垂径定理教学设计

2024-12-12

垂径定理教学设计（5篇）

1.垂径定理教学设计篇一

垂径定理教学反思

本节课的教学目标是使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点。这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，采用了类比，启发等教学方法。

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。这点学生理解的很好。

根据这个性质先按课本进行合作学习

1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD;

2.作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E.

提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合?

在学生探索的基础上，得出结论：(先介绍弧相等的概念)

①EA=EB;②AC=BC，AD=BD.

理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，

∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.

然后把此结论归纳成命题的形式：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的`弧。

垂径定理的几何语言

∵CD为直径，CD⊥AB(OC⊥AB)

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.

在学生掌握了垂径定理后，及时应用定理画图和解决实际问题，练习由基础到提高，层层深入，学生很有兴趣。做完题目后总计解题的主要方法：

(1)画弦心距是圆中常见的辅助线;

(2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长

本节课不足之处是在处理垂径定理的推论时，应归纳相关垂径定理的五个元素：直径、弦中点、垂直、优弧中点、劣弧中点的规律：“知二得三”。鼓励学生积极探讨符合垂径定理以外的所有推论，以增长学生的知识面及提高学生的探究水平。

2.垂径定理教学设计篇二

1. 利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆心(周)角

例1 (2013·广西梧州) 如图1,AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,∠BOC =70°,则∠ABD=( ).

A. 20° B. 46° C. 55° D. 70°

【点评】圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换,怎么转换需要根据题目的要求来确定.

2. 利用垂径垂直平分弦,构成等线段

例2 (2013·湖北黄石)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,则AD的长为( ).

A.95 B.245 C.185 D.52

【点评】在有关圆的计算问题中,当求圆的一条弦的长时,常常要考虑垂径定理的应用. 本题考查了垂径定理的应用、面积法、勾股定理等知识,能正确地作出辅助线是解决此题的关键.

3. 利用垂径垂直弦,构造特殊四边形

例3 (2013·四川自贡)如图3,在平面直角坐标系中,⊙A经过原点O,并且分别与x轴、y轴交于B、C两点,已知B(8,0),C(0,6),则⊙A的半径为( ).

A. 3 B. 4 C. 5 D. 8

【解析】过点A作AD⊥x轴、AE⊥y轴,垂足分别为D、E. ∵B (8,0),C (0,6),∴OB=8,OC =6,∴OD =4,OE =3,∵∠BOC = ∠ADO =∠AEO=90°,∴四边形ADOE是矩形,∴AD=故选C.

【点评】本题考查平面直角坐标系、垂径定理、矩形的判定等知识.找出直径或半径是解答本题的关键.

4. 利用垂径垂直弦,构造特殊三角形例4 ( 2013·黑龙江牡丹江)在半径为13的⊙O中,弦AB∥CD,弦AB和CD的距离为7,若AB=24,则CD的长为( ).

A. 10 B. 4 30% C. 10或4 30% D. 10或2 165%

【点评】本题考查垂径定理和勾股定理, 作辅助线构造应用垂径定理和勾股定理的基本图形是关键. 由于本题没有画出图形,所以两弦的位置有两种可能:两弦在圆心的同侧或两弦在圆心的两侧.

小试身手

2. 圆的半径为13 cm,两弦AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm,则两弦AB,CD的距离是( ).

3.垂径定理教学设计篇三

关键词：高中数学圆垂径定理例题解析

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）1（b）-0000-00

1圆的垂径定理及其重要性分析

圆在高中数学中占据着极为重要的位置，在高考数学中所占的比例也是相当之大的，其一直是高考的核心内容之一。从近年来的考察分析来看，高考对圆部分的要求越来越高，因而在日常的学习和圆部分的训练一定要循序渐进，掌握层次。这就需要咱们的学生在对知识有一定掌握的同时，必须要让学生能够对相关知识能进行进一步的灵活应用，在解决较为困难或综合性较强的问题的同时，能够发散自己的思维。解题的高效，灵活，快捷，方便。有的人会说，解析几何的本质就是在于引导学生使用代数法对几何图形的性质进行相关的研究，使几何问题代数问题两者之间能够相互转换，一旦只是一味的使用纯代数进行相关的运算，方式方法的选择不得当的话，解析几何的运算量将会有明显的增大，学生的解题正确率就会很明显地下降，常常会因为运算太繁琐半途而废，也常常会因为运算的失误功亏一赞。

在高中数学的几何教学中，数形结合的思想无疑是最重要的数学思想之一，数形结合的典范很大一部分来自于解析几何，能够进一步体现数形结合的数学思想，学生若是能够对几何图形进行深入研究会发现，数的严谨性与形的直观性能在这一思想中得到充分的发挥。

2垂径定理证明

如图1 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

图1垂径定理证明图

证明：连OA、OB分别交于点A、点B.

∵OA、OB是⊙O的半径

∴OA=OB

∴△OAB是等腰三角形

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）

∴弧AD=弧BD，∠AOC= 角BOC

∴弧AC=弧BC

3 题型分析

3.1 常规题

已知圆C：（x-1）^2+y^2=9 内有一点P（2，2），过点P作直线L交圆C于A、B两点.

（1）当弦AB被点P平分时，求直线L的方程。

（2）当直线的倾斜角为45°时，求弦AB的长。

（1）当弦AB被点P平分时

圆心C与点P的连线必然与AB垂直

所以得到AB的斜率

k=-1/2

y-2=-1/2（x-2）

x+2y-6=0

（2）直線l的倾斜角为45°，直线AB的方程y=x

求圆心（1，0）到直线y=x的距离为1/√2

利用垂径定理，得|AB|=2×√34/2=√34。

3.2 两圆相交，巧用垂径定理

圆c：x2 +y2=2，过P（1，1）作两条相异直线与圆分别交于A，B两点，直线PA和PB拘倾斜角互补，判断直线OP与AB是否平行？若是，请给出证明；若不是请说明理由

解过点P作y轴的平行线，与圆C交于点Q，则Q（l，-l）因为直线PA和PB的倾斜角互补，所以直线PA、PB关于直线Po对称，即角APQ=角BPQ所以，AQ= BQ，所以，oo垂直平分AB.因为直线OQ'的斜率为-l，直线OP的斜率为l，所以OO垂直OP，所以OP与AB平行。

3.3 椭圆化圆，运用垂径定理简化过程

椭圆的问题通常采用二次方程的根与系数的关系或引入参数来求解，但常常导致运算上的繁琐和消参的困难，而圆的有关问题却更容易解决。圆和椭圆具有明显区别，但又有必然联系。对于圆来说，利用垂径定理和点到直线间的距离公式，可以极大地简化计算量。将椭圆转化成圆，是利用了点与曲线、曲线与曲线的位置关系在这一变换下的不变性。

先对椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax'，y=by'的坐标转换。在这种转换下，xoy平面内的任一点P（x，y）转换为x'o'y'平面内的点P'（x'，y'）。椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就转换为x'o'y'平面内的单位圆x'^2+y'^2=1。但是要注意，被转化的椭圆的方程是标准方程。【椭圆的一般方程（高中不接触）经坐标变换总可以化为标准方程，当然我们接触的都是标准方程】还要注意要将结果完全还原。常见的问题会有：判断直线和椭圆位置关系，常规解法应该是直线与椭圆方程联立根据方程解的个数来判断直线与椭圆的位置关系。但如果把椭圆圆化，此问题便转化为直线与圆的位置关系了。因而，对上面问题的证明通常情况下可进行如下处理：一般化情况下，直线Ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置关系讨论（也是一个定理）如前所述，首先作变换x=ax'，y=by'，那么直线和椭圆分别转化为直线aAx'+bBy'+C=0和单位圆x'^2+y'^2=1。得到圆心到直线距离公式d=|C|/√（a^2A^2+b^2B^2）。（这个公式是不改变的）原来的直线和椭圆相交，就是转化后的直线和圆相交，那么d<1，得到a^2A^2+b^2B^2-C^2>0。同理，直线和椭圆相切，就是转化后的直线和圆相切，a^2A^2+b^2B^2-C^2=0；直线和椭圆相离，a^2A^2+b^2B^2-C^2<0。

参考文献

[1]许明达. 展示 “垂径定理” 教学过程培养学生的思维品质[J]. 辽宁教育， 1998， 6.

[2]陈广南. 圆与正多边形——圆的概念与垂径定理[J]. 中学理科：初中数理化， 2004 （11）： 69-70.

[3]赵彦庆. 关于垂径定理的另一条推论及其应用[J]. 中学生数学：高中版， 2010 （008）： 37-37.

4.《垂径定理》典型练习题篇四

垂径定理是“圆”一章的重要内容。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，是圆的.轴对称性的具体化;它不仅是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为今后进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据。由于它在教材中处于非常重要的位置，所以成为每年中考必考的知识点之一。

一、垂径定理及推理的内容

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图，几何表述为：

∵CD过圆心，CD⊥AB于E

∴AE=BE，-=-，-=-

2.垂径定理推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，几何表述为：

∵CD过圆心，AE=BE(AB不是直径)

∴CD⊥AB于E，-=-，-=-

3.垂径定理其他推论的几何表述：

①∵CD过圆心，-=-

∴CD⊥AB，AE=BE，-=-

②∵CD过圆心，-=-