函数与极限试卷

函数与极限试卷（精选12篇）

1.函数与极限试卷 篇一

第四讲

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性； 6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0)x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

习题1-8 2，5，7，9

2.集合与函数测试卷 篇二

1.已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=.

2.已知集合A={（x，y）|y=2x-1}，B={（x，y）|y=x+2}，则A∩B=.

3.设全集U={1，3，5，7，9}，集合M={1，a-5}，MU，且UM={3，5，7}，则实数a=.

4.函数f（x）=1-2log6x的定义域为.

5.已知函数f（x）=x21+x2，则f（2）+f（3）+f（4）+f（12）+f（13）+f（14）的值为.

6.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是.

7.设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1）时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，则f（32）=.

8.函数f（x）=log2x·log2（2x）的最小值为 .

9.已知函数f（x）=x2-2ax+5（a>1），若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，则实数a=.

10.已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R.若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为.

11.已知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），则函数g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为.

12.已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，当f（lgt）<0时，则t的取值范围为.

13.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=ax+1，-1≤x<0，

bx+2x+1，0≤x≤1，其中a，b∈R，若f（12）=f（32），则a+3b的值为.

14.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是.

二、解答题

15.已知集合A={x|a≤x≤a+4}，B={x|x>1或x<-6}.

（1）若A∩B=，求a的取值范围；

（2）若A∪B=B，求a的取值范围.

16.已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）.

17.已知函数f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2.

（1）求f（x）的最小值；

（2）判断f（x）的单调性，并说明理由；

18.已知函数f（x）的定义域为R，当x>0时，f（x）>1，且对于任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）-1.

（1）试探究函数f（x）的单调性；

（2）若f（2）=3，试解不等式f（x2）+f（1-4x）<6.

19.已知函数f（x）=ax+bx2+1是（-1，1）上的奇函数，且f（12）=5.

（1）求实数a，b的值；

（2）判断并证明函数f（x）在（-1，1）上单调性；

（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）<0.

20.已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值.

参考答案

一、填空题

1. {1，2，4，6}；

2. {（3，5）}；

3. 14；

4. （0，6]；

5. 3；

6. （-ln2，2）；

7. 1；

8. -14；

9. 2；

10. （0，1）∪（9，+∞）；

11. [2，7]；

12. （0，110）∪（1，10）；

13. -10；

14. 6.

二、解答题

15.解：（1）∵A∩B=

∴a≥-6

a+4≤1，

∴-6≤a≤-3.

（2）∵A∪B=B

∴AB

∴a+4<-6或a>1

∴a<-10或a>1.

16.解：因为f（x）=x3+3x-3a，x≥a，

x3-3x+3a，x

所以f′（x）=3x2+3，x≥a，

3x2-3，x

由于-1≤x≤1，

（i）当a≤-1时，有x≥a，

故f（x）=x3+3x-3a，

此时f（x）在（-1，1）上是增函数，

因此，M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，故M（a）-m（a）=（4-3a）-（-4-3a）=8.

（ii）当-1

则f（x）=x3-3x+3a在（-1，a）上是减函数.所以，M（a）=max{f（1），f（-1）}，m（a）=f（a）=a3.

由于f（1）-f（-1）=-6a+2，因此，当-1

（iii）当a≥1时，有x≤a，故f（x）=x3-3x+3a，此时f（x）在（-1，1）上是减函数，因此，M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

故M（a）-m（a）=（2+3a）-（-2+3a）=4.

综上，M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1

-a3+3a+2，13

4，a≥1.

17.解：易知f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数.

（1）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4.

x=0时，f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2最小值为2.

（2）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4

x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减；

f（x）为偶函数.所以只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增.

设0≤x1≤x2<1，所以1-x41>1-x42>0，得11-x41<11-x42

f（x1）-f（x2）=11-x41-11-x42<0

所以x∈[0，1）时，f（x）递增.

18.解：（1）任取x1，x2∈R，且x10

f（x2）-f（x1）=f（t+x1）-f（x1）=f（t）+f（x1）-1-f（x1）=f（t）-1

∵当x>0时，f（x）>1

∴f（t）-1>0

∴f（x1）

∴函数f（x）在R上单调递增.

（2）由f（x2）+f（1-4x）<6得f（x2-4x+1）+1<6

即f（x2-4x+1）<5

又∵f（2）=3，∴f（4）=2f（2）-1=5

∴f（x2-4x+1）

∵函数f（x）单调递增，∴x2-4x+1<4，即x2-4x-3<0

∴2-7

∴原不等式的解集为（2-7，2+7）.

19.解：（1）∵f（x）为奇函数

∴对任意x∈（-1，1），f（-x）+f（x）=0

∴f（0）=0

∴b=0

∴f（x）=axx2+1

又∵f（12）=a21+14=5

∴a=252

∴f（x）=252·x1+x2

（2）f′（x）=2521-x2（x2+1）2

x∈（-1，1），f′（x）>0

∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增.

（3）因为f（t-1）+f（t）<0f（t-1）<-f（t）

又f（x）是（-1，1）上的奇函数

∴f（t-1）

∵f（x）在（-1，1）单调递增

∴-1

-1

t-1<-t

∴0

∴关于t的不等式的解集为（0，12）.

20.解：由f（x）=ex-ax2-bx-1，

得g（x）=f′（x）=ex-2ax-b.

所以g′（x）=ex-2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1-2a，e-2a].

当a≤12时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当a≥e2时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；

当12

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.

综上所述，当a≤12时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当12

g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；

当a≥e2时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b.

（作者：房国新，江苏省前黄高级中学）

故M（a）-m（a）=（2+3a）-（-2+3a）=4.

综上，M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1

-a3+3a+2，13

4，a≥1.

17.解：易知f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数.

（1）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4.

x=0时，f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2最小值为2.

（2）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4

x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减；

f（x）为偶函数.所以只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增.

设0≤x1≤x2<1，所以1-x41>1-x42>0，得11-x41<11-x42

f（x1）-f（x2）=11-x41-11-x42<0

所以x∈[0，1）时，f（x）递增.

18.解：（1）任取x1，x2∈R，且x10

f（x2）-f（x1）=f（t+x1）-f（x1）=f（t）+f（x1）-1-f（x1）=f（t）-1

∵当x>0时，f（x）>1

∴f（t）-1>0

∴f（x1）

∴函数f（x）在R上单调递增.

（2）由f（x2）+f（1-4x）<6得f（x2-4x+1）+1<6

即f（x2-4x+1）<5

又∵f（2）=3，∴f（4）=2f（2）-1=5

∴f（x2-4x+1）

∵函数f（x）单调递增，∴x2-4x+1<4，即x2-4x-3<0

∴2-7

∴原不等式的解集为（2-7，2+7）.

19.解：（1）∵f（x）为奇函数

∴对任意x∈（-1，1），f（-x）+f（x）=0

∴f（0）=0

∴b=0

∴f（x）=axx2+1

又∵f（12）=a21+14=5

∴a=252

∴f（x）=252·x1+x2

（2）f′（x）=2521-x2（x2+1）2

x∈（-1，1），f′（x）>0

∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增.

（3）因为f（t-1）+f（t）<0f（t-1）<-f（t）

又f（x）是（-1，1）上的奇函数

∴f（t-1）

∵f（x）在（-1，1）单调递增

∴-1

-1

t-1<-t

∴0

∴关于t的不等式的解集为（0，12）.

20.解：由f（x）=ex-ax2-bx-1，

得g（x）=f′（x）=ex-2ax-b.

所以g′（x）=ex-2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1-2a，e-2a].

当a≤12时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当a≥e2时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；

当12

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.

综上所述，当a≤12时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当12

g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；

当a≥e2时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b.

（作者：房国新，江苏省前黄高级中学）

故M（a）-m（a）=（2+3a）-（-2+3a）=4.

综上，M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1

-a3+3a+2，13

4，a≥1.

17.解：易知f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数.

（1）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4.

x=0时，f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2最小值为2.

（2）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4

x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减；

f（x）为偶函数.所以只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增.

设0≤x1≤x2<1，所以1-x41>1-x42>0，得11-x41<11-x42

f（x1）-f（x2）=11-x41-11-x42<0

所以x∈[0，1）时，f（x）递增.

18.解：（1）任取x1，x2∈R，且x10

f（x2）-f（x1）=f（t+x1）-f（x1）=f（t）+f（x1）-1-f（x1）=f（t）-1

∵当x>0时，f（x）>1

∴f（t）-1>0

∴f（x1）

∴函数f（x）在R上单调递增.

（2）由f（x2）+f（1-4x）<6得f（x2-4x+1）+1<6

即f（x2-4x+1）<5

又∵f（2）=3，∴f（4）=2f（2）-1=5

∴f（x2-4x+1）

∵函数f（x）单调递增，∴x2-4x+1<4，即x2-4x-3<0

∴2-7

∴原不等式的解集为（2-7，2+7）.

19.解：（1）∵f（x）为奇函数

∴对任意x∈（-1，1），f（-x）+f（x）=0

∴f（0）=0

∴b=0

∴f（x）=axx2+1

又∵f（12）=a21+14=5

∴a=252

∴f（x）=252·x1+x2

（2）f′（x）=2521-x2（x2+1）2

x∈（-1，1），f′（x）>0

∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增.

（3）因为f（t-1）+f（t）<0f（t-1）<-f（t）

又f（x）是（-1，1）上的奇函数

∴f（t-1）

∵f（x）在（-1，1）单调递增

∴-1

-1

t-1<-t

∴0

∴关于t的不等式的解集为（0，12）.

20.解：由f（x）=ex-ax2-bx-1，

得g（x）=f′（x）=ex-2ax-b.

所以g′（x）=ex-2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1-2a，e-2a].

当a≤12时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当a≥e2时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；

当12

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.

综上所述，当a≤12时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当12

g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；

当a≥e2时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b.

（作者：房国新，江苏省前黄高级中学）

3.多元函数的极限与连续习题 篇三

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。x2y1

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）f(x,y)xy； xy

(2)f(x,y)(xy)sisi； 1

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2； xy

1(4)f(x,y)ysi。x

3.求极限（1）lim(xy)x0y022x2y2；

（2）limx2y2

xy122x0y0；

（3）lim(xy)sinx0y01； 22xy

sin(x2y2)（4）lim。22x0xyy0

ln(1xy)4.试证明函数f(x,y)xy

x0x0在其定义域上是连续的。

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。

x2y1

因为x2,y1，不妨设|x2|0,|y1|0，有|x2||x24||x2|45，|3x2y14||3x122y2|

3|x2||x2|2|y1|15|x2|2|y1|15[|x2||y1|]

0，要使不等式

|3x2y14|15[|x2||y1|]成立 取min{



30,1}，于是

0，min{



30,1}0，(x,y)：|x2|,|y1|

且(x,y)(2,1)，有|3x2y14|，即证。

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）f(x,y)

xy

； xy

xyxy

limli1，limlim1

y0x0xyx0y0xy

二重极限不存在。

xyxy1

或lim0，li。

x0xyx0xy3

yx

y2x

(2)f(x,y)(xy)sin

11sin； xy

0|(xy)sinsin||x||y|

xy

可以证明lim(|x||y|)0所以limf(x,y)0。

x0y0

x0y0

当x

111，y0时，f(x,y)(xy)sinsin极限不存在，kxy

因此limlim(xy)sisi不存在，x0y0xy

lim(xy)sisi不存在。同理lim

y0x0

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2；

xy

2x3

limf(x,y)lim0，x0x0xx

yx

当 P(x, y)沿着yxx趋于（0,0）时有

yxx

x3(x3x2)3limf(x,y)li21，x0x0xx3x223

x0y0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)0，limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

(4)f(x,y)ysinx

0|ysin||y|

x

∴limf(x,y)0，x0y0

limlimysi0，limlimysi不存在。x0y0y0x0xx

3.求极限（1）lim(xy)

x0

y0

2x2y2；

(x2y2)2

0|xyln(xy)||ln(x2y2)|，22

(x2y2)2t

ln(x2y2)limlnt0，又 lim

x0t044

y0

∴lim(xy)

x0

y0

2x2y2

e

limx2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)

1。

（2）lim

x2y2xy1

x0y0；

(x2y2)(x2y21)lim2。lim2222x001xy1xy1x

y0y0

x2y2

（3）lim(xy)sin

x0y0

；22

xy

||xy|，|(xy)sin2

xy

而lim(xy)0

x0

y0

故lim(xy)si20。2x0xyy0

sin(x2y2)

（4）lim。22x0xyy0

令xrcos，yrsin，(x,y)(0,0)时，r0，sin(x2y2)sinr2

limlim21。22x0r0rxyy0

ln(1xy)

4.试证明函数f(x,y)x

y

x0x0

在其定义域上是连续的。

证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.当x0时，f(x, y)是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（1）在原点（0,0）处

f(0, 0)=0,当x0时

0ln(1xy)1f(x,y)

xyxyln(1xy)

由于limln1(xy)

x0

y0

1xy

y0,y0

1

1xy

不妨设|ln1(xy)从而0，取

xy

1|1，|ln1(xy)|2，当0|x|,0|y|时，

ln(1xy)

0||yln(1xy)xy||

x

|y||ln(1xy)|2|y|，于是，无论x0,x0，当|x|,|y|时，都有limf(x,y)0f(0,0)

x0y0

1xy

（2）在(0,)处。（0)

xy

当x0时，|f(x,y)f(0,)||yln(1xy)

1xy

|

1(xy)|y(ln1)(y)| 1||y|

|y||ln(1xy)

xy

当x=0时,|f(x,y)f(0,)||y|,1xy

注意到，当0时limln1(xy)

x0

4.第一章函数与极限教学基本要求 篇四

所用学时：16学时理论授课学时：14学时习题课：2学时

一.本章导读

本章介绍了高等数学的研究对象函数，重点提出了极限方法是研究变量的一种基本方法；高等数学的研究对象是变动的量，函数关系就是变量之间的依赖关系，而极限方法是研究变量的一种基本方法。

二.学习目标

1.理解函数的概念及函数的奇偶性.单调性.周期性和有界性。

2.理解数列极限的概念及性质（对于给出求N不作要求）。

3.理解函数极限的概念及性质（对于给出求X和不作要求）。

4.了解无穷小与无穷大的概念。

5.掌握极限运算法则。

6.理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限

7.了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。

8.理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判 别间断点的类型

9.掌握连续函数的运算，会用初等函数的连续性求极限

10.了解闭区间上连续函数的性质（介值定理和最值定理）

三.学习重点

1.理解函数的概念，使学生理解函数关系就是变量之间的依赖关系，函数值随自 变量变化而变化。

2.理解极限的概念，极限的思想方法将贯穿整个高等数学的教学过程，对极限的 N和定义可以在学习过程中逐步加深理解。

3.掌握极限的运算法则

4.掌握函数在一点连续和在一个区间上连续的概念

四.学习难点

5.浅析求函数 型极限的技巧 篇五

关键词：高等数学、函数极限、方法、技巧

极限是高等数学内容中一个重要的概念，它是研究微积分的基础和有效工具。熟练掌握求函数极限是学好微积分的前提，通过几年的教学实践和不断的验证，作者提出了求函数极限的新思路就是“看类型，找方法”的解题技巧，这种方法使用时，首先先分清该函数极限属于那种类型，然后在运用相应的方法。其实，高数中求极限的题很多，而函数极限类型却是有限的，只要着握住这几种类型的解法，那么所有问题就迎刃而解了。下面我就 型做如下分析。

型的函数极限是极限运算里最难求的一种类型，也是最经常见的类型，求解该类型的方法不固定，常见的求解该类型的方法有五种，每种方法都有其对应的技巧。

1）利用等价无穷小量求函数的极限。

该方法使用起来简洁方便，不宜出错，但是使用起来是有限制的，首先是在使用前必须事先掌握一些等价式子及其灵活变形式子，这些式子是很有限的几种，其次是这些等价式子只能在乘除之间运算时使用，加减运算中就失效了。

常见的等价无穷小式子有如下几种：前提当 时，

4）利用重要极限式子求解

该式子主要适用于含有三角函数或反正弦函数、反正切函数，且为 型的未定式.要牢记公式的结构特点： （方框 代表任意形式的同一变量）.

备注：对第一重要极限推广可以有这种形式 。

5）利用罗比达法则求极限

上面几种求 型的方法只是用来求一部分该类型，有很大一部分 型，上面的几种方法解決不了，则就要有新的方法解决，罗比达法则就是解决这类问题的新方法。

以上是求函数 型极限常见的几种技巧，对于其他类型的极限也可也参照类推。这些方法不仅应用于某一个题，对于复杂的题型也可以做，因此，对于函数极限的求法，只要掌握了要诀“看类型，找方法”六字方针，那么所有的问题就会迎刃而解。

参考文献：

1.华东师范大学数学系。数学分析（上册，第三版）北京，高等教育出版社

2.陈刚 关于高等数学中极限思想的研究 工科数学，2001

3.颜文勇，柯善军。高等应用数学。北京高等数学出版社，2004

6.函数极限概念 篇六

1.x趋于时函数的极限

设函数f定义在,上，类似于数列情形，我们研究当自变量x趋于+时，对应的函数值能否无线地接近于某个定数A.例如，对于函数fx=，从图象上可见，当无x限增大时，函数值无限地接近于x1

0；而对于函数gx=arctanx则当x趋于+时，函数值无限地接近于.2我们称这两个函数当x趋于+时有极限.一般地，当x趋于+时函数极限的精准定义如下：

定义1 设f为定义在,上的函数，A为定数。若对任给的0，存在正数M，使得当xM时有fxA，则称函数f当x趋于+时以A为极限，记作lim

fxA或f xAx.x

7.2元函数的极限 篇七

问：3-√9+xy

------------

xy

x.y均趋进于0

呃，中间那条虚线暂代分数线

答：这个应该没有极限，如果有极限，则沿着任何方向极限应该相同。我们取x=y方向逼进，则极限变成一元极限，很显然当xy->0时，分母为0，分子不为0，这种情况必然没有极限

再想想，肯定时楼主输入时没有注意加括号。要注意，如果根号后没有加括号，谁也不可能知道xy在根号内

如果根号包括xy，则上式可以变为

(3+根号(9+xy))(3-根号(9+xy))/[xy(3+根号(9+xy))]

8.函数与极限试卷 篇八

关键词： 函数    极限    连续    可导

一、学生在学习高等数学的相关内容中遇到的问题

在判断一函数在某点处的极限是否存在及在该点处是否连续或可导的问题时，学生往往很纠结，经常混为一谈，甚至会出现指鹿为马的现象.

二、如何处理好学生所遇到的相关问题

要想避免把三个不同的问题混为一谈，就必须弄清以下两个充要条件和一个必要条件及导数的定义.

1.函数f（x）当x→x 时极限存在的充要条件是左极限、右极限存在且相等，即

f（x）=A？圳 f（x）= f（x）=A

注：当左、右极限都存在，但不相等，或者二者至少有一个条件不存在时，就可以断言函数f（x）在x 处的极限不存在.

2.函数f（x）在点x 处连续的充要条件是函数在该点处的左、右极限存在、相等且等于该点处的函数值，即函数f（x）在点x 处连续？圳 f（x）= f（x）=f（x ）.

注：当函数在点x 存在下列三种情形之一：

（1）在x=x 处无定义;

（2）在x=x 处有定义，但 f（x）不存在;

（3）在x=x 处有定义，且 存在，但 f（x）≠f（x ），则函数f（x）在点x 处不连续.

3.函数y=f（x）在点x 处可导的必要条件是：f（x）在点x 处的左、右导数存在且相等，即f′ （x ）=f′ （x ）.

4.导数的定义

设函数y=f（x）在点x 的某一领域内有定义，如果极限

=  存在，则称此极限为函数y=f（x）在点x 处的导数，记作

f′（x ）或y′| ，即：

f′（x ）=  =

此时也称函数f（x）在点x 处可导;若极限不存在，则称函数f（x）在点x 处不可导或导数不存在.

例1：设函数

f（x）=x·sin     x>01    x=0x     x<0

判断函数f（x）在x=0处的极限是否存在及函数在x=0处是否连续？

解：因为 f（x）= x =0， f（x）= x·sin =0

即 f（x）= f（x）=0，故函数f（x）在x=0处的极限存在.

又因为f（0）=1，即： f（x）= f（x）≠f（0），故函数f（x）在x=0处不连续.

例2：选择适当的a、b值，使函数

f（x）=2x        x≤1ax+b    x>1在点x=1处既连续又可导.

解： f（x）= 2x =2， f（x）= （ax+b）=a+b

因f（x）在点x=1处连续，即： f（x）= f（x）=f（1）

故a+b=2

f′ （1）=  =  = 2（x+1）=4

f′ （1）=  =  = a=a

因f（x）在x=1处可导，即f′ （1）=f′ （1）

故a=4，于是b=-2.

所以，当a=4，b=-2时，函数f（x）在x=1处既连续又可导.

例3：判断函数

f（x）=x +1    x≤22x+3    x>2在x=2处的极限是否存在，且在x=2处是否连续、可导？

解：因 f（x）= （x +1）=5， f（x）= （2x+3）=7

即 f（x）≠ f（x）

故函数在x=2处的极限不存在，从而函数在x=2处也不连续.

因f′ （2）=  =  =  =4

f′ （2）=  =  =2

即f′ （2）≠f′ （2）

故函数f（x）在x=2处不可导.

三、结论

一般地，判断函数在某点处的极限是否存在或在该点处是否连续，所讨论的函数都是分段函数，因为一切基本初等函数、初等函数在其定义域内都是连续的，而分段函数一般不是初等函数.

综上所述，要做到能熟练解决以上所提到的问题，不至于将三者混淆起来，只需明确三者之间的共同点都是求极限的问题，而连续的条件比极限存在的条件要多加强一个，不能把只要满足了左、右极限存在且相等就看成是函数在该点处连续.判断函数在某点处是否可导，只需看是否满足左、右导数是否存在且相等即可.

参考文献：

[1]姚孟臣.大学文科高等数学.高教出版社，2010.5.

[2]薛桂兰.高等数学学习指导.高教出版社，2005.6.

[3]沈聪.高等数学.首都经济贸易大学出版社，2010.5.

9.习题课2—函数极限2009 篇九

第二次习题课（函数极限、无穷小比较）

一、内容提要

1.函数极限定义，验证limx12.x

32.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）.e3xe2x

3.极限四则运算.求lim.x0x

4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）.5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）.6.重要极限与常用等价无穷小.二、客观题

1.当x0时，下列四个无穷小中，（）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？

2（A）x2；(B)1cosx；(C)x1；(D)tanxsinx

2.已知limsinx(cosxb)5，则a(),b().x0exa

23.当x0 时，xsinx 是 x 的（）.(A)低阶无穷小；(B)高阶无穷小；(C)等价无穷小；(D)同阶无穷小但非等价无穷小.4.设f(x)lim3nx,则它的连续区间是（）.n1nx

25.当x→0时下列变量中与x是等价无穷小量的有[].(A)sinx；(B)ln(1x)；(C)x2 ；(D)2x2x.x217.设f(x)，则x0是f(x)的间断点，其类型是__________ __．x

三、解答题

1利用重要极限求下列函数极限

1xn1ann!x7（1）lim（二重），（2）设xn，求极限lim，（3）求极限limcosxx2，nnxx1x0nxn

cosx

1xx1解：limcosxxlim1(cosx1)x0x011cosx1cosx1xex0lime 1

22.利用等价无穷小的性质求下列极限：

《数学分析I》第2次习题课教案

sinaxx2ln13xxsinx1（1）lim；（2）lim，b0；（3）lim.x2x0x0x0sinxtanbxe1

3.利用连续函数求下列极限：

ex1ln1ax2(1)lim；(2)lim(提示：令tex1)；（3）lim13tanxx0x0x0xxcot2x.4.利用函数极限的归结原则求数列极限

212（1）limnsin，（2）lim12.xnnnnn

sinax5.设fxxx[x]x0x0，应怎样选取数a，才能fx使处处连续？

x31(axb)1，求常数a,和b。6.已知lim（极限分析）xx21

四、证明题

1.若f(x)为周期函数，且limf(x)0，试证明f(x)0,x(,).x

2.利用函数极限的归结原则证明limcosx不存在.x

3.设f(x)~g(x)(xx0),证明：f(x)g(x)o(f(x)).4.设函数f在(0,)上满足方程f(2x)f(x)，且limf(x)A，证明：f(x)A，x

x(0,).f(x)limf(x)f(1)，证明：5．设函数f在(0,)上满足方程f(x2)f(x)，且limx0x

10.第二讲 函数的极限典型例题 篇十

函数的极限

一

内容提要

1.函数在一点处的定义

xx0limf(x)A0,0,使得x:0xx0，有f(x)A.右极限

xx0limf(x)A0,0,使得x:0xx0，有f(x)A.左极限

xx0limf(x)A0,0,使得x:0x0x，有f(x)A.注1 同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性．

注2 的存在性（以xx0为例）：在数列的“N”定义中，我们曾经提到过，N的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N无关紧要；对也是如此，只要对给定的0，能找到某一个，能使0xx0时，有f(x)A即可．

注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究f(x)是否无限趋近于A．

注4 limf(x)Alimf(x)limf(x)A．

xx0xx0xx0n注５ limf(x)A{xn}{xn}|xnx0,且xnx0，有limf(xn)A，称为

nxx0归结原则――海涅（Heine）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．）注6 limf(x)A00,xx00，x:0xx0，有f(x)A0． 函数在无穷处的极限 设f(x)在[a,)上有定义，则

limf(x)A0,xXa,Xa,Xa,使得x:xX，有f(x)A． 使得x:xX，有f(x)A． 使得x:xX，有f(x)A． xlimf(x)A0,limf(x)A0,x注１ limf(x)Alimf(x)limf(x)A．

xxx 1

n注２ limf(x)A{xn}{xn}|xn，有limf(xn)A．

nx３ 函数的有界

设f(x)在[a,)上有定义，若存在一常数M0，使得x[a,)，有f(x)M，则称f(x)在[a,)上有界． ４ 无穷大量

xx0limf(x)G0,0,X0,使得x:0xx0，有f(x)G． 使得x:xX，有f(x)G． limf(x)G0,x类似地，可定义limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)等．

xx0xx0xx0xx0注 若limf(x)，且0和C0，使得x:0xx0，有f(x)C0，xx0则limf(x)g(x)．

xx0

特别的，若limf(x)，limg(x)A0，则limf(x)g(x)．

xx0xx0xx0５ 无穷小量

若limf(x)0，则称f(x)当xx0时为无穷量．

xx0注1 可将xx0改为其它逼近过程．

注2 limf(x)Af(x)A(x)，其中lim(x)0．由于有这种可以互逆的表xx0xx0达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 limf(x)0，g(x)在x0的某空心邻域内有界，则limf(x)g(x)0．

xx0xx0注4 limf(x)0，且当x足够大时，g(x)有界，则limf(x)g(x)0．

xxx0注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量． 6 函数极限的性质

以下以xx0为例，其他极限过程类似．（1）limf(x)A，则极限A唯一．

xx0（2）limf(x)A，则,M0，使得x:0xx0，有f(x)M．

xx0（3）limf(x)A，limg(x)B，且AB，则0，使得x:0xx0，xx0xx0有

f(x)g(x)注

这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍．（4）limf(x)A，limg(x)B，且0当0xx0时，f(x)g(x)则xx0xx0AB．

（5）limf(x)A，limg(x)B，则

xx0xx0xx0limf(x)g(x)AB

limf(x)g(x)AB

limxx0f(x)g(x)xx0AB（B0）

要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数． 7 夹逼定理 若0,使得x:0xx0，有f(x)g(x)h(x)，且

xx0xx0xx0limf(x)limh(x)A，则limg(x)A． Cauchy收敛准则

函数f(x)在x0的空心邻域内极限存在0,0,使得x,x，当0xx0，0xx0时，有f(x)f(x)． 无穷小量的比较

设lim(x)0，lim(x)0，且limxx0xx0(x)(x)xx0k，则

（1）当k0时，称(x)为(x)的高阶无穷小量，记作(x)o(x)；（2）当k时，称(x)为(x)的低阶无穷小量；（3）当k0且k时，称(x)为(x)的同阶无穷小量．

特别的，当k1时，称(x)和(x)为等价的无穷小量，记作(x)～(x)．

注1 上述定义中，自变量的变化过程xx0也可用x，x，x，xx0，xx0之一代替． 注2 当x0时，常见的等价无穷小有：

sinx～x，tanx～x，1cosx～

x22，e1～x，ln(1x)～x，(1x)xm1～mx

注3 在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为：

若(x)～(x)（P），则

limPf(x)(x)limPf(x)(x)f(x)limP(x)(x)(x)或

limg(x)(x)limg(x)(x)PP(x)(x)． limg(x)(x)

（P为某逼近过程）

P而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果．

注4 在某一极限过程中，若(x)为无穷小量，则在此极限过程，有

(x)o(x)～(x)． 10 两个重要极限（1）limsinxx1x01；

（2）lim(1x)xe．

x0

二、典型例题

例 用定义证明下列极限：（1）limx(x1)x12x112；

12（2）limxx1x2x．

例 limf(x)A，证明：

xx0（1）若A0，则有lim31f(x)2xx01A2；

（2）lim3xx0f(x)A．

例 设f(x)是[a,b]上的严格严格单调函数，又若对xn(a,b]（n1,2,），有limf(xn)f(a)，试证明：limxna．

nn

例 函数f(x)在点x0的某邻域I内有定义，且对xnI（xnx0,xnx0），且 0xn1x0xnx0（nN），有limf(xn)A，证明：limf(x)A．

nxx0

例

设函数f(x)，x(0,1)，满足f(x)0（x0），且

f(x)f()o(x)（x0）

2x则

f(x)o(x)（x0）

问：在题设条件下，是否有f(0)0？答：否．如f(x)01x0x0．

例

设函数f(x)在(0,)上满足议程f(2x)f(x)，且limf(x)A，则

n

f(x)A（x(0,)）．

例

求下列函数极限（1）limn0xb（a0,b0）；

axxb（2）lim（a0,b0）；

n0ax12exsinx（3）lim． 4n0x1ex 8

例

求下列极限（1）lim1tanxx1tanxn0e1；

（2）lim1cosxx)x；

n0x(1cosln(sin22（3）limxe)x2xn0ln(xe)2x．

例

求下列极限：（1）limn0etanxexsinxxcosx；

（2）lim1cosxcos2x3cos3xx2．

n0 10

例

求下列极限：（1）limx1xlnxx；

n1（2）lim(ax)ax2xx．

n0

例

求下列极限：

1（1）lim(cosx)n0ln(1x)2；

11（2）lim(sinn1xcos1x)；

nx1xa（3）设ai0（i1,2,,n），求limn0ax2ax． nxn

例

（1）已知lim(1xaxb)0，求常数a,b；

11.考研 高数函数极限连续复习内容 篇十一

第一点函数。函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回顾一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。

第二点极限。说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下：

1)四则运算。在这里要强调一点：什么时候运用四则运算，四则运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否则不能应用四则运算。

2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小替换公式，并不是任何情况下都可以等价替换的.，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就替换，最后算错了。第二，牢记等价无穷小替换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。

3)洛必达法则。说起这个法则，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法则并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法则，前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。

4)重要极限。重要极限两个公式要牢记，也要掌握它们的广义化形式，灵活应用，会计算幂指函数极限的计算处理方法。

5)单侧极限。单侧极限这里要求在什么情况下要分侧求极限，比如分段函数，指数函数，反正切函数等这都是要分测计算极限的。

6)夹逼准则。一阶复习只需要掌握夹逼准则的内容，会简单的应用。

12.二元函数极限证明 篇十二

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：’

(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等

(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→X0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→X0)

根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε

而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域U(x0;δ)

又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-

1再取M=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|

证毕

3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0Limitedsin(x+y)/x^2=Limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)

显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时

由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)

而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^

2所以|f|<=|x|+|y|

所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0

这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了

就我这个我就线了好久了

5(一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4