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认识活动，思考、探究，小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法。

(３)“述”——口述

学生学习小组推选小组代表，由小组代表分析自己那一组探究到的证明的思路和方法，口述证明过程及每一步的依据。我们知道学习语文、外语及其他语言都是从“说”开始学起的，那么学习几何语言，也可以尝试先“说”后写。特别是初一初二的学生，让他们先在小组内自主探索、讨论交流，弄清证题思路，然后再让学生代表口述证题过程，这对于训练学生应用和提高几何语言的表达能力很有好处。

(４)“择”——选择最简易的方法

在各位学生代表口述完解题过程后，教师引导学生比较、选择最简单的一种证题方法，这样做，不仅能帮助学生进一步理清证明思路、记忆相关的几何定理、性质，而且还增加了学生学习的兴趣和好奇心，从而激发学生学习的积极性和主动性。

(５)“演”——板演

在学生集体复述解题的基础上，教师板演上述解题过程，给学生作证题的书写示范，让学生体会怎样合理、规范、科学地书写证明过程。

(６)“练”——变式练习

变式，既是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方法。通过变式训练，在课堂上展现知识发生、发展、形成的完整认知过程。在教学实践中，笔者深深体会到：变式教学符合学生是认知规律，能有层次地推进，为学生提供一个求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则灵活应用道各种情景中去，培养学生灵活多变的思维品质，提高学生研究、探索问题的能力，提高数学素养，从而有效地提高数学教学效果。

因此，在学生获得某种基本的证法后，教师可以通过变式，改变问题中的条件，转换探求的结论，变化问题的形式或图形的形状位置等多种途径，指导学生从不同的方向、不同的角度、不同的层次去思考问题。

11.高中数学公式篇十一

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

12.中考数学经典几何证明题篇十二

（一）1.（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，E、F分别是AD、BC的中点，联结EF，分别交AC、BD于点M、N，试判断△OMN的形状，并加以证明；

（2）如图2，在四边形ABCD中，若ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；

（3）如图3，在△ABC中，ACAB，点D在AC上，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，与BA的延长线交于点M，若FEC45，判断点M与以AD为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．B

(4)观察图

1、图

2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、ＣH这样的线

段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.3.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=在线段BC上（不与B，C重合）运动，其他条件不变时

BC；③当D

2BH

是定值；④当D在线段BC上（不与B，C重合）BD

BCEC

运动，其他条件不变时是定值；

（1）其中正确的是-------------------；（2）对于（1）中的结论加以说明；

图 1图2图

32．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD

于点H，试证明CH=EF+EG;

图

(2)若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于

点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

BCD

4.在△ABC中，AC=BC，ACB90，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

D F

C B

图

5.如图12，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．

证明．

8.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE

上，且AQ∥PC．(1)证明：PC＝2AQ．

(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．

6.如图。，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G。

探究：线段FG的长与△ABC三边的关系，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。①可画出将△ADF沿BD折叠后的图形； ②将CE变为△ABC的内角平分线。(如图2)

附加题：探究BD、CE满足什么条件时，线段FG的长与△ABC的周长存在一定的数量关系，并给出证明。

9.两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．

（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______和位置关系为______；

（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；

（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.CH

A图3 图1 图

27.在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．

(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予

10.已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放

在D处．

(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．

(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E．设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

2、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，若AB＝kAC，试探究BE与CF的数量关系。

3、如图，在△ABC和△PQD中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连接EQ交PC于点H。猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想，若证明有困难，则可选k＝1证明之。

4、在△ABC中，O是AC上一点，P、Q分别是AB、BC上一点，∠B＝45°，∠POQ＝135°，BC＝kAB，OC＝mAO。试说明OP与OQ是数量关系，选择条件：（1）m＝1，（2）m＝k＝1。

2011年中考几何经典证明题

（二）1、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E为CB延长线上一点，且∠EAB＝∠BAD，设DC＝kBD，试探究EC与EA的数量关系。

5、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，∠CAD＝∠B，AC＝kAB，E在AD延长线上,∠CED＝∠ADB，探究AE与AD的关系。

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