构造函数法在导数中的应用

构造函数法在导数中的应用（11篇）

1.构造函数法在导数中的应用 篇一

构造函数，利用导数证明不等式

湖北省天门中学薛德斌2010年10月

例

1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a)．

例

2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0．

求证：（1）f(0)f(2)2f(1)；（2）f(2)2f(1)．

例

3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n)．

nm

例

4、（2010年辽宁卷文科）已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明： x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例

5、（2010年全国Ⅱ卷理科）设函数fxxaIn1x有两个极值点x1、x2，且

2x1x2，证明：fx2

12In2.4a0，b0，例

6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x； 1x

11112ncln（2）设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例

7、（1）已知x0，求证：

2.构造函数法在导数中的应用 篇二

一、抓住问题的实质, 化简函数

例:已知f (x) 是二次函数, 不等式f (x) <0的解集是 (0, 5) , 且f (x) 在区间[-1, 4]上的最大值是12. (1) 求f (x) 的解析式; (2) 是否存在自然数m, 使得方程f (x) +37/x=0在区间 (m, m+1) 内有且只有两个不等的实数根?若存在, 求出所有符合条件的m的值;若不存在, 请说明理由.

解: (1) y=2x2-10x (x∈R)

(2) 假设满足要求的实数m存在, 则f (x) +37/x=0, 即有:, 则2x3-10x2+37=0.

构造函数h (x) =2x3-10x2+37

画图分析:

通过检验知h (3) >0, h (10/3) <0, h (4) >0, 所以存在实数m=3, 使得f (x) +37/x=0在区间 (3, 4) 内有且只有两个不等的实数根.

点评:本题关键是构造了函数h (x) =2x3-10x2+37, 舍弃了原函数中分母x, 使问题得到了简化.

二、抓住常规基本函数, 利用函数草图分析问题

例:已知函数f (x) =n+lnx的图像在点P (m, f (m) ) 处的切线方程为y=x, 设. (1) 求证:当x≥1时, g (x) ≥0恒成立; (2) 试讨论关于x的方程根的个数.

解: (1) m=n=1

(2) 方程, 从而有2lnx=x3-2ex2+tx.

因为x>0, 所以方程可变为.

令, H (x) =x2-2ex+t, 得:.

当x∈ (0, e) 时, L′ (x) ≥0, L′ (x) 在 (0, e]上为增函数;

当x∈ (e, +∞) 时, L′ (x) ≤0, L′ (x) 在[e, +∞) 上为减函数;

当x=e时, L (x) max=L (e) =2/e,

又H (x) =x2-2ex+t= (x-e) 2+t-e2,

所以函数L (x) , H (x) 在同一坐标系内的大致图像如图所示.

(1) 当t-e2>2/e, 即t>e2+2/e时, 方程无解;

(2) 当t-e2=2/e, 即t-e2=2/e时, 方程有一解;

(3) 当t-e2<2/e, 即t

分析点评:一次函数, 二次函数, 指、对数函数, 幂函数, 简单的分式根式函数, 绝对值函数的图像力求清晰准确, 一些综合性的问题往往是这些函数的组合体.如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口, 使问题简单化、明确化.

三、复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则, 抓住函数的复合过程能够逐层分解

例:已知函数在区间[-1, 1]上单调递减, 在区间[1, 2]上单调递增, (1) 求实数a的值; (2) 若关于x的方程f (2x) =m有3个不同的实数解, 求实数m的取值范围; (3) 若函数y=log2[f (x) +p]的图像与坐标轴无交点, 求实数p的取值范围.

解: (1) 利用f′ (1) =0, 得a=1/2.

得f′ (x) =-x3+2x2+x-2=- (x-1) (x+1) (x-2)

列表如下:

因此f (x) 有极大值f (-1) =-5/12, f (2) =-8/3, 极小值f (1) =-37/12, 作出f (x) 的示意图, 如图:

因为关于x的方程f (2x) =m有3个不同的实数解, 令2x=t (t>0) , 即关于t的方程f (t) =m在 (0, +∞) 上有3个不同的实数解, 所以y=f (t) 的图像与直线y=m在 (0, +∞) 上有3个不同的交点.

而y=f (t) 的图像与y=f (x) 的图像一致.即-37/12

(3) 函数y=log2[f (x) +p]的图像与坐标轴无交点, 可以分以下2种情况:

(1) 当函数y=log2[f (x) +p]的图像与x轴无交点时, 则必须有f (x) +p=1无解, 而, 函数y=f (x) +p的值域为, 解得p<17/12.

(2) 当函数y=log2[f (x) +p]的图像与y轴无交点时, 则必须有y=log2[f (0) +p]不存在, 即f (0) +p<0或f (0) =-2有意义, 所以-2+p<0, 解得p<2.

(3) 由函数存在可知f (x) +p>0有解, 解得p>5/12, 故实数p的取值范围为 (5/12, 17/12) .

3.导数法在函数中的应用 篇三

例1 设[f ′（x）]是函数[f（x）]的导函数，其图象如图所示，则[y=f（x）]的图象最有可能是（ ）

[O][x][y][1][2][y=f ′（x）]

[y][x][O][1][2][y][x][O][1][2][y][x][O][1][2][y][x][O][1][2][A][B][C][D]

分析 先观察所给出的导函数[y=f ′（x）]的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择，还可以通过确定导函数[y=f ′（x）]图象的零点0，2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.

思路1 由题目中所给的导函数图象来判断原函数图象，根据导函数图象得到：当[x≥1]时，函数[f（x）]递增. 当[x<1]时，函数[f（x）]递减. 此种做法显然错误，犯这种错误的原因是误将导函数图象看成原函数图象，而不知道导数值的符号来判断原函数的单调性.

思路2 由[y=f ′（x）]的图象可以清晰地看出，当[x∈（0，2）] 时，[y=f ′（x）<0]，则[f（x）]为减函数，故选C.

思路3 在导函数[y=f ′（x）]图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数[f（x）]在[x=0]时取得极大值；又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数[f（x）]在[x=2]处取得极小值，故选C.

点拨 导函数值的符号与原函数单调性的依存关系为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；导函数的增减性与原函数的增减性没有必然的联系，但它刻画函数图象上的点切线斜率的变化趋势. 应该注意的是，若[f（x）]在某区间上可导，则由[f ′（x）>0（f ′（x）<0）]可推出[f（x）]为增（减）函数，反之，则不一定成立. 如，函数[f（x）=x3]在[R]上递增，而[f ′（x）≥0]. [f（x）]在区间D上单调递增（减）的充要条件是[f ′（x）≥0][（f（x）≤0）]，且[f ′（x）]在[（a，b）]上的任意子区间上都不恒为零.

函数极值的求法

例2 已知函数[f（x）=ln（2+3x）-32x2]，求[f（x）]在[0， 1]上的极值.

分析 本题是一道求函数极值问题，其求法主要依据函数极值的定义进行判断求解，即若函数[f（x）]在[x0]附近有定义，如果对[x0]附近的所有的点，都有[f（x）f（x0）]，则[f（x0）]是函数[f（x）]的一个极小值.

思路1 [f ′（x）=32+3x-3x=-3（x+1）（3x-1）3x+2]，

令[f ′（x）=0]，得[x=13]或[x=-1]，

∴当[-1≤x<13]时，[f ′（x）>0]，[f（x）]单调递增.

当[13

因此得到极大值为[f（13）=ln3-16]，极小值为[f（-1）].

此种解法有误，忽视了函数的定义域，以及[f ′（x）=0]只是函数极值的必要条件.

思路2 [f ′（x）=32+3x-3x=-3（x+1）（3x-1）3x+2]，[x∈[0，1]]，

令[f ′（x）=0得， x=13或x=-1]（舍去）.

∴当[0≤x<13]时，[f ′（x）>0]，[f（x）]单调递增.

当[13

∴函数[f（x）]在[[0，1]]上有极大值[f（13）=ln3-16].

思路3 [f ′（x）=32+3x-3x=-3（x+1）（3x-1）3x+2]，[x∈[0，1]]，

令[f ′（x）=0得， x=13或x=-1]， [y][x][-1]

由于函数定义域要满足：[2+3x>0?x>-23]，

∴当[-230]，[f（x）]单调递增.

当[13

由图象和极值定义易得，在[x∈[0，1]]上，当[x=13]时取得极大值[ln3-16]，无极小值.

点拨 运用导数求极值的方法及注意点如下. （1）对于开区间上的可导函数，极值点一定是函数的稳定点. ①[f ′（x0）=0]只是[f（x）]在点[x0]处取得极值的必要条件，而不是充分条件，事实上，我们熟悉的函数[f（x）=x3]在点[x=0]的导数等于零，但在该点并不取极值；②结论成立的前提之一是函数在[x0]点可导，而导数不存在（但函数连续）的点也可能取到极值；③极值的可疑点是函数的稳定点和不可导点. （2）对于一元函数[y=f（x）]，求极值的步骤是：①求[f（x）]的导数[f ′（x）]；②解方程[f ′（x）=0]，求出[f（x）]在定义域内的所有稳定点； ③找出[f（x）]在定义域内的所有导数不存在的点；④利用极值存在的充分条件考查每一个稳定点和不可导点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；⑤求出各极值点的极值.

运用导数求函数最值

例3 求函数[f（x）=x2-x3+2，x∈[0，1]]的最值.

分析 这是一道函数求最值问题，一般都是将极值与区间的端点函数值比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值.

思路1 求导[f ′（x）=2x-3x2]，

令[f ′（x）=2x-3x2=0]，则[x=0或23]，计算：

[f（0）=2]，[f（1）=2]，[f（23）=2427]，

因为[x∈[0，1]]，比较大小得，最大值为[f（23）=2427]； 最小值为[f（0）=f（1）=2].

思路2 图象法.

求导[f ′（x）=2x-3x2]，

令[f ′（x）=2x-3x2>0?递增区间为（0，23）]，

[f ′（x）=2x-3x2<0?]递减区间为（-∞，0）和（[23]，+∞），根据函数单调性画出函数草图如下：

[y][x][O][2][1]

由于[x∈[0，1]]，因此由函数图象易得[f（23）max=2427]，[f（0）min=f（1）min=2].

思路3 三元均值不等式.

[f（x）=x2-x3+2=][x2（1-x）+2]，因为[x∈[0，1]]，

所以[x>0]，[1-x>0].

则[f（x）=][x2-x3+2=x2（1-x）+2=x·x·（1-x）+2]

[=12x·x·（2-2x）+2].

∵[x+x+（2-2x）≥3x2·（2-2x）3]，

∴[2≥3x2·（2-2x）3].

∴[（23）3≥x2·（2-2x）?x2·（2-2x）≤827]

[?f（x）≤12×827+2=2427].

当且仅当[x=2-2x]，即[x=23] 时取等号， 最大值为[f（23）=2427]，最小值在端点值取得[f（0）=f（1）=2].

点拨 闭区间上函数的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得，一般是将函数的端点函数值与极值进行比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值，如思路1；还可以根据函数的单调性特征画出函数的草图，进行直观求解，如思路2；除此之外，对于函数最值问题还可以运用均值不等式求解，如思路3.

4.构造函数法在导数中的应用 篇四

作者：酒钢三中 樊等林

不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面。不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。

一、构造函数利用判别式证明不等式 ①构造函数正用判别式证明不等式

在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。

例1.设：a、b、c∈R，证明：a2acc23b(abc)0成立，并指出等号何时成立。

解析：令f(a)a2(3bc)ac23b23bc

⊿＝(3bc)24(c23b23bc)3(bc)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)0，∴a2acc23b(abc)0恒成立。

当⊿＝0时，bc0，此时，f(a)a2acc23ab(ac)20，∴abc时，不等式取等号。

4例2.已知：a,b,cR且abc2,a2b2c22，求证： a,b,c0,。

3abc222解析：2 消去c得： a(b2)ab2b10，此方程恒成立，22abc2∴⊿＝(b2)24(b22b1)3b24b0，即：0b4同理可求得a,c0,

34。3② 构造函数逆用判别式证明不等式

对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2

由f(x)0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。

例3.设a,b,c,dR且abcd1，求证：4a14b14c14d1﹤6。解析：构造函数：

f(x)(4a1x1)2(4b1x1)2(4c1x1)2(4d1x1)

2＝8x22(4a14b14c14d1)x4.(abcd1)由f(x)0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a14b14c14d1)21280.∴4a14b14c14d142﹤6.例4.设a,b,c,dR且abc1，求解析：构造函数f(x)(＝(1axa)2(149的最小值。abc2bxb)2(3cxc)2

1492)x12x1,(abc1)abc111由f(x)0（当且仅当a,b,c时取等号），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（）≤0

abc111149

∴当a,b,c时，()min36

632abc

二、构造函数利用函数有界性证明不等式

例5.设a﹤1，b﹤1，c﹤1，求证：abbcac﹥-1.解析：令f(x)(bc)xbc1为一次函数。

由于f(1)(1b)(1c)﹥0，且f(x)(1b)(1c)﹥0，∴f(x)在x(1,1)时恒有f(x)﹥0.又∵a(1,1)，∴f(a)﹥0，即：abbcac1﹥0 评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数，转化为f(a)1。

三、构造函数利用单调性证明不等式

abab例6.设a,bR，求证：﹥ 1a1b1ab解析：设f(x)又x11，当x﹥0时，f(x)是增函数，1x1xabababab2abababf(abab)，＝﹥＝1a1b(1a)(1b)(1a)(1b)1abab而a,bR，∴abab﹥ab，∴f(abab)﹥f(ab)故有： abab﹥ 1a1b1ab例7.求证：当x﹥0时，x ﹥ln(1x)。解析：令f(x)xln(x1)，∵x﹥0，∴f/(x)11x ﹥0.x1x1又∵f(x)在x0处连续，∴f(x)在0,上是增函数，从而，当x﹥0时，f(x)xln(1x)﹥f(0)＝0，即：x﹥ln(1x)成立。

评注：利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特别是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。

四、构造函数利用奇偶性证明不等式

xx(x0)。例8.求证：﹤x212xxxxx2xx＝解析：设f(x)-(x0)，f(x)＝xxx221212212xxxxx1(12)x＝＝f(x).212x212x所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称。

当x﹥0时，12x﹤0，故f(x)﹤0；当x﹤0时，依图象关于y轴对称知f(x)﹤0。

xx(x0)﹤212x评注：这里实质上是根据函数奇偶性来证明的，如何构造恰当的函数充分利用其性质是关健。

5.构造函数法在导数中的应用 篇五

Shannon函数有很好的滤波性能,但向两端衰减速度缓慢;Gauss“窗”函数有很好的控制小波衰减的.特性,但其低通滤波效果较差.根据这两个函数各自的优点构造了一类新的小波基函数,分别为满足低通的父小波和带通的一阶、二阶母小波,讨论了它们的正交性、完备性和紧支集性等性质,以GPS资料为例,分析其信号平滑和压缩效应、边缘效应和奇异点检测,得出一些有益的结论,为大地测量数据处理提供一种小波分析方法.

作 者：郑作亚 卢秀山 李克行 ZHENG Zuo-ya LU Xiu-shan LI Ke-hang 作者单位：郑作亚,卢秀山,ZHENG Zuo-ya,LU Xiu-shan(山东科技大学,基础地理信息与数字化省重点实验室,山东,青岛,266510;山东科技大学,地球信息科学与工程学院,山东,青岛,266510)

李克行,LI Ke-hang(北京控制工程研究所,北京,100080)

6.函数与导数二轮复习（共） 篇六

[考点分析预测]

考点一基本函数的图象与性质

考点二 分段函数与复合函数

考点三抽象函数与函数性质

考点四 函数图象及其应用

考点五 导数的概念与意义

考点六 利用导数研究函数性质

考点七函数与导数的综合应用

整体来看，考查的热点集中在三个方面。热点之一是考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数及函数图象；热点之二是利用函数、方程、不等式的相互关系，对具体问题具体分析，最终解决问题。热点之三是利用导数研究函数的性质，及函数与导数的综合应用

[考点透视]

函数是高中数学的重要内容，函数的观点和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题及其他问题。导数是分析和解决函数问题的便利的、必不可少的工具。纵观近几年的高考试题，函数与导数知识占有极其重要的地位，不仅形式多样,而且知识覆盖面广、综合性强、灵活性高，突出考查学生方程与函数、联系与转化、分类与讨论、数形结合等重要的数学思想、能力，是高考考查数学思想、数学方法、基础素质与综合能力的主阵地。

“函数与导数”的考查(文科)呈以下特点：（1）以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等；（2）以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题；（3）以多项式函数、尤其是三次函数为主要载体，考查的导数的几何意义与导数的应用；（4）解答题的重点仍将围绕二次函数及三次函数展开，考查三个“二次”问题、利用导数研究函数的单调性、极（最）值与解决与方程及不等式相关的综合问题等。解答题也可能在简单的指数、对数复合函数及应用题上设计试题。

“函数与导数”的考查（理科）呈以下特点：（1）以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等；（2）以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题；（3）以分式型函数、三次函数、“杂合型”函数为主要载体，考查函数的极限、导数的概念与几何意义、导数的应用；（4）解答题的考查重点是利用导数研究非初等函数的单调性、极值与最值、解决与方程及不等式相关的综合问题，压轴题中可能设计此部分与数列、三角、解析几何等知识的综合题来拔高难度；（5）三个“二次”的问题渗透在各类问题中进行综合、灵活考查。

备考指导

1．抓住两条主线，构建函数知识体系

一是“基本函数的图象及其性质”，要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等一些常见函数的图象性质，归纳提炼函数性质的应用规律。二是函数的概念与基本性质，熟练掌握函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、反函数等基本求法与解题步骤，并会灵活应用。

2．依托基础知识，强化思想方法训练

函数是考查“数形结合”思想的重要载体，要熟练掌握基本函数的图象和性质，分析掌握基本函数图象间的关系。在此基础上，理解掌握常见的平移、对称变换方法，强化“由式到图”和“由图到式”的转化训练。原函数与反函数，原函数与导函数图象之间的关系常被设计成考点，要注意重点掌握。函数与方程思想是本章复习的另一个重点，要善于转化命题，引进变量建立函数，运用变量的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力。此外，分类讨论思想、特殊化思想、转化与化归思想等都应在复习中多加体悟与应用。

3．加强纵横联系，强化综合应用意识

7.构造函数法在导数中的应用 篇七

数学教育家波利亚认为:“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目, 还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面, 在指导学生解题过程中, 提高他们的才智与推理能力.”本文结合近年的高考题目, 就解和导数有关的区分度颇高的函数题, 如何走好“动一发而系全身”的第一步, 谈如何构造F (x) , 给出程序化的构建模式, 以达到“好的开始是成功的一半”的目的.

1和导数有关的函数题概述

和导数有关的区分度颇高的函数题包括:讨论含参 (一元参数或二元参数) 方程根的个数与范围;含参 (一元参数或二元参数) 的不等式证明、求含参函数的最值、单调区间;含参 (一元参数或二元参数) 不等式恒成立时、已知含参函数的最值、已知含参函数的单调区间, 已知含参 (一元参数或二元参数) 方程根的个数与范围时反之求某参数的范围.题目形式虽然千变万化、层出不穷, 但本质是一道题, 本文为说明问题方便, 不妨以f (x) ≥g (x) 的形式说明.

2程序化构造F (x) 的统一模式

1) 直接法:令F (x) =f (x) -g (x) (左- 右) , 或F1 (x) F2 (x) <cF1 (x) <cF2 (x) (F2 (x) >0) , 令F (x) =F1 (x) -cF2 (x) (见例2) .

2) 化积法:若f (x) -g (x) =h (x) k (x) , 若h (x) ≥0, 令F (x) -k (x) (见例4) .

3) 放缩法:若f (x) ≥f1 (x) , 则令F (x) =f1 (x) -g (x) (其中f1 (x) 通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论得出) (见例3) .

4) 控元法:含参问题若已给出k的范围, 由单调性控元消参, 构建F (x) (F (x) 无参) (见例1) .

5) 分离变量法:若能分离变量k≥k (x) , 则令F (x) =k (x) .

3程序化构造F (x) 的统一模式的效度

例1 (2013全国卷Ⅱ理科压轴) 已知函数f (x) =ex-ln (x+m) .

(Ⅰ) 设m=0为y=f (x) 的极值点, 求m, 并讨论f (x) 的单调性;

(Ⅱ) 当m≤2时, 证明f (x) >0.

解 (Ⅰ) 略.

当x∈ (-2, x0) 时F′ (x) <0, F (x) 单调递减;当x∈ (x0, +∞) 时F′ (x) >0, F (x) 单调递增.所以

f (x) ≥F (x) ≥F (x) min=F (x0) >0.

点评本题是含参不等式的证明题, 若不加思考直接采用构造F (x) =左-右, 则在求F′ (x) =0出现死胡同, 问题出在含参, 因此应该控元, 将二变量变为一变量, 使之常态化, 那么如何控元呢?只要通过m≤0和lnx的单调性即可, 本题用了控元法和放缩法.

例2 (2012山东卷Ⅱ理科21压轴题) 已知函数f (x) =lnx+k/ex (k为常数, e= 2.71828…是自然数对数的底数) , 曲线y= f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线与x轴平行.

(Ⅰ) 求k的值;

(Ⅱ) 求f (x) 的单调区间;

(Ⅲ) 设g (x) = (x2+x) f′ (x) , 其中f′ (x) 为f (x) 的导函数, 证明对任意x>0, g (x) <1+e-2.

解 (Ⅰ) k=1.

(Ⅱ) f (x) 在 (0, 1) 单调递增, 在 (1, +∞) 单调递减.

所以F2 (x) 在 (0, +∞) 单调递增, F2 (x) > F2 (0) =1, 所以不等式 (*) 得证,

g (x) <1+e-2 (x>0) .

点评如何构造F (x) , 关键在于F′ (x) =0是否易求 (或易估) , 若直接求g (x) , 则g′ (x) =0, 将陷入泥潭, 怎么办?要重新构造, 构造的标准是什么呢?应该以F′ (x) =0易求 (或易估) 为准, 即g (x) =F1 (x) F2 (x) <cF1 (x) <cF2 (x) (F2 (x) >0) , 构造F1 (x) , F2 (x) .

例3 (2012辽宁卷Ⅱ理科21压轴题) 设f (a, b∈R, a, b常数) , 曲线y=f (x) 与直线y=3/2x在 (0, 0) 点相切.

(Ⅰ) 求a, b, 的值;

(Ⅱ) 证明:当0<x<2时, f (x) <9x/ (x+6)

点评若直接 对f (x) 求导, 则也在f′ (x) =0头撞南墙, 原因在于对求导时, 既有根式又有分式, 使得在求f′ (x) =0时眼到手不到, 而ln (x+1) 的导数仅有分式, 因此对放缩.本题用了放缩法, 特别想说明的是本题的解法是原创.

例4 (2011全国卷Ⅱ理科21压轴题) 已知函数f (x) =alnx/ (x+1) +b/x , 曲线y=f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为x+2y-3= 0.

(Ⅰ) 求a, b的值;

(Ⅱ) 如果当x>0, 且x≠1时, f (x) > lnx/ (x-1) +k/x , 求k的取值范围.

(ⅰ) 当k-1≥0时, 因为F1′ (x) >0, 所以F (x) 单调递增.当x∈ (0, 1) 时,

综合 (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) , 得k∈ (-∞, 0].

点评本题采用直接法令F (x) =f (x) -g (x) 后, 为使F′ (x) =0易求 (或易估) , 再用化积法, 整个解题过程因成功构造新的F (x) 而一气呵成事半功倍.

8.导数在函数中的应用 篇八

关键词：导数 切线 单调性 极值 最值

随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐提高，近年很多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性、函数的极值和最值。下面笔者结合教学实践，就导数在函数中的应用作一个初步探究。

一、用导数求函数的切线

例1.已知曲线y=x3-3x2-1，过点(1,-3)作其切线，求切线方程。

解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3。故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x。

点评：函数y=f(x)在点x。处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点p(x。,f﹙xo﹚)处的切线的斜率。即曲线y=f(x)在点p(x。,f﹙xo﹚)处的切线的斜率是f′(x。)，相应的切线方程为：y-f(xo)=f′(xo)(x-xo)。

二、用导数判断函数的单调性

例2.求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0，解得x<0或x>2；由y′<0，解得0

故所求单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。

点评：利用导数判断函数的单调性的步骤是：①确定f(x)的定义域；②求导数f′(x。)；③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x。)>0和f′(x。)<0；④确定f(x)的单调区间。若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

9.函数的导数和它的几何意义 篇九

8-A 函数的导数

前一节中描述的例子给出了引进导数概念的方法。我们从至少定义在x-轴上的某个开区间（a,b）内的函数f(x)开始，然后我们在这个区间内选择一点x，引进差商

(8.1)f(xh)f(x)，h这里，数h(可以是正的或者负的但不能是0）要使得x+h还在（a, b）内。这个商的分子测量了当x从x变到x+h时函数的变化。称这个商为f在连接x与x+h的区间内的平均变化率。

现在让h→0，看看这个商会发生什么。如果商趋于某个确定的值作为极限（这就推得无论h是从正的方向还是负的方向趋于0，这个极限是一样的），成这个极限为f在x点的导数，记为f /(x)（读作“f一撇x”）。因此，f /(x)的正规定义可以陈述如下：

导数定义。如果

(8.2)f(x)limh0f(xh)f(x)，h存在极限，导数f /(x)由等式（8.2）定义。数f /(x)也称为f在x点的变化率。

对比（8.2）与前一节的（7.3），我们看到瞬时速度仅仅是导数概念的一个例子。速度v(t)等于f /(t)，这里f是位移函数，这就是常常被描述为速度是位移关于时间的变化率。在7.2节算出的例子中，位移函数由等式f(t)=144t-32t2表示，而它的导数f / 是由 f /(t)=144-32t给出的新的函数（速度）。

一般地，从f(x)产生f /(x)的极限过程给我们从一个给定函数f获得一个新函数f / 的方法。这个过程称为微分法，f / 称为f的一阶导数。依次地，如果f / 定义在开区间上，我们可以设法求出它的一阶导数，记为f // 并称其为f的二阶导数。类似地，由f(n-1)定义的一阶导数是f的n阶导数记为f(n)，我们规定f(0)= f，即零阶导数是函数本身。

对于直线运动，速度的一阶导数（位移的二阶导数）称为加速度。例如，要计算7.2节中的例子的加速度，我们可以用等式（7.2）形成差商

v(th)v(t)14432(th)14432t32.hh因为这个差商对每一个h≠0都是常数值-32，因此当h→0时它的极限也是-32.于是在这个问题中，加速度是常数且等于-32.这个结论告诉我们速度是以每秒32尺/秒的速率递减的。9秒内，速度总共减少了9·32=288尺/秒。这与运动9秒期间，速度从v(0)=144变到v(9)=-144是一致的。

8-B 导数作为斜率的几何意义

通常定义导数的过程给出了一个几何意义，就是以自然的方式导出关于曲线的切线的思想。图2-8-1是一个函数的部分图像。两个坐标(x,f(x))和(x+h,f(x+h))分别表示P, Q两个点坐标，考虑斜边为PQ的直角三角形，它的高度：f(x+h)-f(x)，表示P, Q两个点纵坐标的差，因此差商

(8.4)f(xh)f(x)

h表示PQ与水平线的夹角α的正切，实数tanα称为通过P, Q两点直线的斜率，而它提供了一种测量这条直线“陡度”的方法。例如，如果f是线性函数，记为f=mx+b，则（8.4）的差商是m, 所以m是这条直线的斜率。图2-8-2表示的是一些各种斜率的直线的例子。对于水平线而言，α=0，因而tanα也是0.如果α位于0与π/2之间, 直线是从左到右上升的，斜率是正的。如果α位于π/2与π之间，直线是从左到右下降的，斜率是负的。对于α=π/4的直线，斜率是1.当α从0增加到π/2时，tanα递增且无界，斜率为tanα相应的直线趋于垂直的位置，因为tanπ/2没有定义，所以我们说垂直的直线没有斜率。

10.从一题多解看导数在函数中的应用 篇十

2014年全国卷（Ⅱ）文科数学：

21题：已知函数，曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为

（Ⅰ）求

（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点。

解法一：（Ⅰ）

曲线在点处的切线方程为

由题设得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

设

由题设知 当时

在上单调递增，而，

在上有唯一实根

当时，令，则

当时，

当时，

在上没有实根

综上可知，在上有唯一实根。

即曲线与直线只有一个交点。

解法二：（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

设

（1） 当，即时，恒成立

在上单调递增，而

图象在上与轴有唯一交点。

（2） 已知，當，即时

令

当时，在上单调递增。

在上与轴有唯一交点。

当时， ;

在上与轴无交点。

综上在上与轴有唯一交点。

即曲线与直线只有一个交点。

解法三：（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）设

（1） 当时，恒成立。即在与轴无交点。

（2） 当时，

恒成立 在上单调递增。

而

在上有唯一实根

综上可知，在上有唯一实根。

即时，曲线与直线有唯一交点。

本题的第Ⅰ问考查的是导数的几何意义，难度较小。

第Ⅱ问考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数求函数在定区间的最值。

方法一：构造函数求导后，根据题意发现时，恒成立。因而结合函数零点存在性定理求出两个函数值得出函数图像在上与轴有唯一交点;当考虑时，把分为和是否有交点的问题。因在时，恒成立。因而只需利用导数求出即可。

方法二：构造函数后，利用导数讨论函数的单调区间，这是导数在解决该类问题的常用方法，当时，因恒成立，因而只需找出一正一负两函数值即可。观察的表达式，易得 ，当考虑时，易得的图象呈现形的走势，因有第一种情况的讨论，从而把定义域划分为与两个区间，从而只需证明，即可。

方法三：解法三是解法一与解法二的结合。难度在于如何想到将进行因式分解。当把进行部分因式分解后，部分可以明显看出恒成立，所以问题就变成了，时与只有一个交点的问题，即用单调性结论函数零点的存在性定理即可证明。

不管何种方法和技巧来解决此题，问题的关键还是利用导数来确定函数的单调区间，以及用导数求函数的最值来证明恒成立问题。

11.利用导数求函数的单调性解读 篇十一

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1．f(x)axax（a0且a1）；

2．f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）； 3．f(x)bx(1x1,b0)． 2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

解：

1．函数定义域为R．

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时，lna0,axax0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是增函数． 当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是减函数． 2．函数的定义域是x1或x2.3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0，3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数；

当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1，则当x131时，f(x)0，3∴函数f(x)在，上是减函数； 13清华园教育网

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当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3．函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数； 若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数．

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是增函数． 说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例

求下列函数的单调区间： 1．f(x)x2x3； 2．f(x)2xx2； 3．f(x)x42b(b0).x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

4解：1．函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0，得1x0或x1．

∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,)； 令f(x)0，得x1或0x1，清华园教育网

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∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）． 2．函数定义域为0x2.f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.令f(x)0，得0x1． ∴函数f(x)的递增区间为（0，1）； 令f(x)0，得1x2，∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb).22xx令f(x)0，得xb或xb．

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,)； 令f(x)0，得bxb且x0，∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)．

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例

已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1).1．设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式；

2．设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

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存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1.∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21.2．(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)． 若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0，即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立． ∴2(2)4x2,x1,4x24.∴2(2)4，解得4．

又函数(x)在（－1，0）上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立，∴2(2)4x,1x0,44x0.∴2(2)4，解得4．

故当4时，(x)在,1上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

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利用导数比较大小

例

已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：ab． 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0，如果

baF(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x)．

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb，设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaa． bbae，∴lna1，且

a1，∴f(b)0.b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数． ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0，∴blnaalnb,ab.证法二：要证ab，只要证blnaalnb(eab)，即证babalnalnblnx1lnx(xe)，则f(x)0，设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数． 又eab,f(a)f(b)，即

lnalnb,abba.ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例

函数ylog1121在区间(0,)上是（）x清华园教育网

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A．增函数，且y0

B．减函数，且y0

C．增函数，且y0

D．减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令u11，且x(0,),u1，x则ylog1u0，排除A、B．

2由复合函数的性质可知，u在(0,)上为减函数．

又ylog1u亦为减函数，故ylog11221排除D，选C． 在(0,)上为增函数，x解法二：利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1（x(0,)），故y在(0,)上是增函数． 由解法一知y0．所以选C．

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

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