数学公式和定理

数学公式和定理（共10篇）

1.数学公式和定理 篇一

问题是数学的心脏, 有了问题, 思维才有方向。在课堂教学中, 教师要适时设计一些具有层次性、针对性的问题, 让问题贯穿整个教学活动中, 进而促进学生积极思维.例如, 教学“三角形的中位线定理”时, 可以设计如下问题:

问题1:你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗?

学生想出了这样的方法:顺次连接三角形每两边的中点, 看上去就得到了四个全等的三角形.

问题2:你有办法验证吗?

生1: (如右图) 沿DE、DF、EF将画在纸上的△ABC剪开, 看所得三角形能否重合.

生2:分别测量四个三角形的三边长度, 判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等.

生3:分别测量四个三角形对应的边及角, 判断是否可利用“SAS、ASA或AAS”来判定全等.

问题3:以上验证方法存在误差, 如何利用推理论证的方法验证呢?

值得注意的是:在实际教学中, 设计的问题必须具备启发性、探索性和开放性, 既要让学生能通过探索和学习达到基本要求, 又要注意问题的层次性.

二、以探究实现合作

新课标指出:“有效的数学学习不能单纯依赖模仿和记忆, 动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”因此, 在课堂教学中, 应以学生的自主探究、合作交流为主线, 鼓励学生积极主动地进行探究式学习.

例如, 教学“三角形的中位线定理”时, 可以引导学生进行以下证明.

已知:如右图, DE是ABC的中位线, 求证:DE//BC且

学生独立思考后教师启发:要证明两条直线平行, 可以利用“三线八角”的有关内容进行转化, 而要证明一条线段的长度等于另一条线段长度的一半, 则可采用将较短的线段延长一倍, 或者截取较长线段的一半的方法.

生1:如图, 延长DE到F使EF=DE, 连接CF.由△ADE≌△CFE (SAS) 得四边形DBCF为平行四边形, 得

生2:过点C作CF//AB交DE的延长线于点F.

生3:将ADE绕E点沿顺 (逆) 时针方向旋转180°, 使得点A与点C重合.

三、以创新见证奇迹

新教材中的有些探究活动具有很大的开放性, 有利于发挥学生的个性, 能充分体现探究创新性学习的特点.教师不能设定一个具体的“目标”让学生达到, 要允许学生走弯路, 走错路, 进而开放学生的探索思路.

例如, “三角形的中位线定理”学生创新证明如下:

生5:如图, 过点D作DF//BC交AC于点F, 则△ADF∽△ABC, 可得因此AE=AF, 即E点与F点重合, 所以

四、以拓展实现高效

数学中的很多内容都是密切联系、息息相关的, 只要教师在设计教学的过程中“瞻前顾后”, 就可以使得教学走向高效.

例如, 教学“三角形的中位线定理”, 就可以进行这样的拓展训练.

问题:任意一个四边形, 将其四边的中点依次连接起来, 所得新四边形有什么特征?证明你的结论. (学生积极思考发言, 师生共同完成题目.)

拓展:如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形、矩形、菱形、正方形”, 结论会怎么样呢?

2.和差角公式及三大定理的统一性 篇二

托勒密定理：若ABCD是一个圆O的内接凸四边形，则AB·CD+BC·DA= AC·BD；也就是说，圆的内接凸四边形对边乘积之和等于对角线之积。

一、用托勒密定理推导和差角公式

1.推导两角和的正弦公式

如图1：设∠CAD=α，∠BAC=β，圆O的直径AC=d，则AB=dcosβ，CD= dsinα，BC=dsinβ，DA=dcosα，BD= dsin（α+β）。

由托勒密定理得：dcosβ·dsinα+ dsinβ·dcosα= d2sin（α+β），即sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ。

2.推导两角差的正弦公式

如图2：设∠BAD=α，∠CAD=β，圆O的直径AD=d，则AB=dcosα，CD=dsinβ，BC=dsin（α-β），AC=dcosβ，BD=sinα。

由托勒密定理得：dcosα·dsinβ+ dsin（α-β）·d= dcosβ·dsinα，即sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ。

3.推导两角和的余弦公式

如图3：设∠CAD=α，∠ADB=β，圆O的直径AD=d，则AB=dsinβ，CD= dsinα，BC= dcos（α+β），AC=dcosα，BD= dcosβ。

由托勒密定理得：dsinβ·dsinα+ dcos（α+β）·d= dcosα·dcosβ

即cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。

4.推导两角差的余弦公式

如图4：∠ACD=α，∠BAC=β，圆O的直径AC=d，则AB= dcosβ，CD= dcosα，BC= dsinβ，DA= dsinα，BD=d cos（α-β）。

由托勒密定理得：dcosβ·dcosα+ dsinβ·dsinα=d2 cos（α-β）

即cos（α-β）=cosβcosα+sinβsinα。

二、用托勒密定理推导三角形边角关系的三大定理

1.推导正弦定理

如图5：设BC=a，AC=b，AB=c，△ABC的三个内角分别为A，B，C，圆O的直径BD=d，则AD=cotC，CD= acotA，AC=b=dsinB。

由托勒密定理得：c·acotA+a·ccotC =dsinB·d

即 ，

同理 ， 。

故 。

2.推导余弦定理

如图6：设CD∥AB，BC=a，AC= b，AB=c，△ABC的三个内角分别为A，B，C，CE⊥AB，DF⊥AB，则BD=AC=b，AD=BC=a，AE=BF=bcosA，于是CD=EF=AB-（AE+BE）=c-2bcosA。

由托勒密定理得：b·b+c·（c-2bcosA）=a·a，即a2=b2+c2-2bccosA，

同理可得：b2=a2+c2-2accosB，c2= a2+b2-2abcosC。

3.推导射影定理

如图7：设BC=a，AC=b，AB=c，△ABC的三个内角分别为A，B，C，圆O的直径BD=d，则AD=dcosC，CD= dcosA。

由托勒密定理得：c·dcosA+a·dcosC = b·d，即b=ccosA+acosC，

同理可得：a=bcosC+ccosB，c=acosB +bcosA。

【参考文献】

[1] 人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心.《普通高中课程标准实验教科书数学》，人民教育出版社，2007.

3.高中的数学公式定理大集中 篇三

三角函数公式表

同角三角函数的基本关系式

倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α

（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）

诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα

sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式 万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβ

tanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α2＝2sinαcosα

cosα＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α

三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式

sinα＋sinβ＝2sin—α＋β—·cos—α－β—2 2

sinα－sinβ＝2cos—α＋β—·sin—α－β —2 2

cosα＋cosβ＝2cos—α＋β—·cos—α－β — 2 2

cosα－cosβ＝－2sin—α＋β—·sin—α－β—2 2 1

sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]2

cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]2

cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]2

sinα ·sinβ＝—-[cos（α＋β）－cos（α－β）]2

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式 对数的性质和运算法则loga（MN）＝logaM+logaNlogaMn＝nlogaM（n∈R）指数函数 对数函数

（1）y＝ax（a＞0，a≠1）叫指数函数（2）x∈R，y＞0图象经过（0，1）

a＞1时，x＞0，y＞1；x＜0，0＜y＜10＜a＜1时，x＞0，0＜y＜1；x＜0，y＞1a＞ 1时，y＝ax是增函数0＜a＜1时，y＝ax是减函数（1）y＝logax（a＞0，a≠1）叫对数函数（2）x＞0，y∈R图象经过（1，0）

a＞1时，x＞1，y＞0；0＜x＜1，y＜00＜a＜1时，x＞1，y＜0；0＜x＜1，y＞0a＞1时，y＝logax是增函数

0＜a＜1时，y＝logax是减函数指数方程和对数方程基本型

logaf(x)＝b f（x）＝ab（a＞0，a≠1）同底型

logaf（x）＝logag（x）f（x）＝g（x）＞0（a＞0，a≠1）

换元型 f（ax）＝0或f(logax)＝0 数列

数列的基本概念 等差数列

（1）数列的通项公式an＝f（n）（2）数列的递推公式

（3）数列的通项公式与前n项和的关系an+1－an＝d

an＝a1+（n－1）d

a，A，b成等差 2A＝a+bm+n＝k+l am+an＝ak+al等比数列 常用求和公式an＝a1qn＿1

a，G，b成等比 G2＝abm+n＝k+l aman＝akal2.圆锥曲线圆 椭圆

标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆心为(a，b)，半径为R

一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0其中圆心为(),半径r

(1)用圆心到直线的距离d和圆的半径r判断或用判别式判断直线与圆的位置关系(2)两圆的位置关系用圆心距d与半径和与差判断 椭圆

焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(b2＝a2－c2)离心率准线方程

焦半径|MF1|＝a＋ex0，|MF2|＝a－ex0双曲线 抛物线双曲线

焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(a，b＞0，b2＝c2－a2)离心率

准线方程 焦半径|MF1|＝ex0＋a，|MF2|＝ex0－a 抛物线y2＝2px(p>0)焦点F准线方程坐标轴的平移这里(h，k)是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。

集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2．集合表示方法①列举法 ②描述法 ③韦恩图 ④数轴法 3．集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4．集合的性质 ⑴n元集合的子集数：2n

真子集数：2n-1；非空真子集数：2n-2 高中数学概念总 1.两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

4.数学公式和定理 篇四

河南省淮阳一高高一B段数学组 张明选

棱柱、棱锥、棱台的表面积

设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即

.设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即

.设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即

.柱、锥、台的体积公式

柱体体积公式为：，（为底面积，为高）

锥体体积公式为：，（为底面积，为高）

台体体积公式为：

（球的体积和表面积

球的体积公式，分别为上、下底面面积，为高）

球的表面积公式

其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径

有关.公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2 经过两条相交的直线有且只有一个平面.推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.空间两条直线的位置关系有且只有三种：

共面直线：相交直线（在同一平面内，有且只有一个公共点）；平行直线（在同一平面内，没有公共点）；异面直线：不同在任何一个平面内且没有公共点.空间中直线与平面位置关系有且只有三种： 直线在平面内——有无数个公共点

直线与平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面平行——没有公共点

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.两个平面的位置关系只有两种： 两个平面平行——没有公共点 两个平面相交——有一条公共直线 异面直线所成的角

已知两条异面直线，经过空间任一点

作直线

∥，∥，把

与

所成的锐角(或直角)叫做异面直线两条直线互相垂直，记作

所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这.异面直线的判定定理

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.两个平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.推论：一个平面内两条相交的直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行

.两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.两个平面平行，还有如下推论：

⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面； ⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；

⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交.直线和平面垂直的概念

如果直线与平面.叫做垂线，内的任意一条直线都垂直，就说

直线与平面叫垂面，它们的交点

叫垂足.互相垂直，记做

直线和平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.直线与平面所成的角

如图，直线斜足；，和平面

相交但不垂直，在平面

叫做平面的斜线，和平面的交点

叫

叫做斜线上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影

所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是°角.两个平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.在二面角于棱的射线的棱上任取一点，则射线

和，以点

为垂足，在半平面

和

内分别作垂直

构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角

.判断两平面垂直的方法：判定定理；求出二面角的平面角为直角.三垂线定理：

平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.如图：在平面

内的直线若垂直于直线，则就一定垂直于平面的斜线

.直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行.平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.两个平面垂直的性质还有：

⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线，必在这个平面内；

5.余弦定理公式的含义及其证明 篇五

少三(2)宋伊辰

在做参考书的时候，我有时会遇到“已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第三边长度”的情况。与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢？ 我向爸爸提出了我的疑问。“可以用余弦定理求啊。”他回答道。

“余弦定理是什么？”怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

如左图所示，在△ABC中，余弦定理可表示为：

同理，也可描述为：

那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢？我又对此展开了探究。法一（代数证明）： 如右图所示，△ABC，在c上做高，将c边写作：

将等式两边同乘以c得到：

同理，① ②

①+②得： 法二（运用相交弦定理证明）：

如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c以B 为圆心，以长边AB为半径做圆（这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内）。

延长BC，交⊙B于点D和E

∴DC=a-b，CE=a+b，AC=c ∵AG=2acosα ∴CG=2acosα-c。

∵DC×CE=AC×CG

∴(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化简得：b2a2c22ac(cosα)，法三（平面几何）：

在△ABC中，已知AC=b，BC=a，∠C=γ，求c。过点A作AD⊥BC于D，∴AD=AC·sinγ=b·sinγ，CD=AC·cosγ=b·cosγ ∴BD=BC-CD=a-b·cosγ 在Rt△ABD中，∠ADB=90°

∴AB2AD2BD2（b·sinγ)2+（a-b·cosγ)

2﹦ab2abcosγ

法四(解析几何)：

以点C为原点O，AC为x轴，建立如右图所示的平面直角坐标系。

在△ABC中，AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)． |AB|2(acosCb)2(asinC0)2

222 acos2C2abcosCbasin2C

22A B D C

ab2abcosC 即cab2abcosC

经过一番思考和尝试，我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。那么，这个公式在实际的题目当中有什么应用呢？ 网上的资料给了我答案。

余弦定理可应用于以下两种需求：

1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。余弦定理还可以变换成以下形式： 22222b2c2a2 abc2bccosA

cosA2bc22c2a2b2 bca2accosB

cosB2ca22a2b2c2 cab2abcosC

6.数学概念课和定理课教学模式探讨 篇六

(一) 基本程序知识链接

提出课题→创设情境, 感受概念→自主学习, 理解概念→例题示范, 应用概念→知识链接, 提出课题→创设情境, 感受概念→自主学习, 理解概念→例题示范, 应用概念→变式训课题概念练, 强化概念→自主归纳, 升华概念→自我诊断, 落实概念强化概念→自主归纳, 升华概念→自我诊断。

(二) 环节阐述

1. 知识链接:

提出课题知识链接, 数学概念的引入, 通常应以复习或预习相关知识做好铺垫, 并结合学习实际提出问题引入课题。根据新、旧知识的内在联系, 精要复习已有知识, 抓住数学研究中出现的新问题、新矛盾巧妙设置问题, 激发学生迫切要求进一步学习的热情, 以吸引学生高度注意。

2. 创设情境:

感受概念创设情境, 数学概念的形成, 要从实际出发创设情境, 使学生初步感受概念。教师应设计好一系列的问题或为学生准备好生成概念的具体事例, 引导学生分析问题, 进而找到答案, 使学生在对解决具体问题的体验中感知理解概念, 形成感性认识, 通过对一定数量感性材料的观察、分析, 提炼出感性材料的本质属性, 进而转化为数学模型。

3. 自主学习:

理解概念自主学习, 在对概念感性认识的基础上, 学生结合教师提供的材料 (如导学案) 进行自主学习。对存在的疑惑先在小组内与其他同学进行讨论, 然后在课堂上表述自己对概念的理解、认识, 教师根据情况进行必要的点拨指导、补充升华。最后学生自己给要学习的概念写出一个定义, 并不断地修改、完善, 教师引领学生进一步修正完善, 最终形成概念。

4. 例题示范:

应用概念例题示范, 示范学生运用概念自主完成本节课典型例题, 小组内展示、交流、讨论, 修正错误, 优化解题方法, 完善解题步骤, 并各自整理出来。教师说明要注意的问题、规范解题步骤和书写格式。

5. 变式训练:强化概念变式训练, 对典型例题进行变式训练, 延伸拓展, 使学生进一步巩固理解概念。

6. 自主归纳:

升华概念自主归纳, 由学生自主进行课堂小结, 整理本节课所学知识及应注意的问题, 总结解题方法与规律。教师适时强调重点, 引导学生对概念及其发生、发展过程进行概括, 对解题策略、思想方法进行点拨。

7. 自我诊断:

落实概念自我诊断, 最后用一组习题对本节课所学的概念进行自我诊断, 限时完成, 在小组内批阅、修改, 以达到强化落实对概念的理解、应用的目的。

二、定理推导课“探究式”教学模式

(一) “探究式”定理推导课基本程序

激情导入, 提出问题→设疑猜想, 主动探究→合作交流, 解决问题→巩固升华, 拓展思维→激情导入, 提出问题→设疑猜想, 主动探究→合作交流, 解决问题→巩固升华, 拓展思维→反思评价, 课外练习。

(二) 环节阐述

1. 激情导入、提出问题激情导入。

这是一个感知阶段。所创设的问题是指实际问题或数学内部的问题。数学的许多定义、定理等都是人们经过大量的特殊事例的观察、实验、比较、联想、分析、综合、抽象、概括出来, 然后经过严密的论证形成的十分严谨的数学理论。但是这种严谨性有时太过于呆板, 掩盖了数学的生动形象有趣特点, 所以在实际授课时, 老师就要把呆板的知识生动化, 创设生动性、形象性、创造性的问题, 让同学思考, 进行更好地理解知识。

2. 设疑猜想、主动探究设疑猜想。

此环节属于求知阶段, 是本教学模式的主环节, 在这个过程中, 教师的主要作用是启发学生的思路和方法, 启发学生用控制变量法, 引导学生大胆猜想, 而数学知识和技能的掌握则需要学生运用合理的逻辑思维、直觉思维和形象思维, 通过自主、合作的探究活动来实现。从而获得新知识。

3. 合作交流、解决问题。

这是对前一阶段所学知识的巩固阶段, 在学生的自主学习、研究探索的基础上, 指导学生应用学会的数学思想与数学方法, 对教师精心设计的应用型或巩固型的问题进行分析、综合、抽象、概括、判断、推理、归纳等, 得出结论, 这样学生在从提出问题、研究问题、到解决问题的过程中, 思维得到发展, 能力得到加强, 认知的任务也得以完成。

4. 巩固升华、拓展思维。

此环节属于应用阶段, 升华是指发现数学知识和规律之后及时点拨和延伸, 把学生已掌握的知识通过知识间的内在联系, 把原知识深化、拓宽, 帮助学生从感知、感受到感悟, 从掌握知识、促进思考、培养能力走向模塑人格的过程。这个过程要设计具有针对性和启发性的问题让学生探讨、逐步解疑、消除混淆、步步深入, 在探索中有所发现, 有所创新, 从而在学到知识、获得能力提高的同时模塑人格。

5. 反思评价、课外练习。

这是对前面几个环节的延伸部分, 教师通过设计一些具有拔高效果的延伸问题, 这样, 既使学生能产生良好的学习主人意识, 又能帮助学生确定数学学习的努力方向, 为进一步获得数学知识奠定良好的技能与心理基础。

7.数学公式和定理 篇七

1．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()

A．75°B．60°C．45°D．30°

2．在△ABC中，若2sinAsinB

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形

3．在△ABC中，下列关系式①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC一定成立的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．[2012·广东六校联考] 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，且B是A与C的等差中项，则sinA＝________.能力提升

5．在△ABC中，a＝3＋1，b＝3－1，c10，则C＝()A．150°B．120°

C．60°D．30°

π6．在△ABC中，B＝，三边长a，b，c成等差数列，且ac＝6，则b的值是()3

2B.356

7．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()

ππππC.12643

8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝()

31B.22

31D.33

9．已知△ABC三边长分别为a，b，c且a2＋b2－c2＝ab，则C＝________.10．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a2－b2＝3bc，sinC＝2B，则A＝________.11．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝3a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．

12．(13分)[2011·湖北卷] 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a

1＝1，b＝2，cosC4

(1)求△ABC的周长；

(2)求cos(A－C)的值．

难点突破

13．(12分)[2011·湖南卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.(1)求角C的大小；

8.数学公式和定理 篇八

尊敬的各位老师：

大家好！我是（）号考生。我说课的题目是《三角形内角和定理》。下面我将从教材分析、教法学法、教学过程和设计理念四个方面展开说课。

一、首先我来分析一下教材

《三角形内角和定理》是青岛版教材八年级上册第（5）章第（5）节的内容。本节课是在学习了（角、平行线、全等三角形）的基础上进行教学的，为以后学习（平行四边形、相似三角形和解直角三角形）奠定了重要的基础。因此本节课在整个学习过程中起着非常重要的作用。

之前学生已经学习了（角、平行线、全等三角形），而且初二学生的智力得到了很好的开发。因此，学生具备了学习这节课的知识和智力准备。

基于以上分析，确定了如下教学目标

1、知识与技能目标：结合具体情境，掌握三角形内角和定理及推论，并掌握他们的证明过程，并能进行简单的应用。

2、过程与方法目标：经历探索（三角形内角和和推论）的研究过程，培养学生推理判断的思维能力。

3、情感态度与价值观目标：结合情境进行新知识的学习，增强学生对数学学习的信心和兴趣，培养合作意识、团队精神和克服困难的坚强意志。教学重点、难点：

其中（掌握三角形内角和定理及推论，并掌握他们的证明过程，并能进行简单的应用）是本节课的教学重点。突出重点的方法是引导学生通过例题和训练巩固。（培养学生推理判断的思维能力）是本节课的教学难点。为了突破难点，我会通过学生小组合作交流，探究等方式。

二、教法学法

本着教师为主导、学生为主体的原则，我准备采用启发诱导式的教学方法，通过以问题为先导，引导学生经历知识的形成过程，构建学生自主探究型的教学模式。

在学法上，我准备让学生通过认真观察、动手操作、独立思考、大胆交流、总结归纳等一系列学习活动，培养学生学习的积极性和主动性。

本节课需要准备自制的多媒体课件，需要的教具、学具有：（三角板）

三、下面我重点阐述一下我的教学过程

第一个环节：创设情境，引入课题

一上课，我利用多媒体出示情境图上面的一段话，引导学生认真阅读，并思考上面的问题，实验发现用度量或剪拼的方法可以发现一个或几个三角形的三个内角的和都等于180度，如果测得更多三角形的三个内角的和都等于180度，是否就能说明一切三角形三个内角的和都等于180度呢？学生思考后，我指出这个问题就要用到我们这一节 课所学的知识（三角形内角和定理），这时我会写出板书（三角形内角和定理）。

这样设计的目的是通过创设生动有趣的情境将原本枯燥的数学内容变得富有吸引力，激发学生的热情，从而引出了本节课的课题。第二个环节：合作交流、探究新知

在这个环节中，我有意识的创设让学生小组合作、动手、动脑的活动，让学生在有趣的数学活动中体验到成功的乐趣。为了完成情境图中的问题，我会出示一个证明题。已知：

首先，我会让学生小组交流讨论如何才能使三角形内角和等于180度，引导学生回忆起之前曾经用把三角形纸片的三个内角撕下来，拼成一个平角，进而引出证明三角形内角和等于180度的思路，就是将三个角拼成一个平角就会等于180度。然后让学生小组交流探索如何将三角形的三个角构成平角呢？由于这是本节课的教学难点，所以我会参与到学生小组内和学生交流。当学生交流后，由学生展示采用添加平行线的的方法。并引导学生尝试独立进行证明，时我会巡视指导，对有困难的学生给予帮助，并指明学生上台板演，之后对于出现的问题我会进行针对性的讲解。在这里我会告诉学生，在原来图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常画成虚线。最后得出三角形内角和定理，即三角形的三个内角的和等于180度。

接着我会让学生小组继续交流探索，能否用另外两种添加辅助线的方法来证明三角形内角和定理，并引导学生独立完成，由学生展示，不完整的地方其他同学给予补充，我再进行针对性的讲解。然后让学生思考，角ACD与角A角B有什么联系？在这里我会让学生回忆外角的概念，并指明什么是不相邻，让学生交流探索，这里也是本节课的教学难点，所以我会在巡视过程中参与到学生的交流中，之后由同学展示，最后得出三角形内角和定理的推论1和推论2。并告诉学生推论的定义。

这样学生在观察、比较、探讨的过程中，轻松的突破了本节课的重难点。这时，教学进入到第三个环节。第三个环节：巩固应用、内化提高

在习题的设计上，我会体现开放性、思考性、层次性、趣味性这几个特点，首先，我会把学生分成A、B两组，以竞赛的形式让学生完成练习题1、2，这样让学生巩固了（三角形内角和定理及推论）及应用其解决问题，从而突出了本节课的重点。

然后我会出示下一个题，让学生利用今天所学知识解决生活中的实际问题，使学生感受到数学来源于生活，又服务于生活，生活中处处有数学。这时，教学进入第四个环节。第四个环节：课堂评价、拓展延伸

新授结束时，我会问同学们这节课有什么收获，引导学生对本节课的知识进行梳理和总结，培养学生归纳和语言表达的能力，使学生对所学知识有更全面更系统的认识。

然后，我会让学生下课寻找，生活中哪些地方用到了今天所学的知识，体现数学的生活化。

四、最后，我再说一下我的设计理念；

在设计本课时，我力求将知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三者有机结合起来，密切联系实际生活，让学生在生活中发现数学问题、提出数学问题并解决数学问题。

以上仅是我对本节课的教学预设，在实际的教学过程中，我将以学定教、顺学而导，最大限度的发挥学生的主动性、积极性和创造性，以求达到更好地教学效果。

9.数学公式和定理 篇九

1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是()

A．等腰直角三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等边三角形

解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得

a2＋c2－b2ac，整理得a2＝b2，∴a＝b，2ac2R2R

∴△ABC一定是等腰三角形．

方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．

答案：B

2．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()

A．4B．2C．1D．不确定

accsinA解析：由正弦定理，得sinC＝sinAsinCa22232＝

∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.答案：A

abc3．在△ABC中，若＝ABC是()cosAcosBcosC

A．等腰三角形B．等边三角形

C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确

解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故答案为B.答案：B

sinB4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()sinC

8553A.B.C.D.5835

解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，sinBAC3∴AC＝3.由正弦定理得.sinCAB5

答案：D

15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且面积S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则A等于()4

A．45°B．30°C．120°D．15°

11解析：由S△ABC＝(b2＋c2－a2)＝42

b2＋c2－a2得sinA＝＝cosA，∴A＝45°.2bc

答案：A

6．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()

A．5B．6C．7D．8

11解析：依题意及面积公式S＝，得3，得bc＝40.又周长为20，故a22

＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.答案：C

二、填空题

7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.a2＋b2－c2ab1解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴cosC＝＝2ab2ab2

又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°

π38．在△ABC中，BC＝2，B＝ABC的面积为，则tanC为__________． 32

13解析：由S△ABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－22

2AB×BCcosB，∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，AB3∴tanC＝.AC3

答案：33

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝＋b2－c2)，4

则C＝__________.111解析：由S＝(a2＋b2－c2)得absinC＝·2abcosC.424

π∴tanC＝1.∴C＝.4

π答案： 4

三、解答题

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．

(1)求证：A＝2B；

(2)若a3b，判断△ABC的形状．

解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，a2＋c2－b2c2＋bcb＋ca2asinAcosB＝＝＝ 2ac2ac2a2ab2b2sinB

所以sinA＝sin2B，故A＝2B.a(2)因为a＝3b，所以＝3，b由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，a2＋c2－b23b2＋4b2－b23cosB＝＝2ac24所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．

11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝37.(1)求cosC； →→5(2)若CB·CA＝a＋b＝9，求c.2

sinC解析：(1)∵tanC＝7，∴＝37，cosC

1又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝.8

1∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC.8

5→→5(2)∵CB·CA＝abcosC＝，∴ab＝20.22

又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.∴c＝6.C12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.2

(1)求sinC的值；

(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．

C解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，2CCC2cos1＝2sin2∴sin222

CCC由sin，得2cos1＝2sin 222

CC1∴sincos.222

13两边平方，得1－sinC＝，∴sinC＝44

CC1πCππ3(2)由sincos0＜＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－222422244

10.初中数学常用定理 篇十

5到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

6和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

7到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

8到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

9定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

10垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

11推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧12推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

13圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

15推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

16定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

17推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

18推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

19推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

20定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

21①直线L和⊙O相交 d＜r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d＞r

22切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

24推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

25推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

26切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

27圆的外切四边形的两组对边的和相等

28弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

29推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等