《抽屉原理练习题》

《抽屉原理练习题》（精选12篇）

1.《抽屉原理练习题》 篇一

三年级奥数——抽屉原理教案及练习题

一、本讲知识点和能力目标

1、知识点:逻辑推理

2、知识目标:开拓同学们的视野,理解数学问题并不全都是由数量和数量关系组成,解决问题有时却不用算术和几何知识,而是用推理的知来解答,从而提高同学们解决数学问题的能力和兴趣。

3、能力目标:1.使学生学会使用抽屉原理创造性地解决实际问题。2.培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

二、教学方法:启发式教学方法

三、课外延伸、知识拓展 稍复杂的抽屉问题

四、需要理解和记忆的知识

1、什么是抽屉问题? 由于在西方首先是狄里希莱提出的这个原理,所以,又称为狄里希莱原理。“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子。”这个简单的事实就是著名的鸽笼原理,在我们国家更多地称为抽屉原理。

2、抽屉原理一

将N+1个苹果放入N个抽屉中,则必有一个抽屉中至少有2个苹果;抽屉原理二

将MN+1个苹果放入N个抽屉中,则必有一个抽屉中至少有M+1个个苹果。

第一课时 【经典例题】

例1.A、3个苹果放到2个抽屉里,那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。B、5块手帕分给4个小朋友,那么一定有1个小朋友至少拿了（）块手帕。C、6只鸽子飞进5个鸽笼,那么一定有一个鸽笼至少飞进（）只鸽子。例

2、三个小朋友在一起玩,请说明其中必有两个小朋友是同性别。

例3.三年一班有13名女生,她们的年龄都相同,请说明,至少有两个小朋友在一个相同的月份内出生。【要点】有条理思考,有序推理。【尝试实践1】

1.6只鸽子飞进了5个鸟巢,则总有一个鸟巢中至少有（）只鸽子;2.把三本书放进两个书架,则总有一个书架上至少放着（）本书;3.把7封信投进3个邮筒,则总有一个邮筒投进了不止（）封信。

4.1000只鸽子飞进50个巢,无论怎么飞,我们一定能找到一个含鸽子最多的巢,它里面至少含有（）只鸽子。5.从8个抽屉中拿出17个苹果,无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了（）个苹果。

6.从（）个抽屉中(填最大数)拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了7个苹果。第二课时

例4.任意三个整数中,总有两个整数的差是偶数。

例5.有10个鸽笼,为保证每个鸽笼中最多住1只鸽子(可以不住鸽子),那么鸽子总数最多能有几只?请用抽屉原理加以说明。

例6.某班有37个学生,最大的10岁,最小的8岁,问:是否一定有4个学生,他们是同年同月出生的? 例

7、某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,试问小书架上至少要有多少本书,才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书。答:（）本 【要点】创造性运用抽屉原理。【尝试实践2】

5、在长为100米的笔直马路一侧站有一些人,如果不管怎样站至少有两人的距离不大于10米,问至少要站多少人?

6、有5个队参加的单循环足球赛,已经赛了6场,证明:必有一个队至少赛3场。

7、任意50名外国旅游者中,是否一定能找到8个人,这8个人要么来自同一个国家,要么来自8个不同的国家?

8、某学生用10分钟做完25道数学题目,证明他在某一分钟内至少做完3道选择题。

9、据生物学家统计,人的头发不会超过20万根。某城市的人口有 100多万,问:是否能从该城市中找到5个人,这5个人的头发数目相同?说明理由。第三课时

例

8、正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同。例

10、有红袜2双,白袜3双,黑袜4双,黄袜5双,(每双袜子包装在一起)若取出9双,证明其中必有黑袜或黄袜2双.【要点】推理和计算结合在一起。【尝试实践3】

10.某班有个小书架,20个同学可以任意借阅,试问小书架上至少要有多少本书,才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书。12、2行5列共10个小方格,将每一个小方格涂上红色或蓝色,试证明:无论如何涂法,其中至少有三列,它们的涂色方式是一样的。

13、证明在任意6个人的集会上,或者有3个人以前彼此相识,或者有三个人以前彼此不相识。

同步测试

一、填空

1、某小学有369位1996年出生的学生,那么至少有()个同学的生日是在同一天.2、正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有（）个面颜色相同。

3、有红袜2双,白袜3双,黑袜4双,黄袜5双,(每双袜子包装在一起)若取出9双,证明其中必有（）袜或（）袜.4、某班有49个学生,最大的12岁,最小的9岁,一定有至少（）个学生,他们是同年同月出生的。

5、在1米长的直尺上标出任意5个点,请你说明这5个点钟至少有两个点的距离不小于25厘米。

6、某小学五一班有48名同学,至少有（）个同学在同一月过生日。

7、布袋中有60块大小、形状都相同的木块,每15块涂上相同的颜色,一次至少取出()块,才能保证其中至少有3块颜色相同.8、2行5列共10个小方格,将每一个小方格涂上红色或蓝色,无论如何涂法,其中至少有（）列,它们的涂色方式是一样的。

9、有4个运动员练习投篮,一共投进50个球,一定有一个运动员至少投进（）个球.10、某班有38个同学,老师至少要拿()本书,随意分给大家,才能保证一定有至少一名同学得到两本或两本以上的书。

11、黑、白、黄三种颜色的袜子各有很多只,在黑暗处至少拿出()只袜子袜子就能保证有一双是同一颜色的?

12、某班有49个学生,最大的12岁,最小的9岁,问:至少有（）个学生,他们是同年同月出生的。13有10个鸽笼,为保证每个鸽笼中最多住1只鸽子(可以不住鸽子),那么鸽子总数最多能有（）只。

14、一副扑克牌有四种花色,每种花色有13张,从中任意抽牌,最少要抽（）张牌,才能保证有四张牌是同一花色的。

二、综合应用,论述题。

1、有3个不同的自然数,至少有两个数的和是偶数,为什么? 2、4个连续自然数分别被3除后,必有两个余数相同。为什么?

3、证明:在任意的37人中,至少有四人的属相相同。

4、有一条长50米的小路一旁种51棵树。证明:不管怎样种,至少有两棵树间的距离不少于1米。

5、在一条笔直的马路旁种树,从起点起,每隔一米种一棵树,如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上,那么不管怎样挂,至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数(以米为单位),这是为什么。

2.《抽屉原理练习题》 篇二

例1在坐标平面上任取五个整点(该点的横纵坐标都取整数)，证明:其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点．

分析与解答由中点坐标公式，点(x1,y1)、(x2,y2)连线中点坐标为要使其为整点，只须x1与x2,y1与y2的奇偶性相同．由此我们能将坐标系中所有点分为4类:(奇数、奇数)，(偶数，偶数)，(奇数，偶数)，(偶数，奇数)，得到四个“抽屉”，而依题有5个点，将其抽象为5个物体，放入4个“抽屉”，则必有一个“抽屉”至少有2个物体(点)的横、纵坐标相等，故其中点为整点．

反思与推广:由此题可以看出，运用抽屉原理解题的关键在于进行合理分类构造“抽屉”，这要求我们理解题中所给条件，抓住题中“至少”、“至多”等关键词．同时，此题还可推广为:如果(x1,x2，…，xn)是n维(元)有序数组，且x1,x2，…，xn中的每一个数都是整数，则称(x1,x2，…，xn)是一个n维整点(整点又称格点)．如果对所有的n维整点按每一个xi的奇偶性来分类，由于每一个位置上有奇、偶两种可能性，因此共可分为2×2×…×2=2n个类．这是对n维整点的一种分类方法．当n=3时，23=8，此时可以构造命题:“任意给定空间中九个整点，求证它们之中必有两点存在，使连接这两点的直线段的内部含有整点”．在n=2的情形，也可以构造如下的命题:“平面上任意给定5个整点”，对“它们连线段中点为整点”的4个命题中，为真命题的是:(A)最少可为0个，最多只能是5个，(B)最少可为0个，最多可取10个，(C)最少为1个，最多为5个，(D)最少为1个，最多为10个(正确答案(D)).

例2 17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明:其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目．

证明此题属于组合范畴，故想到运用图论知识，结合分类讨论及抽屉原理解决此题．视17个科学家为17个点，每两个点之间连一条线表示这两个科学家在讨论同一个问题，若讨论第一个问题则在相应两点连红线，若讨论第2个问题则在相应两点连条黄线，若讨论第3个问题则在相应两点连条蓝线．三名科学家研究同一个问题就转化为找到一个三边同颜色的三角形．先考虑科学家A，他要与另外的16位科学家每人通信讨论一个问题，相应于从A出发引出16条线段，将它们染成3种颜色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1条同色，不妨记为AB1,AB2,AB3,AB4,AB5,AB6同红色，若Bi(i=1,2，…，6)之间有红线，则出现红色三角线，命题已成立;否则B1,B2,B3,B4,B5,B6之间的连线只染有黄蓝两色．再考虑从B1引出的5条线，B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B1B6，用两种颜色染色，因为5=2×2+1，故必有3=2+1条线段同色，假设为黄色，并记它们为B1B2,B1B3,B1B4．这时若B2,B3,B4之间有黄线，则有黄色三角形，命题也成立，若B2,B3,B4，之间无黄线，则△B2B3B4，必为蓝色三角形，命题仍然成立．

反思与推广:本题源于一个古典问题———世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识．(美国普特南数学竞赛题)．

提示:将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，(1)将化为一个染色问题，成为一个图论问题:空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色．之后的证明参照例2.

Ramsey定理:可以往两个方向推广:其一是颜色的种数，其二是点的数目．

本例便是方向一的进展，其证明已知上述．如果继续沿此方向前进，可有下题:

在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目．证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目．

回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题．反过来，我们可以继续推广．从以上(3,1)→(6,2)→(17,3)的过程，易发现

同理可得(66-1)×5+2=327,(327-1)×6+2=1958…记为r1=3,r2=6,r3=17,r4=66,r5=327,r6=1958，…

我们可以得到递推关系式:rn=n(rn-1-1)+2,n=2,3,4…这样就可以构造出327点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形．

例3已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点．证明:至少有两个点之间的距离不大于

分析与解答本题看上去像平面几何，但仔细思考会发现本题有浓厚组合色彩，我们称这种题为“组合几何”．题中5个点的分布是任意的，说明我们应构造4个“抽屉”，并且同一个抽屉中的点距离不大于而我们熟知，三角形内(包括边界)任两点距离不大于最长边边长，故我们取三角形边中点并顺次连接，得到4个边长为的等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中(包括边界)，其距离便不大于

以上结论要由定理“三角形内(包括边界)任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证．

反思与推广:(1)这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”．类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”．例如“任取n+1个正数ai，满足0<ai≤1(i=1,2，…，n+1)，试证明:这n+1个数中必存在两个数，其差的绝对值小于．又如“在边长为1的正方形内任意放置五个点，求证:其中必有两点，这两点之间的距离不大于

(2)例3中，如果把条件(包括边界)去掉，则结论可以修改为:至少有两个点之间的距离小于请读者试证之，并比较证明的差别．

(3)用同样的方法可证明以下结论:

ⅰ)在边长为1的等边三角形中有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离不大于的两点．

ⅱ)在边长为1的等边三角形内有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离小于的两点．

(4)将(3)中两个命题中的等边三角形换成正方形，相应的结论中的命题仍然成立．

(5)读者还可以考虑相反的问题:一般地，“至少需要多少个点，才能够使得边长为1的正三角形内(包括边界)有两点其距离不超过

分析与解答抽屉原理不仅能用于组合问题，在某些不等式证明中，也有意想不到的效果．观察不等式，知△ABC为正三角形时取等号，故以角度与60°的大小关系分类．

3.话说抽屉原理 篇三

原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

原理2：把多于m×n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且，许多看起来相当复杂甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快得以解决。

古代中国的抽屉原理

在我国古代文献中，有不少成功运用抽屉原理来分析问题的例子。例如，宋代费衮的《梁谿漫志》，就曾运用抽屉原理来批驳“算命”迷信活动。费衮指出：把一个人出生的年、月、日、时辰（八字）作算命的根据，把“八字”作为“抽屉”，不同的抽屉只有12×360×60＝259200 个（60年，一年按360日计算，一日分12个时辰）。以天下之人为“物品”，进入同一抽屉的人必然千千万万，因而结论是同时出生的人为数众多。但是既然“八字”相同，“又何贵贱贫富之不同也？”清代钱大昕的《潜研堂文集》、阮葵生的《茶余客话》、陈其元的《庸闲斋笔记》中都有类似的文字。然而，令人遗憾的是，我国学者虽然很早就会用抽屉原理来分析具体问题，但是在古代文献中并未发现关于抽屉原理的概括性文字，没有人将它抽象为一条普遍的原理。

4.抽屉原理及其应用 篇四

张 志 修

摘要：抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。运用抽屉原理，制造抽屉是运用原则的一大关键。首先要确定分类对象（即“物体”），再从分类对象中找出分类规则（即“抽屉”）．根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。一般来说，“抽屉”的个数应比“物体”的个数少，最后运用抽屉原理。

关键词：代数 几何 染色 存在性

引言

抽屉原理最早是由德国数学家狄利克雷发现的，因此也叫狄利克雷重叠原则。抽屉原理是一条重要的理论。运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。

抽屉原理的内容

第一抽屉原理：

原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的nkk1，这不可能。

原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m1个或多于m1个的物体。

[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉

至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。

原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。.原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述 第二抽屉原理：

把mn﹣1个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有mn﹣1个物体。

[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

一、应用抽屉原理解决代数问题

抽屉原理在公务员考试中的数字运算部分时有出现。抽屉原理是用最朴素的思想解决组合数学问题，它易于接受，在数学问题中有重要的作用。

1、整除问题常用剩余类作为抽屉。把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用0，„，2，1，m﹣1表示。

例1：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。

证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：

0，1，2

①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中

(即抽屉中分别为含有余数为0，1，2，的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1到5中取3,4,5)，其和34512 必能被3整除。

②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数。

③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除。

2、还有的以集合造抽屉

例2：从1、2、3、4„„、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？

分析与解答：在这12个自然数中，差是7的自然数有以下5对：12,5 11,4 10,3 9,2 8,1。另外，还有2个不能配对的数是6 7。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为12,5 11,4 10,3

9,2 8,1 6 7，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7。

二、应用抽屉原理解决几何问题

利用分割图形的方法构造抽屉

本方法主要用于解决点在几何图形中的位置分布和性质问题,通常我们把一个几何图形分割成几部分,然后把每一部分当做一个“抽屉”,每个抽屉里放入相应的元素。

例3：已知边长1为的等边三角形内有5个点，则至少有两个点

距离不大于1/2。

证明：用两边中点的连线将边长为1的等边三角形分成 四个边长为1/2的等边三角形，若规定边DE、EF、FD上的 点属于三角形DEF，则三角形ABC内的所有点被分为 4个全等的小等边三角形，由抽屉原理，三角形内的任意5个点至少有2个点属于同一小等边三角形，由“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”知这两个点距离不大于1/2。

抽屉原理与中学数学的关系，常用抽屉原理的最值的思路解中学数学题。

例4:用柯西不等式及二元均值不等式证明了如下三角不等式： 在△ABC中，有sin2Asin2Bsin2C.证明：由抽屉原理知sinA,sinB,sinC中必有两个不大于或不小于3294，不妨设sinA33,sinB22或sinA33,sinB22则[sin2A(323)][sin2B()2]0,故 2243sin2Asin2Bsin2Asin2B

34于是

43sin2Asin2Bsin2Csin2Asin2Bsin2C

344cos(AB)cos(AB)23]sin2C =[32413(1cosC)21cos2C 34219(cosC)2 3249 4

三、应用抽屉原理解决染色问题

染色问题是数学中的重要内容之一，也是深受广大师生喜爱的的题目类型之一。染色问题是借用图论的思想心提高解决问题的能力，所涉及的各科数学知识都不是很难，但染色法解数学问题技巧性非常强，而且解题的途径都比较独特，难度往往在于寻求解决问题的关键所在或最佳方法．

平面染色问题为点染色或线染色问题。通常是根据各个物体所存在的状态,将它们的状态看作抽屉原理中的“抽屉”和“元素”,从而来解决问题的。

（1）点染色问题

例5：将平面上每点都任意地染上黑白两色之一。求证:一定存在一个边长为1或3的正三角形,它的三个顶点同色。

证明：在这个平面上作一个边长为1的正三角形。如果A、B、C这三点同色，则结论成立，故不妨设A和B异色。以线段AB为底边,作一个腰长为2的等腰ABD。由于点A和B异色,故无论D为何色,总有一腰的两个端点异色。不妨设点A和D异色。设AD的中点为E,则AE=ED=1。不妨设点A和E为白色,点D为黑色。

以AE为一边,在直线AD两侧各作一个等边三角形:AEF与AEG。若点F和G中有一个是白点,则导致一个边长为1的等边三角形的三个顶点都是白点；否则,边长为3的等边DFG的三个顶点同为黑点。

（2）边染色问题

例6：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？

解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形。因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。

四、应用抽屉原理解决实际问题

在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。

例7：黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的2双筷子（每双筷子两根的颜色应一样），问至少要取材多少根才能保证达到要求？

解：这道题并不是品种单一，不能够容易地找到抽屉和苹果，由于有三种颜色的筷子，而且又混杂在一起，为了确保取出的筷子中有2双不同颜色的筷子，可以分两步进行。第一步先确保取出的筷子中

有1双同色的；第二步再从余下的筷子中取出若干根保证第二双筷子同色。首先，要确保取出的筷子中至少有1双是同色的，我们把黑色、白色、黄色三种颜色看作3个抽屉，把筷子当作苹果，根据抽屉原则，只需取出4根筷子即可。其次，再考虑从余下的20根筷子中取多少根筷子才能确保又有1双同色筷子，我们从最不利的情况出发，假设第一次取出的4根筷子中，有2根黑色，1根白色，1根黄色。这样，余下的20根筷子，有6根黑色的，7根白色的，7根黄色的，因此，只要再取出7根筷子，必有1根是白色或黄色的，能与第一次取出的1根白色筷子或黄色筷子配对，从而保证有2双筷子颜色不同，总之，在最不利的情况下，只要取出4711根筷子，就能保证达到目的。

例8：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

分析与解答：共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n﹣1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n﹣2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、„、n﹣2，还是后一种状态1、2、3、„、n-1，握手次数都只有n﹣1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。

抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。运用抽屉原理，制造抽屉是运用原则的一大关键。首先要确定分类对象（即“物体”），再从分类对象中找出分类规则（即“抽屉”）．根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。一般来说，“抽屉”的个数应比“物体”的个数少，最后运用抽屉原理。解决问题，抽屉原理是一个利器。我们在解题的过程中可以迅速代入，更多要思考怎样用抽屉原理让问题清晰化，简单化。通过学习，使我的逻辑思维能力得到了提高，扩展了我的知识面，掌握了“抽屉原理”的基本内容，懂得把所学知识运用到生活中去，运用“抽屉原理”解决生活中的许许多多以前不明白的现象。

参考文献：

[1] 殷志平、张德勤著《数学解题转化策略举要》

《中学教学教与学》1996.1 第19页 [2] 宿晓阳著《用抽屉原理巧证一个三角不等式》

《中学数学月刊》2010.6 第45页

5.奥数抽屉原理问题 篇五

1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。

4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。

5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。

7、证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。

8。

某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果。

9。

一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。

10。有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。

11。从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1。5倍。

12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？ 13．从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？

14．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

15．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？

16．六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 17．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？

18．学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？

19.在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。

20.任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。

21.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8.22． 班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

23． 在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。

奥数抽屉原理问题

1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。

2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。

3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。

证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。

4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。

证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。

5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

解题关键：利用抽屉原理２。

解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5……5

由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。

6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。

解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）

7、证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。

解析：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。

8。

某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果。

解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。

9。

一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。

解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹

果和梨，奇偶可能性有4种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。

10。有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。

解析：考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只。

11。从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1。5倍。

证明：把前25个自然数分成下面6组：

1； ①

2，3； ②

4，5，6； ③

7，8，9，10； ④

11，12，13，14，15，16； ⑤

17，18，19，20，21，22，23，⑥

因为从前25个自然数中任意取出7个数，所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1。5倍。

12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？

解析：根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。

13．从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？

【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，还有2个不能配对的数是｛6｝｛7｝。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。

14．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

15．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？

分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。

16．六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？

分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。

订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；

订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；

订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。

总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。

17．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？

分析与解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。将这10种搭配作为10个“抽屉”。

81÷10=8……1（个）。

根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。

18．学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？

分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1＋3＋3＝7（种）情况。将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2，要

保证不少于5名同学参加学习班的情况相同，要有学生 7×（5-1）＋1＝29（名）。

19.在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。

分析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。

解：1，4，7，10，……，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。

20.任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。

分析：解这个问题，注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。

解：以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。

21.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8.解：分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4。把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点。显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8。

反思：将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4 的小正方形，从而构造出4个抽屉，是解决本题的关键。我们知道。将正方形分成面积均为1/4 的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形，这4个图形的面积也都是1/4，但这样构造抽屉不能证到结论。可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。

22． 班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果，根据原理1，书的数目要比学生的人数多，即书至少需要50+1=51本.23． 在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。

6.抽屉原理 篇六

抽屉原理有两条：

（1）如果把xk（k＞1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：

①k=[ n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=n/m个物体：当n能被m整除时。

1、某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？

3、7只鸽子飞回3个鸽舍，至少有多少只鸽子飞回同一个鸽舍里？

4、幼儿园里有120个小朋友，各种玩具一共有364件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

5、布袋里有4中不同颜色的球，每种各10个。最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？

6、某班有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？

7、17个小朋友乘6条船游玩，至少要有几个小朋友坐在同一条船上。

9、有16支铅笔放入三个笔盒内，至少有多少个笔在同一个笔盒里？

7.抽屉原理 篇七

严田小学彭性良

《课程标准》指出：数学必须注意从学生的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会数学就在身边，对数学产生浓厚的兴趣和亲近感。也就是创设丰富的学习氛围，激发学生的学习兴趣。通过让学生放苹果的环节，激发学生的学习兴趣，引出本节课学习的内容。通过3个苹果放入2个抽屉的各种情况的猜测，进一步感知抽屉原理。认识抽屉原理不同的表述方式：①至少有一个抽屉的苹果有2个或2个以上；②至少有一个抽屉的苹果不止一个。

充分利用学生的生活经验，对可能出现的结果进行猜测，然后放手让学生自主思考，采用自己的方法进行“证明”，接着再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“假设法”等方法进行比较，教师进一步比较优化，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理。最后出示练习，让学生灵活应用所学知识，解决生活中的实际问题，使学生所学知识得到进一步的拓展。

8.抽屉原理问题 篇八

一、解答题

2、抽屉原理1例1：400人中至少有几个人的生日相同？

【解题关键点】将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.3、抽屉原理1例2：五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？

【答案】至少有3名学生的成绩是相同的。

【解题关键点】关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。

44÷21= 2„„2，根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。

5、抽屉原理2例1：某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

【答案】至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

【解题关键点】将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

【结束】

6、抽屉原理2例2：一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？

【答案】一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。

【解题关键点】将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。

7、抽屉原理2例3：六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？

【答案】至少有15人所订阅的报刊种类是相同的。

【解题关键点】首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。

订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；

订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；

订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。

总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。

8、抽屉原理2例4：篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？

【答案】至少有9个小朋友拿的水果相同。

【解题关键点】首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。将这10种搭配作为10个“抽屉”。

81÷10=8„„1（个）。

根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。

9、抽屉原理：有红、黄、绿三种颜色的手套各6双，装在一个黑色的布袋里，从袋子里任意取出手套来，为确保至少有2双手套不同颜色，则至少要取出的多少手套？（）A．15只

B．13只 C．12只

D．10只

【答案】A 【解题关键点】考虑最坏的情况，若已经取出了一种颜色的全部6双手套和其他两中颜色的手套各一只，再取出一只时，即得到2双不同颜色的手套。所以至少要取出12+2+1=15只。

10、抽屉原理：新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中取两个球，这些球的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分，结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人？（）

A．15

B．16 C．17

D．18 【答案】B 【解题关键点】摸出两个球，两个球的颜色不同的情况有=10种，两个球颜色相同的情况有5种，共有10+5=15种情况，故至少有16人参加取球才能保证总有两个人取的球相同。

11、抽屉原理：某年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生，规定每位同学必须从这10个人中任选两名，那么至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5个同学投了相同两个候选人的票？（）A．256

B．241 C．209 D．181 【答案】D

23C

210C【解题关键点】从10人中选2人，共有=45种不同的选法，这些选法就是抽屉。要保证至少有5个同学投了相同两个候选人的票，由抽屉原理知，至少要有45×4+1=181人投票。

【结束】

12、抽屉原理：现在有64个乒乓球，18个乒乓球盒，每个盒子里最多可以放6个乒乓球，最少要放1个乒乓球，至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同？（）

A．4

B．5

C．8

D．10 【答案】A 【解题关键点】假设第一只盒子装1个乒乓球，第二个盒子装2个乒乓球，第三个盒子装3个乒乓球，第四个盒子装4个乒乓球，第五个盒子装5个乒乓球，第六个盒子装6个乒乓球。由于最多只能装6个乒乓球，所以第七到第十三到第十八也相同。第一到第六个盒子共装了21个乒乓球，第一到第十八个盒子装了21×3=63个乒乓球，此时有三个盒子装的乒乓球数量一样多，所以如果将第64个乒乓球算上，则有四个盒子装的乒乓球数量一样多。

13、抽屉原理：学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么至少多少个学生中一定有两人借了同一种图书？（）

A．4

B．5

C．6

D．7 【答案】D 【解题关键点】从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借两本，共有（史、史）、（文、文）、（科、科）、（史、文）、（史、科）、（文、科）这六种情况，可把它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。由抽屉原理可得，至少有7个学生，才能保证一定有两人借了同一种图书。

14、抽屉原理：某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有多少人植树的株数相同？（）

A．3

B．4

C．5

9.什么叫抽屉原理 篇九

形式一：证明：设把n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于2（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜2，则正因ai是整数，应有ai≤1，于是有：

a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1这与题设矛盾。因此，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中内含两个或两个以上的元素。

形式二：设把n?m＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于m＋1。用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜m＋1，则正因ai是整数，应有ai≤m，于是有：

a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n?m＜n?m＋1

n个m这与题设相矛盾。因此，至少有存在一个ai≥m＋1

高斯函数：对任意的实数x，[x]表示“不大于x的最大整数”。

例如：[3。5]＝3，[2。9]＝2，[－2。5]＝－3，[7]＝7，……一般地，我们有：[x]≤x＜[x]＋1

形式三：证明：设把n个元素分为k个集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示这k个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于[n/k]。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜[n/k]，于是有：

a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k]＝k?[n/k]≤k?(n/k)＝n

k个[n/k]∴a1＋a2＋…＋ak＜n这与题设相矛盾。因此，必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k]

形式四：证明：设把q1＋q2＋…＋qn－n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个i，使得ai大于或等于qi。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜qi，正因ai为整数，应有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1这与题设矛盾。

因此，假设不成立，故必有一个i，在第i个集合中元素个数ai≥qi

形式五：证明：（用反证法）将无穷多个元素分为有限个集合，假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个，则有限个有限数相加，所得的数必是有限数，这就与题设产生矛盾，因此，假设不成立，故必有一个集合内含无穷多个元素。

例题1：400人中至少有两个人的生日相同。分析：生日从1月1日排到12月31日，共有366个不相同的生日，我们把366个不一样的`生日看作366个抽屉，400人视为400个苹果，由表现形式1可知，至少有两人在同一个抽屉里，因此这400人中有两人的生日相同。

解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个苹果，由抽屉原理的表现形式1能够得知：至少有两人的生日相同。

例题2：任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除。

证明：任意给一个整数，它被3除，余数可能为0，1，2，我们把被3除余数为0，1，2的整数各归入类r0，r1，r2。至少有一类包含所给5个数中的至少两个。因此可能出现两种状况：1°。某一类至少包含三个数；2°。某两类各含两个数，第三类包含一个数。

若是第一种状况，就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和必须能被3整除；若是第二种状况，在三类中各取一个数，其和也能被3整除。。综上所述，原命题正确。

例题3：某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同。

证明：按植树的多少，从50到100株能够构造51个抽屉，则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里。

(用反证法)假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有5人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，因此，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：

4(50＋51＋…＋100)＝4×＝15300＜15301得出矛盾。因此，至少有5人植树的株数相同。

练习：1．边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中必须有距离小于0。5的两点。

2．边长为1的等边三角形内，若有n2＋1个点，则至少存在2点距离小于。

3．求证：任意四个整数中，至少有两个整数的差能够被3整除。

4．某校高一某班有50名新生，试说明其中必须有二人的熟人一样多。

5．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有3人得分相同。

“任意367个人中，必有生日相同的人。”

“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”

“从数1，2，。。。，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不一样。”

。。。。。。

大家都会认为上方所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。它的资料能够用形象的语言表述为：

“把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么必须有一个抽屉中放进了至少2个东西。”

在上方的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，。。。，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。

抽屉原理的一种更一般的表述为：

“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么必须有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”

利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”正因任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，因此7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：

“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么必须有一个抽屉中放进了无限多个东西。”

抽屉原理的资料简明朴素，易于理解，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：

“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”

这个问题能够用如下方法简单明了地证出：

在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。思考A点与其余各点间的5条连线AB，AC，。。。，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都贴合问题的结论。

10.抽屉原理教学反思 篇十

抽屉原理是六年级下册数学广角中的内容，这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，使学生理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。

我觉得这节课还是比较成功的。在上这节课时，我先让学生通过游戏、分组动手实验，猜测验证、观察分析等一系列的数学活动，使学生在从具体到抽象的探究过程中建立了数学模型，当在学生发现规律后及时让他们进行练习。但在证明过程中，总有学生对“总是……、至少……”理解不够，我认为应该让学生找准并理解谁是物体、谁是抽屉，对“总是……、至少……”的描述进行有针对性的训练，这样学生学起来就比较容易了。在学生作业时发现少部分学生没有很好的理解“至少有几个会放进同一个盒子里”的意思，没能真下理解“抽屉原理”，只能进行简单的计算来确定结果，不能解释生活中的实际问题。因此，在今后的教学中还要多了解学生，多挖掘学生的潜力，充分调动学生学习的积极性和主动性。

通过这节课的教学使我也认识到：在教学时应放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，只要是合理的，都应给予鼓励。只有这样才有助于培养学生具体情况具体分析的数学思维能力，才能真正构建出高效率的数学课堂。

11.《抽屉原理》教学反思 篇十一

一、“创设情境——从学生熟悉的“放球”游戏开始，让学生初步体验不管怎么放，总有一盒子里至少放两个球，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象，激发了学生的学习兴趣，让学生利用已有的经验初步感知抽象的“抽屉原理”。

二、建立模型——本节课充分放手，让学生自主思考，采用自己的方法“证明”：“把4枝铅笔放入3纸个盒中，不管怎么放，总有一个纸盒里至少放进2枝铅笔”，然后交流展示，为后面开展教与学的活动做了铺垫。此处设计注意了从最简单的数据开始摆放，有利于学生观察、理解，有利于调动所有的学生积极性。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理，当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。在评价学生各种“证明”方法，针对学生的不同方法教师给予针对性的鼓励和指导，让学生在自主探索中体验成功，获得发展。在学生自主探索的基础上，进一步比较优化，让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。在这一环节的教学中抓住了假设法最核心的思路就是用“有余数除法”形式表示出来，使学生学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。特别是对“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。

三、解释应用——是新课程倡导的课堂教学模式，本节课运用这一模式，设计了丰富多彩的数学活动，让学生经历“抽屉原理”的探究过程，从探究具体问题到类推得出一般结论，初步了解“抽屉原理”，再到实际生活中加以应用，找到实际问题和“抽屉原理”之间的联系，灵活地解决实际问题。让学生经历“数学化”的过程，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维能力。抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。本节课的练习设计注重层次，有坡度。第1、2题，学生可以利用例题中的方法迁移类推，加以解释。第3、4题学生需要经历将具体问题“数学化”的过程，有利于培养学生的数学思维能力，让学生在运用新知灵活巧妙地解决实际问题的过程中进一步体验数学的价值，感受数学的魅力，提高数学学习的兴趣。第5题是用理论的数学知识解决生活中的游戏实际问题，从而体会数学的价值。

“抽屉原理”应用很广泛且灵活多变，可以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手，却又是相当有趣的数学问题。但对于小学生来说，理解和掌握“抽屉原理”还存在着一定的难度。所以，本节课根据学生的认知特点和规律，在设计时着眼于开拓学生视野，激发学生兴趣，提高解决问题的能力，通过动手操作、小组活动等方式组织教学。反思我的教学过程，有几下几点可取之处：

1、情境中激发兴趣。

兴趣是最好的老师。课前“抢椅子”的小游戏，简单却能真实的反映“抽屉原理”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。

2、活动中恰当引导。

教师是学生的合作者，引导者。在活动设计中，我着重学生经历知识产生、形成的过程。4根吸管放进3个纸杯的结果早就可想而知，但让学生通过放一放、想一想、议一议的过程，把抽象的说理用具体的实物演示出来，化抽象为具体，发现并描述、理解了最简单的“抽屉原理”。在此基础上，我又主动提问：还有什么有价值的问题研究吗？让学生自主的想到：吸管数比纸杯数多2或其它数会怎么样？来继续开展探究活动，同时，通过活动结合板书引导学生归纳出求至少数的方法。

3、游戏中深化知识。

学了“抽屉原理”有什么用？能解决生活中的什么问题，这就要求在教学中要注重联系学生的生活实际。在试一试环节里，我设计了一组简单、真实的生活情境，让学生用学过的知识来解释这些现象，有效的将学生的自主探究学习延伸到课外，体现了“数学来源于生活，又还原于生活”的理念。

教学永远是一门遗憾的艺术。回顾整节课我觉得在学生体验数学知识的产生过程中，老师处理得还是有点粗，应该让学生加强动手操作，将动手操作与原理紧密结合，只有样才能使学生真正地经历数学知识的产生过程，学生才能真正地学到、理解知识。

学生的数学学习过程是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，数学应强调从学生的生活经验出发，将教学活动置于真实的生活背景之中，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，体会到数学就在身边。这个游戏都是抽屉原理在生活中的运用，使生活问题数学化，数学教学生活化，让学生在数学学习中得到发展！活动化的数学课堂，使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造；使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展，从而达到动智与动情的完美结合，全面提高学生的整体素质。

只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在4个苹果放入3个抽屉学习中，充分利用学具操作，为学生提供主动参与的机会，让学生想一想、圈一圈，把抽象的数学知识同具体的实物结合起来，化难为易，化抽象为具体，让学生体验和感悟数学。这节课我能充分为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间，能让学生自己动脑解决一些实际问题，从而更好的理解抽屉原理。在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中闪亮的火花。

★ 课文《数学广角抽屉原理》教学反思

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12.抽屉原理 篇十二

知识点：

1、把m个物体任意分放进n个空抽屉中(mn,n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了2个物体。

2、把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉中（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了(k1)个物体。

3、（分放物体的总数1)（其中一个抽屉里至少有的物体的个数1)ab(ba)，则a就是所求的抽屉数。练习题：

1、金星小学六年级有30名学生是2月份出生的，所以六年级至少有2名学生的生日是在2月份的同一天，为什么？

2、幼儿园大班有25个小朋友，班里有60件玩具，若把这些玩具全部分给班里的小朋友，会有人得到3件或3件以上的玩具吗？

3、学校图书馆有科普读物，故事书，连环画三种图书。每名学生从中任意借阅2本，那么至少要几名学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的图书以属于同一种类？

4、把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球？

5、布袋里有4种不同颜色的小球若干个，最少取出多少个小球就能保证其中一定有3个小球的颜色相同？

6、有49个学生共同参加体操表演，其中最小的是8岁，最大的11岁，参加体操表演的学生中是否一定有2个学生是同年同月出生的？

7、把280张卡片分给若干名同学，每人都要分到，但都不得超过10张。试说明：至少有6名同学得到卡片数同样多。

8、自制的一副玩具牌，共计52张（含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点、2点，，13点牌各一张），洗好后背面朝上放。一次至少抽取多少张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同？

9、一副扑克牌有4种花色（去掉大、小王），每种花色13张，从中任意抽牌，问：最少要抽多少张牌才能保证一定有4张是同一花色的？

10、现有黑、白、红袜子各5只，它们的规格都一样，混杂在一起，黑暗中想取同颜色的袜．．．．．子两双，问至少取多少只才能达到要求？ ．

11、现有黑、白、红袜子各5只，它们的规格都一样，混杂在一起，黑暗中想取不同颜色的．．．．．袜子两双，问至少取多少只才能达到要求？ ．．

12、纸箱里放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同，在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ ．．．．

.13、某人把一副（黑、白两色的）围棋子混装在一个盒子里，然后每次从盒子中摸出三枚围棋子。他至少要摸多少次，才能保证其中有两次取出的棋子颜色相同的？