数学九下锐角三角函数

数学九下锐角三角函数（精选10篇）

1.数学九下锐角三角函数 篇一

两角和与差的三角函数：

sin（A+B） = sinAcosB+cosAsinB

sin（A-B） = sinAcosB-cosAsinB ?

cos（A+B） = cosAcosB-sinAsinB

cos（A-B） = cosAcosB+sinAsinB

tan（A+B） = （tanA+tanB）/（1-tanAtanB）

tan（A-B） = （tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

cot（A+B） = （cotAcotB-1）/（cotB+cotA）

cot（A-B） = （cotAcotB+1）/（cotB-cotA）

・三角和的三角函数：

sin（α+β+γ）=sinα・cosβ・cosγ+cosα・sinβ・cosγ+cosα・cosβ・sinγ-sinα・sinβ・sinγ

cos（α+β+γ）=cosα・cosβ・cosγ-cosα・sinβ・sinγ-sinα・cosβ・sinγ-sinα・sinβ・cosγ

tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα・tanβ・tanγ）/（1-tanα・tanβ-tanβ・tanγ-tanγ・tanα）

・辅助角公式：

Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中

sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）

cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）

tant=B/A

Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）cos（α-t），tant=A/B

・倍角公式：

sin（2α）=2sinα・cosα=2/（tanα+cotα）

cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）

tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]

・三倍角公式：

sin（3α）=3sinα-4sin^3（α）

cos（3α）=4cos^3（α）-3cosα

・半角公式：

sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）

cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）

tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

・降幂公式

sin^2（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2

cos^2（α）=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2

tan^2（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））

・万能公式：

sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]

cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]

tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

・积化和差公式：

sinα・cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

cosα・sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

cosα・cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

sinα・sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]

・和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

・推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot

2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=（sinα/2+cosα/2）^2

・其他：

sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0 以及

sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2

tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

[关于中考数学锐角三角函数公式的知识点]

2.数学九下锐角三角函数 篇二

近几年, 美国数学教育家杜宾斯基提出一种构建主义学说———APOS理论, 这个理论分四个阶段, 分别是action ( 操作) 、procees ( 过程) 、object ( 对象) 、scheme ( 图式) , 取每个阶段单词的第一个字母, 组成APOS. 这个理论的四个阶段是循序渐进的, 它反映了学生学习数学概念过程中真实的思维过程, 体现了数学知识形成的规律性. 它的最大优点是增加了“活动”环节, 通过亲自操作、探索, 让学生对概念的形成过程有一个充分体验, 知其产生的现实背景和丰富的寓意. 基于APOS理论的指引, 笔者对“锐角三角函数 ( 1) ”这节课的教学作了一些探索, 交流如下:

二、课堂设计

1. 操作阶段———在情境里感知

操作阶段要求学生通过一系列操作活动获取对概念的初步认识, 在教学中不能忽视该阶段对学生概念形成的作用, 要让学生从操作体验中逐步形成对概念本质的理解, 在情境里初步感受概念的内涵. 本节课以一个角为起点, 通过构造直角三角形的方法为正弦三角函数的定义做铺垫.

问题1: 星期六下午, 小红和小强约好爬南山, 两人分别从南山脚下西面和东面出发, 在这个过程中请回答下列问题: ( 1) 小红在上山过程中, 哪些量是常量, 哪些量是变量? ( 坡角、上升高度、所走的路程) ( 2) 小红在斜坡上任意位置时, 上升高度和所走路程的比值是否发生变化? 小强呢?

学生1: 坡角是不变的, 所以是常量, 上升高度和所走的路程是变量.

学生2: 在Rt△ABD中, 根据“在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半”, 可得小红上升高度与所走路程的比是1/2, 这个比值是固定的.

学生3: 在Rt△ADC中, 根据“在等腰直角三角形中, 两直角边与斜边的比是可得小强上升高度与所走路程的比是, 这个比值也固定.

教师: 也就是说, 在直角三角形中无论是30°角, 还是45°角, 它的对边与斜边的比都是确定的, 而且是唯一的.

教师: 如果这个坡角改为50°, 那么上升的高度与所走路程的比值确定吗?

问题2: ( 动手操作) 画∠MAN =50°, 在AM上取一点D, 过点D作DE⊥AN于点E, 用刻度尺量出AD和DE的长度, 并计算DE/AD的值; 再在AM上取一点F, 过点F作FH⊥AN于点H, 用刻度尺量出AF和FH的长度, 并计算FH/AF的值 ( 长度精确到1 mm, 比值保留两位小数) . 然后将这两个比值作比较, 你有什么发现?

学生4: 比值相等.

学生5: 我算出的比值虽不相等, 但很接近.

设计意图: 在APOS理论中达到操作阶段, 已知一个角∠MAN, 通过添辅助线构造Rt△DAE和Rt△FAH, 得出∠A的对边与斜边的比值, 为正弦三角函数的定义做铺垫———必须把锐角放在直角三角形中.

2. 过程阶段———在感知中思考

APOS教学模式要求学生进行丰富的操作体验后, 对操作的对象的特征进行思考, 从而获得一些共同的属性特征, 最终在大脑里构建作为独立完整的概念. 当学生通过作垂线构造了直角三角形, 得出50°这个锐角的对边与斜边的比值都相等以后, 引导学生思考为什么会相等, 然后一起解决疑惑, 从而初步形成概念.

教师: ( 如图2) 刚才我们通过测量得出DE/AD与FH/AF的值相等, 而有些同学得出的比值很接近, 那是因为实验有误差. 通过实验得出的结论不严谨, 能否用我们学过的理论知识来说明呢?

学生5: 可以用三角形相似来证明. 因为Rt△DAE∽Rt△FAH, 所以DE/FH=AD/AF, 所以DE/AD=FH/AF.

教师: 其实同学们还可以把刚才得出的比值和你的同伴比较一下, 你发现什么规律?

学生们窃窃私语, 发现自己得出的比值和别人的比值相等.

教师: 是不是周围同学们的比值都相等或者很接近啊?你们知道原因吗?

学生6: 因为我们画的锐角都是50°, 又有一个角是直角, 所以这些直角三角形也都相似, 根据相似三角形对应边的比值相等就可以得出.

教师: 很好, 哪名同学能用一句话来讲述一下刚才你们的发现?

学生7: 当锐角是50°时, 它的对边与斜边的比值也是确定的.

学生8: 也就是说, 当一个锐角确定时, 以这个锐角为内角构造的直角三角形中, 它的对边与斜边的比值是确定的.如当锐角是30°时, 以30°为内角构造的三角形中, 对边与斜边的比值是1/2; 当锐角是45°时, 它的对边与斜边的比值是当锐角是50°时, 它的对边与斜边的比值约是0. 77. 这些比值只与锐角的大小有关, 而与这个角的边上点的位置无关.

教师: 如果设这个锐角为α, 那么对于α的任何一个度数, 它的对边与斜边的比值都是唯一确定的. 记α的对边与斜边的比值为sinα, 则sinα =∠α的对边/斜边.

设计意图: 从30°, 45°角到任意度数的角, 不断地操作、分析、思考, 使学生的思维得到内化、整合、压缩, 形成过程模式, 抽象出一个正弦三角函数的定义, 对正弦三角函数概念的认识逐渐由感性认识转向理性认识.

3. 对象阶段———在思考时辨析

对象阶段是把概念压缩成为独立对象的阶段, 这个过程需要对之前获得的概念属性作进一步整合、巩固, 经过反复思考、辨析, 把概念作为独立的整体理解, 从而归纳形成正弦三角函数的概念.

教师: ( 下定义) 如图, 在∠MAN中, 在边AM上取一点P, 过点P作PQ⊥AN于点Q, ∠A的对边PQ与斜边AP的比, 记作sinA, 即sinA =PQ/AP, sinA就叫作∠A的正弦, 或正弦三角函数. 如若∠A =30°, 那么sinA = sin30° =1/2, 若∠A =45°, 那么

师生归纳: ①sinA是一个整体, 分开就没有意义, 也不是sin与A相乘;

②sinA不是一个角, 是两条线段长度的比值, 所以没有单位, 这个比值的大小与这个锐角大小有关 ( 要求学生用定义解释) ;

③sinA的取值范围: 0 < sinA < 1 ( 要求学生用定义解释) .

例1 ( 1) 如图4, 在Rt△ABC中, ∠B =90°, AB =3, BC =5, 求sinA和sinC的值;

(2) 在正方形网格中, ∠AOB如图5放置, 求sin∠AOB的值;

(3) 如图6, 在△ABC中, ∠A =30°, AB =10求sinB的值.

分析 ( 1) 直角三角形已存在, 直接利用定义; ( 2) 直角三角形虽然有, 但需要找出来, 培养视图能力; ( 3) 没有直角, 需要学生自己构造.

设计意图: 通过练习, 让学生将三角函数的概念作为已知对象应用到习题中, 也从不同角度加深学生对概念的认识, 促进学生对概念的构建. 如 ( 2) 题把角放在网格中, 要求学生自己找出网格中的直角三角形.

4. 图式阶段——— 在辨析后储存

图式阶段的形成要经过长期的学习来完善, 起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号, 还要经过学习建立起概念与其他概念、图形等的联系, 在头脑中形成对概念的理解的综合框架, 以便于概念的图式储存于学生的大脑中. 如例2就要求学生不但要理解三角函数的概念, 还要与勾股定理、三角形内角和定理等结合综合运用.

例2如图7, ∠ACB =90°, CD⊥AB于点D, 若AC = 5, CD = 3, 求sinB的值.

( 课堂练习、小结及作业略)

分析本题有两种解题思路. 方法一, 因为以∠B为内角的直角三角形有两个, 所以要先选定把∠B放在哪个直角三角形中, 再根据定义求; 方法二, 由概念的外延引申, 只要角度相等, 它的正弦值就相等, 可先求∠ACD的正弦值.

设计意图: 通过例2的训练, 帮助学生明确正弦三角函数概念的本质属性和非本质属性, 揭示蕴含在概念中的知识技能和思想方法, 使概念以一种完整的心理图式储存于学生的大脑中, 并在解决问题时创设与问题相关的图式.

APOS理论是一种数学概念教学论. 通过学习和实践, 笔者深刻体会到学生的主体地位和教师的主导作用. 教师要设计一些有效而又可操作的活动, 让学生真正参与其中, 经历概念的发生、发展的过程, 这样不仅有助于学生理解概念的本质, 深化概念内涵, 拓展概念的外延, 也能使学生对概念留下深刻的印象, 而且能启迪学生的思维. 在实际的教学过程中, 如何教好数学概念, 怎样的概念教学更有效, 这些都值得我们教师在教学实践中认真研究、积极探索和不断反思. 尽管APOS理论为我们提供了数学概念教学的模式, 但需要根据实际情况, 理智、审慎而科学地运用.

摘要：本文借助APOS理论, 通过操作、过程、对象、图式四个阶段, 对锐角三角函数 (1) 的课题展开研究, 从中深刻体会到学生的主体地位和教师的主导作用, 充分体现出新课标的教学理念.APOS理论对初中数学概念教学是一种比较有效的教学依据.

3.“锐角三角函数”数学思想面面观 篇三

一、 一一对应思想

由相似的直角三角形可以知道，它们的边与边的比值随锐角大小的变化而变化，随着锐角大小的确定而惟一确定.同样，借助计算器根据锐角大小可以求得其三角函数值，反过来，借助计算器根据三角函数值可以求得对应的锐角大小.

例1 （2015·陕西）如图1，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为_______.（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）

【解析】由题意，得tanA=≈0.5283，利用计算器求得∠A≈27.8°.即本题正确应该填：27.8°.

【点评】本题考查了用计算器由三角函数值求锐角的度数，解题的关键是掌握由三角函数值求锐角度数的方法.

二、 转化思想

转化思想是初中数学中常用的数学思想，通过转化，可以把未知的关系转化为已知的条件，把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为相对容易的问题.

例2 （2015·桂林）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是_______.

【解析】根据题意得∠BCD=∠CAB，则tan∠BCD=tan∠CAB，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CAB===，所以tan∠BCD=.因此，本题答案为.

【点评】本题既考查了对正切概念的掌握，也考查了灵活应用转化思想将问题中不常见的角转化为熟悉的直角三角形的锐角进行求解.

三、 方程思想

方程思想是一种重要的数学思想，所谓方程思想是指从问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思想方式.

例3 （2015·云南）为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥.建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）.在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度.（参考数据：≈1.41，≈1.73；结果保留整数）

【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，构造Rt△ACD和Rt△BCD这两个直角三角形.设CD=x，分别在这两个三角形内，利用已知角的正切，用x表示出AD、BD的值，然后根据AB=AD+BD，列方程即可求解.

【解答】过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵∠CAB=30°，∴AD=CD.

∵∠CBA=60°，∴DB=CD.

∵AB=AD+DB=30，

∴CD+CD=30，

∴CD=≈×1.73≈13（米）.

答：河的宽度为13米.

【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用、方程思想，解题的关键是构造直角三角形，根据已知条件列方程.

四、 数形结合思想

数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的数学思想方法.

例4 （2015·绵阳）如图4，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（ ）.

A. （11-2）米

B. （11-2）米

C. （11-2）米

D. （11-4）米

【解析】设灯柱BC的长为h米，过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CE⊥DH于点E.

∴四边形BCEH为矩形.

∵∠DCB=120°，∴∠DCE=30°.

又∵∠CDO=∠CBO=90°，

∴∠DOB=60°.

∵在Rt△DCE中，

∴DE=CD·sin30°=1，CE=CD·cos30°=，

∴BH=.

又∵OB=11，∴OH=11-.

在Rt△DOH中，

tan∠DOH===，

解得h=11-4.

因此，本题应该选D.

【点评】解答这类问题的关键是通过作垂线构造直角三角形，这是添加辅助线的常见方式，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题，便于运用三角函数关系和勾股定理来解题.

五、 模型思想

从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立锐角三角函数表示实际问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.

例5 （2015·盐城）如图5所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米.设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米.现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.

（1） 求楼房的高度约为多少米？（取1.73）

（2） 过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.

【解析】第（1）问，利用tanα=可轻松求解；第（2）问需作出α=45°的光线，构造直角三角形模型，从而解决问题.

解：（1） 当α=60°时，在Rt△ABE中，

∵tan60°==，

∴BA=10·tan60°=10≈10×1.73=17.3（米）.

答：楼房的高度约为17.3米.

（2） 小猫仍可以晒到太阳.

理由如下：

假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H.

∵∠BFA=45°，

∴tan45°==1，

∴AF=BA=17.3，即此时的影长为17.3米，

∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1，

∴CH=CF=0.1（米），

∴大楼的影子才到台阶MC这个侧面上，

∴小猫仍晒到太阳.

【点评】本题考查了有关锐角三角函数的应用问题，解题的关键是构造直角三角形模型，寻找直角三角形中合适的边角关系解决问题.

4.数学九下锐角三角函数 篇四

2011中考数学真题解析93锐角三角函数的概念,特殊

角的三角函数值(含答案)

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值

一、选择题

1.（2011江苏连云港，14，3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。专题：网格型。

分析：设小方格的长度为1，过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求出sinA．

解答：解：过C作CD⊥AB，垂足为D，设小方格的长度为1，在Rt△ACD中，AC= =2.∴sinA= =，故答案为 ．

点评：本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理的知识点，此题比较简单，构造一个直角三角形是解答本题的关键．

2.（2011江苏苏州，9，3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）

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A．

B．

C．

D．

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理． 专题：几何图形问题．

分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．

解答：解：连接BD．

∵E、F分別是AB、AD的中点． ∴BD=2EF=4 ∵BC=5，CD=3 ∴△BCD是直角三角形． ∴tanC=

故选B．

点评：本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义，正确证明△BCD是直角三角形是解题关键． 3.（2011江苏镇江常州，6，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（）

A．

B．

C．

D．

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．

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专题：应用题．

分析：在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．

解答：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB= = =3． ∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．

∴sin∠ACD=sin∠B= =，故选A．

点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．

4.（2011山东日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA= ．则下列关系式中不成立的是（）

A．tanA?cotA=1 B．sinA=tanA?cosA

C．cosA=cotA?sinA D．tan2A+cot2A=1 考点：同角三角函数的关系。专题：计算题。

分析：可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答． 解答：解：根据锐角三角函数的定义，得 A、tanA?cotA= =1，关系式成立；

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B、sinA=，tanA?cosA=，关系式成立； C、cosA=，cotA?sinA=，关系式成立；

D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立． 故选D．

点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA= 或sinA=tanA?cosA．（3）正切之间的关系：tanA?tanB=1．

5.（2011陕西，5，3分）在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（）

A．

B．

C．

D．

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理。专题：计算题。

分析：根据三角形余弦表达式即可得出结果． 解答：解：根据三角函数性质 cosB= =，故选C．

点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义及比例关系，比较简单． 6.（2011天津，1，3分）sin45°的值等于（）A.B.C.D.1 考点：特殊角的三角函数值。

分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可． 解答：解：sin45°= ．

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故选B．

点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可． 7.（2011?贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（）

A、2 B、C、D、考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。专题：常规题型。

分析：根据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正切等于对边：邻边列式求解即可． 解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC= = =2，∴tan∠CAD= = =2． 故选A．

点评：本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：邻边是解题的关键．

8.（2011山东烟台，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（）

A.△ABC是直角三角形

B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形

D.△ABC是锐角三角形 考点：特殊角的三角函数值.精心收集

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分析：根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．

解答：解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．

点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确的记忆特殊角的三角函数值是解决问题的关键．

10.（2011四川达州，8，3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）

A、C、B、D、考点：特殊角的三角函数值；实数与数轴。专题：计算题。

分析：先根据数轴上A点的位置确定出其范围，再根据特殊角的三角函数值对四个选项进行分析即可．

解答：解：由数轴上A点的位置可知，＜A＜2．

A、由 sin30°＜x＜sin60°可知，× ＜x＜，即 ＜x＜，故本选项错误；

B、由cos30°＜x＜ cos45°可知，＜x＜ ×，即 ＜x＜，故本选项错误；

C、由 tan30°＜x＜tan45°可知，× ＜x＜1，即 ＜x＜1，故本选项错误；

D、由 cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即 ＜x＜，故本选

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项正确． 故选D．

点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及在数轴的特点，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

9.（2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（）A．

考点：锐角三角函数的定义；旋转的性质．

分析：过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB． 解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．

根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= CD：BD=，∴tanB′=tanB= ． 故选B．

点评：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．（2011甘肃兰州，8，4分）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）

A．（，）B．（，）C．（，）

D．（，）考点：特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

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如需请下载！B．

C．

D．

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分析：先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答． 解答：解：∵sin60°=，cos60°=，∴点M（－，）． ∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（－，－）．故选B．

点评：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值． 11.（2011广东省茂名，8，3分）如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（）

考点：锐角三角函数的增减性。专题：计算题。

分析：根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，直接得出答案即可． 解答：解：∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA，故选：B．

点评：此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确的利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键．

12.（2011?宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，精心收集

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如需请下载！A、sinA=cosA C、sinA＞tanA

B、sinA＞cosA

D、sinA＜cosA

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∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为（）

A、30 cm B、20 cm

C、10 cm

D、5 cm 考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值。专题：计算题。

分析：因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度． 解答：解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知： tan∠BAC=，又AC=30cm，tan∠BAC=，则BC=ACtan∠BAC=30× =10 cm． 故选C．

点评：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活． 13.（2011湖北随州，9，3）cos30°＝（）A、B、C、D、考点：特殊角的三角函数值。专题：计算题。

分析：直接根据cos30°＝ 进行解答即可． 解答：解：因为cos30°＝，所以C正确．

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故选C．

点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

14.（2011?玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A、B、C、D、考点：特殊角的三角函数值。专题：计算题。

分析：先根据题意求得α的值，再求它的余弦值． 解答：解：∠α=90°﹣30°=60°，cosα=cos60°= ． 故选A．

点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【相关链接】特殊角三角函数值：

sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°= ； sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1； sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°= ． 互余角的性质：两角互余其和等于90度．

15.（2011广西防城港

2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A．

B．

C．

D．

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考点：特殊角的三角函数值 专题：解直角三角形

分析：先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝ ． 解答：A 点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题．填空题为主．特殊角三角函数值：sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝ ；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝ ．

16.（2011年广西桂林，6，3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）． A．

B．

C．

D．

考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．

分析：直角三角形中，正弦值是角的对边与斜边的比值；先求出斜边AB的值，然后，即可解答．

答案：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=5； ∴sinA= = ． 故选C．

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点评：本题考查了锐角三角函数值的求法及勾股定理的应用，熟记公式才能正确运用．

17.（2011广西来宾，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A的余弦值是

A.B.C.D.考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。专题：计算题。

分析：先根据勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=邻边÷斜边计算即可．

解答：解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA= = ． 故选C．

18.（2011湖州，4，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）

A．2

B．

C．

D．

考点：锐角三角函数的定义.分析：根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．

解答：解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA= ．故选B．

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点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．

19.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（）A、B、C、D、【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理． 【专题】待定系数法．

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比上斜边，求出即可．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA= ．故选A．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

20．（2011福建莆田，8，4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）A．

B．

C．

D．

考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；锐角三角函数的定义．

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分析：由四边形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF=

=

． 故选C．

点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的性质．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．

21.（2011四川遂宁，8，4分）计算2sin30°﹣sin245°+cot60°的结果是（）A、+3 B、+

C、+

D、1－ +

考点：特殊角的三角函数值。专题：计算题。

分析：分别把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入进行计算即可．

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解答：解：2sin30°﹣sin245°+cot60°=2× －（）2+（）2+ =1﹣ + = + ．故选B．

点评：本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的特殊角的三角函数值是解题的关键．

22.（2011四川雅安，11,3分）已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（）

A.B.C.D.考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义。专题：推理填空题。

分析：作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE）构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．

解答：解：连接AO并延长交圆于E，连CE． ∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）； 在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E= ；

又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），∴sinB= ． 故选D．

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点评：本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．

23.(2011四川雅安11，3分)已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则（）

A

B

C

D

考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义。专题：推理填空题。

分析：作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE）构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．

解答：连接AO并延长交圆于E，连CE． ∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）； 在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E= = ；

又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），∴sinB= ． 故选D．

点评：本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角

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三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．

二、填空题

1.（2011江苏南京，11，2分）如图，以0为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于 ．

考点：特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质。分析：根据作图可以证明△ABC是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．

解答：解：∵OA=OB=AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°= ． 故答案是： ．

点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．

2.（2011江苏镇江常州，11，3分）若∠α的补角为120°，则∠α= 60°，sinα= ．

考点：特殊角的三角函数值；余角和补角． 专题：计算题．

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分析：根据补角的定义，即可求出∠α的度数，从而求出sinα的值． 解答：解：根据补角定义，∠α=180°﹣120°=60°，于是sinα=sin60°= ． 故答案为60°，．

点评：此题考查了特殊角的三角函数值和余角和补角的定义，要熟记特殊角的三角函数值．

3.（2010福建泉州，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB= 5，sinA= ．

考点锐角三角函数的定义；勾股定理

分析先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义即可得到∠A的正弦．

解答解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB= = =5，∴sinA= = ．故答案为：5，．

点评本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．

4.（2011福建厦门，14，4分）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB=

． 考点：锐角三角函数的定义。专题：数形结合。

分析：利用锐角三角函数的定义知：锐角的正弦值= ． 解答：解：∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如图），精心收集

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sinB= = ． 故答案是： ．

点评：本题考查了锐角三角函数的定义．①正弦（sin）等于对边比斜边； ②余弦（cos）等于邻边比斜边； ③正切（tan）等于对边比邻边； ④余切（cot）等于邻边比对边； ⑤正割（sec）等于斜边比邻边； ⑥余割（csc）等于斜边比对边．

5.（2011天水，16，4）计算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°=

．

考点：特殊角的三角函数值；互余两角三角函数的关系。专题：计算题。

分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA?tan（90°﹣A）=1． 解答：解：原式= +1+ =2． 故答案为2．

点评：本题考查了特殊角的三角函数值以及互余两角三角函数的关系，牢记三角函数值是解题的关键．

6.（2011山东日照，13，4分）计算sin30°﹣|﹣2|= ． 考点：特殊角的三角函数值；绝对值。专题：计算题。

分析：本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式= ﹣2= ．

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故答案为： ．

点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

7.（2011重庆江津区，15，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝ ． 考点：锐角三角函数的定义。专题：计算题。

分析：在Rt△ABC中，根据三角函数定义sinA＝ 即可求出． 解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，∴根据三角函数的定义得：sinA＝ ＝，故答案为 ．

点评：此题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．

8.（2011内蒙古呼和浩特，24，8）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，．（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．

考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 专题：综合题．

分析：（1）连接OB、OP，由，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定

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得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°；

（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，根据勾股定理得到AD=2 a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA= ×2 a= a，则OA= a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．

解答：（1）证明：连接OB、OP，如图，∵，且∠D=∠D，∴△BDC∽△PDO，∴∠DBC=∠DPO，∴BC∥OP，∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP 而OB=OC ∴∠OCB=∠CBO ∴∠BOP=∠POA 又∵OB=OA，OP=OP ∴△BOP≌△AOP ∴∠PBO=∠PAO 又∵PA⊥AC ∴∠PBO=90°

∴直线PB是⊙O的切线；（2）由（1）知∠BCO=∠POA，精心收集

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设PB=a，则BD=2a 又∵PA=PB=a ∴AD= a，又∵BC∥OP ∴DC=2CO，∴DC=CA= ×2 a= a，∴OA= a，∴OP=，∴cos∠BCA=cos∠POA= ．

点评：本题考查了圆的切线的性质和判定：圆的切线垂直于过切点的半径；过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了三角形相似和全等的判定与性质以及三角函数的定义．

9.（2011?安顺）如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE= ．

考点：圆周角定理；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义。分析：根据同弧所对的圆周角相等，可证∠ECO=∠OBE．由锐角三角函数可求tan∠ECO=，即tan∠OBE= ． 解答：解：连接EC．

根据圆周角定理∠ECO=∠OBE． 在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，则tan∠ECO= ．故tan∠OBE= ．

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点评：本题重点考查了同弧所对的圆周角相等及解直角三角形的知识． 注意锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．

10.（2011黑龙江大庆，11，3分）计算sin230°+cos230°﹣tan245°= ﹣ ．

考点：特殊角的三角函数值。

分析：把三角函数的数值代入计算即可．

解答：解：原式=（）2+（）2﹣1= + ﹣1，=﹣ ．故答案是：﹣ ． 点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆函数值是解题的关键．

11.（2011?西宁）计算： sin45°= 1 ． 考点：特殊角的三角函数值。专题：计算题。

分析：根据特殊角的三角函数值解答．

解答：解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°=，∴ sin45°= × =1． 故答案为1．

点评：本题主要考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主，比较简单． 12.（2011山东滨州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°则tanA=________.精心收集

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【考点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形．

【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，从而求出角A的正切值．

【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∴tanA=tan45°=1，故答案为1．

【点评】本题涉及到的知识点有：等腰直角三角形、特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值．

13.（2011?莱芜）若a=3﹣tan60°，则 =。

考点：分式的化简求值；分式的基本性质；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法；特殊角的三角函数值。专题：计算题。

分析：求出a的值，把分式进行计算，先算括号里面的减法，把除法转化成乘法，再进行约分即可． 解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣，∴原式= = =

故答案为： ．

点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分、通分，最简分式，最简公分母，分式的加减、乘除运算，特殊角的三角函数值等知识点的精心收集

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理解和掌握，综合运用这些法则进行计算是解此题的关键． 14.（2011山东淄博16，4分）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM= DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为 ．

考点：锐角三角函数的定义。

分析：根据已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行线分线段成比例定理得出，进而得出PH=6，即可得出tan∠NPH的值．

解答：解：∵正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM= DM，HN=2NE，∴MC=1，HN=2，∵DC∥EH，∴，∵HC=3，∴PC=3，∴PH=6，∴tan∠NPH=，故答案为： ．

点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义以及平行线分线段成比例定理等知识，根据已知得出PH的长再利用锐角三角函数的定义求出是解决问题的关键．

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15.（2011黑龙江省哈尔滨,19，3分）已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是

． 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理；正方形的性质。

分析：本题可以利用锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质求解．

解答：解：此题有两种可能：（1）∵BC=2，DP=1，∠C=90°，∴tan∠BPC= =2；（2）∵DP=1，DC=2，∴PC=3，又∵BC=2，∠C=90°，∴tan∠BPC= ． 故答案为：2或 ．

点评：本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及正方形的性质，解题的关键是利用图形考虑此题有两种可能，要依次求解． 16.（2011湖北武汉，13，3分）sin30°的值为 考点：特殊角的三角函数值。

分析：根据特殊角的三角函数值计算即可． 解答：解：sin30°=，故答案为 ．

点评：本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．

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．

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三、解答题

1.（2011新疆建设兵团，20，8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°．（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；

（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．

考点：作图－旋转变换；锐角三角函数的定义．

分析：（1）作出∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂线，即可得出答案．

（2）利用旋转的性质得出AB1＝3，AC1＝4，再利用锐角三角函数的定义即可求出．

解答：解：（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，如图所示即是所求．（2）∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∴AB1＝3，AC1＝4，tan∠AB1C1＝AC1AB1＝43．

点评：此题主要考查了做旋转图形和锐角三角函数的定义，根据已知熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．

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2.（2011浙江金华，17，6分）(本题6分)计算：|－1|－ －（5－π）0+4cos45°.考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；二次根式的混合运算。专题：计算题。

分析：本题涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解】原式=1－ ×2 －1+4× =

点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 3.（2011浙江丽水，17，6分）计算： ．

考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；二次根式的混合运算。专题：计算题。

分析：本题涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：，=，= ．

点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指

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数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

4.（2011浙江衢州，17，6分）（1）计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°； 考点：特殊角的三角函数值；分式的加减法；零指数幂。专题：计算题。

分析：（1）根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果，解答：解：（1）原式=，= ；

点评：本题主要考查了绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值的性质、实数运算法则及同分母分式加减法法则，难度适中．

5.（1）（2011浙江义乌，17（1），3分）计算：20110＋ －2sin45°； 考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；解分式方程。专题：计算题。

分析：（1）根据零指数幂，以及特殊角的三角函数值即可解答本题，（2）观察方程可得最简公分母是：2（x－2），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答． 解答：解：（1）原式＝1＋2 －，＝1＋ ；

（2）2（x＋3）＝3（x－2），解得：x＝12，检验：当x＝12时，x－2＝12－2＝10≠0，∴原方程的根是x＝12．

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点评：本题考查了零指数幂，以及特殊角的三角函数值，以及解分式方程需转化为整式方程，还要注意一定要验根．

6.（2011黑龙江省哈尔滨,21，6分）先化简，再求代数式 的值，其中x=2cos45°﹣3．

考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。专题：探究型。

分析：先把原式进行化简，再把x=2cos45°﹣3代入进行计算即可． 解答：解：原式= =

当x=2cos45°﹣3时，原式= = ．

故答案为： ．

点评：本题考查的是分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则把原式化为 的形式是解答此题的关键． 7.（2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=.计算 的值.考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂.分析：根据特殊角的三角函数值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．

解答：解：∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2 ﹣

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4× ﹣1+1+3=3．

点评：本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．

8.（2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°=

.（2）对于0°

.（3）如图②，已知sinA，其中∠A为锐角，试求sadA的值.考点：解直角三角形

分析：（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；

（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；

（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答． 解答：解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，精心收集

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则三角形为等边三角形，则sad60°= =1．故答案为1．（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．

于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2． 故答案为0＜sadA＜2．

（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ． 在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC= =4k，又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．∴DH=ADsin∠A= k，AH= = k．

则在△CDH中，CH=AC﹣AH= k，CD= = k． 于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k． 由正对的定义可得：sadA= =，即sadα= ．

点评：此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．

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5.《锐角三角函数》说课稿 篇五

元城初中 李先龙

一．知识技能：

1、通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中的两边的比，熟记30°，45°，60°角的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角。

2.理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，锐角三角函数的有关知识来解某些简单的实际问题，从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识。2.过程与方法：

通过本节知识的复习，力图让学生感受数形结合思想，体会数形结合的数学方法。深刻理解用数学方法解决实际问题的重要性和必要性． 3.情感态度价值观：

在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中感受探索与创造，体验成功的喜悦。激发学生兴趣，感受数学之美。

二、教学重点、难点

1.重点：会用锐角三角函数的有关知识来解决某些简单的实际问题 2.难点： 勾股定理及锐角三角形函数的综合运用。

三、说教法学法：

1.师生互动探究式教学，以教学大纲为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合九年级学生的求知欲心理和已有的认知水平开展教学，形成学生自动、生生助动、师生互动，教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教，让每一个学生都能获得知识，能力得到提高。

2.数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，在教学中，我们要学生“知其然”，更要“知其所以然”，在处理教材上，我采用数形结合的方法，把问题用图形表示出来。

3.运用多媒体进行辅助教学，既直观、生动地反映图形变换，增强教学的条理性和形象性，又丰富了课堂的内容，有利于突出重点、分散难点，更好地提高课堂效率。

4.学法：

“授人以鱼，不如授人以渔”。在教学过程中，不但要传授学生基本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自主发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到复习的最终目标。教学中，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和合作交流的形式发现·分析和解决问题，给予学生足够的时间完成知识的构建。

四、教学过程

1.请学生明确一下本节课的复习目标 2.知识点回顾和对应的练习

（一）、锐角三角函数

1、三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则 sinA=()cosA=()tanA=()

2、同角三角函数关系：（利用定义可得）

平方关系：sin2A+cos2A=()商数关系：tanA=()

3、互余的两锐角的三角函数关系： sinA=cos()cosA=sin()tanA tan（90°-A）=（）

概念是解决问题的很重要的手段，应用三角函数时，一定要让学生搞清是哪两条边的比，记住要画出图形，利用数形结合的思想解题 练习一：课件

第一组练习旨在巩固学生对锐角三角函数的概念的理解。独立完成后，在小组交流。练习二：课件出示

第二组练习旨在检查学生对特殊角的三角函数值的掌握情况。在学生独立计算、互相批阅后，由全对的同学再次介绍记特殊角的三角函数值的窍门，然后要求每人对自己掌握的不清晰的三角函数值当场强化记忆。

（三）、在Rt△ABC中，∠C＝90°，边与角有下列关系：

（1）三边的关系：。

（2）两锐角的关系：∠A+∠B=。

（3）边和角之间的关系（两边一锐角）： a= b= c= 练习三：略

第三组是有关解直角三角形的练习，题目设置以一个直角三角形到两个直角三角形为基础，要求做高的只在最后一题中体现。这里体现了非常重要的数学思想----转化的思想。

（四）实际问题中的有关概念：（查书理解）

（1）仰角、俯角（2）坡面、坡度、坡角、坡比。练习四：略

第四组练习是应用解直角三角形的知识解决实际问题。学生间辨析实际问题中专业名词特别是坡角、坡度的含义，正确掌握坡角、坡度的关系。交流解题后的体会：应用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是把实际问题中量间的关系转化为直角三角形的边角关系。

3．测试环节，以四个小题作为检测。4． 本课小结

本章的重点是直角三角形中锐角三角函数的定义，特殊锐角的三角函数值，及互余两角的三角函数关系，运用这些知识解直角三角形的实际应用，既是重点也是难点

5、作业设计

6.锐角三角函数复习课教学反思 篇六

今天按照学校常规课堂教学要求，运用楚都中学“245”教学模式在九（3）班进行了一节锐角三角函数的复习课教学，下面，就我本节课的教学体会作如下总结：

本节课分为四个环节：第一个环节是目标导学，分为三步。首先让学生齐读教学目标（巩固锐角三角函数的概念；熟记300、450、600角的三角函数值；掌握锐角三角函数与直线型、相似、圆等数学知识的综合应用），然后口答锐角三角函数的概念以及用表格呈现的特殊角的三角函数值，最后独立完成练习（第一道题考查概念，第二道题考查特殊角的三角函数值）。其中第二题一学生演板。迅速完成了教学目标的1、2两个内容

第二个环节是合作探究，分为两步。首先学生独立完成（8分钟），然后站立交流5分钟，学生之间互帮互学。同时三名学生演板。

第三个环节是展示点拨。对演板的三位学生的解答进行评讲，更注重点拨。归纳了锐角三角函数常用的方法以及在几何题中学生解题的基本思路。

第四个环节是检测反馈。学生独立完成后在由学生讲解解题思路和方法。反思本节课的成功之处，我觉得有如下几个方面：

1、按照学校常规教学的要求，体现了“245”教学模式

2、板书设计美观，本节课的知识要点及学生的演板设计合理，几何图形美观

3、注重学生解题方法和知识之间联系的点拨

本节课也留下了我深深的思考：对学生知识水平估计偏高。如检测反馈的最后一道题是已讲过的题目，以为学生能够迅速准确的解答，但由于题目本身较难，只有很少的学生在短时间内解出来了。内容容量较大，自己感觉语速较快，有点赶时间。另外，没能面向全体，部分学生对特殊角的三角函数值的记忆还不够熟练。

我深信：每朵花都有花期，今日含泪的孕育只为明日吐露的灿烂芬芳！

7.第7章锐角三角函数 篇七

【名师箴言】

《译林》杂志曾刊载过这样一则笑话:

父:如果你有一个橘子,我再给你两个,那你数数看一共有几个橘子?

子:我不知道,因为在学校里,我们是用苹果数的.

这只是一则笑话而已,在我们的现实生活中应该不会存在. 老师在教学生时,一定是这样教的:1个橘子+2个橘子=3个橘子,1个苹果+2个苹果=3个苹果,1个人+2个人=3个人,1棵树+2棵树=3棵树,…,直至抽象出1+2=3. 数学抽象本就是一种概括,一种建模的过程,即集中地表明了一类事物或现象在数量等方面的共同特性. 据此,1+2=3,也是一个模式、模型的存在. 从这个意义上看,我们的每堂数学课可能都是在建立数学模型.

数学模型一般地说,是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系,采用形式化的数学符号和语言,概括地或近似地表述出来的数学结构,一般可分为三类:概念型数学模型、方法型数学模型和结构型数学模型.

8.“锐角三角函数”测试卷 篇八

1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（ ）.

A. B. C. D.

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值是（ ）.

A. B. C. D.

3. 在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）.

A. 都扩大两倍 B. 都缩小到 C. 不变 D. 都扩大四倍

4. △ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（ ）.

A. c·sinA=a B. b·cosB=c C. a·tanA=b D. c·tanB=b

5. 计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ）.

A. 4 B. 4 C. 5 D. 5

6. 在△ABC中，若sinA-+（cosB-）2=0，则∠C的度数是（ ）.

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

7. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为（ ）.

A. 12米 B. 4米 C. 5米 D. 6米

8. 如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（ ）.

A. 4 km B. （2+） km

C. 2 km D. （4-） km

二、 填空题

9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是________.（只需填上正确结论的序号）

10. 若α为锐角，且sin30°=cosα，则α的度数为________.

11. △ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长_______.

12. 如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D.若AC=7，AB=4，则tanC的值为_______.

13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，则b=_______.

14. sin47°、cos55°与tan52°的大小关系为______________.

15. 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为_______.

16. 如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD=_______________米.（结果可保留根号）

17. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为_______.

18. 如图，AB是⊙O的直径，=，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=_______.

三、 解答题

19. 计算：6tan230°-sin60°-2sin45°.

20. 如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1=∠2，求tan∠OCA的值.

21. 在Rt△ABC中，∠C=90°.根据下列条件解直角三角形.

（1） ∠A=30°、b=6；（2） a=、b=.

22. 如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE.

（1） 求证：DE是⊙O的切线；

（2） 连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值.

23. 如图，已知△ABC.按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.

（1） 求证：△ABC≌△ADC；

（2） 若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长.

24. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.

（1） 求∠BPQ的度数；

（2） 求该电线杆PQ的高度.（结果精确到1 m，备用数据：≈1.7，=1.4）

25. 如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度，她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1∶1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟到达C处，此时，测得A点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分钟，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上.求出娱乐场地所在山坡AE的长度.（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）

9.数学九下锐角三角函数 篇九

1.通过实例使学生进一步认识直角三角形。2.通过实例使学生认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）3.经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再用于实践的过程。二．学情分析

1.学生在学习直角三角形，勾股定理和函数以后，学习锐角三角函数的知识，可以说是水到渠成。

2.根据学生的学习情况，适当点拨，讲解，多关注潜能生。三．教学重点：

1.进一步认识直角三角形，掌握直角三角形的三边关系（勾股定理），三角关系。2.认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）。教学难点：

1.在直角三角形内，一个固定锐角的相关的边的比值是一个定值。2.直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA、cosA、tanA、）。

教学方法： 问题讨论，师生互动。四．教学过程： 活动一：（课件展示）进一步认识直角三角形： 如图所示Rt△ABC中，探讨以下关系： 1.三边关系：（）

2.三角关系： 3.如何用∠A来表示Rt△ABC的三边？

4.边角关系： 活动二：由上面问题3 引入新课。

直角三角形中，如果一个锐角固定，那么边和角之间存在什么样的关系呢？ 这就是我们这一节课所要探究的内容。活动三：（课件出示）先独立完成下列问题，15分钟后不能独立完成的问题交由小组讨论，然后由同学们展示你（们）所完成的问题。1在Rt△ABC中，如果一个锐角固定，那么这个角的对边和邻边的比值是。2.思考:一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？

可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．

3.对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值怎么样呢？你能验证这个过程吗？

4.通过上面的验证，我们建立了直角三角形边和角之间的关系，为了表示这种关系引入了锐角三角函数的概念，你会说出每个三角函数所表示的意义吗？你会读它们吗？

5.根据三角函数的定义，完成下列各题： A．如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°．

∠P的对边是____________，∠P的邻边是__________； ∠M的对边是____________，∠M的邻边是_________．

B.求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值．

C.设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值：

（1）a＝3，b＝4；（2）a＝5，c＝13．

学生预习讨论，教师随机辅导，引导学生进行讨论。

活动

四、学生展示，教师适时引导启发学生在展示过程中出现的问题。活动

五、小结反思

1.师生共同总结本节所学知识：

A.通过探究，建立起了直角三角形中边和角的联系，即锐角三角函数。

B.进一步认识了直角三角形中的关系，并且会用它们解决一些简单的问题。2.书面作业：

兰西县崇文实验学校

王革

10.锐角三角函数说课稿 篇十

初三十班

赵景花

各位评委老师，大家好。今天我说课的课题是人教版九年级数学下册28章《锐角三角函数复习课》。对于本节课，我将从教材内容、学情、教学目标、教学方法和学法、教学准备、教学环节、作业、板书设计等几个方面加以说明。

一、教材内容分析

本节教材是人教版初中数学新教材九年级下第28章内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础。因此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。本节重点是对锐角三角函数知识中考考点进行全面的分析，掌握。这些知识点是学生必须掌握，能够拿到的分数的部分，保证每个学生不失分。

二、学情分析

九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。心理上九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。

三、教学目标

根据教学内容和学情确定本节课的教学目标：

1.知识与技能：理解锐角三角函数的定义，并熟记特殊角的锐角三角函数值进行计算；能用锐角三角函数知识解直角三角函数，解决实际问题。并体会锐角三角函数简化综合题运算过程的意义。

2.过程与方法： 经历锐角三角函数知识的复习总结过程，归类中考考点，培养学生观察分析探究问题和自学能力。

3、情感态度价值观：通过复习，归纳，总结，体会数学的合理性和严谨性及各知识之间的

联系。使学生养成积极思考，总结，综合知识点的好习惯。

四、教学方法和学法分析

1教法：学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的学情情况，本节课采用启发式、探究式教学法。倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和合作交流的形式发现、分析和解决问题，给学生充分展示自我空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。

2学法：本节课的学习方法采用自学探究、互助合作、讨论交流方法。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究的，也有小组合作交流的，目的让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。

五、教学准备：制作课件，几何画板

六、教学过程：

教学过程分为：

一、知识点复习；

二、考点分类，加之例题分析，以练习，讲解，总结环节进行；

三、总结学习经验。考点一：锐角三角函数定义

考点二：特殊角的锐角三角函数进行计算 考点三：锐角三角函数之间的联系与转化 考点四：解直角三角形的应用

考点五：锐角三角函数在综合运算中的简化功能