初中数学经典几何模型

初中数学经典几何模型（共10篇）（共10篇）

1.初中数学经典几何模型 篇一

学生姓名学生年级学校 上课时间辅导老师科目

教学重点中点模型的构造(倍长中线法;构造中位线法;构造斜边中线法教学目标系统有序掌握几何求证思路,掌握何时该用何种方法做辅助线

开场:1.行礼;2.晨读;3.检查作业;4.填写表格 新课导入知识点归纳

1.已知任意三角形(或者其他图形一边上的中点,可以考虑:倍长中线法(构造全等三角形;2.已知任意三角形两边的中点,可以考虑:连接两中点形成中位线;3.已知直角三角形斜边中点,可以考虑:构造斜边中线;4.已知等腰三角形底边中点,可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.新课内容做辅助线思路一:倍长中线法

经典例题1:如图所示,在△ABC中,AB=20,AC=12,求BC边上的中线AD的取值范围.【课堂训练】

1.如图,已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:

①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE,则以上结论正确的是(A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第2题图

2.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=1, BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为(A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图,在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有(①BD=DE=EC;②AB+AE>2AD;③AD+AC>2AE;④AB+AC>AD+AE。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,在△ABC 中,AB >BC ,E 为BC 边的中点,AD 为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线,交AB 于F ,交CA 的延长线于G ,求证:BF =CG.5.如图所示,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交AC 于点F ,AE =EF ,求证:AC =BF.6.如图所示,在△ABC 中,分别以AB、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE ,F 为BC 边上中点,FA 的延长线交DE 于点G ,求证:①DE =2AF;②FG ⊥DE.F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E

7.如图所示,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,点D 为BC 的中点,点E、F 分别为AB、AC 上的点,且ED ⊥FD.以线段BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形,或者是钝角三角形? 8.四边形ABCD 是矩形,E 是BC 边上的中点,△ABE 沿着直线AE 翻折,点B 落在点F 处,直线AF 与直线CD 交于点G ,请探究线段AB、AG、G C 之间的关系.9.如图所示,△ABC 中,点D 是BC 的中点,且∠BAD =∠DAE ,过点C 作CF//AB ,交AE 的延长线于点F ,求证:AF +CF =AB.F D A B C E G F E D B C A F D B C A E

做辅助线思路二:构造中位线法

经典例题2:梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =12,BC =16,中位线EF 与对角线分别相交于H 和G ,则GH 的长是________.【课堂训练】

1.已知,如图,四边形ABCD 中,AB =CD ,E、F 分别是AD、BC 的中点,BA、FE 的延长线相交于点M ,CD、FE 的延长线相交于点N.求证:∠AME =∠DNE.2.已知,如图,四边形ABCD 中,AC、BD 相交于点O ,且AC =BD ,E、F 分别是AD、BC 的中点,EF 分别交AC、BD 于点M、N.求证:OM =ON.A B F C D N M E D A B C O E F M N P

3.BD、CE 分别是的△ABC 外角平分线,过A 作AF ⊥BD ,AG ⊥CE ,垂足分别是F、G ,易证FG= 2 1(AB+BC+AC。(1若BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线,FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系?画出图形(图1并说明理由;(2若BD、CE 分别是△ABC 的内角和外角平分线,FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系?画出图形(图2并说明理由.4.已知,如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD +BC =AB ,M 是CD 的中点试说明:AM ⊥BM。

B C M N A D 奉爱树教育个性化辅导 5.如图所示，在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，BD⊥AD 于 D，点 E 是边 BC 的中点，如果 AB＝6，AC＝14，则求 DE 的

长.6.如图所示，在△ABC 中，∠A＋∠B＝2∠ACB，BC＝8，D 为 AB 的中点，且 CD＝ AC 的长.1 97，求 2 奉爱树教育个性化辅导 做辅助线思路三：构造斜边中线法 经典例题 3：如图，△BCD 和△BCE 中，∠BDC＝∠BEC＝90°，O 为 BC 的中点，BD、CE 交于 A，∠BAC＝120°，求证：DE＝OE.【课堂训练】 1.如图，△CDE 中，∠CDE＝135°，CB⊥DE 于 B，EA⊥CD 于 A，求证：CE＝ 2 AB.2.如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，点 M、N 分别是 BC、DE 的中点，（1）求证：MN⊥DE；（2）连结 ME、MD，若∠A＝60°，求 MN 的值.DE 奉爱树教育个性化辅导 3.如图，△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点 E、F 分别在 AB、AC 上，且 AE＝EF，点 O、M 分 别为 AF、CE 的中点.求证：（1）OM＝ 1 CE；（2）OB＝ 2 OM.2 4.如图，∠DBC＝∠BCE＝90°，M 为 DE 的中点，求证：MB＝MC.教 学 后 记 学生签名： 家长签名：

2.初中数学经典几何模型 篇二

一、模型教学的应用是课程改革发展的内在需要

初中几何的教学工作是数学教学中的重点内容, 同时也是教学的难点。由于几何的学习需要一定的空间想象能力, 这对学生能力的要求又提升了一个档次, 所以很多学生在几何学习的过程中遇到了困难。教育工作者也在不断地对几何教学的方法进行探索和创新, 随着课程改革的推进, 几何教学的内容也在不断地做调整和更新, 需要采取全新的教学模式才能够适应几何教学的不断发展。素质教育的内容要遵循教学理论的要求, 有了教学理论的正确指导, 才能够保证教育工作的顺利开展。模型教学是近年来涌现出来的新的教学方法, 在内容和形式上进行了创新, 符合发展和创新的课程改革要求, 这不仅对几何教学的质量有着重要的提升作用, 同时也是数学理论教学得到全新发展的内在需求。

二、模型教学能够有效地提升几何教学的教学质量

教学效果的好坏在一定程度上是取决于教学方法的, 教育工作者之所以在不断地进行教学方式的探索和研究, 就是为了能够以全新的形式来吸引学生的注意力, 激发学生的学习兴趣, 进而有效地提升教学的质量。几何作为数学学科重要的组成成分, 采用具有创新性的模型教学形式, 能够在一定程度上吸引学生的注意力。在传统教学中, 课堂教学的主体一般都是教师, 学生处于一种被动的听讲状态, 学生的课堂参与积极程度不高, 整个课堂教学的气氛显得沉闷枯燥。学生只是在进行机械地学习, 教师也只是通过讲课的方式来灌输知识, 这样的教学方式很难让学生参与到教学的各个环节当中去, 学生逐渐会对几何教学失去兴趣, 甚至产生厌倦的心理, 这严重地阻碍了学生创造性思维的发展以及数学学习能力的提升。采用模型教学的方式, 教师可以保留课堂讲解的形式, 只是要留出一定的时间来进行模型的展示, 通过构建几何模型的方式, 教师能够为学生进行更加直观的展示, 通过数学模型的构建, 学生能够体会到几何学习的乐趣, 能够有效地提升学生的参与程度, 提高学习的积极性, 再加上教师的适当鼓励, 学生能够积极地发表自己的意见和想法。比如, 在几何教学的过程中, 当学习一些特殊图形的面积的时候, 学生在学习的过程中可能对这样的特殊图形的概念比较陌生, 通过直接求解的方式又很难得到正确的答案。这时教师可以利用模式教学, 将这样的特殊模型呈现出来, 然后进行图形的分割, 将不规则的图形分割或者是补充成几个学过的规则图形, 然后再利用各个图形之间的面积和或者是面积差来进行求解, 建立特殊图形模型的方式能够帮助学生轻松地解决数学难题, 提升数学解题的效率。另外, 模型教学的应用, 是初中几何教学中教学理念以及教学方式的一种创新, 全新的尝试能够带来不一样的教学效果, 成为提高教学质量的有效方式。

三、模型教学贯彻落实了新课程改革的需要

新课程改革的推进, 对初中几何教学有了更严格的要求, 在教学的内容以及形式上要进行全面的改革。教育工作者也在不断地进行创新和改革, 争取让学生成为教学的主体, 提高学生的课堂参与程度, 在课堂教学中, 提升学生的学习积极性, 让学生能够在几何学习中获得乐趣。模型教学的形式能够使抽象的数学知识更加形象化, 在教学的过程中以全新的形式带给学生不一样的学习体验, 让学生能够充分地发挥自身的主观能动性, 在几何教学中有效地培养学生思维能力的发展。这样的教学效果正是教育改革的要求, 模型教学的方式能够达到这样的教学效果, 所以说, 模型教学有效地贯彻和落实了新课程改革的需要。

四、模型教学为课程改革的发展提供了借鉴意义

教育改革面向的对象不仅仅是数学这一学科, 在其他专业或是学科中也同样在进行改革, 教育改革的全面发展是推动教学质量的有效手段。只有进行不断的改革创新, 才能够迎来新的发展。教育工作者只有不断地致力于教学方式的探索, 进行有效的改革才能够达到最终的教学目的。改革首先要考虑的就是学生的发展需求, 要根据学生的实际情况, 在课程设置上进行改革和创新, 结合大量的教学实践和经验, 在教学的理念和方式上不断地进行创新。模式教学的应用对课程改革的发展有了全新的启示, 提高学生课堂参与程度的教学方式对于整体的教学效果有着重要的影响, 所以说在今后的课程改革中将改革的重点内容放在提高学生积极性的方面, 模型教学对几何教学的新课程改革有着借鉴意义。一方面, 模型教学的应用, 可以取得良好的教学效果, 能够促进教育改革的发展, 提高人们的重视程度;另一方面, 模型教学的方式还可以引入到其他学科的教学中去, 促进教育改革的全面发展。

3.初中数学经典几何模型 篇三

一、教学手段直观化——活学

要使学生很好地理解几何知识方面的计算公式，教者必须借助有效的直观手段，帮助学生建立有关几何图形的清晰表象，掌握几何图形的特征，理解计算公式的建模过程，发展学生的空间观念和形象思维能力。教者除了借助实物、模型进行直观演示外，操作和画图是最好的直观化手段。

1，动手操作。心理学家皮亚杰指出：儿童的思维是从动作开始的。学生动手操作是一种特殊的认知活动。这一动态的活动既满足了学生好奇、好动、好表现的心理特点。又可以集中学生的注意力，激发学习的动机。通过操作活动，能够促进学生更深刻地理解数学知识，从中建立空间感。在实际教学中，老师大多是让学生进行实物操作和学具操作，却忽视了手势操作。实物操作和学具操作是手势操作的前提，但用得过多，就易使学生过于依赖外在的物体使思维水平停留在低层次的视觉和触觉操作层面：而手势操作的优势就是让学生借助短暂的实物操作和学具操作所积累的感知经验，通过想象、比划和口头表述等外部活动促进内部思维活动快速高效地展开，使学生在头脑中迅速生成关于外在感知对象的清晰表象。学生借助于头脑中的表象就能易如反掌地掌握几何图形的特征，理解相关的计算公式。发展自己的空间观念和形象思维能力。如：我在教学长方体面的特征时，先让学生拿实物或自制的模型摸一摸长方体的6个面，观察相对面的大小关系，紧接着就果断抛开实物与模型，让学生在眼前想像一个长方体，并用两个手掌相对，分别比划出它的前后面、左右面和上下面，并戏称这是在玩“降龙十八掌”，学生兴致极高。接着进行比划竞赛：师说出一个面或相对面，生用手掌比划，看谁反应快。通过巧妙的比划游戏，有关面的特征就不只是写在黑板上的一段枯燥抽象的文字(长方体有6个面，3组相对面，相对面是完全相同的长方形)。而是已经牢牢地建立在学生脑海中以具体形象为基础的心智图像。学到棱的时候，我同样先让学生借助实物或模型数棱，认识相对棱，概括出棱的特征后，我带领学生玩食指禅功：每个学生与同座面对面，共同想像出一个长方体，各自伸出2个食指，合作比划同一方向的四条棱，边比划边说：左右(上下、前后)方向四条棱；然后进行比划相对棱的游戏：师发口令，同座合作比划，看哪一组同学动作快!有了这样的手势操作，12条棱的清晰表象已牢牢地建构在学生的脑海中了。正是由于巧妙地借助动手操作尤其是手势操作帮助学生建立了有关长方体面、棱特征的具体表象，学生在建构有关长方体的表面积和棱长总和计算公式时就表现得相当积极主动。感觉特容易、特爽!而当我在总复习时让学生说出长方体的特征时。学生们倒背如流、口若悬河。难怪呀!十指连心那!

2，画图法。建构数学图像语言的材料是十分丰富的。而画图相对于实物和模型操作来说，更方便、更经济，相对于手势操作来说。更清晰、更直观，更利于揭示数学模型的本质特征。更利于学生充分展开数学思维。如在教学圆柱体的表面积公式S=C(H＋R)时，我就借助了画图法。圆柱体表面积公式书上只介绍了S表＝S底×2＋S，而我在一开始的教学中也没有将S＝C(H＋R)介绍给学生。因为当时考虑到有关面积方面的公式太多，学生易混淆，怕增加学生的学习负担。之后的综合练习中出现了有关这一公式的选择题，全班无一人答出。于是我决定与学生共同探讨这一计算公式。

师：圆柱侧面展开是什么图形?(长方形)长、宽各是多少?(C和H)

根据学生的回答师画图1。

师：圆柱底面的圆形可以剪拼成什么图形?(长方形)长、宽各是多少?(∏R，R)将上下两个圆形底面剪拼成的长方形拼成更大的长方形，长、宽各是多少?(2∏R和R，也就是C和R)

根据学生的回答师画图2。

師：将长、宽是C和H的长方形与长、宽是C和R的长方形上下再拼起来，又得到了什么图形?(长方形)长、宽各是多少?(C和H＋R))怎样求它的面积?所以圆柱的表面积还可以怎样算——

学生们顿时两眼放光。纷纷举手，有的竞手舞足蹈地大喊起来：S＝C(H＋R)

师反问：记住了这幅剪拼图。还发愁记不住这一公式吗?

生：NO!这一公式太容易了，太简单了，我更喜欢这一公式!

由于巧妙借助了画图法，学生轻而易举地就掌握了这一公式，并大有相见恨晚之感。所以，只要有直观形象的教法和学法，再难的知识也会变得简单容易。

我觉得手势操作和画图法是几何知识教学中非常有用的直观手段，是帮助学生迅速高效地生成清晰表象、发展形象思维能力和空间观念的捷径，经济、方便、简单、实用，事半功倍。

二、沟通联系系统化——活记

有关几何知识方面的计算公式多而杂。经过一段时间的学习后，要及时引导学生对这部分知识进行系统地梳理、整合，沟通内在的联系，让学生亲历温故知新的过程，通过比较、辨析知识之间的联系和区别，形成一个比较完整的知识网络。这样不仅能使学生更好地掌握知识的本质。加深对公式全面而系统的认识，便于深刻理解和长久记忆，达到牵一发而动全身的功效；更能提高所学知识的通识性，使学生在运用数学模型解决实际问题时能融会贯通、灵活变通、左右逢源、游刃有余!如有关圆的长度和面积计算公式，书上只介绍了5个，即d＝2r，r＝d÷2，C＝∏d，C＝2∏r，S＝∏r。而在实际运用中。常要进行公式的逆用，如已知周长求半径或直径；或不能直接用公式计算，如已知直径或周长求圆的面积。于是我又增加了相应的4个计算公式：d＝C÷∏，学了半圆和圆环后，我又增加了相应的5个计算公式。这样有关圆方面的计算公式就是14个。而这14个公式的联系是相当密切的。只要抓住其中的3个基本公式(d＝2r，C＝∏d，S＝∏r)进行逆向反推或正向类推。其余公式就水落石出，记忆它们也就不费吹灰之力了。

在记忆这些公式时，我要求学生完整表述，如：已

知直径求半径的公式是r＝d÷2，已知周长求半径的公式是r＝C÷∏÷2。这样不仅使学生彻底搞清公式之间的区别，还能使学生在实际运用中能根据已知条件灵活选用合适的计算公式，从而真正达到活记活用、学为所用的目的。而在教学圆周长的一半和半圆周长时，我则自创出字母和图形相结合的计算公式，便于学生更好地把握公式内涵，同时还让学生边比划手势边口述公式，从而使学生真正心领神会地建构了这一数学模型，真可谓“一两拨千斤”。

从教学效果看。这14个公式不仅没有增加学生的学习负担，反而让学生真切地感受到知识的联系性与系统性，体验到巧学活记的轻松愉悦，感受到数学公式的简洁美和灵活美，提高了思维的逆向性、综合性、灵活性和敏捷性，使所有学生(包括数学后进生)真正获得数学学习的成功。

由于有关圆的计算公式学得深刻而系统，使得学生的认知结构更具迁移性和通识性，所以学生在学习有关圆柱的计算公式时显得得心应手、易如反掌。在毕业总复习时，学生们很轻松地就回忆起有关平面图形和立体图形的36个公式，他们的驾轻就熟、了如指掌让我也有几分吃惊。于是我试探地问：已经将这36个公式熟记于心的请举手!刹那间，教室里小手如林!是那样的自信与愉悦!我心中好一阵感动与自豪!由此可见，融会贯通、自成系统的知识一定是活的知识、活的智慧!它就像滚动的雪球，越“滚”越大，越“滚”越快。越“滚”越富有灵性；学生也越学越轻松，越学越聪明，越学越富有智慧!

下面就是我与学生共同整理出来的有关小学数学几何知识的全部计算公式，共36个!数学模型的简洁概括、直观通融之美尽显其中!

三、指导解题有序化——活用

记住了计算公式不等于就会用公式解决实际问题。在解决几何实际问题时。我们可以通过由“单位——公式——算式——竖式”组成的“四点三步”的解题流程来指导学生思考，渗透解题策略，提高学生的实践能力和解决问题的本领。

1，圈“单位名称”定解题方向。在几何知识的实际运用中，涉及到的单位较多，包括长度单位、面积单位、体积单位、容积单位、质量单位等。在审题过程中，让学生圈出题中的所有单位名称，不仅可以加强学生对不同单位名称的关注，明确是否需要同类单位名称间的互化，还能根据不同单位名称的量之间的联系定出解题方向和思路。可以说，单位名称就是几何应用题的解题线索和思维命脉。

案例1：做一个底面直径0.6米，高1米的圆柱形油箱，至少需要多少平方分米的铁皮?如果每升汽油重0.8千克，这个油箱能存汽油多少千克?

在分析思路时，我是这样引导学生进行分析的：

师：本题中有哪些单位名称?需要单位互化吗?

生1：本题中有长度单位米，面积单位平方分米，容积单位升，质量单位千克。要将长度单位米化为分米，再求面积，因为面积单位是平方分米。

生2：也可以先求出圆柱的表面积是多少平方米，再化为平方分米。

师：很好!如何解决第二个问题?

生3：升是容积单位。由“每升汽油重0.8千克”可知汽油质量与油箱的容积有关，所以先求油箱的容积是多少立方米，并化为多少升，再求汽油质量。

生4：也可以先将长度单位米化为分米，再求出容积是多少立方分米，也就是多少升，最后求汽油质量。

对于这道题，学生的易错点首先就是忽略单位互化。再有，就是习惯用第一问中求出的结果乘0，8，求第二个问题的结果。而抓住单位名称来进行分析，这两个易错点就迎刃而解了。

2，由已知条件定计算公式。有关几何知识的计算公式很多。除了在教学计算公式时要让学生明白每个公式是已知什么求什么外，在实际解题时，更应要求学生根据题中的已知条件准确、灵活地确定相应的计算公式，并正确无误地写出来。这样既巩固了公式的记忆，又提高了灵活运用公式的能力，培养了应用数学模型解决实际问题的能力，达到学以致用的目的。在审题时。要提醒学生注意一些重要字眼，如：“无盖”、圆锥、通风管、烟囱、压路机等，以提高公式运用的正确性、灵活性。

在案例1中。由于题中已知圆柱的直径和高，所以求圆柱表面积的公式是：S＝∏(d÷2)2×2＋∏dh，求容积的公式是：V＝∏(d÷2)h。

案例2：一个圆锥形小麦堆，底面周长为12.56米。高1.5米。每立方米小麦重750千克，这堆小麦约重多少千克?

分析：这一题要先由底面周长和高求出圆锥的体积，再由体积求小麦的质量，所以选用的公式是：V＝∏(C÷∏÷2)h÷3

3，由“三式一体”确保解題质量。所谓“三式一体”，就是要求学生在解题时详写每道题的公式、算式、竖式，通过“三式”连续正确高效的书写，提高答题的效率。让学生将公式写出来，不仅可以使教者清楚地了解学生的思路，进行有针对性的指导，还使学生进一步巩固公式的记忆，并对照公式正确列出算式，避免因解题条件过多而发生漏写的情况。正确写出公式和相应的算式后，还要认真写竖式，克服怕算抄算的恶习，准确、认真地算出计算结果，踏实有效地提高计算能力，培养良好的学习习惯。

有关圆、圆柱、圆锥等几何知识方面的计算繁杂易错，为了提高计算的速度和正确率，教者要在具体的学习情境中进行算法指导。首先是注意口算与笔算的结合。如计算案例2中的算式时，通过乘法结合律将与750相乘为250，(12.56÷3.14÷2)与1.5相乘为6，250与6相乘为1500，最后列竖式计算3，14乘1500为4710。求案例1中的汽油重量时，先将算出72，再列竖式计算3.14乘72得226.08。其次是要求学生在计算中有意识地记住某些常见数据。同时借助估算来帮助检验笔算的正误。如：3.14x16，可把3.14看成3，3乘16为48，所以3.14x16＝50.24；如果算成3.14x16＝18.84，显然就错了。另外，由于计算多了，学生对有关3.14方面的计算就形成了一定的直觉，感觉某些结果很眼熟，如：113.04，226.08，78.5，7.065，100.48，471，56.52等。所以不妨提醒学生借助数感与直觉来判断计算的正误。

4.初中数学几何教案 篇四

1.打开电视，播放一个城市的现代化建筑，学生认真观看.

2.提出问题：

在同学们所观看的电视片中，有哪些是我们熟悉的几何图形?

二、新授

1.学生在回顾刚才所看的电视片后，充分发表自己的意见，并通过小组交流，补充自己的意见，积累小组活动经验.

2.指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称.

学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等.

教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征.

3.立体图形的概念.

(1)长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形.

(2)学生活动：看课本图4.1-3后学生思考：这些物体给我们什么样的立体图形的形象?(棱柱和棱锥)

(3)用幻灯机放映课本4.1-4的幻灯片(或用教学挂图).

(4)提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形?

(5)探索解决问题的方法.

①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出问题的答案.

②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角形等.

4.平面图形的概念.

长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形.

注：对立体图形和平面图形的概念，不要求给出完整的定义，只要求学生能够正确区分立体图形和平面图形.

5.立体图形和平面图形的转化.

(1)从不同方向看：出示课本图4.1-7(1)中所示工件模型，让学生从不同方向看.

(2)提出问题.

从正面看，从左面看，从上面看，你们会得出什么样的平面图形?能把看到的平面图形画出来吗?

(3)探索解决问题的方法.

①学生活动：让学生从不同方向看工件模型，独立画出得到的各种平面图形.

②进行小组交流，评价各自获得的结论，得出正确结论.

③指定三名学生，板书画出的图形.

6.思考并动手操作.

(1)学生活动：在小组中独立完成课本第119页的探究课题，然后进行小组交流，评价.

(2)教师活动：教师对学生完成的探究课题给出适当、正确的评价，并对学生给予鼓励，激发学生的探索热情.

7.操作试验.

(1)学生活动：让学生把准备好的墨水瓶包装盒裁剪并展开，并在小组中进行交流，得出一个长方体它的平面展开图具有的一个特征：多样性.许多立体图形都能展开成平面图形.

(2)学生活动：观察展开图，看看它的展开图由哪些平面图形组成?再把展开的纸板复原为包装，体会立体图形与平面图形的关系.

三、课堂小结

1.本节课认识了一些常见的立体图形和平面图形.

2.一个立体图形从不同方向看，可以是一个平面图形;可以把立体图形进行适当的裁剪，把它展开成平面图形，或者把一个平面图形复原成立体图形，即立体图形与平面图形可以互相转换.

注：小结可采取师生互动的方式进行，由学生归纳，教师进行评价、补充.

四、作业布置

1.课本第123页至第124页习题4.1第1～6题.

2.选用课时作业设计.

课时作业设计

一、填空题.

1.如下图所示，这些物体所对应的立体图形分别是：___________.

二、选择题.

2.如下图所示，每个图片都是由6个大小相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是( ).

A B C D

3.如下图所示，经过折叠能围成一个棱柱的是( ).

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

三、解答题.

4.桌上放着一个圆柱和一个长方体[如下图(1)]，请说出下列三幅图[如下图(2)]分别是从哪个方向看到的.

5.如下图，用4个小正方体搭成一个几何体，分别画出从正面、左面和上面看该几何体所得的平面图形.

6.如下图，动手制作：用纸板按图画线(长度单位是mm)，沿虚线剪开，做成一个像装墨水瓶纸盒那样的长方体模型.

答案:

一、1.正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱

5.初中数学几何图形综合题 篇五

必胜中学 2018-01-30 15:15:15

题型专项 几何图形综合题

【题型特征】 以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】 解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】 几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】 几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.类型1 操作探究题

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.(1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；(2)若∠DAF＝∠DBA.①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD＝90°.∴∠BAC＝∠BAD＝45°.∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°.∴AC＝BC.(2)①AF＝BE.理由：

由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.∵∠ABD＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.由旋转得，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形．∴AD＝BD.在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；2.AD＝BD；∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.②如图

3.∠FAD＝∠EBD，由旋转得∠BAC＝∠BAD.∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.设BD＝a，作BG平分∠ABD，∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根号5）/2。∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED.∴BD/AD＝BE/AF.∴AF＝BD/AD·BE＝（1+根号5）/2*x.2．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图2.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由． 解：(1)证明：延长ED交AG于点H，∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，∴OA＝OD，OA⊥OD.在△AOG和△DOE中，1.OA＝OD；2.∠AOG＝∠DOE＝90°；3.OG＝OE ∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，∵OA＝OD＝1/2*OG＝1/2*OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OA/OG′＝1/2 ∴∠AG′O＝30°.∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.②AF′的最大值为2分子根号2＋2，此时α＝315°.提示：如图

当旋转到A，O，F′在一条直线上时，AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2分子根号2.∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.∴OF′＝2.∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根号2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

解：(1)由折叠可知△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB.∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根号3＝根号3。(2)如图1，延长MN交AB延长线于点Q.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.∴∠DMA＝∠MAQ.由折叠可知△ANM≌△ADM，∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.∴∠MAQ＝∠AMQ.∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x.在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.∴NQ＝4，AQ＝5.∵AB＝4，AQ＝5，∴SΔNAB＝4/5*S，ΔNAQ＝4/5·1/2·AN·NQ＝24/5.(3)如图2，过点A作AH⊥BF于点H，则△ABH∽△BFC，∴BH/AH＝CF/BC.∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴当点N，H重合(即AH＝AN)时，DF最大．(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)此时M，F重合，B，N，M三点共线，△ABH≌△BFC(如图3)，∴DF的最大值为4－根号7

图1

类型2 动态探究题

4．(2016·自贡)已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边CD的长；

(2)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO，线段OP，连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P，A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.∴∠APD＋∠DAP＝90°.∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，设OP＝x，则CO＝8－x.在Rt△PCO中，∠C＝90°，由勾股定理得，解得x＝5.∴AB＝AP＝2OP＝10.∴CD＝10.(2)过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.∵AP＝AB，MQ∥AN，∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.∴MP＝MQ.∵BN＝PM，∴BN＝QM.∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝0.5PQ.∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.在△MFQ和△NFB中，1.∠QFM＝∠NFB；2.∠QMF＝∠BNF；3.MQ＝BN ∴△MFQ≌△NFB(AAS)．∴QF＝BF＝0.5QB.∴EF＝EQ＋QF＝0.5PQ＋0.5QB＝0.5PB.由(1)中的结论可得PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴在(1)的条件下，当点M，N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2*根号5.5．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(5，2)，点P是CB边上一动点(不与点C，B重合)，连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y.(1)当x为何值时，OP⊥AP?(2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积．若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意知OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA.∵OP⊥AP，∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°.∴∠OPC＝∠PAB.∴△OPC∽△PAB.解得x1＝4，x2＝1(不合题意，舍去)． ∴当x＝4时，OP⊥AP.(2)∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO.∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO.∴y＝x－4/x(2

(3)存在x符合题意．过点E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF＝AB＝2.∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝1/2·5ED.∴ED＝4，EF＝2.∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA.解得y＝5/2.6．如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6.如图2，矩形ABCD沿O B方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)当t＝5时，请直接写出点D，点P的坐标；

(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作

PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值． 解：(1)D(－4，3)，P(－12，8)．(2)当点P在边AB上时，BP＝6－t.∴S＝0.5BP·AD＝0.5(6－t)·8＝－4t＋24.当点P在边BC上时，BP＝t－6.∴S＝0.5BP·AB＝0.5(t－6)·6＝3t－18.类型3 类比探究题

7．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.(1)求证：PC＝PE；(2)求∠CPE的度数；

(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP ∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.又∵PA＝PE，∴PC＝PE.(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.∴∠DCP＝∠E.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°.(3)在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP ∴△ABP≌△CBP(SAS)． ∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.∵PA＝PE，∴PC＝PE.∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP.∴∠DCP＝∠AEP.∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°.∴△EPC是等边三角形．∴PC＝CE.∴AP＝CE.8．已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.(1)如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE＝1，AE＝2，求CE的长；

(2)如图2，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC＝EF/FC＝k时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；

(3)如图3，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)

解：(1)证明：①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴∠ACB＝45°，∠ECF＝45°.∴∠ACB－∠ECB＝∠ECF－∠ECB，即∠ACE＝∠BCF.∴△CAE∽△CBF.②∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AE/BF＝根号2.∴BF＝根号2.又∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.解得CE＝根号6.(2)连接BF，∵AB/BC＝EF/FC＝k，∠CFE＝∠CBA，∴△CFE∽△CBA.∴∠ECF＝∠ACB，CE/CF＝AC/BC.∴∠ACE＝∠BCF.∴△ACE∽△BCF.∴∠CAE＝∠CBF.∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，题型2 与圆有关的几何综合题

9．(2016·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE.(1)求证：△ABD∽△AEB；(2)当BC(AB)＝3(4)时，求tanE；

(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径．

解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC.∵DE是直径，∴∠DBE＝90°.∴∠E＝90°－∠BDE.∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE.∴∠ABD＝∠E.∵∠BAD＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F.⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH.(1)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；(3)在(2)的条件下，求HG·HB的值．

解：(1)直线BD与⊙O 相切．理由：连接OB.∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴DB＝DC.∴∠DBC＝∠C.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE＝∠CED.∵DF⊥AC，∴∠CDE＝90°.∴∠C＋∠CED＝90°.∴∠DBC＋∠OBE＝90°.∴BD与⊙O相切．(2)连接AE.在Rt△ABE中，AB＝BE＝1，∴AE＝根号2.∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝根号2.∴BC＝1＋根号2.∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠DFA.又∠CBA＝∠FBE＝90°，A B＝BE，∴△CAB≌△FEB.(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°.∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°.∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°.∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°.∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°.11．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

(1)试说明CE是⊙O的切线；

(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当1/2CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

解：(1)证明：连接OC.∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.∴∠OCE＝90°.∴CE是⊙O的切线．

12．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的反向延长线上，EP＝EG，(1)求证：直线EP为⊙O的切线；

(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.试证明BG＝PG；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝根号3/3.求弦CD的长．

解：(1)证明：连接OP.∵EP＝EG，∴∠EGP＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BGF＋∠OBP＝90°.∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即∠EPO＝90°.∴直线EP为⊙O的切线．(2)证明：连接OG，AP.∵BG2＝BF·BO，∴BG/BO＝BF/BG 又∵∠GBF＝∠OBG，∴△BFG∽△BGO.∴∠BGF＝∠BOG，∠BGO＝∠BFG＝90°.∵∠APB＝∠OGB＝90°，∴OG∥AP.又∵AO＝BO，∴BG＝PG.13．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA＝6，OB＝8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0＜t≤5)以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB，OA的交点分别为C，D，连接CD，QC.(1)当t为何值时，点Q与点D重合？

6.初中数学几何概念和定理教学探析 篇六

一、重视概念和定理的引入方法

首先, 教师要在课堂教学中抓准时机, 将几何概念和定理自然地引出来, 进一步揭示其产生的基础和背景, 使学生能够在充分理解的基础上掌握和运用几何概念和定理。由于几何概念和定理是前人从生活中抽象出来的精辟的理性认知, 单纯让学生死记硬背, 教学效率必然不会理想。因此, 数学教师要选择恰当的时机来引入概念和定理, 并引导和帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡。而这就要求教师在课前做好充足的准备工作, 为学生提供丰富的直观资料。比如, 在平行线概念的教学中, 教师可以利用铁路两条笔直平行的铁轨、汽车行驶后留下的车轮印等来引出这一概念。在课堂的一开始, 教师可以先让学生观察铁轨和车轮印有什么共同之处, 并对其特点进行分析, 在此基础上引出平行线的概念, 最后让学生根据自己对概念的理解列举更多的实例, 巩固对知识的掌握。在引入几何概念和定理的过程中, 教师要注意, 生活实例并不是几何概念和定理, 有的生活实例遗漏了概念和定理的某些本质属性, 有的包括了非本质属性, 这就要求教师做好引导部分的教学, 防止学生对概念和定理的曲解, 走向另一个极端。

其次, 初中几何的各部分知识虽然是独立的, 但教材也遵循着循序渐进、逐步深入的原则来安排教学内容, 而且这些内容是具有系统性、联系性的。因此, 在几何概念和定理教学中, 教师不能生硬地灌输给学生, 而要在他们已经掌握了某些概念和定理的基础上引入新的学习内容, 让学生认识到新旧知识间的联系, 同时要揭示新旧知识间的矛盾, 使他们认识到学习新概念和定理的必要性。而这就要求初中数学教师在备课环节全面深入地分析新的几何概念和定理在整个系统中的位置和作用。

二、探索多种定理证明方法

几何是集思维和方法于一体的知识, 一个定理的证明往往有多种方法, 这些方法又常常涉及到许多数学知识。因此, 定理教学中不仅要考虑到定理证明的分析和综合, 还要考虑到其他可能的证法, 要有效地抓住定理教学的机会, 使学生综合运用所学知识, 同时培养他们的数学思维、渗透数学学习方法。具体的教学中, 首先, 教师要善于通过自己的行为影响、带动学生。如果教师在思想上十分重视定理证明的多样化, 必然在平时教学中表现出来, 学生受其影响在解决问题的时候就会从多个角度加以思考。事实上, 有些数学教师不会耐心引导学生去探究方法, 而是简单地讲解定理的意思或者选择一种最简单的证明方法传授给学生, 虽然从某种意义上讲达到了让学生易于理解的目的, 但是却使学生的思维被禁锢, 无法得到多方面的发展。久而久之, 必然导致学生觉得几何定理枯燥乏味, 加之几何定理学习本身具有抽象性, 就会使学生失去对几何定理学习的信心和耐心。其次, 在定理教学时, 教师要注意引导、启发学生去探索定理的其他证法, 这样既有利于加深学生对定理的理解, 又有利于培养学生综合运用知识的能力。此外, 教师还必须注意可能出现的错误证法, 究其错误原因, 防止或减少错误的发生。比如, 在讲三角形内角和定理的证明时, 我先启发学生发现第一种证明方法中蕴含的思想和方法, 然后给学生充分的时间去积极思考, 热烈讨论, 探索其他方法, 学生在探索的过程中不断体会本节课的中心数学思想——转化思想, 同时积极讨论使课堂气氛达到了高潮, 学生都争先恐后地表达自己的想法, 极大地带动了中下层学生课堂参与性。最令我高兴的是学生找到了六种证明方法, 还有一些学生找到的方法超出我的预料, 虽然是错误的但也带给无数的惊喜, 使我感叹学生的创造力和想象力。

三、抓住概念和定理的本质, 促进学生理解

几何定理是我们对研究对象的本质属性的概括, 措辞更是精炼, 每个字词都有其重要的作用。为了深刻领会概念和定理的含义, 教师不仅要注意对概念和定理论述时用词的严密性和准确性, 还要及时纠正学生用词不当及概念和定理认识上的错误, 这有利于培养学生严密的逻辑思维习惯, 使他们逐步养成对定义的深入钻研, 逐字逐句加以分析, 认真推敲的良好习惯。例如, 在讲解等腰三角形概念时, 一定要强调概念中的有两条边相等的“有”字, 而不是只有两条边相等的“只有”二字。前面的有两条边相等包括了两种情况:一是只有两条边相等的等腰三角形, 即腰与底不相等的等腰三角形;二是三条边相等的等腰三角形又叫等边三角形, 而后面的仅仅涉及到一种情况, 排除了等边三角形也是等腰三角形的这一特殊情况。又如, 不在同一直线上的三点确定一个圆, 若改写成三点确定一个圆, 得出一个新命题, 它既包括了三点在同一直线上又包括了三点不在同一直线上的两种情形, 而在同一直线上的三点不可能确定一个圆, 即圆上任意三点都不在同一直线上。所以将不在同一直线上三点确定一个圆写成三点确定一个圆是不成立的。因此, 在讲述此概念时应突出“不在同一直线上”这句话。

概念和定理是几何证明的基础, 有效的定理教学有助于学生对证明全面的理解;有利于教师使用较规范的数学语言表达证明过程, 有利于教师清晰而有条理地表述自己思想, 有利于激发学生对数学证明的兴趣心。新的教学理念对教师提出更高的要求, 作为教育工作者, 我们只有在教育教学的实践中多总结、多反思、大胆创新, 才能跟上时代的步伐!

摘要：随着初中新课程的改革, 初中数学的教学内容和方法也发生了很大的变化, 几何与代数成为初中数学教学内容的重要组成部分。不同于代数知识内容的简单性, 几何内容十分丰富, 涉及面广, 理论性强的原理、公式也较多, 证明过程复杂, 这就对学生的立体思维能力和想象能力提出了很高的要求, 也给教师的教学工作增加了难度。因此, 加强对初中数学几何概念和定理的研究, 探索有效的教学策略, 值得每一位数学教育工作者重视。

关键词：初中数学,几何定理,教学效率

参考文献

[1]朱宁.浅谈初中几何教学[J].教育教学论坛, 2011 (16) .

7.初中数学几何的入门教学策略 篇七

【关键词】初中数学  几何  入门教学  提高策略

几何的学习对学生的智力、空间想象能力、逻辑思维能力都有着重要的作用。在初中数学的学习中几何教学占着相当的比例。由于几何学科具有一定的抽象性，学生在学习的过程中突然接触到图形形式的教学，不能够从代数学习的思维中跳出来，对于陌生抽象的知识容易产生畏惧心理，造成学习上的困难。要想让学生实现从数的形式到图的形式的学习，可以对学生进行几何的入门教学，端正学生的学习观念，培养正确的学习方法，让学生形成科学的思考方式。

一、联系生活，激发学生的学习兴趣

对于一门学科的学习，首先要让学生产生学习的兴趣，有了兴趣学生才会更加积极地投入到学习当中。在几何教学过程中，教师可以用联系生活的方法开展教学，与学生的生活经历产生共鸣，从而激发学生的学习兴趣，让学生喜欢上几何学习。比如：可以利用一些学生生活中常见的事物作为教学的辅助工具，帮助学生理解。在学习平行的概念时，教师可以先问学生有没有过马路走斑马线的经历，这肯定是学生都有过的，然后问学生斑马线有什么特点，学生通过对生活中熟悉的事物进行回想，很快就能够对平行线的概念有所了解，同时让学生在教室中找找还有没有这样平行的事物，激发学生的学习兴趣，活跃课堂的气氛，让学生能够积极地投入到几何学习当中来。

二、动手操作，加深学生对几何图形的了解

在教学的过程中，理论知识的讲解学生可能会觉得枯燥乏味，产生厌倦的情绪。教师在课堂教学中可以适当地让学生进行动手操作，让学生进行知识的探索。在教学中经常让学生观察一些几何模型，通过对实物的观察，能够在学生的脑海中形成深刻的印象，另外让学生进行一些简单的动手操作对于学生的学习和理解也是有重要的帮助作用的。比如学习三角形的两边长度之和永远大于第三条边的长度的时候，可以让学生自己动手进行探究验证，让学生用剪刀在纸上剪出各种不同的三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，等边三角形，等腰三角形等各种形式的，然后用尺子进行一一测量，通过实际的动手操作，验证这样的一个定理。还可以用同样的方法验证三角形的内角和为180度的定理，让学生在原来的剪纸基础上，拿出量角器对各种三角形的三个角进行测量，验证定理。学生在这样的动手操作中，会发现几何知识的奇妙之处，这要比一开始就进行原理的书面证明的形式更能让学生信服，而且能够加深学生对定理的印象。

三、细心指导，教会学生有条理地推理

几何教学中会出现很多命题判断和证明的题目，这类题目是让学生感觉比较头疼的一类，原因就是因为学生没有掌握正确的推理方法。在几何证明题目中，推理能力是解决问题的关键，推理能力的培养对于学生今后的学习也会产生很大的帮助。教师在教学的过程中要注重例题的精讲，根据一些简单的推理证明题目，对学生开展入门教育。首先要从引导学生理解题意开始，在讲解例题的过程中一定要耐心引导学生，一步一步分析说明题意，然后根据题意进行规范的证明步骤的教学，层层相扣，让学生跟着教师的思维一起，鼓励学生积极思考。在证明的过程中可以在某一步稍加停顿，让学生去思考接下来的证明步骤，给学生留出思考的时间，防止学生按照例题的形式机械模仿。

四、合作交流，进行回顾与反思

几何教学对学生的观察能力，思维能力都有着一定的要求，要注重培养学生思考和观察的能力。可以将学生分为几个小组，让小组之间对遇到的问题进行合作探讨，通过学生之间掌握知识的互补，帮助学生解决问题，同时还能够培养学生独立思考的能力。学生之间的合作交流能够培养学生的团队合作意识，同时在合作交流的过程中教师还可以让学生进行知识的回顾和反思，小组内的每个学生都回忆一点学过的知识点，然后汇聚在一起，相当于对学过的知识进行了复习，同时学生再想不出其他学生想到的知识点的时候也会对自身知识的掌握状况有了具体了解，是对自身知识学习的一个反思过程，以这样的方式对学生的几何教学进行入门引导，一步步提高学生的几何学习能力。

五、总结

总而言之，虽然初中几何教学的入门教学是比较困难的，但是只要运用合适的教学方法，让学生对几何学习产生兴趣，逐步培养学生对几何知识的求知欲望，用学生熟识的事物来辅助教学，使学生对几何知识不再陌生，教师根据学生的实际情况耐心指导，制定符合实际情况的教学计划，帮助学生提高几何学习的成绩，切实提高几何入门教学的质量。

【参考文献】

[1] 张伟华. 浅谈初中数学平面几何入门教学[J]. 飞（素质教育版），2013（9）：24-25.

[2] 曹利民. 突破四大难关走入几何大门——浅谈平面几何入门教学[J]. 新课程导学，2014（20）：34-35.

[3] 田茂勇. 优化初中数学几何教学方法的分析[J]. 读写算（教研版），2014 （13）：36-37.

8.初中数学几何画板教学分析论文 篇八

摘要：随着科技的进步，几何画板成为数学课堂中一种非常重要的辅助教学手段，这在很大程度上提高了课堂教学效果。本文结合初中数学教学实践，对几何画板在课堂教学中的应用进行了探索研究，提出了几点教学建议。

关键词：初中数学;几何画板;应用

几何画板作为一种辅助教学工具，以其自身的优势在数学课堂中发挥了积极的作用。本文结合教学实践，对几何画板在初中数学教学中的应用进行了探究。

一、巧妙运用几何画板，激发学生的参与兴趣

在传统几何教学中，一般都是教师在黑板上画出一个几何图形，然后通过推理、验证、在黑板上画线等方式，来验证边、角、线段之间的关系，这样的过程实际上是让学生被动接受知识的过程，没有真正调动学生的主动性，更无法在学生脑海中形成直观、生动的印象，只能提高几何知识的抽象性，让学生对几何敬而远之，极大地压制了学生的学习兴趣。例如，在教学《图形的旋转》时，其中对于旋转性质的探究，有些教师先让学生结合教材内容，自主动手操作：先在硬纸片上挖出一个三角形的小洞，再挖一个小洞作为旋转的中心，然后在硬纸板下放一张白纸。第一次挖出的三角形为△ABC，围绕中心挖掉的三角形为△A′B′C′，之后再移开硬纸板，此时要求学生探究线段OA与OA′之间的`关系?∠AOA′与∠BOB′之间的关系?△ABC与△A′B′C′的形状与大小有什么关系?由于学生是在自主动手之后再进行度量探究的，所以中间可能会存在一定误差，很多学生会对探究结论产生怀疑。为了解决这一问题，教师可以利用电子白板与几何画板软件，在课堂上进行演示，先是用三角形工具构造一个三角形△ABC，再画出一个点O，将△ABC围绕点O旋转任意角度得出另外一个三角形△A′B′C′，之后借助度量工具将线段长度和角的度数度量出来，最后引导学生观察比较，对旋转的性质进行总结归纳，最后达到预期的教学目标。

二、精确绘制几何图形，充分展示几何内涵

由于几何画板所做出的图形具有很强的动态性，并且能够在运动过程中保持几何各个要素之间的精确关系，并且对数学知识和本质内涵进行精确的表达，所以教师要不断提高自身的信息技术素养，善于运用信息技术实施教学，全面提高课堂教学效率。例如，在教学二次函数时，在传统教学中，教师为了让学生掌握二次函数的顶点、开口方向、对称轴等要素的变化，需要黑板上画出抛物线的图像，并进行理论方面的讲解，还要画出各种不同的交叉图形。但是由于图形的抽象性和静态化，使得学生不能很好的理解与消化。此时，如果借助多媒体技术进行演示，则可以化抽象为形象，化静态为动态，用动态图形将抛物线形状随着系数的变化而变化的情况清晰呈现出来，从而降低知识的难度。同时，还可以让学生自主操作，这样不但可以激发学生浓厚的学习兴趣，而且可以开发学生的智力，让学生经历知识的形成过程，加深学生对知识的印象，提高学生对数学知识的应用能力。

三、引入数形结合思想，培养学生的空间想象能力

我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”数形结合思想是一种非常重要的学习思想，在众多数学思想方法中，数形结合为重中之重，无论在函数部分还是几何部分都有着非常重要的体现。在传统教学中，教师往往利用黑板作图法实施数形结合思想的导入，但是黑板作图呆板无趣，难以激发学生的学习兴趣。所以在信息技术背景下，教师可以运用几何画板，为学生提供充分展示数形结合思想的平台，让学生产生耳目一新之感。运用几何画板，可以测量各种数值，展示各种函数运算。当图形发生变化时，可以将与之相对应的数据展现在学生面前，这样的教学方法所取得的效果是传统教学模式无法比拟的。借助几何画板可以为数形结合思想提供便捷通道，不但能够绘制图形，还能提供动画模型，为图形的变化增加动感因素，增强知识的直观性和形象性，便于学生找到解决方法的有效途径。例如，在解决“二次函数y=ax2+bx+c的图像”的问题时，教师可以借助几何画板向学生说明y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k等函数图像之间的关系，帮助学生顺利解决疑惑与问题。

四、加强数学实验教学，鼓励学生自主研究

几何画板是一种简单易学的操作软件，教师可以利用空闲时间教会学生使用几何画板，让学生在课堂上自己动手操作，并在操作过程中观察、发现、感受、验证，促使学生在“做中学”，以激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率。为此，教师要积极打造适合进行实验的环境，加强数学实验教学，引导学生参与其中，激发学生的自主意识，提高学生的实践能力。在现行数学教材中，几乎每个章节都设置了数学实验，而数学实验则需要学生充分发挥自身的主观能动性，提高自身的动手能力。例如，先用几何画板画出一个任意三角形，再画出三角形的三条中线，并说出其中的规律，之后再拖动三角形其中一个顶点随意改变三角形的形状，看看这个规律是否发生改变。通过自主动手探究的过程，可以激发学生的自主意识，提高学生的观察能力和总结能力，让学生在研究过程中找到乐趣，树立学生的自信心，满足学生的成就感。总之，作为初中数学教师，必须要从思想上认识到几何画板的优势和作用，并熟练掌握几何画板的操作应用，根据数学教学内容的实际需要和学生的实际情况，合理有效地应用几何画板，提高初中数学教学的效果，促进学生更好地掌握和应用所学的数学知识，实现课堂教学目标。

参考文献：

[1]孙云飞.浅谈几何画板在函数教学中的应用[J].中国教育信息化，(8).

[2]胡广斌.巧借几何画板提高学生学数学的兴趣[J].改革与开放，2012(14).

[3]吴红军.“几何画板”在初中代数教学中应用例析[J].理科考试研究，(6).

[4]王洁.几何画板在数学课堂上的应用实例[J].新课程学习：中，(12).

9.初中数学经典几何模型 篇九

【内容摘要】初中阶段的数学课程中，几何部分是一个绝对的教学重点，不少知识也是教学中的一个难点。在几何内容的教学中，如何能够让学生更好的理解相应的几何定理，这是很多教师都在不断探究的问题。针对几何定理的教学方法的选择非常重要，教师要选取一些更为合适的教学方法与教学理念，并且要以灵活的模式促进学生对于定理的理解与认知。这样才能够真正促进学生对于几何定理有更好的理解与吸收，并且让学生对于知识的掌握更加透彻。

【关键词】初中数学 教学 几何定理 策略

对于几何定理的教学中，教学策略的有效选择非常重要。教师要善于将抽象的知识具象化，将一些具体的内容融入到学生熟悉的生活中加以体验。这会让学生对于教学知识点更容易理解与接受，也能够化解很多理解上的障碍。在这样的基础上才能够提升知识教学的成效。

一、让学生在画图中体验几何定理

让学生在画图中来增进对于几何定理的体验，这是一种很好的教学模式，这也会让学生在知识的应用中深化对于很多定理的理解与吸收。初中阶段学生们接触到的大部分几何定理都不算太复杂，很多知识点都可以在生活中得以验证。这给学生的知识体验提供了很好的平台。教师可以创设一些好的教学活动，让学生在动手作图的过程中来对于很多定理有更为直观的感受。同时，这也是对于很多定理展开有效验证的教学过程，这些都会让学生对于知识点的掌握更加牢固。

例如，学到定理“三角形两边的和大于第三边”时，可以让学生用直尺画出任意一个三角形，并测量出三条边的长度，并按照定理进行计算，看结论是否与定理一致。又比如，学到定理“两直线平行，同位角相等”时，让同学们在纸上画出两条平行的直线，再画出一条同时与两条直线相交的直线，找出它们的同位角，用量角器进行测量，看结果是否相同。让学生自己来画图，这首先能够给学生的知识应用与实践提供良好的空间；同时，学生也可以在过程中对于很多内容展开检验。这些都会增进学生对于几何定理的理解与认知，并且能够让学生对于相应的知识点有更好的掌握。

二、注重对于学生想象力的激发

初中阶段的几何教学中学生们会逐渐接触到立体几何的内容，虽说很多知识点并不复杂，但是，对于初次接触的学生而言还是存在理解上的障碍。在立体几何知识的学习中，学生的空间想象能力非常重要，这是让学生能够更好的理解很多图形的特点以及变化规律的基础。正是因为如此，想要深化学生对于几何定理的理解与认知，教师要加强对于学生想象力的培养，这将会极大的提升学生的知识理解能力。教师可以将具体的知识点融入到学生熟悉的生活场景中加以讲授，这会为学生的想象力提供良好的平台，也会让学生对于很多内容有更好的领会。

几何定理的理论性和抽象性较强，在教学中，充分发挥学生的想象力也是加强定理记忆的一种好方法。在学到某些定理时，可以让同学们想一下生活中满足几何定理条件的事物，加深同学们对这条定理的印象。当记不起定理内容时，只要想起相应的事物就很容易想起定理的知识。比如，定理“平行线永远不会相交”的学习，就可以想象生活中存在平行关系的事物，比如平房的屋顶和地面，它们永远不会相交，所以平行线也不可能相交。这些都是很好的教学范例，能够极大的促进学生对于几何定理的理解与领会。教师要善于利用一些灵活的教学方法与教学模式，这对于促进学生的知识吸收将会很有帮助。

三、生活化几何定理的教学

生活化几何定理的教学同样是一个很好的突破口，这对于提升学生的知识掌握程度将会起到很大的推动。对于很多抽象的几何定理，想要让学生深化对其的理解与认知，最有效的办法就是将它融入到学生们熟悉的生活场景中加以体验。教师可以结合具体的教学内容创设一些生活化的教学情境，让学生们结合生活实例来对于相应的几何定理加以认知。这首先会降低知识理解上的难度，也会为学生的知识领会提供积极推动。在这样的教学过程中才能够帮助学生对于几何定理有更好的认知，这也是提升课堂教学效率的一种有效方式。

老师在备课时，要将定理知识与实际生活紧密联系起来，用我们生活中最普通的现象解释难懂的理论知识。比如，在学到“两条直线平行，内错角相等”这条定理时，可以利用多媒体课件，向同学们展示盘山公路两次拐弯平行时的内错角图示，引导学生进行多方位、多角度的思考。这种做法也会激发同学们对生活中类似现象的思考，提高他们在生活中发现、推导几何定理的能力。让几何定理的教学与学生熟悉的生活情境相结合，这是一种很有效的教学策略，这也是提升知识教学效率的一种有效模式。

结语

几何定理的教学是初中数学教学中的一个难点，如何能够有效的突破这个教学难点，这需要教师在教学方法上有灵活选择。教师可以让学生在画图中体验几何定理，也可以透过生活化的教学模式突破学生理解上的障碍，这些都是很好的教学模式。培养学生的想象力也非常重要，这同样能够深化学生对于几何定理的理解与认知，并且有效提升知识教学的效率。

【参考文献】

10.浅析初中数学中几何教学方法 篇十

关键词：初中数学；几何教学

“数学”是当下学生课业中的重要一项，学生对于数学科目的学习将会从小学时代一直贯穿至大学时代，所以有关人士一再呼吁教育机构应切实加强对于数学科目的教育力度。而究竟应该怎样进行对于数学科目的有效教育改制，却始终没有出现一个统一有效的标准。

1.“几何教学”应用于初中数学教学中的必要意义

1.1 化复杂为简单、化枯燥为有趣，以几何的趣味性带动学生学习兴趣

数学作为一门专业课程，更多地偏向于理性、偏向于计算、偏向于数字和数据，这样一门难度较大，并且有些枯燥的课程，对于活泼好动的初中生而言，是不具有太多吸引力的，这就容易导致学生们对于数学提不起兴趣、不愿意去学习。而“几何教学”新兴教学方式的出现恰巧巧妙地解决了这一困境，它有效地做到了化复杂为简单、化枯燥为有趣，以几何的趣味性带动学生学习兴趣，这就有效地提升了数学对于学生的吸引力，增强了学生对于数学科目的兴趣。

1.2 几何思想可拓展学生整个思维模式

对于学生的数学课程教育，各位老师的重点应该放在“数学思想”的讲授上，因为“数学思想”才是能真正使学生受益一生的积累，它可以拓展学生的整个思维模式，在未来的生活、工作、学习中，“数学思想”将使学生受益无穷。而数学中那些数据的计算或者数字的分类学习，在学生未来生活中的真正应用将是少之又少的。

1.3 紧随时代潮流，数学应用及数学思想将会成为真正的时代大方向

随着近几年来教育教学改革的不断深化，数学这一科目得到了前所未有的重视，所以作为数学最基本内含的“数学思想”更应在实际课堂教育上得到充分的重视。数学思想、数学应用、以及几何教学方法等都将是未来时代发展的大方向。只有跟紧这样的时代潮流，我们的初中数学课堂教育才会真正发展进步，实现量的突破与质的飞跃。

2.初中数学教学中应用“几何思想”的教学策略

2.1 注重数学理性思维与感性逻辑思维的联动性

作为在纯理性模式中抽离出来的一种“思想”——“几何思想”，教师在对于学生“几何思想”的传授培养中，要注重数学本身理性思维与感性逻辑思维的联动性，使学生在解题的过程中，既能够理解题目过程，又可以领会数字运算中更深的奥义。例如，在对于有关“三角形稳定性”的问题解答中，教师可以联系生活实际，将现实生活中的一些建筑、物品等作为对比例证，让学生在真实的感受思考中，更深层次地理解“三角形稳定性”这一定义。

2.2 以感知带动思考

针对初中生这一特殊群体，他们的思维认知并未完全成熟，对于他们的有效几何教学应该基于大量的感知认识之后，即以具体直观的感知带动学生思考，进而让学生从现实的学习思考中不断的积累经验，最终逐步形成具有立体几何结构的一种思维模式。例如，在计算立体图形周长的类型题时，如果让学生充分感知到立体图形的立体感，并透彻理解图形中复杂的点线面关系，那么解题思路便毫无障碍了。又例如，教师在对于“在同一平面内，两条永不相交的直线相互平行”这一定理的讲授过程中，学生其实很难单从字面去理解“永不相交”、“同一平面”、“直线”这些定义，而如果运用几何教学方法来将这种种定义直观再现给学生，让他们在真实立体的图形中进行自主感知，那么这一定理就不会显得那么难以理解了。

2.3 创造性地对教材知识进行特色讲述，运用几何教学来有效丰富课堂

在课堂教学中，将几何教学方式有效运用，创造性地对教材知识进行特色讲述，运用几何教学来有效丰富课堂。例如，在对学习“圆柱体表面积”一课时，教师对于“表面积=侧面积+底面积×2”这一公式的讲授，就可以有效运用几何教学，即带领学生们自己动手用硬纸壳做一个圆柱体，这样学生们对于“侧面积”、“底面积”等定义联系的理解将更加透彻。

3.结束语

随着教学改革的不断深入化，多媒体以及现代科技的不断走入教学课堂，数学应用得到了前所未有的重视，所以作为数学科目基本组成部分的“几何思想”必须要得到充分的重视，这样才能有利有效地从学生素质培养阶段早早抓起，更好地对学生进行数学应用方面的熏陶教育，使得他们了解数学、学会数学、爱上数学，最终使“数学几何思想”朝着正确高效的方面快速发展，并反过来造福于整个数学教育。

参考文献

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[2]張海生.解读好核心概念，落实好课标教学—例谈2011版课标中“几何直观”的理解[J].中学数学杂志：初中版，2012，（5）：12-14