高中数学排列与组合

2024-09-05

高中数学排列与组合（15篇）

1.高中数学排列与组合篇一

《数学》第十章—排列组合与二项式定理测验试题(A卷)

班别：学号：姓名：成绩：

一、填空题：(每空2分，共30分)

1.加法原理和乘法原理的主要区别在于：加法原理针对的是问题；乘法原理针

对的是问题。

2.一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照排成一列，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

3.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关，与顺序的属于组合问题。4.从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的组合数。

5.乘积(a1a2a3)(b1b2)(c1c2c3c4)展开后共有

6.从3个不同元素a、b、c中任取2个元素的所有组合是。7.A

1A2A3A4。C1C2C3C4

444



8.已知9!=362880，则A7

99.已知A323206840，则C19C19

10.(nm1)!(nm)!

11.(x3x)1

2的展开式共有13项，其中，中间的项是第项。

12.(x

32x)7的展开式的第6项的二项式系数是6项的系数是

二、选择题：(每题3分，共15分)

1.下列各式中，不等于n!的是()。

A．An

nB．

1n

1An1nn1

n1C．An1D．nAn12.已知Cn1

n121，那么n等于()。

A．5B．6C．7D．8

3.5名同学听同时进行的4个外语讲座，每名同学可自由选择听其中1个讲座，不同选

法的种数是()。

A．4

5B．5

4C．C44

5D．A5

4.在(1+x)11

展开式中，C0210131111C11C11()C11C11C11

。A．>B．=C．>D．无法确定5.凸8边形的对角线的条数是()。A．872B．87C．85

2D．85

三、计算题：(每题8分，共40分)

1.(1)用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数，其中有多

少个是偶数？

(2)壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种不同的币值？

2.从1、3、5、7、9中任取三个数，从2、4、6、8中任取两个数，组成没有重复数字的五位数，一共可组成多少个？

3.幼师某实习小组7名同学站成一排照相，(1)如果甲、乙两人必须站在两端，有多少种

照相方法？(2)如果7名同学站两排，其中3个女同学站在前排，4个男同学站在后排，四、证明题：(15分)m1m1mm11．求证：CnCn2CnCn2(7分)有多少种照相方法？

4.区教育厅幼儿园某兴趣班有10名小朋友,其中正副班长各1名，现选4名小朋友参加

某项活动：(1)如果正副班长必须在内，有多少种选法？

(2)如果正副班长至少有一人参加，有多少种选法？

5.在(11

2x)10展开式中，求含x-5的项的系数。

2.用二项式定理证明9910-1能被100整除。(8分)

2.高中数学排列与组合篇二

一、数学中的排列组合

排列的概念是从N个不同元素中, 任取M (M≤N) 个元素, 按一定顺序排成一列, 叫从N个不同元素中取出M个元素的一个排列.

排列数概念是从N个不同元素中, 取M (M≤N) 个元素的所有排列的个数, 叫从N个不同元素中取出M个元素的排列数.记作:Pmn.

排列数公式:Pmn=n (n-1) (n-2) ·…· (n-m+1) .

组合概念是从N个不同元素中, 任取M (M≤N) 个元素组成一组, 叫从N个不同元素中取M个元素的一个组合.

组合数概念是从N个不同元素中取M (M≤N) 个元素的所有组合的个数, 叫从N个不同元素中取出M个元素的组合数.记作:Cmn.

组合数公式:Cmn=Pmn/Pmm=n (n-1) (n-2) ·…· (n-m+1) /m!=n!/m!/ (n-m) !.

排列组合是组合学中最基本的两个概念, 在高中数学中也成了独立的章节供学生学习, 可见它的重要性.但我们更应该注重排列组合在生活中的运用, 因为能运用于生活的才是实用的.

二、生活中的排列组合

数学与我们的生活紧密相关, 其他学科同样如此.如果数学脱离了生活, 那就没有存在的价值了, 所以, 教师在教学过程中应该注意数学与生活的关系.而排列组合这章就很好地说明了, 数学的学习可以利于我们处理生活的难题, 让我们的生活变得更加有规可循.但怎样用数学中的排列组合来解决现实生活中的问题呢?笔者试从排列组合不同方法的运用切入生活.

1. 排列中的加法

加法原理:我们做一件事, 要做完有n种办法, 在第一种办法中有m1种方法, 在第二种办法中有m2种方法……在第n种办法中有mn种方法, 那么做完这件事就有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

这是数学中排列加法的运用, 我们就可以将其迁移至我们生活中, 用来解决生活中常见问题.如:从A地到B地, 可以乘公交车, 也可以乘汽车, 还可以骑自行车.一天中, 公交车有2班, 汽车有3班, 自行车路线有2种, 问一天中乘坐这些交通工具从A地到B地共有多少种不同的走法?因为一天中乘公交车有2种走法, 乘汽车有3种走法, 骑自行车有2种走法, 每一种走法都可以从A地到达B地, 因此, 一天中乘坐这些交通工具从A地到B地共有2+3+2=7种不同的走法.

行程问题是我们不可避免的问题, 知道了这种算走法的方法, 日后就可以结合经费计算哪种方法最省, 岂不是有利于生活?

2. 排列中的乘法

乘法原理:做一件事, 做完需要n个步骤, 做完第一步有m1种方法, 做完第二步有m2种方法……同理, 做完第n步有mn种方法.所以完成这件事就有N=m1m2…mn种不同的方法.

同样, 这种方法在解决生活中的问题时也是经常碰到的.如:图书馆书架上层放有5本不同的哲学书, 下层放有7本不同的语文书, 从中任取哲学书与语文书各一本, 有多少取法?从书架上任取哲学书与语文书各一本, 可以分成两步:第一步取一本哲学书, 有5种方法;第二步取一本语文书, 有7种方法.根据乘法原理, 得到结果就是N=5×7=35种.除了这些方法, 还有一些更为复杂的方法, 笔者一一解说.

3. 排除法

排除法是把不可能的排法从总排法中剔除, 从而求得结果.如:

二班7名同学站成一排, 赵红和李冰不能站在排头和排尾, 有多少种排法?

若赵红站在排头有A66种方法, 若李冰站在排尾有A66种方法, 若赵红站在排头且李冰站在排尾则有A55种方法.所以赵红不能站在排头, 李冰不能排在排尾的排法共有A77-2A66+A55=2400种.

4. 捆绑法

捆绑法即把符合条件的元素捆绑在一起考虑, 然后再给这些因素松绑.如:二班7名同学站成一排, 赵红和李冰两同学必须站在一起的排法共有多少种?先将赵红和李冰两名同学“捆绑”在一起看成一个整体与其余的5名同学一起进行全排列有A66种方法, 再将赵红和李冰两名同学“松绑”进行排列有A22种方法.所以这样的排法一共有A66A22=1440种 (▲▲▲▲▲▲▲A66▲▲A22) .

5. 插空法

插空法先选中符合一种条件的元素, 对其进行排列, 然后再在这些因素的空隙中穿插不符合这一条件的因素.如:学校路上有编号为1, 2, 3, …, 9的九盏路灯, 为节约用电可把其中3盏灯关掉, 但不可以同时关掉相邻的灯, 并且两端的灯也不能关掉, 有多少种不同的关灯方法?

(插空法) 本题等于在6只亮着的路灯之间的5个空挡中插入3只熄掉的灯, 故所求方法总数为C63=20种方法 (●↑●●↑●●↑●) .

3.高中数学排列组合解题方法研究篇三

关键词：高中数学；排列组合；解题方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）16-100-01

高中数学教学大纲将排列组合加入到高中数学教材中，该部分内容与学生的生活有紧密的联系，且具有较强的抽象性与灵活性，这也是学生学习起来比较难以掌握的地方。排列组合概念十分简单，而运用到实际解题中学生却容易出错。随着近几年高考题着重考察学生的抽象思维能力的变化，排列组合越来越受到高考题的青睐，往往会在选择、填空、应用题中出现，学生们往往一看见排列组合的题，就会心生畏惧，对解题形成了很大的心理障碍，以致于在这方面失分。这就要求教师在平时的教学中应教给学生解题策略，使学生掌握解题技巧，从而能够无所畏惧地进行解题。现结合多年的教学经验，对高中数学中排列组合的解题方法浅谈以下几点：

一、认真区分排列与组合，提高解题正确率

乍一看排列与组合的概念十分相似，许多同学对于这两个概念根本没弄清楚。因此，在平时的教学中教师就应该向学生讲解排列与组合概念的区别，让学生明白排列是有顺序的排列，而组合是无顺序的组合。让学生不仅对概念有更深层次的了解，在解题的过程中也能够充分运用好。若在解题过程中忽视了排列与组合的区别，容易得出错误的结果。如：将完全相同的4个红帽子和6个黑帽子排成一排，共有多少种不同的排法？在解这道题时有的同学没有认真读题，错误地认为是将10个相同的帽子进行排列，所以得出了种排列方法。得出这样结果的同学在读题中未注意到完全相同的4个红帽子和6个相同的黑帽子，颜色相同的帽子即使发生了位置的变化，排法也是同一种。因此，应这样分析：10个帽子对应着10个位置，在10个位置中选择4个红帽子的位置，剩下的位置留给黑帽子，又因为4个红帽子是完全相同的，所以属于是组合的问题，因此得出的排法应该是种。

在平时的教学中教师应指导学生多进行练习，并能够举一反三，让学生再次遇到类似的问题能够轻而易举地得出答案。

二、引导学生掌握常用的基本解题方法

1、插空法。

插空法在排列组合题目中较为常用，是指题目中要求某些元素不相邻，使用其他元素隔开，先将其他元素进行排列，再将题目中要求不相邻的元素插入到其他元素的空隙及两端。这一方法在“男女生座位”中更为多用。如：班级座位的一个纵列有7名女生和4名男生，要想将4名男生分开，任何2名男生不能前后相邻，问有多少种排法？通过分析可知7名女生不同排法有种，7名女生中间的空隙及两端共有8个位置将4名男生插进去，共有A84种，因此，任何2名男生不得前后相邻共有种排法。在平时的学习中应向学生灌输该方法的优点，让学生活学活用。

2、特殊优先法。

特殊优先法就是在解题过程中优先考虑有限制条件的元素，该方法在“小球排列”中较为多用。如：共有12个小球，其中1个白球，5个红球，6个蓝球，要求相同颜色的小球必须排在一起，且不能将白球放在两边，问共有多少种排法？在解这类题目时应将三种颜色的球看作一个整体，而白球受到了限制不能放在两边，所以应该优先考虑，其他两种颜色的球又各自全排列，因此，得到的结果是种。

3、捆绑法。

指的是在解决要求某几个元素相邻问题时，可将相邻元素整体考虑。如：将7把椅子排成一列，其中a、b两把椅子必须排在一起，问共有多少种排法？类似于这样的题目可以使用捆绑法解决，将a、b两把椅子看成一个整体，与其余的5把椅子进行全排列共有，而a、b两把椅子的排列有种，因此可得出共有种排法。

在实际的教学中教师应指导学生以上以上三种常见的方法相结合，并能灵活运用。

三、引导学生进行实际操作，激发学生学习排列组合的兴趣

在排列组合的教学中教师若只是枯燥地讲解，或是留给学生大量的练习题，而并不是结合学生的实际进行操作，一来学生提不起学习的兴趣，二来不能提高做题效率。因此，在教学中教师应从实际出发，寻找与学生贴近的题目，如颜色球的排列、帽子的排列、油画的排列、占位子等等很多有趣的题目。教师可以利用这些题目让学生进行实际的操作，这样不仅激发了学生的学习兴趣，也间接提高了学生们的动手能力。例：占位子的问题，有五个从1-5编好号的同学，有5把同样编号的椅子，要求，只有两名同学坐在与其编号相同的椅子上，有多少种不同的方法？这样具有现实意义的题型，教师完全可以让学生亲自来体验，将五名同学和五把椅子编号，让学生在教师指导下，自己完成多种座位的方法，这样不仅调动了学生们学习的积极性，又活跃了课堂气氛，对学生们排列组合的学习是有极大益处的。

总之，在高中数学教学中，教师应注重排列组合的教学，多结合生活实际进行讲解，使学生根据不同类型的题目掌握不同的解题方法，以为后面概率的学习打下坚实的基础。而排列组合的解题方法不止上文提到的三种，在具体的教学中教师还应根据题目要求，选择合适的解题方法，有时候不同的解题方法间可结合运用，最终以学生掌握解题技巧为目的。

参考文献：

[1] 赵家林.排列组合在数学解题中的技巧探讨[J].数学学习与研究，2014（03）

[2] 王庶.例析排列组合的常见题型[J].高中生学习（高二版），2014年11期

4.高中数学排列与组合篇四

http://Cn1Cm mCnCnCm2C.C1mCn2C1nCm112C1 D.CmCn mCn11C2m1Cn

命题意图：考查组合的概念及加法原理，属★★★★★级题目.知识依托：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合.22错解分析：A中含有构不成三角形的组合，如：C1包括O、Bi、Bj;C1n1Cm中，m1Cn中，包含O、Ap、Aq，其中Ap、Aq,Bi、Bj分别表示OA、OB边上不同于O的点；B漏掉△AiOBj；

221D有重复的三角形.如C1mCn1中有△AiOBj,Cm1Cn中也有△AiOBj.技巧与方法：分类讨论思想及间接法.解法一：第一类办法：从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取

2两点，可构造一个三角形，有C1mCn个；第二类办法：从OA边上(不包括O)中任取两点与1OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C2mCn个；第三类办法：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，1122111有C1mCn个.由加法原理共有N=CmCn+CmCn+CmCn个三角形.解法二：从m+n+1中任取三点共有C3mn1个，其中三点均在射线OA(包括O点)，有

33C3三点均在射线OB(包括O点)，有C3个数为N=C3n1个.所以，m1个，mn1－Cm1－Cn1个.答案：C ［例2］四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.命题意图：本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：排列、组合、乘法原理的概念.错解分析：根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A34种.忽略此种办法是：将同在一所学校的两名学生按

京翰教育http:///

高中数学辅导网

http:// 进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的.技巧与方法：解法一，采用处理分堆问题的方法.解法二，分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的.解法一：分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C24种；而后，对三组学生

3安排三所学校，即进行全排列，有A33种.依乘法原理，共有N=C24A3 =36(种).解法二：分两步：从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A34种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种.值得注意的是：同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此，共有N=

13A4·3=36(种).2答案：36 ●锦囊妙记

排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径：(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接解法.在求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种.经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.●歼灭难点训练

一、填空题

1.(★★★★)从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示).2.(★★★★★)圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________.二、解答题

3.(★★★★★)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

4.(★★★★)二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？

5.(★★★★★)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.京翰教育http:///

高中数学辅导网

http://(4)全体排成一行，男、女各不相邻.(5)全体排成一行，男生不能排在一起.(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.6.(★★★★★)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数.7.(★★★★)用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相邻部分涂不同色，则涂色的方法共有几种？

8.(★★★★)甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？

参考答案

难点磁场

33解：(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数C35·2·A3(个)，其中0在百位的2有C222·A2这是不合题意的，故共有不同三位数：C323·A322·A2.4·2(个)，5·3－C4·2=432(个）歼灭难点训练

一、1.解析：因为直线过原点，所以C=0，从1，2，3，5，7，11这6个数中任取2个

2作为A、B两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A6=30.答案：30 2.解析：2n个等分点可作出n条直径，从中任选一条直径共有C1n种方法；再从以下的(2n－2)个等分点中任选一个点，共有C12n2种方法，根据乘法原理：直角三角形的个数为：1C1n·C2n2=2n(n－1)个.答案：2n(n－1)

二、3.解：出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A55种方法；

2(2)2张2一起出，3张A一起出，有A5种方法； 4(3)2张2一起出，3张A一起出，有A5种方法； 2(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C3A35种方法；

京翰教育http:///

高中数学辅导网

http://(5)2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法；

24(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C3A5种方法.2423324因此，共有不同的出牌方法A55+A5+A5+A3A5+A5+C3A5=860种.4.解：由图形特征分析，a＞0,开口向上，坐标原点在内部f(0)=c＜0;a＜0,开口向下，原点在内部f(0)=c＞0,所以对于抛物线y=ax2+bx+c来讲，原点在其内部af(0)=ac＜0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b,故满足题设的抛物线共有121C13C4A2A6=144条.5.解：(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选

616择.有A13种，其余6人全排列，有A6种.由乘法原理得A3A6=2160种.6(2)位置分析法.先排最右边，除去甲外，有A16种，余下的6个位置全排有A6种，但应51615剔除乙在最右边的排法数A15A5种.则符合条件的排法共有A6A6－A5A5=3720种.5(3)捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有A33A5=720种.4(4)插空法.先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A33A4=144种.3(5)插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有A44A5=1440种.(6)定序排列.第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此

A77=N×A33，∴N=

A77= 840种. 3A3(7)与无任何限制的排列相同，有A77=5040种.(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A35种，甲、乙和其余2人

2排成一排且甲、乙相邻的排法有A3A33.最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可.23共有A35×A2×A3=720种.6.解：首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球，然后将剩余的14个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15个空档，其中“O”表示小球，“|”表示空档.将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数.对应关系是：以插入两个空档的小盒之间的“O”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于

12是，若有两个小盒插入最左侧空档，有C3种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有C13C3种；

京翰教育http:///

高中数学辅导网

http://

2122若没有小盒插入最左侧空档，有C13种.由加法原理，有N=C3C13C13C13=120种排列方案，即有120种放法.7.解：按排列中相邻问题处理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的颜色.分类：若(1)(4)同色，有

5.高中数学排列与组合篇五

燕山二小刘志东

这节课主要的目标是向学生渗透排列与组合的思想方法，并培养学生有序而全面思考的意识。在这堂课中，我用学生每天穿衣服引入，让学生学会搭配衣服，初步接触有序的思想。

整堂课我都以小明过生日为情境设计，但是在整个教学过程中，还存在以下的问题：

1.教师未能内化教学的规律，情境只是为了教学而设计，但是

我在设计例题是，为了情境能顺利进行，而将形象的“下国际跳棋”的组合与“门牌的数字组合”顺序排反了，这样就违背了数学中的由易到难的层次。

2.难点未能突破，数学中的最好效果是从教到不教，但是这堂

下来，学生对于如何排列数字还是没有得法，这是失败的3.对学生的有序思维训练不够，学生自主探究的过程不够，教

师讲解过多，这违背了课堂以学生为主体，教师只是起引导作用的原则。

6.数学排列组合公式篇六

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

排列(Pnm(n为下标，m为上标))

Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n

组合(Cnm(n为下标，m为上标))

7.高中数学排列与组合篇七

《基础练习能力测试》人教A版选修2—3第9页第5题 (以下简称“第5题”) 是:如图, 一个地区分为5个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色。现有4种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有＿＿＿＿＿种。

学生对这道题议论纷纷, 多数学生说似曾相识, 应该没有问题, 可错解仍然不少。大多数错解是:采用分步原理按标号次序着色, 着色方法种数是4×3×2×2×1=48。然而正确答案是72。

这种题笔者曾经在课常上讲过, 然而, 为什么还会有那么多出错的呢?这问题使我陷入沉思。

反思一:重要的是让学生学会思考

教师在传授解题方法时, 仅让学生学会模仿是不够的, 要引导他们独立思考, 让他们通过比较、鉴别和分析、归纳, 学会举一反三, 从而能够跳出题海。

我们给学生讲过的分步乘法计数原理已经印入他们的脑中, 因此许多学生解第5题时仍然简单的采用分步乘法计数原理的解法, 只管按标号1—2—3—4—5次序涂色, 而忽略了标号为2、4 (或3、5) 可以同色的情况。怎样才能使学生自己思考, 而不是简单地模仿?我想, 在课堂中, 首先要活跃学生的思想, 要留有让他们思考的余地。例如在讲分步乘法计数原理时, 可问学生:“不按次序操作行不行?”其次, 要引导学生对问题进行具体分析。这时, 教师要为学生设置思考的支点, 诱导他们深入问题的实质。

反思二:要在教学中渗透数学思想方法

很多学生在做这道题时, 没有注意到还有一个隐含条件:“不相邻区域可同色”。这说明学生考虑问题不够周密, 同时缺乏逆向思维能力。因此, 教师在解题时, 应注意蕴含于表层知识之中的思想方法, 将它以适当的形式揭示出来, 起到画龙点睛的作用。所谓“授人以鱼, 不如授人以渔”。只有当学生学会自觉地使用数学思想方法, 教师才算做到了不仅仅是向学生传授知识, 而且是向他们传授学习方法。

反思三:要提高学生的学习兴趣

第5题的背景是“四色原理”, 据说它的证明已获成功。教师在讲解分步乘法计数原理时, 如果提一提“四色原理”, 我想学生会很感兴趣, 对这道题的印象会深刻得多。让学生有广阔的思维空间, 才能使他们有强烈的学习探索欲望, 变被动学习为主动学习, 真正成为学习的主体。

8.中国古代数学的排列组合问题篇八

另一个著名的问题是瓦卡曾经讨论过的，它与8世纪唐代僧一行的名字有关。沈括在《梦溪笔谈》中写道：

小说：唐憎一行曾算棊局都数，凡若干局尽之。予尝思之，此固易耳。但数多，非世间名数可能言之。今略举大数。凡方二路，用四子，可变八十一局。方三路，用九子，可变一万九千六百八十三局。方四路，用十六子，可变四千三百四万六千七百二十一局。方五路，用二十五子，可变八千四百七十二亿八千八百六十万九千四百四十三局。方六路，用三十六子，可变十五兆九十四万六千三百五十二亿九千六百九十九万九千一百二十一局。方七路以上，数多无名可记。尽三百六十一路，大约连书万字五十二。

（据讲故事的人说，僧一行有一次计算了可能摆出的棋局的总数，并且发现他能够丝毫没有遗漏地计算出来。我再三思考了这件事，最后得出结论说，这是很容易办到的。不过，这时所牵涉到的数字不能用一般使用的数字名称来表达。在这里，我主要只提一提计算中需要用到的大数。用两路和四个棋子，可以摆出81种不同的可能棋局。用三路和九个棋子，总数是19683。用四路和十六个棋子，总数是43046721。用五路和二十五个棋子，总数是847288609443。……到七路以上，总数就大得无法用现有的数字名称来表达了。当361个棋子全部用上时，总数达到10000^52的数量级。）

沈括接着又解释一行的方法说，他们能够计算出在棋盘上出现的一切可能的变换和移动的数目。看来，“上驱”“搭因”“重因”等就是这些计算的名称。

一提到中国对排列和组合的研究，人们立即就会想到《易经》和其中的八卦及六十四卦。我们大概可以想到，它曾引导人们去对一切可能的排列进行某些数学研究，并且，如果说这种研究的结果不能明显地看到的话，那么也有理由认为，它们是被某些教派（大概是道教）当作秘传的教义保藏起来了。在这一方面，公元190年的《数术记遗》及其无可怀疑的道教背景是值得注意的。在这部书中提到几种与占卜有明显关系的计算方法，例如“八卦算”和“龟算”，这里的卦是按不同的方法在八个方位上排列起来的，而“把头算”可能与骰子的投掷有关。在讨论算盘的起源时，我们有机会描述《数术记遗》中提到过的几种计算工具，其中的珠子（有时是不同颜色的）是放在记数的或刻度的坐标上的。如果这

些工具仅仅是为了记数，那么，它们的价值就不太大了，因为数学家们在应用算筹方面已经十分熟练。因此，我们可以设想，它们的真正用途是研究排列和组合。例如，当我们在太乙算中看到板上记有数字9183时，那么，我们似乎有理由假定，这种算具有助于回答“从9183能组合出多少个不同的数来”这样一个问题。可以假定，第一、第三、第八和第九道的珠是可以交换的。同样，三才算可能是企图回答一些这样的问题：“如果九个字母当中三个是a，三个是b，三个是c，那末，它们一共有多少种排列方法？”而八卦的问题，则和“八个人围着一张圆桌坐，共有多少种不同坐法”这个问题相类似。

这里，必须提起11世纪邵雍所作的《易经》六十四卦的排列。莱布尼茨认为这种排列不是别的，而是把从l到64这些数字用二进位记法写出来。六十四卦也启发了一个日本封建领主藤原通宪，他在公元1157年前后写成一部日本早期数学著作《计子算》，虽然这部著作已经失传，但后人知道，其中包含有六十四卦组合的数学研究。

我相信，如果有一个汉学家兼通数学，那么，通过对隐晦难解的中国中世纪占卜术著作的探索，他在这方面是会大有收获的。秦九韶在公元1247年的《数书九章》的自序中说，数学学派有三十余家，其中有的是建立在讨论太一壬甲（算卦）三式的著作的基础上的，但他们都是属于内算（秘传的数学）。在他们留下的大量著作中能不能發现一些对排列组合理论有价值的早期贡献，这是一个值得进一步研究的问题。鉴于欧洲在伊士拉（Abrabam ben Ezra，1140年）以前，印度在巴斯卡拉（Bhāskara，1150年）以前，在这方面的发现极端贫乏，因此，这种研究是很有意义的。直到15世纪末帕乔利的时代，排列和组合的问题才有了真正的进步，关于它的第一部著作——伯努利（Jakob Bernoulli）的《猜度术》（Ars Conjectandi）——直到1713年才问世。

9.高中数学排列与组合篇九

教学内容：简单的排列和组合教学目标：

1．知识能力目标：

①通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数

②初步培养有序地全面地思考问题的能力。

③培养初步的观察、分析、及推理能力。

2．情感态度目标：

①感受数学与生活的密切联系，激发学习数学、探索数学的浓厚兴趣

②初步培养有顺序地、全面地思考问题的意识。

③使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。

教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程

教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同

教学准备：多媒体课件、数字卡片、1角、2角、5角的人民币。实物

教学过程：

一、创设情境，引发探究

师：今天老师带你们去一个很有趣的地方，哪呢？我们今天要到“数学广角”里去走一走、看一看。

二、操作探究，学习新知。

（一）组合问题

l、看一看，说一说

师：今天老师给大家带来了几件漂亮的衣服，你们来挑选吧。（课件出示主题图）

师引导思考：这么多漂亮的衣服，你们用一件上装在搭配一件下装可以怎么穿呢？(指名学生说一说）

2、想一想，摆一摆

（l）引导讨论：有这么多种不同的穿法，那怎样才能做到不遗漏、不重复呢？

①学生小组讨论交流，老师参与小组讨论。

②学生汇报

（2）引导操作：小组同学互相合作，把你们设计的穿法有序的贴在纸板上。（要求：小组长拿出学具衣服图片、纸板）

①学生小组合作操作摆，教师巡视参与小组活动。

②学生展示作品，介绍搭配方案。

③生生互相评价。

（3）师引导观察：

第一种方案(按上装搭配下装)有几种穿法？（４种）

第二种方案(按下装搭配上装)有几种穿法?（４种）

师小结：不管是用上装搭配下装，还是用下装搭配上装，只要做到有序搭配就能够不重复、不遗漏的把所有的方法找出来。在今后的学习和生活中，我们还会遇到许多这样的问题，我们都可以运用有序的思考方法来解决它们。、操作探究，学习新知。

（二）排列问题

1、初步感知排列

（1）、师：我们穿上漂亮的衣服，来到了数学广角，可是这有一扇密码门，（出示课件：密码门）我们只要说对密码，就可以到数学广角游玩了。看小精灵给了我们提示（点小精灵）你们猜密码是什么？

（2）、学生猜密码（情景预设：有的学生说是12，有的学生说是21。）

10.高中数学排列与组合篇十

一、选择题

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）用0,1，9十个数字,可以

组成有重复数字的三位数的个数为

A．243 B．252

【答案】B（）C．261 D．279

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）满足a,b1,0,1,2,且

关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a,b)的个数为

A．14

【答案】B（）B．13 C．12 D．10

错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lgalgb的不同值的个数是

A．9

二、填空题（）C．18 D．20 B．10 【答案】C错误！未指定书签。

错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某

社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】45

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）将A,B,C,D,E,F六个字母

排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)

【答案】480

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）从3名骨科.4名脑外科和5名

内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)

【答案】590

错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人

至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】96

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））6个人排成一行,其中甲、乙两

11.排列与组合篇十一

一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1. 分类计数原理

例1 三边长为整数，且最大边长为11的三角形有多少个？

解析另两边长用[x、y]表示，且不妨设1≤ [x]≤[y]≤11，要构成三角形，必须[x+y]≥12.

① 当[y]取11时，[x=]1、2、3、…、11，有11个；②当[y]取10时，[x=]2、3、4、…、10，有9个；…；⑥当[y]取6时，[x=6]，只有1个. 由分类计数原理，所求三角形11+9+7+5+3+1=36个.

点拨注意合理分类是提高解题质量的保证，列举法是处理排列组合问题的有效方法.

2. 分步计数原理

例2 已知集合[M=]{-3，-2，-1,0,1,2}，[P(a,b)]表示平面上的点（[a、b∈M]）.

（1）[P]可表示平面上多少个不同的点？

（2）[P]可表示平面上多少个不同的第二象限的点？

（3）[P]可表示多少个不在直线[y=x]上的点？

分析解答本题时应重点关注在不同的条件下[a、b]的不同取值.

解（1）分两步，第一步确定[a]，有6种方法；第二步确定[b]也有6种方法. 根据分类计数原理共有6×6=36个不同的点.

（2）分两步，第一步确定[a]，有3种方法；第二步确定[b]，有2种方法. 根据分步计数原理，第二象限的点共有3×2=6个.

（3）分两步，第一步确定[a]，有6种方法；第二步确定[b]，有5种方法. 根据分步计数原理不在直线[y=x]上的点共有6×5=30个.

点拨利用分步计数原理解决问题时应注意：

（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.

（2）各步中方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.

（3）对完成每一步的不同方法要根据条件准确确定.

3. 两个计数原理的综合应用

例3 如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）

A. 288种 B. 264种 C. 240种 D. 168种

分析解答本题应注意两点：①每一个点都可以有和它同色的两个点；②涂色的顺序不同，影响解题的难度，可先涂A、D、E,再分类涂B、F、C.

解选B. 先涂A、D、E,共有4×3×2=24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B分别与E、D同色，共有8种涂法；另一类是B与E、D不同色，共有3种涂法，故涂色方法共有24×（8+3）=264种.

点拨在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.

4. 易错误区：对“至多”和“至少”的理解出现偏差

例4 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 15

分析关注至多的含义，分类求解.

解选B. 完成这件事有三类方法.

第一类：有两个对应位置上的数字相同，此时有6个信息.

第二类：有1个对应位置上的数字相同，此时有4个信息.

第三类：有0个对应位置上的数字相同，此时有1个信息.

根据分类加法计数原理，至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11个.

点拨解答本题时，易把“至多有两个对应位置上的数字相同”理解为一定是两个对应位置上的数字相同，漏掉了有１个，０个对应位置上的数字相同的情况，从而造成错解，出现这种情况的原因是对“至多”没有正确理解.

解答本类问题的常见误区还有：对含有“至少”、“不少于”、“不超过”、“不都”、“不全”这些关键词理解不准确，造成重复或漏解，解决此类问题的关键是从正面和反面去比较和正确理解这些关键词，当用直接法不好求解时可采用间接法求解.

二、排列与组合

1. 排列问题

例5 4名男同学，3名女同学站成一排.

（1）甲站在中间，有多少种不同的排法?

（2）甲乙分别站在两端, 有多少种不同的排法?

（3）3个女生和4个男生分别站在一起, 有多少种不同的排法?

（4）男女生相间而站, 有多少种不同的排法?

（5）甲不站排头且乙不站排尾，有多少种不同的排法?

（6）3个女生必须站在一起, 有多少种不同的排法?

（7）任何两个女生彼此不相邻, 有多少种不同的排法?

（8）其中甲乙两同学之间必须恰有3人, 有多少种不同的排法?

（9）甲乙两人相邻，但都不与丙相邻, 有多少种不同的排法?

（10）甲站在乙的左边，丙站在乙的右边，有多少种不同的排法?

解（1）因为甲站中间，则只需考虑其余6人，故共有[A66=720]种方法.

（2）甲乙的站法有[A22]种，其余5人全排列有[A55]种，故共有[A22A55=240]种方法.

（3）分别对三个女生和四个男生用“捆绑法”，把他们当作两个人进行排列，再松绑，故共有[A22A33A44=280]种方法.

（4）因为男生比女生多一人，因此男女相间而站，就是在四名男生之间的间隔中站入三名女生，所以只需分别排女生和男生，故共有[A33A44=144]种方法.

（5）因为甲不站排头且乙不站排尾，所以甲和乙是特殊元素，应该优先考虑，我们不妨先确定甲站在什么位置，很明显，甲站与不站排尾对于乙的影响是不同的，故分为两种情况：①甲站排尾，则乙就没有限制了，共有[A66]种站法；②甲不站排尾，则甲有[A15]种站法，因为乙也不能站排尾，故乙还有[A15] 种站法，其余的人随便站，共有[A15A15A55]种站法. 所以，甲不站排头且乙不站排尾共有[A66+A15A15A55=3720]种方法.

（6）用“捆绑法”，把3个女生视为一个整体，再和男生进行排列. 3名女生是特殊元素，先把她们排好，共有[A33]种排法；将排好的女生视为一个整体，与男生进行全排列，这时是5个元素的全排列，有[A55]种排法.由分步乘法计数原理有[A33A55=720]种不同的排法.

（7）女生不相邻，用“插空法”，先把男生排好，共有[A44]种排法，再在这4名男生的中间及两头的5个空档中插入3名女生共有[A35]种排法. 故符合条件的排法有[A44A35=1440]种.

（8）选出3人放到甲乙两人之间，再把这5个人视为一个整体参与排列. 甲乙两人先排好，有[A22]种排法，再从剩下的5人中选3人排在甲乙两人中间，有[A35]种排法，这时把已排好的5人视为一个整体，与最后剩下的2人再排，又有[A33]种排法，所以总共有[A22A35A33=720]种不同的排法.

（9）把甲乙视为一个整体，和丙插空. 先排甲乙和丙之外的4人，有[A44]种排法；由于甲乙要相邻，故再把甲乙排好，有[A22]种排法，最后把排好的甲乙视为一个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中，有[A25]种排法. 所以，总共有[A44A22A25=960]种不同的排法.

（10）因为甲乙丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中的各种排列顺序在7个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种树为[A77A33=840]种.

点拨解决排列问题的主要方法：

优限法——优先安排有限制条件的特殊元素或位置；

捆绑法——把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；

插空法——对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中；

定序问题除法处理——对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列；

间接法——正难则反，等价转化的方法.

2. 组合问题

例6 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）既有队长，又要有女运动员.

分析（1）重点关注选出运动员是否与顺序有关. （2）重点考虑“至少有1名女运动员”有哪些情况，亦可考虑使用间接法. （3）有女队长和没有女队长选派方法是不一样的.

解（1）第一步：选3名男运动员，有[C36]种选法. 第二步：选2名女运动员，有[C24]种选法，故共有[C36C24=120]种选法.

（2）方法一（直接法）：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理知共有[C14C46+C26C36+C34C26+][C44C16=246]种选法.

方法二（间接法）：不考虑条件，从10人中任选5人，有[C510]种选法，其中全是男运动员的选法有[C56]种，故“至少有1名女运动员”的选法有[C510-C56=246]种.

（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有[C49]种选法，不选女队长时，必选男队长，共有[C48]种选法，其中不含女运动员的选法有[C45]种，故不选女队长时共有[C48]-[C45]种选法. 所以既要有队长，又要有女运动员的选法有[C49+C48-][C45=191]种.

点拨组合问题常有以下两类题型：

（1）“含有”或“不含有”某些元素的的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解. 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

3. 排列、组合的综合应用

例7 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加. 甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）

A. 152 B. 126 C. 90 D. 54

分析（1）一项工作有两人参加，其余三项工作有一人参加；（2）甲、乙不会开车，故可先安排开车的人选.

解选B. 依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参加. 因为甲乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：（1）从丙、丁、戊三人中任选一人开车，再从其余4人任选2人作为一个元素同剩余两人从事其他三项工作，共有[C13C24A33]种方案；（2）先从丙、丁、戊三人中任选两人开车，其余三人从事其他三项工作，共有[C23A33]种方案，所以不同安排方案的种数是[C13C24A33+C23A33=126]种.

点拨解排列组合的应用题要注意以下几点：

（1）仔细审题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步；（2）深入分析，严密周详，注意分析是乘还是加，要防止重复和遗漏，多角度分析，全面考虑；（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，与排列组合有关的应用题往往比较复杂，一般要分类解决，应首先考虑有限制条件的元素或位置.

4. 分配问题

例8 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲乙丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份；

（4）平均分配给甲乙丙三人；

（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

（6）甲乙丙三人中，1人得4本，另外两人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

分析解答本题应重点关注所求问题是否与顺序有关，是平均分组还是不平均分组问题.

解（1）无序不均与分组问题. 先选1本，有[C16]种选法；再从余下的5本中选2本，有[C25]种选法；最后余下3本全选. 故共有分配方式[C16C25C33=60]种.

（2）有序不均匀分组问题. 由于甲乙丙是不同的三人，在（1）题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式[C16C25C33A33=360]种.

（3）无序均匀分组问题. 先分三组，则应是[C26C24C22]种方法，但是这里出现了重复. 不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种方法为（AB, CD, EF），则 [C26C24C22]种方法还有（AB, EF, CD），（CD，AB，EF）,(CD，EF，AB)，（EF, CD，AB），（EF，AB ，CD)，共有[A33]种情况，而这[A33]种情况仅是AB, CD, EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有[C26C24C22A33=15]种.

（4）有序均匀分组问题. 在（3）的基础上再分配给3个人，共有分配方式[C26C24C22=90]种.

（5）无序部分均匀分组问题. 共有分配方式[C46C12C22A22=15]种.

（6）有序部分均匀分组问题. 在（5）的基础上再分配给3个人，共有分配方式[C46C12C11A22A33=90]种.

（7）直接分配问题. 甲选一本，有[C16]种方法；乙从余下的5本中选一本，有[C15]种方法；余下的4本留给丙，有[C44]种方法. 共有分配方式[C16C15C44=30]种.

点拨均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型. 解决此类问题的关键是正确判断是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否和顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数，此题中第（3）问为均匀无序分组，第（4）问为均匀有序分组.

5. “多面手”问题

例9 某工厂有11名工人中，其中5人只会排版，4人只会印刷，还要2人即会排版又会印刷，现从这11人中选出4人排版，4人印刷，有几种不同的选法？

解把工人分为3类：（1）若4名只会印刷的工人都入选，则可从其余7人中任选4个排版，有[C47]种；（2）若这4个人只有3人入选，则从“都会”的2人中选1人印刷，其余6人选4人排版，有[C34C12C46]种；（3）若这4人中有2人入选，则从“都会”的工人中选2人去印刷，其余5人选4人排版，有[C24C45]种.

故由分类计数原理，共有[C47+C34C12C46+C24C45]=185（种）.

点拨本题还可以对只会排版的5人为主线分情况讨论，即[C45C46+C35C12C45+C25C44]=185（种）.

[【专题训练十一】]

1. 6人站成一排，若调换三个人的位置，有多少种不同的换法（）

A. 40 B. 60 C. 120 D. 240

2. 现有1个碱基A，2个碱基C，3个碱基G，有这6个碱基组成的不同的碱基序列有（）

A. 20 B. 60 C. 120 D. 90

3. 有一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）. 赛完后一个队的积分可出现得不同情况种数为（）

A. 22 B. 23 C. 24 D. 25

4. 银行发行奖券的号码为000001~999999，规定第1、3、5位（从最后算起）是互不相等的奇数，第2、4、6位全是偶数（可以重复）的可以中奖，则中奖的奖券共有（）

A. 100张 B. 600张 C. 3600张 D. 7500张

5. 从正方体的6个面中选去3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）

A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种

6. 足球场上3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是（）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7. 有A、B、C、D、E、F，6个集装箱，装备用甲乙丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其他任何限制，要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（）

A. 168 B. 84 C. 56 D. 42

8. 把9个相同的球放入编号为1、2、3的箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放法有种（用数字作答）

9. 已知[y=f(x)]是定义域为[A={x|1≤x≤7,] [x∈N*]},值域为[B={0,1}]的函数，试问这样的函数[f(x)]有多少个？

10. 在某校操场的100米直道上的一侧种植三种不同类型的数各七棵，每两棵相邻的树之间的间隔相同，同一类型的七棵树中，靠得最近的两棵树间均有其他两种类型的树各一颗.

（1）若同一类型的树之间不加区别，试求不同的种植方法的种数；

（2）若同一类型的树根据其大小，形状各不相同要加以区别，则所有的种植方法有多少种？

11. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.

（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少得取法有多少种？

（2）若取渔歌红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分得取法有多少种？

12. 用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成没有重复数字的五位数.

（1）奇数有多少个？

（2）能被5整除的有多少个？

（3）若把这些五位数按从小到大排列，第100个数是什么？

[【参考答案】]

12.排列与组合模型篇十二

例1.将5名实习老师分配到3个班实习, 每班至少1名, 至多2名, 不同的分配方案有 ()

A.30 B.90

C.180 D.270

解析:由题目可知, 5名教师只能分组为1, 2, 2, 首先选出分配1个老师的那个班, 即C31·C51, 然后把剩下的4名老师随机各选2名分给剩余两班, 即C42·C22, 则最后应该有分配方案C31·C51·C42·C22=90种, 故选B。

考点升华:均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合常见题型。解决关键是是否均匀, 无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数;有序分组要在无序的基础上乘以分组数的阶乘数。

题型2:捆绑问题

例2.将4名男生、3名女生排队照相, 若7人排成一列, 4名男生须排在一起, 方法有 ()

解析:先将4名男生排在一起, 当成一个元素, 再与其余3名女生排, 故共有A44·A44=576种, 故选B。

考点升华:把相邻元素看做一个整体, 再和其他元素一起排列的方法称为捆绑法, 此法应注意捆绑元素内部的排列。

题型3:特殊元素 (位置) 问题

例3.某晚会由7个节目组成, 演出顺序有如下要求:甲节目须排在前两位, 乙不排在第一位, 丙须排在末位, 则节目排序方案有_______种。

解析:特殊节目有甲、乙、丙三个, 可按甲的节目分两类: (1) 甲排第一位, 共有A55=120种排法; (2) 甲排第二位, 共有A41·A44=96种, 据分类计数原理, 共有方案120+96=216种, 故填216。

考点升华:如果题目中含有特殊的元素或位置, 应先满足这些特殊元素或位置, 然后安排其他元素或位置, 即采取先特殊后一般的解题原则。

题型4:插空问题

例4.8名学生和2名老师站在一处留影, 2名老师不相邻的排法有 ()

A.A88·A29种 B.A88·C29种

C.A88·A27种 D.A88·C27种

解析:据题意先让8名学生排列, 共有A88种, 再让2名老师插在8名学生形成的9个空中, 有A92种, 故共有A88·A92种, 故选A。

13.排列与组合教学反思篇十三

在教学例1时：

1、让学生拿出数字卡片1、2摆两位数，学生很快的摆出12、21。

2、让学生独立用卡片1、2、3摆两位数，一边摆一边把摆出的数记录在学习纸上。

3、小组交流讨论，谁方法最科学、不会漏掉。

4、让学生到前面的黑板上展示交流小组讨论的结果。

三人到前面展示，其中2名同学的方法是：

十位上的数字是1，个位上的数字是2或3，组成的两位数是12，13；

十位上的数字是2，个位上的数字是1或3，组成的两位数是21，23；

十位上的数字是3，个位上的数字是1或2，组成的两位数是31，32；

一名同学的方法是：

用数字1、2来摆，可以摆出的数是12、21；

用数字1、3来摆，可以摆出的数是13、31；

用数字2、3来摆，可以摆出的数是23、32。

同学们都很赞同这两种方法，于是我给这两种方法称为“2钟法”和“叶氏法”

当其他学生学习了这两种方法后，在练习中我又让学生用数字卡片“0、3、9”摆两位数。

14.10.2 排列与组合练习题篇十四

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为

()．

A．42B．30C．20D．12

解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有

1A2若两个节目不相邻，则有A2由分类计数原理共有2A6＝12种排法；6＝30种排法．

12＋30＝42种排法(或A27＝42)．答案 A

2．a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)„(34－a)等于()

27－a78

A．A827－aB．A34－aC．A34－aD．A34－a 解析A834－a＝(27－a)(28－a)„(34－a)．答案 D

3．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有()

A．252个B．300个 C．324个D．228个

113

解析(1)若仅仅含有数字0，则选法是C2可以组成四位数C23C4，3C4A3＝12×6＝72个；

2123

(2)若仅仅含有数字5，则选法是C1 3C4，可以组成四位数C3C4A3＝18×6＝108个；

113

(3)若既含数字0，又含数字5，选法是C3C4，排法是若0在个位，有A3＝6种，11

若5在个位，有2×A22＝4种，故可以组成四位数C3C4(6＋4)＝120个．根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．答案 B

4．2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有()A．1 440种C．1 282种

B．1 360种D．1 128种

解析采取对丙和甲进行捆绑的方法：

如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A66·A2＝1 440种，124如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C11·A4·A2·A4＝192种，若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A55＝120种．

则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．答案 D

5．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()．

A．16种B．36种C．42种D．60种

解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共

2322C23A4种方法，由分类计数原理知共A4＋C3A4＝60种方法．

答案 D

6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()．

A．30种B．35种C．42种D．48种

解析法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类

221选1门，共有C13C4＋C3C4＝18＋12＝30(种)选法．

3法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C3＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，共有30种选法．答案 A

7．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()． A．24B．48C．72D．96

222223解析 A55－2A2A3A2－A2A2A3＝48.答案 B

二、填空题

8．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)

23解析①只有1名老队员的排法有C12·C3·A3＝36种． 112②有2名老队员的排法有C22·C3·C2·A2＝12种；

所以共48种．答案 48

9．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案种数是________．

解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学

3212

生有C2其中甲同学分配到A班共有C2因此满足条4A3种分配方案，3A2＋C3A2种方案．32212件的不同方案共有C24A3－C3A2－C3A2＝24(种)．

答案 24

10．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种．

解析分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况，或者用间接法．

221

直接法：C15C4＋C5C4＝70.33

间接法：C39－C5－C4＝70.答案70

11．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答)．解析甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数

22C15C4C2313

是C3A3＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是23

＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．答案 72

12．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种，最后，222安排其他两辆车共有A22种方法，∴不同的调度方法为C5·C4·A2＝120种．

答案 120

三、解答题

13．有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？(1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；

(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3；(3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；

(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2；(5)分成四个组，各组人数分别为1,1,2,2；

(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2.23

解析(1)即C16C5C3＝60.233

(2)即C16C5C3A3＝60×6＝360.22C26C4C2

(3)即315.A322

(4)即C26C4C2＝90.12C1C26C54C2

(5)即2·2＝45.A2A2122

(6)C16C5C4C2＝180.14．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？

(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．

解析(1)C512－C7＝771； 1423(2)C57＋C5C7＋C5C7＝546； 3(3)C22C10＝120； 23(4)C512－C2C10＝672； 5(5)C512－C10＝540.15．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2„pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)„321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4 321的逆序数a3＝6.(1)求a4、a5，并写出an的表达式；(2)令bn＝

anan＋1

＋，证明2n＜b1＋b2＋„＋bn＜2n＋3，n＝1,2，„.an＋1an

nn＋12

解析(1)由已知条件a4＝C25＝10，a5＝C6＝15，则an＝Cn＋1＝

(2)证明 bn＝

1anan＋1nn＋21

2＋2nn＋2an＋1ann＋2n

∴b1＋b2＋„＋bn

111111111

－＋－＝2n＋21－＋－＋－＋„＋

32435n－1n＋1nn＋2113

－，＝2n＋2－

2n＋1n＋2∴2n＜b1＋b2＋„＋bn＜2n＋3.16．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．

(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？

(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？解析(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第2次测到第一件次品有4种抽法；第8次测到最后一件次品有3种抽法；

第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A2剩余4次抽到的是正品，共5种抽法；

24有A24A5A6＝86 400种抽法．

(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，1检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A6种；

26检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A6＋A6种．

由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为

15.高中数学排列与组合篇十五

高一数学第一章中的“集合”和“简易逻辑”作为基本工具, 与其它各章节都有着密切的联系.下面我们通过具体的例子, 谈谈如何运用集合、简易逻辑工具来理解和计算排列组合中的题目.

排列组合题目—般有两条常见的解题途径:间接作差和直接分类法.什么样的问题用间接作差法较为合理, 什么样的问题用直接分类法较为合理?用这两种方法时如何才能有效避免遗漏、重复等错误?解决好上述两个问题是高效而正确运用上述两种方法解排列组合题目的关键, 充分而合理引入集合与简易逻辑知识来辅助分析题目, 又是解决好上述两个问题的有效途径.

例1 集合A有10个元素, 集合B有4个元素, 且A∩B=Φ, 从A、B中共取出5个元素组成集合D, 当满足下列条件之下, 求集合D 的个数:

(1) BD; (2) B⊈D; (3) B∩D=Φ; (4) B∩D≠Φ且B⊈D; (5) B∩D含有不多于2个元素, 且B∩D≠Φ; (6) B∩D含有不少于2个元素.

分析:列表1.

解: (1) 属于⑤号取法, 即集合D的个数是C $_{10}^{1}$ C $_{4}^{4}$ =10.

(2) 属于①或②或③或④号取法, 用间接作差法较简单, 即集合D的个数是

C $_{14}^{5}$ -C $_{10}^{1}$ C $_{4}^{4}$ =1992.

(3) 属于①号取法, 集合D的个数是C $_{10}^{5}$ C $_{4}^{0}$ =252.

(4) 属于②或③或④号取法, 可用直接分类法:C $_{10}^{4}$ C $_{4}^{1}$ +C $_{10}^{3}$ C $_{4}^{2}$ +C $_{10}^{2}$ C $_{4}^{3}$ =1740, 或间接作差法:C $_{14}^{5}$ -C $_{10}^{1}$ C $_{4}^{4}$ -C $_{10}^{5}$ C $_{4}^{0}$ =1740.

(5) 属于②或③号取法, 集合D的个数是C $_{10}^{4}$ C $_{4}^{1}$ +C $_{10}^{3}$ C $_{4}^{2}$ =1560.

(6) 属于③或④或⑤号取法, 集合D的个数C $_{10}^{3}$ C $_{4}^{2}$ +C $_{10}^{2}$ C $_{4}^{3}$ +C $_{10}^{1}$ C $_{4}^{4}$ =910.

说明:例1更为—般化的情况, 就是组合中“至多至少”类型问题的一个一般模型, 实质也是从集合的角度解释了这类问题在什么情况下用直接分类法比较简单, 什么情况下用间接作差法比较简单.

对于 (4) 间接作差法时, 实质运用了简易逻辑中“或类型复合命题的否定”这一知识, 而且只有充分运用“或、且类型复合命题的否定”才会有效避免解题中的遗漏或重复.

例2 现将7个人排成一行, 满足下列条件之一的排法有几种:

(1) 甲不排首位且乙不排末位; (2) 甲不排首位或乙不排末位.

分析:对于甲、乙是否排首位、末位和中间五位有如下七种情况:①甲排首位且乙排末位;②甲排首位且乙排中间五位;③甲排中间五位且乙排首位;④甲排中间五位且乙排末位;⑤甲排中间五位且乙排中间五位;⑥甲排末位且乙排首位;⑦甲排末位且乙排中间五位.

对于问题 (1) , 直接分类法解是情况③或⑤或⑥或⑦;用间接作差法解是减情况①或②或④, 所以直接分类法与间接作差法难易程度差不多.对于问题 (2) , 直接分类法解是②或③或④或⑤或⑥或⑦;间接作差法解是减①, 所以间接作差法较简单.

解: (1) 直接分类法:A $_{5}^{1}$ A $_{5}^{5}$ +A $_{5}^{2}$ A $_{5}^{5}$ +A $_{5}^{5}$ +A $_{5}^{1}$ A $_{5}^{5}$ =3720, 由于③和⑤, ⑥和⑦可以分别合并计算, 所以也可以是:A $_{5}^{1}$ A $_{5}^{1}$ A $_{5}^{5}$ +A $_{6}^{6}$ =3720,

或间接作差法:

A $_{7}^{7}$ -A $_{5}^{5}$ -A $_{5}^{1}$ A $_{5}^{5}$ -A $_{5}^{1}$ A $_{5}^{5}$ =3720.

(2) 间接作差法:A $_{7}^{7}$ -A $_{5}^{5}$ =4920.

说明:对于 (1) , 还有—种常见计算为A $_{7}^{7}$ -2A $_{6}^{6}$ +A $_{5}^{5}$ =3720.学生往往想不到要加A $_{5}^{5}$ , 其实从“且复合命题的否定”结合上面的分析可知, “甲不排首位且乙不排末位”的否定为“甲排首位或乙排末位, 即为情况①或②或④”, 甲排首位有情况①或②, 乙排末位有情况①或④, 所以减甲排首位及乙排末位的情况, 其实减了两次①, 所以要加上多减的一次①,