必修五数学解三角形知识点

必修五数学解三角形知识点（精选10篇）

1.必修五数学解三角形知识点 篇一

解三角形复习课

（一）沅陵七中 黄有圣

2016.12.3 ●教学目标

知识与技能：1.梳理解三角形的知识点，及时查找知识点的漏洞，建立知识之间的联系，形成知识体系。

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。

过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确解三角形，帮助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验

●教学重点

1.正弦定理，余弦定理的掌握。

2.应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。

●教学难点

让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。●教学过程（课件上课）【复习导入】 1． 正弦定理: abc2R（2R可留待学生练习中补充）sinAsinBsinC111absinCbcsinAacsinB.222 S余弦定理 ：a2b2c22bccosA b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

222222a2b2c2bcaacb求角公式：cosA cosB cosC

2ab2bc2ac 2．思考：各公式所能求解的三角形题型？

正弦定理: 已知两角和一边、两边和其中一边的对角，求其他边角

余弦定理 ：已知两边和夹角、已知三边、两边和其中一边的对角，求其它边角

注意：由公式出发记忆较为凌乱，解题往往由条件出发。【合作探究】 5 注：求三角形的边角时，应注意挖掘隐含的条件上。如第3题的角A只能是锐角这个隐含条件。【战高考】

【一题多变】

【归纳小结】

1． 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题，要注意公式及题目的隐含条件。2． 解三角形问题要注意结合图形，特别是三角形的相关性质(内角和、边角关系)3.正确选择正弦定理和余弦定理是解决问题的关键。

【课后练习】（难度取舍不同，各班可按实际情况安排）、在 ＡＢＣ中，AC=3,A45,C75,则BC A.2,B.3,C.2，D.5.ＡＢＣ中，a,b,c分别为A、B、C的对边，如果 a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积 3 2，那么b等于

1３为23,D.23 2 abc4.在ABC中，若,则ABC是conAconBconC

A.直角三角形，B.等边三角形，A.3,C.13,B.12C.钝角三角形，D.等腰直角三角形

9.在ABC中，已知（abc)(abc)3ab，且2cosAsinBsinC,试确定ABC的形状

10.tanC37 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，（）求1cosC

5（2）若CACB，且ab9，求c2

课后反思：时间安排上考虑不太周到，知识梳理时间过长，尤其是正弦、余弦定理的语言表示要求过高，课堂上花了太多时间，解三角形中角的关系的辨析是关键，尤其是正弦化余弦时要明确角是否可以为锐角和钝角。解三角形时应注意正弦定理和余弦定理的选择，注意转化与化归。过后还需加强训练，提升学生角三角形的能力。

2.必修五数学解三角形知识点 篇二

一、平面向量与三角恒等变换

此类问题是以平面向量为背景进行三角恒等变形, 如二倍角公式、两角和与差公式的使用, 求具体的两个向量的数量积。

例1.已知向量的夹角是80°, 则的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

解析:

本题利用数量积的定义并建立成为三角求值问题, 是一种常见的题型。

二、平面向量与三角函数整合求向量模的最值

将平面向量的坐标形式用三角函数值表示, 求有关向量的线性式的模的问题, 常常用然后化成有关参变量的函数形式, 再利用恰当的数学思想方法求最值。

例2.已知向量向量与向量的夹角为135°, 且 (1) 求向量; (2) 设向量向量的取值范围。

解析: (1) 令可得

(2) 由

本题以平面向量为背景, 研究三角函数的取值范围问题, 主要是利用模建立关于变量的函数式, 再利用三角函数的有界性求出模的取值范围。

三、平面向量与三角函数的图象整合求值

利用平面向量的数量积建立有关三角函数式, 已知一个三角函数的值, 利用两角和与差的三角公式再求另一个三角函数式的值, 并研究最值、周期、图象变换、对称等, 解决这类问题, 往往需要三角函数恒等变换。

例3.已知向量

(1) 若求cos4x的值;

(2) 设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac, 且边b所对的角为x, 若关于x的方程:有且仅有一个实根, 求实数m的值.

解析: (1) 因为

(2) 因为b2=ac, 在△ABC中, 由余弦定理得:

又因为余弦函数在 (0, π) 上是减函数, 所以

令在同一坐标系中作出两个函数的图象如上图所示, 可知:m=1或

本题是关于向量、三角、不等式等知识的一道综合题.运用三角函数的图象数形结合来解简单的三角方程是一种常用的解题手段.

四、平面向量与解三角形整合

平面向量与三角形整合的试题, 主要考查三角恒等变换, 研究角间关系, 推断三角形的形状等。

例4在△ABC中, a、b、c分别为角A、B、C的对边, 已知

(1) 求角C;

(2) 若△ABC的面积求a+b的值;

(3) 求的最小值.

解析: (1) 依题意:

(2) 且

又

(3) ∵C=120°∴A+B=60°, B=60°-A.

∴当且仅当2A+30°=90°, 即A=30°时, 有最小值为2姨3.

3.必修五数学二单元知识点 篇三

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零;

2、偶次方根的被开方数大于等于零;

3、对数的真数大于零;

4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;

5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;

6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法;

2、换元法;

3、待定系数法;

4、函数方程法;

5、参数法;

6、配方法

三、函数的值域的常用求法：

1、换元法;

2、配方法;

3、判别式法;

4、几何法;

5、不等式法;

6、单调性法;

7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法;

2、换元法;

3、不等式法;

4、几何法;

5、单调性法

五、函数单调性的常用结论：

1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数。

2、若f(x)为增(减)函数，则-f(x)为减(增)函数。

3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同，则f[g(x)]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0(反之不成立)。

2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。

4、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

近似数的意思

一个数与准确数相近，这一个数称之为近似数。准确数即这个数的最原始数据，没有经过约分、化简、或者四舍五入等任何运算之前的表达方法。近似数即经过四舍五入、进一法或者去尾法等方法得到的一个与原始数据相差不大的一个数。

e在数学中代表什么

小写e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名。e=2.71828182……是微积分中的两个常用极限之一。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。

e的起源

在1690年，莱布尼茨在信中第一次提到常数e。在论文中第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔于16出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利。欧拉也听说了这一常数，所以在27岁时，用发表论文的方式将e“保送”到微积分。

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数;而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。

用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，e则是第一个可用字母。还有一种可能是，字母“e”是指欧拉的名字“Euler”的首字母。

4.高一化学必修一知识点：铝三角 篇四

铝是高中化学重要的金属，主要有铝、氧化铝、氢氧化铝。高考化学中铝的考点主要集中的铝及其化合物的两性，即既可以与酸反应，也可以与碱反应。

点击图片可在新窗口打开

铝三角主要体现了铝及其化合物的两性

一、单质铝(Al)

铝是一种活泼金属，具有金属的共性，能够与非金属、酸、某些盐反应，同时具有自己特有的性质，可以与碱反应。铝极易失去最外层3个电子形成铝离子：Al-3e-=Al3+。

1.铝与非金属反应

铝可以与大多数非金属单质反应，如氧气、氯气、硫、溴等，生成相应的氧化物或盐。

4Al+3O2点击图片可在新窗口打开2Al2O3;2Al+3S点击图片可在新窗口打开Al2S3;2Al+3Cl2点击图片可在新窗口打开2AlCl3;

2.铝与酸反应

这里所说的酸，主要指稀硫酸和稀盐酸，常温常压下，铝遇浓硫酸或浓硝酸会发生钝化，所以可用铝制容器盛装浓硫酸或浓硝酸。注意钝化也属于化学变化。

2Al+6HCl=2AlCl3+3H2↑;2Al+3H2SO4=Al2(SO4)3+3H2↑;

3.铝与强碱反应

大多数金属不与碱反应，与强碱反应，是铝特有的性质，(锌也可以发生类似的反应，了解即可)

2Al+2NaOH+2H2O==2NaAlO2+3H2↑;对应离子方程式：2Al+2OH-+2H2O==2AlO2-+3H2↑;

该反应的本质是铝首先与水反应，生成氢氧化铝与氢气，2Al+6H2O=2Al(OH)3+3H2↑;然后，氢氧化铝与氢氧化钠反应，2Al(OH)3+2NaOH=2NaAlO2+4H2O。在整个过程中，水是氧化剂，而氢氧化钠不是氧化剂。在解答电子转移和电线桥双线桥法的题目中要注意。

4.铝热反应

铝热反应是指铝在高温条件下还原金属氧化物，置换金属单质的一种反应，不是特指与铝与氧化铁的反应。

2Al+Fe2O3点击图片可在新窗口打开2Fe+Al2O3，

铝具有较强的还原性，可以还原一些金属氧化物，如氧化钨，二氧化锰等等。

二、氧化铝(Al2O3)

氧化铝熔点较高，硬度较大，可以与酸碱反应。

1.氧化铝与酸反应

Al2O3+6HCl=2AlCl3+3H2O;对应离子方程式：Al2O3+6H+=2Al3++3H2O;

2.氧化铝与碱反应

Al2O3+2NaOH=2NaAlO2+H2O;对应离子方程式：Al2O3+2OH-=2AlO2-+H2O;

3.电解氧化铝生成金属铝

2Al2O3点击图片可在新窗口打开4Al+3O2↑;加入冰晶石可以降低电解温度。

三、氯化铝(AlCl3)

氯化铝，这里主要说明铝离子的性质，可以与碱反应。

1.氯化铝与弱碱反应

AlCl3+3NH3.H2O=Al(OH)3↓+3NH4Cl;对应离子方程式：Al3++3NH3•H2O=Al(OH)3↓+3NH4+;

2.氯化铝与强碱反应

少量氢氧化钠：AlCl3+3NaOH=Al(OH)3↓+3NaCl;

大量氢氧化钠：AlCl3+4NaOH=NaAlO2+3NaCl+H2O;

依据上述反应方程式，可以得出以下结论，①向氯化铝溶液中逐滴滴加氢氧化钠，首先生成白色沉淀，最后沉淀消失;②向氢氧化钠溶液中逐滴滴加氯化铝溶液，首先没有明显现象，最后生成白色沉淀;③通过两种溶液互相滴加，可以鉴别氯化铝和氢氧化钠。

四、氢氧化铝(Al(OH)3)

氢氧化铝是典型的两性氢氧化物，白色不溶于水的胶状物质，具有吸附作用。可以与强酸或强碱反应。氢氧化铝可以进行酸式水解可碱式水解，H++AlO2-+H2O点击图片可在新窗口打开Al(OH)3点击图片可在新窗口打开Al3++3OH-.

1.氢氧化铝与强酸反应

Al(OH)3+3HCl=AlCl3+3H2O;对应离子方程式：Al(OH)3+3H+=Al3++3H2O。

2.氢氧化铝与强碱反应

Al(OH)3+NaOH=NaAlO2+2H2O;对应离子方程式：Al(OH)3+OH-=AlO2-+2H2O

3.氢氧化铝加热分解

2Al(OH)3点击图片可在新窗口打开Al2O3+3H2O

五、偏铝酸钠(NaAlO2)

高中化学中，偏铝酸钠只是在体现铝、氧化铝、氢氧化铝的两性的时候出现，这里只说明偏铝酸钠与酸的反应。

1.偏铝酸钠与弱酸反应

NaAlO2+2H2O+CO2=Al(OH)3↓+NaHCO3

2NaAlO2+3H2O+CO2=2Al(OH)3↓+Na2CO3

2.偏铝酸钠与强酸反应

NaAlO2+4HCl=AlCl3+NaCl+2H2O

六、硫酸铝钾(KAl(SO4)2)

KAl(SO4)2•12H2O，十二水合硫酸铝钾，俗名：明矾。因为Al(OH)3具有很强的吸附型，所以明矾可以做净水剂。

KAl(SO4)2=K++Al3++2SO42-，Al3+会水解：Al3++3H2O=Al(OH)3+3H+

附加：氢氧化铝的制法

1.铝离子与弱碱反应

铝离子与强碱反应容易过量，不好控制。

AlCl3+3NH3•H2O=Al(OH)3↓+3NH4Cl;离子方程式：Al3++3NH3•H2O=Al(OH)3↓+3NH4+;

2.偏铝酸根与弱酸反应

偏铝酸根与强酸容易生成铝离子。

NaAlO2+2H2O+CO2=Al(OH)3↓+NaHCO3;离子方程式：AlO2-+2H2O+CO2=Al(OH)3↓+HCO3-，

3.偏离酸根与铝离子反应

偏铝酸根与氯离子发生双水解生成氢氧化铝。

5.初中数学解直角三角形测试题 篇五

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初中数学解直角三角形测试题

一.选择题：（每小题2分，共20分）

1.在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（）A.4353 2.在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，tanC的值是（）

A.3 B.4 C.3 D.512 B.33 C.1 D.2，tan2

3.在△ABC中，若cosAB3，则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

4.如图18，在△EFG中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（）

A.sinGEF B.sinGEH

EG C.sinGGH D.sinGFGEFFH

FG 5.sin65°与cos26°之间的关系为（）

A.sin65°cos26°

C.sin65°=cos26° D.sin65°+cos26°=1 6.已知30°<α<60°，下列各式正确的是（）

A.B.C.D.7.在△ABC中，∠C=90°，sinA25，则sinB的值是（）

A.B.C.D.8.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）米2

A.150 B.C.9 D.7 9.如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）

A.7米 B.9米 C.12米 D.15米

10.如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）

A.1sin B.1cos C.sin D.1 二.填空题：（每小题2分，共10分）

11.已知0°<α<90°，当α=__________时，sin时，12.若。，则锐角α=__________。

12，当α=__________试题宝典

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13.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA35，abc36，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。

14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为__________cm，底角的余弦值为__________。

15.酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要__________元。三.解答题：（16、17每小题5分，其余每小题6分共70分）

16.计算(1tan60sin60)(1cot30cos30)

17.如图22，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB，求tanD。

18.已知直角三角形中两条直角边的差是7cm，斜边的长是13cm，求较小锐角α的各三角函数值。

19.如图23，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若tanAEN1,DCCE10。（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值。

20.已知在△ABC中，AB23，AC=2，BC边上的高AD3。（1）求BC的长；（2）若有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC和BC上，求正方形的面积。

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21.已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的长。

22.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。

23.已知ABC中，AD为中线，BAD60,AB10,BC43，求AC的长。

24.在△ABC中，∠A＝1200，AB＝12，AC＝6。求sinB＋sinC的值。

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25.四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝60，∠CDA＝135，BC10,SABC403。求AD边的长。

26．湖面上有一塔高15米，在塔顶A测得一气球的仰角为40，又测得气球在水中像的俯角为60，求气球高出水面的高度（精确到0.1米）。

27、由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正西300公里的B处以107海里/时的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。

（1）通过计算说明A市是否受到本次沙尘暴的影响？

（2）若A市受沙尘暴影响，求A市受沙尘暴影响的时间有多长？

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0

0试题宝典

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试题答案 一.选择题：

1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.A 提示：10.如图24所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，依题意，有AE=AF=1，可证得∠ABE=∠ADF=α。

所以可证得△ABE≌△ADF，得AB=AD，则四边形ABCD是菱形。

在Rt△ADF中，所以

二.填空题：

11.30°，30°；12.60°；13.a=9，b=12，c=15，14.15.504。

提示：13.设a=3t，c=5t，则b=4t，由a+b+c=36，得t=3。

所以a=9，b=12，c=15。

。

14.等腰三角形的腰只能是6，底边为2，腰不能为2，否则不满足三角形两边之和大于第三边，作底边上的高，利用勾股定理求高。

15.利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，则地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，则买地毯至少需要16.8×30=504元。

三.解答题：

16.17.；

；

18.19.分析：根据条件可知MN是AE的垂直平分线，则AN=NE。所以∠AEN可以是Rt△EGN的一个锐角，或是Rt△GAN的一个锐角，或是Rt△EBA的一个锐角。

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解：∵

∵DC+CE=10，∴3a+2a=10，∴a=2。

∴BE=2，AB=6，CE=4。

又。

20.根据条件显然有两种情况，如图25。

（1）在图25（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠C=60°，BC=4，所以△ABC是直角三角形。

在图25（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠BAD=60°，BC=AC=2，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD。

（2）在图26（1）中，设正方形边长为x，∵。

在图26（2）中，设正方形边长为x。，解得

解得

21.解法一：过B作CA延长线的垂线，交于E试题宝典

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点，过D作DF⊥AC于F。

∴DF∥BE ∴△FDC∽△EBC

∵AD平分∠BAC

∵∠BAC=120°

∴∠EAB=180°－∠BAC=60°

在Rt△ABE中，在Rt△ADF中，∵∠DAC=60°

解法二：如图11，过C作CE⊥AD于D，过B作BF⊥AD交AD的延长线于F。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠CAD=60°。

在Rt△AEC中，在Rt△ABF中，∵CE∥BF ∴△BDF∽△CDE。

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∵EF=1

分析：题目中有120°角及它的角平分线，所以有两个60°这个特殊角，要求60°角的一条夹边AD的长，可以构造等边三角形，得到与AD相等的线段。

解法三：如图12，过点D作DE∥AB交AC于E。

则∠ADE=∠BAD=∠DAC=60°

∴△ADE是等边三角形。

∴AD=DE=AE 设AD=x ∵△ABC∽△EDC

解法四：如图13，过B作AC的平行线交AD的延长线于E。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠DAC=∠E=60°。

∴△ADE是等边三角形

∴AE=AB=BE=5 ∵AC∥BE ∴△CAD∽△BED

小结：解三角形时，有些图形虽然不是直角三角形，但可以添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而可以运用解直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。另外，在考虑这些组合图形时，要根据题目中的条件和要求来确定边与边，角与角是相加还是相减。22.解：在△AED中，∵DE⊥AB于E，又∵DE∶AE=1∶5，∴设DE=x，则AE=5x。

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在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，∴∠DAC=45°，在Rt△BED和Rt△BCA中，∵∠B是公共角，∠BED=∠BCA=90°，∴△BED∽△BCA。

∴AB=AE+BE=10+3=13。

23.解：

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24提示：过C点作CE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BD⊥CA交 CA的延长线于D。

SinB＋sinC＝211421732114

25.提示：作AF⊥AC于F，作AE⊥CD交CD的延长线于E。可求AC＝16，AD＝8 2。

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6.高二英语必修五知识点精选 篇六

NeverhaveIseensuchaperformance.

Notuntilthechildfellasleepdidthemotherleavetheroom.

当Notuntil引出主从复合句，主句倒装，从句不倒装。

注意如否定词不在句首不倒装。

Ihaveneverseensuchaperformance.

典型例题

1)WhycantIsmokehere?

Atnotime___inthemeeting-room

A.issmokingpermittedB.smokingispermitted

C.smokingisitpermittedD.doessmokingpermit

答案A.这是一个倒装问题。当否定词语置于句首以表示强调时，其句中的主谓须用倒装结构。这些否定词包括no,little,hardly,seldom,never,notonly,notuntil等。本题的正常语序是

Smokingispermittedinthemeeting-roomatnotime.

2)Notuntiltheearlyyearsofthe19thcentury___whatheatis.

A.mandidknowB.manknowC.didntmanknowD.didmanknow

答案D.看到Notuntil…的句型，我们知道为一倒装句，答案在C，D中选一个。

改写为正常语序为，Mandidnotknowwhatheatisuntiltheearlyyearsofthe19th.现在将not提前，后面就不能再用否定了,否则意思就变了。

以否定词开头作部分倒装

如Notonly…butalso,Hardly/Scarcely…when,Nosooner…than

Not only did here fuse thegi ft,healsoseverelycriticizedthesender.

7.必修五基本不等式 知识点 篇七

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）

（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cd11ab（异向不等式相除）(10)ab,ab0（倒数关系）abcd

（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）

（12）ab0ab(nZ,且n1)（开方法则）

练习：（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则acbc；②若acbc,则ab；

③若ab0,则aabb；④若ab0,则

⑤若ab0,则22222211； abba；⑥若ab0,则ab； ab

ab11⑦若cab0,则；⑧若ab,，则a0,b0。cacbab

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______

（答：13xy7）；

（3）已知abc，且abc0,则

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则ab2ab(或ab2|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

c1的取值范围是______（答：2,）2a2222ab.（当仅当a=b时取等号）2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、cR,则abca=b=c时取等号）

3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|

4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

ab（当仅当a=b时取等号）2ab

即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

2ab2a2b2ab2a2b2))ab）特别地，ab(（当a = b时，(2222

a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)33

222幂平均不等式：a1a2...an21(a1a2...an)2 n

注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).1111111常用不等式的放缩法：①2(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n

n1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则

2222222（a1b1a2b2a3b3anbn)2(a1a2a3an)(b12b2b3bn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

x1x2f(x1)f(x2)xxf(x1)f(x2))或f(12).222

2则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根轴法：

步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.a0x1x20x1x2 a000

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)g(x)0 f(x)f(x)0f(x)g(x)0;0g(x)g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0定义域 g(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)0或g(x)02f(x)[g(x)] ○2f(x)g(x)g(x)0

f(x)03f(x)g(x) ○g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);

（5）对数不等式：转化为代数不等式 af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x) g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

7、线性规划

（1）线性目标函数问题

当目标函数是线性关系式如zaxbyc（b0）时，可把目标函数变形为

azczc，则可看作在在y轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题yxbbb的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：

1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.（2）非线性目标函数问题的解法

当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：

比值问题：当目标函数形如zya时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线xb

22的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。距离问题：当目标函数形如z(xa)(yb)时,可把z看作是动点P(x,y)与定点

Q(a,b)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。

x+y02截距问题：例 不等式组xy0表示的平面区域面积为81，则xy的最小值为_____

xa

x4y30,OPOA的向量问题：例已知点P的坐标（x，y）满足：3x5y25,及A（2，0），则OAx10.

8.语文必修五第一单元知识点 篇八

1、作家作品

_《水浒》__是我国文学史上第一部以农民起义为题材的优秀长篇小说，作品概括了农民起义_发生_、_发展__至__失败___的过程。作者是施耐庵，元末明初(朝代)小说家。课文节选自原书第十回，原来的题目是《林教头风雪山神庙，陆虞侯火烧草料场》，主人公是__林冲___，原是京城的八十万禁军教头。

2、①生难字注音： 仓廒(áo ) 酒馔(zhuàn) 尴尬(gāngà) 髭须(zī)

央浼(měi ) 朔风(shuò) 搠倒(shuò) 迤逦(yǐlǐ) 庇佑(bìyòu)

②多音字辨析：反省(xǐng ) 提防(dī) 模样(mú) 干事(gàn ) 赍发(jī)

省事(shěng ) 提高(tí) 模型(mó)干涸(gān ) 赏赉(lài)

③形似字辨析：陪(奉陪 ) 眷(眷恋 ) 瑕(白璧微瑕 ) 漱(洗漱 )

赔( 赔偿) 券(入场券 ) 暇(应接不暇) 嗽( 咳嗽)

沽(沽名钓誉 ) 啜(啜泣) 缀(点缀) 撼(震撼 ) 玷(玷污 )

诂(训诂 ) 掇(拾掇 ) 辍(辍学) 憾( 遗憾) 拈(拈轻怕重 )

④解释下列句中加线的词语

我因恶了高太尉 恶wù：冒犯、触怒。(今义：讨厌;憎恨。)

但有衣服，便拿来家里浆洗缝补。 但：只要。(今义：转折连词。)

小二换了汤，添些下饭。 下饭：菜蔬、菜肴。(今义：就着菜把主食吃下。)

后来不合偷了店主人家钱财。 不合：不该

迤逦不想来到沧州。 迤逦：颠沛流离

权在营前开了个茶酒店。 权：姑且

又得林冲主张陪话。 主张陪话：出头作主，为他说话

只见那个人将出一两银子与小二。 将出：拿出

只见那个官人和管营、差拨两个讲了礼。 讲了礼：相互致礼

我因恶了高太尉，生事陷害。 生事：设计制造事端

这两个人来的不尴尬。 不尴尬：不正派

街上寻了三五日，不见消耗。 消耗：消息

我自来又和你无甚么冤仇。 自来：从来

好歹要结果他性命。 结果：结束,了结

3.重点难点探究

(1).林冲由随遇而安、忍辱负重到奋起反抗，这个思想性格的转变是怎样完成的?

林冲来到沧州，一直抱着安度刑期、回家团聚的想法。即使他知道陆谦来沧州加害他，他仍心存幻想，求“神明庇佑”。直到草料场燃起大火，林冲在山神庙里听到了陆谦等人的对话，知道了高俅百般迫害自己的真相，他才清醒地认识到，高俅绝不会给他一条生路。残酷的现实促使他觉醒，激起他抗争的斗志，于是他毅然杀死了仇人，投奔梁山，走上了反抗黑暗政治的道路。

(2).林冲的遭遇和他思想性格的变化，对于我们认识当时的社会现实有什么意义?

9.必修五数学解三角形知识点 篇九

【知识与技能】

理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】

通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】

渗透数形结合思想，在解决问题过程中，感受成功的快乐，树立良好的学习习惯.【教学重点】

运用直角三角形的边角关系解直角三角形.【教学难点】

灵活运用锐角三角函数解直角三角形.一、情境导入，初步认识

问题 如图（1）所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图（2），在Rt△ABC 中，ZC =90，BC =5.2m，AB= 54.5m，你能根据上述条件求出图（2）中∠A的度数（即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数）吗？与同伴相互交流.【教学说明】运用锐角三角函数来解决生活中趣味性问题的过程，可激发学生的学习兴趣，增强运用所学过知识解决问题的信心，教师 适时予以点拨.二、思考探究，获取新知

在上述问题中，我们已知直角三角形的一条直角边和斜边，利用锐角三角函数可求出它的锐角的度数，事实上，我们还可以借助直角三角形中两锐角互余，求出另一个锐角度数，也可以利用勾股定理得到另一条直角边.一般地，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三形

思考（1）直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？（2）知道5个元素中的几个，就可以求出其余元素？

【教学说明】学生相互交流获得结论，教师再与学生一道进行系统的总结，完善知识体系.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么除直角C外的5个元素之间有如下关系：

（1）三边之间的关系：a+b=c

（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系：

通过它们之间的关系，可以发现，知道其中的2个元素（至少有一条是边），就可以求出其他所 有元素.三、典例精析，掌握新知

例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a解这个直角三角形.2，b6，【分析】由a，再利用2，b6首先联想到勾股定理可得c22，sinBa21知∠A=30°，从而∠B=60°.这是一例除直角外的两个已知元素都是，c222边的情形，在求它的锐角度数时，有时必须借助计算器才行.例 2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，且b=20，解这个直角三角形（结果保留一位小数).【分析】本例是已知一条边和一个锐角，求这个直角三角形的另两边长和另一个锐角.首先可轻松得到∠A=50°，再利用sinB2020,tanB可求出a，c的值，也可由cacosAAC20，则cos50

ABc求c的值，再利用勾股定理，或利用锐角的正切函数求出a的值.注意：由于40°，50°均不是特殊角，它的三角函数值可利用计算器获得.【教学说明】以上两例在实际教学时，都可先让学生自主探究，独立完成.教师巡视，对有困难的学生给予指导，让学生在探究中加深对知识的理解.最后师生共同给出解答，让学生进行自我评析，完善认知.四、运用新知，深化理解

1.Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）a=30，b=20；（2）∠B=62°，c=16.2.已知△ABC中，AD是BC边上的高，且AD=2，AC22，AB=1.（1）如图（1），求∠BAC度数；（2）如图（2），试求∠BAC的度数.【教学说明】学生自主探究，也可相互交流，探讨问题的解答.教师巡视，适时点拨，让学生在练习中巩固本节所学知识.五、师生互动，课堂小结

1.常见的解直角三角形问题可分为哪两类？与同伴交流.2.解直角三角形需要除直角外的两个已知条件，其中必须有一个已知 边，为什么？

【教学说明】师生共同回顾，反思，完善对本节知识的认知

10.数学解直角三角形复习教案 篇十

一、基础知识回顾：

1、仰角、俯角 2、坡度、坡角

二、基础知识：

1、在倾斜角为300的山坡上种树，要求相邻两棵数间的水平距离为3米，

那么相邻两棵树间的斜坡距离为 米

2、升国旗时，某同学站在离旗杆底部20米处行注目礼，当国旗升至旗

杆顶端时，该同学视线的仰角为300，若双眼离地面1.5米，则旗杆

高度为 米（保留根号）

3、如图：B、C是河对岸的两点，A是对岸岸边一点，测得∠ACB=450，

BC=60米，则点A到BC的距离是 米。

3、如图所示：某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度I=1：1.5，

则AB=

三、典型例题：

例2、右图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30米，两楼间的距

离AC=24米，现需了解甲楼对乙楼采光的影响，当太阳光与水平

线的夹角为300时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？

例2、如图所示：在湖边高出水面50米的山顶A处望见一艘飞艇停留

在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为450，又观其

在湖中之像的俯角为600，试求飞艇离湖面的高度h米（观察时

湖面处于平静状态）

例3、如图所示：某货船以20海里/时的速度将一批重要货物由A处运往正西方的B处，

经过16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台

风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西600方向移动，距离台风中心200海

里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。

（1）问B处是否会受到台风的影响？请说明理由。

（2）为避免受到台风的影响，该船应该在多少小时内卸完货物？

（供选数据：=1.4 =1.7)

四、巩固提高：

1、若某人沿坡度i=3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来

的.位置升高 米。

2、如图：A市东偏北600方向一旅游景点M，在A市东偏北300的

公路上向前行800米到达C处，测得M位于C的北偏西150，

则景点M到公路AC的距离为 。（结果保留根号）

3、同一个圆的内接正方形和它的外切正方形的边长之比为（ ）

A、sin450 B、sin600 C、cos300 D、cos600

3、如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离

为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端

A向外移动到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3米，

同时梯子的顶端B下降至B，那么BB（ ）（填序号）

A、等于1米B、大于1米C、小于1米

5、如图所示：某学校的教室A处东240米的O点处有一货物，经过O点沿北偏西600

方向有一条公路，假定运货车辆形成的噪音影响范围在130米以内。

（1）通过计算说明，公路上车辆的噪音是否对学校造成影响？

（2）为了消除噪音对学校的影响，计划在公路边修一段隔音墙，请你计算隔音墙的

长度（只考虑声音的直线传播）