专题：三角函数的化简及三角恒等式的证明问题

专题：三角函数的化简及三角恒等式的证明问题

1.专题：三角函数的化简及三角恒等式的证明问题 篇一

高一（1）部数学备课小组2013年6月4日

三角函数的求值、化简与证明

教学目标

1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；

2、培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。

教学重点

掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教学难点

能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值

教学过程

一、知识归纳

1、两角和与差公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin，tantantan 1tantan

2tan 1ta2n2

2、二倍角公式：sin22sincos，tan

cos2cos2sin22cos2112sin2

1sin2

21cos21cos222sin，cos 22公式变形：sincos

3、三角函数式化简的一般要求：

①函数名称尽可能少，②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值

④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数

4、求值问题的基本类型及方法：

(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。

（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键

在于变角，使其角相同。

（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、证明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。

②证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用

单位圆三角函数线及判别法等。

二、典例分析：

题型一：三角函数式的化简

2222例1：化简 ： sinsincoscos1cos2cos2

2分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。

解略。

演练反馈：

xx 44

解：原式

=x 12

2sin2cos22．（全国卷2）（B）1cos2cos2

1A.tanB.tan2C.1D.2

题型二：三角函数式的求值

例2

（金版教程例2p144）

解：原式

3，是第二象限角，且tan()1，则tan的值是（）

533A.-7B.7C.D.44 例3：已知sin

演练反馈：

1．tan15cot15（C）

A.2

B.2C.4D.cot20cos10tan702cos40443.y=cosxsinx的最小正周期（）2.3.已知sin2cos2=a,则cos4=

（4.已知3sin2a4）ABABcos22，osAcos0B）求tanAtanB的值。（c22

1解： 2

5．设cos(

12)，sin(),且29232

239 729，0，求 2()cos解：

6.已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1,则

cos(AB)

（）。

27．若sinAB，且A,B均为钝角，求A+B的值。

解：A+B= 7

48.已知cos()0,tan0,则下列不等式关系式中必定成立的是：（c）2

A、tancos B、tancos C、sincos D、sincos 2222222229、A、B、C是ΔABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x5x10的两个实数根，则ΔABC是（钝角三角形）

题型三：三角函数式的证明

例4：证明

证明略

演练反馈： 1cosxsinx sinx1cosx

1cosxcos

求证: xsinx 1cosxsinxsin

2三、小结

1.三角函数的化简、求值、证明的基本思路是：一角二名三结构，即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.2.(1)三角函数的化简、求值、证明的基本解题规律：观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.(2)三角函数求值问题一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解.在解题中，特殊角的三角函数值一般情况下可先求出，同时要注意观察各角之间的和、差是否构成特殊角，以便化繁为简，从而使求值(或证明)问题化难为易.3.常见三角函数式的求值问题的四种类型：

(1)不含特殊角的三角函数式的求值；

(2)含特殊角的三角函数式的求值；

(3)给出某些角的三角函数的值，求与该角有关的三角函数式的值；

(4)给出三角函数式的值求角.解法：(1)发现、挖掘角的某种特殊关系；(2)灵活运用三角公式中切与弦、和与差、倍与半、升幂与降次的转换方法；(3)关键在于“变角”(角的配凑)；(4)先解所求角的三角函数，再确定角的取值.