定积分中不等式的证明

定积分中不等式的证明（共10篇）

1.定积分中不等式的证明 篇一

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摘要

在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．

关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

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ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．

Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem，Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty

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1.引

言

不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．

实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．

本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．

在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．

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2.几个重要的积分不等式

在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．

2.1 Cauchy-Schwarz不等式

无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间,F,P中的以及n维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．

定理2.1[1] 设f(x), g(x)在[a,b]上连续,则有

[f(x)g(x)dx]2{[f(x)]2dx} {[g(x)]2dx}．

aaabbb证明：要证明原不等式成立,我们只需要证



设Ftt2abaf2xdxat2bbgxdxfxgxdx0成立． a 222tfxdxgxdxfxgxdx,则只要证FbFa成立，aa由Ft在[a,b]上连续,在a,b内可导,得

Ftf2tg2xdxg2tf2xdx2ftgtfxgxdxaaa2222ftgx2ftgtfxgxgtfxdx atttt

ftgxgtfxdx0．

(2.1)a由(2.1)式可知Ft在[a,b]上递增,由ba,知FbFa,故原不等式成立．

证毕

实际上关于Cauchy-Schwarz不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz不等式能够改写成以下行列式的形式 t2 4 南通大学毕业论文

fxfxdxgxfxdx0，aabbbafxgxdxgxgxdxab由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出

CauchySchwarz不等式的推广形式．

定理2.2[2] 设fx,gx,hx在a,b上可积,则

hxfxdxfxgxdxgxgxdxhxgxdx0． fxhxdxgxhxdxhxhxdxaaabbbaaabbbaaabfxfxdxbgxfxdxb 证明：对任意的实数t1,t2,t3,有

bat1fxt2gxt3hxdx

bbbaaa2t12f2xdxt22g2xdxt32h2xdxbbaa

ba2t1t2fxgxdx2t1t3fxhxdx2t2t3gxhxdx0． 注意到关于t1,t2,t3的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为

babbaf2xdxbagxfxdxabhxb2fxdx

xfxhfaxgxdxdxbab2agxdxbaxhag0x．d x证毕 xdxgxhxdxh以上的推广是将Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．

除了Cauchy-Schwarz不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young不等式,相较于Cauchy-Schwarz不等式我们对Young不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young不等式进行一些研究．

2.2 Young不等式

Young不等式,以及和它相关的Minkowski不等式,HÖlder不等式,这些都是在现代分

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析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young不等式的证明．

定理2.3[3] 设f(x)在[0,c]（c0）上连续且严格递增,若f(0)0,a[0,c]且b[0,f(c)],则0f(x)dx0f1(x)dxab,其中f1是f的反函数,当且仅当bf(a)时等号成立．

证明：引辅助函数g(a)abf(x)dx，(2.2)

0aab把b0看作参变量,由于g(a)bf(a),且f严格递增,于是

当 0af1(b)时,g(a)0；当 af1(b)时,g(a)0；当 af1(b)时,g(a)0． 因此 当af1(b)时,g(a)取到g的最大值,即

gamaxgxgf1b

(2.3)

由分部积分得

f1(b)f1(b)0g(f(b))bf(b)作代换yf(x),上面积分变为

11f(x)dx0xdf(x)，g(f1(b))f1(y)dy，(2.4)

0b将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得

abf(x)dxf(y)dyf1(x)dx，000ab1b即f(x)dxf1(x)dxab． 证毕

00ab 6 南通大学毕业论文

3.定积分不等式常见的证明方法

关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．

3.1 利用函数的凹凸性

在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．

定理3.1 若t定义在间隔m,M内,且t0,则t必为下凸函数．

定理3.2 设fx在[a,b]上为可积分函数,而mf(x)M．又设t在间隔mtM内为连续的下凸函数,则有不等式

1b1bfxdxfxdx． aabababb例3.1[4] 设fx在a,b上连续,且fx0,求证：fxdxaa12dxba． fx证明: 取u112, 因为u20,u30,u0 uuu即在u0时,yu为凸函数,故有

1b1bfxdxfxdx，aabababa即fxdxabba1dxbbfx12dxba．

证毕，故fxdxaafxba在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．

3.2 辅助函数法

辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明

南通大学毕业论文 的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．

例3.2.1[5] 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减,证明：对a(0,1)时, 有： fxdxaf(x)dx．

00a11x证明：令Fxf(t)dt 0x1,由fx连续,得Fx可导

x0则Fxfxxftdt0xx2 fxxfxfxf ,(0x)． 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf, 从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意a(0,1),有F(a)F(1)． 即

a111af(x)dxafxdx． 证毕 a,两边同乘即得f(x)dxfxdx,0000a本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间(0,1)上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减非负,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有: fxdx0aabf(x)dx． ab证明：令FxFx1xf(t)dt,0x1,由fx连续,得Fx可导, 则 x0x0fxxftdtx2 fxxfxfxf ,(0x)． 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf,从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意0ab1,有F(a)F(b),即

1a1b ftdtftdt．

(3.1)

a0b0由f非负,可得fxdxfxdx．

(3.2)0abb结合(3.1)式和(3.2)式可得 即a1a1bfxdxfxdx． a0ba0abfxdxfxdx．

证毕

babbaa例3.2.3[6] 函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0 试证：f(x)dx 8

1dx(ba)2． f(x)南通大学毕业论文

在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．

证明: 构造辅助函数xftdtaxxadt2xa, 则 ft xfxxaxdt1ftdt2xaftafx

xaxftxfxdtdt2dt

afxaftxfxft2dt0, aftfx

所以x是单调递增的,即ba0,故fxdxabba12dxba． 证毕 fxabbxfxdxfxdx．

2a例3.2.4 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：[7]

ba证明: 原不等式即为xfxdx则Fttft1t2a1taftf , a,t．

2abbfxdx0,构造辅助函数 aa2tattFtxfxdxfxdx ,ta,b，a2atat1fxdxfttaftfxdxa 2 2b因为at,fx单调增加,所以Ft0．故Ft在a,b上单调递增,且Fa0, 所以对x(a,b],有FxFa0．当xb时,Fb0．即

baxfxdxabbfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过以上几道题目的观察我们可以发现：

1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．

2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．

3.3 利用重要积分不等式

在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．

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例3.3.1[8] 函数fx在0,1上一阶可导,f1f00, 试证明：10112fxdxfxdx．

402证明：由fxftdtf0和fxftdtf10x1x

可得

f2xx0ftdt2xx1112dtf2tdtxf2xdx,(x0,), 0002111112dtf2tdt(1x)f2xdx,(x,1)． xx02 f2xxftdt12因此 f2xdx 120112fxdx，(3.3)0811

2(3.4)fxdx．8010

112f2xdx将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到f2xdx[2]

112fxdx．

证毕 40b例3.3.2 设fx,gx在a,b上可积且满足：0mfxM,gxdx0，a则以下两个积分不等式

bafxgxdx2b2f2xdxg2xdxm2bag2xdx及

aaabbb bafxgxdx2MmMmbaaf2xdxg2xdx成立．

ab证明：取hx1,由gxdx0及定理2.2知

babaf2xdxfxgxdxfxdxbagxfxdxfxdx0 gxdxaab2abb0bab bafab2xdxagxdxafxdxagxdxbaafxgxdx22bb2b0．

2因此

 bafxgxdx2baf2xdxab1gxdxba2bafxdxgxdx．

(3.5)

2b2a 10 南通大学毕业论文

由mfx可知 bafxdx2b22m2ba，bb2因而bafxgxdxafxdxagxdxmbaag2xdx．

22MmMm由于0mfxM,因此fx．

22化简得f2xMmMmfx, 两边同时积分得 f2xdxMmbaMmfxdx, aabb22由算数-几何平均值不等式可知

于是2baf2xdxMmbaf2xdxMmba，abbaabf2xdxbafxdx2Mm4Mm2．

1则ba bafxdxgxdxba2b2abfxdxba2af2xdxbaf2xdxag2xdx

b2Mma4Mmb

(3.6)f2xdxg2xdx．

ab由式(3.5)和式(3.6)可知

bafxgxdx2MmMm2baf2xdxg2xdx．

证毕

ab以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz不等式颇为有用,但要注意选取适当的fx与gx,有时还需对积分进行适当的变形．

3.4 利用积分中值定理

积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．

定理3.3（积分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上可积且mf(x)M,则存在 11 南通大学毕业论文

u[m,M]使f(x)dxu(ba)成立.特别地,当f(x)在[a,b]上连续,则存在c[a,b],使abbaf(x)dxf(c)(ba)成立．

定理3.4（积分第一中值定理的推广）若函数fx,gx在区间a,b上可积,fx连续,gx在a,b上不变号,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立

fxgxdxfgxdx．

aabb定理3.5（积分第二中值定理的推广）若函数fx,gx在区间a,b上可积,且fx为单调函数,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立 fxgxdxfagxdxfbgxdx．

aabb例3.4.1 设函数fx在区间0,1上连续单调递减,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有fxdx0aabf(x)dx,其中fx0． ab对于这道题目我们在3.2.2中给出了其利用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．

证明：由积分中值定理知

0afxdxf1a, 10,a； fxdxf2ba,2a,b；

ab因为12,且fx递减,所以有f1f2, 1a1b1bfxdxfxdxfxdx, 0aaababaab故 fxdxfxdx． 证毕

0ba即

例3.4.2 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：baabbxfxdxfxdx．

2a同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．

证法一

bababab2证明: xxfxdxxfxdxabfxdx． aa2222bab 12 南通大学毕业论文

abab由定理3.4可知,分别存在1a，,b, 222使得 ab2aabab2xfxdxfx1adx, 22abbabab abxfxdxfx2abdx, 2222 babab因此xfxdxa28b2ff,由于fx在0,1单调增加的,且

210121,所以有 f2f10．

ab从而xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2b证法二

证明:由定理3.5可知：存在a,b，bababab使得 xfaxdxfbxfxdxdx aa222b fafbab．

由fx单调增加及a,b知fafb0,a0,b0．

bab可得xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．

3.5 利用积分的性质

关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．

例3.5.1[9] 设fx在0,1上导数连续,试证：x0,1，13 南通大学毕业论文

有 fxfxfxdx． 0证明：由条件知fx在0,1上连续,则必有最小值, 1即存在x00,1,fx0fx, 由ftdtfxfx0fxfx0ftdt, x0x0xx fxfx0ftdtfx0x0xxx0ftdtfx0ftdt

0101 fx0dt0110ftdtftdt01ftftftdtdt 0

1fxfxdx.故原不等式成立, 证毕

013.6 利用泰勒公式

在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．

定理3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor公式)设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n1阶连续导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一点,使得：

f(x0)fn(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)

(1)

2!n!f(n1)()其中Rn(x)(xx0)n1（在x与x0之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公(n1)!式．

例3.6.1[10] 设fx在a,b上有二阶连续导数,fafb0,Mmaxfx，xa,b试证明:fxdxabba123M．

证明：对xa,b,由泰勒公式得

f

fafxfbfxf1xax21xbx2faxa,x, , 2fbxx,b, , 2ab122, 两式相加得 fxfxxfaxfbx24 14 南通大学毕业论文

两边积分得 fxdxabbaab1b22dx, fxxdxfaxfbxa24bbbabab其中 fxxdxxdfxfxdx, aaa22于是有 fxdx故 ba1b22dx, faxfbxaa8Mb22dxMba3． 证毕 fxdxaxbx8a12b例3.6.2[6] 设fx在a,b上有二阶导数,且fx0，ab求证 fxdxbaf． a2b证明：将fx在x0ab处作泰勒展开得到 22ab1abababab, fxffxfxx,．

222222

ababab因为fx0,所以可以得到 fxffx，222babababb对不等式两边同时积分得到 fxdxfbafxadx． a222bab因为xdx0, 所以有afxdxbaa2babf． 证毕

2通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点xo,并写出fx在这个点xo处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．

3.7 利用重积分

在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．

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3.7.1 直接增元法

命题一[11]：若在区间[a,b]上f(x)g(x),则f(x)dxg(x)dx．

aa

bb例3.7.1[11] 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足：

xaf(t)dtg(t)dt,x[a,b],af(t)dtag(t)dt,证明：axf(x)dxaxg(x)dx．

axbbbb证明：由题得f(t)dtg(t)dt, aaxx从而可以得到dxf(t)dtdxg(t)dt,即dx[f(t)g(t)]dt0．

aaaaaabxbxbx左式dx[f(t)g(t)]dt [f(t)g(t)]dxdt(其中D{(x,t)|axb,atx})aaDbx dt[f(t)g(t)]dx (bt)[f(t)g(t)]dt

atabbb b[f(t)dtg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt]0．

aaaaaabbbbaaaabbbbbb则 tf(t)dttg(t)dt0 , 即xf(x)dxxg(x)dx． 证毕

在本题中我们将一元积分不等式f(x)dxg(x)dx的两边同时增加一个积分变量

aaxxbadx，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法.3.7.2 转换法

在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分

命题二[11] 若f(x)在[a,b]上可积,g(y)在[c,d]上可积,则二元函数f(x)g(y)在平面区域D{(x,y)|axb,cyd}上可积,且

Df(x)g(y)dxdyf(x)dxg(y)dyf(x)dxg(x)dx．

acacbdbd其中D{(x,y)|axb,cyd}

例3.7.2[11] 设p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的连续函数,在[a,b]上,p(x)0,f(x),g(x)为单调递增函数,试证：

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babap(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx．

aaabbbaaabbb

证明：由p(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx可知：

babap(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx0，aaabbaabbb令Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx, ab下证I0；

Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx

aaaabbbb

同理

p(x)dxp(y)f(y)g(y)dyp(x)f(x)dxp(y)g(y)dy

aaaabbbbbabbabp(x)p(y)f(y)g(y)dxdybabap(x)f(x)p(y)gydxdy

aap(x)p(y)g(y)[f(y)f(x)]dxdy．

(3.7)bbbIp(x)dxaabab(p)x(f)x(g)xdxab(p)x(f)xdx()pxgxdx

a

p(y)dybbap()xf()xg()xdxab(p)y(f)ydy(p)xgxdxab p(y)p(x)g(x)[f(x)f(y)]dxdy．

(3.8)aa

(3.7)(3.8)得

2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy, 因为f(x),g(x)同为单调增函数,所以[g(y)g(x)][f(y)f(x)]0 又因为p(x)0,p(y)0,故 2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy0,即I0．

证毕

2.将常数转换为重积分的形式

在例3.7.2中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例3.7.3中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数f(x,y)k,则可得到kdk(ba)2,其中D{(x,y)|axb,ayb}．

D例3.7.3函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0试证：f(x)dx

abba1dx(ba)2． f(x)本题与前面的例3.1以及例3.2.3是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题． 证明：原题即为 f(x)dxabba1dyd, f(y)D 17 南通大学毕业论文

移项可得(Df(x)1)d0, f(y)2(Df(x)f(x)f(y)1)d(1)d(1)d0, f(y)f(y)f(x)DDf(x)f(y)f(x)f(y)2)d0,因为f(x)0,f(y)0,所以20． f(y)f(x)f(y)f(x)所以即为证(D故 (Dbbf(x)f(y)12)d0 恒成立,即f(x)dxdx(ba)2成立, 证毕

aaf(x)f(y)f(x)通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．

3.8 利用微分中值定理

微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．

例3.8.1[12] 设fa0,fx在区间a,b上的导数连续,证明：

2baa1bfxdx1maxfx． x2a,b证明：应用Lagrange中值定理,a,x,其中axb,使得

fxfafxa, 因为fa0, 所以fxMxa, Mmaxfx，xa,b从a到b积分得

a bfxdxMbaM2bxadxMxadxx2

aa2bM1122bamaxfxba．即222babafxdx1maxfx.证毕 x2a,b 18 南通大学毕业论文

例3.8.2[13] 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00试证：

fxdxf121003xdx．

证明：令Fxx0ftdt,Gxf3tdt，02xFx,Gx在0,1上满足柯西中值定理,则

fxdx10210f03xdxF1F0FG1G0G02fftdt0f32ftdt0f2 01

2ftdtftdtf2f0202f11 , 01．

2fff所以 10fxdx2f2xdx．

证毕

01通过以上两道题目可以发现：

1.在应用Lagrange中值定理时先要找出符合条件的函数fx,并确定fx在使用该定理的区间a,b,对fx在区间a,b上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange中值定理．

2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy中值定理的两个函数fx,gx,并确定它们应用柯西中值定理的区间a,b,然后在对fx,gx在区间a,b上运用Cauchy中值定理．

无论是Cauchy中值定理还是Lagrange中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．

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4．总

结

我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．

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参考文献

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2.定积分中不等式的证明 篇二

1、利用单调性证明不等式

利用函数单调性来证明不等式时, 往往要引入适当的辅助函数将不等式问题转化成比较两个函数值的大小, 若要比较两个函数值大小, 只要将不等式两边的式子相减或相除就可以得到所需的辅助函数;另外不能忘了端点值。当遇到一阶求导无法判断符号时可用二阶导数来判断函数的符号。

2、利用微分中值定理证明不等式

中值定理特别是拉格郎日中值定理和柯西中值定理在不等式的证明中有着极其重要作用。通过对不等式结构的分析。构造某特定区间的函数, 满足定理的条件, 达到证明的目的。

要点:根据题目给定的不等式, 选定一个适当的辅助函数和区间;当函数在区间上满足中值定理的条件, 利用中值公式;利用得到的公式结合条件, 对公式进行适当变化, 得到所证不等式。

3、利用泰勒公式证明不等式

利用泰勒中值定理证明不等式 (尤其是某些含抽象函数的不等式) 比较困难, 无从人手, 思维受阻。探究其原因:一是泰勒中值定理的内容本身难理解;二是用此法证明不等式对泰勒公式中展开点。的选取很有讲究, 需要因势而变。然而, 利用泰勒中值定理证明某些含抽象函数的不等式, 其优势是其他方法无可替代的。那么能否找到一个有效的方法和技巧来掌握泰勒公式中展开点x0的选取呢?

要点:当条件或不等式中出现高阶导数时, 就可考虑用泰勒公式来证明。选区问中点展开是较常见的一种情况, 然后在泰勒公式中取x为适当的值, 通过两式相加, 并对某些项进行放缩, 便可将多余的项去掉而得所要的不等式;当条件中出现, 而欲证式中出现时, 展开点常选为区间两端点a, b, 然后在泰勒公式中取x为适当的值, 消去多余的项, 可得待证的不等式。

4、利用求最值的方法证明不等式

要点:当给定的不等式是具体的函数, 且又给出自变量的变化范围, 欲证明它大于或小于等于某个定数, 这时往往用最值证明比较简单。利用最值证明的思路是:若函数f (x) 在区间上有最大值M与最小值m, 则在区间上有m≤f (x) ≤M, 由此获得不等式。

5、利用凸函数的定义证明不等式

函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态, 把握函数在区间上的整体性态, 不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象, 而且有助于对函数的定性分析。凸函数是一类重要的函数, 在不等式的研究中尤为重要, 而研究不等式最终归结为研究函数的特性。

对于凹函数有对偶结论, 只要将函数值的不等式反向即可。利用函数的凹凸性可以证明一些不等式, 特别是含有两个或两个以上变元的,

6、利用单调极限证明不等式

7、利用变限积分证明不等式

8、利用几个著名的不等式证明不等式

要点:利用Cauchy不等式、Schwarz不等式、H·lder不等式、Minkowski不等式、Young不等式及平均值不等式等。

9、利用定积分的定义证明不等式

利用定积分证明了一些特殊的“和式不等式”。定积分的实际背景之一是求曲边梯形的面积, 根据“和式不等式”的特征巧妙构造函数, 将和式转化为小矩形面积之和, 进而与所构造函数的定积分比较, 得到不等式, 对不等式的证明起到了事半功倍的作用。

要点:主要是利用定积分的定义, 通过将闭区间[a, b]分割、求和并求当时和的极限, 比较积分大小则可通过比较和的极限来实现。

以上我们讨论了利用微积分的知识证明不等式的一些常用方法, 除了上述方法外, 在微积分中还可以利用积分的知识、辅助函数、导数的定义、极限的保序性、柯西不等式、上凹函数积分法等方法证明不等式, 解题时只要充分地展开想象, 打开思路, 选择晗当的证明方法, 问题便可迎刃而解。

摘要：不等式证明是数学学习中的一个难点。在不等式的许多证法中, 往往需要较高的技巧。利用微积分的思想证明不等式, 可使不等式的证明过程大大简化, 技巧性降低。本文主要探讨的是运用微积分的知识证明不等式的基本方法。

关键词：不等式,证明,中值定理,泰勒公式

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学 (六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京:高等教育出版社, 2001

[3]复旦大学数学系.数学分析[M], 2版.北京:高等教育出版社, 1983

3.定积分证明题方法总结 篇三

关键词:积分方法  第一类换元法第二类换元法  分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。

1 直接积分法

直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。

一、原函数与不定积分的概念

定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF

f(x)

(x)f(x)dx

,则称F(x)为f(x)的一个原函数

定义2.函数

f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为:

f(x)dxF(x)C

f(x)叫做被积函数  f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数

“

其中

”叫做积分号

二、不定积分的性质和基本积分公式

性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即

f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即

f(x)dxf(x)C,

或df(x)f(x)C

性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即

kf(x)dxkf(x)dx

(k0).

性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

基本积分公式

(1)kdxkxC(k为常数)

(2)xdx

1

1

x

1

C

(1)

1

(3)xlnxC

x

(4)exdxexC

(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)

11x

11x

2

(5)a

x

dx

a

x

lna

C

(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC

(11)

cscxcotxdxcscxC

(13)cscxdxlncscxcotxC (15)

1x

2

2

xarctanxC

xarcsinxC

xarcsinxC

三、换元积分法和分部积分法

定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有

f[(x)](x)dxF(u)C

凑微分

f[(x)]d(x)

令u(x)

f(u)du

代回u(x)

F((x))C

该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F

(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函

(t)，则

xt换元

fxdx

fttdt

积分

FtC

t

1

x

回代

1

FxC.

4.4函数思想在不等式证明中的应用 篇四

函数思想在不等式问题中有着广泛的应用，在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者经过适当的变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质，将不等式问题转化为函数问题，从而拓宽解题思路，降低问题的难度。‘构造函数法’是一种创造性的数学思想方法，它的应用不仅体现在证明不等式上，还对于训练学生的数学思维，提高解题能力等方面有着很大的帮助。

一 构造一次函数

例1 已知x、y、z0,1,求证x1yy1zz1x

1分析因为x、y、z在不等式中的地位可以轮换，所以可以以任何一个作为自变量，构造一次函数

证明：原不等式可化为1yzx1yz10

构造函数fx1yzx1yz1x0,1

因此只需要证明fx0在x0,1时恒成立，又∵y、z0,1所以（1）当1yz0时，fx1y z10

（2）当1yz0时，f01yz1 0

f1yz0

又因为一次函数的单调性，所以fx0在x0,1时恒成立

综上，fx0在x0,1时恒成立，故原不等式得证。

二构造二次函数

例2设函数fxax2bxca0，方程fxx0两根x1,x2满足0x1x21，当xx1,x2时，求证 x1fxx2a

分析分析已知条件，构造相应的二次函数

证明：令Fxfxx由x1,x2为方程fxx0的两根，所以Fxaxx1xx2当xx1,x2时，由0x1x2

又x1fxx1xFxx1xax1xxx2

=x1x1axx2 1 a

∵0x1xx21x1x0,1ax2ax0 a

得x1fx0 即x1f(x)①

又∵x2fxx2xFxx2xax1xxx2

=x2x1axx1

∵0x1xx21x2x0,1ax1ax0a

得x2fx0②由①②得x1fxx

2三构造指（对）数型函数

例3已知实数x2，求证6x8x10 x

分析利用指数函数的单调性证明 34证明：原不等式可化为155

34构造函数fx因它是减函数，且f21 55

又x2，则fxf21 xxxx

34即1，故原不等式成立 55

b、c为互不相等的正数，求证a2ab2bc2cabcbaccab 例4设a、xx

分析利用对数函数的单调性证明

证明：构造对数函数fxlgx，fxlgx在0,上是增函数

因为ab与lgalgb同号，a所以(ab)(lg

b同理有(bc)(lg

c(ca)(lglbg)lcg)lag)

将上面三个同向不等式相加，左边展开并加以整理得

blgb2alga22clcgalbgcblgac cab

a2ab2bc2cabcbaccab所以原题得证

四构造三角函数

1x23例4

求证 21x2分析利用三角函数的有界性解决问题 1x2证明：令xtan,,

则cos22sin 21x22=12sin22sin 1331=2(sin)2当sin即时取等号

22226

5.定积分中不等式的证明 篇五

***

（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）

摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分 曲线积分 二重积分

英文部分

引言：

微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、定积分

1(12333n3);4nn1、1利用定积分求极限：lim

解：lim1333(123n)nn4

112n=lim()3()3()3 nnnnn

i1=lim()3 nni1nn

设f(x)x3，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取xi1i,i为区间nn

i1ixi1,xi,的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数f(x)x3在区间[0,1]nn

上的一个积分的极限，从而有

111411333lim4(12n)xdxx.0nn40

4回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).1则BC的方程为：x+20y-50=0.即y=5-x.10

由于在相同深度处水的静压力相同gx,故当x很小时，闸门上从深度x到x+x 这一狭条A上受的静压力为

1x)xxgdx.10

20202011pdp2(5x)xxgdx(10x2x3)dx 000105

=14373.33(kN).1、3 设有半径为r的半圆形导线，均匀带点电荷密度为，在圆心处有一单位E电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取所对应的一段导线，电荷电量为drd.，它圆心处电荷E在垂直方向上的引力为

srsinksFksin rr2pdp2yxdxxg2(5

则导线与电荷作用力为

0ksin2k rr

回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：

⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。

⑵定积分存在的两个条件：

①积分区间有限;②被积函数有界

⑶对于定积分f(x)可积，则加上绝对值也一定可积，若其绝对值可积，但去掉绝对值却不一定可积.2、曲线积分2、1第一型曲线积分2、1、1证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),t[,]上连续,则存在点((x0,y0)L使得f(x,y)dsf(x0,y0)L l

其中L为L的弧长 证明：因为f(x,y)dsf(x(t),y(t))x(t)2y(t)2dt l

记F(t)f(x(t),y(t)),G(t)x(t)2y(t)2

由已知条件知F(t)在,上连续,G(t)在,上连续且非负（不变号），则根据推广的定积分第一中值定理知，存在t0,,对应点(x0,y0)(x(t0),y(t0)), 使f(x,y)dsf(x(t0),y(t0))lx(t)2y(t)2dtf(x0,y0)L

回顾分析:运用推广的定积分第一中值定理是证明此题的关键.2、2第二型曲线积分

2.2.1求y2dxz2dyx2dz，其中，L是维维安尼曲线x2y2z2a2，L

x2y2ax(z0,a0)若从轴正向看去，L是沿逆时针方向进行的.解：选择好参数方程确定好积分区域正是解此题的关键.将 x2y2z2a2表示为 2a2，x2y2ax

表示为r2ax 或 rax

令 xacos2 则 yasincos,zacos2asin，于是L:xacos2,yasincos,zacos2



2

2,所以

Ly2dxz2dyx2dz



2[a2sin2cos2(2acossin)a2(1cos2)a(cos22

sin)acosacossin(1cos)]d

224212

2a32(sin2cos2sin4)d0

3351a3[(,)(,)]2222



4a

3通过以上实例分析可知，曲线积分有着较为广泛和重要的作用.因此对于曲线积分，我们应注意以下几点：

⑴第一型曲线积分：第一型曲线积分上限、一定要大于积分下限； ⑵第二型曲线积分：

①曲线和有方向，方向改变后第二型曲线积分二值就要反向，即变号；

②第二型曲线积分的计算，在化为定积分时，积分上限可以小于积分下限，起点即为下限，终点即为上限.⑶曲线积分是定积分的推广.⑷对ds,即表示L的弧长，即f(x,y)=1.l

3.二重积分3、1计算(xy)2d，其中D0,10,1.，D

解：应用定理即：设f(x,y)在矩形区域Da,bc,d.上可积，且对每个xa,b积分d

cf(x,y)dy存在，则累次积分

bdbadxf(x,y)dy也存在，且cdf(x,y)ddxDacf(x,y)dy 有f(x,y)ddx(xy)2dx

D00117 6

回顾分析：对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集D{(x,y)y1(x)yy2(x),axb}为x型区域

称平面点集D{(x,y)x1(y)xx2(y),cyd}为y型区域.3、2关于x型区域的实例3、2、1计算二重积分d，其中D为由直线y=2x,x=2y及x+y=3所围的三角

D

形区域.解：把D看作x型区域时，相应的2x,0x1x ,y1(x), y2(x)23x,1x2

dxdddxxdydxxdy DD1D2021212x23x

12xx(2x)dx(3x)dx0122

333x23xx241240123、2、2关于x,y混合型区域的实例

求由坐标平面x=2,y=3,x+y+z=4所围二角柱体的体积.解：

Vzdxdy(4xy)dxdy

DD

dx(4xy)dydx0011324x0(4xy)dy

55

6回顾分析：

对于二重积分应注意以下几点：

⑴ 二重积分化为累次积分，积分上限一定要大于积分下限.⑵ 二重积分的许多性质与定积分的几乎完全相同.⑶ n(n2)重积分的计算都是转化为定积分的计算.⑷ 掌握型区域和型区域的二重积分的计算是计算一般平面上二重积分的基础.⑸ 解决了x型区域或y型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.参考文献：

【1】 华东师范大学数学系编.数学分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001

6.利用定积分的定义求极限 篇六

ab

ban

n

n



k1

f(a

ban

k)



ba

f(x)dx

例15求极限

n

（1）lim

n



k1n

nn4k

nn4k

解：lim

n



k1

lim

1n

n

n



k1

114()

n

k





114x

dx

actan2x

|0

actan2

n

（2）lim

n



k1n

nx2kn

解：lim

n



k1nx2kn

lim

n

k

[x2()]nk1n

n



(x2t)dtx1

（3）lim

1n

n

n(n1)(n2)(2n1)

n1

解：因为

1n

k0

ln(1n)

n

k

n(n1)(n2)(2n1)e

由于lim

1n

n

n



k1

ln(1

kn)



ln(1x)dx2ln21ln

4e

故lim

1n

n

n

n(n1)(n2)(2n1)e

ln

4e



7.定积分概念说课稿 篇七

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节课选自二十一世纪普通高等教育系列教材《高等数学》第三章第二节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在水力学、电工学、采油等其他学科中的应用。定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。

2、教学目标

根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为：

（1）知识目标：掌握定积分的概念，几何意义和性质

（2）能力目标：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，培养逻辑思维能力和进行知识迁移的能力，培养创新能力。

（3）思想目标：激发学习热情，强化参与意识，培养严谨的学习态度。

3、教学重点和难点

教学重点：定积分的概念和思想

教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想

二、学情分析

一般来说，学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，综合教材内容，我以板书教学为主，多媒体课件为辅，把概念性较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探究性学习。

三、教法和学法

1、教法方面

以讲授为主：案例教学法（引入概念）问题驱动法（加深理解）练习法（巩固知识）

直观性教学法（变抽象为具体）

2、学法方面：

板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点）

（1）发现法解决第一个案例

（2）模仿法解决第二个案例

（3）归纳法总结出概念（4）练习法巩固加深理解

四、教学程序

1、组织教学

2、导入新课：

我们前面刚刚学习了不定积分的一些基本知识，我们知道不定积分的概念、几何意义和性质，今天我们要学习定积分的概念、几何意义和性质。

3、讲授新课（分为三个时段）

第一时段讲授

概念：

案例1：曲边梯形的面积如何求？

首先用多媒体演示一个曲边梯形，然后提出问题

（1）什么是曲边梯形？

（2）有关历史：简单介绍割圆术及微积分背景

（3）探究：提出几个问题（注意启发与探究）

a、能否直接求出面积的准确值？

b、用什么图形的面积来代替曲边梯形的面积呢？三角形、矩形、梯形？采用一个矩形的面积来近似与二个矩形的面积来近似，一般来说哪个值更接近？二个矩形与三个相比呢？……探究阶段、概念引入阶段、创设情境、抛砖引玉

（4）猜想:让学生大胆设想，使用什么方法，可使误差越来越小，直到为零？

（5）论证：多媒体图像演示，直观形象模拟,让学生逐步观察到求出面积的方法.（6）教师讲解分析:“分割成块、近似代替、积累求和、无穷累加”的微积分思想方法。思解阶段、概念探索阶段、启发探究、引人入胜

（7）总结: 总结出求该平面图形面积的极限式公式

案例2.如何求变速直线运动物体的路程？

（1）提问: 通过类似方法解决，注意启发引导。

（2）归纳：用数学表达式表示。

案例1和案例2的共同点：特殊的和式极限，并写出模型。

方法：化整为零细划分,不变代变得微分, 积零为整微分和,无限累加得积分。

归结阶段、提炼概念阶段、类比探究、数学建模

（1）定义: 写出定积分的概念。

（2）疑问:不同的分割方法，不同的矩形的高度计算，对曲边梯形的面积有何影响？

（3）定义说明

（4）简单应用

曲边梯形面积 直线运动路程

定义阶段、抓本质建立概念、深化概念

例

1、根据定积分的几何意义，求20sinxdx例

2、比较20xdx与20sinxdx的积分值的大小分析并解题解题示范、巩固理解概念阶段

练习1 定义计算 dxex10练习2 将由曲线及直线y=0,x=0,x=1围成的平面图形的面积用定积分表示。学生练习，教师点评练习、训练巩固阶段意义：意义应用概念阶段、概念具体化1.几何意义分f(x)>0, f(x)<0和f(x)符号不定三种情况。利用图形直观即可得出（关键要说明代数和的含义及原因）。2.范例(1)将几个平面图形的面积用定积分表示(题目略)。(2)利用几何意义求定积分20)32(dxx的值。第二时段指导练习题

4、归纳总结: 总结：梳理知识、巩固重点（1）、回顾四个步骤：①分割②近似③求和④取极限（2）、回顾定积分作为和式极限的概念（3）、加深概念理解的几个注意点（4）、几何意义 第三时段测验

8.概率统计定积分近似计算实验报告 篇八

日期：2013 年 5 月 15 日 班级

学号

姓名

实验名称 定积分的近似计算

问题的背景和目的：

加深对大数定律的理解，学会用 o Monte Carlo 方法近似计算定积分的值． 掌握利用随机投点法和平均值法近似计算定积分的方法． ：

实验内容：

（随机投点法）

估计定积分11011xeJ dxe．(当 0 1 x   时，10()11xef xe  ).随机投点法的具体步骤为：

(1)独立地产生 2n 个服从(0，1)上均匀分布的随机数，1 2 1 2, , ,;, , ,n nx x x y y y ；(2)统计()i iy f x  的次数 k ；(3)用kn来估计1J ．

（平均值法）

估计定积分1101.1xeJ dxe(当 0 1 x   时，10()11xef xe  ).平均值法的具体步骤为：

(1)独立地产生 n 个服从(0,1)区间上的均匀分布的随机数1 2, , ,nx x x ；(2)计算()if x ；(3)用11()niif xn来估计1J ．（4）自己从《数学分析》教材中找一个“积不出来”的定积分，利用上述方法近似计算积分。

实验所用软件及版本：

Excel 2003 实验过程：

实验结果总结：

9.数列不等式的证明 篇九

罗红波洪湖二中高三

（九）班周二第三节（11月13日）

数列和式不等式的证明经常在试卷压轴题中出现，在思维能力和方法上要求很高，难度很大，往往让人束手无策，其实，这类不等式的证明，是有一定的规律的，利用S1

n

a1q

来证明也能事半功倍，下面用几个例子来简述数列和式不等式的证明

S1

n

a1q

常用策略。

一、基础演练：

1、等比数列{an}，公比为q，则{an}的前n项和Sn为（）

na1(q1A．)

an

a1(1q)1(1qn)a

1q(q1)B.na1C.1qD.11q2、正项等比数列{an}，公比为q，0q1，{an}的前n项和Sn，以下说法正确的是（）A．S1n

a11qB.Sa11qC.Saa

nn1qD.Sn11q3、正项数列{a}，{a的前n项和Sa

nn}n，要证明S1n1q，其中0q1，可以去证明（）A．

an1qB.an1aqC.an1qD.a

n1aq nnanan

二、典例精讲：

例

1、等比数列{a1

n}，a11,q2，{an}的前n项和Sn，求证：Sn2

变式

1、正项等比数列{an}，{a1n}的前n项和Sn，a11,Sn2恒成立，求证：0q

2例

2、已知数列{an}，an1

2n

1，{an}的前n项和S5n，求证：Sn2(Sn3?)

aann变式

2、数列{n1n}，a3232n1，a11，{a3

n1n}的前n项和Sn，求证：Sn n

2例

3、（09四川理22）数列{an}的前n项和Sn，对任意正整数n，都有a4an

n5Sn1成立，记bn1a(nN).n

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)记c

nb2nb2n1(nN)，{c3

n}的前n项和Tn，求证：Tn

2变式

3、已知a1n

2，求证Sn(1)a1(1)2a2(1)nan1

(2)n

3三、小结

四、课后作业：

1、等比数列{a1

n}，a12,q

3，{an}的前n项和Sn，求证：Sn3

2、已知数列{an}，an

14n2，{an}的前n项和Sn，求证：S2

n

10.不等式的证明(一) 篇十

一、教学目标：掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。

特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

二、教学重点：作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。

三、教学过程：

（一）主要知识：

1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：

①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证

a0。b说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。

2.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。

a2b2ab2ab基本不等式：(1)若a0,b0,则 当且仅当a=b时取

1122ab等号。

(2)a,bR,(3)a,b同号，a2b22abab2ba当且仅当ab时取等号

当且仅当ab时取等号

3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

（二）例题分析：

例

1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a 证明：p= a2+b2+1-ab-a=[(a2abb)(a2a1)b1]=[(ab)(a1)b1] 显然p>0

∴得证

[思维点拔] 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”.通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断 12222212222a22b22例

2、设a0,b0,求证()()a2b2.ba1111【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。【证法一】左边-右边=(a)3(b)3ab(ab)

=(ab)(aabb)ab(ab)ab(ab)(a2abb)ab =

=

(ab)(ab)2ab0 ∴原不等式成立。

【证法二】左边>0，右边>0。左边(ab)(aabb)(aabb)2abab 1∴原不等式成立。右边ab(ab)abab[思维点拔] 用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。

anbncn例

3、已知a,b,c为正数n,是正整数,且f(n)=lg,求证2f(n)≤f(2n)

3证2f(n)=

2：anbncnanbncn2a2nb2nc2n2anbn2bncn2ancnlglg()lg

339f(2n)= nnlg2na2nb2nc2n3,由基本不等式知,2abab2n,2cnbnc2nb2n,2ancna2nc2n

三式相加得

[思维点拔] 利用某些已经证明过的不等式作为基础,分析求证式子间的特点证明 例

4、设x>0,y>0且x≠y,求证xy3133x1332y2122

证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明xy只需x3y33xy122

x222y

2即2x3y33x2y2x2y2

3只需2xyxy

由条件,显然成立.∴原不等式成立

[思维点拔] 分析法证明不等式是“执果索因”, 要注意书写的格式 练习:.若a、b、c是不全相等的正数，2求证：lgabcbaclglglgalgblgc 222abcbab0，cb0，【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。【证法一】（综合法）：a,b,cR，22ac2ac0

又∵a、b、c是不全相等的正数，∴有

ab2cb2ac2abc。∴lg(ab2cb2ac2)lgabc 即lgabcbac2lg2lg2lgalgblgc【证法二】（分析法）要证lgab2lgcb2lgac2lgalgblgc 即证lg(ab2cbacabcbac22)lgabc成立。只需证222abc成立。∵abcb2ab0，2cb0，ac2ac0。ab2cb2ac2abc0（*）又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立。∴原不等式成立。

例

5、已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n

(I)证明niAim＜miAin；

门)证明(1+m)n>(1+n)m．

(I)证明:对于1im,有Aimm(mi1),Aimmm1mimmmi1m,同理pinnn1ni1ninnn,4分由于mn,对整数k1,2,,i1,有nknmkm,所以AiinAmiinimi,即miAnniAm6分 ∴(II)证明:由二项式定理有i(1m)miCn,ni0mi(1n)niCm,mi0n8分ii由(I)知miAnniAm(1imn),iiAmAni而C,Cn10分i!i!ii所以miCnniCm(1imn).imi因此mCniCm.iini2i20011i又m0Cnn0Cm,mCnnCmmn,miCn0(min).imCniCm.iini0i0mmmm即(1m)n(1n)m.（三）巩固练习：

12分

1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则 A．adbc 2

adbc

2（）

adbc 2B．

adbc 2C．D．2．综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的 A．必要条件

B．充分条件

C．充要条件

（）

D．必要或充分条件

ab2abab3．在a0，b0的条件下，①，②2ab2b2a2a2b2ab，③ab2其中正确的个数是

（）

A．0

B．1 C．2 D．3 4．下列函数中最小值是2的是

（）A．yx1

C．2x22

B．ysincsc, D．yx0,yxx2x21

（）5．设mn,xm4m3n,yn3mn4，则x，y的大小是

A．x>y

B．x=y

C．x

（）6．已知a、b、m是正实数，则不等式A．当a< b时成立

B．当a> b时成立 C．是否成立与m有关D．一定成立

（）17．函数yx(x0)有

xA．最大值是2 B．最小值是2 C．最大值是－2 D．最小值是2 8．如果a、b为不相等的非零实数，那么ab的值是

（）

baC．小于等于2

D．大于2或小于2

ab9．在ABC中，a,b,c分别是C,B,C所对应的边，则的取值范围是（）C90，cA．（1,2）

B．(1,2)

C．(1,2]

D．[1,2] A．大于2

10．设x0,y0,且x2y24,xy4(xy)10,则的最值情况是 A．有最大值2，最小值2(22)B．有最大值2，最小值0 C．有最大值10，最小值2(22)2

D．最值不存在

（）B．小于2或大于2 参考答案

ABCDA ACBCA

四、小结：

不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法 比较法：①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证

a0 b综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件 分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程