一种改进的广义概率数据关联跟踪算法

一种改进的广义概率数据关联跟踪算法

1.一种改进的广义概率数据关联跟踪算法 篇一

广义预测控制 (GPC) 是20世纪80年代产生的一种新型计算机控制方法, 是预测控制中最具代表性的算法之一, 得到国内外控制理论界和工业界的重视, 成为研究领域中最为活跃的一种预测控制算法。但由于其矩阵的计算量大, 特别是多变量系统, 计算量更大, 并且无法兼顾跟踪快速性和超调性, 因此, 很不适合工业中一些要求快速性高, 实时性强的系统。许多学者对此提出了改进的广义预测控制算法, 文献[1]提出一种快速广义预测控制算法以减少计算量, 但没有避免矩阵求逆。

为此, 本研究提出一种改进的广义预测控制算法, 该算法避免矩阵求逆, 同时考虑控制量变化趋势, 对控制量进行补偿, 较好地抑制了超调, 也兼顾了一定的快速性, 并通过仿真验证算法的正确性。

1广义预测控制基本算法

被控对象的模型采用CARIMA[2,3,4,5,6]模型:

A (z-1) y (t) =B (z-1) u (t-1) +C (z-1) ω (t) /D (1)

式中 A (z-1) , B (z-1) 和C (z-1) —后移算子z-1的多项式;u (t) 和y (t) —被控对象的输入和输出, D—差分算子, D=1-z-1, ω (t) —均值为0的白噪声。

令C (z-1) =1, 并有:

A (z-1) =1+a1z-1+…anz-n

B (z-1) =b0+b1z-1+…+bmz-m

则广义预测模型为:

YP (k+1) =GDU (k) +HDU (k-1) +FY (k) (2)

取性能指标:

$\mathit{J}=\left|\mathit{Y}{}_{{\rm P}}(k+1)-\mathit{Y}{}_r(k+1)\right|{}_Q^2+\left|\text{D}\mathit{U}(k)\right|{}_Q^2$ (3)

并对DU求导得到最优控制律:

DU (k) = (GTQG+R) -1GTQ[Yr (k+1) -

HDU (k-1) -FY (k) ] (4)

2广义预测的改进算法

上述GPC基本算法中存在 (GTQG+R) -1求逆, 导致求解DU (k) 的计算量过大, 对此CLARKE D W[1]提出一种快速广义预测控制算法以减少计算量。此算法在隐式广义预测控制的基础上通过改进目标函数推导出一种新型广义预测控制算法, 该算法的性能指标方程为:

$\begin{array}{l}\mathit{J}={\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm N}{}_1}\{}[y(k+j)-y{}_r(k+j)]{}^2+2l\text{D}u(k+j-1)\\ {\displaystyle \sum _{h=0}^{{\rm N}{}_1-j}}g{}_h\text{D}u(k+j-h+1)+l{}^2[\text{D}u(k+j-1)]{}^2\}(5)\end{array}$

式中 N1—预测时域长度。

利用上式可以求出广义预测控制模型为:

U=dT1[Yr-F (z-1) y (k) -H (z-1) Du (k-1) ] (6)

其中:

与传统的GPC相比, 可看出该算法的优越性。由矩阵知识可知道G1为下三角矩阵, 则lI+GT1也为下三角矩阵, 下三角矩阵求逆算法可大大简化计算过程, 降低计算量, 传统的GPC算法其复杂度为o (n3) , 而新型算法下降到o (n2) , 显然n越大所节省的时间越多。

该新型广义预测控制算法在n较大的时候计算量还是较大的, 占用较大内存, 并在控制超调时束手无策。为此本研究给出一种改进算法不仅能大大减少计算量, 并且能很好抑制超调。

考虑性能指标方程:

$\begin{array}{l}\mathit{J}={\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm N}{}_1}}\{[y(k+j)-y{}_r(k+j)]{}^2+2l\text{D}u(k+j-1)\\ {\displaystyle \sum _{h=0}^{{\rm N}{}_1-j}}g{}_h\text{D}u(k+j-h+1)+l{}^2[\text{D}u(k+j-1)]{}^2\}(8)\end{array}$

上式中, $2l\text{D}u(k+j-1){\displaystyle \sum _{h=0}^{{\rm N}{}_1-j}}g{}_h\text{D}u(k+j-h+1)+l{}^2[\text{D}u(k+j-1)]{}^2$对Du起一定的限制作用, 防止Du过大, 令:

Dumin<Du (t+k) <Dumax (9)

根据仿真经验, 取-1<Du (t+k) <1, 可以保证系统性能不受影响, 当Du (t) 超出界限时, 取边界值。

这样对Du限制后, 可以去掉式 (8) 中的第二、三项, 以减少计算量, 所以式 (5) 使用如下的目标函数[7]:

$\begin{array}{l}\mathit{J}={\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm N}{}_1}}[y(k+j)-y{}_r(k+j)]{}^2\\ =(\mathit{Y}-\mathit{Y}{}_r){}^{\text{Τ}}(\mathit{Y}-\mathit{Y}{}_r)(10)\end{array}$

根据广义预测控制的算法Y=GDU+H, 并代入式 (10) 得:

J= (GDU+H-Yr) T (GDU+H-Yr) (11)

根据阶梯控制策略[8], 令D (u+k) =hD (u+k-1) , 可得D (u+t+n) =hnD (u+t) , 则:

DU=[Du (t) , Du (t+1) …Du (t+Nu-1, 0, 0…]1×n

=[1, h, …hNu-1, 0, 0…]1×nDu (t)

可以推出:

其中, K=[1, h, h2…hNu-1, 0…0]T1×n, R=[r1, r2…rn]T, R=GK, 该目标函数只有一个因变量Du (t) , 故其解非常简单, 解中RTR是标量, 因此避免了求逆矩阵。由∂J/∂Du (t) 得最优控制律为:

$\text{D}u(t)=(\mathit{R}{}^{\text{Τ}}\mathit{R}){}^{-1}\mathit{R}{}^{\text{Τ}}(\mathit{Y}-\mathit{{\rm H}})=\mathit{R}{}^{\text{Τ}}(\mathit{Y}-\mathit{{\rm H}})/{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}{}_u}}r{}_i^2$ (13)

即时最优控制值为U的第一个分量。用式u (t) =u (t-1) +Du (t) 计算出的控制量直接跟踪被控对象容易受到外界环境的影响, 从而影响控制效果, 仿真结果表明有大幅度超调, 从而导致长时间的振荡, 使得系统瞬态响应性能下降。一般根据设定值yr选取如下的一阶滤波方程为:

yr (t) =y (t) yr (t+j) =αyr (t+j-1) + (1-α) yr (14)

其中:j=1, 2…, 0≤α≤1。

建立一个参考响应轨迹, 使被控变量沿着参考响应轨迹逐步趋向设定值, 但很难在跟踪速度和抑制超调间找到平衡点。如果在t时刻, 能够利用t+1时刻对t时刻的超前预测值补偿, 那么这种考虑了控制量变化趋势的新的控制算法可以抑制超调的出现, 取得良好的控制效果。根据式y (t+n+1|t) =EjBDu (t+n) +Fjy (t) 可得到t+n+1时刻的系统输出值:

$\begin{array}{l}\text{D}u(t+1)=(\mathit{R}{}^{\text{Τ}}\mathit{R}){}^{-1}\mathit{R}{}^{\text{Τ}}(\mathit{Y}(t+1)-\mathit{{\rm H}})\\ =\mathit{R}{}^{\text{Τ}}(\mathit{Y}(t+1)-\mathit{{\rm H}})/{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm N}{}_u}}r{}_i^2\end{array}$

做一个简单的加权平均[9], 得:

3仿真研究

取被控对象为: (1-0.496 585z-1) y (t) =0.5z-2u (t) +e (t) /D, 参数n=Nu=4, a=0.8, h=0.3, RLS参数初始值:gn-1=1, f (k+n) =1, P=105I, 其余为0, e (t) 为[-0.2, 0.2]均匀分布白噪声, 初始条件u (1) =-0.3, u (2) =-0.5, u (3) =-0.8, u (4) =-0.7, y (1) =1.9, y (2) =1.8, y (3) =1.7。

本研究分别用传统广义预测控制算法, 2节中快速广义预测算法和本研究的新型改进算法进行仿真, 结果如图1所示。

4结束语

由图1测得基本广义预测算法的静态误差约为-0.128～0.146, 2节中快速广义预测算法静态误差约为-0.052～0.083, 而本研究的改进算法的静态误差约为-0.001～0.056, 因而大大降低了超调, 同时兼顾了快速性。研究结果表明, 该算法可以广泛地应用于工业过程, 如pH酸碱滴定等。

参考文献

[1]王一晶, 左志强.一种新型广义预测控制快速算法[J].模式识别与人工智能, 2002, 15 (3) :295-298.

[2]RICHALETJ, RAULTA, TESTUD J L, et al.Model pre-dictive heuristic control:application to industrial processes[J].Automatica, 1978, 15 (5) :413-428.

[3]ROUHANI R, MEHRA R K.Model algorithmic control (MAC) ;basic theoretical properties[J].Automatica, 1982, 18 (4) :401-414.

[4]CUTLER C R, RAMAKER B L.Dynamic matrix control-acomputer control algorithm[C].Proc.JACC.SanFran-cisco:American Automatic Control Council, 1980.

[5]CLARKE D W.Application of generalized predictive controlto industrial processes[J].IEEE Control Syst.Maga., 1988 (8) :49-55.

[6]刘福才, 贺浩博.一种约束输入输出的隐式广义预测控制新算法[J].计算机仿真, 2007, 24 (6) :301-303.

[7]张庆武.模块多变量广义预测控制及应用[D].合肥:中国科学技术大学自动化系, 2006.