2016考研数学复习误区

2024-09-19

2016考研数学复习误区（精选6篇）

1.2016考研数学复习误区篇一

2015年考研数学如何规避复习误区

2015年考研数学复习已经进入了紧张的复习阶段，但是仍然有不少考生踏入误区，偏离复习轨道。对同学们容易走入的误区进行简单总结，希望能够帮助到正奋斗在备考前线的同学们，规避错误，及时回归“正道”。

误区一：只看书不做题

有的同学每天捧着厚厚的辅导书在看，但依然得不到高分，就是因为没有动笔计算，没有提高自身的运算能力。实际上考研并不是考难题，往往是中等难度甚至是基础题加上较复杂的计算。所以没有强大的计算能力，是无法在考研数学中获胜。

因此考生在复习备考中，不论多简单的题目，多熟悉的步骤，都尽量不要跳过，一定要动手做。正如“眼看十遍不如手写一遍”，这样不仅可以提高自身的计算能力，甚至还会在做题中发现一些以前没有注意到的知识点掌握的漏缺。

误区二：患得患失

有的考生总是喜欢与其他人比，一比较发现有差距，就开始变得焦虑，人家已经看了那么多了，我是不是复习的太慢了，我的时间不够用了，能不能复习完啊，等等诸如此类，结果心里总像长草一样，学也学不进去，效率更慢了。

考研不仅是脑力体力的比拼，也更是心态和毅力的较量。每个人的学习能力不同，吸收能力不同，复习计划也不同，知识掌握程度不同，没有任何可比性。请记住你的最大的对手就是自己，应该每人反思是否比前一天有进步，这样你才能在强大的推动力下步步向前，日日进步。

误区三：专做难题、怪题

有的同学喜欢在难题、怪题上狠下功夫，误以为难题都会做了，容易的题目自然也会迎刃而解。事实上，我们分析一下历年的真题，以2012、2013、2014年真题为例，整张试卷注重对三基的.考察，基础题占到了70%，客观题的绝大多数和主观题的多数都属于中等难度及中等难度以下的试题。考研数学“以难题新题分高下，以基础定输赢”。如果能把基础题都掌握了，把能拿的分都抓住的话，分数是相当可观的。相反，如果你把大量的时间耗在了那些难题上，无疑是丢了西瓜去捡芝麻，肯定是拿不到好的成绩。

2.2016考研数学复习误区篇二

一、选择题

1.设等比数列{an}的前n项和为Sn, 若8a2+a5=0, 则下列式子中数值不能确定的是 () .

2.已知x>0, y>0, x, a, b, y成等差数列, x, c, d, y成等比数列, 则的最小值是 () .

(A) 4 (B) 2

3.若等比数列{an}的各项均为正数, 且a10a11+a9a12=2e5, 则ln a1+ln a2+…+ln a20等于 () .

(A) 50 (B) 25

4.设Sn是等比数列{an}的前n项和, 若, 则.

(A) 2 (B) 7/3

5.设Sn是等差数列{an}的前n项和, 且S1, S2, S4成等比数列, 则.

(A) 1 (B) 1或2

6.已知数列{an}满足a1=1, 且anan+1=2n, 则数列{an}的前20项的和为 () .

(A) 3×211-3 (B) 3×211-1

7.已知数列{an}满足 (n∈N*) , 则使不等式a2 016>2 016成立的所有正整数a1的集合为 () .

(A) {a1|a1≥2 016, a1∈N*}

(B) {a1|a1≥2 015, a1∈N*}

(D) {a1|a1≥2 013, a1∈N*}

8.设数列{an}的前n项和为Sn, 且a1=a2=1, {nSn+ (n+2) an}为等差数列, 则{an}的通项公式an= () .

9.已知数列{an}满足:a1=1, (n∈N*) .若 (n∈N*) , b1=-λ, 且数列{bn}是单调递增数列, 则实数λ的取值范围是 () .

10.已知等差数列{an}中, a1>0, d>0, 前n项和为Sn, 等比数列{bn}满足b1=a1, b4=a4, 前n项和为Tn, 则 () .

(A) S4>T4 (B) S4<T4

11.已知数列{an}的首项为a1=1, 且满足对任意的n∈N*, 都有an+1-an≤2n, an+2-an≥3×2n成立, 则a2 016= () .

(A) 22 015-1 (B) 22 015+1

12.在正项等比数列{an}中, , a6+a7=3, 则满足a1+a2+…+an>a1·a2·…·an的最大正整数n的值为 () .

(A) 12 (B) 10

二、填空题

13.在等差数列{an}中, a2=6, a5=15, 则a2+a4+a6+a8+a10=____.

14.已知等差数列{an}中, Sn为其前n项和.若a1+a3+a5+a7=-4, S8=-16, 则公差d=____;数列{an}的前____项和最大.

15.已知数列{an}满足a1=1, an=logn (n+1) (n≥2, n∈N*) , 定义:使乘积a1·a2·…·ak为正整数的k (k∈N*) 叫做“简易数”.

(1) 若k=3时, 则a1·a2·a3=____;

(2) 求在2 000内所有“简易数”的和为____.

16.将自然数按如下图排列, 其中处于从左到右第m列、从下到上第n行的数记为A (m, n) , 如A (3, 1) =4, A (4, 2) =12, 则A (1, n) =____;A (10, 10) =____.

三、解答题

17.已知等比数列{an}的前4项和S4=5, 且成等差数列.

(1) 求{an}的通项公式;

(2) 设{bn}是首项为2, 公差为-a1的等差数列, 其前n项和为Tn, 求满足Tn-1>0的最大正整数n.

18.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn+an=4, n∈N*.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 已知cn=2n+3 (n∈N*) , 记dn=cn+logCan (C>0且C≠1) , 是否存在这样的常数C, 使得数列{dn}是常数列, 若存在, 求出C的值;若不存在, 请说明理由.

(3) 若数列{bn}, 对于任意的正整数n, 均有成立, 求证:数列{bn}是等差数列.

19.已知数列{an}的前n项和 (n=1, 2, 3, …) .

(1) 求a1的值;

(2) 求证: (n-2) an+1= (n-1) an-1 (n≥2) ;

(3) 判断数列{an}是否为等差数列, 并说明理由.

20. (理) 已知数列{an}的首项为1, 记f (n) =a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+anCnn (n∈N*) .

(1) 若{an}为常数列, 求f (4) 的值.

(2) 若{an}是公比为2的等比数列, 求f (n) 的解析式.

(3) 是否存在等差数列{an}, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立?若存在, 求出数列{an}的通项公式;若不存在, 请说明理由.

(文) 在数列{an}中, a1=1, (n≥2, n∈N*) .

(1) 若数列{bn}满足 (n∈N*) , 求证:数列{bn}是等比数列;

21.已知直线ln:与圆Cn:x2+y2=2an+n交于不同的两点An, Bn, n∈N*.数列{an}满足:a1=1, .

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 若, 求数列{bn}的前n项和Tn;

(3) 记数列{an}的前n项和为Sn, 在 (2) 的条件下, 求证:对任意正整数n, .

22.已知数列{an}满足数列{an}的前n项和为Sn, bn=a2n, 其中n∈N*.

(1) 求a2+a3的值.

(2) 证明:数列{bn}为等比数列.

(3) 是否存在n (n∈N*) , 使得?若存在, 求出所有的n的值;若不存在, 请说明理由.

23.已知数列{an}的前n项和为Sn, 且an>0, (n∈N*) .

(1) 若bn=1+log2 (an·Sn) , 求数列{bn}的前n项和Tn;

(2) 若, 2n·an=tanθn, 求证:数列{θn}为等比数列, 并求出其通项公式;

九、不等式与线性规划

一、选择题

1.已知a>b>0, 则下列不等式成立的是 () .

2.已知p, q∈R, 则“q<p<0”是“”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

3.设a=log0.80.9, b=log1.10.9, c=1.10.9, 则a, b, c的大小关系是 () .

(A) a<b<c (B) a<c<b

4.设a, b∈R, 则“ab>0且a>b”是“”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

5.若“x>0”是“不等式2a>a2-x成立”的必要不充分条件, 则正实数a的取值范围是 () .

(A) a>2 (B) a<4

6.已知x, y∈ (0, +∞) , , 则的最小值为 () .

(A) 8/3 (B) 3

7.已知x, y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一, 则实数a的值为 () .

(A) 1/2或-1 (B) 2或1/2

8.如果实数a, b满足条件则的取值范围是 () .

9.设关于x, y的不等式组表示的平面区域为D, 已知点O (0, 0) , A (1, 0) , 点M是D上的动点, , 则λ的取值范围是 () .

10.设变量x, y满足约束条件则z=|x-3y|的最大值为 () .

(A) 10 (B) 8

11.曲线y=1/x (x>0) 在点P (x0, y0) 处的切线为l, 若直线l与x, y轴的交点分别为A, B, 则△OAB的周长的最小值为 () .

12. (理) 已知满足条件x2+y2≤1的点 (x, y) 构成的平面区域的面积为S1, 满足条件[x]2+[y]2≤1的点 (x, y) 构成的平面区域的面积为S2, 其中[x], [y]分别表示不大于x, y的最大整数, 例如:[-0.4]=-1, [1.7]=1, 则S1与S2的关系是 () .

(A) S1<S2 (B) S1=S2

(文) 已知b>a>0, ab=2, 则的取值范围是 () .

(A) (-∞, -4] (B) (-∞, -4)

二、填空题

13.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为x∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞) , 则一元一次不等式ax+b<0的解集为_____.

14.已知函数y=aex (其中a∈R) 经过不等式组所表示的平面区域, 则实数a的取值范围是____.

15.已知x, y满足条件若目标函数z=ax+y (其中a>0) 仅在点 (2, 0) 处取得最大值, 则a的取值范围是____.

16.已知函数f (x) 是R上的减函数, 且y=f (x-2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称.若u, v满足不等式组则u2+v2的最小值为____.

三、解答题

17.已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:双曲线的离心率e∈ (1, 2) .若p, q有且只有一个为真命题, 求实数m的取值范围.

18.一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比, 如果此船速度是10km/h, 那么每小时的燃料费是80元.已知船航行时其他费用为500元/时, 在100km的航程中, 航速为多少时船行驶的总费用最少?此时总费用为多少元?

19.某家电生产企业根据市场调查分析, 决定调整新产品生产方案, 准备每周 (按40个工时计算) 生产空调、彩电、冰箱共120台, 且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:

问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台, 才能使产值最高?最高产值是多少? (以千元为单位)

20.设a为常数, 且a<1.

(1) 解关于x的不等式 (a2-a-1) x>1;

(2) 解关于x的不等式组

21.设函数, L为曲线C:y=f (x) 在点处的切线.

(1) 求L的方程;

(2) 当时, 证明:除切点之外, 曲线C在直线L的下方;

(3) 设x1, x2, x3∈R, 且满足x1+x2+x3=-3, 求f (x1) +f (x2) +f (x3) 的最大值.

十、三视图和立体几何

一、选择题

1.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3, 圆心角为的扇形, 则此圆锥的体积为 () .

2.a, b, c表示不同的直线, α表示平面, 下列命题正确的是 () .

(A) 若a∥b, a∥α, 则b∥α

(B) 若a⊥b, b⊥α, 则a⊥α

(D) 若a⊥α, b⊥α, 则a∥b

3.某几何体的三视图如图1所示, 该几何体的各面中互相垂直的面的对数是 () .

(A) 2 (B) 4

4.已知底面边长为1, 高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 () .

5.一个几何体的三视图如图2所示, 则这个几何体的体积为 () .

6.若某几何体的三视图如图3所示, 则此几何体的直观图是 () .

7.某四棱锥的三视图如图4所示, 其中正 (主) 视图是等腰直角三角形, 侧 (左) 视图是等腰三角形, 俯视图是正方形, 则该四棱锥的表面积是 () .

8.已知直线m和平面α, β, 则下列四个命题中正确的是 () .

(B) 若α∥β, m∥α, 则m∥β

(D) 若m∥α, m∥β, 则α∥β

9.某几何体的三视图如图5所示, 则该几何体的体积为 () .

(A) 48 (B) 32

10.如图6, 在正四棱锥S-ABCD中, E, M, N分别是BC, CD, SC的中点, 动点P在线段MN上运动时, 下列四个结论:

①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.

其中恒成立的为 () .

(A) ①③

(B) ③④

(D) ②③④

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E为底面ABCD上的动点.若三棱锥B-D1EC的表面积最大, 则E点位于 () .

(A) 点A处

(B) 线段AD的中点处

(D) 点D处

12. (理) 如图7, 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, E, F分别是边AA1, CC1的中点, 点M是BB1上的动点, 过点E, M, F的平面与棱DD1交于点N, 设BM=x, 平行四边形EMFN的面积为S, 设y=S2, 则y关于x的函数y=f (x) 的解析式为 () .

(文) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, P为底面ABCD上一动点, 如果P到点A1的距离等于P到直线CC1的距离, 那么点P的轨迹所在的曲线是 () .

(A) 直线 (B) 圆

二、填空题

13.空间一线段的主视图、左视图、俯视图的长度均为, 则该线段的长度为____.

14.一个几何体的三视图如图8所示, 其中正 (主) 视图和侧 (左) 视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 则该几何体的外接球的表面积为____.

15.在四棱锥V-ABCD中, B1, D1分别为侧棱VB, VD的中点, 则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V-ABCD的体积之比为____.

16. (理) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, , BC=AA1=1, 点M为AB1的中点, 点P为对角线AC1上的动点, 点Q为底面ABCD上的动点 (点P, Q可以重合) , 则MP+PQ的最小值为____.

(文) 如图9, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E是边BC的中点.动点P在直线BD1 (除B, D1两点) 上运动的过程中, 平面DEP可能经过的该正方体的顶点是____ (写出满足条件的所有顶点) .

三、解答题

17.如图10, 在四棱锥P-ABCD中, PD⊥平面ABCD, 又AD∥BC, AD⊥DC, 且PD=BC=3AD=3.

(1) 在图11所示的方框中画出四棱锥P-ABCD的正 (主) 视图;

(2) 求证:平面PAD⊥平面PCD;

(3) 求证:棱PB上存在一点E, 使得AE∥平面PCD, 并求PE/EB的值.

18.如图12, 在边长为12的正方形AA′A′1A1中, BB1∥CC1∥AA1, 且AB=3, 且BC=4, AA′1分别交BB1, CC1于点P, Q, 将该正方形沿BB1, CC1折叠, 使得A′A′1与AA1重合, 构成图13所示的三棱柱ABC-A1B1C1.在图13中:

(1) 求证:AB⊥PQ;

(2) 在底边AC上有一点M, 使得BM∥平面APQ, 求点M到平面PAQ的距离.

19.数学课上, 张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥 (如图14所示) , 然后他将其中的两根换成长度分别为的塑料棒, 又搭成了一个三棱锥, 陈成同学边听课边动手操作, 也将其中的两根换掉, 但没有成功, 不能搭成三棱锥, 如果两人都将BD换成了长为的塑料棒.

(1) 试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么, 而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么?请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因.

(2) 试证平面ABD⊥平面BCD.

(3) 求新三棱锥的外接球的表面积.

20.在如图15所示的几何体中, 平面ACDE⊥平面ABC, CD∥AE, F是BE的中点, ∠ACB=90°, AE=2CD=2, AC=BC=1, .

(1) 求证:DF∥平面ABC;

(2) 求证:DF⊥平面ABE;

(3) 求三棱锥D-BCE的体积.

21.如图16, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱AA1⊥底面ABC, M为棱AC的中点.AB=BC, AC=2, .

(1) 求证:B1C∥平面A1BM.

(2) 求证:AC1⊥平面A1BM.

(3) 在棱BB1上是否存在点N, 使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?如果存在, 求此时BN/BB1的值;如果不存在, 请说明理由.

22.如图17所示, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1B1B为正方形, BB1C1C是菱形, 平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.

(1) 求证:BC∥平面AB1C1;

(2) 求证:B1C⊥AC1;

(3) 设点E, F, H, G分别是B1C, AA1, A1B1, B1C1的中点, 试判断E, F, H, G四点是否共面, 并说明理由.

十一、空间向量和立体几何

一、选择题

1.下列命题正确的是 () .

(A) 垂直于同一直线的两条直线互相平行

(B) 平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形

(D) 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形

2.如图1, 在三棱锥D-ABC中, 点G是△ABC的重心, 记, 则用a, b, c表示.

3.已知平面α, β不重合, 直线, 那么“m⊥β”是“α⊥β”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

4.如图2, 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中, 若.

(A) a+b+c

(B) 2a+2b+c

(D) 2a+2b+2c

5.如图3, 一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发, 经正方体的表面, 按最短路线爬行到达顶点C1位置, 则图4中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正 (主) 视图是 () .

(A) ①② (B) ①③

6.在正三棱锥S-ABC中, M是SC的中点, 且AM⊥SB, 底面边长, 则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为 () .

(A) 6π (B) 12π

7.某三棱锥的三视图如图5所示, 该三棱锥四个面的面积中最大的是 () .

8.如图6, 在四棱锥P-ABCD中, 其底面是边长为a的正方形, 已知PA⊥平面ABCD, 且PA=a, 则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为 () .

9.已知一个三棱柱, 其底面是正三角形, 且侧棱与底面垂直, 一个体积为的球与棱柱的所有面均相切, 那么这个三棱柱的表面积是 () .

10.三棱柱ABC-A1B1C1的直观图及三视图 (正 (主) 视图和俯视图是正方形, 侧 (左) 视图是等腰直角三角形) 如图7所示, D为AC的中点, 则二面角A-BC1-D的正切值为 () .

11.三棱锥S-ABC中, ∠SBA=∠SCA=90°, △ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形, 则以下结论中:

①异面直线SB与AC所成的角为90°;

②直线SB⊥平面ABC;

③平面SBC⊥平面SAC;

④点C到平面SAB的距离是.

其中正确结论的个数是 () .

(A) 1 (B) 2

12.如图9, 已知直线l⊥平面α, 垂足为O, 在△ABC中, BC=2, AC=2, , 点P是边AC上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动: (1) A∈l, (2) C∈α, 则的最大值为 () .

二、填空题

13.如图10, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB⊥BC, AB=BC=BB1, 则平面A1B1C与平面ABC所成的二面角的大小为____.

14.点A, B, C, D在同一球面上, , AC=2, 若球的表面积为, 则四面体ABCD体积的最大值为____.

15.如图11, 在长方体ABCD-EFGH中, AD=2, AB=AE=1, M为矩形AEHD内的一点, 如果∠MGF=∠MGH, MG和平面EFG所成角的正切值为1/2, 那么点M到平面EFGH的距离是____.

16.如图12所示的一块长方体木料中, 已知AB=BC=4, AA1=1, 设E为底面ABCD的中心, 且, 则该长方体中经过点A1, E, F的截面面积的最小值为____.

三、解答题

17.如图13, 四边形ABCD是边长为2的菱形, ∠ABC=60°, PA⊥平面ABCD, AB=2PA.

(1) 求异面直线AC与PB所成角的余弦值;

(2) 求点A到平面PBC的距离.

18.如图14, PD垂直于梯形ABCD所在的平面, ∠ADC=∠BAD=90°.F为PA的中点, .四边形PDCE为矩形, 线段PC交DE于点N.

(1) 求证:AC∥平面DEF;

(2) 求二面角A-BC-P的大小;

(3) 在线段EF上是否存在一点Q, 使得BQ与平面BCP所成角的大小为π/6?若存在, 求出FQ的长;若不存在, 说明理由.

19.在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1=AB=AC=1, E, F分别是CC1, BC的中点, AE⊥A1B1, D为棱A1B1上的点.

(1) 证明:DF⊥AE.

(2) 是否存在一点D, 使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为?若存在, 说明点D的位置, 若不存在, 说明理由.

20.如图16, 已知等腰梯形ABCD中, AD∥BC, , E是BC的中点, AE∩BD=M, 将△BAE沿着AE翻折成△B1AE, 使平面B1AE⊥平面AECD.

(1) 求证:CD⊥平面B1DM;

(2) 求二面角D-AB1-E的余弦值;

(3) 在线段B1C上是否存在点P, 使得MP∥平面B1AD, 若存在, 求出的值;若不存在, 说明理由.

21.如图17, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是平行四边形, PA⊥平面ABCD, 点M, N分别为BC, PA的中点, 且AB=AC=1, .

(1) 证明:MN∥平面PCD;

(2) 设直线AC与平面PBC所成角为α, 当α在 (0, π/6) 内变化时, 求二面角P-BC-A的取值范围.

十二、直线与圆、曲线与方程

一、选择题

1.已知直线l1:ax+y=1和直线l2:4x+ay=2, 则“a+2=0”是“l1∥l2”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

2.若直线l1:2x+3y-1=0的方向向量是直线l2:ax-y+2a=0的法向量, 则实数a的值等于 () .

(A) 1 (B) 3/2

3.“|b|<2是“直线与圆x2+y2-4y=0相交”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

4.若经过点P (-1, 1) 的直线与圆x2+y2=2相切, 则此直线在y轴上的截距是 () .

(A) -2 (B) -1

5.已知圆C:x2+y2=4, 过点A (2, 3) 作C的切线, 切点分别为P, Q, 则直线PQ的方程为 () .

(A) 2x+3y+4=0 (B) 2x+3y-4=0

6.已知点A (-3, -2) 和圆C: (x-4) 2+ (y-8) 2=9, 一束光线从点A发出, 射到直线l:y=x-1后反射 (入射点为B) , 反射光线经过圆周C上一点P, 则折线ABP的最短长度是 () .

(A) 10 (B) 8

7.已知直线l:x, 点P (x, y) 是圆C: (x-2) 2+y2=1上的动点, 则点P到直线l的距离的最小值为 () .

8.已知圆C:x2+y2=1, 点M (t, 2) , 若C上存在两点A, B满足, 则t的取值范围是 () .

9.若直线与圆x2+y2=1相交于A, B两点, 则.

10.已知在圆M:x2+y2-4x+2y=0内, 过点E (1, 0) 的最长弦和最短弦分别是AC和BD, 则四边形ABCD的面积为 () .

11. (理) 已知曲线C:x2+y2+xy=1, 则下列说法中, 正确的个数有 () .

①曲线C关于x轴对称;②曲线C关于y轴对称;

③曲线C关于原点对称;④曲线C关于直线y=x轴对称.

(A) 1 (B) 2

(文) 已知两圆C1: (x+1) 2+y2=1与C2: (x-1) 2+y2=25, 动圆Μ与这两个圆都内切, 则动圆的圆心Μ的轨迹方程为 () .

12. (理) 如图1所示, 在平面直角坐标系xOy中, 点B, C分别在x轴和y轴非负半轴上, 点A在第一象限, 且∠BAC=90°, AB=AC=4, 那么O, A两点间距离的 () .

(A) 最大值是, 最小值是4

(B) 最大值是8, 最小值是4

(D) 最大值是8, 最小值是2

(文) 在平面直角坐标系xOy中, 圆C的方程为 (x-1) 2+ (y-1) 2=9, 直线l:y=kx+3与圆C相交于A, B两点, M为弦AB上一动点, 以M为圆心, 2为半径的圆与圆C总有公共点, 则实数k的取值范围为 () .

(A) 4 (B) 8

二、填空题

13.已知圆C的圆心在直线x-y=0上, 且圆C与两条直线x+y=0和x+y-12=0都相切, 则圆C的标准方程是____.

14.若圆C: (x-a) 2+ (y-a-1) 2=a2与x, y轴都有公共点, 则实数a的取值范围是____.

15.已知⊙O:x2+y2=1, 若直线y=kx+2上总存在点P, 使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直, 则实数k的取值范围是____.

16.动直线与曲线相交于A, B两点, O为坐标原点, 当△AOB的面积取得最大值时, k的值为____.

三、解答题

17.已知点F (-6, 0) , 直线l:x=-4与x轴的交点是圆C的圆心, 圆C恰好经过坐标原点O, 设G是圆C上任意一点.

(1) 求圆C的方程;

(2) 若直线FG与直线l交于点T, 且G为线段FT的中点, 求直线FG被圆C所截得的弦长.

18.如图2, 在平面直角坐标系xOy中, 点A (0, 3) , 直线l:y=2x-4, 设圆C的半径为1, 圆心在l上.

(1) 若圆心C也在直线y=x-1上, 过点A作圆C的切线, 求切线的方程;

(2) 若圆C上存在点M, 使MA=2 MO, 求圆心C的横坐标a的取值范围.

19.已知圆O:x2+y2=4, 点, 以线段AB为直径的圆内切于圆O, 记点B的轨迹为Γ.

(1) 求曲线Γ的方程;

(2) 直线AB交圆O于C, D两点, 当Β为CD的中点时, 求直线AB的方程.

20.在平面直角坐标系xOy中, 已知点A (-3, 4) , B (9, 0) , C, D分别为线段OA, OB上的动点, 且满足AC=BD.

(1) 若AC=4, 求直线CD的方程;

(2) 证明:△OCD的外接圆恒过定点 (异于原点O) .

21.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A, B.

(1) 求圆C1的圆心坐标;

(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3) 是否存在实数k, 使得直线L:y=k (x-4) 与曲线C只有一个交点:若存在, 求出k的取值范围;若不存在, 说明理由.

十三、圆锥曲线

一、选择题

1.已知点P在焦点为F1, F2的椭圆上, 若∠F1PF2=90°, 则|PF1|·|PF2|的值等于 () .

(A) 10 (B) 20

2.若方程表示双曲线, 则实数k的取值范围是 () .

(A) (-2, 2)

(B) (3, +∞)

(D) (-2, +∞)

3.已知点A (3, 2) , F是抛物线y2=2x的焦点, 若点P在抛物线上运动, 当|PA|+|PF|取最小值时, 点P的坐标为 () .

(A) (2, 2) (B) (0, 0)

4.双曲线 (a>0, b>0) 的一个顶点到一条渐近线的距离为a/2, 则双曲线的离心率为 () .

5.若双曲线 (a>0, b>0) 截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b, 则a= () .

6.已知双曲线 (a>0, b>0) 与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F, 且两曲线的一个交点为P.若|PF|=5/2, 则双曲线的渐近线方程为 () .

7.若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点, 设点P的坐标为 (a, b) , 则过点P的一条直线与椭圆的公共点的个数为 () .

(A) 0 (B) 1

8.已知P是椭圆上的一点, 点M (m, 0) (m>0) , 则|PM|的最小值为 () .

9.已知双曲线C1: (a>0, b>0) 的离心率为, 一条渐近线为l, 抛物线C2:y2=4x的焦点为F, 点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点, 则|PF|= () .

(A) 2 (B) 3

10.已知直线l:y=kx+3-k与双曲线有交点, 则实数k的取值范围是 () .

11.如图1, 已知双曲线C: (a>0, b>0) 的右顶点为A, O为坐标原点, 以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P, Q.若∠PAQ=60°且, 则双曲线C的离心率为 () .

12.已知双曲线C: (a>0, b>0) , 斜率为1的直线l过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A, B两点, 若与向量n= (-3, -1) 共线, 则双曲线C的离心率为 () .

二、填空题

13.斜率为的直线与焦点在x轴上的椭圆 (b>0) 交于不同的两点P, Q.若点P, Q在x轴上的投影恰好为椭圆的两焦点, 则该椭圆的焦距为_____.

14.已知椭圆C: (a>0) 的左顶点、上顶点分别为A, B, 椭圆C的左焦点为F, 且△ABF的面积等于, 则椭圆C的方程为____.

15.点P到曲线C上每一个点的距离的最小值称为点P到曲线C的距离.已知点P (2, 0) , 若点P到曲线C的距离为.在下列曲线中:

符合题意的是_____ (填序号) .

16.已知椭圆C: (a>b>0) 的左、右顶点分别为A, B, 左、右焦点分别为F1, F2, 点O为坐标原点, 线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P, 设直线PA, PB, PF1, PF2的斜率分别为k1, k2, k3, k4, 若, 则k3·k4=____.

三、解答题

17.已知椭圆C: (a>b>0) , 右焦点, 点在椭圆上.

(1) 求椭圆C的标准方程.

(2) 若直线y=kx+m (k≠0) 与椭圆C有且只有一个公共点M, 且与圆O:x2+y2=a2+b2相交于P, B两点, 问kOM·kPB=-1是否成立?请说明理由.

18.已知椭圆C: (a>b>0) , 经过点, 离心率是.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 设直线l与椭圆C交于A, B两点, 且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M, 求证:直线l恒过一定点.

19.已知椭圆C: (a>b>0) , 其左、右焦点分别为F1, F2, 右焦点在椭圆上.

(1) 求椭圆C的标准方程.

(2) 已知直线l:y=kx与椭圆C交于A, B两点, P为椭圆C上异于A, B的动点.

(i) 若直线PA, PB的斜率都存在, 证明:;

(ii) 若k=0, 直线PA, PB分别与直线x=3相交于点M, N, 直线BM与椭圆C相交于点Q (异于点B) , 求证:A, Q, N三点共线.

20.已知抛物线C的顶点为O (0, 0) , 焦点为F (0, 1) .

(1) 求抛物线C的方程;

(2) 过点F作直线交抛物线C于A, B两点.若直线AO, BO分别交直线l:y=x-2于M, N两点, 求|MN|的最小值.

21. (理) 已知椭圆C:, 点D为椭圆C的左顶点.对于正常数λ, 如果存在过点M (x0, 0) (-2<x0<2) 的直线l与椭圆C交于A, B两点, 使得S△AOB=λS△AOD, 则称点M为椭圆C的“λ分点”.

(1) 判断点M (1, 0) 是否为椭圆C的“1分点”, 并说明理由;

(2) 证明:点M (1, 0) 不是椭圆C的“2分点”;

(3) 如果点M为椭圆C的“2分点”, 写出x0的取值范围 (直接写出结果) .

(文) 已知椭圆C:x2+4y2=16.

(1) 求椭圆C的离心率;

(2) 设椭圆C与y轴下半轴的交点为B, 如果直线y=kx+1 (k≠0) 交椭圆C于不同的两点E, F, 且B, E, F构成以EF为底边, B为顶点的等腰三角形, 判断直线EF与圆x2+y2=1/2的位置关系.

参考答案

八、数列

1.D.

【变式】设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a5=5, 则S9= () .

(A) 9 (B) 45

(答案:B.)

2.A.

【变式】已知x>0, y>0, x, a, b, y成等差数列, x, c, d, y成等比数列, 则的最小值是 () .

(A) 4 (B) 2

(答案:A.)

3.A.由a10a11+a9a12=2e5, 得a10a11+a10a11=2e5, 即a10a11=e5.又ln a1+ln a2+…+ln a20=ln (a1a2·…·a20) , 令T=a1a2·…·a20, 则T=a20a19·…·a1, 有T2= (a1a20) 20, 则T= (a1a20) 10= (a10a11) 10=e50, 从而ln T=50.

4.B.

【变式】设Sn是等比数列{an}的前n项和, 若.

(A) 2 (B) 6/5

(答案:D.)

5.C.

【变式】设Sn是等差数列{an}的前n项和, 且S1, S2, S4成等差数列, 则S9= () .

(A) 0 (B) 0或1

(答案:A.)

6.D.算得a1=1, a2=2, a3=2, a4=22, a5=22, …, a18=29, a19=29, a20=210, 所以.

【变式】已知数列{an}满足a1=1, 且an+an+1=3, 则数列{an}的前20项的和为 () .

(A) 1 (B) 2

(答案:C.提示:a1=1, a2=2, a3=1, a4=2, …, a19=1, a20=2, 所以S20=10 (1+2) =30.)

【点拨】把变形为 (an+1-1) 2- (an-1) 2=1, 构造等差数列{ (an-1) 2}求得 (an-1) 2后再求an, 是解决本题的基本思路, 也是解决此类问题的常用思路, 即把递推数列转化为基本数列 (等差数列、等比数列) 求通项, 常见有如下情形:

(1) an+1=pan+q, an+1=pan+kn+q, an+2=pan+1+qan型———通过待定系数法转化;

(2) an+1=pan+qn型———通过两边同除qn来转化;

(4) an+1=parn型———通过取对数转化.

【变式】已知数列{an}满足an+1=a2n-2an+2 (n∈N*) , 且a1=3, 则an= () .

【变式】设数列{an}中, a1=2, , 则通项an= () .

(A) n+1 (B) 2n

(答案:C.提示:累加法.)

【变式】已知 (n∈N*) , 则数列{an}的最大项是 () .

(A) a1 (B) a2

10.A.方法一:由a1>0, d>0, 得a1<a2<a3<a4, 有b1<b2<b3<b4, 则{bn}的公比q>1, 而b1=a1, b4=a4, 所以S4-T4= (a2+a3) - (b2+b3) = (a1+a4) - (b2+b3) = (b1+b4) - (b2+b3) =b1+b1q3-b1q-b1q2=b1 (q-1) (q2-1) >0, 即S4>T4.

方法二:取{bn}的前4项为1, 2, 4, 8;{an}的前4项为1, , 8, 则S4>T4.

【变式】已知{an}是等差数列, 记M=a1·a6, N=a3·a4, 则M, N的大小关系是 () .

(A) M>N (B) M<N

(答案:D.)

11.C.由an+1-an≤2n, 得-an+1+an≥-2n.而an+2-an≥3×2n, 两式相加, 得an+2-an+1≥3×2n-2n=2n+1, 即an+1-an≥2n.所以2n≤an+1-an≤2n, 则an+1-an=2n.又a1=1, 所以a1=1, a2-a1=21, a3-a2=22, …, anan-1=2n-1, 累加, 得.所以a2 016=22 016-1.

12.A.由, a6+a7=3, 得, 即q+q2-6=0, q>0, 所以q=2, 有an=2n-6, 数列{an}的前n项和Sn=2n-5-2-5, 而.于是, 由, 可求得n的最大值为12, 而当n=13时, 28-2-5>213不成立, 所以n的最大值为12.

13.90.

14.-2;3.

【变式】已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2-7n, 则当n=____, Sn取得最小值.

(答案:3或4.)

15. (1) 2; (2) 2 035.a1·a2·a3=1×log23×log34=log24=2.

a1·a2·…·ak=1×log23×…×logk (k+1) =log2 (k+1) .

令log2 (k+1) =m, m≥2, m∈N*, 则k=2m-1.由k=2m-1≤2 000, 得m≤10.

所以在2 000内所有“简易数”的和.

16.;181.A (1, 1) =1, A (1, 2) -A (1, 1) =2, A (1, 3) -A (1, 2) =3, …, A (1, n) -A (1, n-1) =n, 则.所以.而A (2, 10) -A (1, 10) =10, A (3, 10) -A (2, 10) =11, A (4, 10) -A (3, 10) =12, …, A (10, 10) -A (9, 10) =18, 所以A (10, 10) =55+10+11+…+18=181.

【点拨】对于以数表形式出现的数列问题, 需要注意观察数表的呈现规律.如本题的数表, 发现第一列相邻两数之差依次为2, 3, 4, 5, …;第二列相邻两数之差依次为3, 4, 5, …;第一行相邻两数之差依次为1, 2, 3, 4, …;第二行相邻两数之差依次为2, 3, 4, 5, …;因而可运用累加法解之.事实上, 可得.

【变式】已知数列{an}是首项为1, 公比为1/2的等比数列.数列{bn}的项排列如下:

则数列{bn}的前n项和Sn=____ (用n表示) .

(2) 满足Tn-1>0的最大正整数为13.

18. (1) 由题意, 得a1=4-a1, 所以a1=2.

由Sn+an=4, 得当n≥2时, Sn-1+an-1=4.

所以数列{an}是以2为首项, 1/2为公比的等比数列.所以an=22-n (n∈N*) .

(2) 由于数列{dn}是常数列, 即dn=cn+logCan=2n+3+ (2-n) logC2=2n+3+2logC2-nlogC2= (2-logC2) n+3+2logC2为常数,

所以2-logC2=0, 解得, 此时dn=7.

所以数列{bn}是以为首项, 为公差的等差数列.

(3) 数列{an}是等差数列.理由如下:

因为n≥3, 所以an-2an-1+an-2=0, 即an-an-1=an-1-an-2 (n≥3) .

所以数列{an}是以1为首项, a2-1为公差的等差数列.

20. (理) (1) 因为{an}为常数列, 所以an=1 (n∈N*) .所以f (4) =C14+C24+C34+C44=15.

(2) 因为{an}是公比为2的等比数列, 所以an=2n-1 (n∈N*) .

所以f (n) =C1n+2C2n+4C3n+…+2n-1Cnn.

所以1+2f (n) =1+2C1n+22C2n+23C3n+…+2nCnn= (1+2) n=3n.

(3) 假设存在等差数列{an}, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立.

设公差为d, 则f (n) =a1C1n+a2C2n+…+akCkn+…+an-1Cn-1n+anCnn,

且f (n) =anCnn+an-1Cn-1n+…+akCkn+…+a2C2n+a1C1n.

两式相加, 得2f (n) =2an+ (a1+an-1) (C1n+C2n+…+Ckn+…+Cn-1n) .

所以f (n) -1= (d-2) +[2+ (n-2) d]·2n-1= (n-1) 2n恒成立, 即 (d-2) + (d-2) (n-2) 2n-1=0, n∈N*恒成立.所以d=2.

故{an}能为等差数列, 使得f (n) -1= (n-1) 2n对一切n∈N*都成立, 它的通项公式为an=2n-1.

所以满足条件的最小正整数n等于15.21. (1) 圆Cn的圆心到直线ln的距离, 半径, 所以.

又a1=1, 所以{an}是首项为1, 公比为2的等比数列, 所以an=2n-1.

22. (1) 易得a2=1, a3=-3, 所以a2+a3=-2.

(2) bn+1=a2n+2=2a2n+1+4n=2 (-a2n-2n) +4n=-2a2n=-2bn.又b1=a2=1, 故数列{bn}是首项为1, 公比为-2的等比数列.

(3) 由 (2) 知bn= (-2) n-1, 所以b2n= (-2) 2n-1=-22n-1.

设cn=a2n+a2n+1 (n∈N*) , 则cn=-2n.

设f (x) =4x-2x2-2x-40 (x≥2) , 则g (x) =f′ (x) =4xln 4-4x-2, g′ (x) =4xln24-4>0 (x≥2) , 所以g (x) 在[2, +∞) 上单调递增.

所以g (x) ≥g (2) =f′ (2) >0, 即f′ (x) >0.所以f (x) 在[2, +∞) 上单调递增.

又因为f (1) <0, f (2) <0, f (3) =0, 所以仅存在唯一的n=3, 使得成立.

23. (1) 由题意, 得bn=1-2n, n∈N*, 其前n项和.

当n=1时, a1=S1, a1·a1=1/4.

因为an>0, 所以a1=1/2, tanθ1=1, θ1=π/4.

所以数列{θn}是等比数列, 首项为π/4, 公比为1/2, 其通项公式为, n∈N*.

(3) 由 (2) , 得, n∈N*, 它是个单调递减的数列.

对任意的n∈N*, cn≥m恒成立, 所以m≤ (cn) min.

所以数列c{}n是单调递增的, cn的最小值为c1=0, m≤ (cn) min=0.

因此, 实数m的取值范围是 (-∞, 0].

九、不等式与线性规划

1.D.

2.A.

【变式】已知a, b, c∈R, 则“a>b”是“ac2>bc2”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

(答案:B.)

3.C.

【变式】设a=log23, b=log34, c=log45, 则a, b, c的大小关系是 () .

(A) a<b<c (B) c<b<a

4.A.5.C.

6.B.

【变式1】已知x, y∈ (-∞, 0) , 且x+y+3=0, 则的最大值为 () .

(A) - (8/3) (B) -3

(答案:B.)

【变式2】若两个正实数x, y满足, 且x+2y>a2-2a恒成立, 则实数a的取值范围是 () .

(A) (-2, 0) (B) (0, 4)

(答案:C.)

7.D.由题意作出可行域如图1所示, 将z=y-ax化为y=ax+z, z相当于直线y=ax+z的纵截距.由题意, 得y=ax+z与y=2x+2或与y=2-x平行, 所以a=2或a=-1.故选D.

【变式】已知x, y满足则z=x+y取得最大值的最优解为 () .

(A) 1 (B) 2

(答案:D.)

(A) (-1, 1]

(B) [-1, 1]

(D) [1, +∞)

(答案:B.提示:当x=0时, z=-1, 当x≠0时, 令单调递减, 则-1<z≤1.故-1≤z≤1.)

10.B.令b=x-3y, 则, 画出可行域知, 当直线过点 (-2, 2) 时, bmin=-2-3×2=-8;当直线过点 (-2, -2) 时, bmax=-2-3× (-2) =4.所以-8≤b≤4, 于是z=|b|∈[0, 8], 即zmax=8.

【变式】已知x, y满足|x|+|y|≤1, 则z=2|x|-|y|的最大值为 () .

(A) 2 (B) 3

(答案:A.提示:令X=|x|, Y=|y|, 则可行域变形为目标函数变形为z=2 X-Y.可知直线Y=2 X-z经过点 (1, 0) 时, zmax=2×1-0=2.)

13. (-∞, 3/2) .

【变式】一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为x∈ (-∞, -3) ∪ (1, +∞) , 则一元二次不等式cx2+bx+a>0的解集为____.

(答案: (- (1/3) , 1) .

14. (-∞, 1) .可行域Ω如图3中阴影部分所示, 函数y=aex的图象与y轴交于点 (0, a) .当a≥1时, y=aex不经过区域Ω;当a<1时, y=aex经过区域Ω.

【变式】若直线y=3x上存在点 (x, y) 满足约束条件, x≤m烅烄烆, 则实数m的取值范围是____.

(答案: (-1, +∞) .提示:x+y+4=0表示的边界为虚线.)

15. (3/2, +∞) .

【变式】已知x, y满足条件若存在无数组解 (x, y) 使得z=ax+y取得最大值, 则实数a的值等于____.

(答案:0或3/2.)

16.1/2.把函数y=f (x) 的图象向右平移2个单位长度得y=f (x-2) 的图象, 由y=f (x-2) 的图象关于点 (2, 0) 成中心对称, 知y=f (x) 的图象关于原点对称, 即f (x) 为奇函数且在R上单调递减.由

在uOv平面上画出可行域Ω, u2+v2为区域Ω上的点 (u, v) 与原点间距离的平方.而原点到直线u+v=1的距离, 于是u2+v2的最小值为.

【变式】已知奇函数f (x) 在R上单调递减, 且x, y满足则x2+y2+4y的取值范围为____.

(答案:[1, 37].提示:x2+y2+4y=[ (x-0) 2+ (y+2) 2]-4, 即点 (x, y) 与点 (0, -2) 间距离的平方, 再减去4.由图形 (图略) 知点 (x, y) 取 (1, 0) 时, 可得最小值, 取 (4, 3) 时, 可得最大值.)

17.实数m的取值范围是[1/3, 15) .

18.当航速为25km/h时, 总费用最少, 此时总费用为4 000元.

19.设每周生产空调x台、彩电y台, 则生产冰箱120-x-y台, 产值为z千元.

依题意, 得z=4x+3y+2 (120-x-y) =2x+y+240, 且x, y满足

可行域如图4所示.

让目标函数表示的直线2x+y+240=z在可行域上平移, 可得z=2x+y+240在M (10, 90) 处取得最大值, 即zmax=2×10+90+240=350 (千元) .

答:每周应生产空调10台, 彩电90台, 冰箱20台, 才能使产值最高, 最高产值是350千元.

②当时, 解原不等式, 得无解, 即其解集为;

(2) 依2x2-3 (1+a) x+6a>0, (*)

令2x2-3 (1+a) x+6a=0, (**)

可得Δ=9 (1+a) 2-48a=3 (3a-1) (a-3) .

①当时, Δ<0, 此时方程 (**) 无解, 解不等式 (*) , 得x∈R,

因此原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}.

②当a=1/3时, Δ=0, 此时方程 (**) 有两个相等的实根,

解不等式 (*) , 得x≠1, 因此原不等式组的解集为{x|0≤x<1}.

ⅱ) 当a≤0时, 原不等式组的解集为Ø.

综上, 当a≤0时, 原不等式组的解集为Ø;当时, 原不等式组的解集为时, 原不等式组的解集为{x|0≤x<1};当1/3<a<1时, 原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}.

因为5x2+16x+23>0,

所以只需证明, 5x3+11x2+7x+1<0恒成立即可.

令g′ (x) =0, 解得x1=-1, .

当x在上变化时, g′ (x) , g (x) 的变化情况如下表:

所以, 5x3+11x2+7x+1<0恒成立, 结论得证.

三式相加, 得.

因为x1+x2+x3=-3,

所以f (x1) +f (x2) +f (x3) ≤1/4, 且当x1=x2=x3=-1时取等号.

(ⅱ) 当x1, x2, x3中至少有一个大于等于时,

综上所述, 当x1=x2=x3=-1时, f (x1) +f (x2) +f (x3) 取到最大值1/4.

十、三视图和立体几何

1.B.

【变式】已知一个圆锥的侧面积为3π, 则其体积取得最大值时, 底面半径r= () .

2.D.

3.D.该几何体的直观图如图1所示 (可从正方体中截取) , 则与平面ABB1A1垂直的面有4个, 与平面DCC1D1垂直的面也有4个, 故互相垂直的面共有8对.

4.B.

【变式】正方体的外接球与内切球的体积之比为 () .

(答案:C.)

5.A.该几何体是一个底面半径为1, 高为的半圆锥与一个底面为边长是2, 高为的四棱锥的组合几何体, 其体积为.

【变式】已知某几何体的三视图如图2所示, 则该几何体的体积是 () .

(答案:D.)

6.B.

【变式】某三棱锥的正 (主) 视图如图3所示, 则这个三棱锥的俯视图是 () .

(答案:C.)

7.D.该四棱锥的直观图如图4, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是对角线长为2的正方形, 高PA=2, 则BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB, 而, 所以所求的表面积.

【变式】一个正四棱台的上、下底面是边长分别为2, 4的正方形, 高为1, 则该正四棱台的侧面积为 () .

(答案:B.)

8.C.

【变式】已知m和n是两条不同的直线, α和β是两个不重合的平面, 下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 () .

(B) α⊥β且m∥α

(D) m⊥n且α∥β

(答案:C.提示:m∥n且n⊥β⇒m⊥β.)

9.B.

10.A.如图5, 设AC∩BD=O, AC∩EM=Q, 由AC⊥EM, AC⊥QN, EM∩NQ=Q, 得AC⊥平面EMN, EP⊂平面EMN, 有EP⊥AC, ①成立;由BD∥EM, EM∩EP=E, 得EP与BD异面, 则②不成立;可证得平面EMN∥平面BDS, EP⊂平面EMN, 得EP∥平面SBD, ③成立;当P与N重合时, ④不成立.

11.A.设正方体的棱长为1, 则为定值, 当点E在AD上时, S△BCE有最大值1/2, 当点E位于点A处时, S△BED1, S△CED1均取最大值, 这时三棱锥B-D1EC的表面积最大.

【变式】在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E为底面ABCD上的动点.若三棱锥B-D1EC的体积最大, 则E点位于 () .

(A) 线段AB上

(B) 线段AD上

(D) 线段BD上

(答案:B.提示:为定值, 考虑点E到平面BCD1距离的最大值.)

(文) A.方法一:设正方体的棱长为1, 点P到直线CC1的距离为PC=d, 则, 有PC2-PA2=1.以DA, DC分别为x轴, y轴的正半轴建立平面直角坐标系, 则A (1, 0) , C (0, 1) , P (x, y) , 有[x2+ (y-1) 2]-[ (x-1) 2+y2]=1, 即x-y=1/2为直线.

方法二:设正方体的棱长为1, 以D为原点, DA, DC, DD1分别为x轴, y轴, z轴的正半轴建立空间直角坐标系.设P (x, y, 0) , 而A1 (1, 0, 1) , C (0, 1, 0) , 由|PC|=|PA1|, 得|PC|2=|PA1|2, 即x2+ (y-1) 2= (x-1) 2+y2+1, 有x-y=1/2为直线.

13..在正方体ABCD-A1B1C1D1中, BD1的三视图分别为CD1, BC1, BD, 其长度均为 (a为正方体的棱长) .由, 得a=1, 这时.

【变式】空间一线段的主视图、左视图、俯视图的长度分别为, 则该线段的长度为___.

(答案:.提示:构造长方体.)

14.3π.该几何体是一个四棱锥 (正方体的一部分) , 其底面是边长为1的正方形, 高为1, 将其放置于一个棱长为1的正方体中, 则其外接球的直径, 球的表面积.

【变式】一个几何体的三视图如图6所示, 其中正 (主) 视图和侧 (左) 视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 则该几何体的内切球的半径为____.

【变式】设三棱锥A-BCD的体积为V, 以该三棱锥各棱的中点为顶点的多面体的体积为V′, 则.

16. (理) 34.要MP+PQ取得最小值, 点Q必在AC上, 且PQ⊥AC, 将平面AB1C1与平面ACC1翻折到同一个平面上 (如图7) , 则.

【变式】在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=2, BC=AA1=1, 点M为AB1的中点, 点P为对角线AC1上的动点, 点Q为底面ABCD上的动点 (点P, Q可以重合) , 则MP+PQ的最小值为____.

(答案:5/6.)

(文) A1, B1, D.平面A1DE、平面B1DE与直线BD1均相交, 而BD1∥平面C1DE (可取DC1的中点F, 通过BD1∥EF给出证明) , 于是平面DEP可能经过的该正方体的顶点是A1, B1, D.

17. (1) 图略.

(2) 证明略.

(3) 在棱PB上取一点E, 使得, 可使AE∥平面PCD.证明略.

18. (1) 由BB1⊥平面ABC, 得BB1⊥AB.

由AB=3, BC=4, AA′=12知, AC=5, 所以AB2+BC2=AC2, 即AB⊥BC.

又BC∩BB1=B, 所以AB⊥平面BCC1B1.

因为PQ平面BCC1B1, 所以AB⊥PQ.

(2) 因为BM∥平面APQ,

所以点M到平面PAQ的距离等于点B到平面PAQ的距离.

连结BQ, 构造三棱锥A-BPQ.

由△ABP为等腰直角三角形, 得BP=AB=3.

另一方面, 在题图12中, 由△ACQ为等腰直角三角形, 得CQ=AC=7.所以在题图13中, .

在△APQ中, 由余弦定理, 得.

设点B到平面PAQ的距离为d,

19. (1) 张老师换掉的另一根塑料棒是CD (或AD, BC, BA) , 而陈成同学换掉的另外一根塑料棒是AC.陈成同学想搭成的三棱锥中, 取AC中点E, 连结BE, DE.因为AB2+CB2=AC2=2a2, 所以BE是直角三角形ABC斜边上的中线, 得.同理.从而由, 不能构成三角形.

(2) 不妨设张老师换掉的另一根塑料棒是CD, 取BD中点F, 连结AF, CF.

因为△ABD是等腰三角形, 所以AF⊥BD.

又△BCD是直角三角形, 所以CF=BF=DF.

又AB=AC=AD, 所以△ABF≌△ACF, 从而AF⊥CF.又CF与BD确定平面BCD, 所以AF⊥平面BCD.又AF平面ABD, 所以平面ABD⊥平面BCD.

(3) 由 (2) 可知, 三棱锥的外接球的球心必在直线AF上.设球的半径为R, 因为, AB=a, 所以.由, 得R=a.

所以新三棱锥的外接球的表面积S=4πa2.

20. (1) 设M为AB的中点, 连结FM, CM.

在△ABE中, F为BE的中点, FM∥AE, FM= (1/2) AE.

又因为CD∥AE, 且, 所以CD∥FM, CD=FM.

所以四边形CDFM为平行四边形.所以DF∥CM.

因为DF平面ABC, CM平面ABC,

所以DF∥平面ABC.

(2) 在Rt△ABC中, AC=BC=1, 所以.

在△ABE中, AE=2, .

因为BE2=AE2+AB2, 所以△ABE为直角三角形.所以AE⊥AB.

已知平面ACDE⊥平面ABC, 平面ACDE∩平面ABC=AC.

又因为∠ACB=90°, 所以AC⊥BC.所以BC⊥平面ACDE.所以BC⊥AE.

又BC∩AB=B, 所以AE⊥平面ABC.因为CM平面ABC, 所以AE⊥CM.

在△ABC中, 因为AC=BC, M为AB的中点, 所以CM⊥AB.又AE∩AB=A, 所以CM⊥平面ABE.

由 (1) 知DF∥CM, 所以DF⊥平面ABE.

(3) 由 (2) 可知BC⊥平面ACDE, 所以BC为三棱锥B-CDE的高, 所以.

21. (1) 如图8, 连结AB1交A1B于O, 连结OM.

在△B1AC中, 因为M, O分别为AC, AB1的中点, 所以OM∥B1C.

又因为OM平面A1BM, B1C平面A1BM, 所以B1C∥平面A1BM.

(2) 因为侧棱AA1⊥底面ABC, BM平面ABC, 所以AA1⊥BM.

又因为M为棱AC的中点, AB=BC, 所以BM⊥AC.

因为AA1∩AC=A, 所以BM⊥平面ACC1A1.所以BM⊥AC1.

因为M为棱AC的中点, AC=2, 所以AM=1.

又因为, 所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中, .

所以∠AC1C=∠A1MA, 即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°.

所以A1M⊥AC1.

因为BM∩A1M=M,

所以AC1⊥平面A1BM.

(3) 当点N为BB1的中点, 即时, 平面AC1N⊥平面AA1C1C.

设AC1的中点为D, 连结DM, DN, 如图9.

因为D, M分别为AC1, AC的中点,

所以DM∥CC1, 且.

又因为N为BB1的中点, 所以DM∥BN, 且DM=BN.所以四边形DMBN为平行边形边.所以BM∥DN.

因为BM⊥平面ACC1A1,

所以DN⊥平面ACC1A1.

又因为DN⊂平面AC1N,

所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.

22. (1) 在菱形BB1C1C中, BC∥B1C1.

因为BC平面AB1C1, B1C1⊂平面AB1C1, 所以BC∥平面AB1C1.

(2) 连结BC1, 如图10.在正方形ABB1A1中, AB⊥BB1.

因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C, 平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1, AB⊂平面ABB1A1,

所以AB⊥平面BB1C1C.

因为B1C⊂平面BB1C1C, 所以AB⊥B1C.

在菱形BB1C1C中, BC1⊥B1C.

因为BC1∩AB=B, 所以B1C⊥平面ABC1.

因为AC1⊂平面ABC1, 所以B1C⊥AC1.

(3) E, F, H, G四点不共面.理由如下:

因为E, G分别是B1C, B1C1的中点, 所以GE∥CC1.

同理可证:GH∥C1A1.

因为GE⊂平面EHG, GH⊂平面EHG, GE∩GH=G,

CC1⊂平面AA1C1C, A1C1⊂平面AA1C1C,

所以平面EHG∥平面AA1C1C.

因为F∈平面AA1C1C,

所以F平面EHG, 即E, F, H, G四点不共面.

十一、空间向量和立体几何

1.D.2.D.3.A.4.B.

5.C.如图1, 通过翻折为平面的方法, 蚂蚁最短爬行路线有6种, ①中正方形内的线段应为虚线, ①错;②正确;排除A, B, D.③正方形内的线段应为实线.故选C.

6.B.在正三棱锥S-ABC中, 有SB⊥AC.又SB⊥AM, AC∩AM=A, 从而SB⊥平面SAC.由正三棱锥的对称性知SA, SB, SC两两互相垂直.将该正三棱锥放置于一个棱长为a的正方体中, 如图2.由2, 得a=2, 正三棱锥与正方体有相同的外接球.于是, 即, 外接球的表面积.

【变式】在正三棱锥S-ABC中, M是SC上一点, 且AM⊥SB, 底面边长, 则正三棱锥S-ABC的体积为 () .

(答案:B.提示:可得SA, SB, SC两两互相垂直, 所求体积.)

所以三棱锥四个面的面积中最大的是.

8.D.方法一 (补形作角法) :如图4, 将四棱锥补形为正方体, 取CE的中点M, 可证得BM⊥平面PECD.

所以∠BPM是直线PB与平面PCD所成的角, 而, 有.

方法三 (向量法) :设a=1, 以A为原点, AB, AD, AP分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 则.

设PB与平面PCD所成的角为θ, 则.

【点拨】“作角法”“距离法”“向量法”是求直线与平面所成的角的三种常用方法, 作角法是根据直线与平面所成角的定义, 作出其平面角再计算, 距离法是将其转化为距离, 通过sinθ=d/ PB求解, 向量法是通过求解.

9.C.设球的半径为r.由, 得r=1, 于是正三棱柱的侧棱长为2.

10.A.以B1为原点, B1C1, B1B, B1A1分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系, .

11.D.方法一 (几何法) :由∠SCA=90°, 得AC⊥SC.又△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形, 得AC⊥BC, SC∩BC=C, 所以AC⊥平面SBC.又SB⊂平面SBC, 所以SB⊥AC.而∠SBA=90°, 即SB⊥AB, AC∩AB=A, 从而SB⊥平面ABC, 知①②均正确.由AC⊥平面SBC, AC⊂平面SAC, 有平面SBC⊥平面SAC, ③正确.又SB⊥平面ABC, 可得平面ABC⊥平面SAB, 取AB的中点M, 有CM⊥AB.又平面ABC∩平面SAB=AB, 则CM⊥平面SAB, 知点C到平面SAB的距离为, ④也正确.

方法二 (向量法) :同方法一得SB⊥平面ABC, 知①②均正确;以B为原点, BA为y轴, BS为z轴, 垂直于平面SBA的方向为x轴建立空间直角坐标系.设BS=b, 则.

又平面SBC的法向量为, 则, ③正确.

平面SAB的法向量为n′= (1, 0, 0) , 点C到平面SAB的距离, ④也正确.

【点拨】研究空间角问题通常需将几何法与向量法结合在一起运用.如本题用几何法证得SB⊥平面ABC后才便于建立空间直角坐标系, 用向量法解决问题.另外, 在取值求法向量时, 需以降低运算量为原则.如由取x=b, 得n= (b, b, a) , 对后面的计算带来方便, 否则, 若取x=1, 得, 后面的计算量稍大.

12.C.△ABC为等腰直角三角形, 且∠ACB=90°, 而, 要取得最大值, 必有O, A, B, C四点共面, 以O为原点, OC为y轴, OA为z轴, 垂直于平面AOC的方向为x轴.设∠OAC=θ, 则∠BCy=θ, 有B (0, 2sinθ+2cosθ, 2sinθ) ,

13.π/4.

14.2/3.设球的半径为R, 由, 得R=5/4.由, AC=2, 得Rt△ABC外接圆的圆心为AC的中点O′, 设球心为O, 则.

当点D在O′O的延长线上时, 四面体ABCD的体积有最大值.

17. (1) 异面直线AC与PB所成角的余弦值为.

(2) 点A到平面PBC的距离为.

18. (1) 连结FN, 在△PAC中, F, N分别为PA, PC的中点, 所以FN∥AC.因为FN⊂平面DEF, AC平面DEF, 所以AC∥平面DEF.

(2) 如图5, 以D为原点, 分别以DA, DC, DP所在直线为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系, 则, B (1, 1, 0) , C (0, 2, 0) .

设平面PBC的法向量为m= (x, y, z) ,

因为平面ABC的法向量n= (0, 0, 1) ,

由图可知二面角A-BC-P为锐二面角, 所以二面角A-BC-P的大小为π/4.

故在线段EF上存在一点Q, 且.

19. (1) 因为AE⊥A1B1, A1B1∥AB, 所以AB⊥AE.

又因为AB⊥AA1, AE∩AA1=A, 所以AB⊥平面A1ACC1.

又因为AC⊂平面A1ACC1, 所以AB⊥AC.

令z=2 (1-λ) , 所以n= (3, 1+2λ, 2 (1-λ) ) .

由题可知平面ABC的法向量m= (0, 0, 1) .

因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为,

解得λ=1/2或λ=7/4 (舍去) .

所以当点D为A1B1的中点时, 满足要求.

20. (1) 由题意可知四边形ABED是平行四边形, 所以AM=ME.又因为AB=BE, M为AE的中点, 所以BM⊥AE, 即DM⊥AE.

又因为AD∥BC, AD=CE=2, 所以四边形ADCE是平行四边形.

所以AE∥CD.所以CD⊥DM.

因为平面B1AE⊥平面AECD, 平面B1AE∩平面AECD=AE, B1M⊥AE, 所以B1M⊥平面AECD.

因为CD⊂平面AECD, 所以B1M⊥CD.

因为MD∩B1M=M, 所以CD⊥平面B1MD.

(2) 如图7, 以ME为x轴, MD为y轴, MB1为z轴建立空间直角坐标系, 则.

平面AB1E的法向量为.

设平面DB1A的法向量为m= (x, y, z) .

因为二面角D-AB1-E为锐角, 所以二面角D-AB1-E的余弦值为.

(3) 设在线段B1C上存在点P, 使得MP∥平面B1AD.

因为MP∥平面B1AD, 所以.

又因为MP平面B1AD,

所以在线段B1C上存在点P, 使得MP∥平面B1AD, 且.

21. (1) 取PD的中点Q, 连结NQ, CQ,

因为点M, N分别为BC, PA的中点, 所以NQ∥AD∥CM, , 四边形CQNM为平行四边形, 则MN∥CQ.

又MN平面PCD, CQ⊂平面PCD.

所以MN∥平面PCD.

(2) 连结PM.因为AB=AC=1, 点M分别为BC的中点, 则AM⊥BC.

又PA⊥平面ABCD, 则PM⊥BC.所以∠PMA即为二面角P-BC-A的平面角, 设为θ.以AB, AC, AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立的空间直角坐标系, 则A (0, 0, 0) , B (1, 0, 0) , C (0, 1, 0) , .

设平面PBC的一个法向量为n= (x, y, z) ,

因为0<α<π/6,

十二、直线与圆、曲线与方程

1.C.

【变式】已知直线l1:ax+y=1和直线l2:x+ay=2, 则“a+1=0”是“l1∥l2”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

(答案:A.)

2.B.

【变式】在下列直线中, 与非零向量n= (A, B) 垂直的直线是 () .

(A) Ax+By=0 (B) Ax-By=0

(答案:A.)

3.A.方法一 (几何法) :由直线与圆相交, 得, 则-2<b<6.

|b|<2成立-2<b<6成立, -2<b<6成立/|b|<2成立.

由直线与圆相交, 得Δ=12× (b-2) 2-4×4 (b2-4b) >0, 解得-2<b<6.|b|<2是-2<b<6的充分不必要条件.

【点拨】研究直线与圆的位置关系问题时, 一般而言, 用几何法运算量较低, 且直观, 更为方便.

【变式】若直线与曲线有两个不同的交点, 则b的取值范围是 () .

(答案:B.提示:由, 得x2+ (y-2) 2=4, y≤2, 表示半圆.当直线与相切时, 由, 得b=-2或b=6 (舍去) .当直线过点 (2, 2) 时, .)

4.D.

【变式】若经过点P (-2, 0) 的直线与圆x2+y2=2相切, 则此直线在y轴上的截距是 () .

(A) -2 (B) 2

(答案:C.)

5.B.方法一:以O (0, 0) , A (2, 3) 为直径端点的圆的方程为x (x-2) +y (y-3) =0, 即x2+y2-2x-3y=0, 与圆C:x2+y2=4相减, 得2x+3y-4=0.

所以直线PQ的方程为2x+3y-4=0.

方法二:设切点P (x1, y1) , Q (x2, y2) , 则, 则切线方程为, 即x1x+y1y=x21+y21=4, 其经过点A (2, 3) , 有2x1+3y1=4.同理2x2+3y2=4.

所以直线2x+3y=4过A, B两点, 即直线AB的方程为2x+3y-4=0.

【点拨】 (1) 方法一用到了下面的结论:①已知A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则以AB为直径的圆的方程为 (x-x1) (x-x2) + (y-y1) (y-y2) =0 (在圆上任取一点P (x, y) , ) ;

②圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交于点A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则直线AB的方程为 (D1-D2) x+ (E1-E2) y+ (F1-F2) =0.

(2) 以上两种方法在运算量方面相差不远, 但方法二对椭圆、双曲线、抛物线也适用.

6.A.

7.C.

【变式】已知点A是直线l:上的动点, 过点A作圆C: (x-2) 2+y2=1的切线, 切点为P, 则|AP|的最小值为 () .

(答案:B.)

8.C.设B (x1, y1) .由, 得A是MB的中点, 则,

所以圆O:x2+y2=1与圆O′: (x+t) 2+ (y+2) 2=4有公共点.

方法二 (几何法) :直线的倾斜角为30°, 于是在△AOB中, ∠A=∠B=30°, 从而∠AOB=120°, 则.

【变式】过点P (-1, -1) 的直线与圆O:x2+y2=1相交于A, B两点, 则.

(答案:D.提示:过点P作圆O的切线, 设切点为Q, 有|PQ|=1.由切割线定理, 得.)

10.D.

【变式】已知在圆M:x2+y2-4x+2y=0内, 过点E (1, 0) 的两条弦AC, BD互相垂直, 则四边形ABCD面积的最小值为 () .

(A) 4 (B) 8

(答案:B.提示:设圆心M (2, -1) 到弦AC, BD的距离分别为m, n, 则, 仅当m=n=1时取等号.)

11. (理) B.

(文) D.设圆M与圆C1内切于点A, 圆M与圆C2内切于点B, 圆M的半径为r, 则|C1M|=|AM|-|C1A|=r-1, |C2M|=|C2B|-|MB|=5-r, 有|C1M|+|C2M|=4, 所以点M的轨迹是以C1 (-1, 0) , C2 (1, 0) 为焦点的椭圆.设其方程为 (a>b>0) , 且2a=4, c=1, 有a=2, b2=a2-c2=3, 即.

(文) C.由圆M与圆C总有公共点, 得3-2≤|CM|≤3+2, 即1≤|CM|≤5.由于点M在圆C内, |CM|≤5显然成立, 故|CM|≥1.点M在直线l:kx-y+3=0上, 且直线l过定点 (0, 3) , 只需使直线l与圆 (x-1) 2+ (y-1) 2=1相切或相离, 所以.

13. (x-3) 2+ (y-3) 2=18.

【变式】已知圆C的圆心在直线x-y=0上, 且圆C与直线x+y=0相切, 直线x+y-12=0被圆C截得的弦长为, 则圆C的标准方程是____.

(答案: (x-4) 2+ (y-4) 2=32.)

15. (-∞, -1]∪[1, +∞) .设过点P的直线与圆相切于A, B两点, 则四边形PAOB是边长为1的正方形, 有, 于是直线y=kx+2与圆x2+y2=2有公共点, 所以, 得k2≥1, 即k≤-1或k≥1.

17. (1) 圆C的方程为 (x+4) 2+y2=16.

(2) 直线FG被圆C截得的弦长为7.

18. (1) 由得圆心C为 (3, 2) .

因为圆C的半径为1,

所以圆C的方程为 (x-3) 2+ (y-2) 2=1.

显然切线的斜率一定存在, 设所求圆C的切线方程为y=kx+3, 即kx-y+3=0.

所以所求圆C的切线方程为y=3或, 即y=3或3x+4y-12=0.

(2) 因为圆C的圆心在直线l:y=2x-4上, 所以设圆心C为 (a, 2a-4) ,

则圆C的方程为 (x-a) 2+[y- (2a-4) ]2=1.

设圆D:x2+ (y+1) 2=4, 所以点M应该既在圆C上又在圆D上, 即圆C和圆D有交点.

由5a2-12a+8≥0, 得a∈R;由5a2-12a≤0, 得.

所以a的取值范围为.

19. (1) 如图1, 设AB的中点为M, 切点为N, 连结OM, MN, 则|OM|+|MN|=|ON|=2, 取A关于y轴的对称点A′, 连结A′B, 故|AB|+|A′B|=2 (|OM|+|MN|) =4.

所以点B的轨迹是以A, A′为焦点, 长轴长为4的椭圆.其中, a=2, , b=1, 则曲线Γ的方程为.

(2) 如图2, 因为B为CD的中点, 所以OB⊥CD, 则.

又因为AC=4, 所以OC=1.所以.

所以直线CD的方程为, 即x+7y-5=0.

(2) 设C (-3m, 4m) (0<m≤1) , 则OC=5m, 则AC=OA-OC=5-5m.

因为AC=BD, 所以OD=OB-BD=5m+4.所以点D的坐标为 (5m+4, 0) .

又设△OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

解得D=- (5m+4) , F=0, E=-10m-3.

所以△OCD的外接圆的方程为x2+y2- (5m+4) x- (10m+3) y=0.

整理, 得x2+y2-4x-3y-5m (x+2y) =0.

所以△OCD的外接圆恒过定点 (2, -1) .

21. (1) 由x2+y2-6x+5=0, 得 (x-3) 2+y2=4.所以圆C1的圆心坐标为 (3, 0) .

(2) 设M (x, y) .因为点M为弦AB的中点, 即C1M⊥AB,

所以kC1M·kAB=-1, 即.

所以线段AB的中点M的轨迹的方程为.

(3) 由 (2) 知点M的轨迹是以为圆心, 为半径的部分圆弧EF (图3所示, 不包括两端点) , 且.

又直线L:y=k (x-4) 过定点D (4, 0) ,

当直线L与圆C相切时,

十三、圆锥曲线

1.D.

【变式】已知椭圆C: (a>b>0) 的焦点为F1, F2, 若椭圆C上存在一点P, 使得∠F1PF2=90°, 则椭圆C离心率的取值范围是 () .

(答案:B.)

2.C.

【变式】若方程表示椭圆, 则实数k的取值范围是 () .

(A) (-∞, -2)

(B) (2, 5/2)

(答案:D.)

3.A.

【变式】已知点A (1, 1) , F是椭圆的左焦点, 若点P在椭圆上运动, 则|PA|+|PF|的最小值为 () .

(答案:C.)

4.D.

5.B.

【变式】设双曲线 (a>0, b>0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 直线l经过F1且与双曲线交于两点A, B, 若△AF2B为正三角形, 则双曲线的离心率为 () .

(答案:C.)

7.C.由题意, 得, 则a2+b2<3, 即点P (a, b) 在圆x2+y2=3的内部.又圆x2+y2=3在椭圆的内部, 于是点P在椭圆的内部, 故过点P的一条直线与椭圆有2个公共点.

9.D.由, 得c2=2a2=a2+b2, 即a=b, 因此双曲线的一条渐近线为l:y=x.

由得P (4, 4) .而抛物线的准线为x=-1, 于是|PF|=4- (-1) =5.

10.D.

【变式】已知直线y=kx-k与双曲线x2-y2=4在右支有两个不同的交点, 则实数k的取值范围是 () .

(答案:D.)

15.①②④.16.- (3/8) .

17. (1) 椭圆C的方程是.

(2) kOM·kPB=-1不成立, 理由略.

(2) (i) 由题意可知, 直线l的斜率为0时, 不合题意.

(ii) 不妨设直线l的方程为x=ky+m.

因为以AB为直径的圆过点M (2, 0) , 所以.

将x1=ky1+m, x2=ky2+m代入上式,

综上, 直线l经过定点 (6/5, 0) .

故椭圆C的标准方程为.

两式作差, 得.因为直线PA, PB的斜率都存在, 所以x20-x21≠0.

所以当PA, PB的斜率都存在时, kPA·kPB=- (1/2) .

(ii) k=0时, P (x0, y0) , A (-2, 0) , B (2, 0) , 设PA的斜率为n, 则PB的斜率为.

直线PA:y=n (x+2) , M (3, 5n) , 直线PB:,

20. (1) 由题意可设抛物线C的方程为x2=2py (p>0) , 则p/2=1, 所以抛物线C的方程为x2=4y.

(2) 由题意知, 直线AB的斜率存在.设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 直线AB的方程为y=kx+1.

同理点N的横坐标.

令4k-3=t, t≠0, 则.

综上所述, 当, 即时, |MN|的最小值是.

21. (理) (1) 点M (1, 0) 是椭圆C的“1分点”, 理由如下:

(2) 假设点M (1, 0) 为椭圆C的“2分点”, 则存在过点M的直线l与椭圆C交于A, B两点, 使得S△AOB=2S△AOD, 显然直线l不与y轴垂直.设l:x=my+1, A (x1, y1) , B (x2, y2) .

因为S△AOB=2S△AOD,

将④代入⑤中得, 无解.

所以点M (1, 0) 不是椭圆C的“2分点”.

(3) x0的取值范围为 (-2, -1) ∪ (1, 2) .

(文) (1) 椭圆C的离心率.

设点E, F的坐标分别为 (x1, y1) , (x2, y2) , EF的中点M的坐标为 (xM, yM) ,

因为△BEF是以EF为底边, B为顶点的等腰三角形, 所以BM⊥EF.

因此BM的斜率.

又点B的坐标为 (0, -2) ,

所以EF的方程为.

又圆的圆心O (0, 0) 到直线EF的距离为,

3.2016考研数学复习误区篇三

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）

1.实数-2的绝对值是（）.

A.2B.12C.-12D.-2

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.

3.计算：32-8的结果是（）.

A.24B.26C.32D.22图1

4.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinA的值为（）.

A.12B.22C.32D.1

5.下列命题是假命题的是（）.

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的菱形是正方形图2

6.如图2，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠APB=60°，

则∠AOB的度数为（）.

A.60°B.90°C.120°D.150°

7.我市4月份前5天的最高气温如下（单位：℃）：27，30，24，30，

31，对这组数据，下列说法正确的是（）.

A.平均数为28B.众数为30C.中位数为24D.方差为5

8.已知反比例函数y=kxk<0的图象上两点Ax1，y1、Bx2，y2，且x1

A.y1·y2<0B.y1+y2<0C.y1-y2>0D.y1-y2<0

9.如图3，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线

BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（）.

A.60°B.45°C.30°D.15°

10.如图4，正方形ABCD的边CD与正方形CEFG的边CE重合，点O是EG的中点，∠CGE的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH，EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO∥BG，HO=12BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF.其中结论正确的个数是（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

第二部分非选择题（共120分）

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）

11.正多边形一个外角的度数是60°，则该正多边形的边数是.

12.代数式xx-2有意义时，x应满足的条件为.

13.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB=.

14.在二次函数y=-2（x-3）2+1中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是.

15.若α，β是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为.

16.一个几何体的三视图如图5，根据图示的数据计算该几何体的全面积是.（结果保留π）.

三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）

17.（本题满分9分）计算：x-32-1-x·3-x-2.

18.（本题满分9分）如图6，在ABCD中，BE=DF.求证：AE=CF.

19.（本题满分10分）如图7，AB为⊙O的直径，劣弧BC=BE，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D.

求证：（1）AC=AE；（2）AB2=AC·AD.

20.（本题满分10分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；

（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率.

21.（本题满分12分）如图8，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数y=-8x的图象在第二象限内交于点B，过点B作BD⊥x轴于点D，OD=2.图8

（1）求直线AB的解析式；

（2）若点P是线段BD上一点，且△PBC的面积等于3，求点P的坐标.

22.（本题满分12分）为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.根据市政建设的需要，须在40天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程.经调查知道：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.

（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？

（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元.请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少.

23.（本题满分12分）如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D.

（1）动手操作：利用尺规作⊙O，使⊙O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出⊙O与AB的另一个交点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合应用：在你所作的图中，

①判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

②若AB=6，BD=23，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）.

24.（本题满分14分）如图10，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D，与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当四边形OBMC的面积最大时，求△BPN的周长；

（3）在（2）的条件下，当四边形OBMC的面积最大时，在抛物线的对称轴上

是否存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标.

25.（本题满分14分）如图11①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED与AB、BC分别交于M、H.

（1）求证：CF=CH；

（2）如图11②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论.图11

参考答案

一、选择题：1-5：ACDAB，6-10：CBDBC.

二、填空题：11.6；12.x≥0且x≠2；13.5；14.x<3；152；16.3π.

三、解答题：

17.略.原式=-2x+4.

18.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB=CD，所以∠ABD=∠CDB；因为BE=DF，所以△ABE≌△CDF，所以AE=CF.

19.证明：（1）因为BC=BE，所以AC=AE，所以AC=AE.

（2）连结CB.因为BC=BE，所以∠1=∠2；又因为AB是⊙O的直径，所以AB⊥CE；因为BD∥CE，所以AB⊥BD，所以∠ABD=90°；因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABD=∠ACB=90°，

所以△ACB∽△ABD，所以ACAB=ABAD，所以AB2=AC·AD.

20.解：（1）全校班级个数：4÷20%=20（个），只有2名留守儿童的班级个数：20-2-3-4-5-4=2（个），补全条形统计图（略）.

120×（1×2+2×2+3×3+4×4+5×5+6×4）=4（名），答：该校平均每班有4名留守儿童.

（2）因为只有2名留守儿童的班级有两个班，可设甲班和乙班，甲班的2名留守儿童为a1，a2，乙班的2名留守儿童为b1，b2，列表或画树状图，

所以P（所选两名留守儿童来自同一个班级）=13.

21.解：（1）OD=2，点B的横坐标是-2，当x=-2时，y=-8-2=4，所以点B坐标是B（-2，4）；

设直线AB的解析式是y=kx+b，图象过B（-2，4）、C（0，2），-2k+b=4，

b=2，解得k=-1，

b=2，所以直线AB的解析式为y=-x+2.

（2）因为OD=2，S△PBC=12PB·OD=3，所以PB=3，

所以PD=BD-PB=4-3=1，所以点P的坐标是P（-2，1）.

22.解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需2x天，由题意得：1[]x[SX）]+1[]2x[SX）]=1[]10[SX）]，所以x=15，经检验：x=15是原方程的解，所以当x=15时，2x=30；答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天.

（2）因为甲乙两工程队均能在规定的40天内单独完成，所以有如下三种方案：方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：45×15=675（万元）；方案二：由乙工程队单独完成.所需费用为：25×30=75（万元）；方案三：由甲乙两队合作完成.所需费用为：（45+25）×10=70（万元）.因为75>70>675，所以应该选择甲工程队承包该项工程.

23.解：（1）如下图，作⊙O，标出点E；23题图

4.考研数学复习避开误区所向披靡篇四

一：心态不积极、不理解解题的本质

“考研难，考研数学更难”，这种说法在考研人中间经常听到。不少考生尚未了解考试内容和题型时，就已经对数学产生了畏难情绪，这对于报考专业需要考数学的同学来讲，是很不利于复习的。更有甚者，可能直接导致在复习中消极应付，而非积极准备，“过线就行”成为普遍的目标。因此，要想学好数学，首先要克服惧怕心理，树立必胜的信心，化消极被动为主动，才可以在数学的学习和解题中体会到真正的乐趣。

考研数学的学习是一件很艰苦的工作，很多学生片面追求一些现成的.方法和技巧，殊不知方法和技巧是建立在自己对基本概念和基础知识深入理解的基础上的，每一种方法和技巧都有它特定的适用范围和使用前提。有些复习参考书上提供的技巧可以用，但不要完全产生依赖想法，避免最好“知其然，不知其所以然”。

二：公式拿来背诵、只看题不做

前期不注重记忆公式、定理的考生，最后的数学成绩都不很理想，要么在及格分数线之间游走，要么对后面强化复习的信心有消极的影响。前期复习一定要从最基础的公式、定理进行，从教材上熟悉他们的使用范围，但绝对不要专门抽出时间去背诵记忆公式概念，要放到教材与复习大全等参考书学习过程中记牢。

由于时间原因，很多人买了资料后只是匆匆茫茫的看书而不动手练习，造成眼高手低。在我们还没有建立起来完备的知识结构之前，一带而过的复习必然会难以把握题目中的重点，忽略精妙之处。况且，通过动手练习，我们还能规范答题模式，提高解题和运算的熟练程度，要知道三个小时那么大的题量，本身就是对计算能力和熟练程度的考察，而且现在的阅卷都是分步给分的，怎么作答有效果，这些都要通过自己不断的摸索去体会把握。

三：忽略基础、陷入题海战术

万丈高楼平地起，基础知识的学习对于任何一门学科都不例外。考研数学中大部分是中挡题和容易题，难度比较大的题目只站20%左右，而且难题不过是简单题目的进一步综合，如果你在某个问题卡住了，必定是因为对于某一个知识点理解不够，或者是对一个简单问题的思路模糊。

忽略基础造成考生在很多简单的问题上丢分惨重，为了不确定的30%而放弃可以比较确定的70%，实在是不划算。所以在打牢基础方面要下功夫，从选择复习资料开始，蔡子华的《复习大全》与陈文灯的《复习指南》、黄先开曹显兵的《考研数学过关与提高》都可以用作夯实基础与强化解题能力。

我们作题，是要把整个知识通过题目加深理解并有机的串联起来。数学的学习离不开作题，但从来不等于作题，抽象性是数学的重要特征之一，在复习过程中，我们通过作题，发散开来对抽象知识点的内涵和外延进行深入理解，这是非常必要的。但是时刻不要忘了最根本的目的是要对知识点进行理解进而形成我们自己有机联系的知识结构。

因此我们做题的思路，必然应该是从理解到作题归纳再回到理解。在此之外，再做一些题目增加熟练度是有必要的，单如果超出了这个限度。让作题成为一种机械化的劳动，就没必要了。要记住，时刻目标明确、深入思考才识提高数学思维和数学能力的关键。

四：用公式翻教材、春季就做真题

有许多人还有这样的习惯，公式没记牢，作题的时候看书，查完了作完了也就完了。数学的逻辑性很强，公式和公式、定理和定理之间有着必然的内在联系，我们应该在平时的复习过程中有理解的加以记忆，而不是单纯的背诵。机械的记忆容易遗忘和产生差错，这样的话到时候我们用错了都全然不知，如此造成失分岂不冤枉?但公式概念不要单纯地去背诵，而是要在做教材上的题目时就记牢。

合理的春季数学复习计划安排，都是以基础为重点，而将数学真题的复习放在冲刺阶段。春季复习最好是围绕在基础知识的掌握，考研数学真题在基础知识上又有所提高，这时候做题可能会错不少，会给自己的信心带来很大的打击。因此，基础阶段的练习题可以使用教材上的练习题。

5.考研英语复习误区篇五

未通过练习的技巧始终都不属于自己，在考研英语的前期复习中，我们可能听过了很多解题思路和技巧，那么，在冲刺阶段一定要将其在历年的真题中不断实践。

针对历年真题进行再次梳理与强化是大家首先要做的，尤其不放过任何一个错误选项的原因分析。历年真题是熟悉考研试题最好的材料，所以一定要吃透历年真题。

2.盲目做题，错选模拟试题

每年到了考研冲刺阶段，考生的真题已经做透了，很多都是拿到题目就知道选什么，这时大家可以适当做些模拟题。

模拟试题一定要与考研试题契合，不可盲目地做题。同时，做模拟题，不要过分计较正确率，做题是为了体会考研的氛围和做题技巧，不是为了给自己施加压力。

3.不练写作，依赖临考模板

冲刺阶段是提高写作水平，提高考试总分的最佳时机。不加强写作训练，仅依赖临考模板，很难写出高分作文。

大家要熟悉考研英语写作的要求与题目类型，有针对性地多写多练。

历年考过的写作试题自己要独立练习一遍，两天至少写一篇文章然后修改(要求连打草稿的时间在内，30分钟誊写完成)，最后用半小时的时间查证有疑问的单词和表达方法。

大家在进考场之前，一定要有属于自己的作文模板或是经典句式，这样到了考场上才能以不变应万变，短时间内写完作文，为阅读题目留出充足时间。

4.不注意控制答题规范，超时

在冲刺阶段，大家进行模拟试题或者真题的实战演练过程中，要注意答卷时间的分配，重视考场心态的调整。

因为考试题量大，时间紧，很多同学都会有时间不够的感觉，在这个阶段的复习中，我们需要特别注意的一点就是针对整张试卷和答题规范的把握。

按照规范，需要写的不要落掉，不需要写的，我们争取不写。这样的话，一方面可以节省时间，另一方面可以规范我们的思路。

由于真题有限，所以我们应该重复这个训练过程，直到对自己满意了为止。同时做好归纳和总结，自己不扎实的题以及出过错误的题，都要全部记录下来。

在冲刺的阶段，要注意将做题时间安排得和考试时间同步，比如考英语的时间段，则每天安排在这个时间段做英语试题，规划好做题时间，提前为自己营造考试氛围。

只有平时养成良好的习惯，考试的时候才能做到心中有数，不至于惊慌失措。

5.间断复习，时间安排不合理

部分同学因为前期复习了大量的英语，所以在最后搁置了英语主攻其他两项，这是非常错误的。

一旦你因为时间不够放弃了英语一周，再做时很容易没有了阅读的感觉，因此英语每天都要看。

规律的复习要配合规律的作息，调整作息时间，有规律才能保证每天精力充沛，同时要注意起居饮食，调整好自己的生物钟，从容地安排自己的时间。

在众多选择中，我们选择考研，并不容易。在考研路上，我们面对各种各样的诱惑，坚持复习备考，更是不容易。

既然选择了远方，便只顾风雨兼程，请各位千万避开冲刺阶段考研英语的复习误区，这样，离成功也就不远了。

1.考研英语复习的误区

2.考研英语复习备考常见误区

3.考研英语复习的三大误区

4.考研英语三大复习误区

5.考研英语基础复习的误区

6.考研英语复习误区讲解

7.考研英语复习避免的误区

8.考研英语复习常见的6大误区

9.2017考研英语新题型常见3大复习误区

6.破除考研政治复习五大误区篇六

生活中想要参加在职研究生的人有很多，因为参加在职研究生的好处有很多，那么考研政治复习，千万别中这五大误区?

误区之一：政治复习是否需要早动手，早复习的东西怎么对抗遗忘。

政治科目的复习有其独特性，是否要早动手复习要看个人的需求和复习效果。

一般对于工科专业的学生来讲，政治基础薄弱，大学期间各门政治科目的学习基础几乎为零，对于这些同学来讲，就要提早动手，通过反复的复习背诵对抗遗忘。研究生考试不仅是考知识、考背功，而且是考能力、考状态。能力的提高，是日积月累的过程，临时抱佛脚于事无补;好的状态有一个生物钟周期的调整问题，仓促、急切之间只能势得其反。

而对于文科的同学，政治素养和基础本身比较好，而考研科目中还有外语和专业课需要投入大量的精力，政治完全可以跟着辅导班的课程走。而对于外语和专业课这些需要牢固的基础知识做保证的科目必须要日积月累，提早动手。

误区之二：在新大纲下来之前，不用展开复习，以避免无用功、走弯路。

就近年的情况看，考研政治哲学，经济学大纲通常都是比较稳定的。其他几门功课变化比较多。考研政治哲学，经济学一定要有只争朝夕的`精神，及早行动、从现在做起、抢战先机。

误区之三：政治考个及格水平比较容易，不需要投入太多的精力。

研究生考试是博弈型而非达标型的考试，胜出的要害，是你必须取得压倒对手的优势。也就是说，对考研中的分数而言，相对才具有绝对的意义。例如，只得了30分，是否应当悲痛?且慢，看对手!如果他们的得分都在30之下，你考研成功。反过来，得了80分是否很兴奋?别着急，还得看对手!倘若他们都在80以上，你的命运就是被淘汰出局。所以，考研胜利的关键是要比对手多得分。在对手的得分普遍比较高的情况下，要出乎其类、拔乎其萃，谈何容易?所以，那种以为上届考生得分比较高就掉以轻心的态度，是愚蠢的。

误区之四：只靠押题考研过关没问题。

有考试必定有押题;押题可以锦上添花，但不能雪中送炭;对待押题应当战略上忽视，战术上重视。押题有以下特点：1、偶然性。能否押上，情形和买彩票刮奖一样。考研关系到我们的重大利益，对这个如此重大的利益采取赌博的态度，是不明智的。

2、欺骗性。有的押题神话的鼓吹者吹嘘命中了多少多少，实际上他是用了瞒天过海术，即只讲押中了多少，而没有说他押了多少;也就是说只讲分子，不讲分母。其实有的人预测的题目是个天文数字，连写带说，超过300百万字，整个一个“海押”。这种押题法叫做“卡拉OK”押题法，押题者自娱自乐，学生晕头转向、不知所云。比如书名写着考前30题、20题，其实内容上每一题又分为4到5个大题，洋洋洒洒二三百题，这种书考生连阅读一遍的时间都来不及。真正能够有押题效果的是那种依靠三套左右试卷来押题的资料。

3、有害性。押题神话是迎合、利用、煽动了我们人性中的众多弱点，诸如投机、懒惰、愚蠢;与考研胜利所必需的扎实、勤奋、智慧等南辕北辙、水火不容。所以，成为押题神话的俘虏之日，就是考研成功的所有希望从基础上、根本上完全彻底地葬送之时。真正要做的是在辅导班的强化班上课堂上解决所有问题。

误区之五：高等教育出版社出版的《政治理论考试参考书》是国家指定的教材，是考研复习的“红宝书”。

在研究生复习方面，国家并没有指定任何一本书为“钦定教材”，所以，关于“红宝书”的说法，是以讹传讹。关于《政治理论考试参考书》，我的看法是，与其他教材一样，它既有优点，也存在缺陷。优点是比较精练，是所有同类书中篇幅最小的;缺点是与考试大纲衔接得不够紧密，一些大纲业已删除的考点它继续保留，而大纲新增加的它又没有及时补充。此外，一些知识点是讲解也存在错误。

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