柯西积分定理的一个简单证明

柯西积分定理的一个简单证明（共3篇）（共3篇）

1.柯西积分定理的一个简单证明 篇一

几种简单证明勾股定理的方法

——拼图法、定理法 江苏省泗阳县李口中学沈正中

据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数学

图的神奇和妙趣吧！

一、拼图法证明（举例12种）

拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图2拼法。

问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？

图

22分析图2：S正方形=（a+b）= c2 + 4×ab

2化简可得：a2+b2 = c2

拼法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像左

图那样拼成两个正方形。

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即

a2+b2+4×ab = c2+4×ab整理得a2+b2 = c2 2

2拼法三：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图3拼法。

问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a2+b2=c2吗？

图

3图

4分析图3：S正方形= c2 =（a-b）2+ 4×ab 2化简可得：a2+b2 = c

2观察图

2、图3与图4的关系，并用一句话表示你的观点。

图4为图2与图3面积之和。拼法四：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图5拼法。

背景：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛

顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就

B

E

图

C

是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德（Garfield）．他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在谈论着什么．由于好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小

孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

问题： 图5就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？你能用两种方法表示图5的面积吗？

伽菲尔德总统是这样分析的： S梯形ABCD=(a+b)2

2S梯形ABCD=S△ABE+ S△ECD+ S△AED=ab+ab+c2 222则有：(a+b)2=ab+ab+c22222化简可得：a2+b2 = c2

比较图5与图2，你有什么发现？ 图5面积为图2之半。

拼法五：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），拼成图6，得边长分别为a、b、c正方形。

问题：观察图6，你能发现边长分别为a、b、c的正方形吗？你能通验证到：a2+b2 = c2吗？

图

6分析：其实，图6可以转化为下面两图： 图a的面积可表示为：a2+b2+2×ab2图b的面积可表示为：c2+2×ab 2比较a、b两图，你发现了什么？

图

a

图b

a2+b2+2×ab = c+2×ab

2化简可得：a2+b2 = c2

D

拼法六：设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD划分成左图所示的几个部

分，则该正方形ABCD的面

积为（a＋b）＝a2＋b2＋2ab；

再把正方形ABCD划分成右

图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为（a＋b）＝c2+4×ab

2由两正方形面积相等得a2＋b2＋2ab＝c2+4×ab整理得a2+b2 = c2 2

拼法七：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成图7。

问题：你能把图7转化为图c吗？通过位置变换，你发现了什么？你能发现边长分别为a、b、c的正方

图7

图c

形吗？能否验证到：a2+b2 = c2呢？ 分析：图7的面积可表示为：c2+4×ab

2图c的面积可表示为：a2+b2+4×ab 2比较图c、图7，你发现了什么？

a2+b2+4×ab = c2+4×ab化简可得：a2+b2 = c2 2

2拼法八、九、十、十一、十二：制作一个五巧

板，如图8。

方法：先作一个直角三角形，直角边为a、b，斜边为c，以斜边为边长向内作正方形，并把正方形按图中实线分割为五个部分，这就是一个五巧板。

问题：运用五巧板，拼出图d、图e、图f、图

图8

a2+b2 = c2呢？你还有其它的拼法吗？

图d

图e

g，并仔细观察、比较，你发现了什么？能否验证到：

图g

图f

二、定理法证明（举例3种）

利用切割线定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a.因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线.由切割线定理，得

AC2=AE·AD＝(AB＋BE)(AB－BD)＝（c＋a）（c－a）＝c2－a2从而可得a2+b2 = c

2利用托勒密定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据托勒密定理，圆内

接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

AB·DC＝AD·BC＋AC·BD从而可得a2+b2 = c2

利用射影定理证明

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.根据射影定理，得

AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA

即AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝AB（AD＋BD）＝AB2从而得a2+b2 = c

2品味各种拼图，方法各异，妙趣横生，证明思路别具匠心，极富创新。它们充分运用了几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，深刻体现了形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特魅力。

2.柯西积分定理的一个简单证明 篇二

1. 柯西中值定理的内容

如果函数f (x) 及g (x) 满足:

(1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间 (a, b) 内可导;

(3) 对任一x∈ (a, b) , g′ (x) ≠0, 那么在 (a, b) 内至少有一点ξ, 使等式成立.

g (b) -g (a) g′ (ξ)

2. 柯西中值定理的证明

柯西中值定理证明方法的探讨与研究历来是一个引人注目的问题.一般常见的证明方法是构造辅助函数再根据罗尔定理加以证明.下面将给出关于这一定理的几种证明方法.

2.1 利用罗尔中值定理证明柯西中值定理

首先给出罗尔中值定理的内容如下:

如果函数f (x) 满足 (i) 在闭区间[a, b]上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 内可导; (iii) 如果f (a) =f (b) , 那么在区间 (a, b) 内至少存在一点ξ (a<ξ

由罗尔中值定理知:存在ξ∈ (a, b) , 使得F′ (ξ) =0.

即命题得证.

2.2 利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理

试证用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理.

证明由题可设, 任意的x∈ (a, b) , g′ (x) 存在且g′ (x) ≠0, 因此函数g (x) 严格单调, 不妨设g (x) , 在闭区间[a, b]上单调递增.令t=g (x) , 则t是闭区间[a, b]上的单调连续函数.记g (a) =A, g (b) =B.由反函数存在性定理和反函数倒数存在定理知, 存在单调递增且连续的反函数y=g-1 (t) , t∈[A, B]由f (x) 在[a, b]上连续可知, 在连续的复合函数y=f (g-1 (t) ) =h (t) , 根据方程求导公式有:故h′ (x) 在x∈[a, b]上连续, 即t∈[A, B]内存在.从而h (t) 在[A, B]上满足拉格朗日中值定理的条件, 因此至少存在一点t=g (ξ) ∈[A, B], 使得

又因为:

所以结合上面的式子我们可以得出:这样命题就得证.

2.3 用反向分析法证明柯西中值定理

反向分析法是从定理的理论出发, 进行一系列的反向思维分析, 寻找结论与条件之间的有机联系, 探索各种可能的证明途径和有效方法.

证明假设在开区间 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得等式成立, 依据等式的性质, 将这个等式改写为:

将 (1) 式看作某个导函数的值为0, 则就有

由此, 可以做一个辅助函数:通过检验, 可以发现, 函数Q (x) 符合罗尔中值定理的所有条件, 即Q (x) 在闭区间[a, b]上是连续的, 在开区间 (a, b) 内是可导的, 且Q (a) =Q (b) , 因此, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈[a, b], 使得Q′ (ξ) =0.所以等式成立, 且满足柯西中值定理的条件, 则柯西中值定理得证.

2.4 利用定积分法证明柯西中值定理

在高等数学教材中, 虽然微分中值定理和积分中值定理是相互独立的, 但它们之间也存在着必然的内在联系.下面我们就利用积分定理来证明.

考查函数φ (x) =[f (b) -f (a) ]f (x) -g (x) [g (b) -g (a) ], 由函数f (x) , g (x) 满足在闭区间[a, b]上连续可导的条件, 并且g (b) ≠g (a) , 以及f′ (x) , g′ (x) 不同时为0的条件.可知函数φ (x) 满足连续可积的条件, 并且φ′ (x) 也满足在闭区间[a, b]上连续, 且的值不受影响, 则可用牛顿-莱布尼茨公式可知又可以由积分中值定理得:

因为φ (b) =φ (a) , 所以φ′ (ξ) (b-a) =0.又因为a≠b, 所以有φ′ (ξ) =0, 这样就可以得到[f (b) -f (a) ]f′ (ξ) -g′ (ξ) [g (b) -g (a) ]=0, 这样我们的柯西中值定理就得证.

3.试论积分第一中值定理 篇三

试论积分第一中值定理

以微积分基本定理为桥梁,利用实变函数论中的一些重要结果与函数逼近论中的Weierstrass第一定理及其Bernstein证明,在条件减弱的`情形下,获得了比通常的积分第一中值定理更强的结论,且试图揭示积分第一中值定理与微分中值定理间深刻的联系.

作 者：陈奕俊 CHEN Yi-jun 作者单位：华南师范大学数学科学学院,广东广州,510631刊 名：华南师范大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SOUTH CHINA NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：“”(3)分类号：O172关键词：微积分基本定理 微分中值定理 积分第一中值定理 Weierstrass第一定理