高一数学必修2知识点

高一数学必修2知识点（精选8篇）

1.高一数学必修2知识点 篇一

1、古代农业耕作方式演变

(1)刀耕火种(原始农业) (2)石器锄耕 (3)铁犁牛耕

2、古代农业的生产工具：春秋战国—铁犁;西汉—耦犁、耧车(播种工具);隋唐—曲辕犁

3、古代耕作方法演变：春秋战国—垄作法(当时世界上最先进的耕作方法);西汉—代田法

4、古代水利工程：都江堰(战国);漕渠、白渠、龙首渠(汉)

5、古代灌溉工具演变：翻车(三国)、筒车(唐朝)、高转筒车(宋朝)、风力水车(明清) 6、中国古代人们由不断迁徙走向定居的原因：生产力的发展

7、小农经济出现的时间：春秋战国出现

8、小农经济出现的原因：

①春秋战国时期，铁农具的出现和牛耕的普及，提高了生产力。(根本原因)

②封建土地私有制的确立

9、小农经济的特点：

①以家庭为生产单位(分散性)

②农业和家庭手工业相结合是一种自给自足的自然经济(封闭性) ③分工简单，技术落后(落后性) ④易受天灾、苛政的影响(脆弱性)

10历代统治者的重视，是中国传统农业社会生产的基本模式。

11、对小农经济的评价：积极 ①提高农民生产的积极性

②为我国农业的精耕细作做出了贡献

消极 ①小农经济比较脆弱，容易破产

②是我国封建社会繁荣的原因，是中国封建社会发展缓慢和长期延续的重要原因

12、中国古代手工业的经营形态：

官营手工业、 民营手工业 、家庭手工业

13、三大手工业部门的发展状况

青铜：商周—鼎盛(青铜时代) 代表：司母戊鼎、四羊方尊等 冶 金 冶铁：西周晚期出现铁器 ，两汉的高炉炼铁和炒钢技术;东汉杜诗发明水排(水利鼓风冶

铁工具) 炼钢：南北朝—灌钢法(水排和灌钢法使中国的冶炼技术在16世纪前一直领先于世界) 商朝—原始瓷器;东汉—青瓷;北朝—白瓷唐朝;唐朝—南青北白;宋朝—五大名窑 瓷

元朝----青花瓷 明清—--珐琅彩、彩瓷;景德镇成为瓷都 器 丝 商朝— 出现丝织品; 西周—斜花提纹织物; 业西汉—政府在长安设东西织室; 唐代—吸收了波斯的织法和图案风格

14、中国古代资本主义萌芽出现的地点：江南

15、资本主义萌芽出现的标志：“机户出资，机工出力”这种带有雇佣与被雇佣关系的手工工场的出现。

16、资本主义萌芽发展缓慢的原因：封建制度的束缚(根本原因)、重农抑商、闭关锁国

2.高一数学必修2知识点 篇二

摘 要：化学概念性知识是高中化学课程内容的重要组成内容，分布在课程的各个模块中，特别是必修模块2的概念性知识，具有主题覆盖面广、教学层次要求较基础、与选修教材内容紧密联系的特点。本文对必修模块2的概念性知识的教材整合的原则、策略与方式进行了论述，并结合实例进行说明。

关键词：高中化学；概念性知识；教材整合

【分类号】G633.8

基金资助：四川省2013-2016年高等教育人才培养质量和教学改革项目“高师学生教学技能提升的‘三元一體教学模式研究与实践”（编号：2013/781/374）的阶段性成果

化学概念是对一类化学事物的概括，是化学科学发展的成果。学好化学概念性知识，是解决很多化学难题的关键，也是学好化学学科知识的首要任务。人教版高中化学教材必修模块2中所涉及的化学概念性知识具有基础性、抽象性、层次性、系统性等特点。

针对化学概念性知识的特点，对化学概念性知识进行整合，让学生感受知识形成的过程，有助于学生形成整体的知识体系，更好的实现知识的“螺旋上升”。

一、教材整合的原则

1.课标要求为依据的原则

《基础教育课程改革纲要（试行）》明确指出，国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础。课程标准要求教科书的编写要有利于发挥教师的教学创造性，建议学校和教师努力建设、开发与利用校内外的课程资源，进而丰富化学课程内容，促进学生积极主动地学习。现行的化学教材主要有三个版本，都是依据《高中化学课程标准》的要求进行编写的，但它们在教材的结构和知识呈现的方式以及顺序上都有不同。那么教师在对教材进行自主整合时，无论是引入新教学素材，还是改变教材内容的呈现顺序，都不能偏离课程标准的要求。

2.学生为本的原则

以建构主义理论为指导的课程改革，强调以学生为中心，学生是课堂教学活动的主体。对化学教材概念性知识的整合也应本着以学生为本的基本思路，变教材为“学材”。整合的内容要符合高中生认知的心理特征和当前的认知水平。按照维果茨基的“最近发展区理论”，知识的呈现要采取由简单到复杂、螺旋上升的方式进行，促进学生发现问题、解决问题，培养科学探究能力，提高科学素养。同时，对于层次不同的学生，还应坚持因材施教。例如：同一教学内容，面对基础水平不同的学生班级，采用“同课异构”的方法来实现教学内容的分层教学，在教材深浅和层次上体现一定的差异，另外针对同一班级不同层次的学生，也可以采用差异化的教学手段实施教材。

3.内容的合理性原则

教材的每一节知识都有主题和相应的教学目标。教材整合要围绕这一主题或主线进行，使得教学重点、难点更加突出，主线更加清晰、明确，教学过程更加顺畅。真正做到教有方向、学有目标。而不能为了整合教材忽视内容的合理性，随意的增加一些知识内容，增大学生的学习任务。

4.知识的系统性原则

化学作为一门完整的学科，有其学科知识的系统性。学生如果能理解化学学科知识的系统性，构建对应的知识系统，对总结和归纳已学知识、理解和学习新知识都有很大的帮助。教师在对教材进行整合时，根据教材知识的完整性和系统性，结合学生的实际情况，站在整个高中化学学科教学的角度来分析教材，准确地把握学科体系的基础上，促进学生整体学科知识框架的建立，而不是简单局限于对教材内容的改变。

二、教材整合的策略与方式

课程标准要求老师“创造性地理解和使用教材”。整合是在领会教材编写的思想和意图的前提下，对教材进行优化处理。整合后的教学内容有助于知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标的达成。

1.激发学生学习兴趣的方式

建构主义认为：学生是学习的主体，学生学习知识的过程是在老师的帮助和引导下自主建构知识的过程，教师要引导学生积极主动的参与到课堂教学活动中。让学生积极主动的参与学习的最有效办法是“激发兴趣”，正如古代大教育家孔子所说“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”兴趣是学习主要动力。

以激发学生兴趣为出发点，更有利于教学效率的提高。将教材提供的学生感兴趣的教学资料巧妙的呈现出来，或者是将教材内容与学生生活实际、关注的社会热点信息等相联系，引起学生的兴趣，例如：氧化反应，我们可以提出水“生锈”、水果“生锈”的生活现象引发学生的兴趣。化学能与电能的转化，可以把教材中关于水果电池的制造方法呈现给学生，引起学生对电池的兴趣。还可以利用教材材料创设问题情境，鼓励学生思考解决问题的办法，从而激发学生的兴趣。

2.激活学生原有经验的方式

层次性学习理论认为：人类学习的过程是有层次性、阶段性的，是一个从简单的低级学习向复杂的高级学习发展的过程。学生的心理发展水平也有阶段性，为了符合高中学生的心理特征，教材知识内容的呈现采用螺旋上升的方式，必修教材注重基础知识，选修再对其加深与拓展。课堂教学的一个重要目的就是让学生在原有知识经验的基础上自主构建新知识，在教学的过程中，常利用学生已有的经验，引起认知冲突，激活学生的求知欲，从而进行新知识的探索。了解学生已有的知识内容对整合教材尤为重要，首先应用原有知识经验来创设情境，帮助学生对原有知识的回顾，再提供新材料，引起学生探索和思考。

3.问题驱动学习的方式

教学的有效性的一个重要条件是要抓住学生学习心向。问题对于高中学生学习兴趣的激发、知识的建构、创新能力的培养都有重要的作用。巧妙的设置问题能抓住学生的思维，把学生的注意力集中到研究的问题上，变被动学习为主动学习。整合教材，将教材中陈述的材料，转化为引导学生思考、探究的“问题”形式，让课堂气氛更为活跃，学生学习更积极，更能提高学习效率。

4.活动探究教学模式的方式

新课改实施以来，课堂教学模式有了很大的变化，倡导使用自主、探究与合作等多种学习方式，改变传统的接受的学习方式，避免学生死记硬背、机械记忆。探究式的学习能充分发挥学生的创造能力和实践能力，有益于学生能力的培养。新教材也设置了很多探究活动，以化学实验活动进行探究学习的方式最为常见。我们可以整合教材内容，呈现探究式的教学模式来实施教学，提高教学效率。

对教材的整合，不是简单的教学内容的改变，而是根据新的教学理念、课标要求，根据学习的认知特点，对教材进行深入研究的结果。它是现代教育的产物，是教育观念的更新，是理论的升华。

参考文献：

3.高一数学必修2知识点 篇三

※

1、人民民主专政的本质？人民当家作主。

※

2、人民民主的特点？（1）人民民主的广泛性。不仅表现在人民享有广泛的民主权利，而且还表现在民主主体的广泛性。（2）真实性。表现在人民当家作主的权利有制度、法律、物质的保障。

※

3、民主与专政的关系？

（1）相互区别、相互对立，民主只适用于统治阶级内部，专政适用于被统治阶级。（2）相辅相成、互为前提，民主是专政的基础，专政是民主的保障。

※

4、为什么要坚持人民民主专政？（是正义的事情）（1）坚持人民民主专政是我国的四项基本原则之一，已经写入宪法。（2）是社会主义现代化建设的政治保证。（3）在改革开放的历史条件下被赋予了新的时代内容。

※

5、公民的政治权利和义务的内容？

权利和自由：（1）选举权和被选举权（2）政治自由（3）监督权（批评权、建议权、申诉权、控告权和检举权）

义务的内容：（1）维护国家统一和民族团结（2）遵守宪法和法律（3）维护国家安全、荣誉和利益（4）服兵役和参加民兵组织

※

6、公民在参与政治生活时，要遵循哪些基本原则？

（1）坚持公民在法律面前一律平等的原则（2）坚持权利和义务统一的原则（3）坚持个人利益与国家利益相结合的原则。

※7.在我国，公民的权利与义务的关系？ 统一的，不可分割的。

（1）在法律关系上是相对应而存在的（2）是实现人民利益的手段和途径（3）公民在法律上既是权利的主体，又是义务的主体。（4）权利的实现需要义务的履行，义务的履行确保权力的实现。

※

8、个人利益和国家利益为何结合？怎样结合？

原因：在根本利益上是一致的。要求：（1）我们要积极履行公民义务，以维护国家利益。（2）当两者出现矛盾时，公民的个人利益必须服从国家利益。

※

9、我国公民政治生活的本质？内容？要求？

本质：崇尚民主与法制；

内容：（1）行使政治权利，履行政治性义务（2）参与社会公共管理活动（3）参与社会主义政治文明建设（4）关注我国在国际社会中的地位和作用。

要求：（1）明确政治生活的作用（2）学习政治知识（3）贵在实践

※

10、民主选举的方式？直接选举、间接选举、等额选举、差额选举。

※

11、公民应如何珍惜自己的选举权利？

(1)选民参加选举的态度和能力，是影响选举效果的重要因素。（2）是否积极参加选举，是衡量公民参与感、责任感的重要尺度。（3）怎样行使选举权，如何投出自己的神圣一票，是公民政治参与能力和政治素养高低的体现。

如何行使选举权：公民行使选举权应出于公心，以人民利益为重；要了解候选人的品德和能力表现，在理性思考、判断的基础上，审慎投票。

※12.公民参与民主决策有哪些方式？ 社情民意制度、专家咨询制度、重大事项社会公示制度、社会听证制度。

※

13、公民为什么要参与民主决策？

地位：公民采用不同方式直接参与决策是推进决策科学化、民主化的重要决策。意义：1有利于决策充分反映民意，体现决策的民主性。2有助于决策广泛集中民智，增强决策的科学性。3有利于促进公民对决策的理解，推动决策的实施。4有利于提高公民参与公共事务的热情和决心，增强公民的社会责任感。

※14.发展基层民主的意义？

1利于扩大基层民主；2保证人民群众依法管理自己的事情，创造自己的幸福生活。3是社会主义民主最为广泛而深刻的实践；4也是发展社会主义民主的基础性工作。

※

15、我国公民行使监督权的方式有哪些？

信访举报制度、人大代表联系群众制度、舆论监督制度、其他方式（监督听证会、民主评议会、网上评议政府制度）。

※

16、实行民主监督的意义？公民如何行使监督权？

意义：（1）有利于消除腐败，克服官僚主义的不正之风；（2）改进国家机关及其工作人员的工作；（3）有利于激发广大公民关心国家大事、为社会主义现代化建设出谋划策的主人翁精神；（4）维护国家和公民的合法权益。

如何：（1）为了国家和人民的利益，要敢于同敢恶势力进行斗争，勇于使用宪法和法律规定的监督权；（2）必须采取合法方式，坚持实事求是的原同，不能干扰公务活动。

※

17、有序与无序的政治参与的区别？ 1是否遵循法律、法规2是否依法行使政治权利，履行政治义务3是否正确处理权利和义务。

※

18、我国政府的主要职能有哪些？

（1）保障人民民主和维护国家长治久安的职能（2）组织社会主义经济建设的职能（3）组织社会主义文化建设的职能（4）提供社会公共服务职能

※

19、我国政府的作用？

（1）管理人们的公共生活(2)为人们的生产生活提供公共服务。

※20、我国政府的宗旨和原则？ 宗旨：为人民服务；原则：对人民负责

※

21、坚持对人民负责原则的基本要求？（1）工作态度：坚持为人民服务的工作态度。（2）工作作风：树立求真务实的工作作风（3）工作方法：坚持从群众中来到群众中去的工作方法。

※ 22.什么是依法行政？

政府及其工作人员的权力由法律授予，行使行政权力必须依据宪法和法律规定。

※ 23.政府依法行政的意义？

政府依法行政是贯彻依法治国方略、提高行政管理水平的基本要求。1有利于保障人民群众的权利和自由；2利于加强廉政建设，保证政府及其公职人员不变质，增强政府的权威；3利于防止行政权利的缺失和滥用，提高行政管理水平；4利于带动全社会尊重法律、遵守法律、维护法律，推进社会主义民主法制建设。

※

24、政府依法行政的要求：

具体要求：①合法行政②合理行政③程序正当④高效便民⑤诚实守信⑥权责统一。提高政府依法行政的要求：（1）加强立法工作，提高立法质量，以严格规范行政执法行为 ；（2）加强行政执法队伍建设，促进严格执法、公正执法和文明执法，不断提高执法能力和水平；（3）深化行政管理体制改革，努力形成权责一致、分工合理、决策科学、执行顺畅、监督有力的行政管理体制。

※

25、为什么要对政府权力进行制约和监督？（必要性+意义）

必要性：权利是把双刃剑。政府权力运用得好，可以指挥得法、令行禁止、造福人民；权力一旦被少数人滥用，超越了法律的界限，就可能滋生腐败，贻害无穷。为了防止权利的滥用，需要对权力进行制约和监督，保证把人民赋予的权力来为人民谋利益。

意义：（1）政府只有接受监督，才能提高行政水平和工作效率，防止和减少工作失误；（2）才能防止滥用权力，防止以权谋私、权钱交易等腐败行为，保证清正廉洁；（3）才能更好地适合民意、集民智、聚民心，做出正确的决策；（4）才能真正做到权为民所用，造福于民，从而建立起一个具有权威和公信力的政府。

※

26、政府为什么接受人民的监督？

（1）从根本上说，是有我国政府的性质所决定的。我们的政府是人民的政府，是国家权力机关的执行机关，是人民意志的执行者和人民利益的捍卫者，政府的公职人员是人民的公仆，是为人民利益工作的。因此，只有自觉接受人民的监督，才能更好地执行人民的意志，捍卫人民的利益，坚持对人民负责的原则的。（2）自觉接受人民监督是法治政府的基本要求。只有自觉接受人民监督，才能依照法律规定的程序依法行政。所以说，自觉接收人民监督是推进依法行政，建设法治政府的要求。

※

27、“阳光工程”意义

（1）有利于增强政府工作的透明度，便于群众加强对政府工作的监督（2）有利于群众维护自己的合法权益；（3）有利于化解社会矛盾，维护社会稳定。

※

28、政府权威表现、怎样树立（最根本的三点）

体现：（1）坚持依法行政、维护宪法和法律尊严，从而维护人民群众的根本利益。（2）廉洁高效、团结合作、全心全意为人民服务，在广大群众中享有声望。（3）讲信誉的政府，有令必行、有禁则止，得到人民的自觉认可和拥护。（4）对社会经济发展、政治文明、文化繁荣和社会和谐都会有促进作用。

要求：首先，政府及其工作人员要科学决策、依法行政、审慎用权、优化公共服务、完善社会管理，要自觉接受人民监督，与人民群众保持和谐关系。其次，政府及其工作人员要有良好的业绩。最后，政府工作人员要重品行、作表率，坚持权为民所用；坚持情为民所系；坚持利为民所谋。

※

29、全国人民代表大会的性质、地位和职权？

性质：是最高国家权力机关

地位：在我国国家机构中居于最高地位，其他国家机关都由它产生，对它负责并受它监督。职权：全国人大及其常委会行使最高立法权、决定权、任免权、监督权。※ 30、人民代表的法律地位？

人民代表是国家权力机关的组成人员。全国人民代表大会代表是最高国家权力机 关的组成人员；地方各级人民代表大会代表是地方各级国家权力机关的组成人员。

※

31、人民代表与人民的关系：

人民代表来自人民，受人民监督，为人民服务，对人民负责。注意：人民代表是国家权力的直接行使者，人民是间接行使者。一方面，人民代表由人民选举产生，代表人民的利益和意志行使国家的权力。另一方面，人民代表要与人民群众保持密切联系，听取和反映人民群众的意见和要求，努力为人民服务，对人民负责，并接受人民监督。

※

32、人民代表的权利和义务是什么？

权利：人大代表代表人民在国家权力机关行使管理国家的权力，除审议各项议案、表决各项决定外，还享有提案权和质询权。

义务：人大代表代表人民的利益和意志，依照宪法和法律赋予的各项职权行使管理国家的权力。人大代表在自己参加生产、工作和社会活动中，协助宪法和法律的实施，与人民群众保持密切联系，听取和反映人民群众的意见和要求，努力为人民服务，对人民负责，并接受人民监督。

※

33、政体与国体的关系

是内容与形式的关系，国体决定政体，政体反映国体。适当的、健全的政体，对维护和巩固统治阶级的阶级统治有重大作用。同时，政体具有相对独立性。

※

34、民主集中制体现？

（1）在人大代表与人民的关系上，人大代表由民主选举产生，对人民负责，受人民监督。在人民代表大会的活动中，法律的制定和重大问题的决策，由人民代表充分讨论，实行少数服从多数的原则，民主决定。对违反人民意志和利益的或不称职的代表，人民有权依照法律程序予以罢免。（2）在人民代表大会与其他国家机关的关系上，只有人民代表大会才是国家权力机关，国家行政机关、司法机关都由人民代表大会产生，对它负责，受它监督。（3）在中央和地方国家机构关系上，在中央的统一领导下，合理划分中央和地方国家机构的职权，充分发挥中央和地方两个积极性。

※

35、人民代表大会制度的含义和地位：

含义：是按照民主集中制原则，由人民选举代表组成人民代表大会作为国家权力机关，统一管理国家社会事务的政治制度。

地位：以人民代表大会为基石的人民代表大会制度是我国的根本政治制度。

※

36、人民代表大会制度的优越性——为什么是适合我国国情的根本政治制度？（1）保障了人民当家作主；（2）动员了全体人民投身于社会主义建设；（3）保证了国家机关协调、高效运转；（4）维护了国家统一和民族团结。

※

37、人民代表大会制度的基本内容是什么？

（1）国家的一切权力属于人民（2）人民在普选的基础上选举代表，组成各级人民代表大会作为国家权力机关（3）由国家权力机关产生其他国家机关，依法行使各自的职权（4）实行民主集中制的组织和活动原则。

※38“人民代表大会”是我国人民行使国家权力的机关。

“人民代表大会制”是一种制度，是我国的根本政治制度，是我国的政体。

※

41、中国特色社会主义事业为什么必须坚持中国共产党的领导核心？ P63

客观必然性：中国共产党是我国社会主义事业的领导核心。从根本上说，是我国国家性质和中国共产党的性质决定的。※※意义：（1）才能始终保持现代化建设的社会主义方向（2）才能维护国家统一、民族的团结，并为社会主义现代化建设创造稳定的社会环境。（3）才能最广泛、最充分地调动一切积极因素搞好社会主义现代化建设(4)我国社会主义现代化建设所取得的伟大成就已经证明，中国共产党能够

4而且必须领导现代化建设，我们必须坚持中国共产党的领导。

※※

42、中国共产党的执政方式：科学执政、民主执政、依法执政(含义、原因、具体要求及三者的关系)

科学执政：就是遵循共产党执政规律、社会主义建设规律、人类社会发展规律，以科学的思想、制度和方法领导中国特色社会主义事业。

民主执政：就是坚持为人民执政、靠人民执政，支持和保证人民当家作主，坚持和完善民主集中制，以发展党内民主带动人民民主，壮大最广泛的爱国统一战线。

依法执政：就是坚持依法治国，领导立法，带头守法，保证执法，不断推进国家经济、政治、社会生活的法制化、规范化。

关系：依法执政是共产党执政的基本方式，科学执政、民主执政要通过依法执政体现出来，又要靠依法执政来保证实现。依法执政有利于保证党始终发挥总揽全局、协调各方的领导核心工作。※

43、“三个代表”重要思想的集中概括？（1）代表中国先进生产力的发展要求；（2）代表中国先进文化的前进方向；（3）代表中国最广大人民的根本利益。

※

44、如何贯彻“三个代表”重要思想?(关键、核心、本质)(1)关键在于坚持与时俱进。它是马克思主义最重要的理论品质。“三个代表”的重要思想是坚持

马克思主义的典范，又是马克思主义的典范。(2)核心是坚持党的先进性。党的先进性是党存在和发展的根本条件。(3)本质在于坚持立党为公、执政为民。※※

45、邓小平理论的主要内容、核心、精髓是什么？

主要内容：邓小平理论围绕什么是社会主义、怎样建设社会主义这个主题，深刻揭示了社会主义的本质，第一次比较系统地初步回答了中国社会主义发展的一系列基本问题。核心：党在社会主义初级阶段的基本路线 精髓：解放思想，实事求是

※

46、科学发展观的内涵和意义是什么？

内涵：第一要义是发展，核心是以人为本，基本要求是全面、协调、可持续，根本方法是统筹兼顾。

意义：它科学地回答了实现什么样的发展、怎样发展的重大理论和实际问题。科学发展观是同马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想一脉相承又与时俱进的科学理论，是我国经济社会发展的重要指导方针，是发展中国特色社会主义必须坚持和贯彻的重大战略思想。

※※

47、我国政党制度的内容？

（1）中国共产党是执政党，各民主党派是参政党，他们是通力合作，共同致力于社会主义事业的亲密友党；（2）多党合作的首要前提和根本保证是坚持中国共产党的领导；（3）多党合作的基本方针是长期共存、互相监督、肝胆相照、荣辱与共；（4）多党合作的根本活动准则是遵守宪法和法律；（5）多党合作的重要机构:中国人民政治协商会议。※※

48、我国的政党制度优越性？（1）有利于发展社会主义民主政治；（2）有利于发展社会主义经济和文化；（3）有利于构建社会主义和谐社会；（4）有利于推进祖国统一大业。

49、我国的政党制度符合我国国情，绝不能实行西方的多党制的原因？ 实质：取消中国共产党的领导和执政地位。后果：人民政权的丧失、社会主义制度的颠覆。

※※50、我国处理民族关系的基本原则？民族平等、民族团结、各民族共同繁荣 ※

51、民族团结的重要性？

民族的团结、民族的凝聚力，是衡量一个国家综合国力的重要标志之一，是社会稳定的前提，是经济发展和社会进步的保证，是国家统一的基础。坚持民族团结是我国处理民族关系的重原则。

5※

52、共同繁荣的必要性？

是由社会主义本质决定的，是国家实现现代化和中华民族实现伟大复兴的必然 要求。坚持各民族共同繁荣是我国处理民族关系的根本原则。※

53、处理民族关系的三原则的关系？

互相联系、不可分割的。民族平等是实现民族团结的政治基础。民族平等和民族团结是实现民族团结是实现各民族共同繁荣的前提条件。共同繁荣特别是经济发展，是各民族平等、民族团结的物质保证。

54.怎样巩固社会主义民族关系？（该做什么，能做什么）（1）我们应该珍惜、巩固和发展社会主义新型的民族关系。

我国已经形成了平等团结互助的社会主义民族关系。这种社会主义新型的民族关系已由宪法予以确认，也是我国在各族人民生活中都能体会到的感受到的。我们应十分珍惜，不断巩固和发展。（2）维护国家统一和民族团结是每个公民的责任。

生活在统一的多民族国家里，处理好民族关系问题，既是国家的重大问题，又是人们生活中必须面对的具体问题。

自觉履行宪法规定的维护国家统一和全国各民族团结的义务，是每个中国公民的责任。作为当代青年学生，要把巩固和发展社会主义新型的民族关系付诸行动。

55、民族区域自治制度的含义？自治地方？自治机关？自治权？

含义：是在国家统一领导下，各少数民族聚居的地方实行区域自治，设立自治机关，行使自治权的制度。

※自治地方：自治区、自治州、自治县（旗）三级。※自治机关：自治地方的人民代表大会和人民政府。

※※自治权：立法自治权、经济自治权、文化管理自治权、变通执行权和其他自治权。※※56民族区域自治制度的优越性有哪些？（1）有利于维护国家统一和安全；（2）有利于保障少数民族人民当家作主的权利；（3）有利于发展平等、团结、互助、和谐的社会主义民族关系；（4）有利于促进社会主义现代化建设事业的蓬勃发展。

※※

57、我国的宗教政策如何？

（1）我国实行宗教信仰自由政策（2）依法管理宗教事务（3）积极引导宗教与社会主义相适应（4）我国宗教坚持独立自主自办的原则

58、弘扬科学精神的原因？怎样弘扬科学精神？ 原因：（1）我国是在马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想指引下进行现代化建设的社会主义国家，要建设社会主义物质文明、政治文明，也要建设社会主义精神文明。坚持不懈地对广大人民群众进行科学世界观和无神论的宣传教育，形成文明、健康、崇尚科学的社会风尚，是建设社会主义精神文明的一项重要任务。

（2）中学生是国家和民族的希望，是中国特色社会主义事业未来的建设者和接班人，肩负着建设社会主义现代化国家和振兴中华的光荣历史使命。怎样：（1）我们要用辩证唯物主义和历史唯物主义以及现代科学文化知识武装自己，弘扬科学精神（2）不断提高科学思想道德素质和科学文化素质，树立科学的世界观、人生观和价值观，成为“有理想、有道德、有文化、有纪律”的社会主义公民，创造美好人生。

59、建设社会主义政治文明的含义、原因、要求、根本特点？

含义：就是要在坚持四项基本原则的前提下，积极稳妥地推进政治体制改革，扩大社会主义民主，健全社会主义法制，建设社会主义法治国家，巩固和发展民主团结、生动活泼、安定和谐的政治局面。原因：（1）发展社会主义民主政治，建设社会主义政治文明，是社会主义现代化建设的重要目标。（2）没有民主就没有社会主义，就没有社会主义现代化。社会主义越发展，民主也越发展。民主是具体的、历史的。要求：（1）必须坚持社会主义方向，建设政治文明涉及政治思想、政治制度、行政管理、法制建

6设等方面，是一个广泛的系统工程。（2）最根本的是坚持党的领导、人民当家作主和依法治国的有机统一。这是我国推进政治文明建设必须遵循的基本方针，也是我国社会主义政治文明区别于资本主义政治文明的本质特征。

※60.党的领导、人民当家作主、依法治国三者的关系？

党的领导是人民当家作主和依法治国的根本保证，人民当家作主是社会主义民主政治的本质要求，依法治国是中国共产党领导人民治理国家的基本方略。61、主权国家的构成要素、基本权利和义务有哪些？ 构成要素：人口、领土、政权、主权（生命和灵魂）。※※权利：独立权；平等权；自卫权；管辖权

※※义务：不侵犯别国，不干涉他国内政，以和平方式解决其国际争端等义务。62、国际组织的活动依据、分类和作用？ 活动依据：以正式条约或协议为活动依据

※分类：按主体构成分：政府间和非政府的；按活动的区域范围分：区域性和世界性的。

※作用：促进国家之间的政治、经济、文化、科学技术的交流与合作；协调国际政治、经济关系；调节国际争端，缓解国家间的矛盾，维护世界和平等。63、联合国的宗旨、原则、作用？ 宗旨：（1）维护国际和平与安全；

（2）发展国际间以尊重人民平等权利及自觉原则为基础的友好关系；

（3）促进国际合作，以解决国际间属于经济、社会、文化及人类福利性质的国际问题；（4）作为协调各国活动的中心。

※简单说，就是维护国际和平与安全，促进国际合作与发展。

原则：各会员国主权平等，履行宪章规定的义务，以和平方式解决国际争端，不得对其他国家进行武力威胁或使用武力，集体协作，不干涉任何国家的内政，确保非会员国遵守上述原则。作用：

（1）在维护世界和平与安全，促进经济、社会的发展，以及实行人道主义援助等方面发挥着积极作用

（2）局限性：如何适应国际形势发展的需要发挥更大的作用，面临诸多挑战，改革任重道远。64、中国与联合国的关系？

中国作为联合国的创始国和安理会常任理事国之一，一贯遵循联合国宪章的宗旨和原则，支持联合国宪章精神所进行的各项工作，支持联合国的改革，积极参加联合国及其专门机构有利于世界和平与发展的活动，发挥重要作用。

※※65、影响国际关系的因素？（决定因素和重要因素）

决定因素：国家利益——（1）各国间存在着复杂的利益关系，既存在某些共同利益，也存在利益的差别和对立（2）国家间的共同利益是国家合作的基础，而 利益的对立则可能使国家间发生分歧或引起摩擦乃至冲突。（3）由于各国的国家性质与追求的国家利益不同，执行的对外政策不同，国家间矛盾和利益交织，使国际关系纷繁复杂。

影响因素：国家力量-----（1）是主权国家赖以生存和发展的基础（2）是捍卫本国利益、实现国家目标和影响别国的能力（3）是衡量一个国家杂国际社会的地位、作用和影响的重要尺度。66、为何要坚决维护我国的利益？

我国是人民当家作主的社会主义国家，国家利益与人民的根本利益相一致。维护我国的国家利益就是维护广大人民的根本利益，具有正当性和正义性。我国的国家利益包括政治利益、经济利益和安全利益。

我国在维护自身利益的同时，尊重其他国家合理的国际礼仪，并各国人民的共同利益。※※67、当今时代的主题是什么？当今世界仍很不安宁的表现？（和平问题的影响因素）主题：和平与发展。

7当今世界很不安宁的表现：

（1）霸权主义和强权政治仍然存在；（2）局部冲突和热点问题此起彼伏；（2）国际各种形式的恐怖活动危害着人们的安宁生活；（4）贫困、毒品问题更加突出。68、发展问题的主要问题表现是什么？

（1）当今世界仍是贫富悬殊的世界，发展中国家和发达国家的贫富差距越来越大。（2）不公正、不合理的国际经济旧秩序还在损害着发展中国家的利益。（3）发展中国家比较普遍地存在贫穷和饥饿现象。（4）全球发展的最突出问题是南北发展不平衡。※※69、解决世界和平与发展问题的主要障碍和有效途径？（怎样维护世界和平、促进世界发展？）主要障碍：霸权主义和强权政治 有效途径：

（1）必须坚决地反对霸权主义强权政治（2）改变旧的国际秩序

（3）建立以和平共处五项基本原则为基础的有利于世界和平和发展的国际新秩序。※70、建立国际新秩序的内容？

（1）保障各国享有主权平等和内政不受干涉的权利；（2）保障各国享有平等参与国际事务的权利；

（3）保障各国特别是广大发展中国家享有平等发展的权利；（4）保障各个民族和各种文明共同发展的权利。

※71、世界为何会走向多极化？是时代进步的要求，符合各国人民的利益，有利于世界的和平与发展。

※72、国际斗争的焦点是什么？

单极与多极的矛盾、称霸与反霸的斗争，将成为21世纪相当长一个时期内国际斗争的焦点。※73、国际竞争的内容和实质是什么？

内容：经济竞争、文化竞争、军备竞争、人才竞争、科技竞争。

※※实质：当前国际竞争的实质是以经济和科技实力为基础的综合国力的较量。74、各国应如何提高自身的综合国力？

当今世界，发展经济和科学技术是世界大多数国家关心的问题。世界多数国家都以发展经济和科技作为国家的战略重点，努力增强自己的综合国力，力图在世界格局中占有有利地位。※75、中国如何提高自身的综合国力？

我们要落实科学的发展观，实现跨越式发展，尤其要着利于发展科学技术和提高国民素质，增强综合国力，积极参与国际竞争与合作。

※※76、我国外交政策制定的决定因素是什么？

我国的国家性质和国家利益是我国奉行独立自主的和平外交政策的决定因素。※※77、我国外交政策的基本内容？（1）维护我国的独立与主权，促进世界的和平与发展是我国外交政策的基本目标。维护世界和平、促进共同发展是我国外交政策的宗旨

（2）独立自主是我国外交政策的基本立场。独立自主就是在国际事务中坚决捍卫国家的独立、主权和领土完整，对国际问题自主地决定自己的态度和对策（3）和平共处五项原则是我国外交政策的基本准则。它包括互相尊重主权和领土主权、互不侵犯、互不干涉内政、平等互利、和平共处。

78、中国外交政策的实践充分说明了什么？

中国是维护世界和平与稳定的积极因素和坚定力量，是促进世界经济的重要力量，对国际事务发挥着重要的影响和作用。

79、中国怎样走和平发展道路？

（1）要积极发展对外关系，努力为我国的改革开放和现代化建设争取有利的国际环境。

8（2）要在和平共处五项原则的基础上发展同世界各国的关系，不断发展同周边国家的睦邻友好关系，加强同发展中国家的团结与合作。

4.高一数学(必修一)知识点总结 篇四

（拂晓搜集整理）

第一章

集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)

元素的确定性如：世界上最高的山

(2)

元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)

元素的无序性:

如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{

…

}

如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)

用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)

集合的表示方法：列举法与描述法。

u

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）

记作：N

正整数集

N*或

N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

1）

列举法：{a,b,c……}

2）

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR|

x-3>2},{x|

x-3>2}

3）

语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）

Venn图:

4、集合的分类：

(1)

有限集

含有有限个元素的集合(2)

无限集

含有无限个元素的集合(3)

空集

不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：A=B

(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设

A={x|x2-1=0}

B={-1,1}

“元素相同则两集合相等”

即：①

任何一个集合是它本身的子集。AÍA

②真子集:如果AÍB,且A¹

B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果

AÍB,BÍC,那么

AÍC

④

如果AÍB

同时

BÍA

那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

u

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型

交

集

并

集

补

集

定

义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB

={x|xA，或xB})．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

S

A

记作，即

CSA=

韦

恩

图

示

S

A

性

质

AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

AB=BA

ABＡ

ABB

(CuA)

(CuB)

=

Cu

(AB)

(CuA)

(CuB)

=

Cu(AB)

A

(CuA)=U

A

(CuA)=

Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是

（）

A某班所有高个子的学生

B著名的艺术家

C一切很大的书

D

倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c

}的真子集共有

个

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是

.4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有

人。

6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=

.7.已知集合A={x|

x2+2x-8=0},B={x|

x2-5x+6=0},C={x|

x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|

x∈A

}叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致

(两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2．值域

:

先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数

y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数

y=f(x),(x

∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上

.(2)

画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)

平移变换

2)

伸缩变换

3)

对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则

y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)

称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）

图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)

定义法：

任取x1，x2∈D，且x1

作差f(x1)－f(x2)；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

确定f(－x)与f(x)的关系；

作出相应结论：若f(－x)

=

f(x)

或

f(－x)－f(x)

=

0，则f(x)是偶函数；若f(－x)

=－f(x)

或

f(－x)＋f(x)

=

0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;

(2)由

f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定

.9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)

凑配法

2)

待定系数法

3)

换元法

4)

消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

利用图象求函数的最大（小）值

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴

⑵

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_

_

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是

4.函数，若，则=

5.求下列函数的值域：

⑴

⑵

(3)

(4)

6.已知函数，求函数，的解析式

7.已知函数满足，则=。

8.设是R上的奇函数，且当时，则当时=

在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴

⑵

⑶

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

第二章

基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

u

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，当是偶数时，2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：，u

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·；

（2）；

（3）

．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1

0

定义域

R

定义域

R

值域y＞0

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—

底数，—

真数，—

对数式）

说明：

注意底数的限制，且；；

注意对数的书写格式．

两个重要对数：

常用对数：以10为底的对数；

自然对数：以无理数为底的对数的对数．

u

指数式与对数式的互化

幂值

真数

＝

N＝

b

底数

指数

对数

（二）对数的运算性质

如果，且，，那么：

·＋；

－；

．

注意：换底公式

（，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

对数函数对底数的限制：，且．

2、对数函数的性质：

a>1

0

定义域x＞0

定义域x＞0

值域为R

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点（1，0）

函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

例题：

1.已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是

（）

2.计算：

①

;②=

；=

;

③

=

3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为

4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知，（1）求的定义域（2）求使的的取值范围

第三章

函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

（代数法）求方程的实数根；

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型

收集数据

画散点图

选择函数模型

求函数模型

用函数模型解释实际问题

符合实际

不符合实际

5.高一数学知识点总结【必修一】 篇五

1、棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质

(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形

(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形

2、棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：

(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

3、正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

(3)多个特殊的直角三角形

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图

11三视图：

正视图：从前往后

侧视图：从左往右

俯视图：从上往下

22画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

33直观图：斜二测画法

44斜二测画法的步骤：

(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;

(2).平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变;

(3).画法要写好。

5用斜二测画法画出长方体的步骤：(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3空间几何体的表面积与体积

(一)空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2圆柱的表面积3圆锥的表面积

4圆台的表面积

5球的表面积

(二)空间几何体的体积

1柱体的体积

2锥体的体积

3台体的体积

6.高一数学必修三知识点总结(超) 篇六

(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可。

(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的.后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。

(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。

7.高一数学必修2知识点 篇七

一、集合与简易逻辑：

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征： 确定性，互异性，无序性。

（2）集合与元素的关系用符号=表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 ；整数集 ；有理数集、实数集。

（4）集合的表示法： 列举法，描述法，韦恩图。

（5）空集是指不含任何元素的集合。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

二、函数

一、映射与函数：

（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：

二、函数的三要素：

相同函数的判断方法：①对应法则 ；②定义域(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法：

①含参问题的定义域要分类讨论；

②对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数）

复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)－f(-x)=0 f(x)=f(-x)f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0 f(x)=－f(-x)f(x)为奇函数。

判别方法：定义法，图像法，复合函数法

应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）

平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数y＝f(2x)经过平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象。

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（m，n）平移的意义。

对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称

y=f(x)→y=－f(x),关于x轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数）

伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx)，y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

五、反函数：

（1）定义：

（2）函数存在反函数的条件：

（3）互为反函数的定义域与值域的关系：（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系：（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

七、常用的初等函数：

（1）一元一次函数：（2）一元二次函数：

一般式 两点式

顶点式

二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为一般式，有三个类型题型：

(1)顶点固定，区间也固定。如：

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．

等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根

注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。

（3）反比例函数：

（4）指数函数：

指数函数：y=(a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0

（5）对数函数：

对数函数：y=(a>o,a≠1)图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0

注意：

（1）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

八、导 数

1．求导法则：

(c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为0。(xn)/=nxn－1 特别地：(x)/=1(x－1)/=()/=－x-2(f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x)(k?f(x))/= k?f/(x)

2．导数的几何物理意义：

k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。

V＝s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。

3．导数的应用：

①求切线的斜率。

②导数与函数的单调性的关系

已知（1）分析 的定义域;（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。

③求极值、求最值。

注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。

f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。

但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0 判断极值，还需结合函数的单调性说明。

4.导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

九、不等式

一、不等式的基本性质：

注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：

①若ab>0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小

二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

基本应用：①放缩，变形；

②求函数最值：注意：①一正二定三相等；②积定和最小，和定积最大。

常用的方法为：拆、凑、平方；

三、绝对值不等式：

注意：上述等号“＝”成立的条件；

四、常用的基本不等式：

五、证明不等式常用方法：

（1）比较法：作差比较：

作差比较的步骤：

⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：由因导果。

（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）反证法：正难则反。

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，⑵将分子或分母放大（或缩小）

⑶利用基本不等式，（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

十、不等式的解法：

（1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论：

（2）绝对值不等式：若，则 ； ；

注意：

(1）解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；(2).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

(3）.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。（4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

（5）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（6）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要讨论。

十一、数列

本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成.（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类；

③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整

体思想求解.（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.一、基本概念：

1、数列的定义及表示方法：

2、数列的项与项数：

3、有穷数列与无穷数列：

4、递增（减）、摆动、循环数列：

5、数列{an}的通项公式an：

6、数列的前n项和公式Sn:

7、等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d(其中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1(是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn= Sn=

三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4mS3m、……仍为等比数列。

18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、、仍为等比数列。

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d，a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3

24、{an}为等差数列，则(c>0)是等比数列。

25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn}(c>0且c 1)是等差数列。

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

26、分组法求数列的和：如an=2n+3n

27、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

28、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

29、倒序相加法求和：

30、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an=-2n2+29n-3

② an=f(n)研究函数f(n)的增减性

31、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值.(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

十二、平面向量

1．基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2． 加法与减法的代数运算：

(1)若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a b=（x1+x2,y1+y2）．

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律： ＋ = ＋(交换律);+(+c)=(+)+c（结合律）;3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;

(2)当 a＞0时，与a的方向相同；当a＜0时，与a的方向相反；当 a=0时，a=0．

两个向量共线的充要条件：

(1)向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= ．

(2)若 =（）,b=（）则 ‖b ．

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得 = e1+ e2．

4．P分有向线段 所成的比：

设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 =，叫做点P分有向线段 所成的比。

当点P在线段 上时，＞0；当点P在线段 或 的延长线上时，＜0；

分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（）,（）,（）；则（≠－1），中点坐标公式： ．

5． 向量的数量积：

（1）．向量的夹角：

已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB=（）叫做向量 与b的夹角。

（2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量 与b，它们的夹角为，则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．

其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：

若 =（）,b=（）则e· = ·e=｜ ｜cos(e为单位向量);⊥b ·b=0（，b为非零向量）;｜ ｜=;cos = = ．

(4)．向量的数量积的运算律：

·b=b·;()·b=(·b)= ·(b);(＋b)·c= ·c+b·c．

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

十三、立体几何

1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；

会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面

①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？

④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}

⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面

(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）

(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；

②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

8.高一数学必修2知识点 篇八

A.＝－＋

B.＝－

C.＝＋

D.＝－

【答案】　A　如图所示，在△ABC中，＝－.又∵＝3，∴＝＝－，∴＝＋＝－＋.2．(2015·安徽，8，中)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是()

A．|b|＝1

B．a⊥b

C．a·b＝1

D．(4a＋b)⊥

【答案】　D　如图，在等边△ABC中，＝2a，＝2a＋b，∵＋＝，∴＝b.又∵||＝2，||＝2，∴|b|＝2，|a|＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos

120°＝－1.∴A，B，C不正确．

4a＋b＝＋＝2，又⊥，故D正确．

3．(2015·课标Ⅱ，13，易)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．

【解析】　因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，由于a，b不平行，所以解得λ＝.【答案】

4．(2015·江苏，6，易)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

【解析】　由ma＋nb＝(9，－8)得，m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，即(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴解得∴m－n＝－3.【答案】　－3

5．(2015·北京，13，易)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x＋y，则x＝________；y＝________.【解析】　如图，在△ABC中，＝＋＋

＝－＋＋

＝－＋＋(－)

＝－，∴x＝，y＝－.【答案】　　－

1．(2013·辽宁，3，易)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()

A.B.C.D.【答案】　A　＝(3，－4)，||＝5.与同方向的单位向量为＝.故选A.2．(2012·广东，3，易)若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝()

A．(－2，－4)

B．(2，4)

C．(6，10)

D．(－6，－10)

【答案】　A　＝＋＝－＝(－2，－4)，故选A.3．(2014·浙江，8，中)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则()

A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2

D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

【答案】　D　根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定；因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2ab，|a－b|2＝|a|＋|b|2－2a·b，则当a·b≥0时，max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2＋2a·b≥|a|2＋|b|2；

当a·b<0时，max{|a＋b|2，|a－b|2}

＝|a|2＋|b|2－2a·b≥|a|2＋|b|2，即总有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选D.4．(2012·安徽，8，中)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()

A．(－7，－)

B．(－7，)

C．(－4，－2)

D．(－4，2)

【答案】　A　由题意，得||＝10，由三角函数定义，设P点坐标为(10cos

θ，10sin

θ)，则cos

θ＝，sin

θ＝.则Q点的坐标应为.由三角函数知识得10

cos

＝－7，10sin＝－，所以Q(－7，－)．故选A.5．(2014·北京，10，易)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.【解析】　∵λa＋b＝0，∴λa＝－b.∴|λa|＝|b|，∴|λ|·|a|＝|b|，∴|λ|·1＝，∴|λ|＝.【答案】

6．(2014·课标Ⅰ，15，中)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．

【解析】　由＝(＋)可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以与的夹角为90°.【答案】　90°

7．(2014·陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．

(1)若＋＋＝0，求||；

(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

解：(1)方法一：∵＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴解得x＝2，y＝2，即＝(2，2)，故||＝2.方法二：∵＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，∴＝(＋＋)＝(2，2)，∴||＝2.(2)＝(x，y)，＝(1，2)，＝(2，1)．

∵＝m＋n，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴

②－①得，m－n＝y－x，令m－n＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值，故m－n的最大值为1.思路点拨：(1)根据向量相等，求出P点坐标后求||；

(2)根据向量相等，将m－n转化为x，y的关系，变换为线性规划问题．

考向1　平面向量的线性运算

向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差

a－b＝a＋(－b)

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；

当λ<0时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

(1)结合律：λ(μ

a)＝λμ

a＝μ(λa)；

(2)第一分配律：

(λ＋μ)a＝λa＋μ

a；

(3)第二分配律：

λ(a＋b)＝λa＋λb

(1)(2014·课标Ⅰ，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝()

A.B.C.D.(2)(2013·四川，12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．

【解析】(1)如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.(2)如图，因为ABCD为平行四边形，所以＋＝＝2，已知＋＝λ，故λ＝2.【答案】(1)A(2)2

【点拨】　解题(1)时注意向量加法平行四边形法则的运用；解题(2)的思路是在平行四边形中把＋用表示，结合已知条件求出λ的值．

向量的线性运算的解题策略

(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．

(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．

(2014·福建，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于()

A.B．2

C．3

D．4

【答案】　D　依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故选D.考向2　共线向量定理、平面向量基本定理及应用

1．向量共线的判定定理和性质定理

(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．

(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得＝＋λ(如图所示)．

2．向量共线定理的应用

(1)证明点共线；

(2)证明两直线平行；

(3)已知向量共线求字母的值(或范围)．

3．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

(2)平面向量基本定理的实质

平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．

4．平面向量基本定理的应用

(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，那么a，e1，e2共面．

(2)根据向量基本定理求字母的值(或范围)．

(1)(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)

(2)(2013·江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

(3)(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．

【解析】(1)方法一：若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.方法二：因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μ

e2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μ

e2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以a＝2e1＋e2，故选B.(2)∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－，又＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝.∴λ1＋λ2＝.(3)方法一：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得

解得

所以λ＋μ＝.方法二：连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得AB＝AT，∴＝＝λ＋μ，∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝.【答案】(1)B(2)(3)

【点拨】　题(1)利用平面向量基本定理求解；解题(2)的思路是先在△ABC中用和表示，然后根据已知条件对应求出λ1，λ2；解题(3)时注意基底的选取．

1.求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内任一点，t∈R)．

(5)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．

零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．

(2012·大纲全国，9)△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝()

A.a－b

B.a－b

C.a－b

D.a－b

【答案】　D　∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝，CD＝.∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1.∴＝＝(－)

＝a－b.考向3　平面向量坐标运算的应用

1．平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．

2．向量平行的坐标表示

(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．

3．平面向量中的重要结论

(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．

(3)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0

⇔G，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．

(1)(2012·重庆，6)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()

A.B.C．2

D．10

(2)(2013·北京，13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

【解析】(1)由⇒⇒

∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3),．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即

解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.【答案】(1)B(2)4

【点拨】　解题(1)时注意应用向量平行与垂直的坐标表示；解题(2)的关键是建立平面直角坐标系，正确写出a，b，c的坐标，利用a，b，c之间的关系，列出方程组求解．

向量坐标运算问题的一般思路

向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．以向量为载体，可以解决三角函数、解析几何中的有关问题．

(2014·陕西，13)设0<θ<，向量a＝(sin

2θ，cos

θ)，b＝(cos

θ，1)，若a∥b，则tan

θ＝________．

【解析】　因为a∥b，所以sin

2θ＝cos2θ，2sin

θcos

θ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cos

θ>0，得2sin

θ＝cos

θ，∴tan

θ＝.【答案】

1．(2015·河北邯郸一模，5)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于()

A．－2

B．2

C．－

D.【答案】　C　由题意得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－，故选C.2．(2015·青海西宁质检，6)已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为()

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边所在直线上

D．P是AC边的一个三等分点

【答案】　D　∵＋＋＝，∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，∴P是AC边的一个三等分点．

3．(2015·山东日照一模，5)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于()

A.a＋b

B.a＋b

C.a＋b

D.a＋b

【答案】　B　如图，∵△DEF∽△BEA，∴DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，过点F作FG∥BD交AC于点G，∴FG∶DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，∴＝b，∵＝＋＝＝a，∴＝＋＝a＋b.故选B.4．(2015·吉林长春调研，7)已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝0，则角A为()

A.B.C.D.【答案】　A　∵G为△ABC的重心，∴＋＋＝0.∵a＋b＋c＝0，∴＋＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝c，b＝c，∴cos

A＝

＝＝，∴A＝.5．(2014·广东佛山二模，6)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是()

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】　D　方法一：由题意可得，＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，所以＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2)．

又∵A，B，C三点共线，∴∥，即(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又∵a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝4＋≥4＋4＝8，当且仅当＝时，取“＝”．故选D.方法二：kAB＝，kAC＝，∵A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，∴2a＋b＝1，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，∴＋的最小值是8.思路点拨：先由A，B，C三点共线，找出a，b的关系，然后把“1”代换，利用基本不等式求解．

6．(2015·河南开封月考，13)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则实数λ，μ的值分别是________．

【解析】　∵||＝2，∴||2＝1＋c2＝4，c>0，∴c＝.∵＝λ＋μ，∴(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，∴λ＝－1，μ＝.【答案】　－1，7．(2015·山西临汾模拟，15)如图，△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，则＋＝________．

【解析】　由＋＋＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D，则＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.【答案】　6

8．(2014·山西阳泉三模，14)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为________．

【解析】　设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC，所以＝3.【答案】　3

1．(2015·山东，4，易)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝()

A．－a2

B．－a2

C.a2

D.a2

【答案】　D　∵＝＋，且＝，∴·＝(＋)·＝·＋2＝||||cos

60°＋||2＝a2＋a2＝a2.故选D.2．(2015·重庆，6，易)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()

A.B.C.D．π

【答案】　A　设|b|＝x，〈a，b〉＝θ，则|a|＝x，a·b＝x2cos

θ.∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0，∴3a2＋2a·b－3a·b－2b2＝0，即3×x2－x2cos

θ－2x2＝0，∴cos

θ＝，∴cos

θ＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故选A.3．(2015·湖北，11，易)已知向量⊥，||＝3，则·＝________．

【解析】　·＝·(＋)

＝2＋·＝9.【答案】　9

1．(2014·重庆，4，易)已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()

A．－

B．0

C．3

D.【答案】　C　2a－3b＝(2k－3，－6)，由(2a－3b)⊥c，得4k－6－6＝0，解得k＝3.故选C.2．(2013·湖北，6，易)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()

A.B.C．－

D．－

【答案】　A　由＝(2，1)，＝(5，5)，得·＝15，||＝5.∵·＝||||cos

〈，〉，∴||cos

〈，〉＝＝＝.故选A.3．(2013·湖南，8，中)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()

A.－1

B.C.＋1

D.＋2

【答案】　C　建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，＝c＝(x，y)．

∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1，1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝＋1，故选C.4．(2012·广东，8，难)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝()

A.B．1

C.D.【答案】　C　根据题中给定的两个向量的新运算可知a∘b＝＝＝，b∘a＝，又由θ∈可得

θ<1，由|a|≥|b|>0可得0<≤1，于是0<<1，即b∘a∈(0，1)，又由于b∘a∈，所以＝，即|a|＝2|b|cos

θ.①

同理>，将①代入后得2cos2θ>，又由于a∘b∈，所以a∘b＝2cos2θ＝(n∈Z)，于是1<<2，故n＝3，∴cos

θ＝，|a|＝|b|，∴a∘b＝×＝，故选C.5．(2014·江西，14，中)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos

α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos

β＝________．

【解析】　a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8.∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9，∴|a|＝3.∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8，∴|b|＝2，∴cos

β＝＝＝.【答案】

6．(2012·安徽，14，中)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．

【解析】　由向量的数量积知－|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a|·|b|≥－a·b(当且仅当〈a，b〉＝π时等号成立)．

由|2a－b|≤3⇒4|a|2－4a·b＋|b|2≤9⇒9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b⇒a·b≥－(当且仅当2|a|＝|b|，〈a，b〉＝π时取等号)，∴a·b的最小值为－.【答案】　－

思路点拨：先由|2a－b|≤3找出a·b与|a|·|b|之间关系，再利用基本不等式及数量积的定义求最值．

7．(2014·安徽，15，难)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①S有5个不同的值；

②若a⊥b，则Smin与|a|无关；

③若a∥b，则Smin与|b|无关；

④若|b|＞4|a|，则Smin＞0；

⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为.【解析】　S有3种结果：

S1＝a2＋a2＋b2＋b2＋b2，S2＝a2＋a·b＋a·b＋b2＋b2，S3＝a·b＋a·b＋a·b＋a·b＋b2，故①错误．

∵S1－S2＝S2－S3＝a2＋b2－2a·b

≥a2＋b2－2|a||b|＝(|a|－|b|)2≥0，∴S中的最小值为S3.若a⊥b，则Smin＝S3＝b2，与|a|无关，故②正确．

若a∥b，则Smin＝S3＝4a·b＋b2，与|b|有关，故③错误．

若|b|>4|a|，则Smin＝S3＝4|a||b|cos

θ＋b2>－4|a||b|＋b2>－|b|2＋b2＝0，故④正确．

若|b|＝2|a|，则Smin＝S3＝8|a|2cos

θ＋4|a|2＝8|a|2，∴2cos

θ＝1，∴θ＝，故⑤错误．

【答案】　②④

考向1　平面向量的垂直与夹角

1．平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos

θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos

θ.规定：0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘积．

两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．

2．平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos

θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cos

θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则

(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.(3)cos

θ＝.(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．

(1)(2014·四川，7)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()

A．－2

B．－1

C．1

D．2

(2)(2014·天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝()

A.B.C.D.(3)(2013·山东，15)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

【解析】(1)c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.由两向量的夹角相等可得＝，即为＝，解得m＝2.(2)以，为基向量，则·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1.①

·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－.②

由①②可得λ＋μ＝.(3)∵⊥，∴·＝0，∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，∴(λ－1)||||·cos

120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.【答案】(1)D(2)C(3)

【点拨】　题(1)考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式，求解时先进行运算，最后代入坐标，使解题过程简洁；题(2)根据条件把，分别用，表示，然后根据向量数量积公式得方程组求解；解题(3)的方法是根据·＝0列出等量关系求出λ.平面向量数量积的应用

(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos

θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．

(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．

(1)(2011·课标全国，10)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p1：|a＋b|>1⇔θ∈

p2：|a＋b|>1⇔θ∈

p3：|a－b|>1⇔θ∈

p4：|a－b|>1⇔θ∈

其中的真命题是()

A．p1，p4

B．p1，p3

C．p2，p3

D．p2，p4

(2)(2014·湖北，11)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．

(1)【答案】　A　∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|>1，则(a＋b)2>1，∴a2＋2a·b＋b2>1，即a·b>－，∴cos

θ＝＝a·b>－，∴θ∈；

若|a－b|>1，同理求得a·b<，∴cos

θ＝a·b<，∴θ∈，∴p1，p4正确，故选A.(2)【解析】　∵a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，∴(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.【答案】　±3

考向2　平面向量的模及其应用

求平面向量的模的公式

(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；

(2)|a±b|＝＝；

(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.(1)(2014·课标Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()

A．1

B．2

C．3

D．5

(2)(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．

【解析】(1)由|a＋b|＝得a2＋b2＋2a·b＝10，①

由|a－b|＝得a2＋b2－2a·b＝6，②

①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1，故选A.(2)方法一：设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1可知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．

又＋＋＝(－1，0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝，问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．

∵圆心C(3，0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.方法二：设D(x，y)，则由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，从而可设x＝3＋cos

α，y＝sin

α，α∈R.而＋＋＝(x－1，y＋)，则|＋＋|＝

＝

＝＝，其中sin

φ＝，cos

φ＝.显然当sin(α＋φ)＝1时，|＋＋|有最大值＝＋1.方法三：＋＋＝＋＋＋，设a＝＋＋＝(2，)，则|a|＝，从而＋＋＝a＋，则|＋＋|＝|a＋|≤|a|＋||＝＋1，当a与同向时，|＋＋|有最大值＋1.【答案】(1)A(2)＋1

【点拨】　解题(1)时注意先求模的平方，再用加减运算求解；题(2)方法一利用几何意义将问题转化为几何问题；方法二采用换元法将问题转化为求三角函数的最值；方法三利用向量运算性质求解．

1.求向量的模的方法

(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．

(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．

2．求向量模的最值(范围)的方法

(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．

(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．

(2015·河南开封模拟，14)已知向量a与b垂直，|a|＝2，若使得(a－c)·(b－c)＝0的c的模的最大值为，则|b|＝________．

【解析】　因为(a－c)·(b－c)＝a·b＋c2－(a＋b)·c＝0且a与b垂直，所以c2＝(a＋b)·c，|c|＝|a＋b|cos

θ≤|a＋b|(θ为a＋b与c的夹角)，由题意知|a＋b|＝＝＝＝，得|b|＝1.【答案】　1

1．(2015·河北承德质检，4)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是()

A．a∥b

B．a⊥b

C．|a|＝|b|

D．a＋b＝a－b

【答案】　B　因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，所以a⊥b.故选B.2．(2015·浙江温州二模，5)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)2＝1，则a与b的夹角等于()

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

【答案】　C　设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|·cos

θ＝，且|a|＝1，所以|b|cos

θ＝.①

又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.②

由①②得cos

θ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故选C.3．(2015·河南驻马店质检，6)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为()

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

【答案】　C　因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故选C.4．(2015·上海嘉定模拟，15)已知i，j，k表示共面的三个单位向量，i⊥j，那么(i＋k)·(j＋k)的取值范围是()

A．[－3，3]

B．[－2，2]

C．[－1，＋1]

D．[1－，1＋]

【答案】　D　由i⊥j，得i·j＝0，又i，j为单位向量，∴|i＋j|＝＝，则(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k2

＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cosi＋j，k＋1

＝cosi＋j，k＋1，又∵－1≤cosi＋j，k≤1，∴(i＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－，1＋]．故选D.5．(2015·福建莆田一模，6)已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是()

A．[0，1]

B．[－1，1]

C．[－，]

D．[0，]

【答案】　C　由a，b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，则(a－b)·c＝|a－b||c|·cos

θ，∵cos

θ∈[－1，1]，∴(a－b)·c的取值范围为[－，]．

6．(2014·湖南九校联考，9)对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sin

θ，其中θ为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是()

A．若a*b＝a*c，则b＝c

B．(a*b)c＝a(b*c)

C．a*b＝(－a)*b

D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c

【答案】　C　a，b，c为两两不共线向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为θ，b，c夹角为α，则(a*b)c＝|a||b|·sin

θ·c，a(b*c)＝|b||c|sin

α·a，故B不正确；a*b＝|a||b|sin

θ＝|－a||b|sin(π－θ)＝(－a)*b.故选C.7．(2015·山东淄博一模，14)若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，则b与a－b的夹角的取值范围是________．

【解析】　设＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，因为|a|＝|b|，所以四边形OACB是菱形，设∠BOC＝θ，则∠OBC＝π－2θ，在△OBC中，由正弦定理可得＝，化简得cos

θ＝，由λ∈得∈，所以θ∈，所以b，a－b＝θ＋∈.【答案】

8．(2014·江西南昌二模，12)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b＝a·c，则b＝c；

②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；

③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

【解析】　命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命题②正确．由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题③错误．

【答案】　②

1．(2015·天津，14，中)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．

【解析】　如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，则AM＝BN＝，∴CD＝MN＝1.∴·＝(＋)·(＋＋)

＝2＋·＋·＋·＋·＋·

＝4－1－2－λ＋λ＋λ·

＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即λ＝时等号成立，此时·有最小值.【答案】

2．(2015·江苏，14，难)设向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则

(ak·ak＋1)的值为________．

【解析】　ak·ak＋1

＝·

＝coscosπ＋·

＝coscosπ＋sinsinπ＋sincosπ＋cossinπ＋coscosπ

＝cos＋sinπ＋coscosπ，(ak·ak＋1)＝12cos＋sinπ＋coscosπ

＝6＋0＋4

＝9.【答案】　9

3．(2015·浙江，15，难)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝.若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝______，y0＝________，|b|＝________．

【解析】　∵e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t)．

则由题意知b·e1＝m＋n＝2，b·e2＝m＝.解得n＝，m＝，∴b＝.∵b－(xe1＋ye2)

＝，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2.由题意，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，|b－(xe1＋ye2)|2取到最小值1.此时t2＝1，故|b|＝

＝＝2.【答案】　1　2　2

4．(2015·广东，16，12分，易)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin

x，cos

x)，x∈.(1)若m⊥n，求tan

x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

解：(1)∵m＝，n＝(sin

x，cos

x)，m⊥n，∴m·n＝sin

x－cos

x＝0，即sin

x＝cos

x，∴tan

x＝＝1.(2)由题意知，|m|＝＝1，|n|＝＝1，m·n＝sin

x－cos

x＝sin.而m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉

＝cos＝.∴sin＝，又∵x∈，x－∈，∴x－＝，∴x＝.1．(2012·湖南，7，中)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝()

A.B.C．2

D.【答案】　A　∵·＝·(－)＝·－2＝1，∴·＝5，即2×3cos

A＝5，∴cos

A＝.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos

A＝3，∴BC＝，故选A.思路点拨：先根据数量积求出角A的三角函数值，再由余弦定理求BC.2．(2012·江西，7，中)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝()

A．2

B．4

C．5

D．10

【答案】　D　方法一：以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系．设A(a，0)，B(0，b)，则D，P.从而|PA|2＋|PB|2＝＋＝(a2＋b2)＝10|PC|2，故＝10.方法二：因为－＝，且＋＝2，两式平方相加得22＋22＝2＋42＝42＋42＝202，故＝10.3．(2014·安徽，10，难)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos

θ＋bsin

θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则()

A．1＜r＜R＜3

B．1＜r＜3≤R

C．r≤1＜R＜3

D．1＜r＜3＜R

【答案】　A　由题意，可取a＝(1，0)，b＝(0，1)，则＝(，)，＝(cos

θ，sin

θ)，＝(－cos

θ，－sin

θ)，∴||2＝(－cos

θ)2＋(－sin

θ)2

＝5－2(cos

θ＋sin

θ)

＝5－4sin.∵0≤θ<2π，∴≤θ＋<，∴1≤||2≤9，即1≤||≤3.因为C∩Ω为两段分离的曲线，结合图象(如图)可知，1

A.B.C.D.【答案】　A　如图，＝－，＝－，∵·＝－，∴(－)·(－)＝－，·－·－·＋·＝－.又＝λ，＝(1－λ)，代入上式得

(1－λ)·λ－(1－λ)·－·λ＋·＝－.(*)

∵△ABC为等边三角形，且||＝||＝||＝2，∴·＝||·||·cos

60°＝2×2×＝2，||2＝4，||2＝4，代入(*)式得4λ2－4λ＋1＝0，即(2λ－1)2＝0，∴λ＝，故选A.5．(2014·江苏，12，易)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

【解析】　由题意，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝

·

＝2－·－2，代入数据得2＝25－·－×64，解得·＝22.【答案】　22

6．(2012·北京，13，中)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．

【解析】　①以D点为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x，1)，那么＝(x，1)，＝(0，1)，∴·＝1.②∵＝(1，0)，∴·＝x.∵正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故·的最大值为1.【答案】　1　1

7．(2012·上海，12，中)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．

【解析】　方法一：因为点M，N分别在边BC和CD上，可设＝＝k∈[0，1]，则·＝(＋)·(＋＋)

＝(＋k)·(＋＋k)

＝　2＋·＋k·＋k·＋k　2＋k2·＝4＋2×1×－4k＋2×1×k＋k－1×2×k2＝5－2k－k2＝－(k＋1)2＋6∈[2，5]，k∈[0，1]．

方法二：建立平面直角坐标系，如图．

则B(2，0)，C，D.令＝＝λ，则M，N.∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴·∈[2，5]．

【答案】　[2，5]

8．(2013·江苏，15，14分，易)已知a＝(cos

α，sin

α)，b＝(cos

β，sin

β)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

解：(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cos

α＋cos

β，sin

α＋sin

β)＝(0，1)，所以

由此得，cos

α＝cos(π－β)．

由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin

α＋sin

β＝1，得sin

α＝sin

β＝.又α>β，所以α＝，β＝.考向1　平面向量在平面几何中的应用

向量在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，常用公式：

cos

θ＝＝.(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

|a|＝＝或

|AB|＝||＝.(1)(2013·福建，7)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为()

A.B．2

C．5

D．10

(2)(2013·天津，12)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．

【解析】(1)·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝·||·||＝××2＝5，故选C.(2)方法一：由题意可知，＝＋，＝－＋.因为·＝1，所以(＋)·＝1，则2＋·－2＝1.①

因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||，因此①式可化为1＋||－||2＝1.解得||＝0(舍去)或，所以AB的长为.方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝.设|AB|＝m(m＞0)，则B(m，0)．

C，D.因为E是CD的中点，所以E.所以＝，＝.由·＝1，可得＋＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或.故AB的长为.【答案】(1)C(2)

【点拨】　解题(1)的关键是利用向量证明AC⊥BD；解题(2)的方法一是利用平面向量运算，将，用已知向量表示，然后求解；方法二是建立合适的平面直角坐标系，用坐标法求解，准确写出点的坐标是关键．

用向量解决平面几何问题的步骤

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

(2013·课标Ⅱ，13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．

【解析】　方法一：·

＝·(－)

＝2－2＝22－×22＝2.方法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0，0)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，＝(1，2)，＝(－2，2)，则·＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2.【答案】　2

考向2　平面向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．

(1)(2014·山东，12)在△ABC中，已知·＝tan

A，当A＝时，△ABC的面积为________．

(2)(2013·辽宁，17，12分)设向量a＝(sin

x，sin

x)，b＝(cos

x，sin

x)，x∈.①若|a|＝|b|，求x的值；

②设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

【解析】(1)在△ABC中，·＝||·|·cos

A＝tan

A，∴||·||＝＝＝.由三角形面积公式，得S＝|AB|·|AC|sin

A＝××＝.(2)①由|a|2＝(sin

x)2＋(sin

x)2＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，∴sin

x＝，∴x＝.②f(x)＝a·b＝sin

x·cos

x＋sin2x

＝sin

2x－cos

2x＋

＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.∴f(x)的最大值为.【点拨】　解题(1)的关键是利用向量知识求出||·||的值；解题(2)时注意角x的取值范围．

向量与三角函数综合问题的特点与解题思路

(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．

(2)对于三角函数求最值问题，大都有两种形式：一种是化成y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，另一种是化成y＝asin2x＋bsin

x＋c或y＝acos2x＋bcos

x＋c的形式．

(2015·安徽宣城模拟，17，12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1.(1)判断△ABC的形状；

(2)求边长c的值；

(3)若|＋|＝2，求△ABC的面积．

解：(1)由·＝·＝1，得bc·cos

A＝ac·cos

B，由正弦定理，即sin

Bcos

A＝sin

Acos

B，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，即△ABC是等腰三角形．

(2)由·＝1，得bc·cos

A＝1，又bc·＝1，则b2＋c2－a2＝2，又a＝b，∴c2＝2，即c＝.(3)由|＋|＝2，得2＋b2＋2＝8，∴b＝2，又c＝，∴cos

A＝，sin

A＝，∴S△ABC＝bc·sin

A＝×2××＝.1．(2015·安徽铜陵质检，6)已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是()

A．(－3，0)

B．(2，0)

C．(3，0)

D．(4，0)

【答案】　C　设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．

·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)

＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标是(3，0)．

2．(2015·湖北宜昌一模，6)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为()

A.B.C.D.【答案】　A　由题设，得3＋5＝－4，即9＋2×3×5·＋25＝16，∴cos∠AOC＝－，∴sin∠AOC＝，S△AOC＝×1×1×＝.3．(2015·辽宁大连质检，8)设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于()

A．0

B．2

C．4

D．－2

【答案】　D　由题意得c＝＝，S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°，||＝||＝2.所以·＝||

||cos

120°＝2×2×＝－2.4．(2014·湖南长沙二模，6)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝()

A．2

B.C．－

D.【答案】　D　以A为原点，AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图．

设B(xB，0)，D(0，1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB，1)，∵＝，∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0，1)，·＝.5．(2014·河北石家庄一模，6)已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是()

A.B.C.D.【答案】　C　设BC的中点为M，则＝.又M为BC中点，∴＝(＋)，∴＝＝(＋)，∴||＝.又∵·＝－2，∠A＝120°，∴||||＝4.∴||＝

≥＝，当且仅当||＝||时取“＝”，∴||的最小值为，故选C.6．(2015·河南周口一模，14)已知点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，则·＝________．

【解析】　因为点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，所以·＝·(－)

＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉

＝||||×－||||×＝6.【答案】　6

7．(2015·山东临沂质检，14)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

【解析】　由余弦定理，得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos

B

＝(2)2＋22－2×2×2cos

30°＝4，∴AC＝2，∴AC＝BC＝2，∴∠CAB＝30°，∠DAC＝60°.AD＝1，∴AE∈[1，2]，∵＝＋μ，∴||2＝(＋μ)2

＝||2＋|μ|2

＝1＋(2)2μ2＝1＋12μ2，∴μ2＝，∵||∈[1，2]，∴μ2∈，∴μ∈.【答案】

8．(2015·山西太原一模，14)设G是△ABC的重心，且sin

A·＋3sin

B·＋3sin

C·＝0，则角B的大小为______________．

【解析】　∵sin

A·＋3sin

B·＋3sin

C·＝0，设三角形的边长顺次为a，b，c，由正弦定理得a·＋3b·＋3c·＝0，由点G为△ABC的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：

3＝＋，3＝＋，3＝＋，代入上式得：a(＋)＋3b(＋)＋3c(＋)＝0，又＝＋，上式可化为：

a(2＋)＋3b(＋)＋3c·(－＋2)＝0，即(2a－3b－3c)＋(－a－3b＋6c)＝0，则有

①－②得3a＝9c，即a∶c＝3∶1，设a＝3k，c＝k，代入①得b＝－k，∴cos

B＝＝＝，∴B＝.【答案】

9．(2014·江西五校联考，17，12分)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos

B＝bcos

C，求函数f(A)的取值范围．

解：m·n＝sincos＋cos2

＝sin＋×cos＋

＝sin＋.(1)∵m·n＝1，∴sin＝，cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cos

B＝bcos

C，由正弦定理得(2sin

A－sin

C)·cos

B＝sin

Bcos

C，∴2sin

Acos

B＝sin

Ccos

B＋sin

Bcos

C，∴2sin

Acos

B＝sin(B＋C)．

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin

A，且sin

A≠0，∴cos

B＝，B＝.∴0

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)

1．(2015·湖南株洲质检，4)已知向量a＝(3，4)，b＝(sin

α，cos

α)，且a∥b，则tan

α＝()

A.B．－

C.D．－

【答案】　A　方法一：∵a∥b⇒a＝λb，则(3，4)＝λ(sin

α，cos

α)，∴即tan

α＝.方法二：∵a＝(3，4)，b＝(sin

α，cos

α)，且a∥b，∴3cos

α－4sin

α＝0，即tan

α＝＝.2．(2013·大纲全国，3)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()

A．－4

B．－3

C．－2

D．－1

【答案】　B　∵m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由题意知(m＋n)·(m－n)＝0，即－(2λ＋3)－3＝0，因此λ＝－3.故选B.3．(2015·浙江杭州二模，6)设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点．若p＋q＋r＝0(p，q，r∈R)，则p＋q＋r＝()

A．－1

B．0

C．1

D．3

【答案】　B　由已知得＝－－，而A，B，C三点共线，所以－＋＝1，所以p＋q＋r＝0.4．(2015·福建福州一模，6)如图，设向量＝(3，1)，＝(1，3)，若＝λ＋μ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是()

【答案】　D　设C(x，y)．∵＝λ＋μ＝λ(3，1)＋μ(1，3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，∴解得

∵λ≥μ≥1，∴故选D.5．(2015·黑龙江伊春质检，6)已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为()

A．1

B.C．2

D．3

【答案】　D　∵(a＋mb)⊥a，∴(a＋mb)·a＝0，∴|a|2＋m·|a|·|b|cos

120°＝0，即9＋m·3×2×＝0，∴m＝3.故选D.6．(2015·河南中原名校联考，4)已知不共线向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝1，则|a－b|＝()

A.B．2

C.D.【答案】　A　由a·(b－a)＝1得a·b－a2＝1，∴a·b＝5.∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×5＋9＝3，∴|a－b|＝.故选A.7．(2013·广东，10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；

③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μ

c.上述命题中的向量b，c和a在同一个平面内且两两不共线，则真命题的个数是()

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】　B　对于①，因为a与b给定，所以a－b一定存在，可表示为c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正确；对于②，因为b与c不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定满足，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④错，因此正确的有2个．故选B.8．(2015·山西晋中十校联考，6)已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为()

A．a

B．2a

C．3a

D．a2

【答案】　D　∵＝t，∴＝＋＝＋t(－)

＝(1－t)＋t＝(a－at，at)，∴·＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴0≤·≤a2.9．(2015·安徽安庆一模，6)已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的()

A．外心

B．内心

C．垂心

D．重心

【答案】　C　由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，∴·＝·，∴·＝0.∴O在边AB的高线上．

同理，O在边AC，BC的高线上，则O为△ABC的垂心．故选C.10．(2015·江西宜春一模，11)已知定义在区间(0，3)上的函数f(x)的图象如图所示，若a＝(f(x)，0)，b＝(cos

x，1)，则不等式a·b<0的解集是()

A．(0，1)

B．(0，1]

C．(0，1)∪

D．(0，1]∪

【答案】　C　∵(0，3)上的函数f(x)的图象如图所示，a＝(f(x)，0)，b＝(cos

x，1)

∴当x∈(0，1)时，f(x)<0，cos

x>0；

当x∈时，cos

x≥0，f(x)≥0；

当x∈时，f(x)>0，cos

x<0，∴a·b＝f(x)cos

x<0的解集是(0，1)∪.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

11．(2011·江苏，10)已知e1，e2

是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若

a·b＝0，则实数k的值为________．

【解析】　a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)

＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e

＝k＋(1－2k)cos－2＝0，解得k＝.【答案】

12．(2015·山东烟台质检，14)△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(3c－b，a－b)，n＝(3a＋3b，c)，m∥n，则cos

A＝________．

【解析】　∵m∥n，∴(3c－b)c＝(a－b)(3a＋3b)，即bc＝3(b2＋c2－a2)，∴＝，∴cos

A＝＝.【答案】

13．(2015·江西南昌一模，12)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(cos

α，sin

α)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________．

【解析】　方法一：由ma＋nb＝c，可得

故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上，则点P(3，0)到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16.方法二：∵ma＋nb＝c，∴(m＋n，m－n)＝(cos

α，sin

α)(α∈R)．

∴m＋n＝cos

α，m－n＝sin

α.∴m＝sin，n＝cos.∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9

＝10－6sin.∵sin∈[－1，1]，∴(m－3)2＋n2的最大值为16.【答案】　16

14．(2012·江苏，9)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

【解析】　方法一：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，D(2，0)，E(，1)，设F(x，2)，∴＝(x，2)，＝(，0)，∴·＝x＝，∴x＝1，∴F(1，2)，∴·＝(，1)·(1－，2)＝.方法二：·＝||||cos∠BAF＝，∴||cos∠BAF＝1，即||＝1，∴||＝－1，·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·

＝·＋·

＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝.【答案】

三、解答题(共4小题，共50分)

15．(12分)(2015·山东德州一模，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos

B，－sin

B)，且m·n＝－.(1)求sin

A的值；

(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．

解：(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos

B－sin(A－B)sin

B＝－，所以cos

A＝－.因为0

A＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sin

B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得

(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，故向量在方向上的投影为

||cos

B＝ccos

B＝1×＝.16．(12分)(2014·广东惠州三模，18)在△ABC中，AB边上的中线CO＝2，若动点P满足＝sin2θ·＋cos2θ·(θ∈R)，求(＋)·的最小值．

解：因为＝sin2θ·＋cos2θ·，又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以C，P，O三点共线，且sin2θ，cos2θ∈[0，1]，所以点P在线段OC上，故(＋)·＝2·，设||＝t，t∈[0，2]，则(＋)·＝2t(2－t)×cos

180°

＝2t2－4t＝2(t－1)2－2，所以当t＝1时取最小值－2.17．(12分)(2015·重庆育才中学月考，17)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若m＝，n＝(－2，cos

2A＋1)，且m⊥n.(1)求角A的大小；

(2)当a＝2，且△ABC的面积S＝时，求边c的值和△ABC的面积．

解：(1)由于m⊥n，所以m·n＝－2sin2＋cos

2A＋1

＝1－2cos2＋2cos2A－1

＝2cos2A－cos

A－1

＝(2cos

A＋1)(cos

A－1)

＝0.所以cos

A＝－或cos

A＝1(舍去)，又A∈(0，π)，故A＝.(2)由S＝及余弦定理得

＝absin

C，整理得

tan

C＝.又C∈(0，π)，所以C＝.由(1)知A＝，故B＝C＝.又由正弦定理＝得c＝2，所以△ABC的面积S＝acsin

B＝.18．(14分)(2013·重庆二模，20)如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S.(1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；

(2)设点B的坐标为，∠AOB＝α，在(1)的条件下求cos(α＋θ0)．

解：(1)由题意知A，P的坐标分别为(1，0)，(cos

θ，sin

θ)．

∵＝＋＝(1，0)＋(cos

θ，sin

θ)＝(1＋cos

θ，sin

θ)，∴·＝(1，0)·(1＋cos

θ，sin

θ)

＝1＋cos

θ.由题意可知S＝sin

θ.∴·＋S＝sin

θ＋cos

θ＋1

＝sin＋1(0<θ<π)．

∴·＋S的最大值是＋1，此时θ0＝.(2)∵B，∠AOB＝α，∴cos

α＝－，sin

α＝.∴cos(α＋θ0)＝cos

＝cos

αcos－sin

αsin