圆锥的体积怎么求

圆锥的体积怎么求（共14篇）

1.圆锥的体积怎么求 篇一

《圆锥的体积》教学反思

《圆锥的体积》是在掌握了圆锥的认识和圆柱的体积的基础上教学的。教学时让学生通过实验来发现圆锥与等底等高的圆柱之间的关系，从而得出圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一，并能运用这个关系计算圆锥的体积，让学生从感性认识上升到理性认识。学生感到非常简单易懂，因此学起来并不感到困难。

新课一开始，我就让学生观察，先猜测圆锥的体积和什么有关，学生联系到了圆柱的体积，在猜想中激发学生的学习兴趣，使学生明白学习目标。教师从展示实物图形到空间图形，采用对比的方法，加深学生对形体的认识。然后让学生动手实验，以小组合作学习的方式让每个学生都能参与到探究中去，学生在实验中得出结论：等底等高的圆锥体体积是圆柱体体积的三分之一，从而推出圆锥的体积公式。这样，就有一种水到渠成的感觉。对圆锥的体积建立了鲜明的印象之后，就应用公式解决实际的生活问题，起到巩固深化知识点的作用。

由于本节课教学案设计合理，问题比较精细，学生能在小组合作学习的过程中，自主设计实验过程，从而选择合适的学具来做实验，在比较、分析中得出圆锥的体积公式，取得了较好的效果。

不足之处：

1、.实验教材具有现成性，学习用具具有一定的实际限制，使学生探索思考的空间较小，不利于学生思维的充分发展。

2、学习困难的学生对于一些需要灵活判断的题目还是不能有较好的把握，从而也可以看出，他们对于该体积公式的理解也只是停留在了较简单的和较低的层面。在与圆柱的体积的联系中，思维的灵活度不够。后来也感觉他们有出现一点点厌学的情绪，这是因为在最后他们把自己当成了倾听者。缺少了一种主动思维和思考的愿望。

2.圆锥的体积怎么求 篇二

一、运用“定义法”求椭圆的方程

例1:两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10。求符合条件的椭圆的标准方程。

解∵椭圆的焦点在x轴上,

∴设椭圆的标准方程为

∵2a=10,∴a=5,又∵c=4。∴b2=a2-c2=52-42=9。

故所求椭圆的标准方程为

二、运用“定义法”求双曲线的方程

例2:已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。

分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出a,b,c。

知识拓展:求下列动圆的圆心M的轨迹方程:

1与⊙C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0);

2与⊙C1:x2+(y-1)2=1 和⊙C2:x2+(y-1)2=4 都外切;

3与⊙C1:(x+3)2+y2=9 外切,且与⊙C2:(x-3)2+y2=1 内切。

解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题。

具体解:设动圆M的半径为r。

1∵⊙C与⊙M内切,点A在⊙C外,∴|MA|=r,因此有,∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支,即M的轨迹方程是

2∵⊙M与⊙C1、⊙C2均外切,∴|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,因此有|MC2|-|MC1|=1,∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支,

∴M的轨迹方程是

3∵⊙M与⊙C1外切,且⊙M与⊙C2内切,∴|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,因此|MC1|-|MC2|=4,∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支,

∴M的轨迹方程是

三、运用“定义法”求抛物线的方程

例3:动点P到直线x+4=0的距离比它到点M(2,0)的距离大2,则点P的轨迹方程是 ________。

解析:动点P到直线x+2=0的距离与它到点M(2,0)的距离相等,利用定义求出抛物线方程。

答案:y2=8x

例4:已知动点P(x,y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y=-1的距离相等,记点P的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程;

(2)设圆M过点A(0,2),且圆心M(a,b)在曲线C上,若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0),求线段EG的长度。

解:(1)依题意知,曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线。

∵焦点到准线的距离p=2,

∴曲线C方程是x2=4y。

3.《圆锥的体积》教学设计 篇三

【教学目标】

1. 通过观察—估测—操作探索，初步掌握圆锥体积的计算方法，并能运用公式解决一些实际问题。

2. 体验特殊形体体积的测量方法。

3. 在对圆柱圆锥学具的实践操作、观察比较、抽象概括等探索性活动以及推导圆锥体积公式过程中，积累数学基本活动经验，发展推理能力与空间观念。

4. 完成探究任务获得成功的体验，培养乐学及探究精神。

【教学准备】若干组大小不同的等底等高圆锥形，米若干，实验报告单；实体圆锥，带刻度的量杯；多媒体课件。

【教学过程】

一、复习旧知，铺垫孕伏

师：圆柱体积的计算公式是什么？推导时用了什么方法？

师：三角形面积的计算公式是什么？它与平行四边形面积是什么关系？

指名学生回答，并板书公式：圆柱的体积=底面积×高？摇？摇？摇 V■=SH

【设计意图】圆锥的体积，是与它等底等高的圆柱体积的■。因此，先复习圆柱的体积和三角形面积的计算及推导方法，抓住所学知识间的内在联系，同时渗透转化方法在数学学习中的应用，为学习圆锥的体积计算方法作了内容和探究方法的铺垫。

二、自主学习，构建新知

（一）故事情景，引发猜想

故事呈现：雇工为地主辛辛苦苦干了一年的活，年终时地主给雇工发工资，地主让雇工选1块圆柱形的银锭或者2块圆锥形的银锭（实心，等底等高），而且不能用称重量的办法选择。对此雇工犹豫不决，聪明的同学们你能帮助这位雇工选择自己的劳动报酬吗？

学生回答自己的猜想，选圆柱形的学生，他们的依据是估测圆柱体的体积是圆锥的2倍到4倍之间。

师：如果我们想知道准确的结果应该怎么办？

师：对于圆锥体积的计算，你们有什么设想吗？

学生会提出排水法，或是受三角形面积、圆柱体积公式推导的启发提出研究与圆柱体积之间关系等一些方法。

师板书：圆锥的体积计算。

教师介绍并演示排水法测量圆锥体积的方法，但由于排水法的特殊性并不适用于大多数的圆锥体积计算。

【设计意图】通过圆锥形与圆柱形银锭的选择，引发探知圆锥体积的需求，引导学生根据已有经验在对比中对圆锥的体积进行估测，并猜想通过排水、转化等方法探知圆锥体积计算方法。

（二）实验探索，发现规律

1. 小组实验。

（1）学生分组操作实验，教师巡回指导。

其中2个小组的实验材料：米，圆柱形和圆锥形容器各一个（等底等高）；其他小组的实验材料：米，圆柱形和圆锥形容器各一个（不等底不等高，原等底等高的实验材料故意打乱），体积倍数关系不相同。

（2）同组的学生通过合作完成实验后，进行交流，并把实验结果写在实验报告单上。

2. 全班交流。

（1）组织收集信息。

学生汇报时可能会出现下面几种情况，教师把这些报告单贴在黑板上：

①等底等高的圆柱体积正好是圆锥体积的3倍，或等底等高的圆锥体积正好是圆柱体积的■。

②圆柱的体积正好是圆锥体积的3倍，或圆锥的体积正好是圆柱体积的■。

③圆柱的体积正好与圆锥体积相等。

④圆柱的体积正好是圆锥体积的6倍，或圆锥的体积正好是圆柱体积的■。

……

（2）引导信息整理反馈。

指导学生仔细观察，把黑板上的信息分类整理。（分成3倍关系和非3倍关系两类）

围绕3倍关系的情况讨论：

①请这几个小组同学说出他们是怎样通过实验得出这一结论的？

②根据以上信息你发现了什么？

圆柱与圆锥的体积比不相同；圆柱与圆锥的体积比和它们的底、高的大小有关；等底等高的圆柱的体积正好是圆锥体积的3倍，或等底等高的圆锥的体积正好是圆柱体积的■。

突出等底等高，并请学生拿出实验用的器材，自己比划、验证这个结论。

【设计意图】如果仅提供等底等高的学具，那么结论的得出将是轻而易举的，这里有意设计“矛盾冲突”，使学生探究的欲望更加浓厚，让课堂产生思维碰撞。猜想、验证和思辨也正是探究性经验获得的过程。

3. 继续验证，科学归纳。

再次分组操作实验，各组把圆柱、圆锥容器调整到等底等高，并继续实验、填写实验报告单并得出结论。教师通过课件演示等底等高的圆柱体容器内的水刚好三次装满圆锥容器。

板书：圆锥体积等于和它等底等高的圆柱体积的■。

4. 推导公式。

师生共同推导并板书：

圆锥的体积=■× 圆柱体积

圆锥的体积=■×底面积×高？摇？摇？摇V■=■SH

【设计意图】动手操作能把抽象的知识变成看得见、讲得清的现象，学生动手、动脑、动口参与获取知识的全过程，使操作、思维、语言有机结合，获得的体验才会深刻、牢固，从而积累有效的操作经验。让每组的学生都经历验证了圆锥体积正好是和它等底等高的圆柱体积的■，重新构建了知识。在从学具操作转到公式推导的过程中积累抽象概括经验并培养推理能力。教师的课件演示是为了弥补实际操作中的误差，有助于坚持真理、修正错误、严谨务实的科学态度的形成。

三、运用拓展，问题解决

1. 填空。

①一个圆柱的体积是75.33 m3，与它等底等高的圆锥的体积是（？摇？摇？摇？摇？摇？摇）m3■。

②一个圆锥的体积是141.3 cm3，与它等底等高的圆柱的体积是（？摇？摇？摇？摇？摇？摇）cm3。

③圆锥的底面积是36 cm2，高是8 cm，它的体积是（？摇？摇？摇？摇？摇？摇）cm3。

2. 判断。

①圆锥体积是与它等底等高的圆柱体积的3倍。

②把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的体积占■。

3. 问题解决。

雇工自选1块圆柱形的银锭还是2块圆锥形的银锭作为劳动所得更合算呢？

【设计意图】学生在实际使用公式计算时容易将“■”忘记，其原因是未能深入理解公式的含义，本环节是通过对比、追思、强化，加深学生对公式的理解、记忆，内化并纳入知识体系。在运用数学解决问题的过程中，体验数学的价值。

四、整理归纳，回顾体验

1. 上了这节课，收获了哪些数学知识？（互说中系统整理）

2. 今天获取新知用什么样的学习方法？你喜欢课堂中的哪些过程？

3. 通过这节课的学习，你有什么新的想法？还有什么问题？

附：實验报告单

（作者单位：福建省闽侯县实验小学？摇？摇？摇本专辑数学责任编辑：王彬）

4.《圆锥体积》的教学反思 篇四

（2）分组实验：究竟是1/2，还是1/3呢？我们来做个实验好吗？（把事先准备好的圆柱、圆锥体等容器发给各组，每组白、红、黑的圆柱、圆锥体容器各一个，两个白的等底等高，两个红的等底不等高，两个黑的等高不等底。让学生用圆锥容器盛满水往相同颜色的圆柱容器中倒，观察它们之间的关系。

（3）各小组报实验结果，几次正好灌满（三次正好灌满）“三次正好灌满，说明了什么？”

生：圆锥体积是圆柱体积的1/3。（师板书）

师：同意吗？

（4）集体实验（师取等底不等高的圆柱和圆锥容器，让两个同学上台实验，其它同学观察）（三次没有灌满）

师：“灌满了吗？”（没有）“为什么没有灌满？问题出在哪里呢？是不是刚才的结论不对？”（师将圆柱与圆锥容器放在一起比较，引导学生观察、讨论）

讨论得出：圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3。（师板书补充：“等底等高”）

一、学生成为学习活动的主动者。

在探究圆锥体积计算方法的学习过程中，学生不再是实验演示的被动的观看者，而是参与操作的主动探索者，真正成为学习的主人。在整个学习过程中，学生获得的不仅是新活的数学知识，获得更多的是探究学习的科学方法，探究成功的喜悦以及探究失败的深刻反思，在这样的学习中，学生会逐步变的有思想、会思考、会逐渐发现自身的价值。

二、在操作中体验

5.圆锥的体积教学反思 篇五

教材中圆锥体积的相对练习较少，但在实际解决问题中却常常需要学生能够灵活应用，所以特别增加了一些层次性、梯度性较明显的练习。通过练习，学生们明确了圆柱与等底等高的圆锥体积和为4个圆锥的体积（或三分之四个圆柱的体积），而它们的体积相差2个圆锥的体积（或三分之二个圆柱的体积）……。掌握这些知识对于解决实际问题很有帮助，如将圆柱削成最大的圆锥，求削去部分的体积是多少，就可直接用圆柱的体积乘三分之二从而使计算简便。

在教学后我感觉到遗憾的是，由于在活动展示的环节给足学生时间和空间，就使检测反馈环节因在时间上得不到保障，自然相应内容未能在当堂课完成。说明还没有最大限度利用好课堂上宝贵的每一分一秒，距离高效课堂还有一段距离，感觉课堂调控能力我还需加强和提高。

圆锥的体积教学反思2

《圆锥的体积》是人教版小学数学六年级下册第三单元的内容之一，它是学生在学习了圆柱的认识，圆柱的表面积，圆柱的体积，圆锥的认识基础之上，学习的。这一堂课，我有幸邀请了三位同伴来听我的课，给我一定的指导，我也从中发现了自己的一些问题。

这节课中，我注重学生操作的过程，我的设想就是要学生经历这个过程。首先要让学生观察，我手中的学具，圆锥和圆柱有什么共同点？学生发现，它们是等底等高的。接下来，我提出问题，它们谁的体积大？但是关于这个问题，学生的回答，基本上没有答到点子上，有学生说，因为谁的表面积大，所以体积大。本来我预设中，很容易观察发现的体积对比，但是，因为我的提问，它们谁的体积大，为什么，这个为什么，让学生绞尽脑汁去想，去套一些内容。后来我反思，我应该先把圆锥放入圆柱里，让学生直接说出，圆锥的体积，比等底等高的圆柱体积小。或者用试验的方法，把圆锥的水，倒入圆柱，让学生直接得到体积比大小的结论。接下来，先让学生说说方法如何验证圆锥和等底等高圆柱体积之间的关系是什么？根据以前学的圆柱体积，学生得出了三个方法，排水法，实验法，测量体积法。根据一些情况，排水法无法实现。学具是空心的，会漂浮在水面，其次，学具有缝隙，水会渗进去。所以排水法，只是作为学生了解的方法，但并不实践。在试验环节，我没有说清楚具体的操作要求，导致个别学生在操作中，用圆柱的水，倒进圆锥里，这样难以得出正确的结论。大多数学生，听清了我的要求，几杯圆锥的水，可以倒入圆柱。学生很容易就得出了结论。我让学生在黑板上小组演示倒水的过程，同时，也让其他学生一起数杯数，也是加深试验结果。我多让几个学生说一说，圆锥和等底等高圆柱体积之间的关系，用了关联词，因为...所以...我也引导学生，多次强调，这样的关系一定有一个前提，圆锥和圆柱是等底等高的。为了验证这样的体积关系，我抽学生上讲台，利用测量法，来验证。当然，我在最后也强调，试验只是一种手段，得出的结论可能是不精确的，但是数学家验证了这一点，所以大家可以直接用这条结论。

美中不足就是习题没有时间去练习。学生都有最佳遗忘曲线，如果没有练习题，学生的知识没有在最佳的时间去巩固去检测，对于真正理解知识，巩固知识是不利的。我设计的习题，都是书上的，还是缺乏一点趣味性、层次性。

6.《圆锥的体积》教学反思 篇六

一、收获

1、是在教学新课时，没有像传统教学那样，直接拿出等底等高的圆柱和圆锥容器的教具，让学生观察倒沙实验，而是通过师生交流、问答、猜想等形式，调动学生的积极性，激发学生强烈的探究欲望，学生迫切希望通过实验来证实自己的猜想，所以做起实验就兴趣盎然;

2、是在实验时，让学生小组合作亲自动手实验，以实验要求为主线，即动手操作，又动脑思考，努力探索圆锥体积的计算方法。这样的学习，学生学的活，记得牢，即发挥教师的主导作用，又体现了学生的主体地位。学生在学习的过程中，始终是一个探索者、研究者、发现者，并获得了富有成效的学习体验。

3、探究圆锥体积计算方法的学习过程，学生可以不再是实验演示的被动的观看者，而是参与操作的主动探索者，真正成为学习的主人。在整个学习过程中，学生获得的不仅是新活的数学知识，同时也获得了更多的是探究学习的科学方法，探究成功的喜悦以及探究失败的深刻反思，在这样的学习中，学生会逐步变的有思想、会思考、会逐渐发现自身的价值。

4、每个学生都经历“猜想---设计实验验证---发现算法”的自主探究学习的过程，在教师适当的引导下给于学生根据自己的设想自由探究等底等高的圆锥体和圆柱体体积之间的关系，圆锥体体积的计算方法。让每个学生都经历一次探究学习的过程。

二、不足：

1、许多学生在计算过程中常忘记除以3，需要加强练习。

2、许多学生在计算中出现错误，计算能力不过关，口算也不过关，导致计算失败。

3、在学生进行倒沙实验时，应该事先让学生准备好充分的学具，比如，准备一个圆柱，然后做一个和圆柱等底等高的圆锥，在做一个等底不等高的圆锥或者等高不等底的，这样学生就比较明显的看出与圆柱等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。

7.空间区域求体积的两个角度 篇七

例1简单例题:求下图中一段曲线绕x轴旋转所形成柱体的体积.

解题过程 方法一:

方法二:

可看出方法一是在x轴上的ab线段内积“面”求体积,而方法二可作如下转化:

从转化可看出方法二实质是在投影面D( x2+ y2≤f2( b) ) 上积“线”求体积. 这说明求空间区域体积的两个思路: 一确定一个轴在轴上积面,二确定一投影面在面上积线.

例2非旋转体的体积( 确定一投影面在面上积线)

求抛物面z = x2+ y2+ 1在任一点P0( x0,y0) 处切平面与抛物面z = x2+ y2所围立体体积.

例3复杂例题:体积求解

一空间区域的体积由曲面x2+ y2= cz,x2- y2= ±a2,xy = ±b2,x = 0所围成,求该区域的体积.

1. 从重积分的角度,确定一投影面积“线”的过程如下: 题中6个曲面关于yOz平面和xOz平面对称,xOz平面和yOz平面将该区域分为4块等体积区域. 我们可将该区域投影到xOy平面上. 记第一象限的投影区域为D. 其中区域OABO记为D1,∠AOB = α,区域OBCO记为D2,∠AOC = β. 则体积为:

2. 从转化为定积分的角度,即确定一投影轴积“面”的方法,过程如下: 可以求得

可以看出在解决该问题时,方法二比方法一计算复杂太多,这其中的差别读者可以细细体会.

小结

8.巧用圆锥曲线的定义求最值 篇八

分析 很容易联想到三角形边的关系，但无论[A，M，B]三点是否共线，总有[MA+MB>AB]，故取不到等号. 而利用椭圆定义合理转化起到了“柳暗花明又一村”的作用.

解 由已知得，[A（4，0）]是椭圆的右焦点，设左焦点为[F（-4，0）]，根据椭圆定义可得，

[MA+MB=2a-MF+MB=10-MF+MB.]

因为[MB-MF≤FB=210]，

所以[MB-MF∈[-210，210]].

故[MA+MB]的最小值和最大值分别为[10-210]和[10+210].

点评 涉及椭圆焦点的题目，运用椭圆的定义进行转化，使得复杂问题简单化.

单变量最值问题

建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题，是常规方法，关键是选择恰当的变量为自变量.

例1 已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线[x+y+1=0]与以椭圆[C]的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）设[P]为椭圆上一点，若过点[M（2，0）]的直线[l]与椭圆[E]相交于不同的两点[S]和[T]，且满足[OS+OT=tOP] （[O]为坐标原点），求实数[t]的取值范围.

解析 （1）以椭圆[C]的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为：[（x-c）2+y2=a2].

故圆心到直线[x+y+1=0]的距离[d=|c+1|2=a.]（*）

因为椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

所以[a=2c]，代入（*）式得，

所以[b=1]，[a=2].

故所求椭圆方程为[x22+y2=1].

（2）由题意知，直线[l]的斜率存在，设直线[l]方程为[y=k（x-2）]，[P（x0，y0）].

将直线方程代入椭圆方程得，

[（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0.]

∴[Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）=-16k2+8>0.]

∴[k2<12.]

设[S（x1，y1），T（x2，y2）]，

则[x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2.]

当[k=0]时，直线[l]的方程为[y=0]，此时[t=0]，[OS+OT=tOP]成立，故[t=0]符合题意.

当[t≠0]时，[tx0=x1+x2=8k21+2k2，ty0=y1+y2=-4k1+2k2.]

∴[x0=1t?8k21+2k2，y0=1t?-4k1+2k2.]

将上式代入椭圆方程得，

[32k4t21+2k22+16k2t21+2k22=1].

整理得，[t2=16k21+2k2.]

由[k2<12]知，[0

所以[t∈-2，2].

点评 确定椭圆方程需要两个独立条件，需从题中挖掘关于[a，b，c]的等量关系. 对于直线和椭圆的位置关系问题，往往要利用韦达定理设而不求，利用点[P]在椭圆上和向量式得[t=f（k）]，进而求函数的值域.

二元变量最值问题

利用点在二次曲线上，将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理.

例2 已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦点为[F1，F2]，其离心率[e=12]，点[P]为椭圆上的一个动点，[△PF1F2]的内切圆面积的最大值为[4π3].

（1）求[a，b]的值；

（2）若[A，B，C，D]是椭圆上不重合的四个点，且满足[F1A//F1C， F1B//F1D， AC?BD=0]，求[AC+BD]的取值范围.

解析 （1）当[P]为椭圆的下顶点时，[△PF1F2]的内切圆面积取得最大值，设[△PF1F2]的内切圆半径为[r].

[∵4π3=πr2，∴r=233].

[∴S△PF1F2=12F1F2?b=bc=12（F1F2+PF1+PF2）r]

[=12（2c+2a）×233].

即[bc=233（a+c）].

又[ca=12，a2=b2+c2]，

联立解得，[a=4，b=2，c=23].

（2）∵[F1A//F1C，F1B//F1D，AC?BD=0]，

∴直线[AC，BD]垂直相交于点[F1].

由（1）知，椭圆方程[x216+y212=1]，[F1（-2，0）].

①当直线[AC，BD]中有一条直线的斜率不存在时，[AC+BD=6+8=14].

②当直线[AC]的斜率存在且不为0时，设其方程为[y=kx+2，Ax1，y1，Cx2，y2]，

联立[y=kx+2，x216+y212=1]得，

[3+4k2x2+16k2x+16k2-48=0].

[∴x1+x2=-16k23+4k2，x1x2=16k2-483+4k2].

[∴AC=1+k2x1+x22-4x1x2=241+k23+4k2].

设直线[BD]的方程为[y=-1k（x+2）]，

nlc202309082031

同理可得，[BD=241+k24+3k2].

[∴AC+BD=1681+k224+3k2?3+4k2].

设[t=k2+1k≠0，]则[t>1.]

[∴AC+BD=16812+t-1t2，t>1.]

[∵0

综上可得，[AC+BD]的取值范围是[[967，14]].

点评 直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于[x]（或[y]）的一元二次方程，设出交点坐标[Ax1，y1，Cx2，y2]，利用韦达定理得出坐标的关系，同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上再求解. 如本题先求[AC+BD=][1681+k224+3k2?3+4k2]，然后求值域即可. 圆锥曲线问题中，参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求思想和整体思想的应用.

双参数最值问题

此类问题往往有三种类型：（1）建立两个参数之间的等量关系和不等式关系，通过整体消元得到参数的取值范围；（2）建立两个参数的等量关系，通过分离参数，借助一个参数的范围，确定另一个参数的取值范围；（3）建立两个参数的等量关系，通过选取一个参数为自变量，另一个参数为变量（主元思想），从而确定参数的取值范围.

例3 在平面直角坐标系[xOy]中，已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率[e=32]，且椭圆[C]上一点[N]到点[Q（0，3）]的距离最大值为4，过点[M（3，0）]的直线交椭圆[C]于点[A，B].

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）设[P]为椭圆上一点，且满足[OA+OB=tOP]（[O]为坐标原点），当[AB<3]时，求实数[t]的取值范围.

解析 （1）[∵e2=a2-b2a2=34，]

[∴a2=4b2.]

则椭圆方程为[x24b2+y2b2=1]，即[x2+4y2=4b2].

设[N（x，y）]，

则[NQ=x-02+y-32]

[=4b2-4y2+y-32]

[=-3y2-6y+4b2+9]

[=-3y+12+4b2+12].

当[y=-1]时，

[NQ]有最大值为[4b2+12=4].

解得，[b2=1.] [∴a2=4.]

[∴]椭圆方程是[x24+y2=1] .

（2）设[A（x1，y1），][B（x2，y2），][P（x，y），][AB]的方程为[y=k（x-3），]

由[y=k（x-3），x24+y2=1]整理得，

[（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0.]

由[Δ=242k4-4（1+4k2）（36k2-4）]得，[k2<15].

又[x1+x2=24k21+4k2，x1x2=36k2-41+4k2]，

∴[OA+OB=（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）].

则[x=1t（x1+x2）=24k2t（1+4k2）]，

[y=1t（y1+y2）=1t[k（x1+x2）-6k]=-6k2t（1+4k2）].

又点[P]在椭圆上，则[（24k2）2t2（1+4k2）2+144k2t2（1+4k2）2=4.]

化简得，[36k2=t2（1+4k2）]. ①

又[|AB|=1+k2|x1-x2|<3]，

即[（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]<3.]

将[x1+x2]，[x1x2]代入得，

[（1+k2）[242k4（1+4k2）2-4（36k2-4）1+4k2]<3，]

化简得，[（8k2-1）（16k2+13）>0，]

则[8k2-1>0， 即k2>18.]

∴[18

由①得，[t2=36k21+4k2=9-91+4k2.]

联立②解得，[3

∴[-2

点评 第（1）问转化为求二次函数最大值后，要注意变量的取值范围；第（2）问利用点[P]在椭圆上和已知向量等式得到变量[k， t]的等量关系和不等关系，联立求参数[t]的取值范围.

9.《圆锥的体积》教学设计 篇九

《圆锥的体积》教学设计

教学内容：人教版小学数学六年级下册第三单元教材第33-34页 教学目标：

知识与技能：通过“演示、猜测、操作、验证”，使学生理解求圆锥体积的计算公式，会应用公式计算圆锥的体积，并能应用圆锥体积公式解决一些实际问题。

过程与方法：培养学生的观察能力、操作能力和思维能力，发展学生的空间观念。情感态度与价值观：通过圆锥体积计算公式的推导教学，引导学生探索知识的内在联系，渗透转化思想以及猜想和验证的科学方法。感悟数学知识的魅力，增强学生的审美意识。

教学重点：多种方法推导圆锥体积的公式，理解和掌握圆锥体积的计算公式。教学难点：圆锥体积公式的推导。教具学具: 教具：课件

学具：每个小组一套圆柱和圆锥（等底等高或等底不等高或等高不等底）；适量的水；每个孩子分别准备一个直角三角形和一个长方形。教学方法：引导—发现式 教学流程：

课前学习单

1、研究圆锥的形成（可用文字叙述或画图）

2、探究圆柱与圆锥的关系：

3、探究圆柱与圆锥体积之间的关系，你是怎样探索发现的？

4、通过实验，你是否能得出圆锥体积的计算公式

用字母表示是：v柱= v锥=

人教版小学数学六年级下册第三单元第6课时 指导教师：于玲

如果已知半径、直径、周长和高，怎样求圆锥的体积？写出字母公式

一、课前学习单的汇报

①之前我们学习过圆柱的形成，请哪位同学说说是怎样形成的？它们各部分之间有什么关系？

那圆锥又是怎样形成的呢？谁来给大家演示一下？

它们两者之间又有什么关系呢？（底面都是圆„）

老师也准备一张长方形纸，旋转；沿对角线剪开再旋转，这时圆柱圆锥又有什么特点？

②圆柱的体积与圆锥的体积有没有关系呢？你是怎样探索发现的？ ㈠学生先小组内交流自己的想法，再汇报。

㈡再汇报的时候可以让这个学生进行演示，操作他的探究过程

（这个学生在边汇报、边演示的时候其他同学认真观察，看是否有异议？若有，小组合作在进行刚才的实验，找出问题、提出解决的方法）

二、学生以小组为单位，科学验证，经历研究问题的过程

①拿一组圆柱、圆锥，放在同一平面内，通过对比、比较它们的底面和高是否相等？

各小组均进行测量、对比，观察本组的实验用具是否是等底等高？

②各小组组长组织本组进行装水、倒水的动手实验操作，师进行巡视，鼓励每组的学生都尽可能的做一次，并交流发现结论。③学生汇报实验结论

板书：圆锥的体积是它等底等高圆柱体积的1/3 ④师继续追问:这是一种偶发现象吗？

学生再次进行装水、倒水实验（前后或左右小组只交换圆锥或圆柱）

当学生经历了再次不等底等高的实验后，就更加的可定：

只有在等底等高的条件下，圆锥的体积是圆柱体积的1/3 只有在等底等高的条件下，圆柱的体积是圆锥体积的3倍 ⑤在学生经历两次不同的试验后，能更加理解他们之间的关系了 得出圆锥体积的计算公式：v圆锥=1/3sh =1/3∏r2h

三、运用所学知识，解决实际问题

人教版小学数学六年级下册第三单元第6课时 指导教师：于玲

⑴求圆锥的体积

①底面积是5dm2,高是1.5dm ②底面半径2cm，高是3cm ③底面周长12.56m,高6dm

四、练习巩固 ⑴判断：

①圆锥体积是圆柱体积的1/3 ②底面积5m2 ,高3m的圆锥体积是5m2 ⑵填空：

1、一个圆柱的体积是18.84cm3,与它等底等高圆锥的体积是（）

2、一个圆锥的体积是18.84cm3,与它等底等高圆柱的体积是（）⑶提升练习: 一个底面积是12dm2,高6dm的圆柱体，它的体积是（），如果把它削成一个最大圆锥体，圆锥的体积是（）,削去部分的体积是（），削去部分的体积是圆柱体积的（），是圆锥体积的（）

五、课堂小结：

1、通过这节课，你有什么收获？用什么方法获取的？

2、得到哪些启示？

六、课堂作业：

（1）教材34页做一做1、2题（2）练习六第6、7题

板书设计： 圆锥的体积

圆锥的体积是它等底等高圆柱体积的1/3

或 圆柱的体积是它等底等高圆锥体积的3倍

圆锥体积的计算公式：v圆锥=1/3sh =1/3∏r2h

10.圆锥的体积教学设计 篇十

老城镇岗张小学

王亚磊

圆锥的体积教学设计

教学目的:

1、使学生掌握圆锥体积的计算公式,会用公式计算圆锥的体积,解决日常生活中有关简单的实际问题。

2、让学生经历猜想——验证,合作——探究的教学过程,理解圆锥体积公式的推导过程,体验转化的思想。

3、培养学生动手操作、观察、分析、推理能力,发展空间观念,渗透事物是普遍联系的唯物辩证思想。

教学重点:掌握圆锥体积的计算公式,并能灵活利用公式求圆锥的体积。

教学难点:理解圆锥体积公式的推导过程及解决生活中的实际问题。教学过程:

一、复习口算下列圆柱的体积。

①底面积是5平方厘米，高 6 厘米，体积 = ? ②底面半径是 2 分米，高10分米，体积 = ? ③底面直径是 6 分米，高10分米，体积 = ?

二、经历体验,探究新知

（一）渗透转化,帮助猜想

1、出示圆锥体容器想一想关于圆锥是怎样由圆柱演变过来的?

2、想一想圆柱和圆锥的底和高有什么关系? 圆柱和圆锥等底等高

3、引导学生:之前我们学习了圆柱的体积，大家大胆猜测一下圆锥的体积和圆柱的有机有关系么？为什么？

学生答：有。我感觉圆锥是由圆柱演变来的。圆锥的体积跟圆柱有关系。

师：大家很聪明，那大家猜一下圆柱的体积和圆锥的体积的关系是什么？

生：应该是成倍数关系。师：猜测一下，多少倍？ 生：3倍。

师：说具体，完整一点。生：圆柱体积是圆锥体积的3倍。(二)小组合作,实验验证。

1、等底等高圆柱和圆锥的体积实验

（1）教师发给每组学生一个准备好的等底等高的圆柱和圆锥、沙了,组织学生拿出等底等高的圆柱和圆锥进行实验。实验前小组成员进行组内分工,有的进行操作,有的记录„„实验中教师要及时巡视指导并参与到小组实验中去及时了解学生实验的进展情况。并指导帮助学生顺利完成实验。

（2）实验后组内成员进行交流。交流的过程中,要引导学生注重倾听别人的想法,并说出自己不同的见解。

（3）首先各小组派代表进行汇报,其它小组可以补充。然后全班进行交流实验结果:得出等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的1/3,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

2、等底不等高的圆柱和圆锥的体积实验

（1）教师发给每组学生一个准备好的等底不等高的圆柱和圆锥、沙了,组织学生拿出等底不等高的圆柱和圆锥进行实验。实验前小组成员进行组内分工,有的进行操作,有的记录„„实验中教师要及时巡视指导并参与到小组实验中去及时了解学生实验的进展情况。并指导帮助学生顺利完成实验。

（2）实验后组内成员进行交流。交流的过程中,要引导学生注重倾听别人的想法,并说出自己不同的见解。

（3）首先各小组派代表进行汇报,其它小组可以补充。

3、等高不等底的圆柱和圆锥的体积实验

（1）教师发给每组学生一个准备好的等高不等底的圆柱和圆锥、沙了,组织学生拿出等高不等底的圆柱和圆锥进行实验。实验前小组成员进行组内分工,有的进行操作,有的记录„„实验中教师要及时巡视指导并参与到小组实验中去及时了解学生实验的进展情况。并指导帮助学生顺利完成实验。

（2）实验后组内成员进行交流。交流的过程中,要引导学生注重倾听别人的想法,并说出自己不同的见解。

（3）首先各小组派代表进行汇报,其它小组可以补充。通过撒个实验得出：只有等底等高的时候圆柱和圆锥之间的体积有关系。等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的1/3.由圆柱体的体积公式推导出圆锥的体积公式。预设板书如下:

概括板书:

等底到高

V圆柱=Sh V圆锥= 1/3圆柱=1/3sh

4、深化公式。组织学生讨论

（1）通过刚才的实验，你发现了什么？（2）要求圆锥的体积必须知道什么？

5、教师组织学生独立完成书中例题后集体订正。

例1一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少？

例２在打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆，测得底面直径是４米，高是1.2米。每立方米小麦约重735千克，这堆小麦约有多少千克？（得数保留整千克）

三、巩固新知,拓展应用。

（一）判断并说明理由

1.圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（）

2.圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的1/3.（）

3.正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面积×高。（）4.等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的体积是27立方米，那么圆锥的体积是9立方米。（）

组织学生打手势判断后说明理由,并强调圆锥的体积是圆柱体积的1/3是以等底等高为前提的。

（二）实践与应用: 有一根底面直径是6厘米，长是15厘米的圆柱形钢材，要把它削成与它等底等高的圆锥形零件。要削去钢材多少立方厘米？ 组织学生进行讨论,并解决问题。

四、课后总结,感情升华。

这节课你有什么收获?你是怎样获得的? [不仅关注学生知识技能的掌握,更注重数学方法的提炼及学生的情感、态度、学习数学的信心等,促进了学生的可持续发展。]

教学反思:

1、钻研教材,创造性地使用教材。

教师在充分了解学生、把握课程标准、教学目标、教材编写意图的基础上,根据学生生活实际和学习实际,有目的地对教材内容进行改编和加工。如动手实验这一环节的设计,使学生在观察、比较、动手操作,合作交流中理解掌握新知。创造性地融入一些生活素材,加强了数学与生活的密切联系。

2、注重数学思想方法的渗透。

数学思想方法是数学知识的精髓,又是知识转化为能力的桥梁。新课伊始,便让学生自己想办法求圆锥的体积,此时学生便想办法将圆锥体的容器装满水后倒入圆柱容器中,从而求出圆锥的体积。这一过程潜移默化地渗透“转化”的数学思想方法。

3、猜想-----验证、合作交流等学习方式体现了学生的主体地位。

11.《圆锥的体积》的说课稿 篇十一

本作品是针对苏教版数学教材六年级下册第二单元《圆柱和圆锥》中的“圆锥的体积”这一知识点而设计的微课。适用于义务教育六年级即将学习“圆锥的体积”或者已经学过但仍需巩固的学生。

本节内容是在学生了解圆锥的特征、掌握了圆柱体积的计算方法基础上进行教学的，有些学生可能通过预习等途径已经知道了圆锥的体积公式，但公式是熟知的，原理是抽象的。圆锥的体积公式是如何推导而来的?怎样透过公式了解原理?对学生来说有一定的难度，所以针对这个学习内容制作了本节微课。

通过本节微课的学习，学生能突破“圆锥的体积是怎么推导得出的”这一难点，能用科学的方法来解释体积公式的由来，进而更好地理解、掌握、运用圆锥体积公式，为今后学习立体几何相关知识打下坚实的基础。

适用对象分析

本节微课适用于即将学习“圆锥的体积”或者已经学过但仍需巩固的学生。本节内容是在学生了解圆锥的特征、掌握了圆柱体积的计算方法基础上进行教学的。

高年级学生分析问题，解决问题能力逐步增强，这为学生的自主探究及合作学习创造了有利条件，他们已经掌握了一些几何知识，了解部分几何图形之间的转化方法。但学生的立体空间观念还没得到完全发展，形体之间的转化还有一定的困难。针对学生的实际，教学中我主要采用观察法，猜想、操作等方法，让学生切身体验知识的生成和形成。

学习内容分析

本节课是小学阶段几何知识的重难点部分，是小学学习立体图形体积计算的飞跃，通过这部分知识的教学，可以发展学生的空间观念、想象能力，较深入地理解几何体体积推导方法的新领域，为学生进一步学习几何知识奠定良好的基础。在教学中重视类比，转化思想的渗透，直观引导学生经历“猜测、类比、观察、实验、探究、推理、总结”的探索过程，理解并掌握圆锥体积的推导过程和计算公式。

教学目标分析

1、使学生在认识等底等高的圆柱和圆锥的基础上，经历操作、猜想、估计、验证、讨论、归纳等数学活动过程，推导圆锥的体积公式;掌握圆锥体积的计算公式，能应用公式解决相关的实际问题。

2、使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。

教学过程设计

(一)定向明法。

1、谈话：生活中有许多圆锥形的物体。

生：今年我家粮食大丰收，爸爸他们把稻谷堆成一堆一堆的，就是一个个大圆锥。可是，这些圆锥的体积怎么 求啊?

师：思考一下你能帮助马小兰同学解决这个问题吗?

2、揭示课题。

(二)实验验证

师：回忆一下：之前我们怎么探索圆柱体积公式的(把圆柱转化成长方体)

师：思考一下，我们可以怎么探求圆锥的体积?

师：哦，是的或许，我们可以把圆锥的体积转化成圆柱的体积!

1、估计圆锥和圆柱的体积关系。

出示圆柱和圆锥的直观图

师：请大家估计一下，圆柱的体积和圆锥的体积有怎样的关系呢?

问：这仅仅是我们的估计，可以用什么方法来验证我们的估计呢?

师：为了验证我们的猜想，我们一起来做个实验吧!

2、明确实验方法。

(1)实验思路：在圆锥容器里装满沙子，然后倒入空圆柱容器，看几次正好倒满，就能得出这个圆锥体积与圆柱体积之间的关系。

(2)实验注意点：①装沙子要装满，又不能多装;

②倒的时候要小心，不能泼洒;

3、汇报总结。

(1)比较原来的圆柱和圆锥形容器，有什么特点

(2)结论：等底等高时，①圆柱的体积是圆锥体积的3倍;

②圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。

(3)总结得出圆锥体积计算公式：圆锥的体积=× 底面积×高

(三)全课总结。

师：同学们，经过今天的学习，你知道圆锥体积公式是怎么推导出来的吗?以后遇到圆锥形物体，它的体积你会求了吗?

(四)课后巩固。

一堆大米，近似于圆锥形，量得底面面积是18平方分米，高5分米。它的体积是多少立方厘米?

学习指导：

12.《圆锥的体积一》教学反思 篇十二

圆锥的体积是在学生掌握了圆锥的认识和圆柱的体积计算的基础上教学的，本节教学分两个层次进行,一是推导圆锥体积计算公式,二是运用公式解决问题。本课的教学,主要采用探究式实验的方式来达成教学目标,本课的设计主要做到了以下几点:

1、大胆猜测,培养猜测意识,假设和猜想是科学的天梯,是科学探究的重要一环。任何发明创造都是离不开假设和猜想的,基于这样的认识,结合本节课教学内容的特点,在教学设计中借助教具和学具,让学生充分观察”等底等高的圆柱和圆锥“后,让学生大胆猜想它们的`体积可能会有什么样的关系,这样设计不仅仅能够培养学生的猜测意识,更重要的是能够充分调动所有学生的积极性,激起大家的探究愿望,能够为本节课的成功教学类定基础。

13.圆锥体体积公式的证明 篇十三

证明需要几个步骤来解决：

1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。

所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。

2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。)

现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。

3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。

注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。

祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

祖暅原理的思想

我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。

两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。

这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。

所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：

等底等高的三棱锥，体积都相等：

三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：

知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。

=====

下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：

注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。

下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:

1)金字塔锥的体积也是:(1/3)x底面积x高.这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:

2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。

由此可知，球体的体积 =（1/3）x 球的表面积 x 球半径.上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。

3）球体的体积。

先看半球的体积：

这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个半球，高度（球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR图里，被截的圆（绿色）面积是:πr2 = π(R2-h2).可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。

左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(2/3)πR3.-πh2.而右边的

所以，右边的半球的体积也是=(2/3)πR3.可知整个球体的体积公式是：

V=(4/3)πR3.再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：

14.第5课时：圆锥的体积 篇十四

教学内容：北师大版小学数学六年级下册第11～13页。教学目标：

1.通过动手操作实验，推导出圆锥体体积的计算方法，并能运用公式计算圆锥体的体积。

2.通过学生动脑、动手，培养学生的思维能力和空间想象能力。3.培养学生自主学习能力和小组合作学习的能力 教学重难点：

重点：掌握圆锥体积的计算公式并解决一些实际问题。难点：探索圆锥体积的计算方法和推导过程。教具学具：

等底等高、等底不等高、等高不等底的圆锥和圆柱若干套，沙、米，带有刻度的直尺，绳子等。

教学过程：

一、创设情境，提出问题

1、上节课我们学习了圆柱的体积，现在让我们来复习一下圆柱的体积公式及推导过程

（1）推导过程

（2）体积公式：板书：v=sh 要想求圆柱的体积，知道哪些条件就可以了？（字母表示）s、h（设计意图：通过复习圆柱的体积让学生明白这里运用的是一种转化的思想。）

2、（教师出示一小袋麦子）

师：老师这里有一小袋麦子，将这袋麦子倒在桌上，会变成什么形状？ 预设：圆锥

（学生猜想后教师演示）

谈话：那你能求出这堆麦子的体积吗？这一问题就是我们这节课要学习的内容。板书课题：圆锥的体积

二、自主学习，小组探究

1、引导学生借助圆柱，探讨圆锥的体积公式。

师：我们在学习一种新的立体图形体积时，常常采用什么方法？ 生:转化的方法。

（设计意图：教师的问题实际是在教给学生数学学习的经验和方法，同时渗透“类比”等数学思想。）

话题一：我们利用长方体的体积计算公式推导出了圆柱的体积，请大家大胆猜一下，圆锥的体积又和谁的体积有关呢？为什么？

【预设】

生：和圆柱的体积有关，因为他们的底面都是圆的，并且都有一个曲面。话题二：太棒了，那我们借助一个什么样的圆柱来研究圆锥的体积呢？ 【预设】

生:等底等高的圆柱和圆锥 2.猜想：

话题三：你觉得它们会有怎样的关系？ 【预设】

生1：圆锥的体积是圆柱体积的二分之一。生2：圆锥的体积是圆柱体积的三分之一 生3：圆锥的体积是圆柱体积的三分之二

生4：圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一。

师小结:那么圆锥的体积究竟是圆柱体积的几分之几呢？？接下来我们该怎么办？

下面我们就用实验的方法来验证大家的想法究竟谁是正确的。

3、用实验的方法，推导圆锥的体积公式。

（1）、引导学生观察用来实验的圆锥、圆柱的特点。

师：课前大家已经准备好了圆柱和圆锥，大家看一看，比一比，有什么特点吗？

（学生发现等底等高）（师板书等底等高）（2）、学生实验： 你想怎么实验？

请大家以小组为单位进行实验，在实验中，注意思考两个问题：（大屏幕出示这两个问题）（学生读一读思考题）

A：你们小组是怎样进行实验的？

B：通过实验，你们发现了所准备的圆锥、圆柱在体积上有什么关系？（教师指导：为了让实验更准确些，可以用尺子将米划平再倒入）（3）、学生汇报，完成计算公式的推导：

三、汇报交流，评价质疑 1.验证：

老师看到大部分小组都实验完了，得出结论了吗？哪个小组愿意来和大家交流一下你们的实验过程。

（学生实验并讲解。）

生：我们把圆锥装满米，倒入这个圆柱体当中，正好倒了3次倒满，得出圆锥的体积等于这个圆柱的体积的三分之一。

2、反馈：

其他小组也是这样实验的吗？有什么不一样的？ 生：我们小组是用沙子来做实验的，结论一样。（反例子）强调等底等高：

1同学们经过实验，发现了用来实验的圆锥的体积等于圆柱的体积的，老师

3也想做实验：出示一个非常大的圆柱，一个很小的圆锥，这个圆柱的体积是圆锥体积的3倍吗？（你有什么看法、为什么？）

1强调：圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的。（让学生说）

3师：同学们讲的太棒了，刚才我们通过动手动脑得出了这样的结论，下面我们再来回顾一下刚才的实验过程。（课件展示实验过程）

3.推导公式

师：通过刚才的实验，你觉得圆锥的体积公式是什么？

1板书：圆锥的体积=底面积×高×

3师：底面积乘高求的是谁的体积？ 字母公式是什么？V、S、h表示什么？

师：回头看，谁能回顾一下圆锥体积推导过程？（我们把圆锥体装满沙子，倒入与它等底等高的圆柱体当中，正好倒了3次倒满，得出圆锥的体积等于与它

1等底等高的圆柱的体积的，利用这一关系推导出圆锥的体积）

3（其他同学练习说一下）

找条件：根据这个公式就可以求出圆锥的体积，要计算圆锥的体积需要知道那些条件？

4、算一算：

运用这个公式就可求圆锥的体积了，请大家看一道题：

(设计意图：前后照应，应用所学的知识解决生活中的实际问题。)你会求吗？试试看。学生自己解决问题。学生板演:学生讲解。反馈：

计算公式上有无漏洞、计算上的指导（约分）、（怎么算得这么快，有好的方法么？）、单位名称上的指导（立方）等。

四、抽象概括，总结提升

同学们，本节课我们首先从复习圆柱的体积公式的推导过程入手，进而根据圆柱与圆锥之间的关系推导出了圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分1之一，即V= sh，上述的学习我们经历了猜测——验证的过程，猜想验证师3科学研究的常用方法。在本节课的学习中我们应用的是一种重要的数学思想——转化，转化也是一种重要的方法。

五、巩固应用，拓展提高 师：本节课大家说得都很好，但做得怎样呢？下面我们就通过以下题目看看同学们的掌握情况。

（一）基础关：（每位同学必答题目）

（设计意图：学生是发展的人，但发展过程中又存在着差异，设计“基础关”的题目，实则尊重全体学生，尊重智力发育迟缓的学生，保护全体孩子学习数学的热情和自信心，简单来说，这是一组保底的题目。）

（二）闯关题目：（根据喜好随意选择）

1、“有陷阱，你敢来吗？”

1（1）圆锥的体积等于圆柱体积的。„„„„（）

3（2）一个圆锥的底面积是12平方米，高是5米，它的体积是60立方米。（）（3）把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，削去的体积是圆锥的2倍。（）

2、“圆锥体积变变变”

一个圆柱形橡皮泥，底面积是12平方厘米，高是5厘米。（1）如果把它捏成底面大小一样的圆锥，圆锥的高是多少？（2）如果把它捏成高是10厘米的圆锥，求圆锥的底面积。

3、“水究竟有多深？”

如下图，将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，此时乙容器中的水有多高？（单位：厘米）

4“粮食大丰收” 一个粮仓，如右图，如果每立方米粮食的质量为500千克，这个粮仓最多能容纳多少千克粮食？

（设计意图：闯关题目中，学生随意选择来做，并按照选择题目、认真答题、查看答案的程序进行自我评价。这样的答题形式，使每个孩子都能得到不同程度的提高，改变了以往课堂“齐做题，齐纠正”的状况。）

（三）练习交流（约4分钟）

师：在刚才答题过程中，你遇到了什么样的困难解决不了？请提出来。或者你想发表一下你的合作感言也可以，大家畅所欲言吧。

（设计意图：借助学生自己的智慧，解决合作过程中某些解决不了的问题。）板书设计：

圆锥的体积 圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的

31字母公式: V= sh

3使用说明：

1.、教学反思：回味课堂，我感觉亮点之处有：

在探究圆锥体积计算方法的学习过程中，学生是参与操作的主动探索者，真正成为学习的主人。（1）首先，经历过程，体验数学。学生获得的不仅是数学知识，获得更多的是探究学习的方法以及探究成功的喜悦。(2)其次，充分发挥了学生的个性潜能。在学习中，学生按自己的观察进行猜测估计，按自己的设想进行学习，对自己学习情况进行总结，促进了学生潜能的发挥，提高了学生学习的积极性和主动性。

2、使用建议：在练习题的设计上可以根据自己的学生学习情况选择不同的题目。

3、需要破解的问题:在做实验时让学生直接实验等底等高的圆柱和圆锥的体积之间的关系好，还是把等底等高、等底不等高、等高不等底的圆柱和圆锥让学生都来做实验得出的结论好。