2024高考必考问题9 等差、等比数列的基本问题

2024高考必考问题9 等差、等比数列的基本问题（精选2篇）

1.2024高考必考问题9 等差、等比数列的基本问题 篇一

等差等比数列问题

一、等差数列、等比数列基本数列问题

1．等差数列an，s636，sn6144，sn324，求n的值

1）an2an11；2）an2an1n1；3）an2an1n2n1； 4）an2an12n；5）an2an13n

1）sn2an1；2）sn22n1n1；3）sn2an1n2n1； 4）sn2an12n；5）sn2an13n 2．已知数列，aan满足：a＝m（m为正整数）

anA7n5

2．已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An,Bn，且n，则使得为整数

bnn3Bn的的正整数n个数为：

3．已知等差数列an，a1a3a5a9936，公差d2，求s100的值。

4、已知等差数列an的第2项为8，前10项和为185。1）求an的通项公式；2）若数列依次取出a2,a4,a8,,a2n

n1

an中

an当a为偶数时

n，若a6＝1，则m所有2

当an为奇数时3an1

得到新数列bn，求数列bn的通项公式。

可能的取值为

四、数列与其它

1.已知数列an的通项公式annnN，则数列an的前30项中，最大项和最小项分别

n是

2．已知数列an是递增数列，且ann2n，则实数3.（Ⅰ）设

4．设等比数列an的公比为q（q>0），它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前前n项中数值最大的项为27，求数列的第前2n项。

5．已知数列an的首项为23，公差为整数，且前6项为正，从第7项起为负数，求Sn的最大值。

范围是

an为正整数，6．数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1

数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264.（1）求an,bn；（2）求证1113.S1S2Sn

4二、数列思想问题

1．数列an的前n项和Sn，又bn2．求和sn

3,b11，a1,a2,,an是各项均不为零的等差数列（n4），且公差d0，若将此数列删

a1的数值；②求n的所有可d

去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求

能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

an

b1,b2,,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．，求bn的前n项和

123n23n aaaa

3．等差数列an和等比bn，求数列anbn的前n项和 4．111

1*2

2*3

3*4

n1n 1213243



n*n11*22*33*4n*n15．已知数列an满足a12a23a3nannn1，求数列an的通项公式

三、复合数列问题

1、已知数列an满足下列条件，且a11，求数列an的通项公式

2.2024高考必考问题9 等差、等比数列的基本问题 篇二

【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）【答案】B

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与得结果.【母题原题2】【2017新课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发 大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的

答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项 是2，2，再接下来的三项是2，2，2，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项 和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 【答案】A B．330

C．220

D．110 010

20的关系，从而求

【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.?an的最大值【母题原题3】【2016新课标1，理15】设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2鬃为.【答案】64 【解析】

a182a1a310a1(1q)10试题分析：设等比数列an的公比为q(q0)，由得，解得1.所以2aa5q24a1q(1q)52a1a2anaqn12(n1)117n2n1n(n21)8()222，于是当n3或n4时，a1a22nan取得最大值2664.【考点】等比数列及其应用 【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性

质的应用,尽量避免小题大做.【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.【方法总结】

1.求数列前n项和的常用方法 1）分组求和法

分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.bn，n为奇数(2)通项公式为an＝cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.2）裂项相消法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：an是公差为d的等差数列，求aak1kk1n11111解：由d0

ak·ak1akakddakak1n11111111111∴…… aadaadaaaaaak1kk1k1k123n1k2n1n111 da1an13）错位相减法 若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比.如：Sn12x3x24x3……nxn1

① ②

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn ①—②1xSn1xx2……xn1nxn

x1时，Sn1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……nnn1 24）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a12.数列与函数综合

（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 3.数列与不等式综合

与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；

5.以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．1．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】等比数列（）A.B.C.D.中，，则

【答案】A

点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列数）仍是等比数列．

2．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷

（二）】设,则A.B.的前

项和

()

是公差不为0的等差数列,满足

是等比数列，则，当然（为常 C.D.【答案】C 【解析】分析：根据题意变形可得：式求和公式及其性质即可得出． 详解: ：a4+a5=a6+a7，化简可得：即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0． ∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10==5（a5+a6）=0，故选：C．

点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：

若等差数列①若②、、的前项和为，且，则、成等差数列．

；，则 222

2，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公，3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】数列(且)，则此数列为()

中，已知，且，A.等差数列 B.等比数列

C.从第二项起为等差数列 D.从第二项起为等比数列 【答案】D

点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示． 4．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷

（一）】等比数列的前项和，前，则（）A.【答案】D 【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，B.C.D.项和，前

项和分别为，即，故选D.，点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.5．【2018年天津市南开中学高三模拟考试】已知等比数列A.B.C.D.的前项和为，且，则（）

【答案】D

点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.6．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】已知数列公差为5的等差数列，若，则数列

为

是公差为3的等差数列，是A.公差为15的等差数列 B.公差为8的等差数列 C.公比为125的等比数列 D.公比为243的等比数列 【答案】A 【解析】分析：先根据等差数列定义求公差，即得结果.详解：因为数列所以因为是公差为3的等差数列，所以, 是公差为5的等差数列，, 因此选A.点睛：判断或证明(1)用定义证明：(2)用等差中项证明：(3)通项法： 为的一次函数；(4)前项和法： 为等差数列的方法：

为常数）；

；

7．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考

（八）】公差与首项相等的等差数列记A.B.，其中表示不超过的最大整数，如 D.，的前项和为，且的前

.，则数列项和为（）

C.【答案】C

点睛：（1）本题主要考查等差数列的通项和前n项和，考查学生接受新定义及利用新定义解题的能力.(2)由于新数列的通项不方便求出，所以利用列举法比较恰当.的前项和满足，其中

． 8．【北京西城八中2017届高三上学期期中考试】已知数列（Ⅰ）求证：数列（Ⅱ）设，求数列为等比数列． 的前项和． 【答案】(1)见解析（2）

【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义证结论，（2）根据分组求和法（一个等比数列与一个等差数列和）求数列详解：解：（Ⅰ）∴当时，①，解得

； 的前项和

点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）的前项和为，首项

且9．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷

（一）】若数列（）.的通项公式；（），令，求数列或的前项和.（1）求数列（2）若【答案】(1)

.(2).【解析】分析：（1），详解：（1）当时，或

；(2)由，则，即，可得，利用裂项相消法求和即可.或当时，点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】设等差数列列，（1）求数列.的通项公式； 的前项和为，且成等差数（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)an=2n-1(2)【解析】分析：设等差数列得：的首项为,公差为, 由成等差数列，可知，由此解得，即可得到数列的通项公式；

, 由令详解： 设等差数列，利用错位相减法可求数列的前项和.的首项为,公差为, 由成等差数列，可知 , 由得：，解得:因此:

(2)令∴① ② ①—②,得

所以.则，点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．

11．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知等比数列，(1)求(2)记【答案】(1)【解析】试题分析： 的通项公式；，数列的前项和为，求证：..的前项和为，满足；(2)证明见解析.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 12．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】已知数列

中，其前项和为，且满足．

（11）求证：数列（2）证明：当是等差数列； 时，．

【答案】（1）见解析；（2）见解析