复数与推理证明练习题

复数与推理证明练习题（精选6篇）

1.复数与推理证明练习题 篇一

高二文科期中考试综合练习一

1．已知复数z满足z34i，则数z在复平面内对应的点位于()

A．第一象限

2.若集合P

A．Q

3．复数B．第二象限C．第三象限D．第四象限 x|x4，Qx|x24，则（）PB．PQC．PCRQD．QCRP 5的共轭复数是（）34i

34A．34iB．i 5

54．“x2”是“x24x40”的()C．34iD．34i 55

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5.由平面内性质类比出空间几何的下列命题，你认为正确的是（）。

①过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

A．①B．①②C。①②③D．②③

6．设原命题：若a+b≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（）

A．原命题真，逆命题假

C．原命题与逆命题均为真命题

2B．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为假命题 7.复数(aa2)(a1)i(aR)）

A.a0B.a2C.a1且a2D.a

18．已知条件p:x2，条件q:5x6x2，则p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9.下面几种推理是类比推理的是（）

A.两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则 AB180.B.由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质.C.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.D.一切偶数都能被2整除，210．已知数列

有sn1sn100100是偶数，所以2能被2整除.an的各项均为自然数，a11且它的前n项和为sn，若对所有的正整数n，(sn1sn)2成立，通过计算a2,a3,a4然后归纳出sn=（）

(n1)22n1n(n1)2n1A．B．C．D2222

11.实数x、y满足(1i)x(1i)y2，则xy的值是

12.已知全集UR，集合Ax|x22x30，Bx|2x4，那么集合(CUA)B=

13．设z32i，复数z和在复平面内对应点分别为A、B,O为原点，则AOB的面积为

14．若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1,m)，则m

15．已知集合Axxa1，Bxx25x40，若AB，则实数a的取值范围是

16．把正整数按下面的数阵排列，2

3456

78910

111213141

5„„„„„„

则第20行的最后一个数字为

17．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且

18.已知a＞0，设命题p：函数ya在R上单调递增；命题q：不等式ax

对xR恒成立。若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。(0,4)

19.已知函数x22xyilog2x8(1log2y)i，求z． ax1＞0f(x)A,函数g(x)lg[x2(2a1)xa2a]的定义域集合是B.（1）求集合A、B;（2）若AB=B,求实数a的取值范围．

9.已知直线a，b，平面，且b，那么“a//b”是“a//α”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

1、如图所示，U是全集，A,B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（）

A、ABB、ABC、B

2.使不等式x

A2CUAD、ACUB C3x0成立的必要不充分条件是（）B0x30x4 0x2 D

x0，或x

310．在ABC中，若ACBC,ACb,BCa，则

ABC的外接圆半径

r，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体若SA则四面体SABC的SABC中，、SB、SC两两互相垂直，SAa,SBb,SCc，外接球半径R

A

B

已知集合C

D

Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是

_______________

1.给定两个命题 P：对任意实数x都有ax2ax10恒成立；Q：关于x的方程x2xa0有实数根.如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．

已知sin与cos的等差中项是sinx，等比中项是siny.（1）试用综合法证明：2cos2xcos2y；

1tan2x1tan2y(kZ)，试用分析法证明：（2）若x,yk.21tan2x2(1tan2y)

设命题P：关于x的不等式a

2x2ax2a2>1(a>0且a≠1)为{x|-a

如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围

解：简解：P：01/2;P、Q中有且仅有一个为真∴0

19.已知Ax|xa|4，Bx|x2|3.（I）若a1，求AB；

（II）若ABR，求实数a的取值范围

2.复数与推理证明练习题 篇二

一、几何推理与图形证明教学的现有问题

一些初中数学教师目前依旧使用较为传统的讲课模式,即将课本上的重点知识和例题进行详尽地讲解,在这样的教学模式下,学生处于一味地接受状态,在课堂上要对庞大的信息量和知识接受让他们应接不暇,大部分学生做不到真正地理解和消化,更不用说培养起有效的几何推理思维和图形证明能力.这样的教学收效甚微,几何证明与普通的数学证明有着一定的区别,它需要学生不仅仅掌握数学证明的技巧和方法,更要有一定的空间想象能力和几何思维能力.

二、定理和重要概念的引入及教学

定理是几何推理的根本,许多几何推理与图形证明所需的知识都是由定理推广而来,因此教师在几何教学的过程中,首先要注重的就是定理和一些重要概念的引入及教学.在引入方面,由于定理具有高度的概括性,学生死记硬背效果不佳,因此教师要注意引入定理和重要概念的时机和方法.许多几何推理题往往就是对定理的反复运用,只要学生能够熟练地运用定理在做题的过程中就能够游刃有余,例如下题.

例1已知在三角形ABC中,D为BC边上的中点,在AD上任取一点E,连接BE,延长BE交AC与F,BE=AC,求证AF=EF.

证明:如图1,连接EC,取EC的中点G,AE的中点H,分别连接DG,HG.

则:GH=DG.

所以:∠1=∠2,

而∠1=∠4,∠2=∠3=∠5.

所以;∠4=∠5,所以:AF=EF.

乍一看这道题的题目比较复杂,实际上就是对于等腰三角形等边对等角这一基本定理的应用,学生对定理掌握的程度较深时,面对“三角形”、“中点”等条件很容易就会进行联想并作出辅助线DG和HG,通过等腰三角形和平行线段的性质进行角与角之间的转换,最后通过“等角对等边”的性质完成证明.这道题就是典型的对定理掌握程度的考察,对于这种题型要注意对定理的灵活应用.

三、学会“读题”,明确题中条件要素

在进行几何推理和图形证明的过程中,教师需要结合大量的例题进行讲解,这是十分必要的,在讲解之前,教师应当注重培养学生的“读题”能力,阅读题设看起来似乎是一件非常简单的事,其实解题和证明所需的大部分要素都包含在简短的题设之中,在读题的过程中对题设进行拆解,提取出其中重要的要素和隐含条件,才能为之后的证明或解题铺好路.尤其是当学生面对较为复杂的题设,要学会从中抽丝剥茧,理清头绪,一步一步地整理题设中所提及的条件,结合图形将它们以合理的逻辑排列出来,与最终需要解答或证明的问题进行条件匹配.这种读题能力就需要教师在课堂上讲解例题时引导学生慢慢去学习和掌握,这样才能在做题的过程中不会被复杂的题设蒙蔽了双眼,做到心中有数[2].

四、培养学生几何推理思维

1. 三种思维的应用

几何推理和图形证明同样属于数学证明的一种题型,对于这样的题型而言,最重要的就是培养学生的逻辑推理思维,在推理的过程中,通常有以下三种思维方式.第一、正向思维,也就是学生在推理和证明的过程中最常用的一种思维方式,从题设和条件出发,一步步地推出结果.这种方式比较常见,因此学生学习和应用起来也比较轻松.第二、逆向思维,顾名思义就是反向地去推理,也就是从结果入手进行推理,最典型的一种逆向思维证明法就是反证法.逆向的思维方式对于学生而言并不是十分常用,但它往往是解决难题的好帮手,难题的题设往往十分复杂繁多,在许多条件的铺陈下,题设拆解分析能力较弱的学生难免会一时之间找不到头绪,不知从何下手,而逆向思维法能够帮助学生迅速找到题目的切入点与突破口,很快进入到推理之中.第三种就是正向思维与逆向思维的结合,这种方法通常应用于难题的推理证明之中,将两种思维方式的特点相结合,同时也将题目中的条件和结果有机结合,帮助学生迅速找到推理的有效路线.在课堂教学之中,教师应当注重这三种思维的教学,尤其是学生不太常用的逆向思维和正逆结合思维,帮助学生开拓几何推理的思维,在解题的过程中可以做到多种思路的选择[3].

2.“动手”做题,辅助线的应用

在学习几何推理和图形证明的过程中,最常用也是最必不可少的一个方法就是做辅助线.当学生遇到单纯靠拆解题设和思维分析无法解决的时候,应当有动手画图做辅助线的意识,这种意识和能力需要教师在课堂教学之中进行重点培养.然而做辅助线有时候并不是万能的,一条错误的辅助线甚至会将学生的推理思路带入误区,导致推理混乱,因此,教师在教学过程中务必将辅助线的教学作为一个重点.

例2已知:在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C'.AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AD=A'D'.

求证:△ABC≌△A'B'C'.

证明:分别过B,B'点作BE∥AC,B'E'∥A'C'.交AD,A'D'的延长线于E,E'点.

则:△ADC≌△EDB,△A'D'C'≌△E'D'B'.

所以:AC=EB,A'C'=E'B';AD=DE,A'D'=D'E'.

所以:BE=B'E',AE=A'E'

所以:△ABE≌△A'B'E'

所以:∠E=∠E'∠BAD=∠B'A'D'

所以:∠BAC=∠B'A'C'

所以:△ABC≌△A'B'C'

这一题需要证明三角形ABC和三角形A'B'C'全等,现有的条件是其中的两条边相等,还差一个条件,边BC和边B'C'相等或现有两边的夹角相等,经分析,有边AD和边A'D',我们很容易发现实现角的相等更为容易,AD将我们需证的夹角一分为二,因此需分别证明分角与分角相等,等角很容易让人联想起平行线,这就是辅助线的灵感来源,显然,有了辅助线的帮助就多了一个等角的条件,可以进行角之间的转换.这一题就是典型的辅助线的巧妙应用.

总之,几何推理和图形证明是初中数学的教学中至关重要的一个环节,教师在教学过程中应当打好基础,在定理的教学方面下功夫,努力培养学生的“读题”能力和几何思维方式,提高几何图形课堂教学的效率.

参考文献

[1]葛莹.初中数学几何推理与图形证明对策[J].学周刊,2015(14):222.

[2]焦龙.初中数学几何概念和定理教学探析[J].学周刊,2015(20):163.

3.复数与推理证明练习题 篇三

1-1. (改编)若a1,a2∈(0,+∞),则有不等式≥2成立.此不等式能推广吗?请你至少写出两个不同类型的推广.

2. (苏教版选修2-2P62例1)已知数列{an｝的每一项均为正数,a1=1,a2 n+1=a2 n+1(n=1,2,…),试归纳出数列{an｝的一个通项公式.

2-1. (改编)已知数列{an｝满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2),求an的表达式.

3. (苏教版选修2-2P66练习3)先解答(1),再通过类比解答(2).

(1) 已知正三角形的边长为a,求它的内切圆的半径r;

(2) 已知正四面体的棱长为a,求它的内切球的半径r.

3-1. (改编)如图甲,在△ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD•BC.

类似地,如图乙,在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,若A在△BCD内的射影为O,试写出一个关于SΔABC,SΔBCD,SΔBCO的等式,并判断其是否成立.

3-2. (改编)已知问题为:已知等差数列{an｝的通项公式为an=61-2n,问数列{an｝的前多少项和最大?

其解答为:由an=61-2n>0,得n<30.5,即{an}从第1项到第30项均为正数,从第31项始均为负数,故其前30项和最大.

已知等比数列{bn｝的通项公式为bn=65•n-1,类比上述问题和解答,提出一个关于数列{bn｝的问题并给出解答.

4. (苏教版选修2-2P69例2)已知a,b,m均为正实数,且b

4-1. (改编)已知某容器中的a g食盐溶液中含b g纯食盐,在这个容器内再加入m g纯食盐,得到新的食盐溶液,试根据加盐前后的两种食盐溶液所含食盐的浓度,列出一个不等式.

4-2. (改编)>,>,>,>,…,请由此归纳出一个不等式,并说明其是否成立.

4-3. (改编)已知a>0,b>0,函数=(x∈[0,+∞)).

(1) 若为增函数,试比较实数a,b的大小;

(2) 在(1)的条件下,试证明:f(1)f(2)…f(n)>n(n∈N*).

4-4. (改编)设b>a>1,d>0,求证:logab>loga+d(b

+d).

4-5. (改编)已知数列{an｝,{bn｝满足an=n,bn=2n,求证:当n>2,m>0时,不等式<成立.

5. (苏教版选修2-2P84习题2.2第9题)证明:1,,3不可能是一个等差数列中的三项.

5-1. (改编)试否存在实数a,使得三个数1,a,3不可能是一个等差数列中的三项?若存在,试求出一个这样的实数a;若不存在,请说明理由.

5-2. (改编)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,公差d=2.

(1) 求数列{an}的通项an及前n项和Sn;

(2) 设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

6. (苏教版选修2-2P118复习题第5题)已知z1,z2是两个虚数,并且z1+z2与z1z2均为实数,求证:z1,z2是共轭复数.

6-1. (改编)已知z1,z2是两个虚数,求证:“z1+z2与z1z2均为实数”的充要条件是“z1,z2是共轭复数”.

6-2. (改编)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个虚根,求证:两个虚根是共轭复数.

1. <(a,b,m均为正实数且b

说明 其实,从由特殊例子归纳发现更一般规律的角度看,这里还可以有以下几种猜想:<(n∈N*);<(n∈N*,a>0).而且对保证真命题的条件的探索也是一种值得学习的技能.如这里要保证<为真命题,就必须给出a,b,m的制约条件,而这里给出的是a,b,m均为正实数且b

1-1. 推广一:(对数的个数进行推广)若a1,a2,…,an∈(0,+∞),则有不等式≥2

(n∈N*,且n≥2)成立.

推广二:(对数的幂次数进行推广)若a1,a2∈(0,+∞),则有不等式≥n(n∈N*,且n≥2)成立.

推广三:(对两者同时进行推广)若a1,a2,…,an∈(0,+∞),则有不等式≥n(n∈N*,且n≥2)成立.

2-1. a1=1•2•3,①

a1+2a2=2•3•4,②

a1+2a2+3a3=3•4•5,③

a1+2a2+3a3+4a4=4•5•6,④

….

由①,得a1=6,

②-①,得2a2=(4-1)•2•3,即a2=9,

③-②,得3a3=(5-2)•3•4,即a3=12,

④-③,得4a4=(6-3)•4•5,即a4=15.

通过对数列6,9,12,15的观察,可以猜想an=3n+3.用数学归纳法或代入检验法可以证明(过程略).

从上面的归纳过程,还可看出求a2,a3,a4的方法都是用相邻的两式相减,

故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1),

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2),

- ,得nan=3n(n+1),所以an=3n+3.

说明 归纳推理既可以用于对结果的探索,也可以用于对解决过程的探索.因此,“特殊化”作为一种思维策略是非常有用的.

3. (1) 将内切圆圆心与三角形的三个顶点连结,从而三角形被分成三部分.由三部分的面积和等于原三角形的面积,可构造等式(a+b+c)r=absinC,

即可解得r.而本例中a=b=c,C=60°,故r=a.

(2) 类比(1),将内切球球心与正四面体的四个顶点连结,从而正四面体被分成四部分.由四部分的体积和等于原正四面体的体积,可构造等式4•Sr=Sh,所以r=h(h为正四面体的高).又可求得h=a,故r=a.

3-1. S2 △ABC=S△BCO•S△BCD.它成立.

3-2. 问题:问数列{bn}的前多少项积最大?

解答:由bn=65•n-1>1,得n≤7,即{bn｝从第1项到第7项均大于1,从第8项开始均小于1,故其前7项积最大.

4-1. <. 4-2. >,当b>a>0,m>0时成立;或>,当n>0时成立.

4-3. (1)用函数单调性的定义或导数法.

(2)反复运用(1)的结论,可得f(1)>f(0),f(2)>f(0),…,f(n)>f(0),再将这些同向不等式相乘即可.

4-4. logab-loga+d(b+d)=(logab-1)-[loga+d(b+d)-1]=loga-log>log-log=

log•>log •=0,得证.

说明 从本题不等式的形式,可以看出与原题相比,这也是一种类比联想构造法:将除法运算类比到了对数运算.如果将其与反比例函数的图像、对数函数的图像进行对比分析,则在几何意义上的共通性就更为明显了.

4-5. 可以证明当n>4时,2n>n.运用第4-4题中的结论,可得>.而用错位相差法求和,可得=2-.

因为=<1(n>2),所以单调递减,即≤=(n>2),故>2-=.

5. 运用反证法,假设这三个数依次是一个等差数列的第m,n,p项,则由通项公式表示出这三项后,两两作差,消去首项与公差,得到=.左边为有理数,右边为无理数,矛盾.

说明 解本题时,运用的是无理数与有理数不可能相等这一事实.而这样的事实正是命题人构造新问题的出发点,2008年江苏卷第19题第(2)问正是基于这一思维过程而命制出来的.这说明课本中的例题、习题的功能需要开拓.

5-1. 运用第5题的思路,如果这三个数依次是一个等差数列的第m,n,p项,则可得到=.现要使此式不能成立,故只要等式右边为无理数即可,即只要是无理数,即只要a是无理数.所以这样的实数a存在.

5-2. (1) an=2n-1+,Sn=n(n+).

(2) bn==n+.

假设{bn}中存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*且互不相同)成等比数列,则由b2 q=bpbr可得(q2-pr)+(2q-p-r)=0,则2q-p-r=0且q2-pr=0(否则,无理数与有理数相等,矛盾),从而有p=q=r,矛盾.

6. 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d均为实数),由z1+z2与z1z2的虚部为0,可得b+d=0,ad+bc=0,得b=-d,ad-cd=0.又d≠0,所以a=c,所以z1,z2是共轭复数.

6-1. 必要性在第6题中已证.要证充分性,只要设出共轭复数z1,z2的代数形式,并计算出z1+z2与z1z2即可.

6-2. 方法一:用求根公式.

4.14推理证明和复数 篇四

推理证明和复数

一、考纲要求

二、考点考题：

考点1合情推理与演绎推理

题1在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19,nN)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式成立.题2观察下列两式：① tan10tan20tan20tan60tan60tan101 ； ②tan5tan10tan10tan75tan75tan51.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。

题3（在平面几何中，对于RtABC，设ABc,ACb,BCa，则

（1）abc；（2）cosAcosB1；（3）RtABC的外接圆半径为r.2

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论。

xxxx，分别计算f(4)5f(2)g(2)和f(9)5f(3)g(3)的值，,g(x)

并由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明。

题4已知函数f(x)

222

题5在DEF中有余弦定理：DEDFEF2DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式

考点2分析法和综合法考点

题6若a6,.13



1313



·1·

2010届高三第二轮知识点归类

题7若|x|1,|y|1，试用分析法证明：|题8已知：a0,b0，求证：

考点3反证法 xy|1.1xyabab ba

2222题9假设a,b,c,dR,且adbc1，求证：abcdabcd1.题10

考点4复数运算

题11（上海卷3）若复数z满足zi(2z)(i是虚数单位)，则z=．1+i 题12（北京卷9）已知(ai)2i，其中i是虚数单位，那么实数a题13（江苏卷3）

21i表示为abia,bR，则ab=． 1i

5.推理与证明练习 篇五

一、选择题

1．观察下列各式：11，2343，345675，456789107，以得出的一般结论是()

A．n(n1)(n2)

B．n(n1)(n2)

C．n(n1)(n2)

D．n(n1)(n2)(3n2)n2(3n2)(2n1)2 (3n1)n2 2222，可(3n1)(2n1)

22．求证：3725，下述证明过程应用了()

A．综合法 B．综合法、分析法配合使用 C．分析法 D．间接证法 证明过程：因为37和2都是正数，所以为了证明372 只需证明725，展开得102222120,215，只需证明2125.因为2125，所以不等式37

2ab”假设的内容应是()ab3．用反证法证明“如果，那么

A．abB．ab

3333333abababbC． 且D． 或

4．用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的。其假设应是()

A．至少有5个球是同色的 B．至少有5个球不是同色的C． 至多有4个球是同色的 D．至少有4个球不是同色的5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

3按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()

A．6n2 B．8n2 C．6n2 D．8n2

234749,7343,72401，„则72011的末两位数字为()6．观察下列各式

A．01 B．43 C．07 D．49

7.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个

叠放的图形中，小正方体木块总数就是()

A．25 B．66 C．91 D．120

二、解答题

1b1aa0,b0且ab2,求证:,ab中至少有一个小于2.8．已知

9．求证： 5 > 227

10.若a、b、c是不全相等的正数．

求证：lg（a＋b）/2＋lg(b＋c)/2＋lg(c＋a)/2>lga＋lgb＋lgc.11.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则|FP1|、|FP2|、|FP3|之间有什么关系（梯形中位线）。

6.复数与推理证明练习题 篇六

高二文数1-2《推理证明》期末复习题

（二）一、基础巩固

1、若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcca． 证明过程如下：

∵a，b，cR，∴a2b2≥2ab，b2c2≥2bc，c2a2≥2ac，2、立体几何平行、垂直定理：

（1）线面平行的判定定理：a,b,a//ba//

线面平行的性质定理：a//,a,ba//b

（2）面面平行的判定定理：a,b,abP,a//,b////

面面平行的性质定理：//,a,ba//b（3）线面垂直的判定定理：a,b,ab

线面垂直的性质定理：a（4）面面垂直的判定定理：l

又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“”不成立，∴将以上三式相加得

2(abc)2(abbcac)，∴abcabbcca．此证法是（）

P,la,lbl

222

,ba//b

Ａ、分析法

2Ｂ、综合法

Ｃ、分析法与综合法并用Ｄ、反证法

1

,l

证明：要证

1



1，面面垂直的性质定理：,l,a,all

3、反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错

即证7511

1以上证明应用了（）

A、分析法B、综合法，∵3511，∴原不等式成立．

误,从而证明原命题成立,反证法的思维方法：正难则反

归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾（2）与已有公理、定理、定义矛盾（3）自相矛盾

三、典型例题

例

1、

证明：



只需证2

2只需证87510



只需证22即证56505650显然成立



C、分析法与综合法配合使用D、间接证法

3、用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”下列条件假设中正确的是（A.假设a,b,c都是偶数）

B、假设a,b,c都不是偶数

D.假设a,b,c中至多有两个偶数

C.假设a,b,c中至多有一个偶数

4、求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三

角形的”．

二、知识点归纳

1、分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分

条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。

这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等 特点：执果索因，即：要证结果Q，只需证条件P

例

2、(2010执信中学2月考试文科18)

右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD2EC，（1）求证：BE//平面PDA；

（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB

证明：（1）∵EC//PD，PD平面PDA，EC平面PDA

∴EC//平面PDA,同理可得BC//平面PDA

∵EC平面EBC,BC平面EBC且ECBCC∴平面BEC//平面PDA又

∵BE平面EBC∴BE//平面PDA（2）连结AC与BD交于点F, 连结NF，∵四边形ABCD为正方形

∴F为BD的中点， N

∴NF//PD且NF12PD, D

C

又EC//PD且EC

2PD

F

∴NF//EC且NFEC

A

∴四边形NFCE为平行四边形 ∴NE//FC

∵,PD平面ABCD,AC面ABCD∴ACPD，又∴PDBDD,PD,BD平面PBD ∴AC面PBD∴NE面PDB

变式训练2：如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC 1∥平面CDB1.例

3、设a，b，c(0,)，求证：a+

11b,c+a,b+

1c

中，至少有一个不于小2 证明：假设a+

11111b,c+a,b+c都小于2，即a+b2,c+a2,b+1

c2 (a+1b)+(c+1a)+(b+1c

6

a，b，c(0,)，(a+1b)+(c+1a)+(b+1c)(a1a)(b1b)(c1

c)

2226与假设相矛盾

假设不成立，即a+

1b,c+1a,b+1

c

中，至少有一个不于小2。

变式训练3：已知a,b,c均为实数，且ax22y

cz22x

,by22z

，

6求证：a,b,c中至少有一个大于0。

四、课后练习

1、下列说法不正确的是（）

A、综合法是由因导果的顺推证法B、分析法是执果索因的逆推证法 C、综合法与分析法都是直接证法

D、综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2、用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）

A、将结论与条件同时否定，推出矛盾B、肯定条件，否定结论，推出矛盾 C、将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用

D、将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件

3、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为__________．

4、已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc5、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD6、当a≥2时，求证＋1－a

41高二文数1-2《推理证明》期末复习题参考答案

一、基础巩固：

1、B2、A3、B

4∵4240显然成立,∴原不等式成立.5、证明:因为b2c22bc,a0,所以a(b2c2)2abc,因为c2a22ac,b0,所以b(c2a2)2abc.因此, a(b2c2)b(c2a2)4abc

变式训练2：证明：（1）ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面B CC1 B1∴CC1⊥AC

∵三角形ABC三边长 AC=3，BC=4，AB=5，AB2AC2BC2 ∴ACB90，即AC⊥BC

又CC1BCC，CC1，BC平面BCC1B1AC平面BCC1B1ACBC16、证明：要证＋1－a

（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵四边形B CC1 B1是平行四边形∴E是BC1的中点，∵ D是AB的中点，∴DE//AC1，又DE 平面CDB1，AC1平面CDB

4，(1b)c

14，(1c)a

14，DE//AC1 ∴

三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c

变式训练3：证明：假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，164

．①

而abc(x1)2(y1)2(z1)2330，即abc0，与abc0矛盾。a,b,c中至少有一个大于0。

111aa1(1a)a≤(1c)c≤又，同理可得：(1b)b≤，． 

2444

所以(1a)a(1b)b(1c)c≤

164，与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．

四、课后练习：

1、D2、B3、_③①②_