高中数学数列公式

高中数学数列公式（12篇）

1.高中数学数列公式 篇一

求递推数列的通项公式的九种方法

利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法

例1在数列{a

1n}中，a13,an1an

n(n1)，求通项公式an.解：原递推式可化为：a111111

n1annn1则a2a112,a3a22

3a111111

4a334，……，anan1n1n逐项相加得：ana11n.故an4n

.二、作商求和法

例2设数列{a

22n}是首项为1的正项数列，且(n1)an1nanan1an0（n=1,2,3…），则它的通项公式是an=▁▁▁（2000年高考15题）

解：原递推式可化为：

[(n1)aan1n

n1nan](an1an)=0∵ an1an＞0，a

n

1n则

a21a32a43an1aa,,,……，n

逐项相乘得：n1，即a1n=.12a23a34an1na1n

n

三、换元法

例3已知数列{a4n}，其中a1

3,a1

3129，且当n≥3时，anan13

(an1an2)，求通项公式an（1986年高考文科第八题改编）.解：设bn1anan1，原递推式可化为：b1n3b,{b是一个等比数列，b134111

n2n}1a2a1939，公比为3.故bn1

b(1)n219(13)n2(13)n.故aa1311

1nn1(3)n.由逐差法可得：an22(3)n3.例4已知数列{an}，其中a11,a22，且当n≥3时，an2an1an21，求通项公式an。解 由an2an1an21得：(anan1)(an1an2)1，令bn1anan1，则上式为bn1bn21，因此{bn}是一个等差数列，b1a2a11，公差为1.故bnn.。

由于b1b2bn1a2a1a3a2anan1an1

又bn(n1)

1b2bn1

2所以a1n1

2n(n1)，即a1

n2

(n2n2)

四、积差相消法

例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列a0，a1，an…，an，…满足

anan2an1an2=2an1(n2)且a0a11，求{an}的通项公式.解将递推式两边同除以aann1an2整理得：

2a

n1aa1 n1n

2设ban

a

1n=

a，则b1na=1，bn2bn11，故有 10

b22b11⑴b32b21⑵

…………

bn2bn11(n1)

由⑴2

n2

+ ⑵2

n

3+…+(n1)20得b222n1=2n

n121，即

ana=2n

1.n1

逐项相乘得：an=(21)2(221)2(2n1)2，考虑到a01，故 a

n

1(21)(21)

(n0).(21)222n2

(n1)

五、取倒数法

例6已知数列{aan

1n}中，其中a11,，且当n≥2时，an

2a，求通项公式an。

n11

解将aan1n

2a两边取倒数得：1n11

a12，这说明{1

}是一个等差数列，首项

nan1an是

a1，公差为2，所以11(n1)22n1，即a1n.1

an2n1

六、取对数法

例7若数列{aa

2n}中，1=3且an1an（n是正整数），则它的通项公式是an=▁▁▁（2002

年上海高考题）.解由题意知an＞0，将an1a2

2lgalgan

1n两边取对数得lgan1

n，即

lga2，所以数n

列{lgalga1n1

n}是以lga1=lg3为首项，公比为2的等比数列，lgan12nlg32，即

a2n1

n3.七、平方（开方）法

例8若数列{an}中，a1=2且an3a

2n1（n2），求它的通项公式是an.解将an

a22a22

2n1两边平方整理得ann13。数列{an}是以a1=4为首项，3为公

差的等差数列。a2

na21(n1)33n1。因为an＞0，所以ann1。

八、待定系数法

待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：

1、an1AanB（A、B为常数）型，可化为an1=A（an）的形式.例9若数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项之和，且SSn

n134S（n1），n

求数列{an}的通项公式是an.解 递推式SSnn1

34S可变形为1n

S3

14（1）

n1Sn设（1）式可化为

1S3（n1

S)（2）n

比较（1）式与（2）式的系数可得2，则有

1S23(1S2)。故数列{1

2}是

n1

nSn

以

11S23为首项，3为公比的等比数列。1

S2=33n13n。所以Snn3n

1。当n2，anSnS132123n

n1

n3n1232n83n

1

2。数列{a

123n(n1)n}的通项公式是an32n83n12

(n2)。

2、an

n1AanBC（A、B、C为常数，下同）型，可化为an1Cn1=A(anCn）的形式.例10在数列{an}中，a11,an12an43n1,求通项公式an。解：原递推式可化为：

an13n2(an3n1)①

比较系数得=-4，①式即是：an143n2(an43n1).则数列{a1n43n}是一个等比数列，其首项a143115，公比是2.∴an43n152n1 即a1n43n52n1.3、an2Aan1Ban型，可化为an2an1(A)(an1an)的形式。例11在数列{an}中，a11,a22，当nN，an25an16an ①求通项公式

an.解：①式可化为：

an2an1(5)(an1an)

比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：

an22an13(an12an)

则{an12an}是一个等比数列，首项a22a1=2-2（-1）=4，公比为3.∴an12a1n43n.利用上题结果有：

an43n152n1.4、an1AanBnC型，可化为an11n2A[an1(n1)2]的形式。例12 在数列{a

3n}中，a1

2，2anan1=6n3① 求通项公式an.解①式可化为：

2(an1n2)an11(n1)2②比较系数可

得：

=-6，29，②式为2bnbn1 

1{bn} 是一个等比数列，首项b1a16n9

∴bn

91，公比为.22

91n1

()22

n

即 an6n99()故an9()6n9.九、猜想法

运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出a1,a2,a3,……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式an，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。

例13 在各项均为正数的数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，Sn=通项公式。

n

(an+)，求其2an

2.高中数学数列公式 篇二

一、对数学材料背景的开发与运用

1.直接借用已有的背景材料

“等比数列前n项和”这一节教材中是用古印度国际象棋的故事作为背景材料的.在教学时, 我们如果直接用这个故事引入新课, 这就形成了引入方案1.

方案1: (用数学史料引入等比数列的前n项和) 国际象棋起源于古代印度, 关于国际象棋有这样一个传说, 国王要奖赏国际象棋的发明者, 对他说:我可以满足你的任何要求.发明者说:请给我棋盘的64个方格上, 第一格放1粒小麦, 第二格放2粒, 第三格放4粒, 往后每一格都是前一格的两倍, 直至第64格.国王令宫廷数学家计算, 结果出来后, 国王大吃一惊.为什么呢?

提出问题:国王应该给发明者多少粒麦粒呢?你认为国王有能力满足发明者的要求吗?

2.开发新的背景材料

教材中的背景材料对于已经预习过教材的学习者来说已经没有什么新鲜可言, 此时的材料对于激发兴趣而言意义已经不大, 有时为了激起学习者的兴趣或者更适合不同层次的学习者学习要求, 可能需要我们开发新的背景材料来形成新的引入方案.

如果借助等比数列的实际应用问题可以形成下面的引入方案2.

方案2: (用一个应用问题引入等比数列求和的概念) 例如, 某制糖厂今年制糖5万吨, 如果平均每年的产量比上一年增加10%, 那么从今年起, 几年内可以使总产量达到30万吨 (保留到个位) .

如果我们依托市场经济背景, 运用学生熟悉的人物编拟故事创造引入方案3, 以趣引思, 也可以激发学生的学习热情.

方案3: (漫画演示) 话说猪八戒自西天取经回到了高老庄, 从高员外手里接下了高老庄集团, 摇身变成了CEO.可好景不长, 便因资金周转不灵而陷入了窘境, 急需大量资金投入, 于是就找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行!我每天投资100万元, 连续一个月 (30天) , 但是有一个条件是:作为回报, 从投资的第一天起你必须返还给我1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍.”八戒听了, 心里打起了小算盘:“第一天:支出1元, 收入100万;第二天:支出2元, 收入100万, 第三天:支出4元, 收入100万元;……哇, 发财了……”心里越想越美……再看看悟空的表情, 心里又嘀咕了:“这猴子老是欺负我, 会不会又在耍我?”

假如你是高老庄集团企划部的高参, 请你帮八戒分析一下, 按照悟空的投资方式, 30天后, 八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱?

只要我们多思考、多钻研, 就可以开发出适合自己学生的数学背景材料.

二、对数学逻辑知识的开发与运用

对数学逻辑知识的开发和运用有助于学习者的数学逻辑思维能力的培养, 而要培养学习者的数学逻辑思维能力, 就必须把学生组织到对所学数学内容的分析和综合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维的过程中来.因此, 我们要善于为学习者提供合适的学习材料和学习条件, 帮助学习者形成数学逻辑思维能力.

等比数列和等差数列有很多相似之处, 我们可以由等差数列的有关性质引出等比数列的前n项和, 于是形成了引入方案4.

方案4: (1) 复习等比数列的通项公式.同时让学生回顾等差数列的通项公式及求和公式.

(2) 与等差数列的性质类比, 提出课题:等比数列的前项和.

注:此方案要求学生对等比数列和等差数列进行比较、对照.这是我们数学学习中常用的数学方法.我们要学会比较相似知识点的异同, 找到不同知识点的联系, 从而使我们的知识结构形成一个逻辑体系.

三、对数学思想方法的开发与运用

本节课中渗透着类比、归纳、分类讨论和错位相减法思想.对这些思想的开发和运用可以形成好的教学方案.

如果把等差数列和等比数列求和公式的推导方法进行类比, 然后从特殊归纳到一般可以得到方案5.

方案5: (1) 与等差数列前n项和公式的推导方法类比, 对等比数列前n项和公式进行推导, 发现这种方法无效.

(2) 引导学生从特殊化入手去发现规律.

如果q=1, 容易得到S1=na1;

如果q≠1, 当n=2时, S2=a1+a2=a1+a1q=a1 (1+q) ;

当n=3时, S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1 (1+q+q2) ,

当n=4时, S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1 (1+q+q2+q3) ,

至此似乎没有使问题简化, 进一步观察, 可以发现:

注:此方案中的特殊化归纳思想的实现需要教师的适时点拨, 变形的时候用到了初中的因式分解的逆用思想, 有一定的难度, 如果没有教师的提示可能大部分学生很难完成.

如果考虑等比数列求和公式的特点:分段函数, 应该分两种情况讨论求和.于是得到方案6.

方案6: (1) 给出两道等比数列求和习题 (一道题目中的等比数列公比为1, 另一个公比不为1) , 让学生思考解答.

(2) 由上面两道题的解答过程, 归纳出等比数列前n项和的求法.

注:此方案要求学生由两个题目的解题过程归纳出等比数列前n项和的求法, 对学生的要求较高.

方案5和方案6都抛弃了有趣的故事背景, 而是采用试误法和归纳法引出课题.这些都是让学生亲自去操作、感知和体会.

3.高中数学数列公式 篇三

关键词：五星教学模式；技校数学；等差数列通项公式；教学设计

一、五星教学模式

教学模式可以定义为在一定教学思想或教学理论指导下建立起来的较为稳定的教学活动结构框架和活动程序。五星教学模式是当代国际著名教育心理学家和教学设计理论家梅里尔教授（Merrill，M.D）于21世纪初提出来的，强调在“面向完整任务（聚焦解决问题）”的教学宗旨下，教学应该由循环往复的四阶段循环圈——“激活旧知”“示证新知”“尝试应用”和“融会贯通”等构成，即共有五个原理和15个操作要点。具体的教学任务（教事实、概念、程序或原理等）应被置于循序渐进的实际问题情境中来完成，即先向学习者呈现问题，然后针对各项具体任务展开教学，接着再展示如何将学到的具体知识运用到解决问题或完成整体任务中去。下面将基于五星教学模式以等差数列通项公式这一节课为例给出其教学设计。

二、等差数列通项公式的教学设计

1.教材分析

本节课选自等差数列教学内容的第一课时，主要是概念和公式教学。数列是高中数学的重要内容之一，在实际生活中也有广泛应用。本节课教学重点为等差数列的定义和通项公式，突出培养学生处理数据和数学思维能力的要求。教学难点是a1，an，n，d只要知道其中任意三个量，求出另外一个量的问题。

2.教学过程

环节一：设置情景，引出问题（激活旧知）

让学生观察图片，说出奥运年份。

生：2012，2008，2004，2000

【设计意图：通过老师质疑，学生回答，来激活学生已有的数列知识，激发学生学习兴趣，让学生抬起头来，将他们的注意力集中于课堂。】

环节二：问题分析，引出概念（示证新知）

问题：数列2012，2008，2004，2000相邻两项有什么特点？

1.学生分组讨论，选代表上黑板写结果（3分钟）

（引导学生发现间隔相等就是两个数的差相等）

2.学生分组讨论，选代表上黑板写结果（2分钟）

（引导学生用a1，a2代替具体数字进行等式书写）

3.学生分组讨论，选代表上黑板写结果（30秒）

（引导学生观察等式中相减两项项数之间的关系）

【设计意图：通过学生三次讨论问题，上黑板书写结果，让学生不断深化对问题的理解，得出等差数列的概念。】

环节三：尝试应用，巩固概念（尝试应用）

例1.判断下列数列是否为等差数列，若是等差数列，请指出首项、公差。

（1）1，2，3，5…

（2）4，2，0，-2…

【设计意图：通过正反两个简单例子，及时巩固等差数列定义知识。】

环节四：拓展深化，探索新知（融会贯通，而结果分析又是下一个教学内容的示证，新知环节）

让学生看电影《消失的子弹》的宣传片视频，让学生感觉每张图片停留的时间是否相等？

【设计意图：让学生感觉视频与等差数列的关系，为推导等差数列通项公式和综合实践环节做铺垫。】

让学生学习宣传片的制作，提出问题：如果视频中前三张图片出现的时间依次是第1秒、第4秒和第7秒，那么出现第10张图片和第n张图片的时间是多少？（师生共同归纳结论，引出等差数列的通项公式）

【设计意图：让学生探究实际问题的过程，得出等差数列的通项公式。】

环节五：尝试应用，巩固概念（尝试应用）

例2.求等差数列-1，5，11，17…第50项。

【设计意图：巩固所学的等差数列通项公式知识。】

环节六：综合实践，融会贯通（融会贯通）

让学生选取电脑共享中一组图片，用Premiere软件制作广告宣传片。首先介绍软件的具体操作过程，然后让学生按要求制作视频。

视频1要求：图片依次播放，每张图片播放时间相等。第1张图片出现在第0秒，第20张出现在第38秒。

【设计意图：让学生在老师的启发引导和同学间相互交流下，体会知a1，an，n求d问题的解决方法。】

视频2要求：已知图片播放时间间隔为2秒，第20张图片出现在第40秒。

【设计意图：让学生通过对比视频1制作和同学间的相互交流，体会知d，an，n求a1问题的解决方法。】

【设计意图：让学生学以致用，并归纳等差数列通项公式中四个变量知三求一的问题。】

三、课堂实施情况

在学校三个班级实施本节课教学后，本人有几下两点体会：首先，五星教学模式倡导让学生理解教学内容来之何处，用之何处的理念，让学生觉得数学课堂更加形象具体。其次，五星教学模式环环相扣的教学安排，让学生感觉不是很累，但又步步深入，让学生更能接受教师的课堂节奏。

参考文献：

[1]盛群力.五星教学模式对课程教学改革的启示[J].教育发展研究，2007（12B）.

[2]盛群力，宋询.五星教学模式的应用探讨：兼及一堂课的分析[J].湖南师范大学教育科学学报，2008（1）.

作者简介：郑映群，女，汉族，浙江省余姚市人，讲师，硕士研究生，研究方向：数学教育。

4.数列求和公式证明 篇四

数学归纳法可以证

也可以如下做 比较有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^

2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/

3所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消项]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

设n为奇数,1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=

=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)

=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)

=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)

=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)/3

设n为偶数,请你自己证明一下！

所以，1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

设an=n×（n+1）=n^2+n

Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）

=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

数列求和的几种方法

1.公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=（a1+an)n/

24.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1

5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求数列an=1/n(n+1)的前n项和.解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂项）

则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明： 当n=1时，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1)= 2×3×4×5×6/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并项）

5.普通高中数学关于数列试题 篇五

等差数列

黎岗

一、选择题

1、等差数列-6，-1，4，9，„„中的第20项为（）A、89 B、-101 C、101 D、-89 2． 等差数列{an}中，a15=33，a45=153，则217是这个数列的（）A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中

3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为 A、4 B、5 C、6 D、不存在

4、等差数列{an}中，a1+a7=42，a10-a3=21，则前10项的S10等于（）A、720 B、257 C、255 D、不确定

5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（）

A、B、C、或 1 D、6、已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，„„组成一新数 列{Cn}，其通项公式为（）

A、Cn=4n-3 B、Cn=8n-1 C、Cn=4n-5 D、Cn=8n-9

7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（）A、6项 B、8项 C、10项 D、12项

8、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项和为（）A、0 B、100 C、10000 D、505000

二、填空题

9、在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= ______。

10、在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______。

11． 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到 a30的和是 ______。

12． 已知等差数列 110，116，122，„„，则大于450而不大于602的各 项之和为 ______。

三、解答题

13． 已知等差数列{an}的公差d=，前100项的和S100=145 求： a1+a3+a5+„„+a99的值

14． 已知等差数列{an}的首项为a，记(1)求证：{bn}是等差数列

(2)已知{an}的前13项的和与{bn}的前13的和之比为 3 ：2，求{bn}的 公差。

15． 在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9

(1)求{an}的通项公式

(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。

16、等差数列{an}的前n项的和为Sn，且已知Sn的最大值为S99，且|a99|〈|a100| 求使Sn〉0的n的最大值。

[高二数学答案]

1． A

2、B

3、B

4、C

5、B

6、D 7、A

8、C

二、填空题

9、n10、80

11、-368 12、13702

13、∵{an}为等差数列 ∴ an+1-an=d ∴ a1+a3+a5+„+a99=a2+a4+a6+„+a100-50d 又（a1+a3+a5+„+a99）+（a2+a4+a6+„+a100）=S100=145 ∴ a1+a3+a5+„+a99==60

14、(1)证：设{an}的公差为d 则an=a+（n-1）d

当n≥0时 b n-bn-1=d 为常数 ∴ {bn}为等差数列

（2）记{an}，{bn}的前n项和分别为A13，B13则，∴{bn}的公差为

15、S17=S9

即 a10+a11+„+a17=

∴ an=27-2n

=169-（n-13）2

当n=13时，Sn最大，Sn的最大值为169

16、S198=（a1+a198）=99(a99+a100)<0 S197=(a1+a197)=(a99+ a99)>0 又 a99>0，a100<0 则 d<0 ∴当n<197时，Sn>0 ∴ 使 Sn>0 的最大的n为197、数列问题解题方法技巧

1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证 为同一常数。(2)通项公式法：

①若

= +（n-1）d= +（n-k）d，则 为等差数列； ②若，则 为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2.在等差数列 中,有关 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值.(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

三、数列问题解题注意事项

1．证明数列 是等差或等比数列常用定义，即通过证明

或 而得。2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3．注意 与 之间关系的转化。如：

=

，= ．

4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

本文出自：

等比数列

一、选择题

1、若等比数列的前3项依次为，„„，则第四项为（）

A、1 B、C、D、2、公比为的等比数列一定是（）

A、递增数列 B、摆动数列 C、递减数列 D、都不对

3、在等比数列{an}中，若a4·a7=-512，a2+a9=254，且公比为整数，则a12=（）A、-1024 B、-2048 C、1024 D、2048

4、已知等比数列的公比为2，前4项的和为1，则前8项的和等于（）A、15 B、17 C、19 D、21

5、设A、G分别是正数a、b的等差中项和等比中项，则有（）A、ab≥AG B、ab

6、{an}为等比数列，下列结论中不正确的是（）

A、{an2}为等比数列 B、为等比数列

C、{lgan}为等差数列 D、{anan+1}为等比数列

7、一个等比数列前几项和Sn=abn+c，a≠0，b≠0且b≠1，a、b、c为常数，那么a、b、c必须满足（）

A、a+b=0 B、c+b=0 C、c+a=0 D、a+b+c=0

8、若a、b、c成等比数列，a，x，b和b，y，c都成等差数列，且xy≠0，则 的值为（）A、1 B、2 C、3 D、4

一、填空题

1、在等比数列{an}中，若S4=240，a2+a4=180，则a7= ______,q= ______。

2、数列{an}满足a1=3，an+1=-，则an = ______，Sn= ______。

3、等比数列a，-6，m，-54，„„的通项an = ___________。

4、{an}为等差数列，a1=1，公差d=z，从数列{an}中，依次选出第1，3，32„„3n-1项，组成数列{bn},则数列{bn}的通项公式是 __________，它的前几项之和是__________。

二、计算题

1、有四个数，前三个数成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个

数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数。

2、等比数列{an}的公比q>1，其第17项的平方等于第24项，求：使a1

+a2+a3+„„+an>

成立的自然数n的取值范围。

3、已知等比数列{an}，公比q>0，求证：SnSn+2

4、数列{an}的前几项和记为An，数列{bn}的前几项和为Bn，已知，求Bn及数列{|bn|}的前几项和Sn。

高二数学答案

一、1、A

2、D

3、B

4、B

5、D

6、C

7、C

8、B

一、1、6；32、3、-2·3n-1或an=2（-3）n-1 4、2·3n-1-1；3n-n-1

二、1、解：由题意，设立四个数为a-d，a，a+d，则由（2）d=36-2a（3）

把（3）代入（1）得 4a2-73a+36×36=0（4a-81）（a-16）=0 ∴所求四数为

或12，16，20，25。

2、解：设{an}的前几项和Sn，an=a1qn-1 的前几项的和为Tn

∵Sn>Tn

∴即>0 又∴a12qn-1>1（1）又a172=a24即a12q32>a1q23 ∴a1=q-9（2）

由（1）（2）∴n≥0且n∈N3、证一：（1）q=1 Sn=na1

SnSn+2-Sn+12=（na1）[（n+2）a1]-[（n+1）a1]2=-a12

（2）q≠1

=-a12qn<0 ∴SnSn+2

SnSn+2-Sn+12=Sn（a1+qSn+1）-Sn+1（a1+qSn）=a1（Sn-Sn+1）=-a1a n+1=-a12qn<0 ∴SnSn+2

n≥2时，∴bn=log2an=7-2n

∴{bn}为首项为5，公比为（-2）的等比数列

6.对高中数学数列教学的研究 篇六

一、教师要科学教授数列章节的理论知识

1. 打牢基础, 熟记基本知识点

对于任何学科来说基础知识的掌握都是不可缺少的, 没有掌握好基础知识就妄图进行提高性练习就相当于建造空中楼阁, 是不可能的事.高中数学中数列的学习主要是根据出题类型来进行有针对性的学习, 而一般的题目都是直接考查基本的知识点, 针对于此教师就要重点引导学生打牢基础、熟记基本知识点, 最为典型的就是各个通项公式的记忆和运用.如果是等差数列, 常用到的通项公式就是an=a1+ (n-1) d, (n∈N*) , 求和公式为 (n∈N*) ;如果是等比数列, 常用到的通项公式就是an=a1qn-1求和公式为Sn=na1, (q=1) , (q≠1) .诸如此类的数列公式都需要教师在教学中都需要格外强调, 帮助学生加深记忆并熟练应用, 只有打好基础才能够在更深层次的数列知识学习中得心应手、灵活转化.以“已知等差数列{an}, Sn表示前n项和, n∈N*, 当a3=6, S10=25时, 求S5的值是多少”为例, 这个题目中就涉及到了等差数列通项公式转化应用和求和公式的应用, 根据an=a1+ (n-1) d表示出a1=a3-2d再代入到中表示为S10=60+35d=25, 即可求出d=-1, a1=8, 然后求出S5=30, 由此可以看出, 掌握基础知识的重要性.

2. 适当延伸, 灵活分析题目

教师进行数列章节的教学时, 应当注意在讲解基本的概念和公式之后还应当进行适当的延伸, 在高中数学数列的题目考察中, 除了基本知识的考察, 还会涉及到一些延伸性的内容, 这些内容的考察难度要高于基础知识点的考察, 诸如对数列基本性质掌握与运用的考察就属于延伸性内容, 较为典型的一个题目类型就是对等差数列对称性这一特性的考察, 例题有“已知等差数列{ an} , 且a1+ a7= 18, 求a2+ a3+ a5+ a6的值”, 在该例题中, 只给了一个公式a1+a7= 18 和{ an} 为等差数列这一条件, 因而要解答这个题目, 就需要从这两点出发, 考虑到等差数列的对称性, a1+ a7=18 就可以转化为a2- d + a6+ d, 或者是a3- 2d + a5+ 2d, 因此就可以得出题目中要求的a2+ a3+ a5+ a6= 36, 这种类型的题目考察的就是等差数列相关性质的内容, 因此教师要注意在进行数列教学时, 除了讲解基础的公式与概念之外, 还应当引导学生对数列中的一些相关性质进行推导, 从而使学生全方位的了解数列知识, 并且做题时能够灵活运用.

二、教师在教学中应当注重解题技巧的教学

不同的数列题目有不同的解题技巧教师在教学中就应当认识到这一点, 从而在教学中渗透不同题型的技巧性解题方法的讲解. 只有在教学中渗透技巧观念, 学生才会对数列的相关知识点有更加深层次的认识, 而不是只停留在盲目套用理论知识进行解题的层面.

1. 观察前n项和的表现形式, 在观察、分析基础上选择解题方法

在数列题目中最为常见也极为重要的内容就是前n项求和, 在这种题型中最为典型的就是技巧性解题方法就是错位相减法和合并求和法, 这两种技巧性解题方法的应用需要有效的观察分析前n项和的表现形式, 教师需要做的就是要在教学中引导学生有效的分析表现形式, 一般来说当前n项和的表现形式为等差数列的项乘以等比数列的项然后相加, 那么就可以采用错位相减法, 而当前n项和的表现形式为加、减交叉出现, 学生就可以运用合并求和的方法. 教师只传授学生理论知识而不教授学生解题技巧, 学生即使掌握丰富的理论知识在真正面对题目时也无从着手.当题目要求为“{ an} 为等差数列, an= 2n - 1, n∈N*, { bn}为等比数列, bn= 3n, n∈N*, 求cn= a1b1+ a2b2+ a3b3+ … +an - 1bn - 1+ anbn, n∈N*”, 面对这种题型就可先将cn的表达式用数字表达出来, 利用错位相间的解题技巧将列出的两个式子进行相减的处理, 最终得出答案, 总之教师在进行数列教学时, 不能够笼统的进行课堂知识的讲授, 而是应当针对不同的表达形式、立足于题目的解答方式来对解题技巧进行分析与讲解, 使学生能够在不同的题目中采用不同的方法应对.

2. 有效分析不等式, 运用归纳解题技巧证明不等式成立

在数列题目中还有一个常用的应用题型就是不等式的证明, 不等式在数列题中的主要表现形式就是与正整数n相关的题型, 一般来说, 教师在教授了基本的数列知识之后, 学生对于一些基本的数列题目的解决都是较为轻松的, 但是很多不等式的证明却仍旧是部分学生无法解决的难题, 为此教师就要在讲解数列中的不等式时引入数学归纳法进行思路的引导, 例如题目要求证明 (n≥2, n∈N*) 成立, 那么就要分为当n=2和n>2时两种情况进行归纳性的证明, 当n=2时, 然后再对n>2时的情况进行分析, 最后将n=2和n>2进行综合归纳得出最终的结论.

三、教师要在数列教学中引导学生更好地学习数列知识

1. 重点培养学生的创新思维, 引导学生进行思维推理

高中数学的学习重点在于培养学生的数学思维, 教师在进行数列教学中就要认识到这一点, 通过引导学生对数列的推导进行合理的猜测和归纳性的判断, 也就是说, 猜想在很多数列题型中发挥着重要的作用, 因而使学生的思维能够拥有充足的思维空间是极为重要的. 例如在一道找规律求答案的数列题中, 题目为“157, 65, 27, 11, 5, () ”这种类型的数列题目在难度上属于中上难度, 很多学生会单纯的局限在对两个数字进行计算最终得出规律也就是说在157 与65 或65 与27 或27 与11 等之间进行计算来找规律, 但是很多时候通过这种方法得出的“规律”是一种错误的规律, 因为它可能只在这几个数字中法符合规律, 而在其他数字中却不是正确的, 同时也增加了解题的难度, 在这时候, 教师就可以引导学生从另一个角度来进行推理“既然这一组数据之间彼此存在一定的关系, 那么其中三个相邻的数字之间必然也存在着一定的关系”, 在此基础上学生就会提取出其中的三个相邻数字进行计算, 并通过数字的表达明确的表示规律, 同时注意到容易出错的地方, 在这个问题中, 因为多了一个数字的参与, 学生就能够更加容易地找出真实的规律, 65 × 2 + 27 = 157, 27 × 2 + 11 = 65, 从而得出5 ×2 + () = 11. 所以括号中应当填1, 用这种方式来引导学生发现规律, 能够在加深学生印象的同时, 激发学生的创新思维, 能够在面对不同情况时, 转换一种思路、一个角度进行规律的总结.

2. 鼓励学生自主进行推理, 得出数列的通项公式

高中数学的学习从知识的掌握逐渐朝着学生自主推理解答问题的方向发展, 强调在所学知识的基础上进行思维的拓展, 在数学教学中, 除了要提高学生的创新意识, 还应当帮助学生形成严谨的数学逻辑思维能力. 另外教师在培养学生自主推理能力的过程中, 还要充分结合学生的差异性, 特殊情况特殊对待, 采用不同的教学方法来全面提升学生的自主推理能力.

高中数学教学中的数列教学是重点内容, 教师应当注重教学方法的运用, 一定要结合知识点的实际考察方向, 对数列的课堂教学内容进行调整, 教师要以学生为课堂主体, 不断探索新的教学方式, 建立起更加完善科学的教学模式, 从理论知识、解题技巧和思维的拓展方面对学生进行全方位的提升, 提高课堂效率.

参考文献

[1]杨欢涛.高中数学数列教学的特点分析[J].华夏教师.2014 (06) .

[2]华峰.例谈高中数学课程教学中的思想方法求解数列问题[J].语数外学习 (数学教育) .2012 (05) .

7.高中数学数列的教学策略研究 篇七

关键词：高中数学；数列教学；现状；策略研究

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-229-01

高中数学课程教育当中数列是十分重要的课程构成成分，实现数列教学质量的提高，有助于培养学生的的数学问题理解、分析与问题探究的能力，有利于高中阶段学生的综合素质提高与培养。随着我国课程改革工作的不断推进，高中数学教学策略都有了明显的优化与发展，教师应当在新课程改革的要求下不断实现数列教学方式的优化，实现教学水平的不断上升，加强学生学习成绩的上升。

一、当前我国高中数学课程教学中存在的问题

在传统的高中数学教育模式中，教师是课堂的主体，而学生对于知识的吸收处于被动接受的状态，在这样的灌输式教育当中，教师和学生往往会形成管理与被管理的相处模式，学生容易产生逆反心理，失去学习积极性，师生互动的不足，导致教学效果并不理想。另外，在进行教学的过程中，教师的授课内容主要是根据固定的教材大纲按部就班的进行知识教授，教学手法过于古板单一。在学生依靠教师进行知识学习的过程中，教师往往将知识内容作为重点，忽略了启发式教育的重要性，没有引导学生自主进行知识探索，培养学生的自主学习的能力，从而导致高中数学课程教育的学习高效性难以实现。

二、有效的数学数列课程的教学策略

1、建立高效课堂，激发学生的学习兴趣

要实现教学成果的显著上升，提高学生的学习兴趣是十分有必要的，可以依靠高效课堂建立来实现。在传统的高中数学教学中，教师与学生之间的关系是不平等的，主要以领导者与被领导者的关系形式存在，这样的关系难以适应现代化的高效课堂建立的要求，只有当教师与学生之间建立平等互信的关系才能加强学生学习体验共鸣。同时，教师还要在课堂教学过程中，改变原本的枯燥学习环境，实现趣味化教学，让学生在轻松的教学环境中实现数学知识的学习与掌握。例如在实际教学中，教师在进行数列知识引入的时候，可以首先进行数学故事的讲解。例如“国际象棋发明故事”，同样也可以在课堂上开展数列游戏，通过这样的方法可以有效的提高学生的学习兴趣。

2、加强课程教育中多媒体技术的应用

随着现代科学技术的不断发展，多媒体教学设备被广泛运用到了学习当中，是常见的教学方法之一。在进行高中数学数列课程教学时，利用多媒体的技术设备把课程内容和重要知识点进行全面呈现。在多媒体教学中，学生可以脫离数学原本枯燥的教学模式，让学生在学习中产生学习兴趣。例如在数列教学内容“等差数列的前n项和”的课堂教学所提出的数列问题“在进行积木堆积游戏中，最下层积木数量为15，往上每一层一次递减一块积木，最上层积木数量为1，求中共有多少块积木？”的解决时，教师可以通过多媒体技术进行积木堆积动画演示，将原本抽象的数学问题具体化，加强学生的探索兴趣，在解题后教师也可就学生提出的多种解题方案进行多媒体演示，可以实现直接的最简化方案的选择，提高学生的学习效率。

3、加强教学中的小组学习模式

在高中数学的教学中，可以利用小组组合形式来进行学习教材内容中的数列知识，通过这样的方法有利于学生自主学习能力的提高。通过同学间的组合学习，不仅有利于学生积极主动的参与到学习中，还能培养学生的协同互助能力。教师可以根据学生能力进行科学性分组，小组内相互的带动讨论，在交流中发展自主意识，同时开阔思维，从而实现学生的学习效率提高。例如，在进行数列课程内容中“等项数列求和公式”的学习中，首先提出“怎样快速计算1到200之间的所有自然数的总和？”的问题，进行分小组讨论，让学生积极发挥自身想象力与开拓思维进行求和计算。教师在进行分小组的时候要注意小组成员的科学搭配，将学习成绩优异与较差的学生进行合理的交叉搭配，实现学生学习水平的总体上升。另外在小组讨论展开时，为避免小组学习的形式化，教师应当进行监督，并且鼓励组内成员积极发言。在一段时间的讨论之后，教师可以让学生进行求和答案汇报，并分小组进行计算方法的讲解，让学生通过自主探究的方式实现数列知识的发现。提高学生的思维能力与探索能力。

结束语：为加强高中生的数学学习能力以及综合素质的全面提升，教师在进行课程中数列内容教学时，要不断对当前的教育现状进行分析，进行教学策略与方式的不断优化与完善，以人为本地进行教学方案的制定。并通过多种辅助教学手段进行教学，不断加强学生的学习兴趣培养与多种教学方式建立，最终实现学生对数列知识的掌握以及灵活运用到多种数学问题解决当中。

参考文献：

[1] 石 因.多元智能理论教学观下的高中数学数列教学实践与研究[D].苏州大学，2015.

[2] 翟艳芳.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程（中学），2015，03：127.

[3] 张敏妮.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程学习（中），2013，06：100-101.

8.等比数列求和公式的推导 篇八

都不为0，

即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，

这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。

如：

2、4、8、16......2^10

就是一个等比数列，其公比为2，

可写为 an=2×2^(n-1)

等比数列求和公式的推导

首项a1,公比q

a(n+1)=an*q=a1*q^(n

Sn=a1+a2+..+an

q*Sn=a2+a3+...+a(n+1)

qSn-Sn=a(n+1)-a1

9.《数列通项公式》教学设计 篇九

【授课内容】数列通项公式 【授课教师】陈鹏 【授课班级】高三6班

【授课时间】2009年10月20日晚自习【教学目标】

一、知识目标：

1.解决形如an+1=pan +f(n)通项公式的确定。

2．通过学习让学生掌握和理解an+1=pan +f(n)此类型的通项公式的求法。

二、能力目标：

在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。利用学案导学，促进学生自主学习的能力。

三、情感目标：

通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。【教学重点】

通过学习让学生能够熟练准确的确定掌an+1=pan +f(n)此类型的通项公式，并 能解决实际问题。【教学难点】

1.如何将an+1=pan +f(n)转化为我们学过的两个基础数列（等差和等比）。2.理解和掌握an+1=pan +f(n)此类型数列通项公式确定的数学思想方法。【教学方法】探索式 启发式 【教学过程】 一．引入：

1、等差、等比数列的通项公式？

2、如何解决an+1–an =f(n)型的通项公式？

3、如何解决an+1∕an =f(n)型的通项公式？

二．新授内容：

例1：设数列{an}中，a1=1, an+1=3an , 求an的通项公式。

解：略

例2：设数列{an}中，a1=1, an+1=3an+1, 求an的通项公式。分析：设an+1=3an+1为an+1+A=3(an+A)

例3：设数列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n, 求an的通项公式。

分析：设an+1=3an+2n为an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)

思考：设数列{an}中，a1=1, an+1-3an=2n, 求an的通项公式。

分析：法一：设an+1=3an+2n 为an+1+A2n+1 =3（an+A2n）

法二：an+1=3an+2n的等式两边同时除以2n方可解决

三．总结：

形如an+1=pan +f(n)此类数列通项公式的求法，可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。四．练习：

1、设数列{an}中，a1=1, an+1=2an+3, 求an的通项公式。

2、设数列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n+1, 求an的通项公式。

3（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为sn ,已知a1=1, sn+1=4an +2（I）设bn=an+1 –2an，证明数列{bn}是等比数列（II）求数列的通项公式。

【课后反思】

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。求递推数列通项公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、换元法等等。只要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、学情分析和教法设计：

1、学情分析：

学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据递推公式求出数列的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。

2、教法设计：

本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。

在教学过程中采取如下方法：

①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性； ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

二、教学设计：

1、教材的地位与作用：

递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。对数列的递推公式的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。

2、教学重点、难点：

教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。教学难点：解题过程中方法的正确选择。

3、教学目标：(1)知识与技能：

会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式。(2)过程与方法：

①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；

②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。(3)情感、态度与价值观：

①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；

②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；

③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

三、教学过程：

（1）复习数列的递推公式、等差和等比数列的递推公式，并解决问题。（2）课堂小结（3）作业布置

已知:a1a0,an1kanb,(k0)(1)k,b在何种条件下,数列an分别成等差数列,等比数列.(2)若数列a,又非等比数列且ab n既非等差数列,k10, 如何求an的通项公式.(3)利用(2)的方法分别求出以下数列an的通项公式, ①若a11,2an13an2.②若a11,an2an13anan1.三、课后反思：

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

10.新课标下高中数学数列教学探析 篇十

关键词： 高中数学 数列 教学策略 教学设计

高中数学中，数列占有很重要的地位，数列在数学领域隶属于离散函数的范畴，是解决现实中很多数学问题的重要工具。数列问题是高二年级数学教学的基础。数列问题学习可以培养学生对数学问题的思考、分析和归纳的能力。并对以后阶段的数学知识有启蒙作用。数学教师必须重视数列教学实践对学生的启发作用。

一、数列教学的有效性策略简析

数列的教学应该遵循有效性原则。我们在教学中应该用先进的教学理念指导教学。数学的思维模式主要是逻辑性思维为主，因此有效的方式方法一旦为学生所领会，那教学过程就会变得相当容易。

1.对比数学问题，归纳共性特点，培养探究习惯和能力。

在认识数列时，应该同时引入函数的动态认识数列的方法，将对函数的研究方法类比到数列问题中。对于数列的表示法的讲解，可通过函数的表示方法引申过来。而对等差数列，等比数列的单调性性质，也可通过以往学过的函数的相关性质类比讲解；在求和问题的最值研究中，可从抛物线等二次函数中的变量演化过程类比讲解求函数最值。等差数列和等比数列的概念、性质、通项等，我们可通过两个类型数列的异同点进行研究。如：从数列的特点来说，前一项与后一项之间的差异对等差数列来说，两项间是加减法的关系，每两项之间都相差一个固定的数值，而对等比数列来说，则是乘除法的关系，每相邻两项之间是倍数的关系。对中项的概念来说，等差中项概念与相邻项的关系同样遵循加减法的规则，而等比数列的中项则是插入一个固定比例的关系。而两个等差数列，仍然为等差数列。两个等比数列的对应项的乘积也为等比数列。这种数列之间的项与项的数量关系的实质要为学生讲解清楚。

2.与其他数学知识相综合，建立数学知识体系的网络化、综合化。

数学中任何一个概念都不是独立的，在整个数学知识体系里，每个知识点都与其他结点有关联性，因此在数列教学中，要把数列、函数、不等式、解析几何等概念有机结合起来进行讲解。数列其实是函数的特殊化，研究函数有普遍性的意义，而研究数列是研究函数的特殊化。因此在数列教学中建立函数的概念，有助于改变学生的静态思维。另外，还有数列与不等式、数列与导数、数列与算法等的综合运用，都要在数列教学中对学生加以讲解。

3.通过练习和小测试巩固课堂教学效果。

传统教学模式中，有一种是“题海战术”，可见习题在数学教学中的作用是不容忽视的。尽管目前的教育模式不支持教师对学生施以题海战术，但选取具有代表性的习题，对于开拓学生的数学思路和知识点延伸，是有极大好处的。首先通过习题，可以巩固学生的基础知识结构，加强知识点之间的有机结合，从而提高学生对数学问题的分析能力。举个简单的例子，求数列a■-n。通过前面的知识的学习，我们知道，这道题目由两部分数列的综合计算而成。前半部分是一个等比数列，而后半部分，我们可以看成负自然数的数列。等比数列的求和公式是合成的，而自然数的和在学习高斯定理时就已学过，通过这样的拆解，为学生解答综合性的问题提供了行之有效的途径。其次，同样一个题目如果有多种方法，应当鼓励学生用更多的方法进行解答，这样可以培养学生的发散性思维，在考试中碰到的问题即使一时做不出来，至少学生能够想到很多种解题方案，这其中说不定就有通往正确答案的途径。第三，公式的变形要加强练习，只有这样，学生才能够触类旁通，同一类问题的解决途径往往稍加变形，但其解法本质上是殊途同归的，通过这种锻炼，学生的解题能力得到很大的提高，知识体系也进一步得到完善。第四，题目解决了，并不是学习的终结，要培养学生“回头看题”的习惯。这种习惯的养成有助于学生对题目的知识点进行全面把握。

二、数列部分课堂教学设计要点

课堂教学设计是高中教学中的重中之重，课堂教学设计的水平在某种意义上决定了课堂教学的效果和学生学习的成果。在课堂教学方案的设计中，笔者通过多年的教学经验和实践认为应该包括以下要素。

1.细致了解学生在数列学习和解决数列问题中的切身体验。

应该说，学生之间对数学问题的认知和理解能力确实存在着差异性。到了高中阶段，学生都经历了近十年的数学学习经历，通过长期的学习会对某一类知识点相当敏感，而对另外一些知识点却认识模糊。有的学生擅长逻辑思维，而另外一些学生对计算情有独钟，对知识点掌握程度的不同会造成学生解题习惯和解题思路的差异。教师在课堂教学设计中应充分考虑学生的群体差异。

2.注重数列部分概念本质的强化记忆和理解，对基础知识的传授要夯实，避免短板。

数学中，不仅仅是数列，其他的概念也如此，其描述的方式，往往通过文字性的描述来说明。这种方式比较抽象，我们在设计课堂教学时，对概念性的东西要注意辅以实例来讲解，以便激发学生的猎奇心理和探索问题的欲望。

3.重视数学史渗透，培养用数学工具解决实际问题的能力。

数学的发展史源远流长，每种数学问题的提出和最后的解决都有其历史背景。数列教学中穿插数学史知识的传授，有利于学生了解知识的来龙去脉。另外数学问题的提出往往有其实践的背景，或者是人民集体智慧的结晶，或者是某一时期特殊问题的解决之道，教师在课堂教学过程中要努力挖掘现实问题的应用，学以致用。当学生认识到学习的数列知识在现实生活中确实能解决很多问题的时候，学习欲望和学习效果自然而然就增强了。

4.重视数列学习中组合学习的魅力。

人以群分，物以类聚。在数学学习过程中，教师应该对不同层次的学生进行分组，这种分组的教学行为可以让学生在相同的起点上进行学习。通过对班级内不同的学生的特点和能力进行分析，对其学习的目标、任务等精心设置，发挥团队学习的效用。

参考文献：

[1]王光明.数学教学效率论[M].天津：新蕾出版社，2006.

[2]愈国良，罗晓璐.教师教学效能感及其相关因素研究[J].北京师范大学学报，2001（1）.

11.数列通项公式的求法 篇十一

一、定义法

当已知数列为等差或等比数列时, 可直接利用等差或等比数列的通项公式, 这样只需求得首项及公差公比即可。

例1:设{an}是一个公差为d (d≠0) 的等差数列, 它的前10项和S10, 且a1, a2, a4成等比数列。 (Ⅰ) 证明:a1=d; (Ⅱ) 求公差d的值和数列{an}的通项公式。

证明: (Ⅰ) ∵a1, a2, a4成等比数列, ∴a22=a1a4。而{an}是等差数列, 有a2=a1+d, a4=a1+3d, 于是 (a1+d) 2=a1 (a1+3d) , 即a12+2a1d+d2=a12+3a1d, 化简得a1=d。

(Ⅱ) 解:由条件S10=110和得到10a1+45d=110, 由 (Ⅰ) 知a1=d, 代入上式得55d=110, 故d=2, an=a1+ (n-1) d=2n。

二、累加法 (也称逐差求和法)

形如且an+1=an+f (n) , f (n) 为可求和数列, 那么可用逐项作差后累加的方法求an。即

例2:已知数列{an}满足an+1=an+2n+1, a1=1求数列{an}的通项公式。

解:由an+1=an+2n+1, 得an+1-an=2n+1则

所以数列{an}的通项公式为an=n2。

评注:本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+1转化为an+1-an=2n+1, 进而利用逐差求和法求得数列{an}的通项公式。

三、累乘法 (也称逐商求积法)

形如an+1=an·f (n) , f (n) 可用逐项作商后求积得到。即于是只要f (n) 可以求积就行。

例3:已知数列{an}满足求an。

这种利用求通项公式的方法称为累乘法, 累乘法是求形如an+1=an·f (n) 的递推数列通项公式的基本方法, 适用于积为特殊数列的数列。

四、构造新数列

对于一些递推关系较复杂的数列, 可通过对递推关系公式的变形、整理, 从中构造出一个新的等比或等差数列, 从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。

1. 构造等差数列或等比数列

等差数列与等比数列是基本的两种数列, 对于一些递推数列问题, 若能构造等差数列或等比数列, 无疑是一种行之有效的构造方法。

(1) 将递推公式an+1=qan+d (q, d为常数, q≠0, d≠0, ) 通过an+1+λ=p (an+λ) 与原递推公式恒等变形, 构造等比数列为首项, q为公比的等比数列。

例4:在数列{an}中, a1=2, 且求{an}的通项公式。

(2) an=pan-1+f (n) 构造出与f (n) 相似的式子, an+m·f (n) =p[an-1+m·f (n-1) ]。通过待定系数法确定m的值, 转化成以a1+mf (1) 为首项, 以p为公比的等比数列。

如递推式an+1=Aan+Bn+C可构造为形如an+1=λ1n+λ2=A[an+λ1 (n-1) +λ2]的等比数列。

例5:设数列{an}中, a1=1, an+1=3an+2n+1, 求{an}的通项公式。

如递推式an+1=Aan+B·Cn (A、B、C为常数, 下同) 可构造为形如an+1+λ·Cn+1=A (an+λ·Cn) 的等比数列。

例6:设数列{an}中, a1=1, an+1=3an+2n, 求{an的通项公式。

解:设an+1+t2n+1=3 (an+t2n) , 展开后, 得an+1=3an+2n, 对比得t=1, ∴an+1+2n+1=3 (an+2n) 。令bn=an+2n, 则bn+1=3bn, 且b1=a1+21=3, ∴{bn}是b1=3为首项, 公比q=3的等比数列。∴bn=3·3n-1=3n, 即an=3n-2n。

(3) 若这种类型一般是等式两边取倒数, 运算中注意新数列的首项, 公差或公比的变化。

例7:已知数列{an} (n∈N*) 中, 求数列{an}的通项公式。

2. 构造对数式。

形如an+1=panr (p>0, an>0) 这种类型一般是等式两边取对数后得:lgan+1=rlgan+1gp。

例8:已知数列{an}, 其中a1=1, 且求通项公式an。

12.高中数学《数列的极限》教学设计 篇十二

一、教学目标

1.知识与能力目标

①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。

②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。

③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。

2.过程与方法目标

培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。

3.情感、态度、价值观目标

使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限的概念和定义。

教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。

三、教学对象分析

这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。

四、教学策略及教法设计

本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同情况。从而对数列极限有了直观上的认识，接着让学生根据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而达到深化定义的效果。最后进行练习巩固，通过这样的一个完整的教学过程，由观察到分析、由定量到定性，由直观到抽象，并借助于多媒体课件的演示，使得学生逐步地了解极限这个新的概念，为下节课的极限的运算及应用做准备，为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过程中注意突出重点，突破难点，达到教学目标的要求。

五、教学过程

1.创设情境

课件展示创设情境动画。

今天我们将要学习一个很重要的新的知识。

情境

1、我国古代数学家刘徽于公元263年创立“割圆术”，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

情境

2、我国古代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。也就是说拿一根木棒，将它切成一半，拿其中一半来再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之„„?如此下去，无限次地切，每次都切一半，问是否会切完?

大家都知道，这是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原来的少了一半，也就是说木棒的长度越来越短，但永远不会变成零。从而引出极限的概念。

2.定义探究

展示定义探索(一)动画演示。

问题1：请观察以下无穷数列，当n无限增大时，a，I的变化趋势有什么特点?

(1)1/2,2/3,3/4,„n/n-1(2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n„„

问题2：观察课件演示，请分析以上两个数列随项数n的增大项有那些特点?

师生一起归纳总结出以下结论：数列(1)项数n无限增大时，项无限趋近于1；数列(2)项数n无限增大时，项无限趋近于1。

那么就把1叫数列(1)的极限，1叫数列(2)的极限。这两个数列只是形式不同，它们都是随项数n的无限增大，项无限趋近于某一确定常数，这个常数叫做这个数列的极限。

那么，什么叫数列的极限呢?对于无穷数列an，如果当n无限增大时，an无限趋向于某一个常数A，则称A是数列an的极限。

提出问题3：怎样用数学语言来定量描述呢?怎样用数学语言来描述上述数列的变化趋势?

展示定义探索(二)动画演示，师生共同总结发现在数轴上两点间距离越小，项与1越趋近，因此可以借助两点间距离无限小的方式来描述项无限趋近常数。无论预先指定多么小的正数e，如取e=O-1，总能在数列中找到一项am，使得an项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，若取￡=0。0001，则第6项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，即1是数列(1)的极限。最后，师生共同总结出数列的极限定义中应包含哪量(用这些量来描述数列1的极限)。

数列的极限为：对于任意的ε>0，如果总存在自然数N，当n>N时，不等式｜an-A｜n的极限。

定义探索动画(一)：

课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值，并且动画演示数列的变化过程。如图1所示是课件运行时的一个画面。

定义探索动画(二)课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值和I an一1I的值，并且动画演示出第an项和1之间的距离。如图2所示是课件运行时的一个画面。

3.知识应用

这里举了3道例题，与学生一块思考，一起分析作答。

例1.已知数列：

1,-1/2,1/3,-1/4,1/5„„,(-1)n+11/n，„„

(1)计算|an-0|(2)第几项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.017都小于任意指定的正数。

(3)确定这个数列的极限。

例2.已知数列：

已知数列：3/2,9/4,15/8„„，2+(-1/2)n，„„。

猜测这个数列有无极限，如果有，应该是什么数?并求出从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.1，从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.017

例3.求常数数列一7，一7，一7，一7，„„的极限。

5.知识小结

这节课我们研究了数列极限的概念，对数列极限有了初步的认识。数列极限研究的是无限变化的趋势，而通过对数列极限定义的探讨，我们看到这一过程又是通过有限来把握的，有限与无限、近似与精确、量变与质变之间的辩证关系在这里得到了充分的体现。

课后练习：

(1)判断下列数列是否有极限，如果有的话请求出它的极限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(-1)n/3n；④aan=-2；⑤an=n；⑥an=(-1)n。

(2)课本练习1，2。

6.探究性问题

设计研究性学习的思考题。

提出问题：

芝诺悖论：阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟，因为当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是乌龟速度的10倍，阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1公里。如果让乌龟先跑0.1公里，当阿基里斯追到O.1公里的地方，乌龟又向前跑了0.01公里。当阿基里斯追到0.01公里的地方，乌龟又向前跑了0.001公里„„这样一直追下去，阿基里斯能追上乌龟吗?