空间几何体直观图

空间几何体直观图（共14篇）

1.空间几何体直观图 篇一

空间几何体的三视图和直观图（第一课时）铜仁二中 饶望远

一、教材的地位和作用

本节课是 “空间几何体的三视图和直观图”的第一课时，主要内容是投影和三视图，这部分知识是立体几何的基础之一，一方面它是对上一节空间几何体结构特征的再一次强化，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图,是建立空间概念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。另外，三视图部分也是新课程高考的重要内容之一，常常结合给出的三视图求给定几何体的表面积或体积设置在选择或填空中。同时，三视图在工程建设、机械制造中有着广泛应用，同时也为学生进入高一层学府学习有很大的帮助。所以在人们的日常生活中有着重要意义。

二、教学目标

（1）知识与技能：能画出简单空间图形(长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，从而进一步熟悉简单几何体的结构特征。（2）过程与方法：通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识。

（3）情感、态度与价值观：让感受数学就在身边，提高学生学习立体几何的兴趣，培养学生相互交流、相互合作的精神。

三、设计思路

本节课的主要任务是引导学生完成由立体图形到三视图，再由三视图想象立体图形的复杂过程。直观感知操作确认是新课程几何课堂的一个突出特点，也是这节课的设计思路。通过大量的多媒体直观，实物直观使学生获得了对三视图的感性认识，通过学生的观察思考，动手实践，操作练习，实现认知从感性认识上升为理性认识。培养学生的空间想象能力，几何直观能力为学习立体几何打下基础。教学的重点、难点

（一）重点：画出空间几何体及简单组合体的三视图，体会在作三视图时应遵循的“长对正、高平齐、宽相等”的原则。

（二）难点：识别三视图所表示的空间几何体，即：将三视图还原为直观图。

四、学生现实分析

本节首先简单介绍了中心投影和平行投影，中心投影和平行投影是日常生活中最常见的两种投影形式，学生具有这方面的直接经验和基础。投影和三视图虽为高中新增内容，但学生在初中有一定基础，在七年级上册 “从不同方向看”的基础上给出了三视图的概念。到了九年级下册则是在介绍了投影后，用投影的方法给出了三视图的概念，这一概念已基本接近了高中的三视图定义，只是在名字上略有差异。初中叫做主视图、左视图、俯视图。进入高中后特别是再次学习和认识了柱、锥、台等几何体的概念后，学生在空间想象能力方面有了一定的提高，所以，给出了正视图、侧视图、俯视图的概念。这些概念的变化也说明了学生年龄特点和思维差异

五、教学方法

（1）教学方法及教学手段

针对本节课知识是由抽象到具体再到抽象、空间思维难度较大的特点，我采用的教法是直观教学法、启导发现法。

在教学中，通过创设问题情境，充分调动学生学习的积极性和主动性，并引导启发学生动眼、动脑、动手.同时采用多媒体的教学手段，加强直观性和启发性，解决了教师“口说无凭”的尴尬境地，增大了课堂容量，提高了课堂效率。（2）学法指导

力争在新课程要求的大背景下组织教学，为学生创设良好的问题情境，留给学生充分的思考空间，在学生的辩证和讨论前提下，发挥教师的概括和引领的作用。

六、教学过程

（一）创设情境，引出课题

通过摄影作品及汽车设计图纸引出问题

1.照相、绘画之所以有空间视觉效果，主要处决于线条、明暗和色彩，其中对线条画法的基本原理是一个几何问题，我们需要学习这方面的知识。

2.在建筑、机械等工程中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，你想知道这方面的基础知识吗？

设计意图：通过摄影作品及汽车设计图纸的展示引出问题1,2，从贴近生活的实例入手，给学生以视觉冲击，引领学生进入本节课的内容。引出课题：投影与三视图

知识探究

（一）：中心投影与平行投影

光是直线传播的,一个不透明物体在光的照射下,在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子,这种现象叫做投影。其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面。

思考1:不同的光源发出的光线是有差异的,其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？

思考2:我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？

思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？

思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？

思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？

思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？ 师生活动：学生思考，讨论，教师归纳总结。

设计意图：讲解投影，投影线，投影面，让学生了解投影式如何形成的。通过六个思考层层深入，学生在思考讨论的过程中总结出投影的分类及每种投影的特点。知识探究

（二）：柱、锥、台、球的三视图

把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形。但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面。从不同的角度看建筑

问题1:要很好地描绘这幢房子，需要从哪些方向去看？ 问题2:如果要建造房子，你是工程师，需要给施工员提供哪几种图纸？

设计意图：通过观察大楼的图片，提出问题1,2，这种设计更易于让学生接受，说明数学与生活密不可分。给出三视图的含义：

（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，叫做几何体的俯视图；（4）几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。

思考1 ：正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的哪三个角度观察得到的几何体的正投影图？它们都是平面图形还是空间图形？

思考2 ：如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么？ 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯视图和正视图的的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样。

思考3 ：圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？

思考4 ：一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？ 师生活动：分小组讨论，动手操作来完成思考题。

设计意图：通过多媒体的动态演示，对学生的结论进行验证，大概花15分钟的时间来完成这部分的教学。学生自主归纳总结将本节课的重点化解。

长对正，高平齐，宽相等

（三）理论迁移

1、例题讲解 例1 例2 例3

2、课堂练习

设计意图：运用新知进行针对性的讲解与练习，加深学生对三视图的理解。

3、作业（1）必做

（2）选做：如何画出空间几何体的直观图

（四）小结

1、谈一谈对三视图的新认识。

2、想一想自己还有哪些方面掌握的不够熟练？课下还需在哪些方面努力？

设计意图：通过作业与小结，让学生自己发现不足，并且在课下努力弥补，将疑惑解除。通过设置选作题，提高学生的能力。

七、教学反思

由三视图到立体图形是本节课的难点，需要学生根据视图进行想象，在大脑中构建一个立体形象。通过引导学生利用直观形象与生活中的实物进行联系，运用归纳、总结、类比的方法，有效地突破这一难点。

学生对于由三视图得出立体图形的名称掌握不熟练，课下应多做练习。在教学的过程中，应多给学生安排时间自主探究，小组合作，这样对知识的记忆会更深刻。在课堂上应大胆放手，将课堂交给学生。

2.空间几何体直观图 篇二

一、概念形成阶段———做足感受、体验的过程

第1节“全等图形”的学习从观察生活中常见的图案入手, 引导学生欣赏生活中美丽图案的同时, 也丰富学生对全等图形的感性认识. 除了教材提供的素材以外, 也可以从与学生息息相关的生活题材中选取合适内容, 进而引导学生体会数学的实用价值. 揭示全等图形概念之前, 除了可以安排引导学生观察、描述图形特征的活动之外, 还可以借助几何画板或其他软件展示图形之间的运动变化过程, 并引导学生描述这种图形运动, 为归纳、总结、揭示全等图形概念的关键词———“重合”埋下铺垫, 也为后面学生想象图形运动积累感性认识与经验. 教材在安排观察图案之后, 进而安排了利用网格线画出运动后的图形这一操作活动. 这一安排设计旨在引导学生逐步学会运用图形运动的观点来认识和研究图形的性质, 以利于发展学生的几何直观能力和空间观念.

第2节“全等三角形”在概念认识上延续了运用图形运动的观点观察图形的学习方式, 不仅要求学生观察, 更是要求学生自己动手操作. 通过实际操作, 帮助学生积累对图形运动变化的感性认识, 培养学生用图形运动的观点去认识、理解几何图形. 其实这里的学习对学生而言有很大的个性空间, 不一定要拘泥于教材中“运动———画图”, “观察———想象”的套路, 尝试放手让学生自由发挥: “你能将两张全等三角形的纸片摆出什么造型或图案, 并尝试说出其中的对应边及对应角吗?”实际授课中发现学生的积极性很高, 思考问题更加积极, 显示出“我要学数学”的景象. 但只是操作、描述这样的活动, 笔者发现这样的设计与安排存在一定的缺陷: 因为是纸制的全等三角形, 一下子就将学生的注意力集中到两个三角形上. 而实际解决问题中, 有一部分学生是观察不出复杂图形中的全等三角形. 为了降低这一潜在因素的干扰, 培养学生抽象思维与识图能力, 笔者尝试在两张透明的塑料片上各画一个三角形 ( 两个三角形全等) , 通过调整两张塑料片的位置来实现两个三角形的运动.视学生的掌握情况, 适当添加全等三角形边以外的线段, 制造学习上的一点阻力 ( 当然这里要视学生的掌握情况而定) . 两个存在重叠与透视的全等三角形的运动, 对引导学生感受从复杂图形中分离出全等三角形积累一定的感性认识与经验. 这两节内容的教学, 培养空间观念应成为主要目标, 要给予学生充分的时间与空间, 让学生去探索, 去发现, 去交流, 去表达, 去感受, 去想象, 这样才能将培养学生的空间观念落到实处.

通过观察、操作等活动逐步引导学生运用图形运动的观点去认识、理解图形的性质的同时, 教材在这里还安排了课外阅读《图形的运动》, 介绍了平移、翻折、旋转等全等图形变换, 再次提出运用图形运动的观点来认识、理解全等三角形的性质, 使学生对图形运动观点有一个全面、整体性的认识.

二、应用所学解决问题阶段———充分观察、想象

实际教学中, 笔者发现不能很好利用全等三角形条件解决问题的学生, 困难之处往往在于难以从图中识别出全等三角形, 或者识别出全等三角形但是找不准对应边或对应角. 这两种问题的出现, 都说明学生在前期概念形成阶段对全等三角形积累的感性认识不足. 所以在利用全等三角形解决问题的教学过程中, 教师要有意识的引导学生主动地感受图形中的运动变化, 对图形形成一种直观的把握, 即对图形的一种感悟, 逐步认识图形在运动变化过程中所遵循的变化规律. 这一阶段, 图形的运动变化不可能再以操作形成呈现, 所以要借助于之前积累的图形运动变化的感性认识, 充分地发挥学生的想象能力.

而事实上, 空间观念的培养, 其核心就是想象. 例如根据几何图形想象对应的实际物体, 由二维图形去想象和它对应的三维图形, 由坐标系想象物体的方向和位置关系, 根据语言文字描述想象图形并画出图形. 类似的展开与折叠也是这样, 一个平面图形能否折成三维图形, 都是想象在起作用. 所以, 从刚刚接触运用三角形全等条件解决问题时, 教师就要非常有意识地引导学生主动感受图形中存在的运动变化关系, 不管图形有多简单或多复杂. 这样做的好处非常明显, 学生如果能够感受到图形中的运动变化, 他就能够找到全等三角形的对应边及对应角, 接下来就是利用已知条件转化出所需的边相等 ( 或角相等) 就可以了. 有时学生对问题的理解与认识会擦出闪亮的火花.

例 ( 《义务教育教科书数学八年级上册》 ( 江苏科技出版社) 第36页第11题) 如图1, AC⊥BC, DC⊥EC, AC = BC, DC = EC. 图中AE、BD有怎样的大小关系和位置关系? 试证明你的结论.

分析: 证明两条线段相等的常用方法:如果两条线段位于两个三角形中则考虑证明这两个三角形全等.

你观察出图中的全等三角形了吗? 它们之间存在哪种图形变换?

分析进行得比较顺利, 学生很快完成两条线段的大小关系证明. 接下来的位置关系把学生难住了, 一位女生小心地问道:“教师, 我这样证明可以吗?”结果让笔者有点小意外: △ACE绕C点逆时针旋转90°后可与△BCD重合, 故AE⊥BD.

3.借助几何直观优化教学 篇三

下面以“八年级上册《勾股定理》教学片段”为例说明如何发展学生的几何直观。

“勾股定理”的引入，设计了在方格图中通过计算面积的方法探索勾股定理的数学活动。

1.观察图1-2，完成下列问题。

正方形A中有_______个小方格，即A的面積为_______个面积单位。

正方形B中有_______个小方格，即B的面积为_______个面积单位。

正方形C中有_______个小方格，即C的面积为_______个面积单位。

问：（1）你是怎样得到上面结果的？

生1：通过数格子的办法得到的。

（2）你能发现正方形A、B、C的面积之间有什么关系？

生2：A的面积+B的面积=C的面积

教师板书：S■+S■=S■

师：你能说出等腰直角三角形的三边之间有着怎样的数量关系吗？

生3：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

师：通过刚才的问题等腰三角形的三边具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”这一结论，那么一般直角三角形是否也有这样的特点呢？

师：图1-3是以一般直角三角形的边做正方形。你能猜想一般的直角三角形三条边之间具有怎样的数量关系？

生4：我猜想“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的

平方”。

2.做一做，见图1-3

师：观察图1-3，并填写下表：

问：（1）你是怎样得到上面结果的？

生1：通过数格子及分割图形的办法得到的。

（2）你能发现正方形A、B、C的面积之间有什么关系？

生2：A的面积+B的面积=C的面积

师生共同总结得出实验探索结论“直角三角形的两直角边的

平方和等于斜边的平方”。

师：现在有这样的一个命题：“如果直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。”你能证明这个命题的正确

性吗？

学生思考，交流后没有学生会进行证明。

师：看来这个问题难度很大，在前面我们通过计算正方形的面积发现结论。现在，我们的已知条件是一个直角三角形，如何运用“直角三角形”构造出“正方形”呢？

（学生思考）

师：现在我发给你们每人4个全等的直角三角形，请你们利用这些直角三角形拼出一个中空的正方形，利用面积来证明这个

结论。

（学生动手实践，教师巡视，并让个别的学生把拼好的作品展示在黑板上，并写出证明的过程）

……

本节课通过对教材进行整合和再开发，设计利用格子图中正方形面积计算直观感知直角三角形的斜边与直角边的数量关系，又通过拼图方法利用面积来证明勾股定理，学生经历面积计算及拼图活动的实验探索过程，发展了几何直观。

在数学发展历程中，对于数学很多问题的发现与解决，数学家的灵感往往发端于几何直观。几何直观贯穿在整个初中数学教学过程中，几何直观能力的培养也贯穿在整个初中数学教学过程中。因而希望以这个小课题的研究为起点，在今后的教学中不断更新、完善，发展学生的几何直观能力。

4.培养几何直观能力 让数1 篇四

高安市第三小学：刘永维

当我翻开《数学新课标》，就被一个全新教学理念深深地吸引，那就是—— 几何直观。书中是这样说的：“几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。简单的说——就是用图形说话，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质。”读到这时我终于茅塞顿开，因为在自己还是学生的时候就是用这种方法学习数学的，既简单又有趣，只是不知道怎么用文字来表达。现在自己已经是教了三年的数学老师，也可以说一直在尝试如何提高小学生的几何直观能力，因为它反映了一个学生能否把他的理解用一种适当的方式表达出来，能否用图形的方式来理解一个比较复杂的问题。几何直为观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。几何直观能力可以说是学生学习数学的金钥匙，所以教师应十分重视学生几何直观能力的培养，下面我就从自己的教学实中践中谈谈培养学生几何直观能力的方法。

一．注重直观感知。数学中有很多推理的过程，需要学生自己凭借生活经验，采用有效的数学手段去解决。这里，几何直观就扮演着至关重要的角色。学生要是能善于运用几何直观，很多问题就能直观形象的展现出来，理解的问题攻克了，解决就不是问题。所以教学中，教师要再学生面对问题时，让他们充分的思考，探究解决问题的多种方法，让学生体会到几何直观是解决问题的一种有效手段，感知几何直观的重要性。例如在教学二年级的“分一分与除法”时，教师要给学生创造充分的活动空间，让学生亲自动手分一分，圈一圈，画一画，摆一摆等，体验平均分的过程，加深学生的直观感知，从而理解平均分的意义及与除法的关系，辨析出乘除法之间的不同，为后面的解决问题打下坚实的基础。

二．重视数与形的结合。我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入微，数缺形时少直观”。“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。例如：小丽前面有9人，后面有4人，这一队有多少人？“对于一年级的学生，他们有时很难想到题中还有个隐含的“小丽”，往往列出来的算是“9+4=13（人）”。要是借助直观图形展现出排队的情况，学生就非常醒目的发现队伍由3部分构成，前面的人﹑小丽和小丽后面的人，算式也自认会变成“9+1+4=14（人）”。”学生就会联想起直观图的作用，以直观图形作桥梁，分析题中数量关系，从而解决数学问题。三.重视直观图形与数学符号的合情转换。直观图形的应用要能充分的体现数量关系，展现数学的本质。有时两者合情转换更能体现数与形的密切关系。例如在统计的教学中，统计图中一格代表多少数量，一定的数量需要几格来表示，从图中你能得到哪些数学信息等等。学生在画图和分析数据中了解直观图形和数学符号的相互转化，体会数与形的统一。

四．注重多媒体应用。多媒体技术不但给学生展现出丰富多彩的图形世界，提供直观的演示和展示，表现图形的直观变化，也给学生展示其不易想像的图形，扩大其空间视野，并多了一条解决问题的途径。多媒体的应用给教师的教学提供了有力的工具，也为学生的学建立了直观基础。例如教学钟表一节课时，由于课堂时间有限，要验证1时=60分时，要是仅仅靠老师的讲，学生只能是机械记忆，很难真正理解。利用多媒体展现时针走一大格分针正好走一圈的过程，给予学生视觉感知，使他们从中发现时和分的关系，学生的印象才深刻，才能真正的理解其中所以然，后面的解决问题才能有依据，做到得心应手。

5.空间几何体直观图 篇五

几何直观不断加强是几何课程未来发展的趋势与方向，从小学数学的教学角度来说，可以更加宽泛地对几何直观中的图形进行理解，这对数学关系的变现有不可替代的重要作用。从小学数学教学的角度对几何直观进行探究，这对我国教育教学事业的发展有极其重要的作用与意义。

一、几何直观的含义与概念

义务教学数学课程标准对几何直观及其含义做出明确界定，在实际对图形进行描述与分析的过程中对图形进行利用就是指几何直观，在实际对几何直观利用的同时可促使复杂的数学问题实现向简明形象的转化。这对解决问题思路的探索有极大的促进作用，在整个数学学习过程中发挥着不可替代的重要作用。

1.几何直观基于“图形与几何”而又超越“图形与几何”

几何直观可以说是新课程标准的核心概念，针对某一课程来说是一种核心价值。几何内容具有较高的教育价值，不仅可对学生的逻辑推理能力进行培养，同时也可促使学生的直观思考能力得到大幅度提升。

在实际对图形与几何进行学学时需要在对实物或者图形观察的基础上促使思考以及想象表象的形成，几何的直观因素都是在上述过程中被涵盖。数与形是多数数学概念的方面特征，只有从上述两个方面对其进行掌握才能在真正意义上实现对数学知识本质的了解。利用图形思考以及想象问题可以说是数学学习的基本能力。因此在实际对数学进行学习时需要对学生的几何直观能力进行重点培养。

2.更加宽泛的对图形进行理解

利用图形对数学进行思考可以说是几何直观的实质，因此在实际对图形进行理解时可从更加宽泛的范围进行。在利于思考和理解的基础上可不受几何图形的限制。在实际对问题进行解决时可利用倒推策略，在表达时需要将数量变化的过程作为主要依据，在此基础上对其进行倒推。

在教学达到一定基础与阶段的同时，学生可通过想象对图形进行思考，学生在对图形进行比划也是一种辅助手段。因此不能为了直观而进行直观，这对几何直观来说有一种反作用。只要学生可对顺畅思考这一要求进行满足，就可不必强制性的要求学生对图形进行刻画。

二、对几何直观的应用

1.在主动尝试中对几何直观价值进行感受

超越知识的技能层面可对核心概念进行直观体现，数学的意识、感受以及能力也是在这一过程中得到培养。所以说几何显性与知识点之间存在一定的联系，但呈现出一定的不显性。几何直观在义务教育范围内时间较短，这也是导致义务教育阶段几何直观设置呈现出层次不丰富现象的主要原因。

教师在实际开展教育教学的过程中应该鼓励学生在解决与分析问题时应该对图形进行利用，并且利用图示对数学经验进行积累与学习。在对几何直观进行积极尝试的基础上对几何的直观价值进行主动感受。在经历几何直观的过程中学生主要作为参与者存在，几何直观的价值与意义可在这一过程中得到最大限度的发挥。

2.显性学习和氛围感受相结合

要达成“感受几何直观价值”的教学目标，总得依托一定的内容载体。这样的载体，可以有两条途径，一是有计划有目的的显性学习，二是让学生在良好的课程氛围中感受。几何直观包含画图策略与技能的一面，所以，几何直观的课程实施应该可以设立一个明线脉络。其一，在低年级可以实施“实物图―示意图（直条图）―线段图”的过渡递进，不少教师已经具有很好的经验。实物图的图示过程就是描绘的过程，包含了太多的直观成分，孩子还没有学会只保留思考对象的量方面的属性。这个过程虽然不是我们教学要追求的，但确实是小学生真实的几何直观的起点阶段。

3.处理好几何直观过程与几何直观结果间的关系

几何直观，既是个体具有的相关技能与能力，表现出结果属性，也是利用图形描述问题、思考问题的过程，表现出过程属性。比起几何直观的结果来，我们更要重视几何直观的过程。其缘故在于其一，对于学习目标来说，“感受”本身就是描述过程目标的行为动词；其二，对于学习者来说，几何图形并不必然具有直观意义。如果学生不把握几何图形本身的特征，不领悟图形本身具有的数学模型意义的话，图形就不具有让数学思考变得有形可视的直观作用。

随着学习的推进，学生对图形性质的认识层次提高了，对其他知识理性认识的层次提高了，都应该在相应的层次上接触和体会更为简练与精准的几何直观方式。比如从示意图到线段图（一个单位的线段可以表示任意数量），从线段图表示数量关系到用面积图表示数量关系，从线段图到韦恩图，等等。

6.空间几何体直观图 篇六

来源：《素质教育》2015年2月总第170期供稿

作者：李成美 [导读] 相较于实验稿的《小学数学课程标准》，2011版中增加了几何直观、运算能力、模型思想、创新意识这四个核心词。

李成美 重庆市开县临江镇中心小学 405408

摘 要：数学概念的形成与数学规律的得出离不开直观，几何直观就是一种直觉思维的表现形式，是人们基于对几何的理解形成的对几何关系一种直接的认识。在小学阶段的数学学习中，教师应选择适当的教学内容，通过重视直观感知、重视直观图形与数学符号的合情转换、重视数形结合等方法，培养几何直观的能力。

关键词：小学数学 几何直观 培养

相较于实验稿的《小学数学课程标准》，2011版中增加了几何直观、运算能力、模型思想、创新意识这四个核心词。这预示着，对学生几何直观等能力的培养将成为数学教学研究中新的关注点。课程标准中对“几何直观”的解释是这样的：“几何直观主要是指利用图形描述来分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”那么在小学数学教学中如何培养学生的几何直观能力呢？

一、化抽象为直观，发展表征概念的能力

在小学数学中，有相当一部分数学知识都是伴随着几何意义而存在的。

期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆 “图形与几何”的知识自不必说，“数与代数”、“统计与概率”中也渗透了许多有关几何直观的知识。在数学教学中加强数学概念几何意义的阐释，有利于学生形成概念表象，促进对数学知识的理解和记忆，积累表象建构的经验，同时也为问题解决过程中的表象迁移提供了潜在的可能。因此，数学教学中要注意从学生年龄特点和已有的知识经验出发，有计划、有步骤地引导学生利用直观图形来表征数学概念，帮助学生获得清晰的数学概念的表象，逐步构建数学概念的视觉表征系统，形成准确感知现实世界的能力。

二、借助几何直观帮学生寻找数学规律成立的原因

新课程指出：“推理能力的发展贯穿于整个数学学习过程中。”推理一般包括合情推理和演绎推理。虽然小学阶段对学生推理的要求不是很高，但教师可以借助几何直观要求他们用适合自己的方式，直观、清楚和正确地表达一些规律成立的原因。

例如：用20块方砖（边长为10cm的正方形）拼摆出不同的长方形图形，要求必须用上所有的砖，数出并记录每一种长方形的面积和周长，然后找一找并描述你发现的规律，说说这些规律为什么成立。学生们画出一表格后发现了如下规律：“瘦长”的长方形周长最大，“胖”长方形的周长最小。理由：学生在移动这些方砖时，看到瘦长的长方形变胖后原来的一些边就藏到里面了，这样周长就变小了。

三、利用几何直观体会对应思想

数学思想和数学方法是数学的灵魂和核心，我们在教学数学知识的同时，更要重视数学方法的引导和数学思想的渗透。一一对应作为一种重要的数学思想与方法，散见于小学数学低段教学之中，构成了学生在数学学习的初级阶段理解数量关系的“算理基础”。同时，用一一对应的方法比较数的大小，也会在潜移默化的过程中让学生渐渐养成有条理地思考问题的习惯。

例：猜一猜，小灰兔采了多少个蘑菇？小黑兔：我采了8个蘑菇。小白兔：我采了5个蘑菇。小灰兔：我采的蘑菇比小白兔的多，比小黑兔的少。猜一猜，小灰兔采了多少个蘑菇？

本题作为拓展题，在一年级上册教学中要让学生猜出比5大比8小的数有6和7，答案有两个，对有些同学有点难度。但如果我们通过让学生动手操作，在摆一摆、画一画、数一数、比一比的基础上，思考多与少，并初步了解对齐，使学生感悟运用对齐的方法画出符号图，更能快速猜出小灰兔采了6个或7个蘑菇。

四、借助几何直观，理解和记忆发现的结论

几何直观可以将相对抽象的思考对象“图形化”，把数学推理过程变得直观，容易展开形象思维，开展分类和聚类分析。以“垂直与平行”教学为例：

1.图画感知，研究两条直线的位置关系。（1）想象。师：同学们，老师这里有一张纸，闭上眼睛想一想，在这张纸上出现了一条直线，又出现了一条直线，想想它们的位置关系如何呢？（2）画画。师：每位同学手中都有一张白纸，请同学们在白纸上画两条直线，每人画一种情况。（学生画，教师巡视。）

2.分类探究，了解垂直与平行的特征。（1）展示。师：画完了吗？请同学们展示画的结果。同学们上台，把不同的情况展示在黑板上。（2）分类。师：还有与以上的画法不同的画法吗？同学们的想象力可真丰富！好，下面我们以小组为单位把这些画法进行分类，并说出分类的依据。（小组讨论、交流。）

案例当中，教师先让学生想象，这实际上是一种通过图形所展开的想象。而后要求学生将两条直线画在一张纸上，这样使得研究对象变得“看得见、摸得着”，不仅可以培养学生的动手能力，还可以为下面分类提供依据。在分类中，将所研究的问题转化为“图形之间的关系”，然后借助图形直观进行思考、分析，在对比中不断辨析，逐步构建形成概念。

参考文献

[1]教育部 义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京：北京师范大学出版社，2012。

[2]林培康 略论小学生几何直观能力的培养[J].福建基础教育研究，2013，（12)。

[3]张家骥 几何直观在数学教育中的独特优势[J].新课程导学，2013，（09)。

如何培养学生的几何直观能力

2012-11-01 15:13:30

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来源：安徽青年报

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【摘要】几何直观主要是指利用图形来描述和分析问题，这样有助于探索解决问题的思路，预测结果，帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重...几何直观主要是指利用图形来描述和分析问题，这样有助于探索解决问题的思路，预测结果，帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。下面笔者结合小学数学课堂教学，谈谈如何培养小学生的几何直观能力。在教学中激发学生画图的兴趣

几何直观在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，因此学生掌握一定的画图能力必不可少。在低年级数学中，学生年龄偏小，识字量较少，孩子们都爱把生活中复杂的人和事用简单的图表达出来。因此在教数学的运算时我注重让孩子们用画图来表示，并结合图表达出自己的理解。一方面培养学生倾听的能力，又激发了孩子画图的兴趣，并抓住教学契机让学生展示自己的作品，说出自己的想法，及时对学生进行表扬鼓励，激发学生作图的热情。在教学中养成良好的画图习惯

几何直观是具体的，它与许多重要的数学内容紧密相连，如分数的认识，负数的认识等。作为教师要从思想上认识到它的重要性，并把它当作是最基本的能力去培养学生。在日常的教学中，要帮助学生从小养成良好的画图习惯。

在教学中要通过多种途径和方式使学生真正体会画图对理解概念、寻求解决思路带来的益处。要求学生解决问题时能画图的尽量画图，将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。如在教学生倍的概念时，6是2的几倍?让学生用自己的图形表示出6(可能画6个圆，或画6个三角形，也有可能画6根小棒)，然后每2个一份圈起来，学生很直观地看出6里面有3个2，也就是6是2的3倍，这样为抽象的倍的概念建立了具体形象的表象，理解起来轻松很多，以后在学习较复杂的“和倍、差倍”问题时，学生会很容易想到画直观图帮助解决问题。数形结合 学会画图的技巧

7.分类解析几何直观 篇七

一、几何直观概述

几何直观是数形结合思想的重要体现.它用直观的图形表示抽象的数学语言, 使抽象思维和形象思维相互结合, 能充分展现数学问题的本质, 突破数学理解上的难点, 从而帮助学生直观地理解数学.几何直观通过图形的直观性质来阐明数量之间的关系, 将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化, 从而实现代数问题与图形之间的互相转化和相互渗透, 为研究和探求数学问题开辟了一条新的重要途径.

美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形, 那么, 思维就能整体地把握问题, 并能创造性地思索问题的解法.”将问题转化为一个图形, 把问题中的条件和结论直观地、整体地展现出来, 是一种十分重要的解题方法.一旦我们把抽象和繁杂的问题图形化, 直观化, 这些问题就会变得较为简单, 就会使本来需要经过复杂的思维过程或列出复杂方程才能解决的问题, 只需区区几个小算式就可得以解决.下面, 笔者从常见的几类问题中各选一例, 和读者一起体会运用几何直观进行解题的奥妙.

二、分类解析几何直观

1.借助几何直观, 探索运算规律

分析:算式本质上就是用一些运算符号把数连接起来.它考查的是个体对数量的感悟和理解, 在计算方法上常常是按照运算法则逐步进行.法则给人的感觉是“铁面无私”, 而如果我们能把算式与几何图形联系起来, 会使算式变得“和蔼可亲”, 便能很好地体现数量和图形不分家的新课程理念.

2.借助条形图理念, 巧解平均数问题

例2甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱合伙订购某种商品.商品买来以后, 甲、乙两人分别比丙多拿了7件和11件.最后结算时, 三人要求按所得的商品的实际数量付钱, 进行多退少补, 已知甲应付给丙14元, 那么乙应付给丙多少元?

分析:本题虽然数量较小, 但是由于问题中只是给出了甲、乙分别比丙多拿的部分, 至于到底每个人拿多少却不清楚, 致使问题变得较为抽象.怎么才能变抽象为直观呢?我们可以用条形图的理念借助长方形的高低来表示数量的大小, 把这些数量变成一组条形图, 然后再从整体上把握全部题意和整个问题的解决过程, 便可以把抽象思维和形象思维联系起来, 化抽象的数量关系为直观可操作的图形, 通过切分这些图形, 便能使问题得以解决.

此题属于平均数问题中的平均分配问题.由于三人拿了一样多的钱, 买的都是同一种商品, 因此也应该分得相同数量的这种商品.但实际上甲、乙、丙三人并没有平均分配, 多拿了商品的人应把自己多拿的商品的钱退给那些少拿相应数量商品的人.如下图, 三个长方形的高低分别代表每个人所拿商品的数量.我们可先以得到商品最少的丙的商品数为基准 (虚线以下) , 基准数三人都一样, 要想做到公平分配, 只需要把甲和乙多拿的商品重新在三人之间平均分配, 就可以达到在整体上平均分配的目的.这些商品平均分配后, 每个人根据自己应拿的件数, 最后把多拿的商品的钱退给那些比应该拿的数量少的人即可.

解:除基准量外, 平均每人应得: (7+11) ÷3=6 (件) ,

每件商品单价:14÷ (7-6) =14 (元) ,

乙应付给丙:14× (11-6) =70 (元) .

答:乙应付给丙70元.

3.画线段图, 直观解决分数应用题

分析:本题属于分数类应用题中多次转换单位“1”的量的应用题.画线段图是解决分数类应用题的一种常用方法, 是把复杂问题中的数量关系和几何图形联系起来的重要方式, 能够更好地体现几何直观的理念.题中三个分率的单位“1”不一致, 只有把分率转化为统一的单位“1”, 它们才能相加减.但是, 由于本题中的分率和具体量交替出现, 把各个分率的单位“1”转化成一致较为困难.于是, 我们可以通过画线段图, 把本题题意运用几何图形直观化, 然后再采取逆向思维, 逐步转换单位“1”的量, 依次运用“单位“1”的量=分率对应的量÷分率”进行解题, 列出几个小算式, 便可把此题顺利解决.

答:孙悟空从山上采回了16桃子.

4.把工作过程图形化, 直观解决工程应用题

分析:心理学家研究表明, 人的工作记忆就像电脑的缓存空间一样, 其容量是有限的, 只能暂时存储5±2个记忆单位.此题工作过程较为复杂, 若是解题者单纯地依靠记忆进行分析理解, 势必会使他们顾此失彼, 不能清楚地理解题意.如果我们能借助几何直观, 把本题的题意用图形直观化, 就会使本题的工作过程清楚易懂, 从而方便地解决本题 (如图4) .

答:余下的由丙工程队单独施工, 还要12天才能全部完成.

5.适当简化, 借助线段图解决行程应用题

例5客、货两车从相距120千米的A、B两地同时同向出发 (客车在前) , 货车每小时行75千米, 客车每小时行60千米.途中客车发生故障, 修理了1个小时后继续前进, 问客车和货车相遇时各行了多少千米?

分析:对于比较复杂的行程问题, 最好的方法是根据题意画出线段图.在行程问题中, 我们经常用一条线段表示整个路程或运动过程, 然后把线段分成若干部分, 并在每一部分上标出各个时段的路程、速度和时间及其关系, 从而使整个运动过程中的数量关系直观化、具体化, 使复杂的问题得以清晰解决.

此题属于行程问题中的追及问题.在画线段图时, 由于客车是在途中发生故障, 不知道具体是什么时候, 这给我们画线段图带来了很大麻烦.为了使问题简化和便于理解, 我们不妨让客车一开始就发生故障, 则在客车维修的一个小时内, 货车单行了1小时, 从而使追及路程 (开始追及时的路程差) 减小.结合题意, 我们可画出如图5所示的线段图, 然后结合追及问题的公式s追 (差) =v差×t追即可求出追及时间, 再结合线段图即可求出客车和货车在相遇时各行了多少千米.

解:t追= (120-75×1) ÷ (75-60) =3 (小时) .

s客=3×60=180 (千米) .

s货=180+120=300 (千米) .

答:客车和货车相遇时, 客车行了180千米, 货车行了300千米.

6.画出简易流程图, 清晰解决浓度应用题

例6桶中有40%的某种盐水, 当加入5千克水时, 浓度降低为30%, 再加入多少千克盐, 可使盐水浓度提高到50%?

分析:浓度问题主要是围绕着浓度、溶质质量和溶液质量这三个量进行计算的一类问题.由于本题涉及两个变化过程, 且题中的未知量较多, 数量关系不太明显, 使题意变得较难理解.如果我们能根据题意把此题的变化过程用简易的流程图表示出来, 并把各个阶段的已知量和未知量标示在图中, 便能使本题的题意明确, 数量关系清晰, 从而轻松解决问题.

解:设原来浓度40%的盐水有x千克.

根据题意得:40%x=30% (x+5) ,

解得:x=15.

设再加入y千克盐, 可使盐水浓度提高到50%.

根据题意得:15×40%+y=50% (15+5+y) ,

解得:y=8.

答:再加入8千克盐, 可使盐水浓度提高到50%.

7.构造几何图形, 证明代数问题

分析:在证明某些代数问题时, 如果我们能将题中数量关系与某些图形的几何性质联系起来进行综合分析, 然后再根据题中所给的已知条件构造图形, 将代数问题转化为“看得见、摸得着”的几何图形, 便可使问题变得直观明了, 浅显易懂, 不但可以使复杂问题简单化, 而且还可以拓宽解题思路, 培养学生的发散思维能力.

8.完整转化题意, 正确解决几何文字叙述题

例8等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°, 腰长为a, 则其底边上的高是______.

分析:我们在把文字语言转化为几何图形的过程中, 必须是完整题意的转化, 如果只是片面的转化, 就会使我们在解题的过程中出错.本题是一个文字型几何填空题, 我们应首先把文字叙述的题意准确、全面地转化为几何图形 (有几种情况一般会转化成几个图形) , 然后再根据转化后的几何图形, 运用相关知识解题即可.由于本题没有说该等腰三角形是锐角三角形、直角三角形, 还是钝角三角形, 所以应分锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论, 以免发生漏解现象.

当三角形的顶角A为直角时, 显然无法满足本题条件.

8.善用几何直观 凸显课堂实效 篇八

一、善用几何直观，理解数学概念

数学概念的抽象性，使得小学生存在着学习难度，而几何直观可以通过形象的图形，让学生对抽象的数学概念建立直观印象，积累丰富的数学表征，理解数学的本质意义。

如在教学苏教版“求一个数的几分之几”时，出示题目：1.一头鲸长28米，爸爸身高是鲸长的■，爸爸身高多少米？2.海象的寿命约为40年，海狮的寿命是海象的■，而海豹的寿命则是海狮的■，求海豹的寿命约为多少年？

为了让学生更好理解分数的概念，并掌握这类分数应用问题，我引导学生把握一个解答这类问题的关键，即要理清数量关系，找准单位“1”。为此，我先让学生分析爸爸的身高和鲸长两者之间的数量关系，学生用线段图来表示，便很快从中把握了题意“以鲸长为单位“1”，爸爸的身高是其中的■”，并能自主分析线段图，根据线段图得出解决问题的策略和方法。有学生根据线段图，很快将复杂的海豹、海象、海狮之间的关系，简化为海豹是海狮的■，在图例中很快得到答案。

通过几何直观的图形展示，学生能够将几分之几的概念建立在表象的积累之上，达到抽象概念的自主建构，很快掌握此类应用问题的解决方法，形成问题解决的数学模型。

二、善用几何直观，探索数学规律

在小学数学知识系统中，有很多数学规律孕育在丰富的图形中，但实际教学时，却往往有教师在向学生揭示规律的时候，理论讲得多，活动也开展得不少，却收效甚微，找不到方法，使得学生听得模糊，做得糊涂，无法学以致用。此时善用几何直观，便可有效利用形式化的直观语言，丰富的表征图形，为学生的思维打开一扇门。

例如，学过“三角形内角和为180度”之后，课本中出了以下习题：

■

在探索这一规律时，学生需要把握两点，其一，三角形的内角和是180度，这是已知的，怎么将四边形的内角和转化为三角形；其二，怎么将五边形、六边形与三角形的内角和建立转化关系。一旦学生能够将三角形的内角和与其成功转化，就能够发现规律所在。这个过程中，我先引导学生从特殊的四边形入手，将长方形和正方形转化为三角形，并猜测其为360度，经过验证后推导得出长方形和正方形的内角和为360度。那么普通的四边形是否如此呢？学生随意画出一个四边形，通过测量四个角，相加得到结果为360度；也有学生直接将四边形的任意一条对角线相连，使其变为两个三角形，得到内角和为360度。

显而易见，在这个规律的发现过程中，起到有效作用的就是直观图形，学生通过几何直观的运用，拓展了思维，发现规律所在。

三、善用几何直观，分析数学问题

几何直观对于数学问题的分析，具有举足轻重的作用。在很多数学问题的解决中，灵感大多出自几何直观。

例如，在教学“解决问题的策略之替换”时，有这样一道例题：爸爸买了3本故事书和5本图画书共花了50元，单本故事书比图画书贵6元，问故事书和图画书的单价各是多少？

在这个问题中，数量关系有些复杂，小学生在进行分析的时候，会因为头绪过多而手忙脚乱，顾此失彼。我引导学生先用图形表示出故事书和图画书以及总量。通过图形，学生发现，只要将故事书替换为图画书，或者将图画书替换为故事书，就可以将复杂的数量关系转化为单一的数量关系，从而求出其中一种书的单价。在替换中，学生也能够直观地看到：总量不变，但两者的关系发生了变化，如果要将故事书替换为图画书，就要去掉6元（如下图）。

■

通过图形直观，学生对例题中的数学信息进行了有效提取和处理，并能够从整体思路上把握分析，自主探究和发现，并一步步找到解题思路。

课改以来，几何直观是新增的重要概念，也是小学教学实践中，学生常用的数学思维方法。对于教师来说，这是引导学生思考探索的有效途径，对推动课堂教学的发展，起着极为关键的作用。在教学中，教师要善于培养学生运用图形符号的直观方法来分析和解决问题，理解概念，发现数学规律。当然，要在适当的地方适度运用图形直观，把握好几何直观运用的“度”。

（责编 金 铃）endprint

在2011版课标中，几何直观是这样定义的：“利用图形描述和分析问题。”课标明确提出要发展学生的几何直观能力。在数学教学中，如何运用几何直观引导学生进行数学学习，这是笔者在实践中经常探索的问题，现根据自己的经验谈些体会。

一、善用几何直观，理解数学概念

数学概念的抽象性，使得小学生存在着学习难度，而几何直观可以通过形象的图形，让学生对抽象的数学概念建立直观印象，积累丰富的数学表征，理解数学的本质意义。

如在教学苏教版“求一个数的几分之几”时，出示题目：1.一头鲸长28米，爸爸身高是鲸长的■，爸爸身高多少米？2.海象的寿命约为40年，海狮的寿命是海象的■，而海豹的寿命则是海狮的■，求海豹的寿命约为多少年？

为了让学生更好理解分数的概念，并掌握这类分数应用问题，我引导学生把握一个解答这类问题的关键，即要理清数量关系，找准单位“1”。为此，我先让学生分析爸爸的身高和鲸长两者之间的数量关系，学生用线段图来表示，便很快从中把握了题意“以鲸长为单位“1”，爸爸的身高是其中的■”，并能自主分析线段图，根据线段图得出解决问题的策略和方法。有学生根据线段图，很快将复杂的海豹、海象、海狮之间的关系，简化为海豹是海狮的■，在图例中很快得到答案。

通过几何直观的图形展示，学生能够将几分之几的概念建立在表象的积累之上，达到抽象概念的自主建构，很快掌握此类应用问题的解决方法，形成问题解决的数学模型。

二、善用几何直观，探索数学规律

在小学数学知识系统中，有很多数学规律孕育在丰富的图形中，但实际教学时，却往往有教师在向学生揭示规律的时候，理论讲得多，活动也开展得不少，却收效甚微，找不到方法，使得学生听得模糊，做得糊涂，无法学以致用。此时善用几何直观，便可有效利用形式化的直观语言，丰富的表征图形，为学生的思维打开一扇门。

例如，学过“三角形内角和为180度”之后，课本中出了以下习题：

■

在探索这一规律时，学生需要把握两点，其一，三角形的内角和是180度，这是已知的，怎么将四边形的内角和转化为三角形；其二，怎么将五边形、六边形与三角形的内角和建立转化关系。一旦学生能够将三角形的内角和与其成功转化，就能够发现规律所在。这个过程中，我先引导学生从特殊的四边形入手，将长方形和正方形转化为三角形，并猜测其为360度，经过验证后推导得出长方形和正方形的内角和为360度。那么普通的四边形是否如此呢？学生随意画出一个四边形，通过测量四个角，相加得到结果为360度；也有学生直接将四边形的任意一条对角线相连，使其变为两个三角形，得到内角和为360度。

显而易见，在这个规律的发现过程中，起到有效作用的就是直观图形，学生通过几何直观的运用，拓展了思维，发现规律所在。

三、善用几何直观，分析数学问题

几何直观对于数学问题的分析，具有举足轻重的作用。在很多数学问题的解决中，灵感大多出自几何直观。

例如，在教学“解决问题的策略之替换”时，有这样一道例题：爸爸买了3本故事书和5本图画书共花了50元，单本故事书比图画书贵6元，问故事书和图画书的单价各是多少？

在这个问题中，数量关系有些复杂，小学生在进行分析的时候，会因为头绪过多而手忙脚乱，顾此失彼。我引导学生先用图形表示出故事书和图画书以及总量。通过图形，学生发现，只要将故事书替换为图画书，或者将图画书替换为故事书，就可以将复杂的数量关系转化为单一的数量关系，从而求出其中一种书的单价。在替换中，学生也能够直观地看到：总量不变，但两者的关系发生了变化，如果要将故事书替换为图画书，就要去掉6元（如下图）。

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通过图形直观，学生对例题中的数学信息进行了有效提取和处理，并能够从整体思路上把握分析，自主探究和发现，并一步步找到解题思路。

课改以来，几何直观是新增的重要概念，也是小学教学实践中，学生常用的数学思维方法。对于教师来说，这是引导学生思考探索的有效途径，对推动课堂教学的发展，起着极为关键的作用。在教学中，教师要善于培养学生运用图形符号的直观方法来分析和解决问题，理解概念，发现数学规律。当然，要在适当的地方适度运用图形直观，把握好几何直观运用的“度”。

（责编 金 铃）endprint

在2011版课标中，几何直观是这样定义的：“利用图形描述和分析问题。”课标明确提出要发展学生的几何直观能力。在数学教学中，如何运用几何直观引导学生进行数学学习，这是笔者在实践中经常探索的问题，现根据自己的经验谈些体会。

一、善用几何直观，理解数学概念

数学概念的抽象性，使得小学生存在着学习难度，而几何直观可以通过形象的图形，让学生对抽象的数学概念建立直观印象，积累丰富的数学表征，理解数学的本质意义。

如在教学苏教版“求一个数的几分之几”时，出示题目：1.一头鲸长28米，爸爸身高是鲸长的■，爸爸身高多少米？2.海象的寿命约为40年，海狮的寿命是海象的■，而海豹的寿命则是海狮的■，求海豹的寿命约为多少年？

为了让学生更好理解分数的概念，并掌握这类分数应用问题，我引导学生把握一个解答这类问题的关键，即要理清数量关系，找准单位“1”。为此，我先让学生分析爸爸的身高和鲸长两者之间的数量关系，学生用线段图来表示，便很快从中把握了题意“以鲸长为单位“1”，爸爸的身高是其中的■”，并能自主分析线段图，根据线段图得出解决问题的策略和方法。有学生根据线段图，很快将复杂的海豹、海象、海狮之间的关系，简化为海豹是海狮的■，在图例中很快得到答案。

通过几何直观的图形展示，学生能够将几分之几的概念建立在表象的积累之上，达到抽象概念的自主建构，很快掌握此类应用问题的解决方法，形成问题解决的数学模型。

二、善用几何直观，探索数学规律

在小学数学知识系统中，有很多数学规律孕育在丰富的图形中，但实际教学时，却往往有教师在向学生揭示规律的时候，理论讲得多，活动也开展得不少，却收效甚微，找不到方法，使得学生听得模糊，做得糊涂，无法学以致用。此时善用几何直观，便可有效利用形式化的直观语言，丰富的表征图形，为学生的思维打开一扇门。

例如，学过“三角形内角和为180度”之后，课本中出了以下习题：

■

在探索这一规律时，学生需要把握两点，其一，三角形的内角和是180度，这是已知的，怎么将四边形的内角和转化为三角形；其二，怎么将五边形、六边形与三角形的内角和建立转化关系。一旦学生能够将三角形的内角和与其成功转化，就能够发现规律所在。这个过程中，我先引导学生从特殊的四边形入手，将长方形和正方形转化为三角形，并猜测其为360度，经过验证后推导得出长方形和正方形的内角和为360度。那么普通的四边形是否如此呢？学生随意画出一个四边形，通过测量四个角，相加得到结果为360度；也有学生直接将四边形的任意一条对角线相连，使其变为两个三角形，得到内角和为360度。

显而易见，在这个规律的发现过程中，起到有效作用的就是直观图形，学生通过几何直观的运用，拓展了思维，发现规律所在。

三、善用几何直观，分析数学问题

几何直观对于数学问题的分析，具有举足轻重的作用。在很多数学问题的解决中，灵感大多出自几何直观。

例如，在教学“解决问题的策略之替换”时，有这样一道例题：爸爸买了3本故事书和5本图画书共花了50元，单本故事书比图画书贵6元，问故事书和图画书的单价各是多少？

在这个问题中，数量关系有些复杂，小学生在进行分析的时候，会因为头绪过多而手忙脚乱，顾此失彼。我引导学生先用图形表示出故事书和图画书以及总量。通过图形，学生发现，只要将故事书替换为图画书，或者将图画书替换为故事书，就可以将复杂的数量关系转化为单一的数量关系，从而求出其中一种书的单价。在替换中，学生也能够直观地看到：总量不变，但两者的关系发生了变化，如果要将故事书替换为图画书，就要去掉6元（如下图）。

■

通过图形直观，学生对例题中的数学信息进行了有效提取和处理，并能够从整体思路上把握分析，自主探究和发现，并一步步找到解题思路。

课改以来，几何直观是新增的重要概念，也是小学教学实践中，学生常用的数学思维方法。对于教师来说，这是引导学生思考探索的有效途径，对推动课堂教学的发展，起着极为关键的作用。在教学中，教师要善于培养学生运用图形符号的直观方法来分析和解决问题，理解概念，发现数学规律。当然，要在适当的地方适度运用图形直观，把握好几何直观运用的“度”。

9.空间几何体直观图 篇九

几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。教师在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。例如：探索平行四边形对边、对角的性质时我做了如下设计：

1、拿出一张平行四边形纸片，小组讨论交流：在平行四边形中有哪些相等的线段？哪些相等的角？你们是如何得到的？教师鼓励学生大胆猜想、思考，勇于尝试。如可以用刻度尺、量角器分别测出各边的长、各角的度数，再看看相对的边和角是否相等；可以用折叠的办法；可以通过平移两条对边，看它们是否重合，可以剪下对角，看是否重合等等。不论是直观测量还是其它的什么办法，教师应给予充分的肯定。如果有学生提出用平移与旋转的变化方式得到结果，教师应给予赞赏。演示结论。

2、用图形的平移、旋转探索平行四边形的性质：将两张大小、形状完全相同的平行四边形纸片重合在一起。把上面的一个平行四边形绕中心（即两条对角线的交点）旋转180°，使它与下面的平行四边形重合，具体做一做。

（1）教师用实物教具演示具体做法。

（2）学生拿出两张大小、形状完全相同的平行四边形纸片动手操作。

（3）小组交流：通过旋转，我们看到两个平行四边形重合的同时，平行四边形的对边（），对角（）。

（4）提问：还可以通过怎样的旋转、平移变化，使得两张平行四边形纸片重合。

3、小结探索结果：通过以上探索活动，我们发现平行四边形除了两组对边平行，内角和是360°外，还具有什么性质？（学生总结：平行四边形的对边相等，对角相等。）（幻灯片出示结论）

4、简单推理说明平行四边形的性质：【老师引导：要证明线段相等、角相等，我们最容易想到什么？（生答：全等三角形）怎样得到三角形？（生答：沿平行四边形的对角线剪开就得到）】

老师将一张平行四边形纸片沿其中一条对角线剪开，得到了两个三角形，对其中一个三角形通过适当的变化（如平移、轴对称、旋转）能否与另一个三角形重合，具体做一做。

（1）、小组讨论交流：你是通过怎样的变化方式使两个三角形重合的？

（2）、任意一个平行四边形，是否都可以由两个全等三角形拼接而成？

（3）、引导学生用全等三角形的性质推理说明“平行四边形对边相等，对角相等 ”。

10.空间几何体教学反思 篇十

一、教学设计应有利于让学生学会学习，发挥学生的主体作用 在教学过程中，要根据自己准备的学习内容，使学习成为在教师指导下自动的、建构过程。教师是教学过程的组织者和引导者，教师在设计教学目标，组织教学活动等方面，要面向全体学生，突出学生的主体性，充分发挥学生的主观能动性，让学生自主参与探究问题。

二、教学设计应有利于让学生学会共同生活，培养学生的合作精神 在数学学习中，个人努力与合作学习相结合则能促进学生对数学的理解。在交流与讨论中，能够澄清认识，纠正错误。这有助于扩展思路，提高能力，加强自信，培养合作精神。所以，我觉得在教学过程中应该最大可能地让学生相互探讨，相互沟通。

三、教学设计应有利于让学生学会生存，培养学生的创新意识 教学中教师要精心设计教学，不应停留在简单的变式和肤浅的问答形式上，而应把数学知识方法贯彻到每一次探索活动中去，使学生在“观察、联想、类比、归纳、猜想和证明”等一系列探究过程中，体验到成功的快乐，从而激发学生的创新欲望，体会到数学思想方法的作用。

四、随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求。

另外，具体而言，我觉得我在以下几个方面还有所不足，在教学过程中还应不断地改善自己的教学方法并取得进步。

一、在教学过程中我容易凭经验来教学，但是数学教学是不能够只凭经验来进行的。从经验中学习是每一个人天天都在做而且应当做的事情，然而经验本身也具有相当的局限性，就数学教学活动而言，单纯依赖经验教学实际上只是将教学当作一个操作性活动，即依赖已有经验或套用学习理论而缺乏教学分析的简单重复活动；将教学作为一种技术，按照既定的程序和一定的.练习使之自动化。()它使教师的教学决策是反应的而非反思的、直觉的而非理性的。这样从事教学活动，往往会给我们老师在教学过程中带来许多自以为是的假象，以至于很多学生都听不懂，学不会。

二、我的教学过程太过理智、呆板也是我需要反思和改进的 ，理智型教学的一个根本特点是“职业化”。这样的教学活动不容易引起学生学习的兴趣和激情，容易导致课堂气氛过于沉闷，不利于让同学们快乐和积极地学习。

在我平时反思自己的教学过程的时候我倾向于反思什么是数学；同学们怎么样学习数学才能学得更好；我有应该怎么样去教会同学们数学。以这样的心态我一边教同学们学习，一边不断地改进自己的教学技巧和方法，我相信我会教得更好，而我的同学也会学得更棒！

11.利用几何直观 揭示数学规律 篇十一

[关键词]直观感知 几何直观 数学规律 抽象概括 合作探究

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-038

《数学课程标准》指出：“几何直观主要是利用图形描述和分析问题。借助几何直观，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。”“钉子板上的多边形”是苏教版小学数学五年级上册的内容，课堂教学中，如何引导学生利用几何直观探索规律，掌握解决问题的方法，积累数学活动经验呢？对此，我进行实践和思考。

教学片断一：直观感知，引发冲突

1.独立研究

2.汇报结果

生1：我研究的是这些多边形的面积和边上钉子数的关系，发现这里多边形的面积都等于边上的钉子数除以2。

生2 ：我觉得用文字表达不太清楚。

生3：可以用字母来表示，这样简洁些。如用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那发现的规律就可以表示为S=n÷2。

3.思考质疑

师：是不是钉子板上每个多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？

4.分析验证

学生选择之前自己任意围出的多边形数一数、算一算，看看它们的面积与边上的钉子数是不是也有这样的关系。

5.交流讨论

生4：我围出的多边形面积和边上的钉子数不符合这个规律，因为我的图形内部是3颗钉子。

生5：我围出的多图形面积和边上的钉子数也不符合这个规律，因为我的图形内部是2颗钉子。

生6：这里多边形的面积等于边上的钉子数除以2，需要添加一个条件，那就是“当多边形内部钉子数为1时”。由于我的同桌研究多边形内部的钉子数不是1，所以就没有这样的规律。

6.抽象概括

师：如果用a表示多边形内部的钉子数，那么当a=1时，S=n÷2。

7.梳理总结

师：刚刚我们是怎样研究出多边形的面积和边上钉子数的关系的？

生7：我们是通过“观察图形——分析数据——得出结论——举例验证”的过程进行研究的。

……

思考：

上述教学，先让学生进行独立操作，再小组交流，引导学生探索多边形内部的钉子数为1的情况。学生通过研究单上的一组组数据发现规律，初步得出结论，从而获得探究成功的满足感。我再提出问题：“是不是钉子板上每个多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系？”学生再次通过动手操作，验证自己围出的多边形是否具有这样的规律。这里由特殊到一般，几何直观凭借图形的直观性特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，即把抽象思维与形象思维相结合，充分揭示了问题的本质，激活了学生的思维。接着，我引导学生从自己围出的图形开始研究，充分体现了学生学习的自主性和趣味性。这样不仅让学生发现了规律，更重要的是让学生经历了探索规律的过程，学会了研究的基本方法，积累了数学活动经验，为后续的研究活动做好了准备。

教学片断二：开放研究，提升认识

1.提出问题

师：同学们每人都任意围了一个多边形，是不是该研究自己的图形了？只有一个图形可以研究吗？为什么？怎么办？

生1：一个图形不便于找出规律，我提议我们根据围出的多边形内部钉子的颗数重新分组，可以分成内部没有钉子的，或有2颗、3颗、4颗……钉子的。

2.合作探索

学生小组内操作、填表、比较、归纳。

3.交流收获

生2：我们小组研究的是图形内部有2颗钉子的情况，我们得出“（外部的钉子数+内部的钉子数）÷2=图形的面积”，用字母表示为S=（n+2）÷2。

师：这里多边形的面积不等于n÷2，那它和n÷2有关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。

生3：我们可以将S=（n+2）÷2=n÷2+1进行计算。

生4：前面还要加上“当多边形内部钉子数a=2时”。（师板书：a=2时，S=n÷2+1）

生5：我们小组研究的是图形内部有3颗钉子的情况，我们得出a=3时，S=n÷2+2。

生6：我们小组研究的是图形内部没有钉子的情况，我们得出a=0时，S=n÷2-1。

……

思考：

在初探规律后，学生产生认知冲突，发现图形内有2颗钉子时，规律并不和图形内有1颗钉子的一样。这样激发了学生继续探究的欲望，自主设计图形并探索其中的规律，从而完善第一次的认知。学生由图形内有1颗钉子的多边形面积与钉子数的关系，进一步探索多边形内有2颗钉子、3颗钉子、0颗钉子时多边形面积与边上钉子数的关系。在这次活动中，学生利用得到的认知规律进行猜想，并根据自己的兴趣自主画图、计算、验证，从而揭示钉子板上图形的秘密，使最初的感知更加深入、更加具体，对规律本质的认识逐渐完善。这里，我对学生探索的问题采取开放分类研究的方式，满足了不同学生的不同需求，最大限度地促进学生的发展，让学生体验到探究成功的乐趣。

在这次实践活动中，我以图形为纽带，利用几何直观让学生经历充分探索的过程，体验研究的方法，从而揭示多边形面积与边上的钉子数之间的关系，培养了学生积极主动借助几何直观去发现问题、解决问题、揭示规律的能力。

12.空间几何体直观图 篇十二

一、注重直观感知

数学中有很多推理过程需要学生自己凭借生活经验, 采用有效的数学手段去解决。这里, 几何直观扮演着至关重要的角色。学生要是能善于运用几何直观, 很多问题就能直观形象地展现出来, 理解的问题攻克了, 解决起来就不是问题。所以在教学中, 教师要在学生面对问题时, 让他们充分地思考, 探究解决问题的多种方法, 让学生体会到几何直观是解决问题的一种有效手段, 感知几何直观的重要性。如在教学二年级的“分一分与除法”时, 教师要给学生创造充分的活动空间, 让学生亲自动手分一分、圈一圈、画一画、摆一摆等, 体验平均分的过程, 加深学生的直观感知, 从而理解平均分的意义及与除法的关系, 辨析乘除法之间的不同, 为后面的解决问题打下坚实的基础。

二、注重数形结合

我国著名的数学家华罗庚说:“形缺数时难入微, 数缺形时少直观。”数形结合思想是重要的数学思想, 其实质是使数量关系和空间形式巧妙地结合起来, 将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 借助几何直观把数形结合思想更好地反映出来。例如:“小丽前面有9人, 后面有4人, 这一队有多少人?”对于一年级的学生, 他们有时很难想到题中还有个隐含的“小丽”, 往往列出来的算式是“9+4=13 (人) ”。要是借助直观图形展现出排队的情况, 学生就非常醒目地发现队伍由三部分构成:前面的人、小丽和小丽后面的人, 算式也自然会变成“9+1+4=14 (人) ”。在这个过程中, 教师要引导学生体会示意图对解决这个数学问题的重要作用, 感受画图策略的价值。学生也在不断学习中积累经验, 丰富解决问题的方法。遇到像“从前往后数, 小丽排第9, 从后往前数, 小丽排第4, 这一队一共有多少人”的问题, 学生就会联想到直观图的作用, 以直观图形作桥梁, 分析题中数量关系, 从而解决数学问题。

三、注重直观印象

针对不同的教学内容, 教师要创造性地使用教学, 适时地利用实物和模型为教学服务, 因为实物和模型承载着很多数学信息, 需要学生去观察、去探索。在几何教学中, 我们往往要准备很多实物和模型, 让学生在“玩一玩、看一看、摸一摸、剪一剪、拼一拼、画一画”的过程中观察感知, 了解几何图形的特征, 形成空间观念。如在教学“正方体、长方体的认识”时, 我让学生观察事先收集好的各种正方体、长方体盒子, 放手让他们活动, 学生通过看一看、摸一摸、数一数、比一比、量一量等活动, 总结出正方体和长方体的特点, 发现它们之间的异同。这种探究的形式, 学生兴趣很高。他们不但能积极参与其中, 让自己有切身的感知, 而且能集思广益, 展现集体的智慧, 学到真实的数学知识, 而不是机械的记忆。这样的教学模式也体现了新课标“数学知识, 思想方法, 必须由学生在实践中理解、感悟、发展, 而不是单纯依靠教师的讲解去获得”的理念。

四、注重多媒体应用

多媒体技术不但给学生展现了丰富多彩的图形世界, 提供了直观的演示和展示, 表现了图形的直观变化, 也给学生展示其不易想象的图形, 扩大其空间视野, 并多了一条解决问题的途径。多媒体的运用给教师的教学提供了有力的工具, 也为学生的学习建立了直观基础。如教学“钟表”一课时, 由于课堂时间有限, 要验证1时=60分时, 要是仅仅靠老师的讲, 学生只能是机械记忆, 很难真正理解。利用多媒体展现时针走一大格分针正好走一圈的过程, 给予学生视觉感知, 使他们从中发现时和分的关系, 学生的印象才深刻, 才能真正理解其中的缘由, 后面的解决问题才能有依据, 做到得心应手。

13.空间几何体直观图 篇十三

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图三视图：

正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：斜二测画法

4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积

（一）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和圆柱的表面积Srl2  r23 圆锥的表面积S2 圆台的表面积Srlr2 rlr2RlR25 球的表面积S4R2

（二）空间几何体的体积

1VS底h2锥体的体积VS底h 3

14.空间解析几何课程简介 篇十四

本课程是大学数学系的主要基础课程之一。主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。

2、选课建议

数学专业的同学必选该课程。该课程要求同学拥有良好的中学数学基础，建议在一年级选学。

3、教学大纲

一、课程内容

第一章 矢量与坐标

1.1矢量的概念

1.2矢量的加法

1.3数量乘矢量

1.4矢量的线性关系与矢量的分解

1.5标架与坐标

1.6矢量在轴上的射影

1.7两矢量的数性积

1.8两矢量的失性积

1.9三矢量的混合积

*1.10三矢量的双重矢性积

[说明]：本章系统地介绍了矢量代数的基础知识，它实质上是一个使空间几何结构代数化的过程。为了更好地叙述矢量的向量积与混合积，我们需要补充行列式的一些基本知识。

第二章 轨迹与方程

2.1平面曲线的方程

2.2曲面的方程

2.3母线平行于坐标轴的柱面方程

2.4空间曲线的方程

[说明]：本章先介绍品面曲线平面曲线的方程，后快速过渡到曲面与空间曲线方程的研究，这样不仅使学生对平面轨迹的问题作了复习与提高，而且使得一些看来较为复杂的空间轨迹问题也就迎刃而解了。

第三章平面与空间直线

3.1平面的方程

3.2平面与点的位置关系

3.3两平面的相关位置

3.4空间直线的方程

3.5直线与平面的相关位置

3.6空间两直线的相关位置

3.7空间直线与点的相关位置

3.8平面束

[说明]：本章用代数的方法定量地研究了空间最简单而又最基本的图形，即平面与空间直线，建立了它们的各种形式的方程，导出了它们之间位置关系的解析表达式，以及距离、交角等计算公式。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1柱面 4.2锥面

4.3旋转曲面

4.4椭球面

4.5双曲面

4.6抛物面

4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

[说明]：本章抓住几何特征很明显的柱面、锥面、旋转曲面去建立它的方程，又对于比较简单的二次方程，用“截痕法”去研究图形的性质。

第五章 二次曲线的一般理论

5.1二次曲线与直线的相关位置

5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

5.3二次曲线的切线

5.4二次曲线的直径

5.5二次曲线的主直径与主方向

5.6二次曲线方程的化简与分类

5.7应用不变量化简二次曲线的方程

[说明]：本章从研究直线与一般二次曲线的相交问题入手，展开了一般二次曲线的几何理论的研究，如讨论了一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径等，也讨论了一般二次曲线方程的不同的化简与分类。

二、课程说明

（一）课程的地位和任务

本课程是大学数学系的主要基础课程之一，学好这门课为后续课程以及进一步学习数学和专业知识奠定必要的数学知识、方法和思维基础。

（二）课程的基本要求

1、掌握向量代数的基本知识，包括向量的线性运算与向量的内积、外积、混合积的计算，以及在几何上的应用。2.掌握空间的平面与直线的各种形式的方程，以及点、线、面三者之间的各种度量关系。

2、掌握空间特殊二次曲面（如柱面、锥面、旋转曲面）的方程。

3、掌握二次曲线方程的几何特征与二次曲线方程的不同化简方法与分类。

（三）课程内容的重点、深广度

本课程的基本思想是用代数的方法研究几何。重点要求在前两章的基础掌握下，利用向量、坐标两大工具，去讨论空间平面与直线，去建立特殊二次曲面的方程，去掌握二次曲线的一般理论。本课程论证严谨，叙述深入浅出，条理清楚，具有较好的广度与深度。

（四）与其它课程的联系与分工

先修课：平面解析几何

（五）对学生能力培养的要求和方法

学生除了参加闭卷考试外，关键是掌握一种解析分析方法，另外，培养学生对空间图形的直观想象能力。