三下语文培优练习一

三下语文培优练习一（精选9篇）

1.三下语文培优练习一 篇一

小学语文知识点（三下）

第一单元 燕子 重点词语

（）：生动自然；不呆板。（）：（微风）掠过；拂拭。（）：聚集。

（）：形容光彩鲜艳耀眼。（）：间或；有时候；不经常。（）：（水波）一起一伏地动。

词语积累

（）斑斓

（）玲珑

羽翼（）

（）机灵

（）婉转 轻盈（）2 古诗两首 重点词语

（）：风光景物。

（）：形容百花齐放，颜色艳丽。

词语积累 表示春天的词语

（）二月

（）三月

（）三月

（）时节 描写春天美丽景色的成语

（）紫（）红

姹（）嫣（）

（）红（）绿

（）歌（）舞

（）吐艳

（）绿水

（）盎然

草（）莺（）荷花 词语积累

翩翩（）

炯炯（）

依依（）

津津（）

洋洋（）比比（）

步步（）

亭亭（）

挨（）挤

密（）麻 密（）层

密不（）

铺天盖地

层层叠叠

星罗棋布 熙熙（）攘

水泄（）

（）蔽日 珍珠泉（）和（）丽

桃（）流（）

（）语（）香

（）明媚

小学语文知识点（三下）

词语积累

扑哧（）

（）一笑

（）一笑

（）一笑

语文园地一 日积月累

一（）歌曲

一（）微风

一（）羽毛

一（）清泉 一（）翅膀

一（）金光

一（）画面

一（）珍珠

2、读读背背

（）：各种芳香美丽的花卉都呈现出艳丽的色彩。（）：形容各种颜色的花卉艳丽、好看。（）：形容鲜花盛开后纷纷凋谢的景象。（）：（草木）苍翠茂盛。

（）：形容水涌起或太阳上升的样子。

（）：早晨的太阳刚从东方升起，形容充满青春活力，朝气蓬勃的景象。（）：傍晚的太阳从西方落下。（）：明亮的月亮正悬挂在天空。（）：高而险峻的山岭。（）：形容山势险峻。

（）：重重地山岭叠着层层的绿色。

（）：形容草木长得茁壮，枝叶深青碧绿，水灵灵地像要滴下来似的。

第二单元 翠鸟

重点词语

（）：形容小而灵巧、精致。燕子专列 重点词语

启程：同“起程“，上路；行程开始。（）：形容旅途的艰辛。（）：形容生活贫困。

小学语文知识点（三下）

词语积累

这些词都是描写雪花的 纷纷（）一个小村庄的故事 重点词语

（）：（草木）苍翠茂盛。（）：许多不同的式样或方式。

（）：应该有的全都有了，表示一切齐备。路旁的橡树 重点词语

（）：不说话，不出声。

（）：没有事先商量而彼此见解或行动一致。词语积累

不约而同

不劳而获

不期而遇

不翼而飞

不寒而栗 不谋而合不言而喻

不胫而走

二、读读背背

“（）”

出自王维的《送梓州李使君》。梓州一带千丘万壑，尽是参天大树，山连着山，到处都可以听见杜鹃的悲鸣。

““（）” ”

出自王维的《积雨辋川庄作》。水田广漠，一行白鹭掠空飞过，夏日浓荫中传来黄鹂婉转的鸣声。““（）” ”

出自王建的《雨过山村》。蒙蒙春雨之中，远远传来几声鸡鸣，整个山村显得格外静谧；曲曲折折的小路延伸到竹林葱郁的小溪边，一座板桥斜跨在溪水之上。““（）”

“

出自杜甫的《曲江二首》。蝴蝶在花丛中穿行，时隐时现，蜻蜓缓缓飞动，时而点着水面。““（）” 皑皑（）

万树（）

（）玉砌

玉树（）

（）飞舞

小学语文知识点（三下）

出自晏殊的《破阵子》。池塘里有几点碧绿的苔藓，树叶下几只黄鹂在声声歌唱。

第三单元 惊弓之鸟 重点词语

（）：形容对发生的意外事情非常吃惊。（）：指失去同伴，无依无靠。画杨桃 重点词语

（）：形容态度和蔼可亲。想别人没想到的 重点词语

（）：又多又密（多指小的东西）。（）：接连不断，一起一落。（）：形容隐隐约约。

第四单元 和时间赛跑 重点词语

（）：时光像射出去的箭，形容时间过得极快。

（）：太阳和月亮像穿梭似的来去，形容时间过得很快。（）：得到无尽的好处或利益。词语积累 七字成语：

一寸光阴（）

一年之计（）

醉翁之意（英雄无（）

一失足成（）

此地无银（14 检阅 重点词语

（）：形容非常安静。））小学语文知识点（三下）

（）：抑制不住自己的感情。（）：形容聚集的人极多。16 绝招 重点词语

（）：抑制不住；不由得。（）：不假思索，随口说出。词语积累

鼓着腮帮子

瞪着眼珠子

咧着大嘴

读读背背

（）：广泛地阅读各种书籍。

我们不仅要博览群书，还要把学到的知识应用到实践中去。（）：勤奋努力，不知疲倦。

由于她孜孜不倦地学习，短短两年就基本上掌握了英语。（）：勤奋学习，喜爱提问。

小明是个勤学好问，成绩优秀的好学生。（）：学习总感到不满足。形容勤奋好学。

小明学而不厌的精神，得到了老师和全班同学的赞扬。（）：学习的精深造诣来自勤奋。

业精于勤，只要我们勤奋地学习，就一定能取得好成绩。（）：一心一意，精神集中。

他专心致志地看着世界地图。（）：集中精神；集中注意力。

他聚精会神地看着小说，连有人进来都没有发觉。（）：顾不得睡觉，忘记吃饭，形容非常专心努力。

老师为了备课和批改作业，常常废寝忘食。（）：使出全部力量。

每位父母都会竭尽全力供子女读书。

（）：雕刻一件东西，一直刻下去不放手，比喻有恒心，有毅力。

我们学习要有锲而不舍的精神。（）：形容做事踏实认真。

我们做事要脚踏实地，戒骄戒躁。

小学语文知识点（三下）

第五单元 可贵的沉默 重点词语

（）：形容很多人说同样的话。（）：向左右两边看。

（）：没有实现商量而彼此见解或行动一致。词语积累

异口同声

左顾右盼

东张西望

天经地义

大惊小怪 数字成语

四面八方

七嘴八舌

一目十行

举一反三

成千上万

八、综合知识

1、关于孝敬父母的名言。

谁言寸草心，报得三春晖。——孟郊 慈孝之心，人皆有之。——苏辙 惟孝顺父母，可以解忧。——孟子

父母之所爱亦爱之，父母之所敬亦敬之。——孔子

18她是我的朋友 重点词语

（）：比喻事情临近眼前，十分紧迫。

含有人体器官的成语

迫在眉睫

提心吊胆

得心应手

肝胆相照

扬眉吐气

掩人耳目 怒发冲冠

耳聪目明

八、综合知识

1、朋友的称谓。挚友——志同道合的朋友 盟友——结成同盟的朋友 笔友——用信件交谈的朋友 益友——对自己有帮助的朋友 19 七颗钻石 重点词语

小学语文知识点（三下）

（）：遇到出乎意料的喜事而特别高兴。妈妈的账单 重点词语

（）：按照自己的愿望得到满足。

（）：形容举动十分谨慎，丝毫不敢疏忽。

第六单元 太阳 重点词语

（）：连小草都不生长。

八、综合知识

1、太阳的雅称 春天的太阳——春晖 夏天的太阳——骄阳

早晨的太阳——朝阳、朝光、朝晕、初旭、初景 黄昏的太阳——夕照、夕晕、夕阳、残阳、斜阳 月球之谜

2、李白描写月亮的诗句

举头望明月，低头思故乡。——《静夜思》 举杯邀明月，对影成三人。——《月下独酌》 明月出天山，苍茫云海间。——《关山月》

今人不见古时月，今月曾经照古人。——《把酒问月》 23 我家跨上了“信息高速路” 重点词语

（）：急迫得不能再等待。

（）：不转眼珠地（看），形容注意力集中。（）：形容舍不得离开。

第七单元 太阳是大家的 重点词语

小学语文知识点（三下）

（）：一点影子和踪迹都没有。（）：十分荒凉，没有人家。

六、综合知识

1、爱国名言

为中华之崛起而读书。——周恩来 爱祖国高于一切。——肖邦

我是中国人民的儿子。我深情地爱着我的祖国和人民。——邓小平科学没有国界，科学家却有国界。——巴甫洛夫 27 卖木雕的少年 重点词语

（）：确实很好，不是空有虚名。

（）：栩栩：生动活泼的样子。形容非常逼真，像活的一样。（）：喜爱得舍不得放下。

（）;形容完全相同，没有什么两样。中国国际救援队，真棒！重点词语

（）：遐迩：远近。指名气大。

二、名句解析

（）——王勃·《送杜少府之任蜀州》。只要朋友之间互相知心，及时分隔在遥远的天边，也会像近邻一样。（）——张九龄·《望月怀远》

辽阔无边的大海上升起一轮明月，远在天涯海角的友人此时此刻也和我一样望着同一轮明月。（）——汪洙·《喜》 干旱了很久才遇到一场好雨，在异乡漂泊，遇到老朋友。

（）到寒冷的季节，可以更了解松柏耐寒的品质，遇到困难以后，更能知道朋友对自己的一份真情意。

（）不远千里送来鹅毛，礼物虽轻，情意却很重。

第八单元 古诗两首

小学语文知识点（三下）

重点词语

（）：人烟：人家，住家。指荒无人烟的意思。（）：形容十分担心或害怕。

（）：脸色跟土的颜色一样，没有血色，形容极端惊恐。

女娲补天 重点词语

（）：形容火势非常旺盛。

2、与神话人物有关的歇后语。狗咬吕洞宾——不识好人心 八仙过海——各显神通

白骨精遇上孙悟空——原形毕露

夸父追日

二、读读记记

（）：泛指周围各地或各个方面。（）：形容人多嘴杂，讲个不停。（）：形容数量非常多。（）：形容聚集的人非常多。（）：心意很真诚。

（）：形容描写或模仿的非常好，非常逼真。（）：零碎的；少量的；零散。（）：坚固耐用；健壮。（）（草木）苍翠茂盛。（）：形容很多人说同样的话。

（）：形容对于不足为奇的事情过分惊讶。

（）：心里想往南去，却驾车往北走。比喻行动和目的相反。

2.三下语文培优练习一 篇二

一、精心备课, 有的放矢

《孙子兵法》曰 :“胜兵先胜而后求战。”这说的就是要做成事, 就必须先做好准备工作。就高中语文培优而言, 教师首要工作就是备好课;而要备好课, 就必须研究学生, 备好学生。这样的备课, 才是真正科学务实的备课, 才能做到有的放矢。

然而, 很多教师在备培优课时, 往往只备了教材、教法、资料、练习等, 很少甚至根本不考虑不同班级不同层次学生的差异性, 自以为准备充分就信心满满地上课了。结果, 面对学生的差异性, 这些教师缺乏变通, 仍然照讲不误, 自顾自地按照既定的教学设计教学下去。这是典型的教师主体型的教学模式, 其效果可想而知。

真正高明的教师在备课时, 除了会备好教材、教法、资料、练习等, 还会用心备好学生。学生是教学的对象, 更是学习的主体。因此, 教师若要教会学生, 必须首先了解学生, 并有针对性地精心备好课。我的做法是:

1.善于观察, 从平时的言行举止方面入手。

平常的举手投足、只言片语均可见人之真性情。在每次培优课前, 我都会事先做足功课, 通过较远处观察和走近交流、批阅作业或试卷等方式, 尽可能充分地了解培优生的知识结构、能力水平、兴趣爱好、存疑犯难等方面的情况, 以便备好课。

2012年秋, 在我任教的高二文科快班中, 有一个学生引起了我的注意: 她在开学之初的连续两次作文中都拿到了较高的得分, 而且作文言辞犀利, 有理有据, 论辩有力。在课间问询谈话中, 我发现她的语文基本功比较扎实, 对社会生活有较多关注, 又有自己的独到见解。这样有潜质的学生, 实在是培养语文尖子生的好苗子。从此, 我每周都抽空单独辅导她写作文, 重点是层进式议论文的写作指导和新材料作文的审题立意、布局谋篇。她没有辜负我的期望, 在高二年级的两次期末全市统考中, 分别以115、116分连续两次取得了高二语文单科全县第一名的优异成绩。这可比她刚分到我班时的起始成绩92分进步了二十多分。

是什么成就了这名学生的长足进步呢? 她的聪明善学、踏实肯学等因素固然重要。但是, 作为教师, 我在充分了解她在学习语文方面的优缺点后, 精心备课, 正确地做出的有针对性的辅导, 又岂可轻忽?

2.捕捉细节 , 从培优课上深入了解。

有时候, 课前准备了几套方案的充分备课, 并不能保证培优课就一定能取得高效率。这就需要培优教师敏锐地捕捉培优生学习的细节, 发现问题, 然后对症下药。

在一次时评作文培优课中, 我发现一个培优生坐在那发呆, 好几分钟了也没开始做练习。原来他对时评作文题目中的社会现象感到陌生, 不知该怎么评论。经过与其他几个培优生开诚布公地交流, 发现他们对社会生活的理解都不够全面深刻。这次之后, 我开始要求学生通过留心生活、阅读报刊、观看电视新闻等方式, 关注、了解社会生活, 并积极思考, 在学习小组内展开讨论, 最后把成果写进读书笔记。在完成这一系列的准备工作后, 在以后的时评作文课上, 他们的表现明显好了很多。

这一案例告诉我们, 备学生是备好课的必不可少的一个重要环节, 只有备好了学生, 才能有的放矢, 进行针对性的备课与教学。

二、教法引路, 学法指导

当代中国著名教育家叶圣陶说:“教是为了不教。”在教学中, 教师只需要先教授方法引导学生走进知识的殿堂, 之后的路, 教师绝不可越俎代庖, 而需在一旁作指导, 让学生自主独立地走下去。这样, 学生才会由“学会”变“会学”。下面仅以高三语文备考中的时评文写作为例, 简要谈谈培优课的基本操作方法。

上时评文写作的培优课时, 我的上课步骤如下:

第一步, 展示一道时事材料型的作文题, 并就审题立意做示范。

第二步, 发下本次培优课的练习资料:一道时事材料作文题。要求学生依照老师示范的方法步骤, 独立思考, 在规定时间内自主完成审题立意。

第三步, 组织指导培优生互相交换答卷, 共同研究讨论同伴的答卷, 并提出改进意见。

第四步, 拟写作文提纲, 并在规定时间内完成整篇作文。

第五步, 课后思考:非时事材料作文能否写成时评文? 如果能写时评文, 该如何写?

在高中语文培优课中, 无论是这样的时评文写作培优课, 还是其他内容的培优课, 我都一直本着“授之以渔”的教学理念, 对学生进行教法引路、学法指导, 坚持学生主体原则, 让学生在自主思考、合作交流和练习巩固中, 从“学会”到“会学”, 真正形成语文能力。

3.一年级班语文培优补差计划 篇三

2012-2013学年第一学期

一年级的语文教学工作应该说是富有挑战性的,对于一些刚刚步入知识殿堂的小学生,由于他们自身的天真、调皮以及一些其他因素对其初学语文知识的学习有较大的影响, 特别是一年级第一学期,学习优差表现明显,但只要本着“没有教不好的学生”的原则做好培优补差工作，在有意培养优秀生的同时紧抓后进生，课内探究与课外辅导相结合，让小学生克服自卑的心理，树立起学习的信心和勇气。在学生中形成浓厚的学习氛围，使每个学生学有所长，学有所用，提高学习成绩，全面提高教学质量。

一、现状分析

一年级（2）班共有学生46人，其中大部分学生是由本校学前班升学进来的。本班学生成绩两级分化明显，部分学生在就读学前班时就已经跟读一年级的课程，因此这部分学生有些已经掌握一定的一年级语文知识学习起来相对轻松些，是培优的对象，如：韦国正、黄圣佳、罗照、韦嘉政、罗文雅等。部分跟读学生由于自身或其他一些原因并没有很好的掌握一年级的语文知识，学习较为吃力，这些学生跟部分刚入学零基础的学生则是要重点注意加以辅导的，如：黄春连、韦春艳、韦建财、张婷、屈冬冬等。

二、指导计划

提高优生的自主和自觉学习能力，进一步巩固并提高中等生的学习成绩，帮助后进生取得适当进步，让后进生在教师的辅导和优生的帮助下，逐步提

高学习成绩，并培养较好的学习习惯，形成语文基本能力。培优计划要落到实处，发掘并培养一批语文尖子，挖掘他们的潜能，从培养语文能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的拼音基础和一定的阅读写话能力，并能协助老师进行补差活动，提高整个班级的语文素养和语文成绩。

三、工作目标

1、认真落实“培优补差”工作计划，做好参加对象的辅导工作和思想教育工作，培优和补差同步进行。

2、积极组织相关学生参与活动，力争家长的大力配合。

3、通过“培优补差”活动，使班级的学生能认识到学习的重要性，激发学生学习的兴趣。

四、工作措施

1、全面了解学生的学习现状，了解和正确对待学生中客观存在的个别差异，以学生学习全面发展而不是消除差异为目的，推动有差异的发展。在“吃透两头”的基础上，既使优生“吃得饱”，又使后进生“吃得了”，快者快学，慢者慢学，先慢后快，全面提升。

2、采用一优生带一后进生的一帮一行动。在调换学生座位的时候，有意地将一些学习能力较强的和学习能力较弱的学生安排在一起，目的就是让优等生协助老师帮扶、影响后进生。

3、采用激励机制，对后进生的每一点进步都给予肯定，并鼓励其继续进取，在优生中树立榜样，给机会表现，调动他们的学习积极性和成功感。

4、重视两端也不能忽视中间，重视中等成绩学生，保持其成绩稳定和

提高。

5、充分了解后进生现行学习方法，给予正确引导，朝正确方向发展，保证后进生改善目前学习差的状况，提高学习成绩。平时对学习有困难的学生努力做到不歧视，多鼓励；不粗暴，多宽容。耐心细致地帮助，上课时多留意，多体贴，下课多与他们谈心。

6、利用课余时间课外辅导。这个主要是针对个别后进生或是给因请假而延误课程的个别学生，以免因个别学生而拖延全班的学习进度。

7、在日常工作中，对学生的学习态度、学习方法、学习纪律等方面提出科学而严格的要求。虽然这在一年级教学中颇有一定的难度，但时间与耐心可以取得好成绩。

8、必要时与家长联系，协助解决后进生的学习问题。鼓励孩子在爸爸妈妈的支持和鼓励下，另行自我发展，找到自己的长处，勇敢战胜学习和生活中的困难。

4.一年级语文培优辅差总结1 篇四

半期培优辅差工作总结

老包小学：孟飞

半期以来，在学校领导、老师们的关心和支持下、本人在培优补差工作过程中，能根据本班实际情况，有步骤、有措施地实施落实培优补差的内容，通过内化教育，学生的学习动机，学习积极性大大地被调动起来，不管是优等生或是潜能生，现都能明确自己的学习目的,不是为别人，而是为自己；学习风气较以前有明显的变化，以前是要我学，现在是我要学，全班有20名学生语文成绩有很大提高，大部分学生也能较好的得到发展，学生的自信心，意志力得到很大的提高。回顾半期工作，现将第半期来的工作总结如下:

一、教学观念的积极转化，家长的热心配合。在工作过程中，教师的观念能积极转化，由以前看分数，注重优生的辅导，对潜能生耐心不足，恨铁不成钢，急功近利的心态转变为能正确看待每一个学生，以培养学生素质的提高为自己工作的重点。在工作过程中能个体分析，群体分析，确立发展目标和措施，找出每个学生的优点，缺点，潜在的优点，缺点，新的生长点。用发展的眼光看自己,分析别人.积极对待学生的每一个闪光点,施以恰如其分的鼓励性评价，家长能热心配合，使得每一位学生能安心于课堂的学习，把潜能生的厌学情绪抑制在一个最低点上。

二、在班级里建立学生的学习档案，依此进行分层，设立不同层次的学习帮扶小组，确立学习目标。在班级里努力营造一个良好的学习氛围，改变老师补课，留课的陋习，把问题交给学生去独立解决，老师起指导作用。其次，依据学生的能力，对各层次的学生分别有不同的完成目标，由易而难，逐层推进。

三、实行低、小、多、快的教法改革，充分发挥学生相互教育，自我教育的作用。摸清学生相关准备知识，基础，能力和心理准备的实际，把起点放在学生努力一下就可以达到的水平上，使新旧知识产生联结，形成网络。根据学生实际，确定能达到的实际进度，把教学的步子放小，把教学内容按由易到难，由简到繁的原则分解成合理的层次，分层推进。在实际教学中，根据本学生实际精心设计每一节课，力争做到精讲精练。快速反馈，及时发现学生存在的问题，及时矫正及调节教学进度，从而有效地提高课堂教学的效益，避免课后大面积补课。

在培优补差的过程中，我采取了这样一些措施:

1、培优重在拔尖，补差重在提高。

2、课堂上有意识给他们制造机会，让优生吃得饱，让潜能生吃得好。

3、课外辅导，利用自习，文体课的时间，组织学生加以辅导训练。

4、发挥优生的优势，指名让他带一名潜能生，介绍方法让潜能生懂得怎样学，激起他们的学习兴趣。

5、对于潜能生主要引导他们多学习，多重复，在熟练的基础上不断提高自己的分析推理能力，尤其是学习态度的转变和学习积极性的提高方面要花大力气。

6、优生鼓励他们多做创新的事情,多钻研奥赛题。

总之，在半期的时间里，虽然我在培优补差取得了一定的成绩，但还存在着一些问题，如教育教学方法、手段还有待改进。但我相信培优转差工作一定能越做越好的。

5.六年级语文第一学期培优补差总结 篇五

为了全面实施素质教育，培养学生的创新精神，发展学生能力，大面积提高教学质量，开学初，我在班级中就制定了切实可行的培优补差计划。我以全面落实素质教育，渗透“诱思探究”教学理论，创造一个适合学生全面发展的育人环境为指导思想，以打好基础，发展个性，培养特长为目标，遵循因材施教的原则，全面、扎实地开展了此项工作。为了今后更好地开展培优补差工作，大面积提高教育教学质量，现将本学期的培优补差工作总结如下：

1、通过优化课堂教学结构，改进教法学法，全面提高了教育教学质量。

学期伊始，我认真学习了《基础教育课程改革纲要》和《国务院关于深化教育改革，全面推进素质教育的决定》精神，阅读了新大纲对六年级语文提出的要求，精心备好每一节课。在备课的同时，把学生的年龄特点和个性差异考虑进去，注意每单元的训练要点和延伸迁移的难点。课堂上以学生为主体，以训练为主线，以思维为核心，把更多的发言机会留给学生，精心设计课堂提问，把问题分为难、中、易三类，让优等生回答较难的问题，让学习有困难的学生回答较易的问题，使每位学生在课堂上都有施展自己的机会，都能尝到成功的喜悦，变苦学为乐学，变要我学为我要学。通过这种尝试，同学们的发言积极性越来越高了，连最不爱举手的学生也敢展示自己了。

2、通过第二课堂活动培养了学生的特长。

第二课堂活动是培优补差的基础。这学期一开始，我就依据上学

期学生的学习情况，挑选出了4名学困生，把他们编为培优补差活动小组，利用每周二下午课外活动时间，对他们进行课外辅导，进行基础知识的补救。辅导有内容，有记录、有组织、有纪律，有时开展一些朗读、背诵、听故事、讲故事等活动内容，在活动中，发展了学生的智力，发挥了学生的特长，充分调动了学生学习语文的积极性，使他们在活动中获得了成功的喜悦，增长了求知的欲望。

3、建立了融洽和谐的师生关系。

使每位学生具有很好的心理环境，也是培优补差的关键点。在培优补差过程中，我把学生当成自己的朋友，善于发现每位学生身上的闪光点，在辅导时及时鼓励和表扬他们，并在小组内开展了比、学、赶、帮、超活动，让学生在宽松和谐的环境中学习感到格外有精神。不爱做作业的学生越来越少，课堂上发言的学生越来越多了，收到了良好的教学效果。

4、通过培优补差工作，拉近了老师和家长的距离。

在培优补差过程中，我经常进行家访与家长取得联系，争取他们的配合和支持，共同采取有效措施，对学生进行辅导和教育。在此过程中，老师和家长的关系越来越紧密，许多家长特别重视家庭辅导，为培优补差工作打下了良好的基础。

总之，通过这学期的培优补差工作，我班学生中优等生逐渐增多，学困生逐渐减少了，可谓是大面积提高了教学质量，培养了学生学习语文的能力，全面落实了素质教育。培优补差工作是一项艰巨的工作，在今后的教学工作中，我有决心、有信心把这项工作做得更好，更大

6.三下语文第一单元词语汇总 篇六

苏

2、辽阔岛屿矿产水天相连壮观宝库海龟星罗棋布 苏

12、好梦饱胀了不起破裂碧绿花骨朵

苏

21、白茫茫喜盈盈甜丝丝白生生傻乎乎香喷喷

15、莲出淤泥而不染中通外直不蔓不枝香远益清亭亭静植

23、蔚蓝绮丽恬静描绘明净清澈水天一色风格独特

28、朝廷辞职平坦通讯派谴逃避隐居携带隔绝

2、嗟敕穹穹庐笼盖苍苍茫茫风吹草低

5、鸢朱熹泗杨柳纸鸢光景等闲万紫千红

21、茶郭沫楂蓓漾

29、卢纶遁昌

练习

1、气象万千风云变幻奇峰异岭若隐若现

腾云驾雾飘飘欲仙白云苍狗瞬息万变

练习

2、有利可图有机可乘有根有底有始有终

7.三下语文培优练习一 篇七

(2014~2015学年度第一学期)

一、指导思想

为进一步提高优生的自主和自觉学习能力，巩固并提高中等生的学习成绩，帮助学困生取得进步，让学困生在教师辅导和优生的帮助下，逐步提高学习成绩，养成较好的学习习惯。主要从培养语文能力入手，训练良好学习习惯，从而形成较扎实的基础和较强的阅读、写作能力，并能协助老师进行辅困活动，提高整个班级的语文素养和语文成绩。

二、学生情况分析

本班现有学生15名，其中男生9人，女生6人。从上学期的学习情况及知识技能掌握情况看，大部分学生学习积极性高，学习目的明确，上课认真，各科作业能按时按量完成，且质量较好，但也有少部分学生，基础知识薄弱，学习态度欠端正，书写不认真，作业有时不能及时完成，因此本学期除在教学过程中要注重学生的个体差异外，我准备在提高学生学习兴趣上下功夫，通过培优补困的方式使优秀学生得到更好的发展，学困生得到较大进步。

培优对象：魏金鑫马海燕金兴国王金栋

补困对象：刘博吕辉白金如王雨姗

三、任务目标

1.学习习惯

（1）掌握正确的读写姿势，并养成习惯，优生带动学困生共同提高和发展。

（2）培养学困生专心倾听的习惯，养成上课认真听讲，专心书写铅笔字的习惯。

（3）培养全体学生勤于朗读背诵，乐于课外阅读的习惯。

2.汉语拼音

（1）继续巩固部分学困生汉语拼音基础知识，使他们可以利用汉语拼音帮助识字、阅读、学习普通话。

3.口语交际

（1）能使学困生在教师指导和优生示范作用下认真听别人讲话，听懂别人说的一段话和一件简单的事，能在看图或观察事物后，用普通话说几句意思完整、连贯的话。

4.阅读写话

（1）能使学困生学习正确、流利、有感情地朗读课文，背诵指定的课文，会分角色朗读课文。

（2）能运用学过的词语写句子，能理顺次序错乱的句子。学习按一定的顺序观察图画和简单的事物，写几句连贯的话。

四、主要措施：

1.加强师生交流，及时了解学生的家庭、学习的情况，尽量排除学习上遇到的困难。

2.根据学生的个体差异，分层次、分等级安排不同的作业。

3.采用一优生带一差生的一帮一行动。开展学习经验交流班会活

动，学生间互相交流讨论学习方法、心得体会。

4.充分利用课堂，采用课堂激励机制，对学困生的每一点进步都给予肯定，并鼓励其继续进取，充分给予机会表现，调动他们的学习积极性和成功感。

5.利用课余时间个别辅导。对于优等生，制定课外资料让他们阅读，布置要求较高的作业让他们独立思考，并指定他们对其他学生进行辅导；同时，利用课余时间对学困生进行辅导，对当天所学的基础知识进行巩固，对掌握特别差的学生，进行个别辅导。

6.家长和老师相配合，齐抓共管。对优生及学困生分层次布置适当、适量的学习内容，让家长在家里对学困生生进行协助辅导，班主任及代课老师定期到优等生和学困生家里进行家访，摸清他们在家的学习情况和作业情况。

总之，学生个体差异较大，作为一名青年教师，我深刻认识到培优补困工作的长期性和复杂性。我会不断摸索有效的方法和经验，促使我班培优补困这项工作不断完善。

教师：

8.六年级数学上册培优练习16 篇八

姓名：成绩

1、老师在超市买了一件衣服花了150元，比在东安便宜了25元，便宜了百分之几？

2、某村新建了一个游乐场，投资170.2万元，比原计划节约8％，原计划投资多少万元？

3、某工厂今年计划用煤250吨，实际只用了220吨，实际比计划少用百分之几？

4、2002年李村用电150千瓦时，比计划少用15％，计划用电多少千瓦时？（保留整数）

5、服装厂计划制作服装1500套，实际超产12％，实际制作多少套?

六年级数学上册练习（16）

姓名：成绩

1、一件羽绒服秋季售价是245元，冬季售价比秋季提高25％，这件羽绒服冬季售价多少元？

2、一件衣服250元，现在价格降低了20％，现在多少元

3、果园里有苹果树250棵，比梨树少12％棵，果园里有梨树多少棵？

4、今年我村农村人均收入2700元，比去年增加8％，去年人均收入多少元？

9.三下语文培优练习一 篇九

A.＝－＋

B.＝－

C.＝＋

D.＝－

【答案】　A　如图所示，在△ABC中，＝－.又∵＝3，∴＝＝－，∴＝＋＝－＋.2．(2015·安徽，8，中)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是()

A．|b|＝1

B．a⊥b

C．a·b＝1

D．(4a＋b)⊥

【答案】　D　如图，在等边△ABC中，＝2a，＝2a＋b，∵＋＝，∴＝b.又∵||＝2，||＝2，∴|b|＝2，|a|＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos

120°＝－1.∴A，B，C不正确．

4a＋b＝＋＝2，又⊥，故D正确．

3．(2015·课标Ⅱ，13，易)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．

【解析】　因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，由于a，b不平行，所以解得λ＝.【答案】

4．(2015·江苏，6，易)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

【解析】　由ma＋nb＝(9，－8)得，m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，即(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴解得∴m－n＝－3.【答案】　－3

5．(2015·北京，13，易)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x＋y，则x＝________；y＝________.【解析】　如图，在△ABC中，＝＋＋

＝－＋＋

＝－＋＋(－)

＝－，∴x＝，y＝－.【答案】　　－

1．(2013·辽宁，3，易)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()

A.B.C.D.【答案】　A　＝(3，－4)，||＝5.与同方向的单位向量为＝.故选A.2．(2012·广东，3，易)若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝()

A．(－2，－4)

B．(2，4)

C．(6，10)

D．(－6，－10)

【答案】　A　＝＋＝－＝(－2，－4)，故选A.3．(2014·浙江，8，中)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则()

A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2

D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

【答案】　D　根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定；因为|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2ab，|a－b|2＝|a|＋|b|2－2a·b，则当a·b≥0时，max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2＋2a·b≥|a|2＋|b|2；

当a·b<0时，max{|a＋b|2，|a－b|2}

＝|a|2＋|b|2－2a·b≥|a|2＋|b|2，即总有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选D.4．(2012·安徽，8，中)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()

A．(－7，－)

B．(－7，)

C．(－4，－2)

D．(－4，2)

【答案】　A　由题意，得||＝10，由三角函数定义，设P点坐标为(10cos

θ，10sin

θ)，则cos

θ＝，sin

θ＝.则Q点的坐标应为.由三角函数知识得10

cos

＝－7，10sin＝－，所以Q(－7，－)．故选A.5．(2014·北京，10，易)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.【解析】　∵λa＋b＝0，∴λa＝－b.∴|λa|＝|b|，∴|λ|·|a|＝|b|，∴|λ|·1＝，∴|λ|＝.【答案】

6．(2014·课标Ⅰ，15，中)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．

【解析】　由＝(＋)可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以与的夹角为90°.【答案】　90°

7．(2014·陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．

(1)若＋＋＝0，求||；

(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

解：(1)方法一：∵＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴解得x＝2，y＝2，即＝(2，2)，故||＝2.方法二：∵＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，∴＝(＋＋)＝(2，2)，∴||＝2.(2)＝(x，y)，＝(1，2)，＝(2，1)．

∵＝m＋n，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴

②－①得，m－n＝y－x，令m－n＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值，故m－n的最大值为1.思路点拨：(1)根据向量相等，求出P点坐标后求||；

(2)根据向量相等，将m－n转化为x，y的关系，变换为线性规划问题．

考向1　平面向量的线性运算

向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差

a－b＝a＋(－b)

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；

当λ<0时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

(1)结合律：λ(μ

a)＝λμ

a＝μ(λa)；

(2)第一分配律：

(λ＋μ)a＝λa＋μ

a；

(3)第二分配律：

λ(a＋b)＝λa＋λb

(1)(2014·课标Ⅰ，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝()

A.B.C.D.(2)(2013·四川，12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．

【解析】(1)如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.(2)如图，因为ABCD为平行四边形，所以＋＝＝2，已知＋＝λ，故λ＝2.【答案】(1)A(2)2

【点拨】　解题(1)时注意向量加法平行四边形法则的运用；解题(2)的思路是在平行四边形中把＋用表示，结合已知条件求出λ的值．

向量的线性运算的解题策略

(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．

(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．

(2014·福建，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于()

A.B．2

C．3

D．4

【答案】　D　依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故选D.考向2　共线向量定理、平面向量基本定理及应用

1．向量共线的判定定理和性质定理

(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．

(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得＝＋λ(如图所示)．

2．向量共线定理的应用

(1)证明点共线；

(2)证明两直线平行；

(3)已知向量共线求字母的值(或范围)．

3．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

(2)平面向量基本定理的实质

平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．

4．平面向量基本定理的应用

(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，那么a，e1，e2共面．

(2)根据向量基本定理求字母的值(或范围)．

(1)(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)

(2)(2013·江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

(3)(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．

【解析】(1)方法一：若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.方法二：因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μ

e2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μ

e2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以a＝2e1＋e2，故选B.(2)∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－，又＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝.∴λ1＋λ2＝.(3)方法一：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得

解得

所以λ＋μ＝.方法二：连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得AB＝AT，∴＝＝λ＋μ，∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝.【答案】(1)B(2)(3)

【点拨】　题(1)利用平面向量基本定理求解；解题(2)的思路是先在△ABC中用和表示，然后根据已知条件对应求出λ1，λ2；解题(3)时注意基底的选取．

1.求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内任一点，t∈R)．

(5)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．

零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．

(2012·大纲全国，9)△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝()

A.a－b

B.a－b

C.a－b

D.a－b

【答案】　D　∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝，CD＝.∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1.∴＝＝(－)

＝a－b.考向3　平面向量坐标运算的应用

1．平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．

2．向量平行的坐标表示

(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．

3．平面向量中的重要结论

(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．

(3)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0

⇔G，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．

(1)(2012·重庆，6)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()

A.B.C．2

D．10

(2)(2013·北京，13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

【解析】(1)由⇒⇒

∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3),．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即

解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.【答案】(1)B(2)4

【点拨】　解题(1)时注意应用向量平行与垂直的坐标表示；解题(2)的关键是建立平面直角坐标系，正确写出a，b，c的坐标，利用a，b，c之间的关系，列出方程组求解．

向量坐标运算问题的一般思路

向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．以向量为载体，可以解决三角函数、解析几何中的有关问题．

(2014·陕西，13)设0<θ<，向量a＝(sin

2θ，cos

θ)，b＝(cos

θ，1)，若a∥b，则tan

θ＝________．

【解析】　因为a∥b，所以sin

2θ＝cos2θ，2sin

θcos

θ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cos

θ>0，得2sin

θ＝cos

θ，∴tan

θ＝.【答案】

1．(2015·河北邯郸一模，5)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于()

A．－2

B．2

C．－

D.【答案】　C　由题意得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－，故选C.2．(2015·青海西宁质检，6)已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为()

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边所在直线上

D．P是AC边的一个三等分点

【答案】　D　∵＋＋＝，∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，∴P是AC边的一个三等分点．

3．(2015·山东日照一模，5)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于()

A.a＋b

B.a＋b

C.a＋b

D.a＋b

【答案】　B　如图，∵△DEF∽△BEA，∴DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，过点F作FG∥BD交AC于点G，∴FG∶DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，∴＝b，∵＝＋＝＝a，∴＝＋＝a＋b.故选B.4．(2015·吉林长春调研，7)已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝0，则角A为()

A.B.C.D.【答案】　A　∵G为△ABC的重心，∴＋＋＝0.∵a＋b＋c＝0，∴＋＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝c，b＝c，∴cos

A＝

＝＝，∴A＝.5．(2014·广东佛山二模，6)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是()

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】　D　方法一：由题意可得，＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，所以＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2)．

又∵A，B，C三点共线，∴∥，即(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又∵a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝4＋≥4＋4＝8，当且仅当＝时，取“＝”．故选D.方法二：kAB＝，kAC＝，∵A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，∴2a＋b＝1，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，∴＋的最小值是8.思路点拨：先由A，B，C三点共线，找出a，b的关系，然后把“1”代换，利用基本不等式求解．

6．(2015·河南开封月考，13)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则实数λ，μ的值分别是________．

【解析】　∵||＝2，∴||2＝1＋c2＝4，c>0，∴c＝.∵＝λ＋μ，∴(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，∴λ＝－1，μ＝.【答案】　－1，7．(2015·山西临汾模拟，15)如图，△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，则＋＝________．

【解析】　由＋＋＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D，则＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.【答案】　6

8．(2014·山西阳泉三模，14)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为________．

【解析】　设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC，所以＝3.【答案】　3

1．(2015·山东，4，易)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝()

A．－a2

B．－a2

C.a2

D.a2

【答案】　D　∵＝＋，且＝，∴·＝(＋)·＝·＋2＝||||cos

60°＋||2＝a2＋a2＝a2.故选D.2．(2015·重庆，6，易)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()

A.B.C.D．π

【答案】　A　设|b|＝x，〈a，b〉＝θ，则|a|＝x，a·b＝x2cos

θ.∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0，∴3a2＋2a·b－3a·b－2b2＝0，即3×x2－x2cos

θ－2x2＝0，∴cos

θ＝，∴cos

θ＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故选A.3．(2015·湖北，11，易)已知向量⊥，||＝3，则·＝________．

【解析】　·＝·(＋)

＝2＋·＝9.【答案】　9

1．(2014·重庆，4，易)已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()

A．－

B．0

C．3

D.【答案】　C　2a－3b＝(2k－3，－6)，由(2a－3b)⊥c，得4k－6－6＝0，解得k＝3.故选C.2．(2013·湖北，6，易)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()

A.B.C．－

D．－

【答案】　A　由＝(2，1)，＝(5，5)，得·＝15，||＝5.∵·＝||||cos

〈，〉，∴||cos

〈，〉＝＝＝.故选A.3．(2013·湖南，8，中)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()

A.－1

B.C.＋1

D.＋2

【答案】　C　建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，＝c＝(x，y)．

∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1，1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝＋1，故选C.4．(2012·广东，8，难)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝()

A.B．1

C.D.【答案】　C　根据题中给定的两个向量的新运算可知a∘b＝＝＝，b∘a＝，又由θ∈可得

θ<1，由|a|≥|b|>0可得0<≤1，于是0<<1，即b∘a∈(0，1)，又由于b∘a∈，所以＝，即|a|＝2|b|cos

θ.①

同理>，将①代入后得2cos2θ>，又由于a∘b∈，所以a∘b＝2cos2θ＝(n∈Z)，于是1<<2，故n＝3，∴cos

θ＝，|a|＝|b|，∴a∘b＝×＝，故选C.5．(2014·江西，14，中)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos

α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos

β＝________．

【解析】　a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8.∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9，∴|a|＝3.∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8，∴|b|＝2，∴cos

β＝＝＝.【答案】

6．(2012·安徽，14，中)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．

【解析】　由向量的数量积知－|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a|·|b|≥－a·b(当且仅当〈a，b〉＝π时等号成立)．

由|2a－b|≤3⇒4|a|2－4a·b＋|b|2≤9⇒9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b⇒a·b≥－(当且仅当2|a|＝|b|，〈a，b〉＝π时取等号)，∴a·b的最小值为－.【答案】　－

思路点拨：先由|2a－b|≤3找出a·b与|a|·|b|之间关系，再利用基本不等式及数量积的定义求最值．

7．(2014·安徽，15，难)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①S有5个不同的值；

②若a⊥b，则Smin与|a|无关；

③若a∥b，则Smin与|b|无关；

④若|b|＞4|a|，则Smin＞0；

⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为.【解析】　S有3种结果：

S1＝a2＋a2＋b2＋b2＋b2，S2＝a2＋a·b＋a·b＋b2＋b2，S3＝a·b＋a·b＋a·b＋a·b＋b2，故①错误．

∵S1－S2＝S2－S3＝a2＋b2－2a·b

≥a2＋b2－2|a||b|＝(|a|－|b|)2≥0，∴S中的最小值为S3.若a⊥b，则Smin＝S3＝b2，与|a|无关，故②正确．

若a∥b，则Smin＝S3＝4a·b＋b2，与|b|有关，故③错误．

若|b|>4|a|，则Smin＝S3＝4|a||b|cos

θ＋b2>－4|a||b|＋b2>－|b|2＋b2＝0，故④正确．

若|b|＝2|a|，则Smin＝S3＝8|a|2cos

θ＋4|a|2＝8|a|2，∴2cos

θ＝1，∴θ＝，故⑤错误．

【答案】　②④

考向1　平面向量的垂直与夹角

1．平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos

θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos

θ.规定：0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘积．

两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．

2．平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos

θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cos

θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则

(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.(3)cos

θ＝.(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．

(1)(2014·四川，7)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()

A．－2

B．－1

C．1

D．2

(2)(2014·天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝()

A.B.C.D.(3)(2013·山东，15)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

【解析】(1)c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.由两向量的夹角相等可得＝，即为＝，解得m＝2.(2)以，为基向量，则·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1.①

·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－.②

由①②可得λ＋μ＝.(3)∵⊥，∴·＝0，∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，∴(λ－1)||||·cos

120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.【答案】(1)D(2)C(3)

【点拨】　题(1)考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式，求解时先进行运算，最后代入坐标，使解题过程简洁；题(2)根据条件把，分别用，表示，然后根据向量数量积公式得方程组求解；解题(3)的方法是根据·＝0列出等量关系求出λ.平面向量数量积的应用

(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos

θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．

(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．

(1)(2011·课标全国，10)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p1：|a＋b|>1⇔θ∈

p2：|a＋b|>1⇔θ∈

p3：|a－b|>1⇔θ∈

p4：|a－b|>1⇔θ∈

其中的真命题是()

A．p1，p4

B．p1，p3

C．p2，p3

D．p2，p4

(2)(2014·湖北，11)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．

(1)【答案】　A　∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|>1，则(a＋b)2>1，∴a2＋2a·b＋b2>1，即a·b>－，∴cos

θ＝＝a·b>－，∴θ∈；

若|a－b|>1，同理求得a·b<，∴cos

θ＝a·b<，∴θ∈，∴p1，p4正确，故选A.(2)【解析】　∵a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，∴(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.【答案】　±3

考向2　平面向量的模及其应用

求平面向量的模的公式

(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；

(2)|a±b|＝＝；

(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.(1)(2014·课标Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()

A．1

B．2

C．3

D．5

(2)(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．

【解析】(1)由|a＋b|＝得a2＋b2＋2a·b＝10，①

由|a－b|＝得a2＋b2－2a·b＝6，②

①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1，故选A.(2)方法一：设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1可知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．

又＋＋＝(－1，0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝，问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．

∵圆心C(3，0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.方法二：设D(x，y)，则由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，从而可设x＝3＋cos

α，y＝sin

α，α∈R.而＋＋＝(x－1，y＋)，则|＋＋|＝

＝

＝＝，其中sin

φ＝，cos

φ＝.显然当sin(α＋φ)＝1时，|＋＋|有最大值＝＋1.方法三：＋＋＝＋＋＋，设a＝＋＋＝(2，)，则|a|＝，从而＋＋＝a＋，则|＋＋|＝|a＋|≤|a|＋||＝＋1，当a与同向时，|＋＋|有最大值＋1.【答案】(1)A(2)＋1

【点拨】　解题(1)时注意先求模的平方，再用加减运算求解；题(2)方法一利用几何意义将问题转化为几何问题；方法二采用换元法将问题转化为求三角函数的最值；方法三利用向量运算性质求解．

1.求向量的模的方法

(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．

(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．

2．求向量模的最值(范围)的方法

(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．

(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．

(2015·河南开封模拟，14)已知向量a与b垂直，|a|＝2，若使得(a－c)·(b－c)＝0的c的模的最大值为，则|b|＝________．

【解析】　因为(a－c)·(b－c)＝a·b＋c2－(a＋b)·c＝0且a与b垂直，所以c2＝(a＋b)·c，|c|＝|a＋b|cos

θ≤|a＋b|(θ为a＋b与c的夹角)，由题意知|a＋b|＝＝＝＝，得|b|＝1.【答案】　1

1．(2015·河北承德质检，4)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是()

A．a∥b

B．a⊥b

C．|a|＝|b|

D．a＋b＝a－b

【答案】　B　因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，所以a⊥b.故选B.2．(2015·浙江温州二模，5)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)2＝1，则a与b的夹角等于()

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

【答案】　C　设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|·cos

θ＝，且|a|＝1，所以|b|cos

θ＝.①

又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.②

由①②得cos

θ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故选C.3．(2015·河南驻马店质检，6)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为()

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

【答案】　C　因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故选C.4．(2015·上海嘉定模拟，15)已知i，j，k表示共面的三个单位向量，i⊥j，那么(i＋k)·(j＋k)的取值范围是()

A．[－3，3]

B．[－2，2]

C．[－1，＋1]

D．[1－，1＋]

【答案】　D　由i⊥j，得i·j＝0，又i，j为单位向量，∴|i＋j|＝＝，则(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k2

＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cosi＋j，k＋1

＝cosi＋j，k＋1，又∵－1≤cosi＋j，k≤1，∴(i＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－，1＋]．故选D.5．(2015·福建莆田一模，6)已知a，b，c均为单位向量，且|a＋b|＝1，则(a－b)·c的取值范围是()

A．[0，1]

B．[－1，1]

C．[－，]

D．[0，]

【答案】　C　由a，b为单位向量和|a＋b|＝1的几何意义，可知|a－b|＝，设a－b与c的夹角为θ，则(a－b)·c＝|a－b||c|·cos

θ，∵cos

θ∈[－1，1]，∴(a－b)·c的取值范围为[－，]．

6．(2014·湖南九校联考，9)对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sin

θ，其中θ为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是()

A．若a*b＝a*c，则b＝c

B．(a*b)c＝a(b*c)

C．a*b＝(－a)*b

D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c

【答案】　C　a，b，c为两两不共线向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为θ，b，c夹角为α，则(a*b)c＝|a||b|·sin

θ·c，a(b*c)＝|b||c|sin

α·a，故B不正确；a*b＝|a||b|sin

θ＝|－a||b|sin(π－θ)＝(－a)*b.故选C.7．(2015·山东淄博一模，14)若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，则b与a－b的夹角的取值范围是________．

【解析】　设＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，因为|a|＝|b|，所以四边形OACB是菱形，设∠BOC＝θ，则∠OBC＝π－2θ，在△OBC中，由正弦定理可得＝，化简得cos

θ＝，由λ∈得∈，所以θ∈，所以b，a－b＝θ＋∈.【答案】

8．(2014·江西南昌二模，12)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

①若a·b＝a·c，则b＝c；

②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；

③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

【解析】　命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命题②正确．由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题③错误．

【答案】　②

1．(2015·天津，14，中)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．

【解析】　如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，则AM＝BN＝，∴CD＝MN＝1.∴·＝(＋)·(＋＋)

＝2＋·＋·＋·＋·＋·

＝4－1－2－λ＋λ＋λ·

＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即λ＝时等号成立，此时·有最小值.【答案】

2．(2015·江苏，14，难)设向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则

(ak·ak＋1)的值为________．

【解析】　ak·ak＋1

＝·

＝coscosπ＋·

＝coscosπ＋sinsinπ＋sincosπ＋cossinπ＋coscosπ

＝cos＋sinπ＋coscosπ，(ak·ak＋1)＝12cos＋sinπ＋coscosπ

＝6＋0＋4

＝9.【答案】　9

3．(2015·浙江，15，难)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝.若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝______，y0＝________，|b|＝________．

【解析】　∵e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t)．

则由题意知b·e1＝m＋n＝2，b·e2＝m＝.解得n＝，m＝，∴b＝.∵b－(xe1＋ye2)

＝，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2.由题意，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，|b－(xe1＋ye2)|2取到最小值1.此时t2＝1，故|b|＝

＝＝2.【答案】　1　2　2

4．(2015·广东，16，12分，易)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin

x，cos

x)，x∈.(1)若m⊥n，求tan

x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

解：(1)∵m＝，n＝(sin

x，cos

x)，m⊥n，∴m·n＝sin

x－cos

x＝0，即sin

x＝cos

x，∴tan

x＝＝1.(2)由题意知，|m|＝＝1，|n|＝＝1，m·n＝sin

x－cos

x＝sin.而m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉

＝cos＝.∴sin＝，又∵x∈，x－∈，∴x－＝，∴x＝.1．(2012·湖南，7，中)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝()

A.B.C．2

D.【答案】　A　∵·＝·(－)＝·－2＝1，∴·＝5，即2×3cos

A＝5，∴cos

A＝.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos

A＝3，∴BC＝，故选A.思路点拨：先根据数量积求出角A的三角函数值，再由余弦定理求BC.2．(2012·江西，7，中)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝()

A．2

B．4

C．5

D．10

【答案】　D　方法一：以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系．设A(a，0)，B(0，b)，则D，P.从而|PA|2＋|PB|2＝＋＝(a2＋b2)＝10|PC|2，故＝10.方法二：因为－＝，且＋＝2，两式平方相加得22＋22＝2＋42＝42＋42＝202，故＝10.3．(2014·安徽，10，难)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos

θ＋bsin

θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则()

A．1＜r＜R＜3

B．1＜r＜3≤R

C．r≤1＜R＜3

D．1＜r＜3＜R

【答案】　A　由题意，可取a＝(1，0)，b＝(0，1)，则＝(，)，＝(cos

θ，sin

θ)，＝(－cos

θ，－sin

θ)，∴||2＝(－cos

θ)2＋(－sin

θ)2

＝5－2(cos

θ＋sin

θ)

＝5－4sin.∵0≤θ<2π，∴≤θ＋<，∴1≤||2≤9，即1≤||≤3.因为C∩Ω为两段分离的曲线，结合图象(如图)可知，1

A.B.C.D.【答案】　A　如图，＝－，＝－，∵·＝－，∴(－)·(－)＝－，·－·－·＋·＝－.又＝λ，＝(1－λ)，代入上式得

(1－λ)·λ－(1－λ)·－·λ＋·＝－.(*)

∵△ABC为等边三角形，且||＝||＝||＝2，∴·＝||·||·cos

60°＝2×2×＝2，||2＝4，||2＝4，代入(*)式得4λ2－4λ＋1＝0，即(2λ－1)2＝0，∴λ＝，故选A.5．(2014·江苏，12，易)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

【解析】　由题意，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝

·

＝2－·－2，代入数据得2＝25－·－×64，解得·＝22.【答案】　22

6．(2012·北京，13，中)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．

【解析】　①以D点为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．设E(x，1)，那么＝(x，1)，＝(0，1)，∴·＝1.②∵＝(1，0)，∴·＝x.∵正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故·的最大值为1.【答案】　1　1

7．(2012·上海，12，中)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．

【解析】　方法一：因为点M，N分别在边BC和CD上，可设＝＝k∈[0，1]，则·＝(＋)·(＋＋)

＝(＋k)·(＋＋k)

＝　2＋·＋k·＋k·＋k　2＋k2·＝4＋2×1×－4k＋2×1×k＋k－1×2×k2＝5－2k－k2＝－(k＋1)2＋6∈[2，5]，k∈[0，1]．

方法二：建立平面直角坐标系，如图．

则B(2，0)，C，D.令＝＝λ，则M，N.∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴·∈[2，5]．

【答案】　[2，5]

8．(2013·江苏，15，14分，易)已知a＝(cos

α，sin

α)，b＝(cos

β，sin

β)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

解：(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cos

α＋cos

β，sin

α＋sin

β)＝(0，1)，所以

由此得，cos

α＝cos(π－β)．

由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin

α＋sin

β＝1，得sin

α＝sin

β＝.又α>β，所以α＝，β＝.考向1　平面向量在平面几何中的应用

向量在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，常用公式：

cos

θ＝＝.(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

|a|＝＝或

|AB|＝||＝.(1)(2013·福建，7)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为()

A.B．2

C．5

D．10

(2)(2013·天津，12)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．

【解析】(1)·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝·||·||＝××2＝5，故选C.(2)方法一：由题意可知，＝＋，＝－＋.因为·＝1，所以(＋)·＝1，则2＋·－2＝1.①

因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||，因此①式可化为1＋||－||2＝1.解得||＝0(舍去)或，所以AB的长为.方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝.设|AB|＝m(m＞0)，则B(m，0)．

C，D.因为E是CD的中点，所以E.所以＝，＝.由·＝1，可得＋＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或.故AB的长为.【答案】(1)C(2)

【点拨】　解题(1)的关键是利用向量证明AC⊥BD；解题(2)的方法一是利用平面向量运算，将，用已知向量表示，然后求解；方法二是建立合适的平面直角坐标系，用坐标法求解，准确写出点的坐标是关键．

用向量解决平面几何问题的步骤

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

(2013·课标Ⅱ，13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．

【解析】　方法一：·

＝·(－)

＝2－2＝22－×22＝2.方法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0，0)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，＝(1，2)，＝(－2，2)，则·＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2.【答案】　2

考向2　平面向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．

(1)(2014·山东，12)在△ABC中，已知·＝tan

A，当A＝时，△ABC的面积为________．

(2)(2013·辽宁，17，12分)设向量a＝(sin

x，sin

x)，b＝(cos

x，sin

x)，x∈.①若|a|＝|b|，求x的值；

②设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

【解析】(1)在△ABC中，·＝||·|·cos

A＝tan

A，∴||·||＝＝＝.由三角形面积公式，得S＝|AB|·|AC|sin

A＝××＝.(2)①由|a|2＝(sin

x)2＋(sin

x)2＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，∴sin

x＝，∴x＝.②f(x)＝a·b＝sin

x·cos

x＋sin2x

＝sin

2x－cos

2x＋

＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.∴f(x)的最大值为.【点拨】　解题(1)的关键是利用向量知识求出||·||的值；解题(2)时注意角x的取值范围．

向量与三角函数综合问题的特点与解题思路

(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．

(2)对于三角函数求最值问题，大都有两种形式：一种是化成y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，另一种是化成y＝asin2x＋bsin

x＋c或y＝acos2x＋bcos

x＋c的形式．

(2015·安徽宣城模拟，17，12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1.(1)判断△ABC的形状；

(2)求边长c的值；

(3)若|＋|＝2，求△ABC的面积．

解：(1)由·＝·＝1，得bc·cos

A＝ac·cos

B，由正弦定理，即sin

Bcos

A＝sin

Acos

B，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，即△ABC是等腰三角形．

(2)由·＝1，得bc·cos

A＝1，又bc·＝1，则b2＋c2－a2＝2，又a＝b，∴c2＝2，即c＝.(3)由|＋|＝2，得2＋b2＋2＝8，∴b＝2，又c＝，∴cos

A＝，sin

A＝，∴S△ABC＝bc·sin

A＝×2××＝.1．(2015·安徽铜陵质检，6)已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是()

A．(－3，0)

B．(2，0)

C．(3，0)

D．(4，0)

【答案】　C　设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．

·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)

＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标是(3，0)．

2．(2015·湖北宜昌一模，6)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为()

A.B.C.D.【答案】　A　由题设，得3＋5＝－4，即9＋2×3×5·＋25＝16，∴cos∠AOC＝－，∴sin∠AOC＝，S△AOC＝×1×1×＝.3．(2015·辽宁大连质检，8)设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于()

A．0

B．2

C．4

D．－2

【答案】　D　由题意得c＝＝，S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°，||＝||＝2.所以·＝||

||cos

120°＝2×2×＝－2.4．(2014·湖南长沙二模，6)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝()

A．2

B.C．－

D.【答案】　D　以A为原点，AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图．

设B(xB，0)，D(0，1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB，1)，∵＝，∴xC－xB＝－xB⇒xC＝(1－)xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0，1)，·＝.5．(2014·河北石家庄一模，6)已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是()

A.B.C.D.【答案】　C　设BC的中点为M，则＝.又M为BC中点，∴＝(＋)，∴＝＝(＋)，∴||＝.又∵·＝－2，∠A＝120°，∴||||＝4.∴||＝

≥＝，当且仅当||＝||时取“＝”，∴||的最小值为，故选C.6．(2015·河南周口一模，14)已知点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，则·＝________．

【解析】　因为点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，所以·＝·(－)

＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉

＝||||×－||||×＝6.【答案】　6

7．(2015·山东临沂质检，14)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

【解析】　由余弦定理，得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos

B

＝(2)2＋22－2×2×2cos

30°＝4，∴AC＝2，∴AC＝BC＝2，∴∠CAB＝30°，∠DAC＝60°.AD＝1，∴AE∈[1，2]，∵＝＋μ，∴||2＝(＋μ)2

＝||2＋|μ|2

＝1＋(2)2μ2＝1＋12μ2，∴μ2＝，∵||∈[1，2]，∴μ2∈，∴μ∈.【答案】

8．(2015·山西太原一模，14)设G是△ABC的重心，且sin

A·＋3sin

B·＋3sin

C·＝0，则角B的大小为______________．

【解析】　∵sin

A·＋3sin

B·＋3sin

C·＝0，设三角形的边长顺次为a，b，c，由正弦定理得a·＋3b·＋3c·＝0，由点G为△ABC的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：

3＝＋，3＝＋，3＝＋，代入上式得：a(＋)＋3b(＋)＋3c(＋)＝0，又＝＋，上式可化为：

a(2＋)＋3b(＋)＋3c·(－＋2)＝0，即(2a－3b－3c)＋(－a－3b＋6c)＝0，则有

①－②得3a＝9c，即a∶c＝3∶1，设a＝3k，c＝k，代入①得b＝－k，∴cos

B＝＝＝，∴B＝.【答案】

9．(2014·江西五校联考，17，12分)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos

B＝bcos

C，求函数f(A)的取值范围．

解：m·n＝sincos＋cos2

＝sin＋×cos＋

＝sin＋.(1)∵m·n＝1，∴sin＝，cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cos

B＝bcos

C，由正弦定理得(2sin

A－sin

C)·cos

B＝sin

Bcos

C，∴2sin

Acos

B＝sin

Ccos

B＋sin

Bcos

C，∴2sin

Acos

B＝sin(B＋C)．

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin

A，且sin

A≠0，∴cos

B＝，B＝.∴0

一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)

1．(2015·湖南株洲质检，4)已知向量a＝(3，4)，b＝(sin

α，cos

α)，且a∥b，则tan

α＝()

A.B．－

C.D．－

【答案】　A　方法一：∵a∥b⇒a＝λb，则(3，4)＝λ(sin

α，cos

α)，∴即tan

α＝.方法二：∵a＝(3，4)，b＝(sin

α，cos

α)，且a∥b，∴3cos

α－4sin

α＝0，即tan

α＝＝.2．(2013·大纲全国，3)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()

A．－4

B．－3

C．－2

D．－1

【答案】　B　∵m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由题意知(m＋n)·(m－n)＝0，即－(2λ＋3)－3＝0，因此λ＝－3.故选B.3．(2015·浙江杭州二模，6)设A，B，C为直线l上不同的三点，O为直线l外一点．若p＋q＋r＝0(p，q，r∈R)，则p＋q＋r＝()

A．－1

B．0

C．1

D．3

【答案】　B　由已知得＝－－，而A，B，C三点共线，所以－＋＝1，所以p＋q＋r＝0.4．(2015·福建福州一模，6)如图，设向量＝(3，1)，＝(1，3)，若＝λ＋μ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是()

【答案】　D　设C(x，y)．∵＝λ＋μ＝λ(3，1)＋μ(1，3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，∴解得

∵λ≥μ≥1，∴故选D.5．(2015·黑龙江伊春质检，6)已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为()

A．1

B.C．2

D．3

【答案】　D　∵(a＋mb)⊥a，∴(a＋mb)·a＝0，∴|a|2＋m·|a|·|b|cos

120°＝0，即9＋m·3×2×＝0，∴m＝3.故选D.6．(2015·河南中原名校联考，4)已知不共线向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝1，则|a－b|＝()

A.B．2

C.D.【答案】　A　由a·(b－a)＝1得a·b－a2＝1，∴a·b＝5.∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×5＋9＝3，∴|a－b|＝.故选A.7．(2013·广东，10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；

③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μ

c.上述命题中的向量b，c和a在同一个平面内且两两不共线，则真命题的个数是()

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】　B　对于①，因为a与b给定，所以a－b一定存在，可表示为c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正确；对于②，因为b与c不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定满足，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④错，因此正确的有2个．故选B.8．(2015·山西晋中十校联考，6)已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为()

A．a

B．2a

C．3a

D．a2

【答案】　D　∵＝t，∴＝＋＝＋t(－)

＝(1－t)＋t＝(a－at，at)，∴·＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴0≤·≤a2.9．(2015·安徽安庆一模，6)已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的()

A．外心

B．内心

C．垂心

D．重心

【答案】　C　由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，∴·＝·，∴·＝0.∴O在边AB的高线上．

同理，O在边AC，BC的高线上，则O为△ABC的垂心．故选C.10．(2015·江西宜春一模，11)已知定义在区间(0，3)上的函数f(x)的图象如图所示，若a＝(f(x)，0)，b＝(cos

x，1)，则不等式a·b<0的解集是()

A．(0，1)

B．(0，1]

C．(0，1)∪

D．(0，1]∪

【答案】　C　∵(0，3)上的函数f(x)的图象如图所示，a＝(f(x)，0)，b＝(cos

x，1)

∴当x∈(0，1)时，f(x)<0，cos

x>0；

当x∈时，cos

x≥0，f(x)≥0；

当x∈时，f(x)>0，cos

x<0，∴a·b＝f(x)cos

x<0的解集是(0，1)∪.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

11．(2011·江苏，10)已知e1，e2

是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若

a·b＝0，则实数k的值为________．

【解析】　a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)

＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e

＝k＋(1－2k)cos－2＝0，解得k＝.【答案】

12．(2015·山东烟台质检，14)△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(3c－b，a－b)，n＝(3a＋3b，c)，m∥n，则cos

A＝________．

【解析】　∵m∥n，∴(3c－b)c＝(a－b)(3a＋3b)，即bc＝3(b2＋c2－a2)，∴＝，∴cos

A＝＝.【答案】

13．(2015·江西南昌一模，12)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(cos

α，sin

α)(α∈R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________．

【解析】　方法一：由ma＋nb＝c，可得

故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上，则点P(3，0)到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16.方法二：∵ma＋nb＝c，∴(m＋n，m－n)＝(cos

α，sin

α)(α∈R)．

∴m＋n＝cos

α，m－n＝sin

α.∴m＝sin，n＝cos.∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9

＝10－6sin.∵sin∈[－1，1]，∴(m－3)2＋n2的最大值为16.【答案】　16

14．(2012·江苏，9)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

【解析】　方法一：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，D(2，0)，E(，1)，设F(x，2)，∴＝(x，2)，＝(，0)，∴·＝x＝，∴x＝1，∴F(1，2)，∴·＝(，1)·(1－，2)＝.方法二：·＝||||cos∠BAF＝，∴||cos∠BAF＝1，即||＝1，∴||＝－1，·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·

＝·＋·

＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝.【答案】

三、解答题(共4小题，共50分)

15．(12分)(2015·山东德州一模，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos

B，－sin

B)，且m·n＝－.(1)求sin

A的值；

(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．

解：(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos

B－sin(A－B)sin

B＝－，所以cos

A＝－.因为0

A＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sin

B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得

(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，故向量在方向上的投影为

||cos

B＝ccos

B＝1×＝.16．(12分)(2014·广东惠州三模，18)在△ABC中，AB边上的中线CO＝2，若动点P满足＝sin2θ·＋cos2θ·(θ∈R)，求(＋)·的最小值．

解：因为＝sin2θ·＋cos2θ·，又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以C，P，O三点共线，且sin2θ，cos2θ∈[0，1]，所以点P在线段OC上，故(＋)·＝2·，设||＝t，t∈[0，2]，则(＋)·＝2t(2－t)×cos

180°

＝2t2－4t＝2(t－1)2－2，所以当t＝1时取最小值－2.17．(12分)(2015·重庆育才中学月考，17)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若m＝，n＝(－2，cos

2A＋1)，且m⊥n.(1)求角A的大小；

(2)当a＝2，且△ABC的面积S＝时，求边c的值和△ABC的面积．

解：(1)由于m⊥n，所以m·n＝－2sin2＋cos

2A＋1

＝1－2cos2＋2cos2A－1

＝2cos2A－cos

A－1

＝(2cos

A＋1)(cos

A－1)

＝0.所以cos

A＝－或cos

A＝1(舍去)，又A∈(0，π)，故A＝.(2)由S＝及余弦定理得

＝absin

C，整理得

tan

C＝.又C∈(0，π)，所以C＝.由(1)知A＝，故B＝C＝.又由正弦定理＝得c＝2，所以△ABC的面积S＝acsin

B＝.18．(14分)(2013·重庆二模，20)如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S.(1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；

(2)设点B的坐标为，∠AOB＝α，在(1)的条件下求cos(α＋θ0)．

解：(1)由题意知A，P的坐标分别为(1，0)，(cos

θ，sin

θ)．

∵＝＋＝(1，0)＋(cos

θ，sin

θ)＝(1＋cos

θ，sin

θ)，∴·＝(1，0)·(1＋cos

θ，sin

θ)

＝1＋cos

θ.由题意可知S＝sin

θ.∴·＋S＝sin

θ＋cos

θ＋1

＝sin＋1(0<θ<π)．

∴·＋S的最大值是＋1，此时θ0＝.(2)∵B，∠AOB＝α，∴cos

α＝－，sin

α＝.∴cos(α＋θ0)＝cos

＝cos

αcos－sin

αsin