不等式的基本性质习题

2024-11-03

不等式的基本性质习题（14篇）

1.不等式的基本性质习题篇一

不等式的基本性质——教学反思

石河子师范学校王魁

北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级下册

本节课我采用从生活中创设问题情景的方法激发学生学习兴趣，采用类比等式性质的方法，引导学生自主探究，教给学生类比，猜想，验证的问题研究方法，培养学生善于观察、善于思考的学习习惯。

活动

一、通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点进入数学课堂，也为学习新知识做好准备。在这一环节上，留给学生思考的时间有点少。

从学生的生活经验出发，让学生感受生活中数学的存在，不仅激发学生学习兴趣，而且可以让学生直观地体会到在不等关系中存在的一些性质。这一环节上展现给学生一个实物，使学生获得直观感受。

问题2的设计是为了类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想方法中类比思想的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。在这个环节上，我讲得有点多，在体现学生主体上把握得不是很好，在引导学生探究的过程中时间控制的不紧凑，有点浪费时间。

让学生比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，这样不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握知识、发展学生的辨证思维。

让学生通过构图反思，进一步引导学生反思自己的学习方式，培养他们归纳，总结的习惯，让学生自主构建知识体系，激起学生感受成功的喜悦。

活动

三、通过两个题帮助学生应用提升，第一题以判断得形式让学生体验不等式性质的简单应用，第二题是利用性质化简不等式成“x>a”或“x

整节课在运用符号语言的过程中，学生会出现各种各样的问题与错误，因此在课堂上，我特别重视对学生的表现及时做出评价，给予鼓励。这样既调动了学生的学习兴趣，也培养了学生的符号语言表达能力。本节课，我觉得基本上达到了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把握得不错。其中还存在不少问题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步的完善自己的课堂。

2.不等式的基本性质习题篇二

一般, 对定积分不等式的性质是叙述为:若函数f (x) 和g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 且f (x) ≥g (x) , 则有∫b a f (x) dx≥∫b a g (x) dx。对上述不等式中的“≥”在什么情况下“>”成立, 什么情况下“=”成立, 并没有进一步讨论。本文将给出上述不等号严格成立的条件, 进而得到判断积分不等式性质中不等号严格成立的方法。

1 主要结果

引理1[1] 设函数f (x) 在[a, b]上非负可积, 则∫baf (x) dx≥0。

引理2 设函数f (x) 在[a, b]上可积, 则f (x) 在[a, b]上有无数多个连续点。

证明因为f (x) 在[a, b]上可积, 所以对于ε1=1, 存在[a, b]的分割T1, 使得

由此可知, 在T1的某个小区间Δk=[xk-1, xk], f (x) 的振幅wk=wf[xk-1, xk]<ε1=1。若不然, 将导致 $\sum_{Τ_{1}} w_{i} Δ x_{i} \geq 1 \times \sum_{Τ_{1}} Δ x_{i} = 1 \times (b - a)$ , 这就与式 (1) 矛盾.取[a1, b1]⊂ (xk-1, xk) , 满足

以[a1, b1]代替[a, b], 对于 $ε_{2} = \frac{1}{2}$ , 同样存在T2及属于T2的某个小区间的子区间[a2, b2], 满足

依次做下去, 得一区间套{[an, bn]}, 由闭区间套定理, 存在x0∈ (an, bn) ⊂ (a, b) , n=1, 2, …。

下证x0为f (x) 的一个连续点。对于任给的正数ε>0, 存在正整数n, 使 $\frac{1}{n} < ε$ 。令

δ=min{x0-an, bn-x0},

则∪ (x0, δ) ⊂[an, bn].故当x∈∪ (x0, δ) 时,

$| f (x) - f (x_{0}) | \leq w^{f} [a_{n}, b_{n}] < \frac{1}{n} < ε$ 。

现在任给 (α, β) ⊂[a, b], 由于f (x) 在[α, β]上可积, 从而由上面已证的结果, f (x) 在[α, β]内有连续点, 故f (x) 在[α, β]有无限多个连续点。

定理1 若函数f (x) 为区间[a, b]上的非负可积函数, 则存在f (x) 的连续点x0∈[a, b], 使得f (x0) >0的充要条件是∫baf (x) dx>0。

证明 [必要性] 不妨设x0∈ (a, b) , 由于函数f (x) 在x0点连续, 则根据连续函数的保号性, ∃δ>0, 对∀x∈[x0-δ, x0+δ]有 $f (x) \geq \frac{f (x_{0})}{2} > 0$ 。从而 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{x_{0} + δ} f (x) d x + \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} f (x) d x + \int_{x_{0} + δ}^{b} f (x) d x \geq \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} f (x) d x \geq \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} \frac{f (x_{0})}{2} d x = f (x_{0}) δ > 0$ 。

[充分性] 先证明当∫baf (x) dx>0时, 一定存在区间 (α, β) ⊂[a, b], 在[α, β]上有f (x) >0。若不然, 有ξ∈[α, β], 使得f (ξ) =0, 则对[a, b]的任一分割T, 在每个Δi上都可以找到ξi使f (ξi) =0, 从而

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{Τ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i} = 0$ 。

这与∫baf (x) dx>0矛盾。

其次, 由于函数f (x) 在[α, β]上可积;因此由引理2有f (x) 在[α, β]上一定存在连续点x0, 故f (x0) >0。

注1 文献[2]给出了定理1中条件的必要性, 而本文指出了条件的充要性。

由定理1容易得到定理1的如下等价命题。

定理2 若函数f (x) 为[a, b]上的非负可积函数, 则函数f (x) 连续点上恒为零的充分必要条件是∫baf (x) dx=0。

由定理1和引理2可得如下的定理3和定理4。

定理3 若函数f (x) 为[a, b]上可积函数, 且f (x) >0, 则∫baf (x) dx>0。

定理4[3] 设函数f (x) 在[a, b]上非负连续, 且f (x) 不恒等于0, 则∫baf (x) dx>0。

2 推论

推论1 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 满足f (x) ≥g (x) , x∈[a, b], 且存在f (x) , g (x) 的连续点x0, 使得f (x0) >g (x0) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 由题知, F (x) 在[a, b]上非负可积, 存在连续点x0使得

F (x0) =f (x0) -g (x0) >0,

则由定理2知

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0,

即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论2 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 满足f (x) >g (x) , x∈[a, b], 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则函数F (x) 在[a, b]上可积且F (x) >0, 则由定理3

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论3 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的连续函数满足f (x) ≥g (x) , 且f (x) 不恒等于g (x) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则F (x) 在[a, b]上非负连续, 且F (x) 不恒等于零, 由推论2有

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论4 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的连续函数, 满足f (x) ≥g (x) , 且存在一点x0∈[a, b]使得f (x0) >g (x0) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则

函数F (x) 在[a, b]上非负连续函数, 且存在x0∈[a, b], 使得F (x0) >0, 则由推论4有

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

3 举例

例1 证明e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

证明令f (x) =e, g (x) =ex2。

[方法一] 显然, f (x) 和g (x) 在[0, 1]上连续, 且有f (x) ≥g (x) , 又对任一f (x) , g (x) 的连续点x0∈ (0, 1) , 都有f (x0) >g (x0) 。由推论1得

∫ $_{0}^{1}$ f (x) dx>∫ $_{0}^{1}$ g (x) dx, 即e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

[方法二] 因为函数f (x) 和g (x) 在[0, 1]上连续, 且有f (x) >g (x) , x∈ (0, 1) , 由推论2得

∫ $_{0}^{1}$ f (x) dx>∫ $_{0}^{1}$ g (x) dx, 即e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

[方法三] 因为函数f (x) 及函数g (x) 在[0, 1]上连续, 且满足f (x) ≥g (x) , 而且函数f (x) 不恒等于函数g (x) , 由推论3证得

∫ $_{0}^{1}$ f (x) dx>∫ $_{0}^{1}$ g (x) dx, 即e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

注2 若应用引理1, 对于例1只能得到e≥∫ $_{0}^{1}$ ex2dx, 但是现在应用本文的结论, 就可以得到e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

例2[4] 设m, M分别是连续函数f (x) 在[a, b]上的最小值和最大值, 且f (x) 非常值函数, 则

m (b-a) <∫baf (x) dx<M (b-a) 。

证明由题知 m≤f (x) , x∈[a, b], 且f (x) 不恒等于m, 则由推论3知

m (b-a) =∫bamdx<∫baf (x) dx,

同理可证

∫baf (x) dx>∫baMdx=M (b-a) ,

于是,

m (b-a) <∫baf (x) dx<M (b-a) 。

例3 证明:若函数f (x) 为[a, b]上可积函数, 则∫baf2 (x) dx=0的充要条件是对f (x) 在[a, b]上的一切连续点有f (x) =0。

证明令F (x) =f2 (x) , x∈[a, b], 由于f (x) 为[a, b]上可积函数, 则F (x) 也为[a, b]上的可积函数.由定理2有, 函数F (x) 连续点上恒为零的充分必要条件是∫baF (x) dx=0, 于是∫baf2 (x) dx=0的充要条件是对f (x) 在[a, b]上的一切连续点有f (x) =0。

4 结语

由非严格不等式变为严格不等式, 看似细节, 但由此而增加了解题的有用信息, 对解题有很大帮助。本文正是出于这个目的, 对积分不等式进行了推广, 得到了积分不等式中不等号严格成立的一些条件, 而且本文的结果和方法可以进一步向多重积分推广。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社, 2004

[2]魏国强.关于定积分若干性质的讨论.高等数学研究, 2005;8 (1) :42—43

[3]李长青, 刘亚梅.定积分保号性质的推广和应用.商丘职业技术学院报, 2005;4 (5) :14—15

3.第21讲不等式的基本性质篇三

不等式的基本性质与一元二次不等式式不等式是高中数学的重要内容和基础内容，是分析、解决有关数学问题的基础与工具，也是高考考查的重点，在近几年高考中，有关不等式的试题都占有较大的比重，考查内容中不仅有不等式的基本性质、二次不等式的求解、求证、恒成立问题，而且容易与集合问题、二次方程和二次函数、三角、数列、复数、立体几何、解析几何等进行综合，形成中档或难题.

命题特点

不等关系常伴随函数、数列、立体几何、解析几何或实际问题进行考查，高考中考查不等式的性质多以选择、填空形式出现.而对于一元二次不等式，一般采用以下两种形式考查：一是考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题，二是以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题.

1. 比较代数式（值）的大小

例1 已知[x，y∈R]，比较[x2-xy+y2]和[x+y-1]的大小.

解析 [（x2-xy+y2）-（x+y-1）] [=（x2-x）+（y2-y）-xy+1]

[=12（2x2-2x+2y2-2y-2xy+2）]

[=12（x2-2x+1+y2-2y+1+x2+y2-2xy）]

[=12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]].

∵[（x-1）2≥0]，[（y-1）2≥0]，[（x-y）2≥0]，

∴[12[（x-1）2+（y-1）2+（x-y）2]≥0].

∴[x2-xy+y2≥x+y-1].

点拨作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.

2. 不等式性质的应用

例2 对于实数[a ，b ，c]，判断以下命题的真假.

（1）若[a>b]，则[ac>bc]；

（2）若[ac2>bc2]，则[a>b]；

（3）若[aab>b2]；

（4）若[a|b|]；

（5）若[a>b]，则[ab>1]；

（6）若[a>b]且[1a>1b]，则[a>0 ，b<0]；

（7）若[a>b]，则[a3>b3]；

（8）若[a>b]，则[|a|>b].

解析（1）因为[c]的符号不定，所以无法判定[ac]和[bc]的大小，故原命题为假命题.

（2）因为[ac2>bc2]，所以[c≠0]，从而[c2>0]，故原命题为真命题.

（3）①因为[aab.]②又[ab2].综合①②得[a2>ab>b2]，故原命题为真命题.

（4）两个负实数，绝对值大的反而小.故原命题为真命题.

（5）当[b≤0]时，[ab>1]不成立，故原命题为假命题.

（6）因为[a>b，1a>1b，?a-b>0，1a-1b>0，?b-a<0，b-aab>0，]所以[ab<0].

又因[a>b]，所以[a>0，b<0].故原命题为真命题.

（7）因为[y=x13]的函数在[R]上单调递增，故原命题为真命题.

（8）因为[a≥a，a>b]，所以[a>b]，故原命题为真命题.

点拨判定不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式时常用赋值法.

3. 不等关系在实际问题中的应用

例3 甲乙两车从[A]地沿同一路线到达[B]地，甲车一半时间的速度为[a]，另一半时间的速度为[b]；乙车用速度为[a]行走一半路程，用速度[b]行走另一半路程，若[a≠b]，试判断哪辆车先到达[B]地.

解析设从[A]到[B]的路程为[S]，甲车用的时间为[t1]，乙车用的时间为[t2]，则[t12a+t12b=S，]

[∴t1=2Sa+b，t2=S2a+S2b=S2（1a+1b）]，

[∵2Sa+b-S21a+1b=2Sa+b-（a+b）S2ab] [=4abS-（a+b）2S2ab（a+b）=-（a-b）2S2ab（a+b）<0]，

所以甲车先到达[B]地.

4. 二次不等式的解法

例4 设不等式[x2-2ax+a+2≤0]的解集为[M]，如果[M?[1，4]]，求实数[a]的取值范围.

解析 [M?[1，4]]有三种情况：其一是[M=?]，此时[Δ<0]；其二是[M≠?]，此时[Δ>0]与[Δ=0]，所以分三种情况计算[a]的取值范围.

设[f（x）=x2-2ax+a+2]，

∴[Δ=（-2a）2-（4a+2）=4（a2-a-2）=4（a+1）a-2）].

（1）当[Δ<0]时，[-1

（2）当[Δ=0]时，[a=-1]或[2].

若[a=-1]，则[M=-1?][[1，4]].

若[a=2]，则[M=2?[1，4]].

（3）当[Δ>0]时，[a<-1]或[a>2].

设方程[f（x）=0]的两根[x1，x2]，且[x1

那么[M=[x1，x2]]，[M?[1，4]]，[?][1≤x10，]

即[-a+3>0，18-7a>0，a>0，a<-1或a>2，]解得，[2nlc202309032007

综上，[M?[1，4]]时，[a]的取值范围是[（-1，187]].

点拨本题表面上是解二次不等式，实质上是二次方程的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在.

5. 二次不等式恒成立问题

例5 设函数是定义在[（-∞，+∞）]上的增函数，如果不等式[f（1-ax-x2）

解析 [∵f（x）]是增函数，

[∴f（1-ax-x2）

[?1-ax-x2<2-a]对于任意[x∈[0，1]]恒成立.

[?x2+ax+1-a>0]对于任意[x∈[0，1]]恒成立.

令[g（x）=x2+ax+1-a]，[x∈[0，1]]，

所以原问题[?g（x）min>0].

又[g（x）min=g（0）， a>0，g（-a2），-2≤a≤0，2， a<-2，]

即[g（x）min=1-a， a>0，-a24-a+1，-2≤a≤0，2， a<-2，]易求得[a<1].

点拨本题考查数学化归转化的数学思想：利用函数的单调性把原不等式问题转化为[1-ax-x2<2-a]；将对于任意[x∈[0，1]]，[1-ax-x2<2-a]恒成立转化为二次函数的区间最值求解.

备考指南

备考过程中，要求学生熟练掌握不等式的性质与二次不等式的基础知识方法，将数学各部分知识融会贯通，同时注重对解题方法的总结，领悟不等式作为一个工具在解决数学问题（包括实际问题）中的重要性.

1. “差比较法”的依据[a>b?a-b>0]，其中变形是关键，常进行通分、因式分解、配方或分子（母）有理化等.

2. 求代数式的范围时常用“待定系数法”，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围，这样才能确保范围不大不小.

3. 一元二次不等式[ax2+bx+c>0][（a≠0）]的解集的确定受[a]的符号、[b2-4ac]的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]的图象，数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为[ax2+bx+c>0（或<0）]（其中[a>0]）的形式，其对应的方程[ax2+bx+c=0]有两个不等实根[x1，x2（x10]），则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.

4. “二次型”函数（不等式）中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；另外解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论，若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.

限时训练

1.设[a=0.512，b=0.914，c=log50.3]，则[a，b，c]的大小关系是（）

A. [a>c>b] B. [c>a>b]

C. [a>b>c] D. [b>a>c]

2.已知函数[f（x）=x（1+a|x|）]. 设关于[x]的不等式[f（x+a）

A.[1-52，0] B.[1-32，0]

C. [1-52，0?0，1+32] D.[-∞，1-52]

3.已知[a<0，-1

A. [a>ab>ab2] B. [ab2>ab>a]

C. [ab>a>ab2] D. [ab>ab2>a]

4、设变量[x，y]满足约束条件[x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0，]则目标函数[z=2x+3y+1]的最大值为（）

A.11 B.10 C.9 D.8.5

5. 已知[a，b∈R，且a>b]，则下列不等式中一定成立的是（）

A. [ab>1] B.[a2>b2]

C.[lg（a-b）>0] D. [（12）a<（12）b]

6.已知不等式[f（x）=ax2-x-c>0]的解集为[{x-2

[A] [B] [C] [D]

7.在[R]上定义运算[?]：[x?y=x（1-y）].若不等式[（x-a）?（x-b）>0] 的解集是[（2，3）]，则[a+b=] （）

A. [1] B. [2] C. [4] D. [8]

8.如果[a

A. [1a<1b] B. [ab

C. [-ab

9. 已知不等式[ax2-bx-1≥0]的解集是[-12，-13]，则不等式[x2-bx-a<0]的解集是（）

A.（2，3） B. [（-∞，2）∪（3，+∞）]

C. [（13，12）] D. [（-∞，13）∪（12，+∞）]

10.关于[x]的不等式[x2-（a+1）x+a<0]的解集中，恰有[3]个整数，则[a]的取值范围是（）

A.[（4，5）] B.[（-3，-2）?（4，5）]

C.[（4，5]] D.[[-3，-2）?（4，5]]

11.不等式[x2+x-2<0]的解集为___________.

12.若[1

13.若不等式[x2+ax+4≥0]对一切[x∈（0，1]]恒成立，则[a]的取值范围是________.

14.已知[f（x）]是定义在[R]上的奇函数.当[x>0]时，[f（x）=x2-4x]，则不等式[f（x）>x]的解集用区间表示为________.

15.甲厂以[x]千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求[1≤x≤10]），每小时可获得利润是[100（5x+1-3x）]元.

（1）要使生产该产品[2]小时获得的利润不低于[3000]元，求[x]的取值范围；

（2）要使生产[900]千克该产品获得利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

16.已知[x，y]为正实数，满足[1≤lgxy≤2，3≤lgxy][≤4]，求[lg（x4y2）]的取值范围.

17.解关于[x]的不等式[（1-ax）2<1].

18.解关于[x]的不等式[ax2-（a+1）x+1<0].

4.高中不等式的基本性质知识点篇四

1．不等式的定义：a-b>0

a>b, a-b=0

a=b, a-b<0

①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

如证明y=x3为单增函数，设x1, x2∈(-∞,+∞), x1

+x22]

再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)

2．不等式的性质：

①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有：

(1)a>bb

(2)a>b, b>ca>c(传递性)

(3)a>ba+c>b+c(c∈R)

(4)c>0时，a>bac>bc

c<0时，a>bac

运算性质有：

(1)a>b, c>da+c>b+d。

ac>bd。(2)a>b>0, c>d>0(3)a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。

(4)a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

5.《不等式及其基本性质》教案2 篇五

【教学内容】

课本上不等式的五个基本性质，并学会应用.【教学目标】

1、掌握不等式的五个基本性质并且能正确应用.2、经历探究不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题和解决问题的能力.3、开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值.【重点难点】

重点：理解不等式的五个基本性质.难点：对不等式的基本性质3的认识.【教学方法】

本节课采用“类比－实验－交流”的教学方法.【教学过程】

一、回顾交流.1、等式的基本性质解一元一次方程的基本步骤

2、问题牵引：

用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律：

（1）5>3，5+2

3+2，5－2 3－2 ；

（2）–1<3，-1+2 3+2，-1－3 3－3 ；

结果：

（1）>、>（2）<、< 根据发现的规律填空：

当不等式两边加或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向______

3、继续探究，接着又出示（3）、（4）题： 5 2×5，6×（3）6＞2，6×（-5）

2×（-5），6 3×6，（4）2<3，（-2）×（-2）×（-6）

3×（-6）.得到：

当不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.总结出不等式的性质：不等式的性质1：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.c

> b±c 字母表示为：如果a＞b，那么a±不等式的性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.字母表示为：如果a>b，c>0那么ac

> bc，不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.字母表示为：如果a＞b，c＜0那么ac

< bc，不等式的对称性：如果a>b，那么bb，b>c，那么a>c

二、范例学习，应用所学.1、利用不等式的性质解下列不等式．（1）x-7＞26

（2）3x<2x+1（3）3x﹥50

（4）-4x﹥3

22、逐题分析得出结果.（1）x-7＞26 分析：解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x﹥a或x﹤a的形式．

解：（1）为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得 x-7+7﹥26+7 x﹥33（2）3x<2x+1

为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等号的方向不变.3x-2x﹤2x+1-2x x﹤1 通过两小题得到：解不等式时也可以“移项”，即把不等式的一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．（3）3x ﹥50 2为了使不等式 32x﹥50中不等号的一边变为x，根据不等式的性质２，不等式的两边都乘

23不等号的方向不变，得 x﹥75（4）-4x﹥3

6.等式的基本性质说课稿篇六

一、教材分析

第十一章《一元一次不等式和一元一次不等式组》是在学习了数轴、等式性质、解一元一次方程、一次函数的基础上，从研究不等关系入手，展开对不等式的基本性质、不等式的解集、解一元一次不等式(组)、一元一次不等式与一次函数的研究学习。本课题为第十一章第二节《不等式的基本性质》。它在教材中起着承上启下的作用。关于它的学习以等式的基本性质为基础，它是学生以后顺利学习一元一次不等式和一元一次不等式组的解法的重要理论依据，是学生后继学习的重要基础和必备技能。

二、教学目标

知识目标：

1、经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

2、掌握不等式的基本性质，运用不等式的基本性质将不等式变形。

能力目标：

1、培养学生类比、归纳、猜想、验证的数学研究方法。

2、发展学生的符号表达能力、代数变形能力。

3、培养学生自主探索与合作交流的能力。

情感目标：让学生感受生活中数学的存在，并且在自主探索、合作交流中感受学习的乐趣。

三、教学重点和难点

重点：掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形

难点：不等式基本性质3的运用

四、教法分析

活动是影响人发展的决定性因素，学生的学习只有通过自主活动并从中体验、感悟、建构自己的知识经验，培养积极的学习情感，才能得到自身的发展。但学生主动参与学习活动的方向，活动过程的积极化离不开教师的“导”。本节课我采用从生活中创设问题情景的方法激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动。在整个探究学习的过程充满师生之间，生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。

五、学法分析

“教为不教，学为会学”，“授之以鱼”更要“授之以渔”。在教的过程中，关键是教学生的学法，本节课教给学生类比，猜想，验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。

六、教学过程分析

(一)本节教学将按以下五个流程展开：

回顾思考，引入课题

创设问题情景，探索规律

尝试练习，应用新知

总结反思，获得升华

布置作业，深化巩固

(二)教学过程

1、回顾思考，引入课题

观察下面两个推理，说出等式的基本性质

(1)∵a=b

∴a±3=b±3

a±(x2+2y)=b±(x2+2y)

(2)∵a=b

∴3a=3b

-a/4=-b/4

提出问题：那么不等式有没有类似的性质呢?引入课题。

[设计意图：“有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始”。不等关系与相等关系有着辨证的关系。学生已经在六年级上册学习了等式的基本性质，因此，要类比等式的基本性质进行不等式基本性质的教学。课堂开始通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点，使学生进入一种“心求通而未得，口欲言而未能”的境界，使他们有兴趣的进入数学课堂，为学习新知识做好准备。]

2、创设问题情景，探索规律

问题1：在天平两侧的托盘中放有不同质量的砝码。

右低左高说明右边的质量大于左边的质量。往两盘中加入相同质量的砝码，天平哪边高，哪边低?减去相同质量的砝码呢?(拿一个天平让学生亲手操作，获得直观感受)

[设计意图：数学源于生活，问题1的设计是为了从学生的生活经验出发，让学生感受生活中数学的存在，不仅激发学生学习兴趣，而且可以让学生直观地体会到在不等关系中存在的一些性质]

问题2：在不等式的两边加上或减去相同的数，不等号的方向改变吗?

如不等式7>4,-1<3不等式的两边都加5，都减5。不等号的方向改变吗?你能得出什么结论?再举几例试试，验证你所得的结论正确吗?(让学生先独立思考，后合作交流)

一般学生会得到：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。

这时可提出问题：把“数”的范围扩大到整式可以吗?

学生讨论可能得出结论：可以，因为整式的值就是实数。

让学生归纳总结：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。(教师板书：不等式的基本性质1)

引导学生说出符号语言：

如果a

如果a>b，那么a+c>b+c,a-c>b-c(教师板书)

[设计意图：类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想

方法中类比思想的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，

让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。]

问题3：若不等式两边同乘以或除以同一个数，不等号的方向改变吗?

如不等式2<3，两边同乘以5，同除以5(即乘以1/5)，同乘以0，同乘以-5，同除以-5。你能得出什么结论?再举几例试试，验证你所得的结论正确吗?

(结合不等式基本性质1的探索方法，学生可能很快就探索出不等式的基本性质2、3)

让学生归纳总结：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;

不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

(教师板书：不等式的基本性质2，不等式的基本性质3)

引导学生说出符号语言：

如果a>b，c>0，那么ac>bc

如果a0，那么ac

如果a>b，c<0，那么ac

7.不等式的基本性质习题篇七

一、积极情感支持———鼓励学生思维点亮课堂

笔者在探索“不等式性质1”这一环节中,没有遵循传统的方式,即列出一些生活实例,然后归纳性质.而是设置了第一个探索活动:“类比等式性质1,以一个不等式为例,对不等式两边同时加上或减去同一个数或整式,你发现了什么?”学生很快举出“若5>3,则5+2>3+2;若x>0,则x+1>0+1;若a>b,则a+1>b+1”这些例子,并发现不等号的方向不变.继而提问:“通过这些具体的例子,我们得到了不等号方向不变的猜想,你如何验证猜想成立?有没有生活中的实例能验证这些式子是成立的?”这些事例不是教师提供的,学生能够列举,说明对不等式的性质1足够理解了.预计到这个问题可能有些难度,我准备了天平的例子,天平左右两边加减相同的砝码,轻重关系不变.谁知我低估了学生的实力.有一名学生自告奋勇回答:“老师的年龄肯定比我大,几年后老师的年龄也比我大相同的岁数.”拿老师举例,同学们都笑了,“非常好,这个例子十分到位,几年前我们年龄的大小关系也是一样的,就是不等式的性质1.”我惊喜地说道.这时看到底下许多双手都举起来了.“班上最高的同学和最矮的同学如果站在同一个平台上,高低关系还是一样的.”一个调皮的学生说道.天平的例子我没有举出来,因为学生经历了一个完整的发现性质、证实性质、接纳性质的过程,他们的内心深处前所未有地接近了知识点.

二、组织架构支持———组织课堂讨论“货真价实”

学生在经历了举例探索不等式性质1的活动以后,已知熟知了这种类比猜想、归纳的探索方式,于是直接提问:“类比等式性质2,用同样的方法,你觉得探究不等式性质2时,需要做怎样的尝试?”学生毫无悬念地回答:“举例子,给一个不等式两边同时乘或除以一个数.”为引导学生的讨论有明确的方向性,在教学中就可以出示7>4的例子,让学生同时乘或除以一个数,并进行填空,让学生看到不等号方向改变的情况.学生讨论的目的性很明确,就是能够分类,乘正数时,不等号方向不变,乘负数时不等号的方向改变,那么思维难度在于有些学生举的例子里全是正数,结论就不完整,还有对于乘0的叙述.这个设置既能让学生都动笔参与,言之有物,也能突破重难点,让学生铭记要分类.

三、教学技术支持———活用几何画板力佐新知

在验证不等式性质1、2时,在几何画板中,能够借助数轴上的左右位置关系来反映数或式的大小关系.

(一)验证不等式性质1

图2

如图1:a>b,数轴中a在b的右侧.如图2、3将不等式两边加减相同的数转化为数轴上向右、向左平移相同的距离,a与b运算后左右相对位置关系不变,即大小关系不变,体现性质1.

(二)验证不等式性质2

如图4:a>b,数轴中a在b的右侧.如图5将不等式两边乘或除以同一个正数,转化为数轴上的缩放,运算后a′和b′左右相对位置关系不变,即大小关系不变,不等号的方向不变;如图6将不等式两边乘或除以同一个负数,转化为数轴上的镜面反射,特别是乘-1,即变为原数的相反数,关于原点对称,运算后a′和b′左右相对位置发生改变,不等号的方向改变.

摘要：本文以“支持学习”理论为指导,以“不等式的性质”这一课为例,从学生思维、课堂讨论、几何画板等角度改进和优化初中数学教学方法,以期促进学生深度地学,成就活力课堂.

8.解读一元一次不等式及其性质篇八

一、不等式

1．概念

像<，x>50这样用不等号表示大小关系的式子叫做不等式．应注意，像a+2 ≠ a-2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

理解不等式的概念应抓住两点：一是含有不等号；二是不等号两边是数或式子．

2．常见的不等号的类型

（1）“≠”读作“不等于”，表示两个量之间的关系是不等的，但不知道谁大谁小；

（2）“>”读作“大于”，表示左边的量比右边的量大；

（3）“<”读作“小于”，表示左边的量比右边的量小；

（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量大于或等于右边的量；

（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量小于或等于右边的量．

例1用不等式表示下列数量关系．

（1）a比-3大．

（2）a的5倍是正数．

（3）x与y的差的绝对值是非负数．

（4）a的平方与b的平方之和的倒数不大于4．

[分析：]应先正确列出相应的代数式，再用不等号连接起来．

解：（1）a>-3．

（2）5a>0．

（3）|x-y|≥0．

（4）≤4．

[说明：]在列不等式时，要注意“非负数”、“不大于”等词语的含义．

二、不等式的解和解集

不等式的解是指使含未知数的不等式成立的未知数的值．

不等式的解集是指一个不等式所有解的集合．

一个不等式可能有一个解、两个解、无数个解，也可能无解.一个不等式的解集只有一个．如果一个不等式无解，但解集是有的，只不过这个解集中没有一个数值，集合是空的．

例2下列说法错误的是（）．

A． x<2的负整数解有无数个

B． x<2的整数解有无数个

C． x<2的正整数解是1和2

D． x<2的非负整数解是0和1

[分析：]2不是不等式x<2的解，所以C错误．

解：选C．

例3（2007年金华市中考题）不等式2x-6>0的解集在数轴上表示正确的是（）．

[分析：]不难看出，使不等式成立的x必须大于3．

解：选A．

三、不等式的性质

不等式的性质不仅是不等式变形的重要依据，而且是解不等式的基础，因此，不等式的性质在不等式这部分内容中十分重要．

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c．

性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

如果a>b，c>0，那么ac>bc，>．

性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

如果a>b，c<0，那么ac

在学习不等式的性质时，大家要注意借助类比思想，对照等式相应的性质来感受不等式的性质，比较它们的相同之处和不同之处．特别是性质3，不等式两边乘以（或除以）同一个负数时，不要忘记改变不等号的方向．

例4（1）若a>b，则-2a-3-2b-3．

（2）若a>0，b<0，c<0，则（a-b）c0．

[分析：]题（1）是在a>b的两边先同乘以-2，再同减去3；题（2）要先判断a-b是正数还是负数，再判断（a - b）c的符号．解题过程中要注意正确运用不等式的性质．

解：（1）填<．（2）填<．

例5如果关于x的不等式（a+1）x>a+1的解集是x<1，那么a的取值范围是（）．

A． a>0 B． a<0

C． a>-1D． a<-1

[分析：]不等式（a+1）x>a+1要变形为x<1，就需要根据不等式的性质3，在原不等式的两边同时除以负数a+1，a+1<0，故可得a<-1．

解：选D．

[说明：]这道题实际上是逆向应用不等式的性质．解题时一定要注意不等号的方向是否改变，从而判断未知系数的正负性．

例6（2007年乌兰察布市中考题）用“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体．用天平比较它们的质量，两次测量的情况如图1，那么将“○”、“□”、“△”按质量从小到大的顺序排列应为（）．

A． ○□△B． ○△□

C． □○△ D． △□○

[分析：]由两次测量的情况可知，“○”的质量大于“□”，而“□”的质量是“△”的2倍，所以“○”的质量最大，“△”的质量最小．

解：选D.

四、一元一次不等式

教材中说，含有一个未知数，未知数的次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式．例如3a-8<0， +5≥-1等都是一元一次不等式；而7x+y>8，+5≤4，2x2-4x-9<0等都不是一元一次不等式．

在学习一元一次不等式时，应注意将其与一元一次方程进行比较．其实这两者是类似的，只不过一元一次方程是用等号连接的，而一元一次不等式是用不等号连接的．

9.不等式的基本性质习题篇九

不等式和它的基本性质

现实世界中的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。我们知道，相等关系可以用等式来表示，不等关系怎样来表示呢？我们来看下面的式子：

－7＜－5，3＋4＞1＋4，5＋3≠12－5，a≠0，a＋2＞a＋1，x＋3＜6

这些式子含有不等号“＜”“＞”，“≠”，像上面用不等号表示不等关系的式子，叫不等式。

我们再来看上面的最后一个不等式x＋3＜6，请同学们研究何时这个不等式成立？练习：

1、用小于号“＜”或大于号“＞”填空:

(1)4－6(2)－10(3)–8－3(4)–4.5－4

2.用小于号“＜”或大于号“＞”填空:

(1)7＋34＋3(2)7＋(－3)4＋(－3)

(3)7×34×3(4)7×(－3)4×(－3)

3.用不等式表示:

(1)a是正数;(2)a是负数

(3)a与6的和大于5;(4)x与2的差小于－1

(5)a的4倍大于7(6)y的一半小于3

一般地说,不等式有下面三条性质:

不等式的基本性质1不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质1不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质1不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.例1.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式:

(1)x－2＜3(2)6x＜5x－1(3)2x＞5(4)–4x＞3.例2.设a＞b,用“＜”或”＞”号填空:

(1)a－3b－3(2)2a2b(3)–4a－4b

练习:

1.解下列不等式,并把它们的解集在树轴上表示出来:

(1)5x＞－10(2)－3x＋12＜0

(3)x3＞3;(4)x＜－3 25

(5)8x－1＞6x＋5(6)3x－5＜1＋5x

10.不等式的基本性质习题篇十

一、教学任务分析

不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。

本节课教学目标：

（1）知识与技能目标：

①经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

②掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。

（2）过程与方法目标：

①能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。

②通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法。

③进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（3）情感与态度目标：

①通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。

②尊重学生的个体差异，关注学生对问题的实质性认识与理解。

二、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：情景引入，提出问题；第二环节：活动探究，验证明确结论；第三环节：例题讲解及运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。

第一环节：情景引入，提出问题

活动内容：利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平？

活动目的：让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时，比较才是公平的，高的同学仍然高，矮的同学仍然矮，这是不可能改变的事实。

活动实际效果：学生对能自己参与的活动很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。

第二环节：活动探究，验证明确结论

活动内容：

参照教材与多媒体课件提出问题：

（1）

还记得等式的基本性质吗？请用字母表示它。不等式有类似的性质吗？先猜一猜。

（2）

用等号或不等号完成下面的填空。

如果2

3；那么

5；

×；

(-1)

1)；

5)；

(-)

(-).（3）

验证你的结论，用字母表示你所发现的结论。

（4）

与同伴交流你的结论，并展示。

生1：等式的基本性质1用字母可以表示为：，类似地得到，如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果不等号方向不变。

字母表示为：∵a＞b，∴a±c＞b±c；或∵a＞b，∴a±c＜b±c。

生2：对于等式的基本性质2，用字母可以表示为：，其中。经过前面的探索，可类似地得到：

如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生改变。字母表示如下：

活动目的：通过等式的基本性质对比不等式的基本性质，由特殊的数值到字母代表数，从中归纳出一般性结论。进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。

活动实际效果：以问题的形式引导学生从对比中自己先猜想不等式的基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来。因此在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引。这时，学生对于由自己推导出性质应该感到非常兴奋。

第三环节：例题讲解及运用巩固

活动内容：

1、在上一节课中，我们猜想，无论绳长取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即。你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？

2、将下列不等式化成“”或“”的形式：

（1）

（2）

练习设计：

1、将下列不等式化成“”或“”的形式：

（1）

（2）

（3）

2、已知，下列不等式一定成立吗？

（1）

（2）

（3）

（4）

3、小明做这样一题：已知2x>3x,求x的范围。结果小明两边同时除以x，得到2>3。你知道他错在哪?

活动目的：在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据，加强学生对不等式的基本性质的理解。随堂练习学生独立完成，师生共同讲解，能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯，并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的。

活动实际效果：学生在讲解例题与练习的过程中，思维非常活跃，都非常踊跃的举手要求上黑板示范，并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范，达到预期教学目的。

第四环节：课堂小结

活动内容：学生自己总结今天这节课有什么收获，思考后对全班说出，与全班同学讨论交流。

活动目的：学生说出自己的收获与感想与全班交流，若有任何疑问可以当堂提出供大家讨论。教师要学会倾听并鼓励学生的回答，关注学生对问题的实质性认识与理解，尊重学生的个体差异，关注学生的学习情感和自信心的建立。

活动实际效果：学生自我总结本节课所学到的知识和重点注意的问题，畅所欲言自己的切身感受与实际收获，除了今天所学新的内容之外，还复习巩固了等式的基本性质，体会新旧知识的联系与区别。

第五环节：布置作业

三、教学反思

本节课通过复习等式的基本性质，类比得出不等式的基本性质。教学中问题的设置通过与等式的基本性质相对比，引导学生自己先猜想不等式基本性质、再通过具体数值验算性质、最后自己总结归纳完善性质定理并能用字母表示出来。在接下来的讲解例题与练习的过程中，每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范。

11.不等式的基本性质习题篇十一

一、与解析几何结合

例1:若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,求1/a+1/b的最小值.

解:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心的坐标为(-1,2),半径r=2.

因为直线被圆截得的弦长为4,所以该弦为直径,即直线axby+2=0过圆心,所以-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以, 当且仅当b/a=a/2b,即时取等号,故1/a+1/b的最小值为.

二、与线性规划结合

例2:设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,求2/a+3/b的最小值.

解: 不等式组所表示的平面区域可由线性规划知识描出由图可知,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+1/2=0与直线6x-2y-3=0的交点 (1,3/2)时 ,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值6, 即a+3/2b=6, 即2a+3b=12, 所以, 当且仅当a=b=12/5时等号成立.

三、与概率问题相结合

例3:一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,其中a,b,c∈(0,1).已知他投篮一次得分的期望是2,则2/a+1/3b取得最小值时,求不得分的概率c.

解:由期望的计算公式可知3a+2b+0×c=2,

四、与函数图像相结合

例4:若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数f(x)=ax+1+1(a>0,a≠1)的图像恒过同一个定点 , 则当1/a+1/b取最小值时,求函数f(x)的解析式.

解:由指数函数的性质可得定点为(-1,1),将其代入直线可得-a-2b+2=0,即a+2b=2,所以,当且仅当a2=2b2时等号成立取得最小值,所以

五、总结

以上四个例题能够让学生明白“1”代换在基本不等式中的重要作用,它代表了一种思想方法.学生如果能够紧紧抓住这一点,那么不管是与解析几何相结合,还是与其他数学基本知识相结合,问题都能够迎刃而解.但是值得注意的是,教材中反复强调基本不等式运用必须满足条件“一正;二定;三相等”,在处理此种问题时一定要先验证,以免掉入陷阱,导致解答出错.

精选了两道练习题,以之为结束语.

1. (2014甘肃酒泉二模 ) 函数(a>0,a≠1) 的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则求1/m+2/n的最小值.

12.不等式的基本性质习题篇十二

策略一: (转化为含参函数的最值讨论) 若函数f (x) 在定义域为D, 则当x∈D时, 有f (x) ≥M恒成立f (x) min≥M;f (x) ≤M恒成立f (x) max≤M

(1) 求f (x) 的反函数f-1 (x) ;

策略二: (分离参数, 转化为求函数的最值) 运用不等式的相关知识不难推出如下结论:若对于x取值范围内的任何一个数都有f (x) >g (a) 恒成立, 则g (a) <f (x) min;若对于x取值范围内的任何一个数, 都有f (x) <g (a) 恒成立, 则g (a) >f (x) max。 (其中f (x) max和f (x) min分别为f (x) 的最大值和最小值

例二定义在R上的单调函数f (x) 满足f (3) =log23且对任意x, y∈R都有f (x+y) =f (x) +f (y) 。

(1) 求证f (x) 为奇函数;

(2) 若对任意x∈R恒成立, 求实数k的取值范围。

分析:问题 (1) 欲证f (x) 为奇函数即要证对任意x都有f (-x) =-f (x) 成立。在式子f (x+y) =f (x) +f (y) 中, 令y=-x可得f (0) =f (x) +f (-x) 于是又提出新的问题, 求f (0) 的值。令x=y=0可得f (0) =f (0) +f (0) 即f (0) =0, f (x) 是奇函数得到证明。问题 (2) 的上述解法是根据函数的性质。f (x) 是奇函数且在x∈R上是增函数, 把问题转化成二次函数f (t) =t2- (1+k) t+2>0对于任意t>0恒成立.对二次函数f (t) 进行研究求解。

【解析】 (1) 证明:f (x+y) =f (x) +f (y) (x, y∈R) , (1)

令x=y=0, 代入 (1) 式, 得f (0+0) =f (0) +f (0) , 即f (0) =0。

令y=-x, 代入 (1) 式, 得f (x-x) =f (x) +f (-x) , 又f (0) =0, 则有0=f (x) +f (-x) 。即f (-x) =-f (x) 对任意x∈R成立, 所以f (x) 是奇函数。

(2) 解:f (3) =log23>0, 即f (3) >f (0) , 又f (x) 在R上是单调函数, 所以f (x) 在R上是增函数, 又由 (1) f (x) 是奇函数。

说明:上述解法是将k分离出来, 然后用平均值定理求解, 简捷、新颖。利用变量分离解决恒成立问题, 主要是要把它转化为函数的最值问题.

13.不等式的基本性质习题篇十三

《等式的基本性质》是五年级第二学期认识方程的第二、三课时。等式的基本性质是解方程的认知基础，也是解方程的重要理论依据，因此学习和理解等式的性质就显得尤为重要。这学期我们学习等式的两个性质，因此把等式两边同加的这条性质作为重点讲解内容，另一条性质在第一条性质之后，由学生通过观察、理解、操作等学习方法，共同探索得出结论，教师只是给予适时的点拨，总结。加法是学生学习计算的基础，因此在教学等式的性质一时，通过课件演示，第一层次，在天平两边同时放上同样的物品，并用等式表示（50=50）。第二层次，问：怎样在天平的两边增加砝码，使天平仍然保持平衡？得出两个等式50+10=50+10；50+20=50+20；……50+a=50+a问：你发现了什么？学生清楚地意识到：天平是否保持平衡，不是取决于放的物品是相同的，而是真正取决于所放物品的质量是否相同。也就是等式两边同时加上同一个数，所得的结果仍然是等式。这样的设计，将学生的思维引入到了对事物的本质探究上，使学生明确对知识的探索不要仅停留在表面，而要进行更深入的思考。教师在引导学生进行实验的同时，也注意到将等式与课件演示进行结合学生对于等式的同加性质有了更深入的理解，能够较为准确地概括出等式的性质。有了这样的学习基础，为学生更深入的研究等式的性质做了坚实的铺垫。在教学等式两边同减、同乘、同除的性质时，教师便逐渐放手，让学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证的过程中，积极参与验证自己的猜想，在实验的同时获得了成功的喜悦，感受到思考的乐趣，对等式的性质有初步的了解，为后面学习解方程奠定了良好的基础。

14.“绞尽脑汁”使用基本不等式篇十四

基本不等式是解决最值问题的重要工具, “一正、二定、三相等”是运用基本不等式的前提条件, 缺一不可.很多最值问题的求解方法往往具有一定的隐蔽性, 需要进行适当地变形方能使用基本不等式, 若能掌握它, 则可将复杂问题简单化.

一、拆项、添项

例1 已知 $x < \frac{5}{4}$ , 求函数 $y = 4 x - 2 + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最大值.

分析:因为4x-5<0, 所以首先要“调整”符号.又 $(4 x - 2) \cdot \frac{1}{4 x - 5}$ 不是常数, 所以对它要进行“配凑”.

解:由 $x < \frac{5}{4}$ , 有5-4x>0, 所以 $y = 4 x - 2 + \frac{1}{4 x - 5} = - (5 - 4 x + \frac{1}{5 - 4 x}) + 3 \leq - 2 + 3 = 1$ .当且仅当 $5 - 4 x = \frac{1}{4 x - 5}$ , 即x=1时, 上式等号成立.故当x=1时, ymax=1.

引申:设x≥5, 函数 $y = x + \frac{3}{x}$ 的最小值是.

分析:若直接使用基本不等式, 则等号无法取到, 所以通过变换, 可部分使用.

解:把条件变为 $y = x + \frac{3}{x} = x + \frac{25}{x} - \frac{22}{x}$ , 当x≥5时, $y = - \frac{22}{x}$ 单调递增, 而 $y = x + \frac{25}{x} \geq 2 \sqrt{25} = 10$ 在x=5时取得最小值.所以 $y = x + \frac{3}{x}$ 在x=5时有 $y_{\min} = 10 - \frac{22}{5} = \frac{28}{5} .$

评注:1.本题无法直接运用基本不等式求解, 但可适当进行拆项, 即配凑出积为定值, 从而可利用基本不等式求最大值.2.本题还可以运用导数法进行求解.

二、平衡系数

例2 当0<x<2时, 求y=x (4-2x) 的最大值.

分析:利用基本不等式求最值的关键是和为定值或积为定值, 本题是积的形式, 但其和不是定值, 注意到2x+ (4-2x) =4为定值.故只需将“x”项添加适当的倍数, 即配凑上一个系数即可用基本不等式.

解:由0<x<2, 知 $4 - 2 x > 0 . y = x (4 - 2 x) = \frac{1}{2} [2 x (4 - 2 x)] \leq \frac{1}{2} (\frac{2 x + 4 - 2 x}{2})^{2} = 2 .$

当且仅当2x=4-2x, 即x=1时取等号, 其最大值为2.

评注:1.本题无法直接运用基本不等式求解, 但添加适当的倍数, 即平衡系数后可得到和为定值, 从而可利用基本不等式求最大值.2.本题还可以化归为二次函数进行求解.

三、“1”的巧妙代换

例3 已知m>0, n>0, 且2m+n=1, 求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值.

分析:易出现错解:

$1 = 2 m + n \geq 2 \sqrt{2 m n}$ ①

可得 $\frac{1}{\sqrt{m n}} \geq 2 \sqrt{2} . \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{m} \cdot \frac{1}{n}} = \frac{2}{\sqrt{m n}} \geq 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ ②

错因:①等式等号取得的条件是当且仅当2m=n;②等号成立的条件是当且仅当 $\frac{1}{m} = \frac{1}{n}$ .而两个等号不可能同时取到.那么有的同学会认为不能运用基本不等式, 其实不然, 若我们妙用常数“1”, 能配凑出和或积为定值, 会出现意想不到的效果.

正解: $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = (\frac{1}{m} + \frac{1}{n}) (2 m + n) = 3 + \frac{n}{m} + \frac{2 m}{n} \geq 3 + 2 \sqrt{2} .$

当且仅当 $\frac{n}{m} = \frac{2 m}{n}$ 时取等号, 即 $m = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, n = \sqrt{2} - 1$ , 故 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2} .$

引申:已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ , 求 $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x}$ 的最小值.

分析:很多同学通常先通分, 然后再分离, 但若挖掘隐含信息2x+ (1-2x) =1, 便构造出常数“1”, 可考虑上题的方法“1”代换

$\begin{array}{l} 解 ∶ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x} \\ = (\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x}) [2 x + (1 - 2 x)] \\ = 3 + \frac{1 - 2 x}{x} + \frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 3 + 2 \sqrt{2} \end{array}$

当且仅当 $\frac{1 - 2 x}{x} = \frac{2 x}{1 - 2 x}$ 时取等号, 即

$x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

评注:此类问题求解的关键是抓住条件和结论的结构特点及两者之间的关系, 类比联想, 合理配凑.

四、三角换元

例4 同例3

解:由m>0, n>0, 且2m+n=1, 可设

$m = \frac{1}{2} \sin^{2} α, n = \cos^{2} α$

$\begin{array}{l} 则 \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{2}{\sin^{2} α} + \frac{1}{\cos^{2} α} \\ = 2 (1 + \cot^{2} α) + (1 + \tan^{2} α) \\ = 3 + (2 \cot^{2} α + \tan^{2} α) \geq 3 + 2 \sqrt{2} \end{array}$

.当且仅当 $\tan α = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ 即 $m = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, n = \sqrt{2} - 1$ 取等号.

故 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2} .$

评注:此类问题求解的关键是抓住条件结构特点, 合理进行三角代换, 再利用诱导公式, 配凑出积为定值.

五、连续使用基本不等式

例5 设a>b>0, 求 $a^{2} + \frac{16}{b (a - b)}$ 的最小值.

分析:条件为和式, 但无法直接配凑出积为定值, 从而思维陷入困境;此时若能发现对每二个式子使用基本不等式后, 产生积为定值, 则难点得到突破, 方法巧妙, 令人扑案叫绝.

解:由 $\frac{16}{b (a - b)} \geq \frac{16}{(\frac{b + a - b}{2})^{2}} = \frac{64}{a^{2}}$ , 此时等号成立条件是b=a-b即a=2b, 所以 $a^{2} + \frac{16}{b (a - b)} \geq a^{2} + \frac{64}{a^{2}} \geq 2 \sqrt{64} = 16$ , 此时等号成立条件是 $a^{2} = \frac{64}{a^{2}}$ 即a=4, 所以此时b=2>0.