高中数学公式大全抛物线

高中数学公式大全抛物线（精选9篇）

1.高中数学公式大全抛物线 篇一

教学目标

1.抛物线的定义

2.抛物线的四种标准方程形式及其对应焦点和准线

教学重难点

教学重点：1.抛物线的定义和焦点与准线

2.抛物线的四种标准形式，以及p的意义。

教学难点：抛物线的四种图形，标准方程的推导及其焦点坐标和准线方程。

教学过程

一、知识回顾：

二次函数中抛物线的图象特征是什么?(平行于y轴，开口向上或者向下)

如果抛物线不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了，今天我们来突破研究中的限制，从一般意义上来研究抛物线。

二、课堂新授：

(讲解抛物线的作图方法)

定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l ，垂足为K，并使原点与线段

KF的中点重合。

结合表格完成下列例题：

1. 已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程。

2. 已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2),求它的标准方程。

解：1.∵抛物线的方程是 y2=6x,

∴p=3

∴焦点坐标是(，0)，

准线方程是x=-

2.∵焦点在y轴的负半轴上，且，

∴p=4

∴所求的抛物线标准方程是 x2=-8y。

三、随堂练习：

1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：

四、课堂小结：

由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数p，因此只要给出确定的p的一个条件就可以求出抛物线的标准方称。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就可以唯一的确定下来。

五、课后作业：P119习题8.5 2、4

[高中数学抛物线课件]

2.高中数学公式大全抛物线 篇二

鉴于拱的受力复杂, 目前拱桥计算分析多采用有限元软件计算, 而对拱结构的内力解析计算公式较少[2,3,4]。为了对抛物线拱的受力特性有更为清晰的认识, 采用弧线坐标, 运用结构力学的方法, 推导了考虑弹性压缩影响的抛物线变位引起的内力精确计算公式。

1抛物线拱的转角位移方程推导

1.1基本假定

为了便于获得拱结构的变位引起的内力计算公式, 采用了如下的基本假定:

1) 拱结构为线弹性体;

2) 拱结构的拱轴线为抛物线, 拱轴线方程为, 如图1所示。图中跨径为l, 矢高为f。

令ζ=2x/l, 矢跨比D=f/l, a=4D, 则有拱轴曲线方程y=fζ2, 拱轴曲线一阶微分dy=2fζdζ, 拱轴曲线微弧段undefined。

1.2 拱脚变位引起的内力计算

无铰拱的拱脚变位将会对拱产生明显的内力, 一般不容忽视。如图2所示为对称抛物线无铰拱, 设支座A发生水平位移h、竖向位移v和转角位移θ, 其中水平位移以向左为正, 竖向位移以向下为正, 转角位移以顺时针为正。现用弹性中心法[5]计算, 假定截面沿拱轴线不变, 取基本结构如图3, 以刚臂端点的水平力X1、竖向力X2、弯矩X3作为基本未知量。

由结构力学知, 弹性中心距拱顶的距离为[4]

undefined (1)

式 (1) 中undefined

当拱脚发生变位时, 其力法方程为

undefined

(2)

自由项按undefined计算, 有

Δ1c=h+ (f-ys) θ, Δ2c=v-lθ/2, Δ3c=θ (3)

将式 (2) 代入力法方程, 可以求得赘余约束力:

undefined

式 (4) 中, undefined。

主系数计算考虑弯矩和轴力的影响, 则有

undefined

undefined。

undefined。

将主系数式代入式 (3) 解得赘余约束力为

undefined

(5)

式 (5) 中

ε=-768a5/[ (384a4λ2-96a5λ-48a3λ+8a6+

2a4-3a2) γ+ (384a4λ2+48a3λ+3a2+768a4k) β];

η=-32a3/[ (2a2+1+16a2k) γ- (1+16a2k) β];

ξ=-2a/ (γ+β) 。

假设弯矩方向以拱内缘受拉为正, 剪力以绕端部顺时针为正, 拱轴力以受压为正, 则拱轴上任意截面的内力为

Mx=X1 (y-ys) +X2x+X3=εEI[h+ (f-ys) θ]×

(y-ys) /l3+ηEI (v-lθ/2) ζ/2l2+ξEIθ/l (6)

undefined

1.3 抛物线拱的转角位移方程式

当x=-l/2, y=f与x=l/2, y=f时, 由式 (1) —式 (7) 可得抛物线拱在拱脚变位作用下拱脚A端与拱脚B端内力表达式如下。

1.3.1 拱脚固端弯矩表达式

MAB=A1EIθA/l+B1EIθB/l+C1EIΔh/l2+D1EIΔv/l2 (9)

MBA=B1EIθA/l+A1EIθB/l+C1EIΔh/l2-D1EIΔv/l2 (10)

式 (10) 中

undefined

1.3.2 拱脚固端剪力表达式

QAB=A2EIθA/l2+B2EIθB/l2+C2EIΔh/l3+D2EIΔv/l3 (11)

QBA=B2EIθA/l2+A2EIθB/l2-C2EIΔh/l3+D2EIΔv/l3 (12)

式中

undefined

1.3.3 拱脚固端轴力表达式

NAB=A3EIθA/l2+B3EIθB/l2+C3EIΔh/l3+D3EIΔv/l3 (13)

NBA=B3EIθA/l2+A3EIθB/l2+C3EIΔh/l3-D3EIΔv/l3 (14)

式中

undefined

1.4 等截面直杆的杆端内力计算

进一步将f/l→0, 即a→0, 便可得到等截面直杆的杆端弯矩和剪力。弯矩方向仍以梁下部受拉为正, 剪力方向以杆端顺时针为正。

如图4所示, 当θA=1, θB=0, Δh=0, Δv=0, 即A端发生单位转角位移时, 由式 (9) 求极限得A端弯矩:

undefined

同理可由式 (10) —式 (12) 算得

undefined。

如图5所示, 当θA=0, θB=0, Δh=0, Δv=1, 即A端发生单位竖向位移时, 由式 (9) 求极限得A端弯矩:

undefined (16)

同理可由式 (10) —式 (12) 算得

undefined。

因此, 对式 (9) —式 (12) 取极限后获得的转角位移方程为

undefined

(17)

式 (17) 与文献[6]中的等截面超静定杆的转角位移方程一致, 只是变位的正方向规定不一致, 导致方程中的正负号的不同。

2 算例分析

某两端固结的抛物线拱, 其计算跨径为30 m, 矢跨比为1/5, 拱肋的的弹性模量为3.0×107 kN/m2, 其截面面积为0.125 7 m2, 抗弯惯矩为2.67×10-3 m4。该拱的左拱脚发生了0.01 m的水平位移, 0.01 m的竖向位移, 0.1 rad的转角位移, 求该拱的内力。

采用Midas/Civil有限元软件建立了该抛物线拱的有限元计算模型, 整个有限元模型采用24个空间梁单元。将左拱脚释放0.01 m的水平变位, 0.01 m的竖向变位, 0.1 rad的转角变位, 用本文公式计算与Midas/Civil有限元软件计算结果对比分析见表1。

表中Midas剪力和轴力取值按线性内插得到, 可见按照本文公式计算的结果与有限元计算值是一致的。这表明本文推导的计算公式是正确的, 两者最大误差仅为2.27%。

3 结语

以等截面抛物线无铰拱为对象, 采用结构力学方法推导出抛物线无铰拱的拱脚变位引起内力的计算公式, 通过取极限与直杆转角位移方程比较和与Midas计算结果进行对比, 均验证了本文公式的正确性。因此, 本文获得的抛物线拱的拱脚固端转角位移方程为拱桥结构的简化计算奠定了基础, 且为结构设计提供了简便的分析计算方。

摘要：采用结构力学方法, 从弹性中心法出发, 推导出抛物线拱变位引起的内力计算一般公式和抛物线拱的两拱脚转角位移方程。通过极限逼近得到与直梁一致的杆端转角位移方程。还通过算例用有限元软件验证了内力计算公式。

关键词：弹性中心法,抛物线拱,转角位移方程,直梁

参考文献

[1]姚玲森.桥梁工程.北京:人民交通出版社, 1990

[2]胡大林, 陈薇.大矢跨比抛物线拱精确分析.西安公路学院学报, 1994;14 (1) :1—5

[3]张永清, 贾双盈.抛物线斜板拱桥的内力计算.西北建筑工程学院学报, 2001;18 (2) :1—5

[4]李新平, 陈湖.抛物线拱的内力精确计算实用公式, 2010;10 (6) :1453—1457

[5]朱慈勉.结构力学: (上册) .北京:高等教育出版社, 2004

3.略谈高中数学公式的教学策略 篇三

[关键词]公式 问题情境 设探究合作 数学思想方法

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）200012

高中数学的学科特点就是公式、定理、符号和法则多.数学公式教学是否有效对学生的数学思维和数学能力的培养有很大的影响，公式教学也直接影响学生对数学方法的掌握和运用.在进行数学公式教学时，要分析学生的能力和心理特点，根据不同的公式，采用不同的教学方法进行教学，

努力改变高中数学公式教学中学生死记硬背的接受型学习现状.

做到因“式”施教，让学生在学习数学公式的过程中有所思、有所获、有所悟.倡导学生参与课堂教学的各个环节，彼此合作探究，体验数学公式的形成过程，培养学生

的数学学习兴趣，提高学生的学习能力

.在数学公式的教学中，讲究教学策略会达到事半功倍的效果.

下面笔者谈谈高中数学公式教学的几点策略.

一、创设问题情境，产生探究欲望

课堂是以情境引入而开始的，良好的开始是成功的一半.如果教师希望顺利完成教学任务，学生能愉快学习，那么就要在创设情境上下工夫.情境设计是否有效是能否让学生初步产生探究思维趋向的关键.在公式教学中，为了公式探究的需要，教师需要根据公式的内容，设计好问题情境，调动学生进一步探究公式的积极性.适宜的情境设计有利于学生激发求知的欲望，形成良好的情感体验，有利于营造课堂生动活泼的氛围和启迪学生的创造性思维.但有的教师不考虑设计的情境是否适应于本公式的教学，一味地设计无用的情境，效果是适得其反.在情境创设中，不要追求外表的热烈，追求花样，占用过多的课堂时间，减弱其他教学程序.

二、引领探究合作，感知公式雏形

在适宜的情境中，学生会产生强烈的探究意识和急于渴望的求知心态，这时教师就要顺势利用学生的热情，积极引导学生快速进入公式的探究状态，体验公式的形成历程，实现知识的“再创造”.在公式的形成过程中，需要逐步培养学生的探究合作能力，引导学生运用新旧知识创造性地解决遇到的新问题.数学公式是数学中最简单的语言、最完美的符号表达，而公式的源起过

程都存在真实的观察、猜想、探究与证明.公式不仅仅是

文字与符号的堆砌，而且充满人的思维过程.因此，在教学中，教师要把自己置于学生学习活动的组织、引导、合作的地位，为学生搭建自主探究的平台，设计探究问题的情境，促进学生对问题的理解与思考，引导学生自我探究、相互合作、大胆发现，把“教数学”变成学生自主地“学数学”，真正展现公式中蕴含的思维过程.

三、归纳公式推导，感悟数学方法

公式的证明与推导阶段需要教师的引导和启发.分析公式的条件与结论时，可利用已有的知识与经验，探索构造公式的证明与推导.在这个过程中，学生理解了数学公式的逻辑意义，也收获了数学思想方法及证明的策略和技巧.公式的证明过程体现了比较丰富的数学思想和解题方法，学生在公式的推证中可以学习推证的思路，掌握好的方法与技巧.可见，归纳公式推导，感悟数学方法是数学公式教学不可或缺的环节.

教师需要及时挖掘和提炼

公式推导中蕴含的数学思想方法，并努力将数学公式的教学课发展为以知识为明线，以思想为暗线的教学过程.随着数学不同公式教学的探索，反复分析与提炼、归纳概括、反思，学生数学思想方法的获得不再是困难的事情.

四、强化公式变形，巩固公式应用

通过课堂上的合作探究，学生对数学公式已经有了一定的认识.

公式呈现形式是多样的，公式应用是灵活的.

虽然学生掌握了数学公式，但还没有达到灵活运用、举一反三的程度.

在初级的公式直接运用后，教师就要展开实质性训练.如公式的逆用、公式的变形运用，直至最后迁移训练，使学生对数学公式从理解到内化，逐步得到升华.数学知识相互联系，公式与其他知识之间构成的问题较复杂，教师也可以根据教学实际进行适当的引导.学生学会灵活应用公式，在解决问题时便能举一反三、触类旁通.

五、随堂练习检测，产生积极情感

随堂练习检测不是平时的测试或者考试，它突显学生对本课学习内容的掌握情况，具有即时功能.随堂检测的目的一方面是检验学生对本节课的公式学习的落实情况，同时教师也可以根据检测反馈的问题及时发现教学方面的不足；另一方面是通过随堂练习检测使学生产生积极的情感.积极的情感体验是学生在学有所获时表现出的愉悦的心理状态，它可以增强学生学习数学的自信心.同时，也是学生继续学习的动力.

根据最近发展区理论，随堂练习检测的设置不能太高，也不要太低.因此，检测题目的难度要适中，要针对本节公式的内容设计，注重题型的典型性、层次性和目的性.在此环节，教师也起到决定性的作用.教师对要检测的题目数量、难易、形式等精心掌控，及时反馈随堂检测的结果，学生可以相互批改，也可以自批，或者学生回答，但教师要给予当堂评价，指出随堂练习中的问题.

六、课堂反思小结，完善知识内化

反思是数学思维活动的催化剂和动力剂，是数学课堂不可缺少的组成部分，它是学生对数学课堂的回顾、分析、总结、内化的良方.课堂反思小结能帮助学生加深对公式的理解，促进对公式的迁移与提升，从而实现公式纳入学生知识框架中的过程.在数学课堂中，教师要预留反思的时间，培养学生的反思意识，引导学生不断地进行回顾、思考、总结、提炼，达到数学思想和方法的升华，从而最终达到公式知识的内化.

4.高中数学公式 篇四

第一，在理解中记忆。把一个公式的背景理解了，再记公式。比如，等差数列求和公式，你得会自己推导，把它当一个例题来做。就这个公式而言，也可形象地把等差数列看阶梯，象个梯形面积公式。

第二，多背。只有多看多记才行。这是最基本原理，放之四海而皆准。重点就是一个“多”字。

第三，做题中记忆理解公式。千万不要“简单题不用做，难题不会做”，简单题做一做，为了记公式。要准确，不能老是翻书。

5.人教版高中数学公式 2 篇五

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)

注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。诱导公式记忆口诀※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：

sin(2π－α)＝sin(4²π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k²360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。＃

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦＃

还有一种按照函数类型分象限定正负：

函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限正弦...........＋.....＋.....—.....—........余弦...........＋.....—.....—.....＋........正切...........＋.....—.....＋.....—........余切...........＋.....—.....＋.....—........同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系式倒数关系:tanα ²cotα＝1sinα ²cscα＝1cosα ²secα＝1商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα²tanβ)二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)] 半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2

tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)

另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)万能公式万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 万能公式推导附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

tan3α＝[3tanα－tan^3(α)]／[1－3tan^2(α)]

三倍角公式推导附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)cosα ²cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinα ²sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)] 和差化积公式推导附推导：首先,我们知道

－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^3(α)＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))＝4cos^3(α)－3cosα即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 三倍角公式联想记忆★记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。★另外的记忆方法:

正弦三倍角: 山无司令(谐音为 三无四立)三指的是“3倍”sinα, 无指的是减号, 四指的是“4倍”, 立指的是sinα立方余弦三倍角: 司令无山 与上同理 和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]²cos[(α－β)/2]sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]²sin[(α－β)/2]cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]²cos[(α－β)/2]cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]²sin[(α－β)/2] 积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinα ²cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosα ²sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]

sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2同样的,我们还知道

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

6.高中数学必修五《海伦公式探究》 篇六

背景：海伦公式在数学学习中使用非常广泛，它方便了日常数学学习中三角形的面积计算，使我们只需知道任意三角形的三边长度，就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗？本次探究，着手海伦公式的证明方法、推广，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并且合理使用。

过程：海伦公式 证明 三斜求积术 推广 运用 余弦定理

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米得所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

如右图，假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由图下公式求得。

证明Ⅰ：

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变

a2b2c2形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为：cosC

2abS1absinC① 21ab1cos2C② 21(a2b2c2)2③ ab12224ab141414144a2b2(a2b2c2)④

(2aba2b2c2)(2aba2b2c2)⑤ [(ab)2c2][c2(ab)2]⑥

(abc)(abc)(abc)(abb)⑦

abb 2abcabcabc,pb,pc, 则pa222设p上式(abc)(abc)(abc)(abc)

16p(pa)(pb)(pc)

所以，S△ABC

p(pa)(pb)(pc)

证明Ⅱ：我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。

定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜，则三角形面积为：

原文见<数书九章>卷五第二题: 以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之．同乘于上，以小斜幂并大斜幂，减上．余，四约之为实，开平方，得积．

证明：如 图，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2 所以，u2-v2=b2-c2

(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c)a(u-v)=(b+c)(b-c)(u-v)=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a，所以22又 h=b-u，三角形面积=a．h/2

此即：，其中c>b>a.将根号下的多项式分解因式，便成为可见，三斜求积术与古希腊海伦公式是等价的 所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p =

1(a+b+c),则 211S△ABC =aha=ab×sinC = r p 22abc 4R = 2R­­­­2sinAsinBsinC =

=p(pa)(pb)(pc)

p(pa)(pb)(pc)就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记其中，S△ABC =载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、海伦公式的变形

S=p(pa)(pb)(pc)

(abc)(abc)(acb)(bca)

① [(ab)2c2][c2(ab)2] ②(a2b2c22ab)[(a2b2c22ab)] ③ 4a2b2(a2b2c2)④ 2a2b22a2c22b2c2a4b4c4 ⑤ 141 =41 =41 =41 =4 =

证一：根据勾股定理证明。分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC =导出海伦公式。

1aha入手，运用勾股定理推2

证二：根据斯氏定理证明。

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

｛已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积｝

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形(pa)(pb)(pc)(pd)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

代入解得s83

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

二、海伦公式的推广

由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p==(pa)(pb)(pc)(pd)

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。

设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD

abcd,则S

2四边形

SEABfbb2e∴== = aefcdS四边形ABCDd2b2解得： e =b(abcd)b(adbc)① f = ②

d2b2d2b2d2b2由于S四边形ABCD =S△EAB

b2b(d2b2)将①，②跟b =代入公式变形④，得：22db

所以，海伦公式的推广得证。

三、海伦公式的推广的应用

海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。

例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD =求：四边形可能为等腰梯形。解：设BC = x 由海伦公式的推广，得：

7.高中数学公式大全抛物线 篇七

来源：安徽省金寨第一中学 发布时间：2009-07-23 查看次数：424 高中数学《诱导公式》教学案例分析

一、教学设计：

1、教学任务分析：（1）：借助单位圆推导诱导公式，特别是学习对称性与角终边对称性中，发现问题。提出研究方法

（2）能运用诱导公式求三角函数值，进行简单三角函数式的化简与恒等式的证明，并从中体会未知到已知，复杂到简单的转化过程

2、教学重难点：

教学重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，化简与恒等式的证明，提高对数学内部的联系。

教学难点：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数的联系，特别是直角坐标系内关于直 y=x对称的点的性质与的 诱导公式的关系

3、教学基本流程：

4、教学情景设计：

问题 设计意图 师生活动 阅读 P26的“思考”，你能够说说从

圆的对称性可以得到哪些三角函数的性质？ 引导学生建立圆的性质与三角函数诱导公式之间的联系 对称性出发，思考并回答可以研究什么什么性质，老师注意引导学生从圆的对称性出发，思考相应角的关系，再进一步思考相应的三角函数值的关系。2.阅读P26页的“探究”并以问题1为例，说明你的探究结果 讲“思考的问题具体化”进一步明确探究方向 教师引导学生思考终边与角 的终边关于原点对称的角与 的数量关系，然后得出三角函数值之间的关系 3.说明自己的探究结果为什么成立 引导学生利用三角函数的定义进行证明公式 2 教师提出对探究结果证明的要求，并留给学生一定的思考时间，学生利用定义进行证明，教师提醒学生注意使用前面的探究结果 4.用类似的方法，探究终边分别与角 的终边关于x轴，关于y轴对称的角与 的数量关系，他们的三角函数值有什么关系？能否证明？ 让学生加深理解利用单位圆的对称性研究三角函数的性质的思想方法 教师引导学生“并列学习”同样的思路研究诱导公式 3.与4，学生独立思考并自主探究和给出证明 5.概括公式2----4的探究思想方法 及时概括思想方法，提高学习活动中的思想性 引导学生概括出： 6.概括一下公式1--4的特点及其作用 深化对公式的理解 提醒学生注意公式两边角的共同点，学生讨论并概括说明 7.例题1--2 通过公式的应用，较深对公式的理解 学生对公式的初步应用 8.借助单位圆探究终边与角 的终边关于直线 对称的角与 有何数量关系？它们的正弦，余弦之间的关系式？ 根据公式 2--4的探究经验，引导学生独立探究公式5 老师提出问题，学生看到网络上的单位圆，发现角 的终边关于直线 对称的角与 的数量关系，关于直线 对称的两个点的坐标之间的关系进行引导 9.能否用已有的公式得到 的正弦，余弦与 的正弦，余弦之间的关系式？ 引导学生用已学的知识进行证明公式 6 教师引导学生将 转化为 利用公式4.5推导公式6 10例题 加深公式 5.6的理解 学生完成，老师讲解 11.在线测评 看看学生的掌握情况 学生测评，教师给以评价 12.总结这些公式，记忆方法。高中数学《诱导公式》网络教学教师小结：林婉查

作为一名新老师，很荣幸能够让大家来听我的课，通过这课，我学习到如下的东西： 1.要认真的研读新课标，对教学的目标，重难点把握要到位 2.注意板书设计，注重细节的东西，语速需要改正

3.进一步的学习网页制作，让你的网页更加的完善，学生更容易操作

4.尽可能让你的学生自主提出问题，自主的思考，能够化被动学习为主动学习，充分享受学习数学的乐趣

5.上课的生动化，形象化需要加强

高中数学《诱导公式》网络教学教师评语：林婉查

2006年11月22日数学林婉查K-12课题：诱导公式（校际课）

1．评议者：网络辅助教学，起到了很好的效果；教态大方，作为新教师，开设校际课，勇气可嘉！建议：感觉到老师有点紧张，其实可以放开点的，相信效果会更好的！重点不够清晰，有引导数学时，最好值有个侧重点；网络设计上，网页上公开的推导公式为上，留有更大的空间让学生来思考。

2．评议者：网络教学效果良好，给学生自主思考，学习的空间发挥，教学设计得好；建议：课堂讲课声音，语调可以更有节奏感一些，抑扬顿挫应注意课堂例题练习可以多两题。3．评议者：学科网络平台的使用；建议：应重视引导学生将一些唾手可得的有用结论总结出来，并形成自我的经验。

4．评议者：引导学生通过网络进行探究。建议：课件制作在线测评部分，建议不能重复选择，应全部做完后，显示结果，再重复测试；多提问学生。

（1）给学生思考的时间较长，语调相对平缓，总结时，给学生一些激励的语言更好（2）这样子的教学可以提高上课效率，让学生更多的时间思考

（3）网络平台的使用，使得学生的参与度明显提高，存在问题：1.公式对称性的诱导，点与点的对称的诱导，终边的关系的诱导，要进一步的修正；2.公式的概括要注意引导学生怎么用，学习这个诱导公式的作用

（4）给学生答案，这个网页要进一步的修正，答案能否不要一点就出来（5）1.板书设计要进一步的加强，2.语速相对是比较快的3.练习量比较少（6）让学生多探究，课堂会更热闹

（7）注意引入的过程要带有目的，带着问题来教学，学生带着问题来学习（8）教学模式相对简单重复

8.高中数学公式大全抛物线 篇八

[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以

⑴①正棱锥定义：底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心.

[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)

ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形.

②正棱锥的侧面积：

(底面周长为，斜高为

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：

(侧面与底面成的二面角为

附：以知

⊥

为二面角

则

①②③得

注：S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).

以上内容由独家专供，希望这篇关于棱锥定义与公式的高中数学知识点总结能够帮助到大家。

高中数学公式：圆周长计算椭圆面积公式_高中数学公式

【摘要】鉴于大家对十分关注，小编在此为大家整理了此文“高中数学公式：圆周长计算椭圆面积公式”，供大家参考!

本文题目：高中数学公式：圆周长计算椭圆面积公式

圆周长的计算公式：L=2πr (r为半径)

椭圆面积公式

椭圆的面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长).

c1c2clone依据某定理，

定理内容如下

如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。

那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面积为π * a^2 * b/a=πab

c1c2clone在此倡议网友编辑公式的其他推导

因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。 根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法，在图 形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩 形的面积s，显然，s=y*dx 现在求s的定积分，即大图形的面积S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分 步骤：(第一象限全取正，后面不做说明) S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)dx 设 x^2/a^2=sin^2t 则 ∫[0:a]sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率 ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 则S=a*b*(pi/4) 椭圆面积S_c=a*b*pi 可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率

【总结】20xx年为小编在此为您收集了此文章“高中数学公式：圆周长计算椭圆面积公式”，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在学习愉快!

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高中数学函数部分的知识点归类总结

1. 函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2. 复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性,高中英语，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2?a?的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4?a?的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;

5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);

6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );

8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

13. 恒成立问题的处理：(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

高一数学学习：数学学习从学会到会学一

你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担心，看了“高一数学学习：数学学习从学会到会学一”以后你会有很大的收获：

高一数学学习：数学学习从学会到会学一

好多同学数学成绩每每止步于120分左右，找其原因，是因为对数学的学习仅是学会，而没有到达会学，怎样才能让成绩更上一层楼呢?

很多同学在期末考试时取得了较好的成绩，可开家长会时，却听老师告诫这部分同学的的家长说：“要让孩子会学习，而不仅仅学会了就行!”此话乍一听似乎不明其意，然细想要使成绩再上层楼，则必须迈出从“学会”到“会学”这一步。可以四“小步”中加大迈出这一大步的力度。

抓住课堂，配合好教师的教学

应做到课前做好各种准备并利用课前两分钟的预习时间想一想前一节课的内容;上课时专心致志，积极思考，尽量使自己的思路与教师的思路过程合拍，做到耳目并用，手脑结合，提高听课的效率;课后及时复习，使知识再现，形成永久性记忆;最好能将老师所讲的内容与课本作一比较，从中获得更多知识;作业仅限于课堂练习是远远不够的，要利用课外资料拓宽知识领域，补充课内不足，更重要的是促进课内学习。

通过阅读“高一数学学习：数学学习从学会到会学一”这篇文章，小编相信大家对高中数学又有了更进一步的了解，希望大家学习轻松愉快!

如何听数学课

如果你课前做了预习，在预习中，有哪些知识点你不懂或一知半解，你带着这些疑问去听课，将收到较好的效果。在听课中还要针对每个知识点进行比较，你原来理解了多少要点，老师讲了多少个要点，弄清楚哪些要点你没有发现，还有那些知识点你理解不正确，这样你的印象就比较深，记忆时间也较长。

如果你课前未做预习，千万不要被动地接受知识，应该主动地去思考。老师在讲每个知识点时，会设计一些问题让学生思考，你应该紧跟老师的设问去积极考虑，从而主动地发现新的知识点(或定理或公式等)。

听讲例题时，一方面按老师的设问去思考，获得解题途径，另一方面要有自己的见解，能否按自己的想法把题做出来。若能做得出来是极有价值的，就是做不出来，要分析错在哪里，也是有收获的。这对培养发散思维能力大有益处的，使我们的思维能力达到一个较高的层次。

听讲例题时，要从老师的分析过程学会分析问题的方法。要观察老师是如何剖析每个已知条件的，又如何剖析求解的结论的，在已知与结论之间是如何沟通的。思考如果你再遇到这样同类型的问题，你将如何摆布这些已知与结论的关系。

听讲例题时，不仅要通过例题巩固本节课所学知识，也要学会一些解题的技巧与方法，以后再遇到这样同类型的问题，你就有办法来处理。

听完课后，要善于做好课后总结，这个环节很重要。你要罗列出以下几个方面的信息：

①本节课有多少个知识点，每个知识点有什么要点。哪些是你能预习到的，哪些是你在预习中未能发现的;

②本节课的重点在哪里，重要在什么地方;

③难点在哪里，突破难点的关键是什么;

④例题中体现了什么样的解题技巧;

⑤本节课出现了那些新的题型，对应的解法是什么。

高一数学知识点总结之函数定义域 值域

编者按：小编为大家收集了“高一数学知识点总结之函数定义域 值域”，供大家参考，希望对大家有所帮助!

定义域

(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

以上就是为大家提供的“高一数学知识点总结之函数定义域 值域”希望能对考生产生帮助，更多资料请咨询中考频道。

平面向量、平面向量的坐标运算

一、教学内容：平面向量、平面向量的坐标运算

二、本周教学目标：

要求：

1、了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件;

2、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题.

三、本周要点：

1、平面向量的坐标表示：一般地，对于向量 ，当其起点移至原点O时，其终点的坐标(x,y)称为向量

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 .

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.

2、平面向量的坐标运算：

(1)若 ，则

(2)若

(3)若 =( x, y)

(4)若 ，则

(5)若 ，则

若 ，则

运算类型

几何

坐标方法

运算性质

向

量

的

加

法

1、平行四边形法则

2、三角形法则

向

量

的

减

法

三角形法则

向

量

的

乘

法

是一个向量,

满足:

>0时, 与<0时, 与 =0时, =

向

量

的

数

量

积

或 =0

时,

【典型例题

例1、平面内给定三个向量 ，回答下列问题

(1)求满足 的实数m,n;

(2)若 ，求实数k;

(3)若 满足 ，且 ，求

解：(1)由题意得所以 ，得

(2)

(3)

由题意得

得 或

例2、已知 ;(2)当 与解：(1)因为所以

则

(2) ，

因为平行

所以

此时 ，

则 ，即此时向量

例3、已知点 及<6“>,试问:

(1)当 为何值时, 在<9” style=“”>轴上? 在 轴上? 在第三象限?

(2)四边形 若不能,说明理由.

解：(1) ，则若 在 轴上，则 ，所以 ;

若 在 轴上，则 ;

若 在第三象限，则 ，所以

(2)因为若所以 此方程组无解;

故四边形

例4、如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.

解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F( ,0)，则C(则∵ 与 共线

∴

即 (*)

而代入(*)式整理得，y1?y2=-p2

因为

∴ 与 是共线向量，即A、O、C三点共线，

也就是说直线AC经过原点O

解法二：设A(x1,y1)，C( ,y2)，B(x2,y2)

欲证A、O、C共线，只需且仅需 ，即

又∴ 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明.

点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段(直线)平行，三点共线(多点共线)问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了.

例5、已知向量 表示.

(1)证明：对于任意向量 成立;

(2)设 ，求向量 的坐标;

(3)求使 的坐标.

解：(1)设 ，则

，故

∴(2)由已知得 =(0，-1)

(3)设 ，

∴y=p，x=2p-q，即

例6、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足 且

解法一：设

由

于是

先消去 ，由

再消去 所以选取D.

解法二：由平面向量共线定理，

当 时，A、B、C共线.

因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得小结：

1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算.

2、两个向量平行的坐标表示.

3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合.

【模拟

1、若向量 与向量A、x=1,y=3 B、x=3,y=1 C、x=1,y= -5 D、x=5,y= -1

2、点B的坐标为(1,2)， 的坐标为(m,n)，则点A的坐标为( )

A、B、

C、D、

3、已知向量 与 共线，则 等于( )

A、D、1

4、已知 反向，则 等于( )

A、(-4,10) B、(4,-10) C、(-1 , ) D、(1, )

5、向量 =(-4,1) 则 = ( )

A、(-2,0) B、(6,-2) C、(-6,2) D、(-2,2)

6、设向量 ，则“ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、不充分不必要条件

7、平行四边形ABCD的三个顶点为A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4)，则点D的坐标是( )

A、(2,1) B、(2,2) C、(1,2) D、(2,3)

8、与向量 不平行的向量是

A、B、C、=(2,5)， 坐标为 ， 坐标为 ， =(x1,y1)， =(x2,y2)，线段AB的中点为C,则 的坐标为 .

12、已知A(-1,-2)，B(4,8)，C(5,x)，如果A，B，C三点共线，则x的值为 .

13、已知向量

【试题答案

1、B 2、A 3、C 4、B 5、C 6、C 7、B 8、C

9、; ;

12、

9.高中数学函数公式知识点 篇九

(1)高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

(2)一次函数：①若两个变量,间的关系式可以表示成(为常数，不等于0)的形式，则称是的一次函数。②当=0时，称是的正比例函数。

(3)高中函数的一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当0，O，则经2、3、4象限;当0，0时，则经1、2、4象限;当0，0时，则经1、3、4象限;当0，0时，则经1、2、3象限。④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。

(4)高中函数的二次函数：①一般式：()，对称轴是顶点是;②顶点式：()，对称轴是顶点是;③交点式：()，其中()，()是抛物线与x轴的交点

(5)高中函数的二次函数的性质①函数的图象关于直线对称。②时，在对称轴 ()左侧，值随值的增大而减少;在对称轴()右侧;的值随值的增大而增大。当时，取得最小值③时，在对称轴 ()左侧，值随值的增大而增大;在对称轴()右侧;的值随值的增大而减少。当时，取得最大值9 高中函数的图形的对称(1)轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。(2)中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

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