高考数学题型全

2024-07-26

高考数学题型全（精选8篇）

1.高考数学题型全篇一

2016版《新课标高考数学题型全归纳》5月上市，亮点夺目

（编者按：全新版《新课标高考数学题型全归纳》即将于2015年5月份上市。据悉，新版本比以往版本有很大的变化，在内容编写和交互式体验方面都有很大的创新。目前从组合教育研发中心得到的消息，16版图书会在内容和形式上均达到目前教辅市场中的顶级配置，完全可以看作是2015年数学教辅书中的旗舰级产品。）

每年四五月份，许多学校高二的数学课程就陆续进入复习阶段。老师和学生们又会为使用什么样的复习资料感到为难。同时，有许多教师和学生都是组合教育的忠实读者，他们最近也纷纷来电来信，打听16版的《新课标高考数学题型全归纳》（以下简称《全归纳》）的最近出版动态。为此，小编特意向主创团队的老师们打听了一些新版图书的细节，在这里先给大家做一下预告。

新版图书相比较以前版本有众多创新和改进的地方，在内容编写和交互体验方面都有很大的提升。完全可以达到目前数学教辅书图书中的顶级水准。那么到底都有哪些亮点呢？

第一．引入影视级视频微课。组合教育与智课网（Smart Study）合作，为这一版《全归纳》只做了视觉感受精良的微课。整个制作过程历史九个月，视频录制全部在专业的录影棚里面完成。课程容量也相当饱满，涵盖了图书中的大量例题和重点变式题的讲解全过程。将来会在书中配备二维码，读者只需要用手机扫描就可以看到教学专家的面对面授课。

第二．图书形式有了巨大变化。最有效训练题将从正本图书中分离出来单独成册。整个图书由原来的两册（正本教材和答案）变成包括：正本教材、练习册、答案册的三册。在每一章节开始增添本章综述、重点难点题目思维导图。这些新元素的引入将大大提升学生对知识的整体理解能力，从而形成科学高效的思维习惯。

第三．图书内容变化超过一半。以往经常有读者询问，每一版的图书与上一版有哪些内容方面的变化。这次《全归纳》的修订，也正好赶上两年一次的大修订周期。所以共有七章内容进行了重写和优化，分别是：（1）集合；（2）函数；（3）数列；（4）不等式；（5）立体几何；（6）解析几何；（7）计数原理。其他章节的修订进行了试题的调整。这样看来，起码有一半以上的内容经过变动。第四．建立完整的学习服务系统。（1）目前，组合教育的学习论坛和QQ群都十分活跃，里面提供最及时的学习交流和免费答疑服务，还有非常丰富的数学教学资源免费分享。（2）微信公众号平台也会及时推送很多有用的教学咨询，目前已经有接近万名学生关注。（3）通过YY直播和高清录播，每周都会有同学们最关心的数学专题视频推出，只要您拥有我们的数学图书，不管你在哪里，你都能每周享受到作者团队老师们的精彩课程.（4）登陆淘宝店铺“组合教育图书1号店”，所有组合教育出版的图书，会在印刷后第一时间上架销售，这个速度要比书店或者当当网等其他销售平台快三周左右。

集中所有力量，专注于一点，打造一套高品质的教辅书，一直是组合教育不变的理念。从2011年开始，《全归纳》已经正式出版了3版，陪伴了超过十五万考生跨过高考，走向未来。2016版将是这本经典著作的第四个版本，全新的互联网编写理念为图书注入了强大的生命力和时代特色，相信会帮助更多的高中学生，从数学学习的迷惘中走出来，最终走向自信的人生。

2.高考数学题型全篇二

一、选择题

1.某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表:

由最小二乘法求得回归方程为, 现发现表中有一个数据模糊不清, 请推断该点数据的值为 () .

(A) 60 (B) 62 (C) 68 (D) 68.3

2. (理) 6人任意排成一排照相, 甲不排在左端, 乙不排在右端, 共有 () 种不同的排法.

(A) 216 (B) 288 (C) 480 (D) 504

(文) 甲、乙两组数据如下表:

设甲组数据的中位数与众数分别为m, n, 乙组数据的中位数与众数分别为p, q, 则 () .

(A) m=7, n不存在, p=7.5, q不存在

(B) m=7, n=7, 8, p=7.5, q不存在

(D) m=6.5, n=8, p=7, q=8

3. (理) 有6本不同的书, 分成4份, 两份各1本, 其余两份各2本, 则不同的分法有 () .

(A) 30 (B) 45 (C) 180 (D) 720

(文) 从6个小朋友中选取4个小朋友出来做游戏, 则不同的选法有 () .

(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 36

4.某工厂对一批产品进行了抽样检测, 图1是根据抽样检测后的产品净重 (单位:克) 数据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是[96, 106], 则该样本数据的众数、中位数和平均数分别为 () .

(A) 101, 101, 101

(B) 101.3, 101.3, 101.3

(D) 101, 101.3, 101

(参考数据:0.2×99+0.3×101+0.25×103+0.15×105=91.6)

5.设两个独立事件A, B都不发生的概率为1 /9 , 则A与B都发生的概率可能为 () .

(A) 1 /3 (B) 2 /3 (C) 5 /9 (D) 8 /9

6. (理) 若多项式, 则a8的值为 () .

(A) 10 (B) 45 (C) 90 (D) 180

(文) 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 () .

(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

7.某商店储存的50个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占60%, 乙厂生产的灯泡占40%, 甲厂生产的灯泡的一等品率是90%, 乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡 (每个灯泡被取出的机会均等) , 则它是甲厂生产的一等品的概率是 () .

(A) 0.32 (B) 0.54 (C) 0.6 (D) 0.9

二、填空题

8. (理) 展开式的系数和为256, 则其二项式系数和为__.

(文) 如图2, 在圆心角为直角的扇形OAB中, 分别以OA, OB为直径作两个半圆, 在扇形OAB内随机投一点, 则该点落在阴影区域的概率为___.

9.抛掷一枚质地均匀的骰子, 所得点数的样本空间为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, 令事件A= {2, 3, 5}, 事件B={1, 2, 4, 5, 6}, 则P (A|B) =____, P (B|A) =___.

10. (理) 一个盒子内部有如图3所示的六个小格子, 现有桔子, 苹果和香蕉各两个, 将这六个水果随机地放人这六个格子里, 每个格子放一个, 放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是____.

(文) 一个班级里, 男生占四分之一, 女生中有三分之一得过第一名, 而男生中只有十分之一得过第一名, 随机地选一位学生, 则这位学生得过第一名的概率是____.

11.已知△ABC为直角三角形, 且∠C= 90°, ∠A=30°.

(1) 若在AB上任取一点M, 则使得AM> AC的概率等于____;

(2) 若在△ABC内任取一点N, 连结CN并延长交AB于点M, 则使得AM>AC的概率等于____;

(3) 若在∠ACB内任作射线CN, 与AB交于点M, 则使得AM>AC的概率等于___.

三、解答题

12.小明同学对某校高三各班的男、女生的人数作了调查, 对所收集的数据经分析、整理后得到如下结果:

(Ⅰ) 在文科各班中, 女生的人数约为男生的2倍, 且男生的人数不少于10人;

(Ⅱ) 在理科各班中, 男生的人数约为女生的4倍, 且女生的人数不少于6人;

(Ⅲ) 全校高三各班人数较为平均.

根据以上的结果, 能否有99%的把握认为该校高三学生选读文、理科与性别有关?请写出你的推导过程与结论.

参考公式和数据:

13. (理) 设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U, |x|+|y|≤1确定的平面区域为V.

(Ⅰ) 定义坐标为整数的点为“整点”, 在区域U内任取3个整点, 解答下列问题:

(1) 求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率;

(2) 记此3个点在区域V的个数为ξ, 求ξ的数学期望Eξ及方差Dξ.

(Ⅱ) 在区域U内任取3个点, 记此3个点在区域V的个数为η, 解答下列问题:

(1) 求η的概率分布列;

(2) 求η的数学期望Eη及方差Dη.

(文) 设不等式x2+y2≤2确定的平面区域为U, |x|+|y|≤1确定的平面区域为V.

(Ⅰ) 定义坐标为整数的点为“整点”.

(1) 在区域U内任取1个整点P (x, y) , 求满足x+y≥0的概率;

(2) 在区域U内任取2个整点, 求这2个整点中恰有1个整点在区域V的概率;

(Ⅱ) 在区域U内任取1个点, 求此点在区域V的概率.

参考答案

1.【错解】D.把x=20代入

【分析】表中所给的数据只反映x与y的线性关系, 并非函数关系, 因而不能直接代入线性方程求预报值, 应根据线性回归方程性质, 即线性回归方程经过中心点) 求解.

【解】C.由题意可得, 代入回归方程得.设看不清处的数为a, 则62+a+75+81+89=75×5, ∴a=68.

【点拨】线性回归方程经过中心点是求解线性回归问题的常用工具.

2. (理) 【错解1】C.种.

【错解2】B.在中间4个位置中选2个位置给甲、乙排有A2 4种, 其他4人任意排有A44种, 故有A24·A4 4=288种.

【分析】在错解1中, 错在计算2A5 5时, 已包括甲排在左端乙排在右端的情况, 被减去了, 要加回来;在错解2中, 已遗漏了乙排在左端, 或甲排在右端的情形, 共2A5 5-A4 4=9A4 4=216种, 应为288+216=504种.

【解】D.六人任意排成一排有A6 6种;甲排在左端有A5 5种, 乙排在右端有A55种;甲排在左端、乙排在右端有A44种;故共有种.

【点拨】在运用排列、组合方法处理计算问题时容易出现“重复”与“遗漏”的错误, 需引起重视.

(文) 【错解】A.由题意可得m=7, 排除D; 由p=7+8 /2=7.5, 排除C;由甲组的众数可能为7, 也可能为8, 不确定, 于是其众数不存在, 排除B, 故选A.

【分析】以上错解是由于对“特征数”概念模糊所致, 一组数必存在中位数, 若有奇数个数, 中位数为位于中间的数 (从小到大排列) , 若有偶数个数, 中位数为位于中间两数的平均数 (从小到大排列) .一组数的众数不一定存在, 一组数据中, 出现次数最多的数就叫这组数据的众数.例如, 1, 2, 3, 3, 4的众数是3.但是, 如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的, 那么这几个数都是这组数据的众数.例如, 1, 2, 2, 3, 3, 4的众数是2和3.还有, 如果所有数据出现的次数都一样, 那么这组数据没有众数.例如, 1, 2, 3, 4, 5没有众数.

【解】B.m=7, n=7, 8, 而p=7.5, q不存在, 故选B.

【点拨】在统计中, 需厘清一些“特征数”的概念, 如平均数、中位数、众数、方差、标准差等.

3. (理) 【错解】C.不同的分法有种.

【分析】该问题属局部平均分组问题, 在中, 由于取元素的任意性, 已将两份各1本的顺序及两份各2本顺序都计算在内了, 应再除以A2 2A2 2.

【解】B.设分成4份, 两份各1本, 其余两份各2本有x种分法, 再分给甲、乙、丙、丁4人, 甲、乙各人1本, 丙、丁各人2本, 则应有, 得x=45种不同分法.

【点拨】计算“平均分组问题”或“局部平均分组问题”时, 容易出现重复计算的情形, 因为“任意选取”中隐含有“顺序”的意义, 应注意.

(文) 【错解】记6个小朋友分别为a, b, c, d, e, f, 从中选取4人, 有 (a, b, c, d) , (a, b, c, e) , (a, b, c, f) , (b, c, d, e) , …, 由于所选元素较多, 难以列举清楚.

【分析】其实从6个元素中选取4个的种数等于从6个元素中选取2个的种数, 从而更便于列举.

【解】B.记6个小朋友分别为a, b, c, d, e, f, 从中选取2人不参加游戏, 有 (a, b) , (a, c) , (a, d) , (a, e) , (a, f) ; (b, c) , (b, d) , (b, e) , (b, f) ; (c, d) , (c, e) , (c, f) ; (d, e) , (d, f) , (e, f) . 共15种,

于是所求的种数也是15种.

【点拨】用列举法列举基本事件的种时, 需注意优化列举的方法, 避免出现“重复”与“遗漏”的错误.

4.【错解】A.所求的众数为100+102 /2= 101, 用众数估计其中位数与平均数知, A正确.

【分析】在频率分布直方图中不能用众数数估计其中位数与平均数, 需要根据不同的概念计算其值.

【点拨】众数———最高矩形中点的横坐标; 中位数———直方图面积平分线与横轴交点的横坐标;平均数———各小矩形的面积×小矩形的底边中点横坐标, 再求和.

【点拨】在求二项展开式中某项的系数时, 需要注意观察所给式子的结构, 必要时需先作变形, 再运用二项式定理求解.

(文) 【错解】A.将840人按1, 2, …, 840随机编号, 分为42组, 每组20人, 即第1组, 1到20号, 第2组, 21到40号, …, 第42组, 820到840号.每组抽取1人, 设从第1组中抽到的号数为k, 则1≤k≤20, 在第n组抽到的号数为an =20 (n-1) +k.

【分析】以上解法错在最后一步, 由25≤n≤36得n的取值个数应为36-25+1=12.

【解】B.将840人按1, 2, …, 840随机编号, 每20个人分成一组, 即第1组, 1到20号; 第2组, 21到40号;…;第25组, 481到500号;…;第36组, 701到720号;…;第42组, 821到840号.每组抽取1人, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为12.

【点拨】解决问题时, 常需对所研究的问题实施估算, 如在以上解中, 我们可以这样估算: 481为第几组的数?480÷20=24, 即480为第24组最后一个数, 于是481是第25组第一个数, 类似地也可对720作出估算.

7.【错解】D.由题意知, 乙厂生产的灯泡的一等品率是90%, 也即甲厂生产的一等品的概率是0.9.

【分析】以上错解混淆了“甲厂生产的灯泡的一等品率是90%” (研究对象为甲厂) 与“从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率” (研究对象为甲、乙厂总和) 两个概念, 应运用条件概率计算.

【解】B.设事件A表示“甲厂生产的灯泡”, 事件B表示“灯泡为一等品”, 依题意有P (A) =0.6, P (B|A) =0.9, 根据条件概率计算公式得P (AB) =P (A) ·P (B|A) =0.6×0.9= 0.54.

【点拨】事实上, 在50个灯泡中, 甲厂生产了50×60%=30个灯泡 (其中, 一等品30×90%=27个) ;乙厂生产了50×40%=20个灯泡 (其中, 一等品20×80%=16个) . 于是所求的概率为27 50=0.54.

8. (理) 【错解】48.由题意知, 2n=256, 有n =8, 取x=1得其二项式系数和为48.

(文) 【错解】无法求得阴影部分的面积而得不到正确的结果.

【分析】由图形的结构知, 直线AB经过两阴影部分的公共点, 且这个公共点为AB的中点, 可采用割补法求阴影部分的面积.

【点拨】割补法是求不规则边形面积的常用方法.在割补的过程中, 需要注意图形的对称性, 才便于割补.

9.【错解】1 /3 , 1 /3.P (A|B) 表示事件B发生的条件下A发生的概率, 而P (B) =5 /6 , 事件B发生的条件下A发生的概率P (A) =2/ 5 ,

∴P (A|B) =5 /6×2 /5=1 /3.

同理P (B|A) =3 /6×2 /3=1 /3.

【分析】P (A|B) 表示事件B发生的条件下A发生的概率, 也即事件B已发生, 再算A发生的概率即可, 也即P (A|B) =2 /5 , 也可用条件概率的计算公式P (A|B) =P (AB) /P (B) 进行计算.

【点拨】条件概率不能用乘法原理实施计算, 因为P (A|B) 表示在事件B发生的条件下A接着发生的概率, 事件B已为发生了的事件 (概率等于1) , 不能再把概率相乘.

【分析】以上解法中“第一列有A3 3种放法”计算有误, 因为在计算总数A6 6时, 已将桔子、苹果和香蕉默认为桔子1、桔子2、苹果1、苹果2、香蕉1、香蕉2, 因而在计算第一列的放法种数时, 应“先选再排”.

【点拨】在计算与排列、组合问题有关的概率问题时, 需考虑是否与顺序有关的情形, 如本题, 由于总数A66中已将每种水果的每一个加以区分, 于是在计算满足题意的种数时也应给予同样的考虑.

(文) 【错解】1 /4.设全班有x人, 则女生有3 /4x人, 其中得过第一名的有3 /4x×1/ 3=1 /4x,

∴所求的概率为1 /4x /x=1/ 4.

【分析】以上错解忽略了男生的考虑.

【解】11 /40.不妨设男生有x人, 则女生有3x人.那么得过第一名的学生有 (3x /3+x/ 10 ) 人,

从而随机地选一位学生, 则这位学生得过第一名的概率是3x/ 3+x /10/ 4x=11 /40.

【点拨】由于等可能事件不同, 因而求概率的方法也不同, 虽然第 (1) 与第 (2) 所得的结果相同, 但是采用的方法相差甚远.

12.【错解】本题有三处容易出错:一是不能设出男、女生的人数而解决问题;二是得到K2≥13.3后不能根据要求用13.3>6.63对所求的问题给出回答;三是在计算K2值前没有给出“假设该校高三学生选读文、理科与性别无关”的假设.

【分析】由于题中没有给出男、女生的人数, 于是需先设出人数, 画出2×2列联表, 才便于由相关的方法解决问题.

【解】在文科各班中, 设男生有a人, 则女生有2a人, 且a≥10, 在理科各班中, 设女生有b人, 则男生有4b人, 且b≥6, 得如下2×2列联表:

由全校高三各班人数较为平均, 得a+2a =b+4b, 故3a=5b, 即a=5 /3b≥10.

假设该校高三学生选读文、理科与性别无关,

答:我们有99%的把握认为该校高三学生选读文、理科与性别有关.

【点拨】K2的参考表中, P (K2≥k) 表示两变量无关的概率, 所以在计算K2值前需要先给出两变量无关的假设, 否则会被扣分.

13. (理) 【错解】本题易出现三方面错误:一是混淆古典概型概率与几何概型概率的计算; 二是混淆超几何分布概率与二项分布概率的计算;三是出现计算的错误.

【分析】在 (Ⅰ) 中的“整点”是可数的, 为古典概型问题.在 (Ⅱ) 中, 研究的点不再是“整点”, 这些是不可数的, 为几何概型.另外在 (Ⅰ) 中, 所取的点是不独立的, 为超几何分布型概率, 在 (Ⅱ) 中, 由于所研究的点为无穷个, 故所取的点是独立的, 为二项分布型概率.

【点拨】 (1) 超几何分布与二项分布的区别与联系:①超几何分布是一次性取n件, 而二项分布是n次独立重复的试验;②当抽取的方式由无放回变为有放回时, 超几何分布变为二项分布;③当产品总数N很大时, 超几何分布变为二项分布. (2) 若ξ服从超几何分布, 即

(2) 由于所要列举的点个数较多, 无法列举完全而致错.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 在区域U内任取1个点, 此点在区域V的概率为P=5 /9.

【分析】 (Ⅰ) 为古典概型, 需用列举法求之;

(Ⅱ) 为几何概型, 需用面积比求解.

【点拨】从“有限”与“无限”的角度可快速判别所求的概率是“古典概型”还是“几何概型”, 而对于古典概型的概率, 有时列举的事件较为繁杂, 需按一定的顺序列举才能有效避免重复与遗漏.

十、算法初步、推理与证明部分

一、选择题

1.在数列{an}中, a1=1, an=an-1+n, n≥2.为计算这个数列前10项的和, 现给出该问题算法的程序框图, 如图1所示, 则图中判断框 (1) 处合适的语句是 () .

(A) i<9 (B) i<10 (C) i>9 (D) i>8

2. (理) 用数学归纳法证明“”时, 由n=k的假设证明n=k+1时, 如果从等式左边证明右边, 则必须证得右边为 () .

(文) 规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算, 即, 则函数f (x) =1*x的值域是 ()

(A) (1, +∞) (B) [1, +∞)

3.阅读如图2所示的程序框图, 输出的s值为 () .

4.我们把形如的函数称为幂指函数, 幂指函数在求导时, 可以利用对数法:在函数解析式两边求对数得运用此方法可以求得函数y=xx (x>0) 的导数y′ = () .

(A) y′=lnx+1 (B) y′= (lnx+1) xx

5.执行如图3所示的程序框图, 如果输出s=3, 那么判断框内应填入的条件是 () .

(A) k≤6 (B) k≤7 (C) k≤8 (D) k≤9

6.下面使用类比推理正确的是 () .

(A) 直线a, b, c, 若a∥b, b∥c, 则a∥c.

类比推出:向量a, b, c, 若a∥b, b∥c, 则a∥c.

(B) 同一平面内, 直线a, b, c, 若a⊥c, b⊥c, 则a∥b.

类比推出:空间中, 直线a, b, c, 若a⊥c, b⊥c, 则a∥b.

类比推出:复数a, b, 若方程x2+ax+b=0有实数根, 则a2≥4b.

(D) 以点 (0, 0) 为圆心, r为半径的圆的方程为x2+y2=r2.

类比推出:以点 (0, 0, 0) 为球心, r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2.

7.如图4, 椭圆中心在坐标原点, F为左焦点, 当时, 其离心率为, 此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”, 可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 () .

8.对于直角坐标系内任意两点P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , 定义运算:P1P2= (x1, y1)  (x2, y2) = (x1x2-y1y2, x1y2+x2y1) .若点M的坐标为 (-2, 2) , 且M (1, -1) =N, 则∠MON= () .

(A) π/ 4 (B) π /3 (C) π/ 2 (D) 0

二、填空题

9.图5是一个算法的程序框图, 若输入的x=8, 则输出的k=__;若输出的k=2, 则输入的x的取值范围是__.

10.“无字证明” (proofswithoutwords) 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图6中的图甲、图乙中阴影部分的面积关系, 写出该图所验证的一个三角恒等变换公式__.

11.如图7, 画1个圆将平面分成2部分; 画2个圆将平面最多分成4部分;画3个圆将平面最多分成8部分;…;设画n个圆将平面最多分成f (n) 部分, 则f (4) =, f (n) = (答案用n表示) .

12.已知数列{an}的前n项为1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, …, 设{an}的前n项和为Sn, 则a2014+S2014=.

三、解答题

13.我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数y=f (x) (x∈D) , 对任意x, y, x+y /2∈D均满足f (x+y /2 ) ≥1 2 [f (x) + f (y) ], 当且仅当x=y时等号成立.

(Ⅰ) 若定义在 (0, +∞) 上的函数f (x) ∈M, 试比较f (3) +f (5) 与2f (4) 的大小;

(Ⅱ) 给定两个函数:f1 (x) =1/ x (x>0) , f2 (x) =logax (a>1, x>0) , 证明:f1 (x) M, f2 (x) ∈M;

(Ⅲ) 试利用 (Ⅱ) 的结论解决下列问题:若实数m, n满足2m+2n=1, 求m+n的最大值.

14.设函数f (x) 在 (a, b) 上有导函数f′ (x) , 其图象如图8所示, 则我们必可将割线PQ平移至直线l, 使得直线l与f (x) 在 (a, b) 上的图象的一点ξ处相切, 于是我们可得到结论:在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得f′ (ξ) = f (b) -f (a) /b-a成立.试用该结论解决下面的问题:设函数φ (x) 的导函数为φ′ (x) , φ′ (x) 单调递减, 且φ (0) =0.

(Ⅰ) 对x∈ (0, 1) , 证明:φ (1) x<φ (x) <φ′ (0) x;

(Ⅱ) (理) 若φ (1) ≥0, φ′ (0) ≤1, 任取x0∈ (0, 1) , 令xn=φ (xn-1) , n∈N*,

证明:0<xn+1<xn<1.

参考答案

1.【错解】D.由所给的框图知, 当输入i=0时, 将输出s=0+1, 当输入i=1时, 输出s=s +2, 依此类推, 当输入i=9时, 输出s=s+10, 停止运算, 输出前10项的和, 于是选D.

【分析】由于i考虑的是输入的值, 而s是输出的值, 产生了不匹配, 以致错位, 而出现了条件判断的错误.

【解】C.输出的相关数据i, a, s如下:

于是只需在判断框中填上i>9 (或i≥10) 即可.

【点拨】抓住输出的相关数据实施列举, 才能对条件判断作出正确的选择.

【点拨】在运用数学归纳法证明等式或不等式时, 从n=k到n=k+1的推导过程中, 需特别注意三点:一是首项, 二是末项, 三是变化规律.

【分析】函数y=t2+t+1的对称轴为t= -1/ 2 , 且开口方向向上, 得该函数在 (0, +∞) 上单调递增, 于是y>1.忽略了二次函数的对称轴与其图象的开口方向及t的取值范围而出现错解.

【点拨】抓住二次函数图象的对称轴、开口方向、与x轴 (y轴) 的交点, 然后利用数形结合思想解决问题, 是处理此类问题的常用思路.

【解】C.运行所给的程序, 输出的s, n如下:

【点拨】循环结构在高考中属热门考点, 此类问题易出现循环次数的错判而出错, 所以需特别关注临界点的研究, 避免出错.

【点拨】在运用演绎推理解决问题时, 需严格按照大前提实施推导, 否则易出现错误的推断.

5.【错解】C.运行所给的程序时, 有如下数据:

【解】B.运行所给的程序时, 有如下数据:

【点拨】填充判断框的条件是一类很容易出现错误的题型.检验法是解决此类问题的有效方法, 抓住临界点的检验即可试出所填条件的真伪.

6.【错解】B.平行向量可能同向或反向, 于是平行性可以传递, 得A正确;在空间中, a与b可以相交、平行、异面, 故B不正确;对于C, 类似于实数范围内考虑问题, 于是也应该有a2≥4b, 故C正确;对于D, 类比应得球的方程为x3+y3+z3=r3, D也错, 有B、C两项正确, 无法给出正确的选择.

【分析】如A中的b若为0, 则a与c可为任意向量, 得不到a∥c的结果;对于C亦如此, 对于D, 则它们之间存在共性的两点间的距离等于r, 从而也应为x2+y2+z2=r2.

【点拨】用类比法得到的不少结论是不正确的, 需注意两者细节的共性与差异.

【点拨】对于解答一些新定义的问题, 需严格按照题中所定义的新概念、运算处理问题, 由于所给出的新定义常与我们熟知的知识存在差异, 这些地方需特别引起注意.

9.【错解】4; (28, +∞) .若输入x=8, 则有:

由143>115知, 输出k=4.

若输出的k=2, 则有

于是2 (2x+1) +1>115, 解得x>28.

【分析】以上解法中求x的取值范围有误, 还应满足2x+1≤115.

【解】4; (28, 57].若输入x=8, 同上有输出k=4.

若输出的k=2, 则有

【点拨】在框图问题中若涉及求变量的取值范围问题, 常需特别关注判断框的条件, 如本题中, 需同时满足, 才能输出的k=2.

【分析】其实在错解中得到的等式是一个恒等式, 而不是一个三角恒等变换公式, 事实上, S1=sin (α+β) .

【解】sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ.甲、乙图中大矩形的面积相等, 甲图中阴影部分的面积为S1=sin (α+β) , 在乙图中, 阴影部分的面积S2等于2个阴影小矩形的面积之和, 即sinαcosβ+cosαsinβ.而面积S2还等于大矩形的面积S减去2个小空白矩形的面积, 再由2个图中空白部分的面积相等, 可得S1=S2, 从而得结论

【点拨】本题要求的是一个三角恒等变换公式, 因而需回顾有关的三角公式, 结合图形求甲、乙两图中阴影部分的面积才便于解决问题, 其中S1=sin (α+β) 是关键.

【分析】本题由于对初始情形的归纳过于草率, 才出现了此错解.其实从递推的角度考虑问题, 每增加一个圆, 该圆都会与原来的n个圆交于2个点, 共得2n个交点, 该圆圆周也就被分成了2n段, 每1段增加了1个部分, 于是便得f (n+1) =f (n) +2n, 用累加法可求f (n) .

【解】14, n2-n+2.要将平面分成最多部分, 则任意两个圆相交, 没有三个圆共点, 设画n个圆将平面最多分成f (n) 部分, 在添加第n +1个圆时, 这个圆与原来的n个圆相交于2n个点, 则这个圆周被分成了2n段, 每1段都增加了1个部分, 于是f (n+1) =f (n) +2n,

【点拨】运用归纳推理考虑问题时, 会产生量变与质变的问题, 其实若在3个圆的基础上再添加一个圆, 则不难得到f (4) =14, 从而推翻f (n) =2n的猜测, 进而考虑别法求解.

12.【错解】先将数列{an}分组为: (1, 2) ; (1, 2, 2) ; (1, 2, 2, 2) ; (1, 2, 2, 2, 2) ;…;于是至第n组共有n+ (1+2+…+n) =n+n (n+1) /2项. 令n+n (n+1) / 2=2014, 得n2+3n-4028=0, 求不到此方程的正整数解, 从而得不到正确结果.

【点拨】有些问题我们难于直接得到正确的结果, 这时我们不妨运用估算法, 通过不断的估算、检验, 才能逐步逼近正确的结果.

【点拨】本题的结论实际是微分中值定理, 本题以导数的几何意义为桥梁, 通过图象直观地给出了该定理, 只要求运用该定理解决问题即可, 所以挖掘其内在结构成为解题的关键.在第 (Ⅱ) 问中, 在没有得到0<xn<1的前提下, 容易出现推理上的不严谨现象.

十一、复数、选考部分

一、选择题

1.已知a+2i /i=b+i (a, b∈R) , 其中i为虚数单位, 则复数b+ai虚部为 () .

(A) -1 (B) -i (C) 1 (D) i

2.在极坐标系中, 曲线ρcosθ=sin2θ与曲线ρ (sinθ-cosθ) =1的交点的个数是 () .

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

3.已知AD是△ABC边BC上的高, 若AD2=BD·CD, 则△ABC的形状是 () .

(A) 正三角形

(B) 直角三角形

(D) 直角三角形或钝角三角形

4.已知正实数x, y满足2x+y=2, 则2 /x+1+1 /y的最小值为 () .

(A) 9 (B) 6 (C) 9 /4 (D) 2

5.如图1, 四边形ABCD接于圆O, 且, AD =CD =2, 则四边形ABCD的面积等于 () .

6.已知z∈C为z的共轭复数, 若 (i是虚数单位) , 则z= () .

(A) i (B) -i

7.在极坐标系中, 若直线l:ρ (sinθ+cosθ) =a与曲线C:ρ=1, θ∈[0, π]有两个不同的交点, 则实数a的取值范围是 () .

二、填空题

8.已知a, b, m, n∈R, i是虚数单位, 且1+ mi≤a+bi≤1+ni, 则|b+ai|=____.

9.在极坐标系中, 曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为____.

10.若关于x的不等式|x-a|+|x+a|≤2a至少有两个整数解, 则实数a的取值范围是___.

11.如图2, 已知AB和AC是圆的两条弦, 过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D, 过点C作BD的平行线与圆交于点E, 与AB相交于点F, AF=3, FB =1, EF=3 /2 , 则线段CD的长为___.

三、解答题

12.在直角坐标系xOy中, 点 (2, -2) 在矩阵对应变换作用下得到点 (-2, 4) , 曲线C:x2+y2=1在矩阵M对应作用下得到曲线C′, 求曲线C′的方程.

13.求直线, (t为参数) 被椭圆x2 /16+y2/ 4=1截得的弦长.

参考答案

1.【错解】B.由已知得a+2i= (b+i) i= -1+bi, 则a=-1, b=2, 有b+ai=2-i,

∴其虚部为-i.

【分析】复数a+bi的实部为a, 虚部为b.

【解】A.由已知得a+2i= (b+i) i=-1+ bi, 则a=-1, b=2, 有b+ai=2-i,

∴其虚部为-1.

【解】D.由上面的错解及分析知, 它们有3个交点.

【点拨】在极坐标方程 (其他方程也一样) 的变形过程中, 需注意等价性, 否则容易出现漏解或增根的情形.

【分析】其实垂足D还可能在BC的延长线上, 如图2, 也得到△ADC∽△BDA, 这时△ABC为钝角三角形.

【解】D.由上面的错解结合分析知, 选项D正确.

【点拨】在考虑与三角形有关的问题时, 有些情形要考虑全面, 如三角形的高可能在三角形内也可能在三角形外, 直角三角形的直角顶点是哪一点, 等腰三角形的腰是哪两边等.

【点拨】在运用基本不等式求最值时, 需注意检验等号成立的条件, 特别是多次运用了基本不等式的情形.

【点拨】若对两个“三角板模型”较为熟悉, 可直接猜得△ACD与△ABC均为直角三角形, 从而AC为直径, 即可得所求的四边形的面积.

【点拨】在处理极坐标与参数方程问题时, 需要特别注意一些参数的取值范围 (挖掘隐含条件) , 它会影响曲线的形状, 当要求写出极坐标或参数方程时, 常要注明参数的取值范围.

【分析】实数不等式的移项运算不能迁移到复数中去, 如2>1, 不能得到2+i>1+i, 只有实数才能比较大小, 于是题意中隐含着1+mi∈R, a+bi∈R, 1+ni∈R, 这样一分析问题也就不难解决了.

【解】1.由题意得1+mi∈R, a+bi∈R, 1+ ni∈R, 于是m=b=n=0.

这时, 1≤a≤1, ∴a=1, 则|b+ai|=|i| =1.

【点拨】在实数中不等式的性质在复数中不再成立, 所以在处理与复数有关的不等式时, 需要注意其隐含条件, 将其转化为实数问题求解.

【分析】以上解法在x≤-a时, 去绝对值时出现了错误, 应为 (a-x) - (x+a) ≤2a, 从而出现了错误的结果.

【解】[1, +∞) .由题意可得a>0时, 2a≤|x-a|+|x+a|, 得|x-a|+|x+a|=2a, 它表示在数轴上点x到点-a与到点a的距离之和为2a, ∴-a≤x≤a, 得区间[-a, a]内至少含有两个整数, 而该区间的“长度”为2a, 于是必有2a≥2, ∴a≥1.

【点拨】处理绝对值不等式问题, 建议优先使用“几何法”, 因其直观性较强, 通常可得到较为快捷准确的解答, 必要时再用去绝对值的“代数法”.本题的另一个易错点是表达规范性问题, 易出现将a≥1作为最终结果, 以致出错, 一般而言, 对于一些参数的取值范围需最终写为区间或集合的形式.

【点拨】寻找图形中角度或线段长度间的关系是解决此类问题的关键, 熟悉平行线的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形射影定理、相交弦定理、切割线定理、弦切角定理等是前提, 灵活运用之即可解决问题.

【点拨】在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时, 一定要把变换前后的变量区别清楚, 防止混淆.

13.【错解】2.设直线与椭圆交于A, B两点, 将直线的参数方程, 代入椭圆方程, 得, 整理得t2=1, 根据直线参数方程中t的几何意义, 得AB= |t1-t2|=2, 即弦长为2.

3.高考数学新题型特征分析篇三

一、高考数学数列不等式题型考试要求概述

我们要对高考数学数列的概念进行了解和掌握，之后要对高考数学数列的通项公式及其具体意义有所熟知，在求解数列的方法中，递推公式是其中一项重要方法，要根据相应的公式计算出高考数学数列的前几项.需要强调的是，要熟悉高考数学等差数列概念，并掌握等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式.之后在对上述内容进行了解的基础上，解决实际高考数学数列不等式新题型问题.另外，还要熟悉高考数学等比数列的概念、高考数学等比数列通项公式、前n项和公式等.要求学生熟悉掌握│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│公式，并熟练掌握高考数学数列不等式分析法、不等式综合法以及数列不等式比较法等.

二、高考数学新题型中数列不等式出题走向分析

1.信息关系转化

如果函数在f（x）在对应的定域值为D，当x∈D时，此时f（x）≥M就恒成立，有f（x）min≥M，那么此时f（x）≤M恒成立，有f（x）max≤M，之后在此基础上利用高考数学等差数列、等比数列的知识简化不等式，这样就能解出公式.

【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，而a1=a，an+1=Sn+3n（n∈N*）.

（1）求当bn=Sn-3n时，{bn}的通项公式.

（2）求当an+1≥an（n∈N+）时，a的取值范围.

解析：根据上述题意可以得出：Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n.根据上式可以算出Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）.所以此时可以算出{bn}的通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1（n∈N*）.第二问的解答方法可以以第一问为基础，Sn=3n+（a-3）2n-1（n∈N*），于是，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n+（a-3）2n-1-3n-1-（a-3）·2n-2=2×3n-1+（a-3）2n-2，an+1-an=4×3n-1+（a-3）·2n-2=2n-2·[12·（312）n-2+a-3]，当n≥2时，an+1≥an，即2n-2·[12·（312）n-2+a-3]≥0，12·（312）n-2+a-3≥0，所以此时a≥-9.综上可知：a的取值范围是[-9，+∞）.

点评：我们要根据已知题意内容进行分析，利用Sn与an之间的关系去进行公式推导，而当我们对第二小问进行思考时应将条件an+1≥an转化为a与n之间的具体关系，在此基础上再利用a≥f（n）恒成立等价于a≥f（n）max进行相应公式求解.

2.设问阶梯型

学生通过数列不等式的相关性质，由浅及深，逐步推进.

【例2】数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：

112，113，213，114，214，314，115，215，315，415，116，…

若存在整数k，使Sk<10，Sk+1≥10，则ak=.

解析：数列的构成规律是分母为2的有一项，分母为3的有两项，分母为4的有三项等，故这个数列的和可以分段求解.

S1=112，S3=112+1+213=312，S6=312+1+2+314=3，S10=3+1+2+3+415=5，S15=5+1+2+3+4+516=1512，分母为7的项的和为：1+2+3+4+5+617=3，

故S21=2112>10，

而S20=1512+1+2+3+4+517=1512+1517<1512+512=10，所以ak=517.最后答案为517.

3.结论开放型endprint

高考数学新题型包括很多种类，其中主要包括高考新型选择题和高考新型解答题等，所以我们应对高考数学新题型的走向进行分析.只有对高考数学新题型的走向分析透彻，才能有利于学生解答高考数学问题，提高答题效率和拓宽解题思路等.数学数列不等式的题型以解答题为主，而解答题则是以中档高考数学数列不等式形式和压轴高考数学数列不等式形式二者交汇出现的，在此过程中还有可能出现高中数学导数知识、高中数学解析几何知识以及高中数学三角函数知识等的考查.数列不等式被具体应用在高考数学的抽象数列中.高考数学中，数列不等式题型会涉及递推数列和抽象数列等相关知识，其最主要的考查方式是数列不等式方程转化.

一、高考数学数列不等式题型考试要求概述

二、高考数学新题型中数列不等式出题走向分析

1.信息关系转化

【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，而a1=a，an+1=Sn+3n（n∈N*）.

（1）求当bn=Sn-3n时，{bn}的通项公式.

（2）求当an+1≥an（n∈N+）时，a的取值范围.

2.设问阶梯型

学生通过数列不等式的相关性质，由浅及深，逐步推进.

【例2】数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：

112，113，213，114，214，314，115，215，315，415，116，…

若存在整数k，使Sk<10，Sk+1≥10，则ak=.

解析：数列的构成规律是分母为2的有一项，分母为3的有两项，分母为4的有三项等，故这个数列的和可以分段求解.

S1=112，S3=112+1+213=312，S6=312+1+2+314=3，S10=3+1+2+3+415=5，S15=5+1+2+3+4+516=1512，分母为7的项的和为：1+2+3+4+5+617=3，

故S21=2112>10，

而S20=1512+1+2+3+4+517=1512+1517<1512+512=10，所以ak=517.最后答案为517.

3.结论开放型endprint

一、高考数学数列不等式题型考试要求概述

二、高考数学新题型中数列不等式出题走向分析

1.信息关系转化

【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，而a1=a，an+1=Sn+3n（n∈N*）.

（1）求当bn=Sn-3n时，{bn}的通项公式.

（2）求当an+1≥an（n∈N+）时，a的取值范围.

2.设问阶梯型

学生通过数列不等式的相关性质，由浅及深，逐步推进.

【例2】数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规则排列：

112，113，213，114，214，314，115，215，315，415，116，…

若存在整数k，使Sk<10，Sk+1≥10，则ak=.

解析：数列的构成规律是分母为2的有一项，分母为3的有两项，分母为4的有三项等，故这个数列的和可以分段求解.

S1=112，S3=112+1+213=312，S6=312+1+2+314=3，S10=3+1+2+3+415=5，S15=5+1+2+3+4+516=1512，分母为7的项的和为：1+2+3+4+5+617=3，

故S21=2112>10，

而S20=1512+1+2+3+4+517=1512+1517<1512+512=10，所以ak=517.最后答案为517.

4.高考数学重点题型答题技巧篇四

高考数学题选择题占40%的比重，把握好选择题是考取高分的基础。选择题中一些特殊方法，如排除法、特殊值法、特殊图形法、极限思想等的合理运用会使结果更准确，速度更快，尤其是遇到较难的题目，首先应考虑是否可以用这些方法来解。有些题目其实就是考查学生灵活应对能力的，常规思维很难解决。而哪些题目可以用此法，关键是看题中所给的条件和所求结论是否在一定范围内具有一般性。

这里提一下特殊值法，特殊值法最适合的是选择题，尤其适合的是选项里都是一个答案的题目，可以直接用特殊值代入验证。不过，用特殊值要熟练，思路要清晰，基础知识要完全考虑到，而且不能脱离题干，不然很容易得出错误的结论。另外，特殊值法并不是只是代入一个特殊值就好了，可以尽量把能想到的两三个特殊值代进去，比如在三角形中，特殊值可以代入30°、60°、90°，但同时也应该注意三角形边角比例的关系，不然很容易得出错误的答案，这样就得不偿失了。

这里解析中取的特殊值是等边三角形，三个内角均为60°，如果取三个角分别为30°、60°、90°，虽然同样是我们比较熟悉的特殊值，但却跟题干中所提到的“三个角对应的三条边a、b、c为等差数列”不符，自然就无法得到正确答案了。

二、填空题：

概念要清，方法要对，计算要准。填空题对思维的严密和计算的准确性要求都很严格。符号、小数点的错误都会造成劳而无获，因此要特别注意运算的规范，要一丝不苟，不可贪快不细，做无用功。

三、解答题：

这一类型的题目的要求除了与填空题相同外，还应注意：

1、注意分步解答题目的形式，若各个小问题由一个大前提统领，则很可能上面的结论是下面问题的条件，要注意这一点，同时若小问题单独添加了限制条件，则其结论不可应用于下一个小问题的解答，所以应仔细审题，不可疏忽。

2、在运算过程中要求一次性运算准确，否则若出现运算失误，考生往往受思维定式的影响，很难检查出来。只要细心了，对自己就要有信心，不要一道题做了再反复去检查是否准确，那样会浪费大量宝贵的时间，在此问题上应把握“宁慢勿粗”。

3、对于解答题，要注重通性通法，不要过于追求技巧，把高考神秘化。因为高考越来越注重基础与通性通法的考查。举个例子来说吧，解析几何对大部分学生来说很难得全分，通常解析几何放在高考最后一题或倒数第二题的位置，算是一个压轴题吧。这类解析几何题的通法就是把直线方程与曲线方程联立，虽然有些时候可能计算会比较麻烦，但是都能做得出来。如果过于关注技巧，对有些题目就不适用了。

5.高考数学复习大题必考题型篇五

高考解析几何剖析：

1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线(如圆、椭圆、抛物线、双曲线)这三大类几何元素为基础构成的图形的问题;

2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。

有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作：

1、几何问题代数化。

2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。

高考解析几何解题套路及各步骤操作规则

步骤一：(一化)把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来(“翻译”);

口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。

1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化;

2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化;

3、见曲线化曲线：“曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化;

步骤二：(二代)把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来;如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。

口诀：点代入直线、点代入曲线。

1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程;

2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程;

这样，每代入一次就会得到一个新的方程，方程逐一列出后，这些方程都是获得最后答案的基础，最后就是解方程组的问题了。

6.高考数学题型全篇六

整体而言，高考数学要想考好，必须要有扎实的基础知识和一定量的习题练习，在此基础上辅以一些做题方法和考试技巧。往年考试中总有许多考生抱怨考试时间不够用，导致自己会做的题最后没时间做，觉得很“亏”。

高考考的是个人能力，要求考生不但会做题还要准确快速地解答出来，只有这样才能在规定的时间内做完并能取得较高的分数。因此，对于大部分高考生来说，养成快速而准确的解题习惯并熟练掌握解题技巧是非常有必要的。

二、快与准的关系

在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。如去年第21题应用题，此题列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中把二次函数甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的实际水平是不相符的。适当地慢一点、准一点，可得多一点分;相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。

三、审题与解题的关系

有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量(如“至少”，“a>0”，自变量的取值范围等等)，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。

四、“会做”与“得分”的关系

要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。如立体几何论证中的“跳步”，使很多人丢失1/3以上得分，代数论证中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字语言”，得分少得可怜;再如去年理17题三角函数图像变换，许多考生“心中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”。

五、难题与容易题的关系

7.高考中复数常考题型归类篇七

一、考查复数的基本概念

例1 (2006年福建理科卷)设a,b,c∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是().

(A) ab-bc=0

(B) ac-bd=0

(D) ad+bc=0

解:因为(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i为实数,所以ad+bc=0.

故选D.

[评注]此题主要考查复数为实数的充要条件,另外复数为虚数和纯虚数,实部、虚部、共辆复数等概念在高考也常常会涉及到.

二、考查复数的代数运算

例2 (2006年安徽理科卷)复数等于().

(A) i (B)-i

(C)(D)

故选A.

[评注]此题主要考查复数的代数运算中的除法运算,若按除法的运算规律运算也可以,但运算量大,易出错.因此如可能我们也常适当运用技巧,先化简,再计算.如上解中先在分母中提取了-i后出现了与分子相同的式子,从而可以约分,简化了解题过程.

三、考查复数的几何意义

例3 (2005年浙江理科卷)在复平面内,复数对应的点位于().

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

解:因为

所以根据复数的几何意义得对应的点位于第二象限.

故选B.

[评注]此题主要考查复数的几何意义,体现了数形结合的思想.

四、考查复数的常用性质

例4 (2006年陕西理科卷)复数等于().

(A) 1-i (B) 1+i

(C)-1+i (D)-1-i

答案:C.

[评注]复数学习时,有如下常见结论:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈Z;(1±i)2=±2i;ω3=1,,.对这些结论的考查是常见的,有时结合代数运算进行综合考查.

五、考查复数方程的解法

例5 (2005年上海文科卷)在复数范围内解方程为虚数单位).

解:原方程可化简为,设z=x+yi(x、y∈R),

代人上述方程,得x2+y2+2xi=1-i,

所以x2+y2=1,且2x=-1.

所以.

所以原方程的解为.

[评注]在复数范围内解方程,一般需设z=x+yi (x、y∈R),然后综合运用复数的知识,结合复数相等条件,求出x,y,写出所求复数z.

8.高考数学题型全篇八

【关键词】高三数学高考复习

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）02-0138-01

进入到高三，数学这门科目已经没有多少新内容要教学，多数学校已经把高三的新课安排在高一高二上完。因此，整个高三，数学教学内容百分之九十九的时间是用来对于高中三年学过的知识进行梳理归纳，总结升华，构建知识体系，最终实现温故知新，举一反三，成功应对高考试题。但是，高一、高二数学内容多，难度大，各个模块所要求的数学思维、解题方法千差万别，加之数学同类型的题目假如不经常练习，很容易忘却，学生们学了新知识便把旧知识还给老师了。另外，到了高三，各科的课业压力都很重，学生不一定能够分配给数学足够的复习时间。如此种种，给高三数学复习带来了不少困难，在不足一年的上课时间内要完成如此繁重的复习任务，还要求有高效率，能取得良好的效果，教师必须有巧妙的方法和技巧，精心设计复习的各个环节，把劲儿使在刀刃上，争分夺秒。

高三数学复习的各个环节假如能够从一开始就和高考题型紧密结合起来，学生便可以在起跑线上比其他竞争对手先做好准备运动。要做到这一点，在复习用具和教学计划安排上，教师都必须花费一番心思。

一、在复习资料上，复习用的参考书目、检测用的考卷都必须尽量向高考的题型靠拢。复习资料中，教师应该选定一本主要的复习用书，这本复习用书应作为整个教学安排的大纲和支架，教师以此为基础构建整个复习网络。所以，这本复习用书必须精挑细选，满足三个要求：一是编写有逻辑性，条理清晰，帮助学生构建一个完整系统的知识网络；二是必须与高考紧密联系，资料列举的知识点应围绕课本、符合考纲要求，对高考试题的命题思路有较准确的把握，与考纲一脉相承则最为理想；三是符合学生能力水平，以合理的梯度设计内容，容易题目与困难题目的比例恰当，循序渐进，帮助学生一步一个脚印地提升。

二、课堂例题的选择，高考真题优先。课堂上时间有限，因此例题的选择必须体现典型性，体现高考中常见的典型题目。教师在复习时的教学重点应该是可以普遍应用的解题方法和规律，目的在于帮助学生掌握一类题的解题方法，增强同类题型的解题能力。即使是使用高考例题作为讲解内容，教师也要精挑细选。例题最好能够帮助学生调用课本中基本知识、激发数学思维、运用基础性技能等等。教师应该尽量避免花太多课堂时间在讲解偏题、怪题和高考中出现次数较少的题目上。同时，一道好的例题应该能够具备一题多解、一题多变的特点。在课堂上，仅仅介绍给学生一道题目的解题方法是不够的，例题必须是其同类题目中的典型和“变形金刚”，能够引出一连串类似的题目，而例题的解题技巧在同类型的题目中同样是适用的。教师在讲解例题的时候还要引导学生关注由此发散出去的其他题目，提醒学生留意各个题目之间的共同之处，帮助学生总结归纳一类题型的解题办法，锻炼学生灵活运用所学数学技能的能力。在第三轮复习中，课堂讲解可以引入考察多个知识点例题，提高学生综合运用所学知识的能力。

三、课下作业布置与课堂教学紧密结合，多让学生接触各类型高考题。课堂教学效果如何，可以从学生作业的完成质量上看出来。同时，根据课堂教学内容布置作业，也有助于学生巩固所学知识。不仅如此，作业设计应科学合理，能够帮助学生查漏补缺，减轻学生自主复习时的负担。作业题目的选择，同样还是高考题目优先，但是选择的范围比课堂例题可以更宽广些，也不必是那些经典的、屡试不爽的题目。最好布置给学生既与课堂内容紧密相关，又不失创新性的题目。作业题中可以有要求特殊解题技巧、或超纲的题目，留给学生咀嚼以及探寻多种解法的空间。

四、及时讲解课后习题，注意联系高考常考点。由于课后习题的布置比典型例题的选择自由很多，难题比重不低，所以习题讲解课有时得啃一些解题步骤多、运算复杂的“硬骨头”。这要求教师在习题讲解的时候有所选择，详细介绍一些较为传统的、常见的、与课本知识联系紧密的解题方法，进一步加深学生对该解题方法的记忆，让学生明白再新奇的题目同样能够用常见的方法解答，减轻学生畏难情绪。对于一些比较方便快捷，但是普通学生难以马上想到的解法，教师可以进行简要介绍，同时让学生将此积累进错题本。在第一轮复习的时候，尽量不要花费太多时间讲解超纲的压轴大题。

更重要的一点是，教师必须根据学生作业反馈的情况有针对性地讲解。学生第一次复习时似懂非懂、做题时寸步难行、讲解时恍然大悟的情况，教师必须明白这是学生对概念理解浮于表面，面对题目找不准切入点、对于解题技巧没能透彻掌握的缘故。做一题会一题，这种复习效率是低下的，能够举一反三才是理想的复习效果。所以，教师在讲解时要注意回归课本，不仅要展示解题过程，更要剖析解题思路；不仅要展示自己思维过程，更要启发学生自主思考；不仅要让学生“知其所以然”，更要培养学生对高考题目考查知识点的敏感度，准确应用相应解题技巧，帮助学生透过题目看出出题者的目的，才能避免掉入“讲一题会一题”的低效教学中。

另外，还要锻炼学生的“数形结合”、“分类讨论”等高考时常考查的数学思维能力。既有数学思维的领导，又有高考真题的练手，双管齐下，学生的复习才能取得理想效果。

五、重视每场小测考试，营造逼真高考氛围。高三各种各样、定时定候的小测与考试，对于学生，有助于检测他们一定阶段的复习效果；对于教师，则有助于及时发现学生复习普遍存在的漏洞，检测前一阶段教学安排中存在的不足，并为下一阶段的教学计划提供针对性地建议。每一场小测考试，教师都必须重视起来，严肃对待，要求学生在心态上遵守高考考场的纪律，并以答高考题的态度对待小测卷。

考试题目的甄选最好体现梯度，应该有一定比重的历年高考真题。在第一轮复习的时候，可以选用高考卷中的基础题，在第二轮、第三轮复习中，高考卷中的压轴大题便可以登场。随着高考时间的临近，试卷的逼真程度应该越来越高。

高三复习，剑指高考，切忌漫无目的，选题随便，教学无针对性。高三数学复习每走一步，都必须与高考贴得更紧，稳打稳扎，才能助学生金榜题名。

参考文献：

[1]李慧敏. “导学案”与学生数学自主学习[J]. 中学数学杂志. 2011（01）

[2]梁志恒. 高三数学复习课探究性教学模式初探[J]. 新课程学习（学术教育）. 2010（09）

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