高等数学下复习纲要

高等数学下复习纲要（精选4篇）

1.高等数学下复习纲要 篇一

福 建 教 育 学 院

学前教育专业《学前儿童数学教育》

复习提 纲

第一章 学前儿童数学教育概述 教学目的：

1、了解数学的起源、特点和作用。

2、明确学前儿童数学教育对儿童发展的意义和价值。

作业思考题

一、填空题

1、儿童对数的意义的理解存在着从（）到（）的发展过程。

2、数学知识具有（）、（）、（）和（）的特点。

3、数学教育促进学前儿童的（）、（）发展。12-13

4、数学教育能培养儿童的（）、（）、（）和（）

二、简答题

1、简述数学及数学知识特点。

2、为什么要对学前儿童进行数学教育？

第二章 学前儿童数学教育的理论与原则

教学目的：

1.理解学前儿童思维发展的规律与特点。2.掌握学前儿童学习数学的心理特点。3.理解学前儿童数学教育的基本观点。4.掌握学前儿童数学教育原则的基本要求。教学重点：

1.学前儿童学习数学的心理特点。2.学前儿童数学教育原则的基本要求。

作业思考题

一、填空题

1．（）、（）和（）是数学中普通存在的逻辑关系。

2．学前儿童学习数学的心理特点有（）、（）、（）、（）、（）和（）。

3． 学前儿童数学教育的原则有（）、（）、（）、（）和（）4．（）是儿童理解数序所必需的逻辑观念。5.（）是学前儿童数学概念形成的源泉。6．（）是促进儿童发展的重要因素。7． 儿童通过（）主动建构数学概念。

二、是非题（下面命题是否有错，如有错请予以订正）

1.在1岁半左右，儿童经常性地表现出一种重要的能力，即“表象性功能”。（）

2.儿童的一一对应观念形成于中班中期（4岁半以后）。（）

三、名词解释 1.思维的逻辑性

2.“发展儿童思维结构”的原则

四、简答题

1．简述学前儿童学习数学的心理特点。2．简述学前儿童数学教育的基本原则。

第三章 学前儿童数学教育的目标与内容

教学目的：

1.理解学前儿童数学教育目标的意义。2.掌握制定学前儿童数学教育活动的目标。3.理解学前儿童数学教育内容。

教学重点：制定学前儿童数学教育活动的目标。

作业思考题

一、填空题

1.学前儿童数学教育目标和内容制定的依据主要有（）、（）、和（）。

2.学前儿童数学教育目标的层次一般包括以下三个层次：（）、（）、（）。3.（）、（）和（）这三个方面是数学思维的主要成分。

4.（）是幼儿数学教育内容中起着发展思维作用的核心因素。学前儿童数学教育活动的内容应具有（）、（）和（）

5.现有学前儿童数学教育内容中蕴含着以下12种主要数量关系：（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）

二、是非题（下面命题是否有错，如有错请予以订正）

1.学前儿童数学教育三个层次教育目标的转化是逐级抽象概括的过程。（）

2.小班要求能手口一致地从左到右点数5以内的实物。（）

3.中班要求认识10以内的数字，理解数字的含义。（）4.大班要求学习10以内数的分解和组成。（）

5.小班要求初步理解早上、晚上、白天、黑夜的含义。（）

6.中班要求初步理解昨天、今天、明天的含义。（）7.数学关系反映了数学知识间的内在联系及其规律性。（）

三、名词解释

数学教育活动（包括教学活动）目标

分类 排序 对应 计数 几何图形 量 计量 空间 时间

四、简答题

1．学前儿童数学教育目标和内容的依据有哪些？

2．学前儿童数学教育目标有哪些层次及各个层次之间的关系如何？ 3.学前儿童数学教育总目标从哪些方面提出？ 4.学前儿童数学教育的内容包括哪些方面？

5.在学前儿童数学教育中，为什么要重视引导幼儿感知和体验其中的数量关系？

第四章 学前儿童数学教育活动

教学目的：

1.理解学前儿童数学教育活动的意义。2.理解学前儿童数学教学的价值。

3.掌握学前儿童数学教学活动的组织形式及教学方法。4.掌握学前儿童数学教学活动的设计要求。

5.掌握日常生活和活动区角数学活动的价值。教学重点：

1.能运用各种教学组织形式和方法开展学前儿童的数学教学活动。2.学前儿童数学教学活动的设计要求设计数学活动。教学难点：评价日常生活和活动区角数学活动

作业思考题

一、填空题

1.学前儿童数学教学活动一般都采用（）的形式进行。2.学前儿童数学教学活动过程就是（）的过程。

3.学前儿童数学教学方法一般可分：（）、（）和（）。

4.（）是幼儿学习数学的基本方法。

5.目前在幼儿园数学教学实践中，教学的组织形式一般有以下三种：（）、（）及（）。

6.数学教育活动设计包括了两方面的内容：一是（）二是（）。

7.在数学教育活动中中，（）是教育活动的基本部分。

8.每一个数学操作活动都由以下6个要素所组成：即（）、（）、（）、（）、（）和（）。

9.幼儿操作材料的活动方式一般有三种方式：即（）、（）、（）。

10.数学教学活动设计一般包括：（）、（）、（）、（）这几部分，有时还包括（）和（）等部分。

11.活动过程一般分以下三个部分：（）、（）和 6（）。

12.在数学教学活动中，常见的目标表述方式有两种：（）和（）作为行为主体。

二、名词解释 1.教学

2.学前儿童数学教学活动 3.操作法 4.演示法 5.游戏法 6.观察法 7.比较法 8.重叠比较 9.并放比较 10.集体活动形式 11.小组活动形式

12.集体与小组相结合的活动形式 13.数学操作活动的设计 14.规则 15.活动目标

16.日常生活和活动区角中的数学活动

三、简答题

1．学前儿童数学教学活动具有哪些特点？ 2．学前儿童数学教学常见的教学方法有哪些？

3．幼儿园的数学教学一般采用哪几种组织形式？这些形式各具有什么特点？

4.学前儿童数学操作活动的设计应考虑哪些要素？

第五章 学前儿童感知集合的发展与教育

二、填空题

1、对（）的笼统感知是幼儿数概念发展的起始。

2、（）概念的发展是幼儿数概念形成和发展的感性基础。

3、婴幼儿数概念的发生是从（）开始，然后发展到（），再发展到（）。

4、幼儿从口头数数到按物点数要经历一个从（）到（）的过程。

5、集合与集合中的元素就是（）与（）的关系。

6、儿童对集合的（）的感知和理解，为幼儿数概念的形成和建立作了准备。

7、集合与集合元素的（）关系有助于儿童感知和体验两集合间的数量关系。

8、（）是计数的前提，是形成数概念的基础。

9、幼儿要将一组物体进行分类，需要经过（）和（）这两个步骤。

三、是非题（下面命题是否有错，如有错请予以订正）

1、儿童数概念的发生始于数数（）

2、婴幼儿数概念的发生是从认数开始，然后发展到辨数，再由辨数发展到点数。（）

3、幼儿从口头数数到按物点数要经历一个从口手不一致到一致的过程。（）

4、集合与集合中元素的对应关系，有助于儿童感知和体验两集合间的数量关系。（）5、2—3岁儿童已能感知集合的界限，对集合中元素的感知也逐渐精确。（）

6、集合是计数的前提，是形成数概念的基础。（）7、2—3岁左右儿童已产生了对集合的笼统知觉。（）8、4—5岁儿童已能够准确地感知集合及其元素，能通过计数比较两个集合元素的多少。（）

三、名词解释

1、集合

2、分类

3、按物体数量分类

4、按物体两个特征分类

5、多角度分类

6、层次分类

四、问答题

1、学前儿童感知集合对其数学学习有何意义？

2、简述分类活动教育意义。

3、如何帮助幼儿比较物体数量关系？

4、按多角度分类活动的特点，为中班设计一个教育活动。

5、如何帮助幼儿区分1和许多？

6、简述分类教育的指导要点。

第六章 学前儿童数概念与运算能力的发展与教育

教学目的：

1.掌握数与运算的基本知识

2.了解学前儿童数概念以及运算能力发展的一般过程和特点，并能根据发展特点掌握各年龄段儿童在数概念和运算能力方面的教学目标要求、教学方法形式等。

教学重点：数组成的教育。

教学难点：数概念发展的特点和教育教学形式。

作业思考题

二、填空题

1．数的组成包括（）和（）两个方面。

2．幼儿计数能力的发展一般要经过（）、（）、（）和（）四个发展阶段。

3．3—7岁数概念的发展大体上分成（）、9（）、（）三个阶段。

4．数的组成实质上是数群和子群之间存在着（）、（）、（）的反映。5．（）是理解加减运算的基础。

6．幼儿组成概念的掌握也是从（）向（）发展的。

7．数的组成中，两个部分数之间存在着（），即一个部分数减1时，另一个部分数加1，而总数不变。

三、判断题

1．计数的过程就是把要数的那个集合的元素与自然数列建立起一一对应的关系。（）

2．5岁以后大多数幼儿能基本掌握数的守恒。（）

3．儿童数概念的发展，不仅有一定的连续性，而且表现出一定的阶段性。（）

4．3—7岁数概念的发展大体上分成三个阶段。（）

5．小班儿童会手口一致地点数5以内的实物，并能说出总数。（）6．中班儿童不受物体大小、形状和排列形式的影响，正确判断10以内物体的数量。（）

7．中班儿童认识10以内相邻数，并知道相邻3个数之间的数差关系。（）

8.一般来说，5—6岁阶段是儿童数概念发展的转折点。（）

三、名词解释

1、数序

2、数的守恒

3、数的组成

4、口头数数

5、按物计数

6、按数取物

四、简答题

1、简述学前儿童加减运算概念发展的三种水平。2.简述学前儿童计数能力的发展顺序。3.简述学前儿童数概念发展经历的几个阶段。4.简述学前儿童10以内基数教育的指导要点。5.简述学前儿童10以内序数教育的指导要点。6.数的组成教育对幼儿发展有何教育意义？ 7.请设计1-2个认识5以内数的组成的教育活动。

第七章 学前儿童10以内加减运算概念的发展与教育

教学目的：

1.了解学前儿童数加减的一般过程和特点 2.掌握用数的组成学习加减的方法 3.理解加减的含义

4.认识加号、减号和等号及其含义

作业

二、填空题

1.幼儿加减运算概念的发展，总的来说是（）从到（），从（）到（）这两方面进行考察的。

2.学前儿童加减运算概念发展的三种水平分别是：（）、（）和（）。3.（）是学前儿童掌握加减运算的工具和基础。

二、是非题（下面命题是否有错，如有错请予以订正）

1.大班儿童加减运算遇到困难时，还会伸出手指进行逐一计数，老师要禁止。11（）

2.幼儿在学习加减运算时理解与掌握应用题比算式题容易。（）3.教师可引导幼儿用描述和模仿的方法，学习自编应用题。（）

三、名词解释 1.动作水平加减 2.表象水平加减 3.概念水平加减

四、简答题

1.简述学前儿童加减运算概念发展的三种水平。2.简述幼儿加减运算能力的发展过程和特点。

3.幼儿在解答和自编加减应用题时，表现出哪些特点？针对这些特点，教师在进行教育应注意哪些问题？

4.请设计引导幼儿口述应用题的教学过程。5.请设计幼儿学习3以内加法（减法）的教学过程。

第八章 学前儿童几何形体概念的发展与教育

教学目的：

1.掌握学前儿童认识几何形体概念的发展特点。2.掌握学前儿童认识几何形体教育的要求和指导要点。教学重点：

1.学前儿童认识几何形体概念的发展特点。2.学前儿童认识几何形体教育的要求和指导要点。

作业

一、填空题

1.学前期的几何形体认识包括（）和（）认识两部分。

2.数学是由两个概念所构成，一个是（），一个是（）。3.学前儿童认识几何形状不仅需要（）的感知，还需要通过（）的动作进行感知。

4.认识平面图形的难易顺序是：（）、（）、（）、（）、5.半圆形、椭圆形和梯形等。

6.认识立体图形的难易顺序是：（）、（）、（）、（）

7.幼儿通过对图形的（）和（）活动来认识图形之间的关系。8.教师在引导幼儿认识几何形体时，应让幼儿运用（）、（）、（）感知形体的特征。

二、是非题（下面命题是否有错，如有错请予以订正）

1.幼儿对图形认识的难易顺序，主要是与幼儿的生活经验及教育训练有关。（）

2.小班要求认识图形、正方形、三角形，正确说出图形的名称。（）3.中班要求认识长方形、椭圆形、梯形，正确说出图形的名称。（）4.中班要求认识正方体、长方体、球体、圆柱体，正确说出图形的名称。（）

三、名词解释 1.几何形体 2.拼图 3.图形分割活动

四、简答题

1.简述学前儿童认识几何形体的一般特点。

2.简述学前儿童认识几何形体的难易顺序。

3.小、中、大三班认识几何形体的教育要求和内容有哪些？ 4.如何引导幼儿感知和体验平面图形之间的关系？ 5.简述学前儿童几何形体的指导要点。

第九章 学前儿童量的概念的发展和教育

教学目的：

1.理解学前儿童思维发展的规律与特点。2.掌握学前儿童学习数学的心理特点。3.理解学前儿童数学教育的基本观点。4.掌握学前儿童数学教育原则的基本要求。教学重点：

1.学前儿童学习数学的心理特点。2.学前儿童数学教育原则的基本要求。

作业

一、填空题

1.量可以分为（）和（）两种。

2.儿童对各种量的排序能力反映了从（）到（）的认识过程的发展规律。

3.学前儿童有（）、（）和（）三种排序活动。

4.物体的高矮、大小、轻重、厚薄等连续量，都具有（）和（）。

二、是非题（下面命题是否有错，如有错请予以订正）1.测量能力的发展比数概念要晚些。（）

2.儿童认识物体大小、长短的次序要比认识的数序发展的晚。（）

3.5岁以前不能理解排序双重性，幼儿末期可达到初步理解。（）

4.小班会用观察、比较的方法，区别大小和长短不同的物体。（）

5.小班能从5.6个大小（或长短、高矮等）不同的物体中找出等量的物体。（）

6.大班会用目测和自然测量的方法。（）

三、名词解释 1.量 2.测量 3.排序 4.自然测量

四、简答题

1．简述学前儿童学习学习测量的过程和特点。2．简述排序活动对幼儿的发展的意义。3.简述学前儿童排序能力的发展特点。4.学前儿童常进行的排序活动有哪些？ 5.如何引导大班幼儿学习自然测量？ 6.如何幼导幼儿感知和体验量的守恒？

第十章 学前儿童空间的概念的发展和教育

教学目的：

1.理解学前儿童初步空间概念发展的特点。2.掌握学前儿童空间概念教育的要求和指导要点。3.理解时间概念的特点。

4.掌握学前儿童时间概念教育的要求和指导要点。教学重点：

1.学前儿童空间概念教育的要求和指导要点。2.学前儿童时间概念教育的要求和指导要点。

一、填空题

1.空间方位概念具有（）、（）和（）的特点。

2.学前期儿童的空间概念从（）向（渡的时期。

3.学前期儿童辨别空间方位的难易顺序一般是先（（），最后是（）。

4.时间概念具有以下特点：（）、（（）和（）。

5.（）是儿童感知和理解时间概念的基础。

二、名词解释 1.空间概念 2.时间概念

三、简答题

1．简述空间概念含义及其特点。2.简述时间概念含义及其特点。3.如何对学前儿童进行空间概念教育？ 4.如何对学前儿童进行时间概念教育？ 5.简述学前儿童时间概念发展的一般特点。

第十一章 学前儿童数学教育的评价

教学目的：），再）、）逐渐过

1.理解学前儿童数学教育评价的作用。2.理解学前儿童数学教育评价的类型 3.掌握学前儿童数学教育评价的一般步骤。

作业思考题

一、填空题

1.根据教育评价功能，学前儿童数学教育评价分成（（）和（）三个类型。

2.教育评价的作用有以下三个方面：（）、（（）。

3.学前儿童数学教育评价一般包括以下四个步骤：（（）、（（）。

4.学前儿童数学教育评价资料的收集方法主要有（（）、（）、（二、名词解释

1.教育评价

2.学前儿童数学教育评价

三、简答题

1.简述学前儿童数学教育评价的意义。

2.学前儿童数学教育评价的过程一般包括哪些步骤？ 3.收集学前儿童数学教育评价资料有哪些主要的方法？）、）、）、及）、等。））

2.高等数学上册复习 篇二

1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例

2、注意无界函数的概念

3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）第二节 数列的极限 会判断数列的敛散性 第三节 函数的极限

1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。（重要）

2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。（重要）

3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。第四节 无穷大和无穷小

1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)Af(x)A，其中是无穷小。

xx0x

2、无穷大和无穷小是倒数关系

3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线

4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态 第五节 极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。以乘法为例比如f(x)x,g(x)但是limf(x)g(x)1

x01。limf(x)0，limg(x)。xx0x02、会求有理分式函数

p(x)的极限（P47 例3-例7）（重要）q(x)xx0时:若分母q(x0)0，则极限为函数值

0型极限，约去公因子 0 若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1））

x时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。第六节 极限存在的准则，两个重要极限（重要）

1、利用夹逼准则求极限： 例 p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）

2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）

1sinxsinx0；lim1 3 注意下面几个极限：limxsin0；limx0xx0xxx第七节 无穷小的比较（重要）

1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小）若分子和分母同时为零，则为

x22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x；1cosx~

2ex1~x；(1x)~1nx n13、若(x)为无穷小，则sin(x)~(x)，(1(x))n~(x)n，ln(1(x))~(x)，e(x)1~(x)。

4、替换无穷小时必须是因式

x0limtanxsinxx3limxx3x0x0

应该

x2xtanxsinxtanx(1cosx)1limlimlim2

2x0x0x0x3x3x35、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）

第八节 函数的连续性与间断点（重要）

1、函数在点x0连续 limf(x)f(x0)

xx0左连续limf(x)f(x0)且

xx0f(x)f(x0)

右连续limxx02、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。

3、f(x)在点a连续f(x)在点a连续；但反之不对。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。

4.注意三个例题：例6-例8（重要）

5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求。（重要）

6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。（重要）

7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页 6）（重要）第十节 闭区间上连续函数的性质

最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容 会零点定理证明方程根的存在性。（重要）补充说明 请熟悉函数e当x0,x0,x时的极限。第二章复习提要

1、导数的定义

（1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题 例

1、设f(0)0,f(0)k0,则limf(x)____.x0x1x例

2、设f(x0)存在，则limf(x0h)f(x0)________.（重要）

hh0（2）利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题

sinx,x0例

3、已知f(x)，求f(x)

x,x0注意分点处的导数应该用定义来求。（重要）

（3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题（重要）

sinx,x0例

4、设f(x)为可导的，求a的值

ax,x0（4）利用导数几何意义求切线和法线方程（重要）

（5）可导连续，反之不成立！

2、求导法则

（1）复合函数求导不要掉项；

（2）幂指函数u(x)v(x)ev(x)lnu(x)转化成指数来求导

3、高阶导数

（1）一般的函数求到2阶即可；（2）几个初等函数的n阶导数：

(eax)(n)aneax；y(n)sin(xn)；(cosx)(n)cos(xn)

22[ln(1x)](n)(1)n1(n1)!(1x)n，(n1)!(1x)n[ln(1x)](n)(1)n1(1)n(n1)!(1x)n

由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式：

1(n)n!()[ln(1x)](n1)(1)nn11x(1x)1(n)n!()[ln(1x)](n1)n11x(1x)(1(n)n!)[ln(ax)](n1)(1)nn1ax(ax)1(n)n!)[ln(1x)](n1)n1ax(ax)((3)二项式定理

(uv)(n)(nk)(k)Ckuv nk0n（4）间接法求高阶导数：

1x2例

5、求y的n阶导数：提示y1。

1x1x（5）注意下列函数的求导

例

6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题（重要）（1）yf(x2)；（2）yln[f(x)]

4、隐函数及参数方程求导（重要）（1）一般方法，两边对x球到后解出

dy。dx（2）会求二阶导数

（3）对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数（4）注意参数方程二阶导数的公式

dydyd()2()tdydtdx。（重要）dxdx2dtdxdxdt（5）相关变化率问题：

根据题意给出变量x和y之间的关系；



两边对t（或者是其他变量）求导



dydx和之间的关系，已知其中一个求另外一个。dtdt5、函数的微分

（1）微分与可导的关系：可微可导且dyf(x)dx（2）利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分： 显函数的例子见课本的例题；下面给出隐函数的例子 例

7、设ysinxcos(xy)0,求dy。解: 利用一阶微分形式不变性 , 有

d(ysinx)d(cos(xy))0

sinxdyycosxdxsin(xy)(dxdy)0

dyycosxsin(xy)dx。

sin(xy)sinx（3）近似计算公式：注意x0的选取原则。(一般不会考)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要 3.1 微分中值定理（重要）

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用： 证明等式，一般通过证明导数为零

证明不等式：若不等式中不含x，则取x作为辅助函数的自变量；若含有x，则取t作为辅助函数的自变量。（重要）

判断方程的根（存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6）（重要）

利用辅助函数和中值定理证明等式（一个函数用拉格朗日，二个用柯西）例1 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明至少存在一点(0,1)使得f()2f()。

证明：上述问题等价于f()2f()0。

令f(x)x2f(x)，则f(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，于是少存在一点(0,1)使得

()2f()2f()0 即有f()2f()0。

（5）请熟悉132页例1.3.2 洛必达法则（重要）

（1）(其他类型的未定式)最终转化成0型和型未定式 0（2）每次用前需判断

（3）结合等价无穷小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各阶导数代入公式即可；

（2）常见函数ex,ln(1x)，sinx,cosx的麦克劳林公式 3.4 函数的单调性和凹凸性（1）会用列表法求函数的单调区间和凹凸区间（注意一般是闭区间），拐点。注意不要漏掉导数不存在的点也可能是单调区间的分点； 二阶导数不存在的点也可能是拐点。（2）利用单调性证明不等式（重要）（3）利用单调性判断方程的根（重要）3.5 极值和最值（重要）

（1）列表法求极值（极值可能点为驻点或不可导点）（2）最值（找出极值可能点再与端点比较）

（3）对于时间问题，若极值点唯一，则也为最值点。3.6 函数图形的描绘 注意渐近线 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半径的计算公式（重要）第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表



2、公式f(x)dxf(x)和f(x)dxf(x)C 

3、注意如下问题：（填空、选择、判断）若ex是f(x)的原函数，则x2f(lnx)dx若f(x)是ex的原函数，则12xC 2f(lnx)1dx C0lnxC xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是（B）。A 1sinx;B 1sinx;C 1cosx;D 1cosx

4.2 换元积分法（重要）

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)f((x))(x)的形式，因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①f(x)1xdx2f(x)(x)2f(x)dx

11f(axb)(axb)dxf(axb)d(axb)

aa②f(axb)dx1③f(lnx)dxf(lnx)(lnx)dxf(lnx)d(lnx)

x④sin(2k1)xcosnxdxsin2kxcosnxsinxdx(1cos2x)cosnxdcosx ⑤cos(2k1)kxsinxdxcosxsinxcosxdx(1sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：sin(2k1)xdx和cos(2k1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥sin2kxcos2nxdx用公式sin2x⑦tanxsecn2k2n2k1cos2x1cos2x和cos2x降次。22n2kxdxtanxsecxdtanxtanx(1tanx)dtanx

注sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧csc2k2xdxcsc2kxcsc2xdx(1cot2x)dcotx

⑨tan(2k1)xsecnxdxtan2kxsecn1xdsecx(sec2x1)secn1xdsecx ⑩利用积化和差公式：

1cosAcosB[cos(AB)cos(AB)]

21sinAcosB[sin(AB)sin(AB)]

21cosAsinB[sin(AB)sin(AB)]

21sinAsinB[cos(AB)cos(AB)]

2第二换元法

被积函数中含有a2x2，利用代换xasint,t(被积函数中含有a2x2，利用代换xatant,t(kk,)22,)22被积函数中含有x2a2，利用代换xasect,t(0,)（一般要分情况讨论）被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换 利用下列积分公式：

⒃tanxdxln|cosx|C；⒄cotxdxln|sinx|C

⒅secxdxln|secxtanx|C；⒆cscxdxln|cscxcotx|C ⒇dx1xdx1xaarctanC；（21）lnx2a22axaC aa2x2a（22）xdxarcsinC；ln(xa2x2)C（23）ax2a2a2x2dx（24）dxx2a2lnxx2a2C

4.3 分部积分法（重要）

1、分部积分公式：udvuvvdu

2、u的选取原则：反对幂指三。

这个原则不是绝对的，如通常exsinxdxsinxdex。

3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。如(arcsinx)2dxarcsinxtt2dsint；

ln2x2ttdxlnxtedt x2遇到根式axb，先令taxb去根号。会做形如例7、8那样具有典型特点的题目。

4.4 有理函数的积分（重要）

1、P(x)，先用多项式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、对Q(x)分解因式，根据分解结果用待定系数法确定x1x1AB：应设

(x2)(x3)(x2)(x3)x2x3 x2x2ABxC：应设 (2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)x2x2ABx3Cx2DxE(2x1)(x2x1)2：应设(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)2

原则就是分子的次数总是要比分母低一次。

3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分

xxx2tan1tan22tan2；cosx2；tanx2 sinxxxx1tan21tan21tan2222x令tant，则三角函数就转化成为有理函数

24.被积函数含有naxb或naxbcxd，则令tnaxb或tnaxbcxd 几个典型题目 P207页（42）x1dxdx，（43）x1x2P211页例7、8 x22x3补充说明：这一章的内容需要大家在掌握一定规律的前提下多做练习，方能取得比较好的效果 第五章：定积分

5.1 定积分的概念和性质

1、定积分的定义：f(x)dxlimf(i)xi

abni02、定积分的几何意义：曲边梯形的面积

3、定积分的性质：利用定积分的性质判断积分的取值范围或比较两个积分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微积分基本公式

1、yf(x),axb的积分上限的函数（重要）

(x)xaf(t)dt,axb

及其导数：（如p243,5题）（1）(x)f(x)

d(x)f(t)dtf((x))(x)adxda（3）f(t)dtf((x))(x)

dx(x)d(x)（4）f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)

dx(x)

2、利用上面的公式计算极限、判断函数单调性等： 相应例题（p242,例7，8），相应习题（p243-244:习题9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛顿-莱布尼茨公式：函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)，记作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函数(或者带绝对值的函数)的积分应为分段积分的和：典型题目p244，习题10.5.3 定积分的换元法和分布积分法（重要）

1、第一换元公式：f[(x)](x)dtf(t)dt

ab

2、第二还原公式：f(x)dxf[(t)](t)dt

ab注意：一般来说应用第一换元公式，我们一般不需要把新变量写出来，因而也就

cos2不需要写出新变量的积分限，如cossinxdx 但是应用第二换元。

30公式，一般要写出新变量及其积分限，如

2023aasinta2x2dx(a0)xa22cos2tdt

003、分布积分公式：u(x)dv(x)u(x)v(x)av(x)du(x)

baabb说明：无论是还原法还是分布积分法，定积分和不定积分的计算过程都是相似的。

4、利用下面的公式能帮助我们简化计算：（重要）（1）偶倍寄零

00（2）2f(sinx)dx2f(cosx)dx（3）xf(sinx)dx020f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）设f(x)是周期为T的连续函数：则

aTaf(x)dxf(x)dx；0TanTaf(x)dxnf(x)dx(nN).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9这样的积分。5.4 反常积分

1、无穷限的反常积分：设F(x)是f(x)的原函数，引入记号

F()limF(x);F()limF(x)

xx则

af(x)dxF(x)|aF()F(a)；f(x)dxF(x)|F()F().bf(x)dxF(x)|bF(b)F()；

反常积分收敛意味着相应的F(),F()存在；特别的积分F(),F()同时存在。

f(x)dx收敛必须注意：对于无穷限积分来说，偶倍寄零原则不在成立！

2、无界函数的反常积分（瑕积分）：设F(x)是f(x)的原函数，则 若b为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab若a为瑕点，则f(x)dxF(x)aF(b)F(a)；

bab若a,b都为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab则c(a,b)为瑕点，则f(x)dxf(x)dxf(x)dxF(x)c。aF(x)caacbcbb反常积分收敛意味着相应的F(a),F(b)存在；特别的积分f(x)dx（c(a,b)ab为瑕点）收敛必须F(c),F(c)同时存在。

说明：由上面的公式看出，反常积分与定积分的计算方法是一样的。都是先求原函数然后代入两个端点，只是对于非正常点（如和瑕点）算的是函数的极限。

3、换元法也适用于反常积分

4、会利用下面的两个重要反常积分来讨论一些函数的收敛性（重要）

ap1,dx(a0)1,p1xpp1(p1)a(ba)1qb,q1dx 1qa(xa)q,q1练习：p260,2题；求积分bdx的收敛性。

b(xb)qa5、遇到形如f(x)dx积分时，注意[a,b]是否含有瑕点。否则会得到错误的结果：

adx。1x第六章 定积分的应用

6.2 定积分在几何学上的应用

1、平面图形的面积（直角坐标系和极坐标下）（重要）

2、体积（特别是旋转体的体积）（重要）

3、三个弧长公式（重要）

3.考研数学 高等数学知识点复习 篇三

考研数学大纲与去年一样，科目所占比例中，高等数学所占比例不变，数学一，三中是56%，数学二中是78%。这就决定了考生在复习的时候应该分配的精力与时间更多一些。而在这相对较多的时间与精力中，如果再能事半功倍，便为考研高分奠定了基础。

高等数学的基本内容可以四块：一元函数微积分，多元函数微积分(主要是二元函数)，无穷级数与常微分方程，向量代数与空间解析几何(数一考)。前三块是高等数学部分出题的重点，第四块虽然大纲中对数一的要求也写了多半页文字的规定，但从历年数一真题中直接针对这一块出题的很少。

那么在考前的这几个月里，高等数学如何复习才能合到高分呢?

一、选择合适的复习资料。现在有很多考生手中的参考资料书许多，市面上一新出现一本考研的资料参考书就会去买，这对考生是不利的，因为考生没有那么多的时间去把所有的参考资料看完，并且看完效果也不一定好，根据以上对高等数学内容的分块划分，需要选择适合自己的复习资料。资料的选择要看其是否按考研大纲的要求编写，看其对基本内容的讲述是否深入且易懂，看其层次性是否分明等等，如内部资料《考研数学基本复习大全》，《2011考研数学考点题型与复习方法精讲》相对来说就适合考生对基础知识的巩固及深入理解。

二、看书要擒贼先擒王。在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在看书时需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及高等数学的主要研究对象――函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。第三大块的无穷级数与常微分方程部分的重点很容易把握，考点就那几种，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。

三、看书的顺序要与成效相结合。人在读书的时候习惯于从头至尾看，这对于每天都从头开始的.人来说永远不能看到后面的内容。在看数学教材或辅导书时，最好每次看一个部分，下一次从接着的部分开始看下一部分。这样每一次的内容都自成一个体系，不至于这次看的时候花大量的时间做前后的衔接。还有呢，如果计划高等数学复习三遍，第一遍的时候是从头至尾，那么从现在开始就要从后往前复习了，最后一遍需要用来总体把握。

在考研这个大舞台上，每个考生都在用不同的方式去演绎角色，但总有一种最特别的方法适合特别的你!

4.高等数学下复习纲要 篇四

许先果 湖南石油化工职业技术学院 2012.11.6

摘要：《高等数学》是理工科学生的必修课，也是专业基础课。高职学生普遍认为高等数学概念复杂、重难点多、掌握难度大。因此，对每一章或每一模块（以下统称章节）进行复习归纳是很有必要的。本文根据高职课程改革的方向和高职学生的学习现状，分析了传统复习课所存在的问题，并提出了一些解决方法。

关键词：高等数学 章节复习学习兴趣 对于高职院校的学生而言，高等数学是他们最难学的课程之一。是因为一是他们基础并不太好，二是高等数学本身概念多、公式多、重点难点多、计算方法灵活、学习难度大。大部分学生在学习高等数学过程中对概念模糊不清，不能很好的利用定理及公式，掌握难度大。因此，我认为每学完一个章节就应该进行一次综合、有效的归纳、总结与复习。以往教师上习题课大部分会由教师归纳该章节重要知识点，然后再要学生做一些练习题。许多学生在上课时缺乏积极性，开小差，整个课堂教学效果不好。如何上好高等数学复习课是一个引人深思的问题。

一、传统教学模式下高数章节复习课存在的问题（1）由教师归纳总结，忽视了学生自学能力的培养

由教师负责归纳章节知识点，优势在于教师能够将各个知识点及重难点总结得比较全面，劣势在于学生被动接受教师的成果，缺乏自我思考、探索的过程。不利于培养学生逻辑思维能力和锻炼学生自我学习能力等。

（2）学生被动接受教师的总结，不一定清楚各知识脉络。教师帮学生总结后，一部分学生只顾做笔记，完全不会思考各知识点之间有没有关联和区别，更不用说灵活运用、融会贯通。还有一部分学生甚至对于抄袭没有兴趣，干脆不闻不问。这种情况下教师的劳动只能达到事倍功半的效果，而学生并没有真正理清楚知识脉络。

（3）教师不清楚每一个学生的薄弱点，无法代替学生查漏补缺。

学生在学习过程中，知识点的掌握程度、薄弱点等不一样，例如有些学生在复合函数导数计算时是薄弱环节，在隐函数求导上却有一定的优势；而有些学生可能正好与之相反。复习课时的目的是要学生能够总结本章所学知识点，了解自己的学习状况，有针对的性的复习和提高。如果由教师统一安排习题，并不能代替学生提高。

（4）教师布置“一刀切”习题给学生做，忽视学生个体差异。

高职学生数学基础差异很大，解题的能力、快慢等因素都有差别，教师布置的习题若所有学生“一视同仁”，不符合因材施教的原则。

（5）教学方法陈旧，不利于学生学习兴趣的培养。

单一的归纳和练习模式缺乏趣味性，不利于学生学习兴趣的培养。学生被动学习，不用心思考，不能达到复习课发挥学生主观能动性、培养学生创造性思维、学习兴趣、归纳总结和分析问题及解决问题的能力的作用。

二、针对以上问题提出的改革措施 通过这几年的教学实践，我认为章节复习要讲究一定的策略和方法。只有在章节复习中巧妙地采取一些策略和方法，才能使学生在复习中不易感到枯燥无味，从而在复习课中进一步巩固基础、提高能力。结合学生特点和不同知识内容，我认为高职高等数学章节复习可以做如下改革：

1．根据学生数学基础的差异，布置不同难度水平的学习任务 在复习课上如果由教师归纳重要知识点固然可以比较全面的总结出重点难点，但教师总结出的重点难点不一定适合每一位学生，因为学生的基础存在差异性。教师自己可以把整个课堂交给学生，对于基础不同的学生布置不同的任务。让每个学生在课堂上都得到一定的收获。既发挥了学生的主观能动性，又到达因材施教的目的。

2、采用灵活多变的任务形式提高学习积极性、学习兴趣，培养各方面的能力

一成不变的课堂教学模式早就让学生产生了厌倦之心。如何改革高等数学课堂教学模式，打破高等数学抽象乏味的大前提，是我们每一个高等数学教师努力的方向。复习课堂改革势在必行。我在教学过程中不断摸索，采取了一些新的方法，在一定程度上改善了课堂教学效果，同时也在继续努力探求更好的方法，让学生真正爱上高数课堂是我一生的追求。

第一、让学生自我归纳章节重要知识点或合作归纳知识点。

当学生自我归纳或合作归纳章节重要知识点时，一定要先认真了解本章到底学习了什么概念、各概念之间有什么联系和区别、有哪些定理和公式、它们怎么用、有什么好的应用技巧等等问题。然后再对这些内容进行归纳，我们可以要求学生采用简洁、易懂、清晰的方式表示出来并上交，由教师给学生评分。既可以培养学生的表达能力和归纳能力，又可以让学生在不知不觉中理清章节知识点脉络，从而达到掌握本章知识点的目的。

第二、给予模拟任务，由学生分组完成。高数复习课上如果能多点趣味性、充分发挥学生的主观能动性，让学生都能参与到学习中来，会取得意想不到的效果。如将学生分成几组，模拟制作本章考试试卷，题量为10道，题型为判断、选择、填空、计算，试题的难度要适中，符合学生自己的实际水平，试题的范围应涉及本章全部或绝大多数重要知识点。出完试卷后各组交换练习，得出答案的同时给点评试卷点评，指出试卷的优点和缺点，应该怎么改正等。在出试卷过程中，学生的思维能力、判断和选择能力、团队协作能力等都得到了培养，而且学生看到自己出的试卷会有成就感，在解答其它组试卷的同时学生们给出评价，让学生在练习的过程中不仅巩固了知识，同时也培养了学生的分析能力。

第三、请学生归纳本章中的重点与难点知识点，找出自己的优势与薄弱点。由于学生的基础、思维方式等因素会导致每个学生心目中的难点都不一样。如果学生能够针对自己的学习情况，正确地找出属于他自己的难点和薄弱点，那么在以后的学习中一是他可以有针对性的做一些努力，二是教师可以帮他把关，从而达到提高的目的。让学生找出自己的优势可以提高学生的自信心，让他保持一个良好的心态来学习高等数学，这样不至于让学生丧失学习兴趣。

第四、请学生归纳自己练习中常出现的错误，并重点改正。学生比教师更了解自己的学习情况。学生在学习过程中会做一些练习，哪个知识点没有弄懂，哪种类型的题目经常出现错误，只要认真分析和总结，就能找出答案。找出答案后再有针对性的练习，同时向教师或同学请教，一步步攻破难关。像这种有针对性的归纳不仅能够找到适合他们自己的学习方法，而且也能体现学生的个体差异，达到因材施教的目的，充分发挥学生的主观能动性。

第五、调换师生身份，让学生在复习课上讲课。

通过布置学生为同学们归纳总结本章或本模块重难点知识，并用自己的语言复述出来，也可以在章小结或复习课上请学生们把自己的易错的题目类型或题目找出来，请班上学习基础比较好的学生为他们讲解。主要体现在“说”的形式，让学生自觉地推敲，更好的理解和掌握知识点，学会融会贯通，提高分析问题和解决问题的能力。现代社会，“说”也是很重要的能力。让学生在课堂上说一说，也可以培养学生的“说”的能力。

第六、针对不同专业给学生交流的机会，为学生找到高等数学与专业课程的切合点。我认为在学习某一个章节或模块时可以给学生布置一个任务，让学生自己利用各种资料去寻找高数与专业课程的联系，在复习课上给学生一个交流的机会，让学生进行交流并归纳总结出主要的几点。既让学生感受到了高等数学的重要性，也为学生找到高数与专业课程的切合点，提高学生学习高数的兴趣。同时也培养了学生收集信息、处理信息的能力。

第七、利用现代教育技术做任务。

教师可以布置学生用多媒体课件将各章节的知识点汇总，学生在制作多媒体课件的同时，会自主地熟悉知识要点，有利于日后的复习。在复习课上利用多媒体设备展示学生自己创作的课件，达到学习和交流的目的。同时也提高了学生利用现代化手段处理事务的能力。

对于教师来说，我们的任务不仅要教会学生知识，还要教会学生学习，让学生在学习高等数学的过程中获得一系列的附加能力，如：逻辑思维能力、分析能力、总结能力、自我学习能力等等。复习小结是进行数学思想方法教学的良好时机和阵地，是章节知识点的巩固与内化,是理清高数连贯性的有效方法和手段,更是知识和能力的深化与发展。数学复习课应把“发展为本”作为教学的中心，让学生亲自参与、主动实践、深入探究,构建起有效的章节复习课体系,使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的。同时在教学中不断提高学生学习兴趣。

参考文献：