证明题思路训练

证明题思路训练（精选14篇）

1.证明题思路训练 篇一

[1].如图2所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB。（1）CB∥DA成立吗？可以的话，请说明原因。（2）DC∥AB

[2].直线AB、CD被EF所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠

BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ。

[3].如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°，求∠

2、∠3的度数。

[4].AB∥CD，CFE＝112，ED平分BEF,交CD于D，求∠EDF。

[5].如图，已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C。

[6].如图，若AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP=40°，求∠EPF的度数。

[7].如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，那么AD平分∠BAC吗？试说明理由。

[8].如图，CD⊥ABD，FG⊥ABG，ED∥BC，试说明∠1=∠2。

[9].如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.[10].如图所示,已知EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB∥CD.E

AC[11].如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.K

H

BD

AC

4B

5D

[12].[13].[14].[15].已知D、F、E分别是BC、AC、AB上的点，DF∥AB，DE∥AC，试说明∠EDF=∠A．

如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．

已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试探究∠A=∠F相等吗？试说明理由．

AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE=50°，求：∠BHF的度数．

[16].[17].设P（x，y）是坐标平面上的任一点，根据下列条件填空：（1）若xy＞0，则点P在象限；（2）若xy＜0，则点P在象限；

（3）若y＞0，则点P在象限或在 上；（4）若x＜0，则点P在象限或在 上；（5）若y=0，则点P在上；（6）若x=0，则点P在上．

[18].试分别指出坐标平面内以下各直线上各点的横坐标、纵坐标的特征以及与两条坐标轴的位置关系．（1）在图中，过A（-2，3）、B（4，3）两点作直线AB，则直线AB上的任意一点P（a，b）的横坐标可以取，纵坐标是．直线AB与y轴，垂足的坐标是；直线AB与x轴，AB与x轴的距离是．（2）在图中，过A（-2，3）、C（-2，-3）两点作直线AC，则直线AC上的任意一点Q（c，d）的横坐标是，纵坐标可以是．直线AC与x轴，垂足的坐标是；直线AC与y轴，AC与y轴的距离是．

[19].若A（m+4，n）和点B（n-1，2m+1）关于x轴对称，则，．

[20].如图，分别在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接起来． A（-6，-4）、B（-4，-3）、C（-2，-2）、D

（0，-1）、E（2，0）、F（4，1）、G（6，2）、H（8，3）．

[21].已知点A（a，-4），B（3，b），根据下列条件求a、b的值．（1）A、B关于x轴对称；（2）A、B关于y轴对称；（3）A、B关于原点对称．

[22].已知：点P（2m+4，m-1）．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P在x轴上；

（3）点P的纵坐标比横坐标大3；

（4）点P在过A（2，-3）点，且与x轴平行的直线上．

2.证明题思路训练 篇二

一、比较法

比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法.比较法有作差比较、作商比较两种形式.比较法证明不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的方式是因式分解、配方,判断过程必须详细.若作差比较,则结果与0比较大小;若作商比较,结果与1比较大小.

例1 (2010年上海理22)若实数x,y,m满足|xm|>|y-m|,则称x比y远离m.已知对任意两个不相等的正数a,b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离.

证明:一方面由于所以有.

所以有a3+b3比a2b+ab2远离.

注:本题看上去很新颖,属于新定义的题目,但却用了书本上最基础的证明方法——比较法,也提醒我们复习迎考要注重基本知识与基本技能的训练.

二、反证法

反证法,就是从否定结论出发,通过逻辑推理,导出矛盾.即证明结论的否定是错误的,从而证得原命题的成立.反证法通常分三步骤:①假设结论不成立,②推出矛盾,③肯定原命题成立.当一个不等式从正面很难证明的时候,我们可以考虑使用反证法.

例2 (2010年湖北21)设函数,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,

(1)确定b,c的值;

(2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),证明:当x1≠x2时f'(x1)≠f'(x2).

解:(1)过程略,b=0,c=1.

(2)曲线y=f(x)在点(x1f(x1))及(x2,f(x2))处的切线方程分别为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)和y-f(x2)=f'(x2)(x-x2),由于均过点(0,2),即2-f(x1)=f'(x1)(-x1)和2-f(x2)=f'(x2)(-x2).所以x1,x2是方程2-f(x)=f'(x)(-x)两个根.

化简得x1,x2是方程两个根

由(3)得到x1+x2=a或x1=x2(舍去)

将x1+x2=a代入(1)(2)得到

由(4)(5)得与条件x1≠x2矛盾,所以f'(x1)≠f'(x2).

注:本题是一道函数问题的证明题,重在考查运用导数处理函数问题的能力.根据要证明的结论看出不便直接证明,故可以采用反证法,常说正难则反,正繁则反.使用反证法关键是如何得到矛盾.

三、构造函数法

构造函数法,根据命题的形式,提取或者构造出某个函数,再利用函数的性质来证明命题.此方法的关键在于函数的构造。

例3 (2007年山东理22)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.证明对任意的正整数n,不等式都成立。

分析:从结论来看,若设,则只需要证明ln(x+1)>x2-x3(其中x>0),也就要证明x3>x2-ln(x+1).

证明:当b=-1时,函数f(x)=x2-ln(x+1),

所以当x∈[0,+∞])时,h'(x)>0,所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,又h(0)=0,

所以x∈[0,+∞)时,恒有h(x)>h(0)=0,即x3-x2+ln(x+1)>0恒成立,故当x∈(0,+∞)时,有ln(x+1)>x2-x3,

对任意正整数n,取则有,所以结论成立。

注:构造函数法在很多证明题中都会涉及,首先是如何根据题目含义构造出函数,或者说构造出什么样的函数,其次是能研究函数的性质,得出一些便于证题的结论.这种方法的难点是如何构造函数。

四、数学归纳法

数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法,可用来证明等式、不等式、整除性、数列通项及其他与正整数有关的命题.其证明步骤:(1)先证明当n取第一个值n0时命题成立.(2)假设n=k(k∈N*,k≥n0)时,结论正确,证明出n=k+1时结论也正确.最后根据(1)(2)下结论原命题成立.

例4 (2009年山东理)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上.

(1)求r的值;

(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N+)

证明:对任意的n∈N+,不等式成立.

解:(1)过程略,r=-1,an=(b-1)bn-1

由①、②可得不等式恒成立.

注:本题第(2)题主要考查了运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.数学归纳法格式性较强,容易模仿,难点在于如何由n=k时结论成立证出n=k+1时结论也成立.

五、放缩法

所谓放缩法,就是欲证A≥B,可以适当地放大或者缩小,借助一个或者几个中间量,使得B≤B1≤B2…Bi≤A,最终利用不等式的传递性达到证明效果.

例5 (2008年辽宁理21)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4且an,bn,an+,成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).

(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;

(2)证明:

解:(1)an=n(n+1),bn=(n+1)2,可以由数学归纳法证明,此处省略;

(2)当n=1时,有

注:放缩法看起来很巧妙,但实际操作起来难度较大,例如,怎么放缩,放缩的幅度有多大,是先放缩再求和还是先求和再放缩等.这些都需要我们先要对题目作一些分析和尝试的.

3.证明题思路训练 篇三

1-1. (改编)已知数列{an}中,a1=-,前n项和Sn满足Sn++2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.

1-2. (改编)对于任意正整数n,猜想2n-1与(n+1)2的大小关系.

2. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例6)已知,≠k+(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sin,sinθcosθ=sin2,求证:=.

2-1. (改编)求证:+>2+.

2-2. (改编)求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积比正方形的面积大.

3. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例8)已知直线a,b和平面α,如果aα,bα,且a∥b,求证:a∥α.

3-1. (改编)设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,求证:数列{Sn}不是等比数列.

3-2. (改编)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.

3-3. (改编)已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”,写出其逆命题,判断其真假并证明你的结论.

4. (人教B版选修2-2第2.3.2点“数学归纳法应用举例”例1)用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2=.

4-1. (改编)设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N*),证明:an=[3n+(-1)n-1•2n]+(-1)n•2na0(n≥1).

4-2. (改编)数列{an}满足a1=1,且an+1=1+an

+(n≥1),用数学归纳法证明:an≥2(n≥2).

5. (人教B版选修1-2第3.2.2点“复数的乘法和除法”例2)求证:

(1) z•=|z|2=||2;

(2) 2=()2;

(3) =•.

5-1. (改编)设复数z=,求1+z+z2+…+z2006的值.

5-2. (改编)设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求z的值.

1-1. 由S1=-,S2=-,S3=-,S4=-,S5=

-,猜想Sn=-.

1-2. 当n≤6时,2n-1<(n+1)2;当n=7时,2n-1=(n+1)2;当n=8时,2n-1>(n+1)2(n∈N*).

2-1. 提示:用分析法,两边平方,逐步推导即可.

2-2. 设圆和正方形的周长均为l,则圆的面积为π2,正方形的面积为2.

只需证明π2>2,只需证明>.

两边同乘以正数,得>,即只需证明4>π.

因为上式是成立的,所以原命题得证.

3-1. 假设{Sn}为等比数列,则S2 2=S1S3,整理可得(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾.

3-2. 设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.而a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,这与假设矛盾.

3-3. 逆命题是:若“f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”.它是真命题.

证明如下:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.

又因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)

4-1. 当n=1时,由已知a1=1-2a0=(3+2)-2a0,即等式成立;

假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即ak=[3k+

(-1)k-12k]+(-1)k2ka0,

那么当n=k+1时,ak+1=3k-2ak=[3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+1a0,即等式也成立.

综上可知,等式对任意n∈N*成立.

4-2. 当n=2时,a2=2≥2,不等式成立;

假设当n=k(k≥2)时,不等式成立,即ak≥2(k≥2),

那么当n=k+1时,有ak+1=1+ak+≥1+×2+=2++>2(k≥2),即不等式也成立.

综上可知,an≥2对所有n≥2成立.

5-1. z=i,原式=i.

5-2. 设z=bi,则|z-1|=|-1+bi|=.

4.四边形证明思路格式填空训练 篇四

班级姓名

1.如图正方形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，求证CF⊥DE

证明：∵BD正方形ABCD的对角线

∴AB=，∠1 =∠

∵BF=BF

∴△ABF△CBF（）

∴∠3 = ∠

∵AB=,∠ABC=∠DCB，BE=∴△ABE△DCE（）

∴∠5 = ∠

∵Rt△ABE中∠3+∠5=°

∴∠4+ ∠6=

∴CF⊥DE

2.如图，已知：P是正方形ABCD的CD边

上一点，∠BAP的平分线交BC于Q，求证：

AP=DP+BQ．

证明：∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD，∠1=∠B=90°

把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，∴∠2=∠，∠4=∠B=90°，∠E=∠，DE=BQ，AB与AD重合，B、D两点重合，∵∠4+∠1=∴点E、D、P三点共线

∵AD∥

∴∠5=∠DAQ=∠6+∠7 又∵∠6=∠3，∠3=∠2 ∴∠5 =∠2+∠7=∠PAE ∴∠E=∠PAE

∴△AEP中PA=∴PA=DP+DE=DP+BQ

3.如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C

作

CN⊥DM交AB

于N，设正方形对角线交

点为O，试确定OM与

ON之间的关系，并说明理由

答：OM=ON；OM⊥ON．

证明：∵四边形ABCD是正方形

∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°

又∵CN⊥DM交AB于N

∴∠2+∠3=°

而Rt△CDM中∠3+∠4=°

∴∠2=∠

∴△DCM≌△CBN（）

∴CM=BN，∵正方形ABCD中OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°

∴△OCM≌△OBN（）∴OM=ON，∠5=∠而AC⊥BD，∠5+∠6=° ∴∠+∠6=90°． 即∠MON=90°．

∴OM与ON的关系是OM=ON；OM⊥ON．

4.如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的大小 解：连接AC，∵在菱形ABCD中，AB=CB，∠B=60°

∴△ABC是三角形 ∴∠BAC=60°，AB=AC ∵∠EAF=60°

∴∠BAC-∠3=∠EAF-∠3 即：∠2=∠∵AB∥

∴∠5=∠BAC=° ∴∠5=∠B

∵∠2=∠，AB=AC，∠5=∠∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，又∠EAF=60°，则△AEF是等边三角形，∴∠6=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=80°，∴∠CEF=∠AEC-∠6=80°-60°=20°

5.如图，四边形ABCD是正方形，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．猜想图中线段BG、DE的数量和位置关系，并说明理由．

答：猜想BG=DE，且BG⊥DE．

证明：∵四边形ABCD、CEFG是正方形，∴∠3=∠4=°，BC=CD，CE=CG，∴∠3+∠5=∠4+∠即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（）∴∠1=∠2，BG=DE，∵Rt△BCH中∠1+∠∠BHC=∠6

∴∠2+∠BHC=∠2+∠6=°

∴∠DOG=∠2+∠6=90°，∴BG⊥DE．

6.如图，正方形ABCD中，E、F为BC，CD的上点且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF 证明：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，∴BE=GD，AE=AG，∠1=∠

4∵正方形ABCD中∠BAD=90°，∠2=45° ∴∠1+∠3=45°=∠2 ∴∠4+∠3=∠2 ∴∠2=∠FAG

在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠2=∠FAG，AF=AF

∴△AEF≌△AGF（）∴EF=GF

即EF=GD+DF∴EF=BE+DF

7.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；

（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下： 连接AC，∵四边形ABCD是正方形 O是BD的中点 ∴点A,O,C在同一直线上，AC=BD，AC⊥BD

∵OA=OC=AC，OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD

∵△BCO中OB=OC，PE⊥BC

∴E是BC的中点 同理F是CD的中点 ∴EF是△BCD的中位线 ∴EF∥BD，EF=BD ∵AC⊥，OA=BD ∴OA⊥EF, OA=EF 即AP=EF，AP⊥EF

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下： 延长AP交BC于N，延长FP交AB于M； ∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°

∴四边形BEPM是又∵∠2=∠3=° ∴∠3=∠4=° ∴BE=EP

∴矩形MBEP是正方形

∴MB=BE，∠5=∠FPE=90°； ∴AB-BM=BC-即AM=CE

而矩形CEPF中CE=PF ∴AM=PF

∴△AMP≌△FPE（）∴AP=EF，∠6=∠7=∠8 ∵Rt△PEF中∠7+∠9=90° ∴∠8+∠9=90°，即AP⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF．

8.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

证明：（1）∵

ABCD对角线交于点O∴OA = OC

∵△EAC为等边三角形

∴ 

EO⊥AC即：AC⊥BD

故ABCD是菱形

(2)∵△EAC为等边三角形，OA = OC∴∠∠AEC = 30°∵∠AED = 2∠EAD∴∠EAD = 15°∴∠ADB = 45°

∴∵

 ∠ADC = 2∠ADB = 90°

ABCD为菱形

故：ABCD为正方形

9.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．（1）证明：∵在△ABC中AB=AC，AD⊥BC，∴∠2=∠BAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠3=∠CAM

∴∠DAE=∠2+∠3=×180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．（答案不唯一）理由：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠5=∠B=45°

∵∠∠BAC=45°

∴∠5=∠=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形． ∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．

10.如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形． 解：∵AE⊥CA，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠=∠2 ∵AD⊥BC，EF⊥BC ∴AD∥EF ∴∠2=∠∴∠1=∠3 ∴AE=AG

∴四边形AEFG为平行四边形，又∵AE=AG，∴四边形AEFG为菱形．

11.如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．

证明：延长CF、BA交于点M，∵四边形ABCD为正方形

∴AD=CD=BC，∠4=∠D=∠BCD=90° ∵DF=AD,CE=CD ∴CE=

∵BC=CD，∠BCE=∠D，CE=DF

∴△BCE≌△CDF()∴∠1=∠∵∠3+∠=∠BCD=90°

∴∠3+∠=90°

∴∠BPM=∠3+∠1=90° 又∵FD=FA，∠D=∠，∠5=∠6，∴△CDF≌△AMF()∴CD=AM．

∵CD=AB，∴AB=AM．

∴PA是Rt△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM= AB=AM 即AP=AB．

12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90度．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC

上，再将

Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF．连接AD．

（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形，为什么？

（1）证明：∵Rt△DEC

是由Rt△ABC绕点C旋转60°得到的，∴AC=，∠1=∠ACD=° ∴△ACD是三角形 ∴AD=DC=

又∵Rt △ABF是Rt△ABC沿AB折叠的 ∴AC=，∠2=∠ABC=°

∴∠FBC是平角∴点F、B、C三点共线，∵∠ACB=°

∴等腰△AFC是三角形 ∴AF=FC=AC

∴AD=DC=FC=AF∴四边形AFCD是（2）四边形ABCG是矩形

证明：由（1）知△ACD是三角形

DE⊥AC于E ∴AE=∵AG//BC ∴∠3=∠∠4=∠∴△AEG≌（）∴AG=

∴四边形ABCG是平行四边形 而∠ABC=

5.证明题思路训练 篇五

1、（1）∵∠1=∠A（已知），∴∥，（）；

（2）∵∠3=∠4（已知），∴∥，（）

（3）∵∠2=∠5（已知），∴∥，（）；

（4）∵∠ADC+∠C=180º（已知），∴∥，（）

.2，如图，（1）∵∠ABD=∠BDC（已知），∴∥，（）；

（2）∵∠DBC=∠ADB（已知），∴∥，（）；

（3）∵∠CBE=∠DCB（已知），∴∥，（）；

（4）∵∠CBE=∠A，（已知），∴∥，（）；

（5）∵∠A+∠ADC=180º（已知），∴∥，（）；

（6）∵∠A+∠ABC=180º（已知），∴∥，（）

.7、如图2-56

①∵AB//CD（已知），∴∠ABC=__________（）

____________=______________（两直线平行，内错角相等），∴∠BCD+____________=180（）

②∵∠3=∠4（已知），∴____________∥____________（）

③∵∠FAD=∠FBC（已知），∴_____________∥____________（）

8、如图2-57，直线AB，CD，EF被直线GH所截，∠1=70，∠2=110，∠3=70．求证：AB//CD．

证明：∵∠1=70，∠3=70（已知），∴∠1=∠3（）

∴ ________∥_________（）

∵∠2=110，∠3=70（），∴_____________+__________=______________,∴_____________//______________,∴AB//CD（）．

9.如图2-58，①直线DE，AC被第三条直线BA所截，则∠1和∠2是________，如果∠1=∠2，则_____________//_____________,其理由是（）．

②∠3和∠4是直线__________、__________，被直线____________所截，因此____________//____________．

∠3_________∠4,其理由是（）．

10.如图2-59，已知AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证∠1+∠2=90．

证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠2=_________（）

同理∠1=_______________,∴∠1+∠2=1____________（）

2又∵AB//CD（已知），∴∠ABC+∠BCD=__________________（）

∴∠1+∠2=90（）



11、如图2-60，E、F、G分别是AB、AC、BC上一点．

①如果∠B=∠FGC，则_______//______,其理由是（）②∠BEG=∠EGF，则__________//_______，其理由是（③如果∠AEG+∠EAF=180，则________//_______，其理由是（12.如图2-61，已知AB//CD，AB//DE，求证：∠B+∠D=∠BCF+∠DCF．

证明： ∵AB//CF（已知），∴∠______=∠________（两直线平行，内错角相等）．

∵AB//CF，AB//DE（已知），∴CF//DE（）

∴∠_________=∠_________（）

∴∠B+∠D=∠BCF+∠DCF（等式性质）．

13如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．

解：∠B＋∠E＝∠BCE

过点C作CF∥AB，则B____（）

又∵AB∥DE，AB∥CF，∴____________（）

∴∠E＝∠____（）））

∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2

即∠B＋∠E＝∠BCE．阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ．证明：∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD（）

又∵∠1＝∠2，∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，即 ∠MEP＝∠______

6.证明题思路训练 篇六

1、(肇庆2010)(8分)如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

(1)求证：△CEB≌△ADC；

(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．

E

C2、（深圳2010）（本题7分）如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，D在AB上．

（1）求证：△AOC≌△BOD；（4分）

（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．（3分）

O

图8

A

二、平行四边形、特殊的平行四边形

1、（广州2010）如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．

求证：∠A＋∠C＝180°

2、（佛山2010）已知，在平行四边形ABCD中，EFGH分别是AB、BC、CD、DA上的点，B F C3、(湛江2010)(10分)如图，在□ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．

求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)AE∥CF． D

C

4．(肇庆2010)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1＝∠2．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BOC＝120°，AB＝4cm，求四边形ABCD的面积． D5、（汕头2010）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

且AE=CG，BF=DH，求证：AEH≌CGF

E

B

C

第20题图

6、（茂名2010）如图，已知OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝a，C 过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．

(1)证明：△OAB∽△EDA；

(2)当a为何值时，△OAB≌△EDA？*请说明理由，并求此时点 BD C到OE的距离．

O A E图

1C

D

B

O A E

图

27．（梅州2010）如图，在△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过点P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：PE＝PF；

(2)*当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；

AP

3(3)*若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且．求此时∠A的大

BC2小．

N

三、梯形

1．（深圳2006）如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC, ABDCAD，ADC120．（1）（３分）求证：BDDC

证明：

（2）（４分）若AB4，求梯形ABCD的面积． 解：

B

C2、（08年深圳中考）如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E． AB（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

EDC

图

5四、直角三角形的边角关系的应用

1．(湛江2010)如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5m，风筝飞到C处时的线长BC为30m，这时测得∠CBD＝60º．求此时风筝离地面的高度（精确到0.1m，3≈1.73）．

2．（深圳2009）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米． 试求旗杆BC的高度．

D

A3、（深圳2007）如图5，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向



7.一道不等式证明题的研究 篇七

这里, 笔者结合一道不等式的证明题的思维过程, 具体谈谈不等式证明的相关要点.

例题, m≠n, 求证:|f (m) -f (n) |<|m-n|.

这道证明题, 在各类教材辅导用书中出现的概率比较大.其原因有三:一是作为试题, 该题在考查相关知识点的考卷中出现的频率高;二是考生对该题普遍出现“动手率高、得分率低”的怪状, 有一定的指导价值;三是二次根式是学生的薄弱环节, 对提高学生的数学运算能力大有帮助.

面对这道习题, 学生理所当然地首先考虑比较法.众所周知, 比较法的关键在于对“差”或“比”进行变形, 变形的方法较多, 常用的有配方法、因式分解法、有理化法.本题求差还是求比?观察到两边都是绝对值, 利用求比也就比较合乎常理了.

1. 求比法.

因为m≠n, 所以|m-n|>0, 且, 于是|f (m) -f (n) |<|m-n|.

没选求差法, 因为m≠n, 所以, 所以原命题成立.

证明可再次使用平方求差法, 也可使用其他行之有效的方法.

2. 变形的求差法.

因为设a= (1, m) , b= (1, n) , 因为m≠n, 所以向量a与b不平行, 于是||a-b||<|a-b|, 又, , |a-b|=|m-n|, 所以一代入, 就是所证的不等式了. (这一证法的关键在于将与向量的模关联起来.因而这一解法又称向量法.)

分析法在数学中有一种通俗而形象的说法, 叫作“执果索因法”, 其要求是每一步要可逆, 多适用于含无理式的不等式的证明.不等式的证明, 一般用分析法探索、用综合法表达.二者互相辅助, 对学生的逻辑思维的培养极有帮助.

3. 分析综合法.

, 至此有两种方法, 一种将变形为, 利用m≠n得证, 另一种是对1+mn的正负进行讨论:1+mn≤0时, 明显成立;1+mn>0时, (*) 式.

到此为止, 该题的常规思维结束.还有哪些特殊方法呢?我们仍然从思维联想的角度来探讨.

二次根式的和或差, 常从分母有理化 (或分子有理化) 进行尝试, 会得到, 由于目标中有|m-n|, 势必在分离后, 转证, 于是放缩法就自然地找到了.

4. 放缩法.

因为m≠n.所.

数学上, 的形式, 容易让人联想到直线的斜率, 本题就会归结为对函数的单调性和凹凸性的分析, 导数法的产生就在意料之中了.

5. 导数法.

因为, , 所以函数f (x) 是以 (0, 1) 为顶点、关于y轴对称的凹函数, 于是m≠n时, 斜率 (用到) .

如果能将f (m) -f (n) 与∫ntF (x) dx (其中F (x) 为f (x) 的导函数) 进行挂钩, 思维水平真让人叹为观止了.结合导数法易知, (难想到, 故从略.)

同样将、与或进行思维联想, 就会对△OAB (其中A (m, 1) 、B (n, 1) ) 着手分析, 借助于“两边之和大于第三边”, 也能轻而易举地证出本题 (与向量法类似, 从略) .

8.高中几何证明题 篇八

1、(本题14分)如图5所示，AF、DE分别世O、O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8.BC是O的直径，ABAC6,OE//AD.D(I)求二面角BADF的大小；

(II)求直线BD与EF所成的角.AF图

5解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD

—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；

(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，2，0），B（32，0，0）,D（0，32，8），E（0，0，8），F（0，32，0）所以，(2,32,8),(0,2,8)

cosBD,EFBD与01864EF 10设异面直线所成角为，则

cos|cosBD,EF| 10

10直线BD与EF所成的角为

2．（本题满分13分）

如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45．

（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；

（Ⅱ）求二面角ABDC的大小；

（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．

A1B

1C

1解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．

A1

ABC是正三角形，AEBC． 又底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC

．1AE侧面BB1C1C．

B

C1

连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为ADE45．……………2分 在RtAED中，tan45



AE

ED，解得x…………3分

此正三棱柱的侧棱长为……………………4分

注：也可用向量法求侧棱长．

（Ⅱ）解法1：过E作EFBD于F，连AF，AE侧面BB1C1C,AFBD．

AFE为二面角ABDC的平面角．……………………………6分 在RtBEF中，EFBEsinEBF，又

BE1,sinEBF

又AE

CDEF．

BD在RtAEF中，tanAFE

AE

3．…………………………8分 EF

故二面角ABDC的大小为arctan3．…………………………9分

解法2：（向量法，见后）

BD平面AEF,平面AEF平面ABD，（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，且交线为AF，过E作EGAF于G，则EG平面ABD．…………10分

在RtAEF中，EG

AEEF

AF



．…………12分 E为BC中点，点C到平面ABD的距离为2EGACB解法2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由C

．…………13分 10

ADB,D，易得平面ABD

平面CHD，且交线为DH．过点C作CIDH于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离．

解法3：（思路）等体积变换:由VCABDVABCD可求． 解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系

则AB(0,1,0),C(0,1,0),D(

设n1(x,y,z)为平面ABD的法向量．

yn10,由 得y0n02

取n1().…………6分



又平面BCD的一个法向量n2(0,0,1).…………7分

n1n2(6,3,1)(0,0,1)．…………8分 cosn1,n2

n1n21(6)2()21210

．…………9分 

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，n1(),CA(0,1…………10分

结合图形可知，二面角ABDC的大小为点C到平面ABD的距离d来源：（深圳家教）

(0,1,)(6,,1)(6)2(3)212

＝

9.几何证明题练习 篇九

1.如图1，Rt△ABC中AB = AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD = EC，AM⊥BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F。试判断△DEF的形状，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。

①画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形； ②点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN，如图2)。

附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由。

E

A

AM

AMD

D

F

E

F

A

F

K

C

AD

D

F

A

EEC

图 16

C

N

B

图 1

5B

MF

MF

图 17

D

C

图 17

图 16图 15

2．（1）如图13－1，操作：把正方形CGEF的对角线 CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题 A 的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求 至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得 7分；选取③完成证明得5分。

① DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE； A ② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图13－2），其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。（2）：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后

（如图13－

3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

D

F

E

图

13-2 D

图13－

33．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.MN的形状是否发生改变？若不变，①当点N在线段AD上时（如图2），△P求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.N

A A A D D D B

图1 A B

D F C

B

F C

B

M

图

2F C B

N

F

C

M 图3 D F C

（第3题）A

图5（备用）图4（备用）

4.如图4，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3……△PnAn－1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3……

Pn都在函数y

(x > 0)的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3……An－1An都在x轴上。x

⑴求A1、A2点的坐标；

⑵猜想An点的坐标(直接写出结果即可)

图 1

55.如图5-1，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写

3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形； ②∠BAC = 90°(如图17)

附加题：如图5-3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系。

E

E

AM图 17

C

D

图 18

EC

D

A

D

M图 16

6.O点是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．

（1）如图，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．

A

B

7.如图，已知三角形ABD为⊙O内接正三角形，C为弧BD上任意一点，已知AC=a，求S四边形ABCD。

D到直线l的距B、C、8.如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、离分别为a、b、c、d．

（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．(2)现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．

9.10.已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；

（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

B

A

D C

A

图②

C

图①

11.如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.ABC60，12.（北京市石景山中考模拟试题）（1）如图1，四边形ABCD中，ABCB，ADC120，请你 猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，四边形ABCD中，ABBC，ABC60，若点P为四边形ABCD内一点，且APD120，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．

第12题图１ 图2 13.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC

相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的 数量关系？试证明你的猜想；

(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的 取值范围；

(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所

有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由..B

QC

A

P

10.一道不等式证明题的多种解法 篇十

分析 此题比较抽象, 条件非常简单, 把很多同学难倒了.这时, 我们不妨引导学生抓住a, b, c∈R+这一条件, 在不等式中, 均值不等式里强调了这个条件, 所以我们不妨用均值不等式试一试.

证明 方法一:均值不等式

undefined

分析 尽管柯西不等式是我们新课改中新添的内容, 可是它的用处却不容忽视, 它的应用非常广泛, 它的最大特点是与平方和有关, 虽然题目中没有出现平方, 但是在正数的条件下, 我们是可以自己创造平方的, 这样就出现了平方和, 形式上就与柯西不等式一致了.

方法二:柯西不等式

undefined

方法三:综合法

undefined, ①

undefined, ②

undefined, ③

①+②+③, 得

undefined

方法四:综合法

undefined

此种方法对学生的观察分析及综合能力都要求比较高, 要有一定的数学功底才能把它“凑”出来.

方法五:换元法

令x=b+c, y=a+c, z=a+b且x>0, y>0, z>0, 则

undefined

undefined

此种方法不失为一种好方法, 换元法是我们数学中常用的方法, 教师稍加启发, 学生便能证出, 而且较易掌握, 对于学生以后的学习是大有帮助的.

摘要：随着素质教育的深入, 社会对教师教学的要求也越来越高了.怎样才能在短短的课堂45分钟时间内拓展学生的思维, 提高课堂效率呢?笔者认为在数学教学中, 一题多解不失为一个好办法.因为一题多解能够激发学生的思维活动, 能够让学生化被动为主动, 化呆板为灵动地学习.不等式这一知识点在高中数学中涉及的面比较广, 应用比较灵活, 再加上它的抽象性, 让许多同学望不等式而生畏.以下略举一例, 希望能起到抛砖引玉的作用, 让广大同行们在教学过程中拓展和发散学生的思维方面有所启发.

11.重积分证明题 篇十一

1、设函数f(x,y)和g(x,y)在有界闭域D上连续，证明

2、设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)D，利用二重积分定义证明：

3、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：

其中σ是D的面积。

4、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明：

5、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，证明在D上必有点(ξ,η)使得

成立，其中σ是D的面积。

6、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明

7、设D={(x,y)}｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

其中φ(x)在[a,b]上连续，f(x),g(y)均在D上连续，且g(－y)=－g(y).8、设D={(x,y)｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},试证

[a,b]上连续，f(x,y)在D上连续且f(x,－y)=－f(x,y).9、设f(x,y)是连续函数，证明其中a,m为常数，且a>0.10、设f(u)为连续函数，试证

其中φ(x)在11、设f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上连续，且g(x,y)≥0,证明：在D上必有点(ξ,η),使

成立。

12、设f(x,y)为区域D：上的连续函数，试证

13、利用二重积分的估值性质，证明 线－x+y=1,x+y=1及ox轴所围成的区域。

其中D是由直

14、设f(x)在[a,b]上连续，证明 其中n>0.15、证明：

大于1的自然数。

16、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，试用二重积分证明不等式：

17、设f(x)在[0,1]上连续，证明

18、设f(x)在[a,b]上连续，证明不等式

19、设p(x)是[a,b]上的非负连续函数，f(x),g(x)是[a,b]上的连续单增函数，证明

20、设f(x)是[0,1]上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式：

其中n为

21、设f(x)是[0,1]上的连续单增函数，求证：

22、设f(u)是连续函数，证明

及x=－1所围成的区域。

23、设f(t)为连续函数，证明

其中D是由y=x3,y=

124、设f(t)是连续函数，证明

其中A为正常数，其中a2+b2≠0.25、设f(t)是连续函数，证明

26、设f(x)在[0,a]上连续，证明

27、设f(x)是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式：

其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.28、设f(u)为可微函数，且f(0)=0,证明

29、设Ω为空间有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续，若(ξ,η,ζ)∈Ω使得任意闭区域D，DΩ，都有f(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)VD,VD为D的体积，试证f(x,y,z)在Ω上是常数。

30、锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：1.31、设D1与D2分别是第一象限由

以及x2+y2≤a2(a>0)所确定的闭区域，试证：面积关系式

32、设Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所围的有界闭区域，,f(x,y,z)在Ω上连续，试证：(ξ，η，ζ)∈Ω满足

.33、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,试证可选择适当的坐标变换，使得

(a2+b2+c2=1)

34、设Ω是上半单位球体x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上连续，试利用球面坐标积分方法证明(ξ，η，ζ)∈Ω使得

222222f(x,y,z)dvf(,,)()().

35、试证：对形状为z=的增速与液面高度成正比。

36、设Ω为一半椭球体x2+y2+试证：

.(a;b>0)的容器，当其液面高度增速为常数时，其容积,z≥0.g(u)为一单调增函数。

37、试证：在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。

38、设Ω为由

≤1所确定的立体(0＜a≤b≤c)，其密度函数ρ=ρ(z)为关

[(x于z的偶函数。试证：对任意的(x0,y0,z0)∈Ω，关于(x0,y0,z0)的转动惯量满足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).39、体密度为ρ(x,y,z)的空间立体Ω关于(x0,y0,z0)的转动惯量定义为：I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(x,y,z)dv.试证：I(x0,y0,z0)≥,其中

[(x

是Ω的重心坐标。

40、设Ω为一有界闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续。若对任意Ω1,Ω2

Ω,其对应体积为V1，V2，只要V1

。试证：f为正常数。

41、设f(z)在[－1,1]上有连续的导函数，试证：

42、设f(t)为一单调增函数，试证：

43、设f(u)为一单调增函数，试证：，其中

a2+b2+c3=1.44、设f(x,y,z)在有界闭区域D上连续，若对任意闭区域D1，D1



D都有，试证在 D上f(x,y,z)≤0.45、设Ω为区域x+y+z≤1,P0(x0,y0,z0)为Ω外的一点，试证：

22。

46、设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，若

12.高考几何证明题 篇十二

高考几何证明题

输入内容已经达到长度限制

∠B=2∠DCN

证明：

∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;

又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;

∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;

于是∠B=2∠DCN。

11

输入内容已经达到长度限制

∠B=2∠DCN

证明：

∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;

又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;

∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;

于是∠B=2∠DCN。

12、

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。

如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行;二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.

3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 (k∈R).

4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题.

6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.

13

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。

如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行;二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.

3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 (k∈R).

4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题.

6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.

首先该图形能建坐标系

如果能建

则先要会求面的法向量

求面的法向量的方法是 1。尽量在土中找到垂直与面的向量

2。如果找不到，那么就设n=(x,y,z)

然后因为法向量垂直于面

所以n垂直于面内两相交直线

可列出两个方程

两个方程，三个未知数

然后根据计算方便

取z(或x或y)等于一个数

然后就求出面的一个法向量了

会求法向量后

1。二面角的求法就是求出两个面的法向量

可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积

如过在两面的.同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交

那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角

如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交

那么上面两向量的夹角就是所求

2。点到平面的距离就是求出该面的法向量

然后在平面上任取一点(除平面外那点在平面内的射影)

求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1

13.九年级数学证明题 篇十三

（时间：120分钟满分：100分）

一．选择题。(2分*16=32分)

1.已知等腰三角形的两边长分别为6cm,3cm，则该等腰三角的周长是（D）

A.9cmB.12cmC.12cm或15cmD 15cm

2.如图所示，∠AOP =∠BOP=15º，PC//OA, PD⊥OA,若PC=4，则PD等于（）

A.4B.3C.2D.13.如果直角三角形的三条边长为2，4，a，那么a的取值可以有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.在Rt△ABC中，已知∠C = 90º，∠A =30º，BD是∠B的平分线，AC＝18，则BD的值为（）

A.4.9B.9C.12D.1

55.一个三角形三边的长分别为15、20和25，那么它的最大边上的高是（）

A.12.5B.12C.15∕2*√2D.9

6.下列各组数分别为三角形的三边长：①2，3，4；②5，12，13；，2；④m2-n2，m2+n2，2 mn.其中是直角三角形的有（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

7．如图所示，等腰三角形ABC中，BC是底，BD ⊥ AC于D，则∠DBC等于（）

A.1/2*∠A，B.1/2*∠BC.1/2*(90º一∠B)D.以上结果都不对

8.已知△ABC中．∠B＝∠C＝2∠A，那么△ABC是（）

A.顶角为锐角的等腰三角形B.等腰直角三角形

C.顶角为钝角的等腰三角形D.以上答案都不对

9.如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90º，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

10.已知ΔABC中．AB = AC．∠A=50º，P为ΔABC内一点，且∠PBC=∠PCA，那么∠BPC等于（），A.100ºB.115ºC.130ºD.65º

11.若△ABC的边BC的垂直平分线经过顶点A，与BC相交于点D,且AB＝2AD，则△ABC中必有一个内角的度数为（）

A.45ºB.60ºC.90ºD.120º

12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E, F.则下列四个结论：

①AD上任意一点到点C，B的距离相等；、②AD上任意一点到边AB ．AC的距离相等：

③ BD＝CD ．AD⊥BC：④∠BDE＝∠CDF.其中，正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.逆命题“两直线平行，同旁内角互补”的原命题是（）

A.两直线平行，同位角相等B.两直线平行，内错角相等

C.同旁内角互补，两直线平行D.同位角相等，两直线平行

14.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形

15.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120º，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AB=20cm，则DE的长为（）

A.10cmB.5cmC.10D.516.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么ab的值为（）．

2（A）13（B）19（C）25（D）169

第15题图

二、填空题(3分*8=24分)

1.如图所示，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是_________cm.2.如果等腰三角形的一个底角是80º，那么顶角是__________度．

3.三角形的三个角的度数之比为1:2:3，最小边长是5cm，则最长边长为___________．

4.在方格纸上有一个ΔABC，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是__________三角形．

5.如图所示，已知∠ABD＝∠C=90º，AD=12，AC=BC，∠DAB = 30º，则BC＝___________.6.ΔABC中，∠C=90º，∠B=15º，AB的中垂线交BC于D，若BD=4cm，则AC=___________.7.若等边三角形的高为2cm，则其边长为_________.8.如图：已知AD=DB=BC，∠C=250，则∠ADE=＿＿＿＿＿度.三、作图题(5分+4分=9分)

1.已知：线段m和∠α如图所示．求作：等腰△ABC，使∠BAC＝∠α，高线AD＝m。

第16题图

2.如图，求作一点P使PC=PD，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等.四、解答题

1.如图，D是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交点，过D作与BC平行的直线，分别交AB、AC于E、F，求证：EB＋FC＝EF.（5分）

A

E D C

2.如图，已知AD为ΔABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC．（6分）

3.如图，在三角形ABC中，AB=AC=9cm，∠BAC=120º，AD是ΔABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB，交AE的延长线于F，求DF的长。（6分）

4．如图，△DEF中，DE=DF，过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于点B, C,且BE=CF，求证：

AB＝AC．（8分）

证明：过B作BG∥CD交EF于G．

∴∠EGB=∠EFD

∵DE＝DF

∴_______________

∴_______________

∴BE=BG

∵BE=CF

∴BG=CF

∵BG∥CD

∴∠GBA=∠ACF

∠AGB=∠AFC

∴△AGB≌△

AFC

∴AB=AC

阅读后回答问题

(1)试在上述过程的横线上填写恰当的步骤．

(2)上述证明过程还有别的辅助线作法吗？若有，试说出一种__________________________________

(3)如图,若DE＝DF，AB=AC，则BE、CF之间有何关系？___________________________________

(4)如图,若AB＝AC，BE＝CF，DF=8cm，则DE的长为________________．

附加题（10分）（注：

1、2班学生必做）

5.如图(1)所示，BD, CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD, AG⊥CE,垂足分别为；F，G，连结FG，延长AF, AG，与直线BC相交，易证FG＝1/2（AB＋BC+AC）

14.七年级证明题 篇十四

ps：写过程..∵AD//BC

∵∠A=∠ABF(两直线平行，内错角相等)

∵∠A=∠C

∵∠C=∠ABF

∴AB//DC(同位角相等，两直线平行

∵AD//BC(已知)

∴∠A+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补)

∵∠A=∠C(已知)

∴∠C+∠ABC=180°(等式的性质)

∴AB//DC(同旁内角互补，两直线平行))在正方形ABCD中，p(p靠近是D点)CD上的一点，BE⊥Ap于E，DF⊥Ap于F，说明△AFD≌△BEA

D--------C

A--------B

∠BAE与∠DAF互余

∠ADF与∠DAF互余

所以∠BAE=∠ADF

又待证明的两三角形都是Rt三角形，且AB=DA

根据角角边定理，两三角形全等

∠A=75°

第二题是不是有问题啊∠GQD是30°吗应该是∠GQH=30°吧还有不懂怎么算的你追问一下我们QQ聊

补充回答：

∵GA//ED

∴∠EBF=∠FHG=30°（两只线平行，同位角相等）

∴∠FBA=∠ABD=（180°-30°）÷2=75°

∵∠AHB=∠FHG=30°（对顶角）

∴∠a=180°-75°-30°=75°

#FormatImgID_0#还有一题等等啊

补充回答：

∵MN⊥CD

∴∠MHD=90°

∵∠GQD=130°

∴∠GQH=180°-130°=50°

∴∠HGQ=180°-90°-50°=40°

∵MN⊥AB

∴∠AGH=90°

∴∠EGA=180°-90°-40°=50°

您已经评价过!

好:0

您已经评价过!

不好:0

您已经评价过!

原创:5

您已经评价过!

非原创:0

第一题的答案：

证明：

因为这是等宽带

所以AG平行DE

所以∠EBF=∠GOF=30°(“O”是我加上去的)

因为∠EBF+∠FBD=180°

所以∠FBD=180°-∠EBF=150°

因为∠FBA由∠ABD折叠而成所以∠FBA=∠ABD

所以∠FBA=150°/2=75°

图为∠AOB和∠GOF为对顶角

所以∠AOB=∠GOF=30°

所以∠GAB=180°-∠ABF-∠AOB=75°

(∠GAB是∠a)

第二题的答案：

因为∠DQE+∠CQE=180°

所以∠CQE=180°-∠DQE=50°

图为AB⊥MN,CD⊥MN

所以AB平行CD

所以∠AGE=∠CQE=50°

因为MN垂直AB

所以∠AGH=90°