三角形的面积公式

三角形的面积公式（精选17篇）

1.三角形的面积公式 篇一

高中数学三角形面积公式

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。三条直线所围成的图形叫平面三角形;三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。面积公式：

(1)S=ah/2

(2).已知三角形三边a,b,c，则(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=1/2 * absinC

(4).设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r

S=(a+b+c)r/2

(5).设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R

S=abc/4R

(6).根据三角函数求面积：

S= absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

2.三角形的面积公式 篇二

其中公式2,△ABC中,设则其面积|.

以下笔者运用以上面积公式解几道2014年高考题,其解法新颖,令人耳目一新.

例1 ( 2014年全国) 设F为抛物线C: y2= 3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积( )

例2 ( 2014年山东) 在△ABC中,已知A,当A =π/6时,△ABC的面积为____________.

例3 ( 2014年四川) 已知F为抛物线y2= x的焦点,点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧,( 其中O为坐标原点) ,则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )

例4 ( 2014年徽山一中高考模拟题) 在△ABC所在的平面内有一点P,如果那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是( )

( A)3/4( B)1/2( C)1/3( D)2/3

3.坐标式三角形面积公式及其应用 篇三

A.a2b2-（a·b）2

B.a2b2+（a·b）2

C.12a2b2-（a·b）2

D.12a2b2+（a·b）2

答案：C.

这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：

定理1若三点O，A，B不共线，则S△OAB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

证明S△OAB=12OAOB1-cos2∠AOB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

由此结论，还可证得

定理2若三点O，A，B不共线，且点O是坐标原点，点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则S△OAB=12x1y2-x2y1.

证法1由定理1，得

S△OAB=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12x1y2-x2y1.

证法2可得直线AB的方程是

（y1-y2）x-（x1-x2）y+（x1y2-x2y1）=0，所以坐标原点O到直线AB的距离是x1y2-x2y1AB，进而可得△AOB的面积是S△OAB=12AB·x1y2-x2y1AB=12x1y2-x2y1.

下面用定理2来简解几道高考题.

高考题2（2014年高考四川卷理科第10题）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）.

A.2B.3C.1728D.10

解B.得F14，0，可不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1>0>y2）.

由OA·OB=x1x2+y1y2=y21y22+y1y2=2，可得y1y2=-2，所以由定理2，得

S△ABO=12x1y2-x2y1=12y21y2-y22y1=12y1y2·y1-y2=y1-y2=y1-y2.

所以S△ABO+S△AFO=y1-y2+12·14y1=98y1-y2≥2-98y1y2=3（可得当且仅当y1=43，y2=

-98时取等号）.

所以选B.

高考题3（2011年高考四川卷文科第12题）在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=（a，b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则mn=（ ）.

A.215 B.15C.415 D.13

解B.所有满足题意的向量有6个α1=（2，1），α2=（2，3），α3=（2，5），α4=（4，1），α5=（4，3），α6=（4，5），以其中的两个向量为邻边的平行四边形有n=C26=15个.

设αi=（x1，y1），αj=（x2，y2），得x1，x2∈{2，4}；y1，y2∈{1，3，5}，由定理2得，以αi，αj为邻边的平行四边形的面积是S=12x1y2-x2y1=2，可得这样的向量αi，αj有3对：（2，3），（4，5）；（2，1），（4，3）；（2，1），（4，1）.所以mn=315=15.

注用高考题3的解法还可求解2011年高考四川卷理科第12题.

高考题4（2009年高考陕西卷文科、理科第21题）已知双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），离心率e=52，顶点到渐近线的距离为255.

（1）求双曲线C的方程；

图1（2）如图1所示，P是双曲线C上一点， A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP=λPB，λ∈13，2，求△AOB面积的取值范围.

解（1）（过程略）y24-x2=1.

（2）可设A（t，2t），B（-s，2s），s>0，t>0，由定理2及题设可得S△AOB=2st.

由AP=λPB，可得Pt-2λs1+λ，2t+2λs1+λ，把它代入双曲线C的方程，化简得（1+λ）2=4λst，所以

S△AOB=12λ+1λ+113≤λ≤2，

可得△AOB面积的取值范围是2，83.

图2高考题5（2010年高考重庆卷理科第20题）已知以原点O为中心，F（5，0）为右焦点的双曲线C的离心率e=52.

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）如图2所示，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交于G、H两点，求△OGH的面积.

解（1）（过程略）双曲线C的标准方程为x24-y2=1，其渐近线方程为x±2y=0.

（2）由“两点确定一直线”可得直线MN的方程为：xEx+4yEy=4.

分别解方程组xEx+4yEy=4，

x-2y=0，xEx+4yEy=4，

x+2y=0，，得G4xE+2yE，2xE+2yE，H-4xE+2yE，2xE+2yE.

因为点E在双曲线C上，所以x2E-4y2E=4.

由定理2，得S△OGH=128x2E-4y2E--8x2E-4y2E=8x2E-4y2E=84=2.

注下面将指出图2的错误：

因为点E关于x轴的对称点E′（xE，-yE）也在双曲线C上，而双曲线C在点E′处的切线方程为xEx4-（-yE）y=1即xEx+4yEy=4也即直线MN，所以直线MN与双曲线C应当相切，而不是相离.

高考题6（2008年高考海南、宁夏卷理科第21题）设函数f（x）=ax+1x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.

（1）求的解析式.

（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

答案：（1）y=x+1x-1.（2）略.（3）2.

高考题7（2008年高考海南、宁夏卷文科第21题）设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

答案：（1）y=x-3x.（2）6.

下面给出这两道高考题结论的推广.

定理3（1）双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上任一点的切线与两条渐近线y=bax，y=-bax围成三角形的面积是S=ab；

（2）曲线y=ax+bx（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x=0，y=ax围成三角形的面积是S=b；

（3）曲线y=ax+c+bx+d（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x+d=0，y=ax+c围成三角形的面积是S=b.

图3证明（1）如图3所示，可求得过双曲线b2x2-a2y2=a2b2上任一点P（x0，y0）的切线方程是b2x0x-a2y0y=a2b2，还可求得它与两条渐近线y=bax，y=-bax的交点分别为Ma2bbx0-ay0，ab2bx0-ay0，Na2bbx0+ay0，-ab2bx0+ay0，再由定理2可立得欲证成立.

（2）由y=ax+bx（b≠0），得y′=a-bx2.所以过该曲线上任一点Px0，ax0+bx0的切线方程是

y-ax0-bx0=a-bx20（x-x0）.

从而可求得它与两条渐近线x=0，y=ax的交点分别为M0，2bx0，N（2x0，2ax0），再由定理2可立得欲证成立.

4.锐角三角函数公式和面积公式 篇四

正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边

余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边

正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边

余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边

面积公式

长方形，正方形以及圆的面积公式

面积公式包括 扇形面积共式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。

扇形面积公式

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：

S＝nπR^2÷360

比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：

C＝2R＋nπR÷180

＝2×1＋135×3.14×1÷180

＝2＋2.355

＝4.355(cm)＝43.55(mm)

扇形的面积：

S＝nπR^2÷360

＝135×3.14×1×1÷360

＝1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

扇形还有另一个面积公式

S=1/2lR

其中l为弧长，R为半径 三角形面积公式

任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边。

证明： 证一 勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z)= xyz ④ 如图可知：a＋b－c =(x+z)＋(x+y)－(z+y)= 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz

圆面积公式

设圆半径为 ：r 面积为 ：S

则 面积 S= π·r ² π 表示圆周率

既 圆面积 等于 圆周率 乘 圆半径的平方

弓形面积公式

设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：

当弧AB是劣弧时，那么S弓形＝S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。

当弧AB是半圆时，那么S弓形＝S扇形＝1/2S圆＝1/2×πr^2。

当弧AB是优弧时，那么S弓形＝S扇形＋S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）

计算公式分别是：

S＝nπR^2÷360－ah÷2

S＝πR^2/2

S＝nπR^2÷360+ah÷2

椭圆面积计算公式

椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

菱形面积公式

定理简述及证明

菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

菱形的面积也可=底乘高

抛物线弓形面积公式

抛物线弦长公式及应用

本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：

抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y2=2Px截得的弦AB的长度为

∣AB∣= ①

证明 由y=kx+b得x=代入y2=2Px得y2－+=0

∴ y1+y2=,y1y2=.∣y1－y2∣==2，∴∣AB∣=∣y1－y2|=

当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2)，于是得出下面推论:

推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y2=2Px截得的弦

AB的长度为

∣AB∣=P(1+k2)②

在①中,由容易得出下面推论:

推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y2=2Px

Ⅰ)当P＞2bk时,l与C交于两点(相交);

Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);

Ⅲ)当P＜2bk时,l与C无交点(相离).定理应用

下面介绍定理及推论的一些应用:

例1(课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x2截得的线段的长?

分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.解 曲线方程可变形为x2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－，即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.例2 求直线2x+y+1=0到曲线y2－2x－2y+3=0的最短距离.分析:可求与已知直线平行并和曲

线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.解 曲线可变形为(y－1)2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方

程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0.∴.故所求最短距离为.例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.解 曲线可变形为(y+1)2=x+1

(x≥－1,y≥－1),则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.例4 抛物线y2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=，|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y2=x.例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=，已知|PQ|=b,k2=.∵k2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=，∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.常见的面积定理

1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；

2． 两个全等图形的面积相等；

3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；

4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；

5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；

5.圆的面积公式是什么 篇五

半径为r

则面积为S=πr^2

其他回答

1圆面积公式为：S=πR^2 S--圆面积; π--圆周率，其值为3.1415926535; R^2--圆半径的平方.

6.三角形的边长公式 篇六

c2=a2 b2：已知三角形两条直角边的长度，可按公式c2=a2 b2计算斜边。

直角三角形边长关系

1、两边之和大于第三边

2、直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方(c2=a2 b2）

30度直角三角形边长

30度角所对的`直角边是斜边的一半

例如：假设30°角所对的边为a，那么斜边就2a，另一条直角边就是根号3a

45度直角三角形边长公式

两条直角边相等；两个直角相等

例如：假设45°角所对的边为a，那么另一条斜边也是a，斜边就是根号2a

直角三角形特殊的性质

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB2 AC2=BC2;（勾股定理)

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B ∠C=90°

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。

7.直角三角形中隐含的三角公式 篇七

(限于篇幅, 这里仅推导正、余弦, 正切可由商数关系即得.)

1. 同角公式

1.1 商数和倒数关系

如图1, 在Rt△ABC中, 令∠C=Rt∠, ∠A=α, AB=1, 则AC=cosα, BC=sinα.由锐角三角函数定义, 易得商数和倒数的关系 (此略) .

1.2 平方关系

在图1中, sinα, cosα, 1是一组勾股数, 因α为锐角, 故sinα, cosα均为小于1的正数, 由勾股数性质也是勾股数, 即tanα, 1, secα和1, tanα, secα都是勾股数, 于是有:

sin2α+cos2α=1;1+tan2α=sec2α;1+cot2α=csc2α.

2. 二倍角公式

2.1 二倍角的正弦

在图1中, 取AB的中点D, 连接CD, 作CE⊥AB于点E (如图2) , 则, ∠CDE=2α, ∠BCE=∠A=α.

即sin2α=2sinαcosα. (S2α)

2.2 二倍角的余弦

即cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (C2α)

3. 和角公式

3.1 和角的正弦

在图1中, 以A为顶点, AC为一边在∠BAC的外部作∠CAD=β, 另一边AD交BC延长线于点D (为利用锐角三角函数定义, 使α+β为锐角) , 作BE⊥AD于点E交AC于点F (图3) , 则∠FBC=β.

于是sin (α+β) =BE=BDcosβ= (BC+CD) cosβ= (sinα+cosαtanβ) cosβ=sinαcosβ+cosαsinβ.

即sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ. (Sα+β)

3.2 和角的余弦

在图3中, cos (α+β) =AE.

∵CF=sinαtanβ, ∴AF=AC-CF=cosα-sinαtanβ,

∴cos (α+β) =cosβ (cosα-sinαtanβ) =cosαcosβ-sinαsinβ.

即cos (α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ. (Cα+β)

4. 差角公式

在图1中, 以A为顶点, AC为一边, 在∠BAC的内部作∠CAD=β.另一边AD交BC于点D, 作DE⊥AB于E (图4) , 则∠BAD=α-β, ∠BDE=α.

即sin (α-β) =sinαcosβ-cosαsinβ. (Sα-β)

类似的可以推出cos (α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ. (Cα-β)

8.“三角形的面积”教学与反思 篇八

[关键词]面积 操作活动 探究 反思

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-042

教学片断一：

师：请同学们先拿出两个完全一样的锐角三角形拼一拼、摆一摆，看看能拼成我们学过的哪种图形。

生1：能拼成我们学过的平行四边形。

师：那同学们能不能根据平行四边形的面积推导出三角形的面积呢？

生2：能。因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2。

师：请大家再拿出两个完全一样的直角三角形摆一摆、拼一拼，看看能拼成我们学过的哪种图形。

生3：可以拼成长方形、正方形、平行四边形。

师：大家能不能根据这些图形的面积推导出三角形的面积？

生4：能。因为这些图形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2

师：请大家再拿出两个完全一样的钝角三角形，看看能拼成学过的哪种图形。

生5：能拼成学过的平行四边形。

……

师（出示判断题）：两个大小相等的三角形可以拼成一个平行四边形。（全班一半学生判断此题对）

……

教学片断二：

师：同学们昨天准备了很多的三角形，今天请大家拿出学具，想怎么摆就怎么摆，但要求必须摆成我们已经学过的规则图形。先拼摆，再说说自己发现了什么，最后看能不能根据拼成的图形，推导出三角形的面积。

生1：我先拿出一个锐角三角形，然后拿出多个三角形拼摆，最后发现只有两个完全一样的锐角三角形才能拼摆成我们学过的平行四边形。因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2。

生2：我费了好大的功夫，最后发现只有两个完全一样的直角三角形才可以拼成长方形、正方形、平行四边形，因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2。

生3：我先挑了一个钝角三角形，然后挑出多个三角形试拼，好不容易才拼摆出已学过的平行四边形。我发现只有两个完全一样的钝角三角形才可以拼摆成平行四边形，因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积底×高÷2。

师（出示判断题）：两个大小相等的三角形可以拼成一个平行四边形。（全班学生都判断此题错）

……

反思：

上述两个教学片断，反映了教师两种不同的教学理念，前者理念陈旧，后者理念新颖，虽然都有学生的操作活动，但存在着本质的区别。

教学片断一中的操作活动是教师发出的指令，学生犹如一台机器机械地进行操作活动，学生并不清楚为什么要拿出两个完全一样的三角形进行拼摆。这里，学生的操作是机械的，没有思维含量，既不能培养学生动手操作的能力，又严重阻碍了学生思维的发展。由于学生得到的知识是教师教给的，自己没有经历知识的产生、形成过程，势必造成学生对所学知识的模糊和不理解。练习中出示的判断题“两个大小相等的三角形可以拼成一个平行四边形”，全班一半学生判断是对的，究其原因就在于教师的教学设计中没有学生的自主探究。

教学片断二中，教师敢于“该放手时就放手”，为学生提供了自主实践探究的机会。这里，学生操作的目标是明确的，活动是自由的，思维是发展的。教师的一句“想怎么摆就怎么摆”，学生听了非常高兴，因为学生最不喜欢受教师的严格束缚和限制，极大地满足了学生的心理需求。而且，教师提出的目标是明确的——必须拼摆成我们学过的图形，这样学生心中就有一个明确的指向灯，纷纷跃跃欲试，形成了“要学生做”变成“学生要做”的教学氛围和环境。学生在拼摆过程中要不断调控自己的操作活动，在调控操作的同时要反思什么样的三角形才能拼成平行四边形，由于学生经历了知识产生、发展和形成的过程，所以清晰的数学概念就自然形成了。这样教学，真正做到了操作活动自主化，增加了操作中的思维含量，最大限度地满足了学生自主发展的需要，使学生在操作中学习、在主动中发展、在探究中思考，发展了学生的思维。当练习出现教学片断一中的判断题时，全班学生无一人答错，因为他们亲身经历了知识的形成过程。这样一节课下来，学生人人都有收获，人人都有发展，人人都有喜悦，正是“你有，我有，全都有”。

9.三角形的面积公式 篇九

关键词：多媒体 图形面积 公式推导教学 意义 策略

多媒体的出现，顺应了时代的发展，促进了教学方式的多样化发展。在教学过程中，教师应充分利用多媒体教学的优势，弥补传统教学模式的不足。

图形面积公式推导是教学的重点和难点，因为图形是抽象的，学生需要发挥想象力，才能掌握图形面积公式推导的相关知识，无形中增加了学生的学习难度。而运用多媒体，教师可以随意变化图形，把抽象的内容具体化，激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效率。

一、运用多媒体实施图形面积公式推导教学的意义

运用多媒体，教师能极大地改善传统的教学模式，提高教学效率。在课堂教学过程中，教师不再依靠一张嘴、一支粉笔进行枯燥的解说，而是把课本中的抽象内容具体化、动态化，这样既有利于集中学生的注意力，激发学生的学习兴趣和欲望，又有利于教师从单调的讲课模式中解脱出来，和学生一起讨论、学习和发展。如在图形面积公式的推导过程中，笔者运用多媒体整合、分解图形，直观地向学生展示了图形面积公式的推导过程，调动了学生的学习热情，提高了课堂的教学效率。

二、运用多媒体实施图形面积公式推导教学的策略

多媒体教学是教学改革中的一次良好示范，如何在课堂教学中合理地运用多媒体，是数学教师思考的首要问题。结合长期的课堂教学实践，笔者总结出在图形面积公式推导教学中运用多媒体的策略：

1.运用多媒体创设情境，激发学生的学习兴趣

“兴趣是学习最好的老师”，要想让学生全身心地投入到课堂教学过程中，教师就必须激发学生的学习兴趣。首先，教师可以充分运用多媒体创设有趣的教学情境，集中学生的注意力；其次，教师可以提出问题，让学生自主思考，先想象图形变化的过程，然后提出自己的疑问，说出自己的理解；最后，教师可以通过多媒体展示图形的变化，帮助学生解惑。此外，教师还可以借鉴其他教师优秀的教学案例。如教师可以先把课本上的图形投射到多媒体上，让原本静态的图形动起来，变化出不同的形状。当学生看到图形动起来时，注意力就会被吸引，学习兴趣顿时高涨，然后教师告诉学生：“无论它的形状如何变化，面积都是不变的。”这样，就激发了学生的求知欲，为后面的教学做了很好的铺垫。

2.运用多媒体转化图形，帮助学生突破教学重点和难点

“面积公式”既是《面积公式》的教学重点，又是教学难点，教师只有帮助学生理解了面积公式推导的来龙去脉，才能让学生灵活地运用公式。图形是千变万化的，死记硬背面积公式是不行的，但是“万变不离其宗”，真正理解和运用公式，才是学好图形面积推导公式的根本。

教师利用传统的教具展示原图与新图之间的转化，不利于学生学习，因为单一的教具不能直观、形象地对比原图和新图，学生会产生学习困扰。而运用多媒体，可以让图形之间的转化更加形象、直观，学生也能准确地把握原图与新图之间的转化。

如在教学圆的面积的公式推导时，教师运用多媒体展示生活中的圆形物体，如车轮、井盖等，从而引出“圆”的概念，然后利用多媒体分解“圆”，化“圆”为“方”，让学生更直观地看到这一变化过程，形成强烈的视觉冲击。学生可以清楚地看到拼成的长方形的长等于圆周长的一半，即C/2=πr，宽相当于圆的半径（r），从而推导出圆的面积公式：S=πr×r=πr2。

三、结语

总而言之，运用多媒体教学是新课程改革的必然要求。在数学教学中，尤其是图形面积公式推导教学中运用多媒体创设教学情境、转化图形，能有效激发学生的学习兴趣，帮助学生突破教学重点和难点。

参考文献：

[1]陈安娜.如何利用多媒体高效开展小学数学教学[J].读写算：教育教学研究，2013，（28）.

[2]马林强.多媒体教学在小学数学教学中的应用[J].中小学教育研究，2014，（35）.

10.三角形的面积公式 篇十

一、向量与余弦定理

△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b c,则由余弦定理知cosA=,由向量的数量积知

我们可称此式为向量余弦定理.此式将向量数量积与余弦定理完美地结合在一起,在解有关三角形问题时,能带来方便.

例1已知△ABC中,():(·):()=1:2:3,则△ABC的形状为()

(A)钝角三角形

(B)等边三角形

(C)直角三角形

(D)非等腰锐角三角形

解:设=k,则由向量余弦定理得

故

同理可得a2+b2-c2=-4k,b2+c2-a2=-6k.

联立解得a2=-3k,b2=-5k,c2=-4k.

故最大角B的余弦满足

所以所求三角形为非等腰锐角三角形,选项(D)正确.

评注:利用向量余弦定理式解决本例时,要注意设出公比k,同时要注意判定三角形最大角的余弦正负,从而确定其形状.

例2△ABC中,b2=ac,,求a+c的值.

解:由向量余弦定理可得

即

而

得

由①②可得a2+c2=5,ac=2,

从而得到a+c=3.

评注:向量余弦定理的一边是向量的数量积,一边是余弦定理中的一部分,运用此式,在解决含向量数量积的三角形问题时,可使问题解答更为合理.

练习:设O为△ABC所在平面内的一点,且,试判定△ABC的形状.

答案:△ABC是以BC边为斜边的直角三角形.

二、向量与三角形面积的融合

下面我们将向量坐标公式,代入斜三角形面积公式,推导一个新的面积公式.

设△ABC中,,由面积公式得:

即有结论.

我们可称此面积公式为三角形面积的向量坐标式.由此公式,能较快地解决已知三角形顶点的坐标,求有关面积的问题.

例3设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点,点M(ax1,by1),N(ax2,by2)满足OM⊥ON(其中O为坐标原点).已知该椭圆的离心率e=,短轴长为2.

(1)求椭圆的C的方程;(2)若A,B两点分别在第一、四象限,试判断△AOB的面积是否为定值?如果是,指出定值,并写出推理过程;如果不是,请说明理由.

分析:本例第二问如设出直线方程,直接利用三角形的面积公式,会使运算繁琐难求;若用三角形面积的向量坐标公式求解,则变繁为简,驭难为易.

解:(1)方程为(解略).

(2)法1:因为,

所以

所以

得

由及三角形面积的向量坐标公式知

从而得出S△OAB的面积为定值1.

法2:由椭圆的参数方程,可设A(cosα,2sinα),B(cosβ,2sinβ),则M(2cosα,2sinα),N(2cosβ,2sinβ).

因为,

评注:三角形面积的向量坐标表示的拓展公式,不仅为我们解决已知三角形顶点的坐标,求对应三角形的面积,带来了便利;而且为我们设出曲线的参数方程,利用三角函数来解决相应有关最值、定值等问题等提供了一个平台.

练习:△OAB中,0为坐标原点,θ∈(0,],A(1,cosθ),B(sinθ,1),则△OAB的面积达到最大值时,θ等于()

11.三角形的面积公式 篇十一

设计理念学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

本微课名称《梯形面积公式的推导》

知识点描述通过对梯形的操作、观察、比较、分析等方法，让学生经历梯形面积公式的推导过程，掌握梯形面积的计算方法

设计思路利用PPT的动画效果和教师精辟的讲解相结合，直观形象地展示推导过程。

知识点来源 学科：数学 年级：五上 教材：人教版 页码：88-91

教学类型 讲授型

适用对象 五年级学生

教学目标1.经历梯形面积公式推导过程

2.面积计算公式

教学过程

1、导入

复习梯形的各部分名称：在梯形中有一组相互平行的边叫做底，较短的底称之为上底，通常用字母a表示，另一条则叫做下底，用字母b来表示，上底与下底之间的垂线叫做梯形的高，用字母h表示，剩下的两条边叫做梯形的腰。

2、讲解梯形面积公式的5种不同推导方法

第一种：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形

这个平行四边形的底相当于梯形的上底与下底的和，高相当于梯形的高，这个平行四边形的面积就等于上底加下底的和乘高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2。

第二种：把一个梯形转化成一个平行四边形

沿着梯形两腰中点的连线将一个梯形分割成上下两部分，将上面一个梯形绕其中一个中点顺时针旋转180°，与下面的一个梯形组合成一个平行四边形，组合后平行四边形的面积就是原来梯形的面积，因为平行四边形的高相当于原梯形高的一半，平行四边形的底相当于原梯形的上底加下底的和，所以梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2。

第三种：把一个梯形割补成一个大三角形

沿梯形的顶点与一腰中点的连线将梯形分割成三角形和四边形，将三角形绕中点顺时针旋转180°，与四边形组合成一个大三角形，组合后大三角形的面积就是原来梯形的面积，因为三角形的高相当于原梯形的`高，三角形的底相当于原梯形上底加下底的和，所以梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2。

第四种：把一个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形

平行四边形的底相当于梯形的上底，高相当于梯形的高，它的面积等于上底乘高，三角形的底相当于梯形上底与下底的差，高相当于梯形的高，它的面积等于上底与下底的差乘高除以2。梯形的面积等于这两个图形的面积和，所以梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2。

第五种：把一个梯形分割成两个三角形

这两个三角形的面积分别为下底乘高除以2和上底乘高除以2，而梯形的面积等于这两个三角形的面积和，所以梯形的面积就等于上底加下底的和乘高除以2。

3、小结

12.三角形的面积公式 篇十二

教学设计理念：

培养学生的创新思维，在学生已有认知结构和经验的基础上，有计划地培养学生分析、综合、比较、概括、判断、推理等能力，提高学生思维的发展水平。教学设计：

一、创设情境，揭示课题

师：同学们，我们前面学习的平行四边形，三角形的面积公式是怎样推导出来的？

生：平行四边形垢面积是用割补法把它变成与它面积面积相等的长方形，由长长方形面积推导出平行四边形的面积计算公式。

生：三角形的面积是把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，因为三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以由此推导出三角形的面积计算公式。

生：三角形也可以用割补法把它拼成一个平行四边形，面积也是这个平行四边形的一半。师：同学们能不能用学过的这些方法，设计一种推导方案，推导出梯形的面积计算公式呢？

[评析：通过上面的教学揭示课题，提示学生可以把已学过的学习方法运用到新的学习情境中，激发了学生的学习动力，使学生有解决问题的兴趣与信心。]

二、学生操作实验，主动探究

让学生先自己设计推导方案，再汇报交流

生1：我把梯形分割成两个三角形，因为这两个三角形的高相等，所以一个三角形的面积是上底×高÷2，另一个三角形的面积是下底×高÷2，由此推导出梯形面积计算公式=上底×高÷2+下底×高÷2。

生2：我把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。因为平行四边形的面积是下底×高，三角形的面积是（下底--上底）×高÷2，所以梯形的面积计算公式=下底×高+（下底-上底）×高÷2。

生3：我把梯形分割成两个等高的小梯形，（把上面小的梯形倒过来和下面的梯形）拼成一个平行四边形，因为平行四边形的底就是梯形的上底和下底的和，高是原来的一半，所以梯形的面积计算公式=（下底+上底）×（高÷2）。

生4：我把两个相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是梯形的上底和下底，高没有变，所以梯形的面积计算公式=（下底+上底）×高÷2 [评析：学生调动已有的知识和经验，通过操作，验证等活动，概括出一个计算程序，就是公式，教师为学生提供充分的机会，使学生在交流的过程中理解和掌握了数学知识与技能，数学思想与方法。]

三、比较分析，优化方法

师：同学们想出了这么多个推导方法，更重要的是掌握解决问题的方法，能把一个新问题转化成旧问题解决。这么多的推导方法中，哪些更容易理解、计算更简便呢？

经过学生充分讨论，汇总出下面方法： 1．梯形面积=下底+上底）×高÷2 2．梯形面积=（下底+上底）×（高÷2）。

师：这两个公式计算进更简便快捷，同学们可以用这两个公式来计算梯形的面积。

[评析；通过学生讨论、分析、比较、选择出最佳方法。在实际应用中，教师应提倡算法多样化，这样不至于抑制学生的灵感和创造。] 总评：

13.三角形的面积公式 篇十三

关键词：三角形面积,平行四边形面积,三点共线,行列式

1 三角形面积的初等证明

命题 若△ABC的顶点在平面直角坐标系下的坐标分别为A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 则△ABC的面积

$S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{ccc}x{}_1& y{}_1& 1\\ x{}_2& y{}_2& 1\\ x{}_3& y{}_3& 1\end{array}\right|\right|.$

$\begin{array}{l}\text{证}\text{法}1\overrightarrow{AB}=(x{}_2-x{}_1,y{}_2-y{}_1),\\ \overrightarrow{AC}=(x{}_3-x{}_1,y{}_3-y{}_1),\\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos \angle CAB,\\ S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin \angle CAB\\ =\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}{}^2\cdot \overrightarrow{AC}{}^2-(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}){}^2}\\ =\frac{1}{2}(((x{}_2-x{}_1){}^2+(y{}_2-y{}_1){}^2)((x{}_3-x{}_1){}^2\\ +(y{}_3-y{}_1){}^2)-((x{}_2-x{}_1)(x{}_3-x{}_1)\\ +(y{}_2-y{}_1)(y{}_3-y{}_1)){}^2){}^{\frac{1}{2}}\\ =\frac{1}{2}(((x{}_2-x{}_1)(y{}_3-y{}_1)){}^2\\ -2(x{}_2-x{}_1)(x{}_3-x{}_1)(y{}_2-y{}_1)(y{}_3-y{}_1)\\ +((x{}_3-x{}_1)(y{}_2-y{}_1)){}^2){}^{\frac{1}{2}}\\ =\frac{1}{2}|(x{}_2-x{}_1)(y{}_3-y{}_1)\\ -(x{}_3-x{}_1)(y{}_2-y{}_1)|\\ =\frac{1}{2}|(x{}_{1}y{}_2-x{}_{2}y{}_1)+(x{}_{2}y{}_3-x{}_{3}y{}_2)\\ +(x{}_{3}y{}_1-x{}_{1}y{}_3)|\\ =\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{cc}x{}_1& y{}_1\\ x{}_2& y{}_2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}x{}_2& y{}_2\\ x{}_3& y{}_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}x{}_3& y{}_3\\ x{}_1& y{}_1\end{array}\right|\right|\\ =\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{ccc}x{}_1& y{}_1& 1\\ x{}_2& y{}_2& 1\\ x{}_3& y{}_3& 1\end{array}\right|\right|.\end{array}$

证法2 三角形的3条边至少有一边所在的直线斜率存在, 不妨设为AB边, 则直线AB的两点方程为$\frac{y-y{}_1}{x-x{}_1}=\frac{y{}_2-y{}_1}{x{}_2-x{}_1}$, 转化为一般式方程为

(y2-y1) x+ (x1-x2) y+x2y1-x1y2=0,

顶点C到直线AB的距离为

$d=\frac{|(y{}_2-y{}_1)x{}_3+(x{}_1-x{}_2)y{}_3+x{}_{2}y{}_1-x{}_{1}y{}_2|}{\sqrt{(y{}_2-y{}_1){}^2+(x{}_1-x{}_2){}^2}}.$

所以

2三角形面积的推广

由上述证明过程直接有推论1和推论2.

推论1 复数z1=x1+yi, z2=x2+y2i, z3=x3+y3i在复平面上所对应的点分别为Z1, Z2, Z3, 则△Z1Z2Z3的面积

$S{}_{△{\rm Z}{}_1{\rm Z}{}_2{\rm Z}{}_3}=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{ccc}x{}_1& y{}_1& 1\\ x{}_2& y{}_2& 1\\ x{}_3& y{}_3& 1\end{array}\right|\right|.$

推论2 若△ABC的顶点在平面直角坐标系下的坐标分别为A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 则

$\begin{array}{l}S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}|(x{}_{1}y{}_2-x{}_{2}y{}_1)\\ +(x{}_{2}y{}_3-x{}_{3}y{}_2)+(x{}_{3}y{}_1-x{}_{1}y{}_3)|\\ =\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{cc}x{}_1& y{}_1\\ x{}_2& y{}_2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}x{}_2& y{}_2\\ x{}_3& y{}_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}x{}_3& y{}_3\\ x{}_1& y{}_1\end{array}\right|\right|.\end{array}$

推论3 若△ABC在平面直角坐标系下任意两边所在的向量已知, 不妨设为$\overrightarrow{AB}=(X{}_1,Y{}_1),\overrightarrow{AC}=(X{}_2,Y{}_2)$, 则△ABC的面积

$S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}|X{}_{1}Y{}_2-X{}_{2}Y{}_1|.$

证明 设△ABC中三顶点的坐标为A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(X{}_1,Y{}_1)=(x{}_2-x{}_1,y{}_2-y{}_1),\\ \overrightarrow{AC}=(X{}_2,Y{}_2)=(x{}_3-x{}_1,y{}_3-y{}_1),\end{array}$

从而

X1=x2-x1, Y1=y2-y,

X2=x3-x1, Y2=y3-y1.

由证法1知

| (x2-x1) (y3-y1) - (x3-x1) (y2-y1|

=|X1Y2-X2Y1|,

所以

$S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}|X{}_{1}Y{}_2-X{}_{2}Y{}_1|.$

推论4 若△ABC在平面直角坐标系下任意两边所在的向量已知, 不妨设为$\overrightarrow{AB}=(X{}_1,Y{}_1,{\rm Z}{}_1),\overrightarrow{AC}=(X{}_2,Y{}_2,{\rm Z}{}_2)$, 则△ABC的面积

S△ABC

$=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\begin{array}{l}X{}_{1}Y{}_1\\ X{}_{2}Y{}_2\end{array}\right|{}^2+\left|\begin{array}{l}Y{}_1{\rm Z}{}_1\\ Y{}_2{\rm Z}{}_2\end{array}\right|{}^2+\left|\begin{array}{l}{\rm Z}{}_{1}X{}_1\\ {\rm Z}{}_{2}X{}_2\end{array}\right|{}^2}.$

证明 因为

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(X{}_1,Y{}_1,{\rm Z}{}_1),\overrightarrow{AC}=(X{}_2,Y{}_2,{\rm Z}{}_2),\\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos \angle CAB,\end{array}$

所以

$\begin{array}{l}S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin \angle CAB\\ =\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}{}^2\cdot \overrightarrow{AC}{}^2-(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}){}^2}\\ =\frac{1}{2}((X{}_1^2+Y{}_1^2+{\rm Z}{}_1^2)(X{}_2^2+Y{}_2^2+{\rm Z}{}_2^2)\\ -(X{}_{1}X{}_2+Y{}_{1}Y{}_2+{\rm Z}{}_1{\rm Z}{}_2){}^2){}^{\frac{1}{2}}\\ =\frac{1}{2}((X{}_{1}Y{}_2-X{}_{2}Y{}_1){}^2+(X{}_{2}Y{}_3-X{}_{3}Y{}_2){}^2\\ +(X{}_{3}Y{}_1-X{}_{1}Y{}_3){}^2){}^{\frac{1}{2}}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\begin{array}{l}X{}_{1}Y{}_1\\ X{}_{2}Y{}_2\end{array}\right|{}^2+\left|\begin{array}{l}Y{}_1{\rm Z}{}_1\\ Y{}_2{\rm Z}{}_2\end{array}\right|{}^2+\left|\begin{array}{l}{\rm Z}{}_{1}X{}_1\\ {\rm Z}{}_{2}X{}_2\end{array}\right|{}^2}.\end{array}$

推论5 若△ABC三顶点在空间直角坐标系下的坐标分析为A (x1, y1, z1) , B (x2, y2, z2) , C (x3, y3, z3) , 则△ABC的面积

证明 由推论4的证明知

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(X{}_1,Y{}_1,{\rm Z}{}_1)\\ =(x{}_2-x{}_1,y{}_2-y{}_1,z{}_2-z{}_1),\\ \overrightarrow{AC}=(X{}_2,Y{}_2,{\rm Z}{}_2)\\ =(x{}_3-x{}_1,y{}_3-y{}_1,z{}_3-z{}_1),\end{array}$

其中X1=x2-x1, Y1=y2-y1,

Z1=z2-z1, X2=x3-x1,

Y2=y3-y1, Z2=z3-z1.

由推论3的证明知

$\begin{array}{l}|X{}_{1}Y{}_2-X{}_{2}Y{}_1|=\left|\left|\begin{array}{cc}X{}_1& Y{}_1\\ X{}_2& Y{}_2\end{array}\right|\right|\\ =\left|\left|\begin{array}{ccc}x{}_1& y{}_1& 1\\ x{}_2& y{}_2& 1\\ x{}_3& y{}_3& 1\end{array}\right|\right|.\end{array}$

同理可得

$\begin{array}{l}\left|\begin{array}{cc}Y{}_1& {\rm Z}{}_1\\ Y{}_2& {\rm Z}{}_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}y{}_1& z{}_1& 1\\ y{}_2& z{}_2& 1\\ y{}_3& z{}_3& 1\end{array}\right|,\\ \left|\begin{array}{cc}{\rm Z}{}_1& X{}_1\\ {\rm Z}{}_2& X{}_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}z{}_1& x{}_1& 1\\ z{}_2& x{}_2& 1\\ z{}_3& x{}_3& 1\end{array}\right|.\end{array}$

上述3式代入推论4的结论有

$\begin{array}{l}S{}_{△ABC}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\begin{array}{l}x{}_{1}y{}_{1}1\\ x{}_{2}y{}_{2}1\\ x{}_{3}y{}_{3}1\end{array}\right|{}^2+\left|\begin{array}{l}y{}_{1}z{}_{1}1\\ y{}_{2}z{}_{2}1\\ y{}_{3}z{}_{3}1\end{array}\right|{}^2+\left|\begin{array}{l}z{}_{1}x{}_{1}1\\ z{}_{2}x{}_{2}1\\ z{}_{3}x{}_{3}1\end{array}\right|{}^2}.\end{array}$

3 平行四边形面积的推广

在▱ABCD中, 由于△ABC的面积是▱ABCD面积的一半, 从而上述△ABC的面积可直接推广到▱ABCD的面积.

推论6 若▱ABCD任意3个顶点在平面直角坐标系下的坐标已知, 不妨分别设为A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 则▱ABCD的面积

$S{}_{▱ABCD}=\left|\left|\begin{array}{ccc}x{}_1& y{}_1& 1\\ x{}_2& y{}_2& 1\\ x{}_3& y{}_3& 1\end{array}\right|\right|.$

推论7 若▱ABCD任意3个顶点在平面直角坐标系下的坐标已知, 不妨分别设为A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 则▱ABCD的面积

$\begin{array}{l}S{}_{▱ABCD}=|(x{}_{1}y{}_2-x{}_{2}y{}_1)\\ +(x{}_{2}y{}_3-x{}_{3}y{}_2)+(x{}_{3}y{}_1-x{}_{1}y{}_3)|\\ =\left|\left|\begin{array}{l}x{}_{1}y{}_1\\ x{}_{2}y{}_2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{l}x{}_{2}y{}_2\\ x{}_{3}y{}_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{l}x{}_{3}y{}_3\\ x{}_{1}y{}_1\end{array}\right|\right|.\end{array}$

推论8 若▱ABCD任意相邻两边所在的向量已知, 不妨设在平面直角坐标系下的坐标为$\overrightarrow{AB}=(X{}_1,Y{}_1),\overrightarrow{AC}=(X{}_2,Y{}_2)$, 则▱ABCD的面积S▱ABCD=|X1Y2-X2Y1|.

推论9 若▱ABCD在空间直角坐标系下任意两边所在的向量已知, 不妨设为$\overrightarrow{AB}=(X{}_1,Y{}_1,{\rm Z}{}_1),\overrightarrow{AC}=(X{}_2,Y{}_2,{\rm Z}{}_2)$, 则▱ABCD的面积

推论10 若▱ABCD任意3个顶点在平面直角坐标系下的坐标已知, 不妨分别设为A (x1, y1, z1) , B (x2, y2, z2) , C (x3, y3, z3) , 则▱ABCD的面积

$\begin{array}{l}S{}_{▱ABCD}\\ =\sqrt{\left|\begin{array}{l}x{}_{1}y{}_{1}1\\ x{}_{2}y{}_{2}1\\ x{}_{3}y{}_{3}1\end{array}\right|{}^2+\left|\begin{array}{l}y{}_{1}z{}_{1}1\\ y{}_{2}z{}_{2}1\\ y{}_{3}z{}_{3}1\end{array}\right|{}^2+\left|\begin{array}{l}z{}_{1}x{}_{1}1\\ z{}_{2}x{}_{2}1\\ z{}_{3}x{}_{3}1\end{array}\right|{}^2}.\end{array}$

4 三点共线的推广

以AB, AC为邻边的“平行四边形”和“三角形”都退化在同一条直线上时, 其面积当然为0, 从而不管是在直角坐标系下还是在仿射坐标系下都有下列推论:

推论11 平面上任意坐标系下三点A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) 共线

$\iff \left|\begin{array}{ccc}x{}_1& y{}_1& 1\\ x{}_2& y{}_2& 1\\ x{}_3& y{}_3& 1\end{array}\right|=0.$

推论12 平面上任意坐标系下三点A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) 共线

$\begin{array}{l}\iff (x{}_{1}y{}_2-x{}_{2}y{}_1)+(x{}_{2}y{}_3-x{}_{3}y{}_2)+(x{}_{3}y{}_1-x{}_{1}y{}_3)=0\iff \left|\begin{array}{l}x{}_{1}y{}_1\\ x{}_{2}y{}_2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{l}x{}_{2}y{}_2\\ x{}_{3}y{}_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{l}x{}_{3}y{}_3\\ x{}_{1}y{}_1\end{array}\right|=0.\\ (\text{下}\text{转}\text{第}60\text{页})\end{array}$

推论13三维空间上任意坐标系下向量→AB= (X1, Y1, Z1) 与向量

推论14三维空间上任意坐标系下三点

参考文献

[1]吕林根, 许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社, 1987.

14.《三角形面积》说课教案 篇十四

一、说理念

1.把主动权还给学生。新课程强调形成学生积极主动的学习态度，不能只靠模仿、记忆，让学生经历观察、操作、推理、实践活动。

2.改变学生的学习方式，倡导动手操作，独立探究，合作交流的学习方式。使学生在合作中研究，在探究中创新，逐步学会学习并从中获得良好的情感体验。

二、说教材

1.教材内容分析

三角形的面积的教学是在学生掌握了三角形特征及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上进行的。三角形和平行四边形、梯形面积计算联系比较紧密。根据各图形面积及公式间的内在联系，教材先探究了平行四边形面积公式的推导基础，学生不难想出把三角形转化成已学过的图形的面积计算，从而发展了学生的空间观念，加深学生对图形特征以及三角形与平行四边形之间的内在联系的认识，进一步发展学生的思维能力。

2.教学目标

知识目标：使学生通过动手操作推导出三角形的面积公式。掌握三角形面积公式及推导方法，能正确运用面积公式进行三角形面积的计算。

能力目标：使学生进一步体会转化方法的价值，培养学生初步的推理能力、创新能力和应用已有知识解决新问题的能力，发展学生的空间观念。

情感与态度目标：帮助学生形成积极主动的学习态度，参与知识形成全过程的创新意识，应用数学的意识，培养严谨的科学态度。

3.教学重点

发现理解三角形的面积公式并能正确运用。

4.教学难点

理解三角形面积公式及推导过程。

5.教学准备

多媒体课件一份，自制的三角形若干，方格纸10张。

三、说教学过程

（一）创设情境，揭示课题

师：昨天下午，老师接到了一个任务，现在想请咱们班的同学帮我一起解决，你们愿意吗？我们学校准备吸收100名新生入队，就需要做100条红领巾，那么要买多少布料呢？做一条红领巾时必须知道什么？

生：（可能会说：一条红领巾的大小）

师：红领巾是什么形状的？

生：三角形。

师：怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形面积的计算方法。（板书课题：三角形的面积）

（二）探究新知

1.复习长方形、正方形、平行四边形的面积计算。（课件出示）请学生分别计算出每个图形的面积，并订正。

2.请生说出平行四边形面积的计算公式的推导方法，再猜想三角形面积计算可以用什么方法？（学生猜测：数方格的方法，转化法）

3.出示三角形方格图。

师：请你用数方格的方法计算出三角形的面积。

学生独立数出每个三角形的面积：12平方厘米。

师：如果用这种方法求一块三角形菜地或三角形的草坪的面积，你觉得可行吗？

学生可能会说出：不方便、不准确等。

师：同学们能否找出一种方便的方法解答这种问题呢？能不能把三角形转化成已学过的图形来求面积呢？（能）

4.分组实验，合作学习。

请学生拿出课前准备的三种类型三角形（各两个），小组合作动手拼一拼，摆一摆。

然后展示汇报，可能用两个完全一样的三角形、长方形、平行四边形、正方形。（教师课件一一展示）。

5.组织讨论，探究算理，归纳公式。

在学生操作之后，提问：通过试验，你们发现了什么？（课件出示）

还有以下问题：认真观察拼成的平行四边形，这些平行四边形的底和高与三角形的底和高分别有什么联系？每个三角形的面积和拼成的平行四边形的面积有什么联系？（学生讨论过程中，教师给予适当指导。）

讨论结束后，引导学生归纳得出三角形的面积公式，根据学生的汇报板书公式：

因为：三角形面积=拼成的平行四边形面积÷2

所以：三角形面积=底×高÷2

（三）反馈应用

1.师：有了公式，现在你们能解决课前提出的问题了吗？

（1）课件出示例2，学生一起读题并理解题意。

（2）学生独立解答，叫两名学生板演。教师进行检查，了解信息反馈，并按反馈信息组织学生讨论和讲解，强调书写格式以及应用三角形面积公式时把底和高相乘不要忘记除以2，否则会计算成长方形或平行四边形的面积，以确保学生系统的掌握知识。（适时课件展示）

2.巩固练习

练习是学生掌握知识，形成技能的必要途径，是检查教学目标落实情况的重要手段。为了提高联系的效率，我合理的设计了以下几道练习题：

第一题：计算课本85页做一做题目。（属单一性练习，用于巩固新知识。）

第二题：口算下面每个三角形的面积。（属基本练习，旨在巩固、熟练公式，也可锻炼学生的口算能力。）

（四）课堂总结

师：通过这节课的学习，你有什么收获？

（五）布置作业

教材第86页练习十六 第2题，第3题。

四、说板书设计

三角形的面积

因为：平行四边形面积=底高

三角形面积=拼成的平行四边形面积的一半

所以：三角形面积=底×高÷2

15.《三角形的面积》教学反思 篇十五

1.动手操作形象教学。在教学中，让学生操作分别将三组完全一样的三角形拼成一个平行四边形，并比较每个三角形与平成的平行四边形各部分的联系，使学生体验和感知三角形面积公式的推导过程。同时在操作中向学生渗透旋转、平移的方法，让学生体验和感知三角形面积公式的推导过程。课堂上，学生表现出浓厚的兴趣，学习积极性很高，每个人都积极动手操作，这样极大地调动学生的思维，学生也真正投入到学习当中，成为学习的主人。

2.引导学生思考，培养探究精神。在这节课教学过程中，学生们面对平行四边形面积公式与三角形面积公式有什么不同?三角形面积公式中的“除以2”是怎么来的?这些问题，采取小组讨论的方式，通过思考，互相讨论，认真探究，得到结论。在三角形的面积计算公式推导出来以后，要鼓励学生继续去探索，以培养学生科学的态度和探究的能力。为此，我顺势引导，深入质疑：用底×高÷2这个计算公式来计算三角形面积是否可靠呢?三角形有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，用底×高÷2这个公式是否适用于所有三角形面积的计算呢?从而将学生的思维活动推向一个新的高潮。学生通过自己动手操作，动脑思索，小组讨论分析，然后各自发表自己的见解，这样学到的不只是公式本身，而是科学的态度和探究的能力。

3.让学生学会应用所学知识解决实际问题。本节课充分让学生学会应用所学的知识去生活当中的实际问题，例如：求交通标志的面积和红领巾的面积。让学生体验数学知识在实际生活中的重要性。

16.三角形内接矩形的最大面积问题 篇十六

我们知道, 如果四边形的四个顶点都在三角形的边上, 那么就称这个四边形为此三角形的内接四边形, 特别的, 当四边形是矩形时, 就称此四边形为三角形的内接矩形.将这一实际问题转化成数学问题就是三角形内接矩形的边长满足什么条件时, 矩形的面积最大, 最大面积与该三角形的面积有什么关系?

三角形内接矩形最大面积问题的求解, 是代数、几何数形结合的典型, 用到了相似三角形的性质、二次函数的性质、三角形面积公式等基本的数学知识.这是一个典型的最优化问题, 解决这类最大面积问题往往需要构建二次函数模型, 进而利用二次函数求最值的有关知识加以解决.

要正确解决这个问题, 我们首先来看特殊的三角形———直角三角形的情形.

【情形一】如图2所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 在△ABC内部作一个矩形DEFC, 其中CD、CF分别在两直角边AC和BC上, 设BC=a、AC=b、AB=c、CF=x, 矩形DCFE的面积为y, 当x取何值时, y的值最大?最大值是多少?

解:由CF=x, 得FB=a-x.

在Rt△EFB中, ,

结论:当直角三角形内接矩形的两边长分别等于直角三角形两直角边长的一半时, 内接矩形的面积最大, 最大面积等于直角三角形面积的一半.

【情形二】如图3所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 在△ABC内部作一个矩形DEFG, 其中DG在斜边AB上, 点E、F分别在两直角边AC、BC上, 设BC=a、AC=b、AB=c、DG=x, 矩形DEFG的面积为y, 当x取何值时, y的值最大?最大值是多少?

解:由四边形DEFG是矩形, 得到EF=DG=x, ∠EFC=∠B,

在Rt△ECF中, cos∠EFC=

∴CF=x·cos∠EFC, 即CF=x·cosB.

∴FB=a-CF=a-x·cosB.

在Rt△FGB中,

∴FG= (a-xcosB) sinB.

∴y=DG·FG=x· (a-xcosB) sinB.

又∵在Rt△ABC中, sinB=, cosB=,

∴y=x· (a-a cx) ,

即y=-+.

∴当x=时,

结论:当直角三角形内接矩形的一边长等于该直角三角形斜边长的一半时, 内接矩形的面积最大, 最大面积等于该直角三角形面积的一半.

下面再来看一般三角形的情形.

如图4所示, 在三角形ABC的内部作一个矩形DEFG, 其中EF在边BC上, 点D、G分别在边AB、AC上, 设BC=a、AC=b、AB=c、EF=x, 矩形DEFG的面积为y, 当x取何值时, y的值最大?最大值是多少?

解:过点A作AM⊥BC, 垂足为M, 交DG于点N, 设AM=h,

由题可知△ADG∽△ABC,

则有

即FG= (a-x) ,

∴y=x (a-x) ,

即y=-x2+hx.

∴当x=时,

结论:当三角形内接矩形的一边长等于它所对的该三角形的边长的一半时, 内接矩形的面积最大, 最大面积等于该三角形面积的一半.

综合上述情况可得:三角形内接矩形的一边长等于它所对的该三角形的边长的一半时, 内接矩形的面积最大, 最大面积等于该三角形面积的一半.

17.椭圆中一个三角形最大面积问题 篇十七

对于这个问题，笔者经过探讨，得到了如下两个有趣的结论.

定理1设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），则当且仅当直线AB与椭圆F：x2a2+y2b2=12相切时，S△AOB取得最大值12ab.

由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是关于t的二次方程④的两根，故由韦达定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时，kOA·kOB=-b2a2.

又由定理1证明中已得结论知，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时直线AB与椭圆F相切，故当且仅当kOA·kOB=-b2a2时直线AB与椭圆F相切.

（ⅱ）当直线AB过点（0，±b）时，不妨设过点（0，b），则由直线AB与椭圆F相切的充要条件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此时直线AB过点（±a，0），从而OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴.

（ⅲ）当直线AB与x轴垂直时，易证（证明从略）：当且仅当直线AB过点（±22a，0）（此时直线AB与椭圆F相切于点（±22a，0））时，kOA·kOB=-b2a2.

综上可得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时直线AB与椭圆F相切，从而由定理1的结论得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时S△AOB取得最大值12ab.

最后作一点说明：设A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），若记P：直线AB与椭圆F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴），R：S△AOB取得最大值12ab，则由以上两个定理的结论可知，将P、Q、R中任一个作为条件，剩余两个中的一个作为结论，都为一个正确的命题（共有6个结论，若R作为条件时应改为：S△AOB=12ab）.

参考文献

[1]姜坤崇.相似椭圆的性质又探[J].数学通讯，2011（4）（下半月）.

[2]姜坤崇.对2011年高考山东卷理科22（Ⅰ）题的研究[J].数学教学，2012（2）.

[3]姜坤崇.椭圆的“姊妹椭圆”与“姊妹圆”及其性质[J].中学教研（数学），2011（12）.

问题设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆上的两点（A、B、O不共线），求△AOB面积的最大值.

对于这个问题，笔者经过探讨，得到了如下两个有趣的结论.

定理1设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），则当且仅当直线AB与椭圆F：x2a2+y2b2=12相切时，S△AOB取得最大值12ab.

由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是关于t的二次方程④的两根，故由韦达定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时，kOA·kOB=-b2a2.

又由定理1证明中已得结论知，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时直线AB与椭圆F相切，故当且仅当kOA·kOB=-b2a2时直线AB与椭圆F相切.

（ⅱ）当直线AB过点（0，±b）时，不妨设过点（0，b），则由直线AB与椭圆F相切的充要条件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此时直线AB过点（±a，0），从而OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴.

（ⅲ）当直线AB与x轴垂直时，易证（证明从略）：当且仅当直线AB过点（±22a，0）（此时直线AB与椭圆F相切于点（±22a，0））时，kOA·kOB=-b2a2.

综上可得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时直线AB与椭圆F相切，从而由定理1的结论得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时S△AOB取得最大值12ab.

最后作一点说明：设A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），若记P：直线AB与椭圆F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴），R：S△AOB取得最大值12ab，则由以上两个定理的结论可知，将P、Q、R中任一个作为条件，剩余两个中的一个作为结论，都为一个正确的命题（共有6个结论，若R作为条件时应改为：S△AOB=12ab）.

参考文献

[1]姜坤崇.相似椭圆的性质又探[J].数学通讯，2011（4）（下半月）.

[2]姜坤崇.对2011年高考山东卷理科22（Ⅰ）题的研究[J].数学教学，2012（2）.

[3]姜坤崇.椭圆的“姊妹椭圆”与“姊妹圆”及其性质[J].中学教研（数学），2011（12）.

问题设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆上的两点（A、B、O不共线），求△AOB面积的最大值.

对于这个问题，笔者经过探讨，得到了如下两个有趣的结论.

定理1设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），则当且仅当直线AB与椭圆F：x2a2+y2b2=12相切时，S△AOB取得最大值12ab.

由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是关于t的二次方程④的两根，故由韦达定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时，kOA·kOB=-b2a2.

又由定理1证明中已得结论知，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时直线AB与椭圆F相切，故当且仅当kOA·kOB=-b2a2时直线AB与椭圆F相切.

（ⅱ）当直线AB过点（0，±b）时，不妨设过点（0，b），则由直线AB与椭圆F相切的充要条件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此时直线AB过点（±a，0），从而OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴.

（ⅲ）当直线AB与x轴垂直时，易证（证明从略）：当且仅当直线AB过点（±22a，0）（此时直线AB与椭圆F相切于点（±22a，0））时，kOA·kOB=-b2a2.

综上可得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时直线AB与椭圆F相切，从而由定理1的结论得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时S△AOB取得最大值12ab.

最后作一点说明：设A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），若记P：直线AB与椭圆F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴），R：S△AOB取得最大值12ab，则由以上两个定理的结论可知，将P、Q、R中任一个作为条件，剩余两个中的一个作为结论，都为一个正确的命题（共有6个结论，若R作为条件时应改为：S△AOB=12ab）.

参考文献

[1]姜坤崇.相似椭圆的性质又探[J].数学通讯，2011（4）（下半月）.

[2]姜坤崇.对2011年高考山东卷理科22（Ⅰ）题的研究[J].数学教学，2012（2）.