天津大学高等代数

天津大学高等代数（13篇）

1.天津大学高等代数 篇一

浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题

考试科目：高等代数科目代号：341

注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！

一、(15分)矩阵A,B具有相同的行数，把B的任意一列加到A得到矩阵秩不变，证明把B的所有列同时加到A上秩也不变.二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按x的幂次排列的多项式

a11xD

a21x...an1x

a12xa22x...an2x

.....a1nxa2nx...annx

(2)把行列式D的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变.三、(15分)证明下面的(i)和(ii)等价：(i)矩阵A是正交矩阵；

(ii)矩阵A的行列式为1；当A1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身，当A－1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以－1.a

四、(15分)(1)设矩阵A

c

k

b2

,则矩阵A满足方程x(ad)xadbc0;d

(2)二阶矩阵满足A0,k2,则A0.3



五、(15分)设矩阵A2

2

232

20

2,P1

30

0

1*

1,BPAP2E,求B的特征值和特征向量.1

六、(15分)设W,W1,W2是向量空间V的子空间，W1W2,W1WW2W,W1WW2W,证明W1W2.七、(15分)三阶矩阵A,B,C,D具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似.八、(15分)设是向量空间V的正交变换，W是的不变子空间，证明W也是的不变子空间.九、(15分)设A为实矩阵，证明存在正交矩阵G，使GA的特征值均为实数.十、(15分)设P为数域，fifi(x)P[x],gigi(x)P[x],i1,2,证明(f1,g1)(f2,g2)(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2)

1



AG为上三角矩阵的充要条件是

注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！dragonflier

2006-1-16

2.天津大学高等代数 篇二

1. 传统高等代数教学中存在的问题

高等代数是数学抽象性较强的一门基础课,它是几何的抽象化,有概念多、抽象程度高、逻辑推理要求严密等特点.高等代数精品课程建设中需突出解决的问题,具体有以下六个方面:

(1)教学内容需要更新.高等代数是初等数学、高等数学和现代数学相衔接的一门课程,在高等代数课程教学之中强调与中学数学教学密切相关的教学内容,渗透数学思想方法和教育学基本思想是至关的重要.同时结合《高等代数》课程自身特点,进一步添加与其后继课程《近世代数》、《计算方法》和其他数学课程或其他学科有相互联系、相互渗透的教学内容,也是迫切需要的.

(2)教学方法需要变革.在《高等代数》课程教学中应注重使用引入图表法、几何直观法和实例法等启发式教学方法,在注重训练学生严密逻辑推理能力和抽象思维能力的同时,也注重解释每一个抽象概念如何从实际问题中得到.教学手段也应该适当地配合教学内容和教学方法,以提高教学效果为目的.

(3)实践教学有待全面启动.《高等代数》课程既体现对经典数学的继承,具有高度抽象性,又蕴含近代物理、计算机及信息技术等现代科学背景,具有重要的应用性.《高等代数》课程这一特质决定了应该突破传统的以理论教学为主的教学模式,在教学过程中适当添加相关数学实验内容,启动实践教学.

(4)教学手段需要丰富.充分利用现代化教学手段,建设《高等代数》网络课程和辅助双语教学课程,提高网络课程的利用率,使学生能够通过多渠道、多角度学习本课程.

(5)学习评价方式亟待改革.传统的期末考试往往是一张考卷定成绩,这是不科学的,没有考虑到学生的日常课堂表现,出勤状况,作业完成情况及期中考试成绩等诸因素.因此,成绩评定方法的改进是必要的.

(6)教学团队整体力量亟待发挥.目前教师教学任务普遍繁重,还缺乏进一步深造和短期培训的机会.随着教学环境的改善和教学研究经费的提高,应有计划、分阶段地加强教师培训,提高教师的教研科研能力.

2. 改革与创新

(1)更新教学理念,完善教学内容.依据大学本科数学专业的人才培养目标,结合高等代数的课程特点,我们认为,建设高等代数课程需树立新的教学理念,即增长知识、开阔视野、领会思想、感悟魅力.

(2)改革教学方法,激发创新意识.在以理论课教学为主的课堂教学中,除分析推理教学法以外,引入图表教学法、几何直观教学法和实例教学法等,使得高度抽象的内容让学生学起来感到更加生动形象,易于理解.将传统课堂教学方式与引导研究性学习结合起来,调动学生的主动性和积极性,加深学生对课程基本理论的理解和掌握,促进理论的应用,以便提升教学效果.

(3)启动实践教学,鼓励形象思维.突破传统以理论教学为主的教学模式,针对部分内容,设计实验课题,由学生自主选择并完成.有利于发挥高等代数传统的教育教学对满足学生获取知识功能和对学生创新能力培养的功能,有利于提升学生的数学修养和利用高等代数基本理论解决实际问题的能力.对高等代数相关数学实验内容的补充和研究性教学的开展,可促使更多的学生参与大学生数学建模竞赛、数学竞赛和教育教学有奖征文活动等.

(4)丰富教学手段.充分利用现代化教学手段,建设高等代数网络课程和辅助双语教学课程,使学生能够通过多渠道、多角度学习本课程.有利于进一步激发学生学习高等代数的兴趣,提高教学效果.作为数学专业考研科目,提高高等代数网络课程的利用率,积极采用现代化教学手段,开办“高等代数网上教室”及“网上高等代数讨论区”,将有效提高学习效果.

(5)改进学生成绩评定方法.通过调整学生平时成绩、其中成绩和期末成绩在总评成绩中的比例,鼓励学生注重平时的知识积累.鼓励学生参加学科竞赛和撰写课程论文,将其折合成分数,在成绩评定时,加大平时成绩分值,促使学生主动培养科研习惯和创新意识,使学生拓宽学习视野,增强数学应用能力.

(6)加强教师队伍建设.随着教学环境的改善和教学研究经费的提高,有计划、分阶段地加强教师培训,提高教师的教研和科研能力.同时注重课程负责人在实际教学工作的引领和示范作用,促进教学团队结构的完善和水平的提高.

3.高等代数教学中的几点感悟 篇三

关键词：内容；概念；方法

高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。

一、尽量与中学数学内容相联系

高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元n次方程根的定义、复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元n次方程根的特点、有理数一元n次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。高等代数中有n元一次线性方程组的行列式解法（克拉默法则）和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。

通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。例如，通过线性方程组的矩阵解法、有解判别定理以及解的结构所反映的辨证思想，指导学生对中学数学的加减消元法本质的认识。高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，学生也不明白这个概念有什么用。这种情况下，老师在讲课时，可以先不必马上讲出这个概念，可从学生所熟悉的中学知识出发，由具体到抽象，慢慢地转到主题上。

二、深刻理解概念

高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在教学中，要让学生深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的n个元素乘积的代数和得到的。只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。

俗话说：“书读百遍，其义自见”，要告诫学生多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。

三、课堂上注重教学方法

教师的教学方法是影响学生学习方式的重要因素，在培养学生的创新能力方面起到重要作用。为了上好每一堂课，老师一定要注意教学方法。我曾参加了全国高校教师网络培训课程，听了张贤科老师主讲的高等代数，受益很多。张老师在讲一些高等代数内容时，根本没有按课本思路去讲，有些性质的证明运用其他方法来证。大家都知道高等代数中很多章节内容是彼此相关联的。老师在讲课中，没必要完全照课本来讲，例如，讲一个定理或一条性质的证明，可以运用以前所学的知识证出来，老师可鼓励学生运用不同的方法来证明，激发学生的思维能力，这样学生也会觉得不是太枯燥。

上课时切忌照本宣科，要说课，这节课大家需要掌握什么，教学大纲的要求，考试要考的知识，重点、难点是什么，使学生清楚这节课堂的目的，做到有的放矢。代数学的一些重要内容，例如集合的线性运算、八条运算规则、等价关系等经常出现的内容，我们采用类比的方法进行讲授，使学生能触类旁通，举一反三。对于一些难于理解的定理的证明，则着重介绍证明思想及每个证明阶段的技巧和预备知识，并要求学生课后复习。对于一些较抽象的概念，在讲授之前，应尽可能地介绍它们的应用背景或简单例子，启发学生思维从具体到抽象升华。

针对高等代数这门课程的特点，应注意传统教学手段与现代化教学手段相结合。概念性知识较多的章节可以应用多媒体技术，而对那些理论证明较多，难以理解的内容，则采用传统的教学手段，一步步引导学生推理验证，更易于让学生接受、掌握。

四、培养学生数学思维的审美性

数学同其他学科一样，蕴含着美，存在着美的价值。代数学这朵奇葩，更以其高度的抽象性，理论的严谨性，应用的广泛性，在数学王国里独领风骚，展现出其多姿多彩的迷人风貌。

高等代数的美是内在的、深沉的、含蓄的，不易被大家所发现、接受。这就要求我们在教学中注意引导学生挖掘数学美，审视数学美，追求数学美，创造数学美。只有如此，我们才能将抽象的概念、空洞的定理、刻板的推导、繁琐的计算、枯燥的理论变换成一种美的享受，美的追求。这对诱发学生的求知欲，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率起着极大的推动作用。

高等代数中，蕴含着许多数学特有的美，数学的语言美在高等代数中表现得淋漓尽致。数学语言是一种科学的语言，它除具有一般语言文字和艺术共有的特点外，更有“符号化”的特点。例如，用AX=B，其中A=（aij）mn，X=x1x2…xn，B=b1b2…bm，表示一个有m个方程n个未知量的线性方程组，多么简洁明快。另外，高等代数的美也体现在证明过程的逻辑严密上，许多定理的证明层层递进，严丝合缝，看懂了一个证明，就能给人一种惊叹佩服、赏心悦目的感觉。

总之，高等代数中的数学美无处不在，只要我们教师在教学过程中用心去揭示，从美的角度去挖掘，并积极引导学生去欣赏、体味定能感觉美不胜收，回味无穷，教学质量必将提高。

注：西安科技大学博士启动基金资助项目（2012QDJ040）。

（作者单位 陕西省西安科技大学理学院）

4.高等代数在抽象代数中的应用 篇四

高等代数为抽象代数教学提供了很多模型和例子，本文从变换、等价关系、群、环、域、零因子和环上的运算规律等方面具体阐述如何在抽象代数教学中应用高等代数知识.

摘 要：高等代数是数学专业一门重要的基础课程，为学生学习抽象代数提供了必要的基础[1-4].抽象代数是数学专业的必修课程，是对高等代数中出现的数域、多项式等概念进一步抽象概括，是高等代数的继续和高度抽象化[5-8].因此，高等代数为抽象代数提供了很多具体的模型.

关键词：抽象代数;高等代数;数学专业

高等代数和抽象代数联系紧密，但鲜有学生能领悟到它们之间的关系.学生普遍认为，高等代数比较容易接受和理解，抽象代数难以理解[9-13].作为一名教师，要利用学生熟知的高等代数知识引入定义或设为例子，使学生接受“抽象代数知识来源于熟悉的模型”这一观念.本文将从以下知识点入手，探讨如何在抽象代数教学中应用高等代数知识.

1 “变换”概念的巩固

一个集合A到A的映射称为A上的一个变换.教材[8]首先给出变换的定义，随之给出3个简单例子，学生基本上能掌握这个概念.但是教材[8]中没有适合学生做的课后习题，为了巩固学生所学的知识，可布置这样一道课后习题：高等代数书[4]中也有“变换”和“线性变换”这两个概念，请同学们分析[4]中的变换和这里的变换有什么关系.到下次上课前，先帮助学生温习变换的概念，再检查其课后作业，最后总结：高等代数中所提到的变换是某个线性空间到自身的映射，线性变换是线性空间上的变换并保线性性，而抽象代数中的变换是指任何集合到自身的映射.

2 “等价关系”概念的引入

等价关系是集合A上的一个关系，并满足自反性，对称性和传递性.在教材[8]中，作者先给出关系的概念和一个关系(不是等价关系)的例子，再直接给出等价关系的概念.如果引入不当，学生比较难以接受等价关系这一概念.事实上，等价关系的例子在高等代数书中很多，可信手拈来.因此，可以提前布置学生去复习高等代数中的矩阵“合同”和“相似”等概念，看这些概念具有什么共性.在讲述“等价关系”之前，先给出实数集R上的n×n阶矩阵集合Mn(R)，并分别给出该集合上的“合同”和“相似”等关系，引导学生发现它们不仅是Mn(R)上的关系，并且都具有自反性、对称性和传递性，然后自然地引出“等价关系”的.概念.学生恍然大悟：原来等价关系并不陌生，在高等代数中已经接触过.如果要进一步巩固该内容，还可以引导学生分析Mn(R)上的矩阵秩相同关系，整数集Z上的模4同余关系等，让学生自己发现来自于高等代数的某些例子也是等价关系.

3 群、环和域概念的处理

在教材[8]中，作者给出群的第一定义和第二定义，并证明了这两个定义的等价性.课堂上先给出第一定义，并引导学生理解Ζ关于普通加法，非零整数集合关于普通乘法按照第一定义都是群，接着由第一定义推导出第二定义，由第二定义又推导出第三定义：一个非空集合G，对于其上的一个运算满足封闭性，满足结合律，存在一个单位元，每个元素都有逆元，则G关于该运算是群，由第三定义推导出第一定义，这样即证明了三个定义的等价性，并将重点放在第三定义.有了第三定义后，提问：Mn(R)关于矩阵加法是群吗?Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法是群吗?同时，让学生翻阅教材[4]中关于矩阵加法和矩阵乘法的定义及性质，学生会发现：Mn(R)关于矩阵加法满足封闭性与结合律，零矩阵是单位元，每个矩阵的逆元是其负矩阵，因此Mn(R)关于矩阵加法是群;Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法也构成群.进一步，引导学生发现：矩阵加法满足交换律，因此Mn(R)关于矩阵加法是交换群;而矩阵乘法不满足交换律，因此Mn(R)中的可逆矩阵集合关于矩阵乘法不是交换群.接着，再告诉学生：高等代数中还有很多群的例子，请同学们把这些例子全部找出来.学生通过总结，找出了一元实系数多项式集合R[x]关于多项式加法是群、实数集R上的n维行(列)向量的全体关于向量加法构成群等.

可类似地处理环和域概念的讲解与巩固，这样不仅促使学生去复习高等代数知识，让学生深刻领悟到：群、环和域等概念是对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵和线性空间等概念的进一步抽象概括，也让学生逐渐意识到抽象代数并不是那么抽象，抽象代数的模型是现实中有例可循的，更增强了学生的学习兴趣和学习积极性.

4 零因子

零因子对学生来说是个全新的概念，教材[8]中先给出了整数模n的剩余类环Zn的例子：当n是合数时，存在两个不是零元的元素相乘却是零元，接着给出了零因子的概念：在一个环里，a≠0， b≠0，但ab=0，则称a是这个环的一个左零因子，b是一个右零因子，若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称其为零因子，最后还举了一个比较抽象的例子和一个比较泛的矩阵环的例子.虽然Zn在抽象代数中经常出现，但是毕竟该环是通过模n取余运算构成的环，该运算跟学生以前学过的运算有很大的区别，对学生来说仍具有一定的抽象性，而书上列举的矩阵环的例子只说该环有零因子，并没有列举具体的零因子.如果完全按教材的编排按部就班地讲解，学生很容易忘记.这时，不妨引导学生回想：Mn(R)中两个非零的矩阵相乘会是零矩阵吗?大部分学生知道这是可能发生的，但是还有少数学生可能忘记相应的高等代数知识了，这时给出如下例子.

5.高等代数课程试卷及参考答案 篇五

一、计算（20分）

3214

5746

1213

xa

axaa



aaxa

523

aa

1）2）

二、证明：（20分）

1）若向量组1n线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。2）若向量组1n中部分向量线性相关，则向量组1n必线性相关

三、（15分）已知A为n阶方阵A为A的伴随阵，则|A|=0，A的秩为1或0。

四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）≥n

五、（15分）求基础解系

x1x2x3x40



x1x2x33x40 xx2x3x0

2341

~

~

6.天津大学高等代数 篇六

§1 二次型的矩阵表示

一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示

二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型

四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.五 教学过程：

定义：设P是一数域，一个系数在数域P中的x1,x2,,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2,,xn)a11x122a12x1x22a1nx1xn(3)a22x22a2nx2xn…annxn称为数域P上的一个n元二次型，或者，简称为二次型.22例如：x1x1x23x1x32x2 就是有理数域上的一个4x2x33x323元二次型.定义1 设x1,x2,,xn，y1,y2,,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

x1c11y1c12y2c1nynxcycycy22112222nn (4)xncn1y1cn2y2cnnyn称为x1,x2,,xn到y1,y2,,yn的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 cij0，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：

·４８·令 aijaji，ij 由于 xixjxjxi,那么二次型(3)就可以写为

f(x1,x2,,xn)a11x12a12x1x2a1nx1xn a21x2x1a22x2a2nx2xn…+an1xnx1an2xnx2annxnnnaijxixj(5)

i1j1把(5)的系数排成一个nn矩阵

a11aA21an1a12a22an2a1na2n

ann它称为二次型(5)的矩阵.因为aijaji，i,j1,2,,n，所以

AA.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.x1x2令X,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，xna11a21xnan1a12a22an2a1nx1a2nx2

annxnXAXx1x2x1x2a11x1a12x2a1nxnaxa22x2a2nxnxn211

axaxaxn22nnnn11aijxixj.i1j1nn故 f(x1,x2,,xn)XAX.·４９· 显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型

f(x1,x2,,xn)XAXXBX

且 AA,BB，则，AB 线性替换的矩阵表示

c11c21令Ccn1c1ny1c22c2ny2,Y,那么，线性替换(4)可以写成，ycn2cnnnc12x1c11x2c21xcnn1c1ny1c22c2ny2

cn2cnnync12或者XCY.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 f(x1,x2,,xn)XAX，AA，(7)是一个二次型，作非退化的线性替换

XCY(8)得到一个y1,y2,,yn的二次型YBY.现在来看矩阵B与矩阵A的关系 把(8)代入(7)有

f(x1,x2,,xn)XAX(CY)A(CY)YCACYY(CAC)YYBY.容易看出，矩阵CAC也是对称的，事实上，(CAC)CACCAC.由此，即得

BCAC.定义2 数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使

BCAC.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有

·５０·(1)反身性 AEAE.(2)对称性 由 BCAC，即得A(C1)B(C1).(3)传递性 由A1C1AC1，A2C2A1C2，即得A2(C1C2)A(C1C2).因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形

一 授课内容：§2 标准形

二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五 教学过程：

I 导入

可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型 d1x12d2x2(1)dnxnII 讲授新课

定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式.不难看出，二次型(1)的.d100d2xn0000dn22=x1d1x12d2x2dnxnx2x1x2.xn反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定义 二次型f(x1,x2,,xn)经过非退化的线性替换所变成的平方和称为f(x1,x2,,xn)的一个标准形.·５１· 例 化二次型

f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3

为标准形.解：作非退化的线性替换

x1y1y2x2y1y2 xy33则f(x1,x2,x3)2(y1y2)(y1y2)6(y1y2)y32(y1y2)y3

2222y122y24y1y38y2y32(y1y3)22y32y28y2y3

z1y1y3y1z1z3再令 z2y2或y2z2

yzzy3333222则f(x1,x2,x3)2z122z2.8z2z32z32z122(z22z3)26z3w1z1z1w1最后令 w2z22z3或z2w22w3

wzzw333322则 f(x1,x2,x3)2w122w2 6w3是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，3w1x1110101100w111x2110010012w2011w2.x001001001w00133w3用矩阵的方法来解 例 化二次型

f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3

为标准形.101解：f(x1,x2,x3)的矩阵为A103.130

·５２·110C110取1,则A1C1AC1

001111020211001110103110024.001130001240101再取C2010，则A2C2A1C2

001021012001002010024010024.101240001042100再取C3012，则A3C3A2C3

001010010020010024012 021042001A3是对角矩阵，因此令

311010110011CC1C2C3110010012111，001001001001就有

200CAC020.006作非退化的线性替换

XCY

即得

22.f(x1,x2,x3)2y122y26y3

·５３·

§3 唯一性

一 授课内容：§3 唯一性

二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别.四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：

在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3经过非退化的线性替换

3w1x111x0112w2 x0013w3得到标准形

22.2w122w26w3而经过非退化的线性替换

x1x2x3112112001y11y2 31y33就得到另一个标准形

1222y2y3.23这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作

2y12

·５４·的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.对于复数域的情形

设f(x1,x2,,xn)是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，f(x1,x2,,xn)变为标准形，不妨设标准形为

2d1y12d2y2dryr2，di0，i1,2,,r(1)易知，r就是f(x1,x2,,xn)的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换

1yz11d1yr1zr(2)dryr1zr1ynzn(1)就变为 z12z2zr2(3)(3)称为复二次型f(x1,x2,,xn)的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为

11

00的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.·５５· 对于实数域的情形

设f(x1,x2,,xn)是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使f(x1,x2,,xn)变为标准形，d1y12dpy2dryr2(4)pdp1yp1di0 i1,2,,r，r就是f(x1,x2,,xn)的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换

1yz11d1yr1zr (5)dryr1zr1ynzn(4)就变为 z12z2pzp1zr(6)(6)称为实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形.显然，规范形完全被r,p这两个数所决定.定理4(惯性定理)任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形中，正平方项的个数p称为f(x1,x2,,xn)的正惯性指数，负平方项的个数rp称为f(x1,x2,,xn)的负惯性指数，它们的差p(rp)2pr称为f(x1,x2,,xn)的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.·５６·

§4 正定二次型

一 授课内容：§4 正定二次型

二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型.四 教学难点：判别方法 五 教学过程：

定义4 实二次型f(x1,x2,,xn)称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn都有f(c1,c2,,cn)0.显然，二次型 f(x1,x2,,xn)x12xn2是正定的，因为只有在c1c2cn0时，c12cn才为零.一般的，实二次型 f(x1,x2,,xn)d1x12d2x2dnxn是正定的，当且仅当di0 i1,2,,n.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n元实二次型f(x1,x2,,xn)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.定理5说明，正定二次型f(x1,x2,,xn)的规范形为 y12yn(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XAX正定.因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的，·５７· 当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零.定义6 子式

a11Pia21ai1a12a1ia22a2i(i1,2,,n)

ai2aii称为矩阵A(aij)nn的顺序主子式.定理6 实二次型

f(x1,x2,,xn)aijxixjXAX

i1j1nn是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.例 判断二次型

22f(x1,x2,x3)5x12x2x34x1x28x1x34x2x3

是否正定.解：f(x1,x2,x3)的矩阵为

245212 425它的顺序主子式

52452120 50，0，221425因之，f(x1,x2,x3)正定.与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设f(x1,x2,,xn)是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn，如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为负定的；如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为半正定的；

·５８·如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么f(x1,x2,,xn)就称为不定的.对于半正定，我们有

定理7 对于实二次型f(x1,x2,,xn)XAX，其中A是实对称的，下面条件等价：

(1)f(x1,x2,,xn)是半正定的.(2)它的正惯性指数与秩相等.(3)有可逆实矩阵C，使

d1d2CAC，其中，di0 i1,2,,n.dn(4)有实矩阵C使ACC.(5)A的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，f(x1,x2)xx12200x1x201x 就是一个反例.2

7.天津大学高等代数 篇七

一、学习障碍的具体表现及原因

学习障碍具体表现为：在课堂听讲时基本概念理解不清，定理内容不明，性质的推导和证明不懂;阅读教材时认为前后衔接不上，不明意思，形成不了整体认识;在做习题时，对证明题找不到思路或缺乏明确思路，导致无法动笔或不能完整证明，对求解题，不会运用所学知识，或因基本技能不熟练而不能完整解答。出现这些障碍的原因是多方面的，除了学生数学基础的牢固程度与主观学习积极性外，很重要的一点是客观上《高等代数》比《初等代数》中研究对象更多，抽象化、形式化程度更高，运算与推理也更繁杂，而此时学生刚走出中学大门，他们的学习习惯和思维方式还是中学阶段固有的模式，比如听课时许多同学把重点放在“解题方法和步骤”而不关注“知识的发生过程”，做题时对类型、套模式，不能迅速适应大学课程的学习。

二、排除对策

1. 注意《高等代数》与初等数学间的联系与区别。

在学习内容上，教师要在多项式、线性方程组、矩阵及二次型中充分发挥初等数学的源头作用，让学生找到高度抽象的《高等代数》概念的初始源头，在联系对比中辨别其异同，从而加深印象。通过这种比较，学生能体会和理解到《高等代数》研究问题着眼于一般化、普遍性问题的整体解决，而初等数学通常只注重具体问题的个别解决。从学习方法上，教师要指导学生从中学的被动接受过渡到大学的主动获取，主动发现问题、主动查阅资料、主动探求解决问题的方法;从习惯具体的一招一式的方法步骤到掌握本质，领悟其思想内涵。

2. 学习《高等代数》，首先要学好概念。

《高等代数》中的概念，突出的特点是高度的概括性与高度抽象性。如“向量空间”定义中的加法与数乘不只是通常的加法与数乘，所给的向量空间也不是简单的几何模型所能体现出来的。这就要求学生在学习概念时，首先要深刻体会，反复琢磨，挖掘出每个概念的关键含义。其次要弄清概念与概念之间的联系。《高等代数》中，有时概念之中有概念，比如向量空间中不变子空间的概念，就包含向量空间、线性变换和子空间三个概念。如果其中一个概念不清楚，势必影响对不变子空间这个概念的理解。再次还必须知道一些实例。《高等代数》中概念的给出，常常引入一些实例作为抽象概念的引导，这可使学生了解这些概念的实际背景。而通过实例学生学生还可了解这个概念出现的具体简单场合和一些重要的特殊情况，进而明确其应用范围和定义中关键所在。最后要弄清概念的结构，一般分为基本条件、特点和结论三部分，这有助于学生加深对概念的理解与记忆。

3. 学习《高等代数》，要掌握好定理。

定理是概念之间的规律性联系，是《高等代数》的核心部分，在这门课程中所获得的规律性认识，主要来源于定理。学生要学好定理，一方面要深入理解定理中所包含的内容，记住结论，搞清定理成立的前提条件，会运用定理进行论证，另一方面要认真弄懂定理的证明过程。有些定理的证明，对培养学生的分析问题能力与逻辑推理能力方面的作用比定理本身的意义还要大。一般来说，初学者要读懂一个定理的证明，需要反复阅读几遍，并认真思考，从中理出证明的思路与方法。这个严格的数学训练过程对提高学生的思维能力和解题能力是大有裨益的。

4. 学习《高等代数》，要做一定数量的习题。

学习《高等代数》只看书不做题肯定不行。《高等代数》内容前后联系紧密，互相渗透，学生在做题时要注重知识点的衔接与转换，知识要成网，使所学知识融会贯通，这样思路才会开阔。《高等代数》教材中的习题包括计算题和证明题两部分，计算题能巩固和加深学生对概念的理解，其中有些计算量比较大，如求最大公因式，求线性方程组的通解，求矩阵特征值与特征向量等。《高等代数》中习题的主体是证明题，它有助于培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力，因此学生要重视它，多花时间与精力去提高解答证明题的能力，当然，这需要一个积累的过程。除了教材上的一般习题，笔者建议学生选择性地做一本配套的有选择及填空题型的参考资料上的课外习题。

5. 学习《高等代数》，要注重归纳总结，使知识系统化。

学习《高等代数》，要善于归纳总结。一方面，对每一章，在教师指导下，学生及时完成知识的系统化整理是必要的。这样学生自己可检查对知识的掌握情况，及时查漏补缺。另一方面，所谓“站得高可看得远”，对全书来说，学生还必须注意弄清章与章、节与节之间的内在联系，理清来龙去脉，这样可从宏观整体上理解和把握教材。

参考文献

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.

[2]胡运红.关于高等代数教学的几点思考[J].运城学院学报, 2004, (2) .

8.天津大学高等代数 篇八

摘要： 本文主要从我校现状出发，讨论了高等代数与解析几何一体化实施的必要性，并从教学内容、教学手段、教学对象三个方面介绍了在实施高等代数与解析几何一体化过程中的注意事项。

关键词：高等代数与解析几何一体化 课程改革 多媒体辅助教学

基金项目：唐山师范学院校级成人学历教育与教师继续教育教育教学改革项目（JJ2012030）

唐山师范学院教育教学改革项目（编号：2013001030）

Abstract：Starting from the reality of our school， we dicusse the necessity of the combination of Higher Algebra and Analytic Geometry and introduce some notes of Higher Algebra and Analytic geometry in the integration process from three aspects such as teaching content， teaching methods and teaching odject.

Key words： the combination of Higher Algebra and Analytic Geometry ， Curriculum Revolution， Multimedia aided teaching

·O15-4；O182-4

作为大学数学系学生的基础课，高等代数与解析几何同时也是理工科学生的基础课程。计算机的普及以及应用数学科学的发展，使得越来越多相关课程相继开设，减少基础课与专业课学时势在必行。但是数学分析与高等代数是数学专业的基础，运用广泛，不容削减。削减解析几何的课时，必将给数学专业的学生带来重大损失。基于解析几何与高等代数的特点及其关系，将这两门课合并不失为一个好办法。这样不仅不会太多地削减解析几何，更可以省出许多时间。从更高意义上说，这两门课都能得到加强，从而形成统一的整体。

目前我校数学与信息科学系高等代数与解析几何的教学现状是：两门学科分别独立，各自为政???——新生入学第一学期开设解析几何，第二学期开设高等代数。由于两门课程在教学实施过程中的衔接性较差，讲授解析几何的同时，需要花很长的时间来讲授高等代數的相关内容。而高等代数本来就相对抽象，晦涩难懂，再加上我校目前所用教材与几何完全脱节，学生理解起来难度很大。这样不仅影响了解析几何的正常教学，也加大了学生的心理压力。因此，高等代数与解析几何一体化教学迫在眉睫。

解析几何的主要内容是向量代数及空间曲线、曲面等图形性质。高等代数则以多项式理论及线性代数为主要内容。线性代数是主要讨论有限维线性空间及其线性映射（变换）的学科。这两门课程的内容密切相关：一方面，解析几何中向量、几何变换等概念是高等代数中线性空间与线性变换等抽象概念的直观来源；另一方面，高等代数中矩阵、线性方程组及二次型理论又为解析几何提供了有力的计算工具和简洁的证明与表述方式。由此可见，学习与运用高等代数和解析几何的最佳途径便是将此二者融会贯通。

根据高等代数与解析几何的密切联系，我们认为在实施高等代数与解析几何教学一体化的过程中，要注意以下几点：

第一，找准二者在知识上的切合点。高等代数与解析几何的合并绝非机械地拼凑，而是从逻辑系统和理论高度妥善处理好二者之间的关系。例如：在行列式的教学中，学生最初接触时可能感到很深奥、难以理解，但是如果我们换个角度，先从几何问题出发讨论二阶和三阶行列式的几何意义，然后把它们推广到高维也就是高阶行列式，这样就显得具体了很多，学生接受起来也就不会有太大的困难，而且还可以由此渗透一些高维欧氏几何的思想，进而开阔学生的视野；而在讲授线性空间的内容时，要先从解线性方程组出发引入线性空间的概念，而为了加强对线性空间的理解，我们可以把维数降低，讨论低维（几何）情况，然后再推广到高维。换言之，解析几何是低维的线性代数，而线性代数是解析几何的高维推广。在教学过程中一定要处理好它们之间的关系，教会学生用代数的眼光去审视几何问题，也要会用几何的眼光去审视代数问题。

第二，充分重视多媒体辅助教学在一体化教学中的重要作用。对于数学专业的学生，我们不仅要着力培养他们的抽象思维能力，还要重视他们的空间想象能力的提高。多媒体辅助教学的利用，使得一些抽象思维图形化，从而极大地激发学生的几何直觉思维。例如：在讲授单叶双曲面和双叶双曲面的直纹性时，如果利用多媒体展示直线形成二次曲面的过程，将会大大提高学生对两种曲面的直纹性的感官认识水平。

第三，在授课过程中对不同专业要各有侧重。比如对于数学与应用数学专业的学生，我们的目标是将其培养成基础型的研究人才或中学教师，因此在教学过程中要十分注意语言的严密性及理论推导的严谨性。另外，这些知识在中学数学中的应用同样不容忽视。例如在讲授向量代数的内容时，可以适量添加利用向量解决中学几何问题的例题，以加深学生对向量运算性质及其规律的理解和掌握；而对于信息与计算科学及统计学专业的学生来说，开设高等代数与解析几何课程主要是为了应用数学理论去解决实际问题，如此情况下我们必须注重矩阵的计算方法与技巧讲解，对于线性变换的矩阵，应以掌握三维几何变换的矩阵为重点，由此出发进行推广。此外，数学实验在教学中的重要作用也不能忽视。因此，我们还应对内容及手段做必要的调整以满足不同专业的需要。

高等代数和解析几何作为两门独立的基础课程已有很长历史，要把它们重新溶合为一个完整统一的课程体系并非易事。在实施过程中可能会遇到一些尚未预料到的问题，这需要我们教师在实施过程中进一步持续深入探讨并实践。

参考文献：

[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M] . 北京： 高等教育出版社

[2] 孟道骥. 高等代数与解析几何（第二版）. 北京：科学出版社

[3] 戴清平 、李超、谢端强，高等代数与解析几何教学一体化教学思考

《数学理论与应用》 2004年第24卷第四期： 92-94

[4] 郁金祥、刘锦萍，高等代数与解析几何的教学实践与认识 《高等理科教育》

9.天津大学高等代数 篇九

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中

只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无

分。

1.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：B

2.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：D

3.

A.A

B.B

C.C

D.D



答案：C

4.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：D

5.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：C

6.A.A

B.B

C.C



D.D

答案：B

7.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：A

8.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：C

9.

A.A

B.B

C.C

D.D

答案：D



10.设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）

A.A的列向量组线性无关

B.A的列向量组线性相关

C.A的行向量组线性无关

D.A的行向量组线性相关

答案：A

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答

案。错填、不填均无分。

1.___

答案：

2.___

答案：

3.___

答案：



4.___

答案：

5.___

答案：

6.___

答案：



7.___

答案：

8.___

答案：

9.___

答案：



10.___

答案：



三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1.答案：

2.答案：

3.

答案：

4.

答案：

5.答案：



6.答案：



四、证明题(本题6分)

1.答案：

10.暨南大学线性代数测试题 篇十

一、选择与填空（每题2分，共40分）

a111、若行列式Da21a12a22a32a134a112a113a122a213a222a313a32a13a23。a33a31a231，则H4a21a334a31（A）-12

（B）12

（C）-24

（D）24

2、n级排列p1p2pn的逆序数与顺序数分别为p与q，则pq。

2x1x2x30

3、齐次线性方程组x1kx2x30有非零解，则。

kxxx0123（A）k4（B）k1（C）k1且k4（D）k1或k4

10421

14、四阶行列式D06024102，Aij是相应的代数余子式，则2A41A42A432A44 02kk5、A、B、C是n阶矩阵，则下列结论错误的是：（A）IA2(IA)(IA)（B）(AB)kAB

22（C）如果AB，则AB或AB（D）ABTTAB

OA

6、A、B为n阶可逆矩阵，则BOO（A）1BOA1（B）1OAOB1（A）1OAA1B1（D）OOO 1B

17、A为n阶矩阵，且r(A)n1，则r(A*)=

（A）1 或n1（B）0 或n1（C）1或0

（D）以上都不对。

8、A、B为3阶可逆矩阵，且A2，B3。则2(AB)。

9、已知向量(1,1,0)被向量组1(1,0,1)，2(0,1,0)，3(0,0,1)线性表出，则相应的表出系数是

（A）1，1，1（B）1，1，1（C）1，1，1（D）1，1，1

10、A是mn矩阵，r(A)r(0rn)，则下列结论不正确的是：（A）Ax0的任何一个基础解系都含nr个线性无关解向量；（B）X是ns矩阵，且AX0，则r(X)nr；

T1（C）是m维列向量，r(A,)r，则可被A的列向量组线性表示；（D）非齐次线性方程组Axb比有无穷多组解；

11、已知mn齐次方程组Ax0，且r(A)r，1,2,,nr是方程组的nr个

线性无关解向量，则Ax0的基础解系为（A）1,2,,nr,12nr

（B）1，21，32，…，nrnr1，nr（C）12，23，…，nr1nr，nr1（D）1,2,,nr,12nr，12、A为n阶矩阵，下列结论中不正确的是：

（A）A可逆的充分必要条件是r(A)n；

（B）A可逆的充分必要条件是A的列秩为n；

（C）A可逆的充分必要条件是当x0时，Ax0；

（D）A可逆的充分必要条件是A的每一行都是非零向量。

13、设=2是矩阵A的特征值，则矩阵

12A的特征值是：。3（A）4343（B）（C）（D） 3434100

14、与矩阵A010相似的矩阵是 002110110101101（A）021（B）010（C）010（D）021 001002002002001

15、矩阵Ax10可对角化，则x。

100123

16、矩阵A1x2，B与A相似，且1、2、3是其特征值，则x。

001

17、A为n阶实对称矩阵，则

（A）A的n个特征向量两两正交；（B）A的n个特征向量是单位正交向量组；（C）是A的k重特征值，则r(IA)nk；（D）是A的k重特征值，则r(IA)k；

12x1

18、二次型f(x1,x2)(x1,x2)x的系数矩阵是。

432

19、设A、B是n阶的合同矩阵，则。

（A）A与B相似（B）AB

（C）A与B有相同的特征值（D）r(A)r(B)20、n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是

（A）二次型xTAx的负惯性指数为0；（B）有矩阵C使得ACTC（C）A没有负特征值（D）A与单位矩阵合同

二、计算解答题（每题10分，共50分）

1x111111y121、求实数x、y的值，使得0。

11x111111y01011

22、A111，B20，且AXBB，求X。10153x1x2x33

23、设线性方程组x1x2x32。讨论当取何值时，方程组有解和无解？

xxx2123并当有无穷多组解时，用导出组的基础解系与特解写出通解公式。

24、求向量1(1,2,1,5)，2(2,1,1,1)，3(4,3,1,11)的一组极大无关组，并用它表示其余的向量。

25、求正交变换xQy化二次型f(x1,x2,x3)3x1+3x34x1x2+8x1x3+4x2x3为标准型。并指出二次型的正、负惯性指数，和规范型。

三、证明题（每题5分）

26、证明：正定矩阵的伴随矩阵也是正定矩阵。

27、A是mn矩阵，证明：方程组Ax0与AAx0是同解方程组。

11.天津大学高等代数 篇十一

摘 要：本文针对工科应用数学专业高等代数教学中存在的问题，结合教学实践，在高等代数教学中应用MES教学法，给出教学中的具体实施方法，通过实际举例体现MES教学法的效果。

关键词：应用数学专业； MES教学法； 高等代数

中图分类号：G64

一、前言

工科院校应用数学专业的高等代数教学主要是让学生通过抽象、逻辑性的训练形成应用代数知识解决实际问题的思维方式和思维习惯。由于高等代数内容具有概念多，抽象性高，思维方式独特的特点。初学者会感到吃力，很多学生不知道学代数有什么用，学习初期跟不上，就失去了学习的动力和兴趣。而目前工科应用数学专业的基础课教学一直注重理论内容的讲解，忽视数学应用。教材和教学模式多以理论讲解为主，忽视学生的主导作用，造成学生学习积极性不高，教学效果不好的现象。

模块化教学法（MES），是20世纪70年代初由国际劳工组织研究开发出来一种教学模式，是一种新的教学理念。它一出台就在许多国家，特别在发展中国家得到了广泛应用。MES教学打破了原有的课程体系，以理论应用为主线，将理论知识与专业训练融为一体，突出学生在教学中的主体地位，突出“做”在教学中的重要作用，突出知识、技能、态度三位一体的教学目标，充分体现了“教、学、做合一”的教学理念。

结合工科院校应用数学专业的现状，考虑学生的发展，我们将 MES 应用到高等代数课程基础课程的课堂教学中，重点考虑如何有效地对高等代数教学合理得调整，并付诸实践，经过近两年的教学实践证明，教学中采取恰当的方法对教学效果的有显著影响。

二、模块化教学法在高等代数课程教学中模式和具体实践

（一）以班为单位划分学习小组

小组人数4～6人，推选组长，组与组之间大体上要平衡，细致调查学生的思想表现学习，各科的入学成绩、知识结构、认知能力、认知方式、家庭背景、性格爱好，乃至交朋结友等都考虑进去。采用互补方式分组，如成绩好的学生与成绩差的学生相搭配，既有利于差生的转化，又有利于促进优等生的灵活变通，即所谓“教学相长”；不同知识结构的学生相搭配，可以取长补短，相互借鉴；不同认知方式的学生相搭配，在各自发挥其优势的情况下，相互学习，使认知风格“相互强化”。

（二）确定教学内容

一节课的教学目标、教学内容，通过完成一项或几项具体的任务融合到教学过程中，从任务中引出教学目标，使学生产生学习知识的兴趣.教师在实践教学中认真研究、分析教材，确定教学的目标、内容、重点、难点、疑点，找准教学的切入点，考虑学生的心理特征和兴趣爱好，以便恰当地安排任务。把知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度的目标融入任务中，使任务有利于学生的发展。

（三）教学实践实施

向学生讲明要做什么，最后希望得到的结果。给学生留出探索任务的时间和空间，在此期间教师也不能采取“放鸭式”方式。教师要时刻把指挥、调度教学进度的，适时地让学生知道怎么做，指导学生想办法、找出路，特别是对有困难的学生要给予必要的指导，使每个学生都能顺利完成任务。这一阶段，教师是“指导者”身份较为明显，学生在亲切友好、和谐平等的气氛中进行知识、技能的学习和构建。

（四）评价体系重建

学生完成任务之后，教师要对其结论，进行讨论、总结、评比，使教材内容得到进一步的强化。各小组学生代表要依次对完成的任务发表见解，其他小组提问或发表自己的看法，由教师或小组负责人进行总结，最后由教师评价。评价包括学生对知识的掌握程度、运用知识解决新问题的能力以及学生在活动中的表现等，注意多褒奖，少贬低，以激发学生进行下一轮学习的兴趣。评价结果采用模糊综合评价体系，作为学习成绩的一项参考数据。

三、实践举例

模块分析法应用于一堂介绍矩阵计算的教学实践，首先确定本节课的教学目的是让学生掌握矩阵的计算，在上课之前要求各小组自己给出矩阵乘法的的定义，引导学生从数学史发展的观点和数学应用于实际的要求探讨每种定义的意义和可推广性。实践表明5个小组几乎不约而同地给出了对应元素相乘来定义矩阵乘法运算的想法，教学实践中引导学生考虑线性变换的传递如何利用矩阵的运算来实现，学生经过实际操作和运算深刻理解矩阵乘法运算的定义和意义。

四、结论

模块教学法作为围绕一个能力和素质的教育专题，在教法上强调知能一体，在学法上强调知行一致，集中开展相关的理论知识、实践经验、操作技能以及活动方式、方法、方案的同步式一体化的教与学，以实现具体能力和素质的培养目标的教学模式。经过两年的实践教学，我们发现在应用数学专业的基础理论课教学中开展模块教学法有助于提高学生的学习积极性，激发学生的学习潜力，学习效果有明显提高。

参考文献：

[1] 张禾瑞，郝灿新.高等代数 （第四版）[M ].北京： 高等教育出版社， 2002

[2] 北京大学数学系.高等代数（第三版） [M ].北京： 高等教育出版社

12.天津大学高等代数 篇十二

下面, 结合高等代数这门课程的特点, 分别从发展问题解决技能, 发展表征技能和发展推理技能这三个方面研究高等代数对发展数学思维工具的功能, 从而体现高等代数教育的思维价值。

1 发展问题解决技能

在数学背景下, 问题解决技能主要体现于会使用问题解决策略和探索多种解决方法两个方面, 有问题解决策略工具包 (例如, 猜测和检查、列清单、逆向工作、利用模型、解决简单一点的问题, 等等) 的学生遇到问题时更容易入手处理问题, 并发现如何解决。此外, 留给学生用多样的方法去探索数学问题的机会, 或设计有多种解法的数学问题, 可使学生发展更好的问题解决技能。

高等代数课程概念多, 符号多, 定理多, 运算规律多, 内容相互纵横交错, 知识前后紧密联系, 其中渗透着丰富的数学思想, 诸如, 转换变换思想、归纳演绎思想、函数映射思想、集合与对应思想、公量化与结构思想、符号模型思想、数学审美思想等, 对于丰富学生的问题解决策略工具包具有良好的帮助。在具体教学中, 可通过结合有关内容使学生学会如何从客观实际中或数学本身的发展中抽象出概念, 学会如何提出数学问题, 如何对所提出的问题进行探索, 如何对初步形成的想法 (猜测) 进行论证等, 来发展学生的问题解决技能。

例如, 在讲授阶行列式的定义时, 可从分析二阶、三阶行列式展开中的项数、项的结构、项的符号入手, 与列指标构成的排列的奇偶性关系, 提出如何推广二阶和三阶的结果到任意阶的问题, 通过引导学生探索项的符号与列指标构成的排列的奇偶性关系, 提出需给出元排列、奇、偶排列的问题, 最后得到阶行列式的定义。

例如, 在讲授复系数与实系数一元多项式一节时, 可从复习提问一般数域上一元多项式的主要研究问题入手, 进而提出本节新课要研究的主要问题:在复数域C和实数域R上怎样的多项式是不可约的?n次多项式f (x) 的标准分解式是怎样的?n次多项式f (x) 有多少个根?等问题, 通过引导学生探索, 总结出本节课的主要结论。

再如, 在讲完行列式这章后可提出问题:如何对一般的线性方程组直接从它的系数和常数项判断方程组有无解、有多少解?通过引导学生观察高斯消元法的过程, 发现很自然地要引入矩阵及其运算, 向量及其相关理论。

另外, 在高等代数中不乏可用多种方法去探索与解决的数学问题, 教学中善于挖掘并充分应用好它们, 也可使学生的问题解决技能得到更好的发展。比如, 文献[2]分别借助矩阵代数、线性空间、线性变换和矩阵等四套相关理论, 用五种方法分别解答了一道几乎涉及高等代数所有主要内容的习题:令P为一数域。证明, 若, 则与在上相似 (即, 存在上的可逆矩阵C, 使得。

总之, 在高等代数教学中有意识渗透对问题解决策略的使用, 挖掘或设地有多种解法的数学问题, 可大大提高学生对课程的兴趣, 同时培养学生的问题意识以及举一反三、触类旁通的能力, 提高学生学习的主动性以及分析问题解决问题的能力, 从而发展问题解决技能。

2 发展表征技能

数学知识表征是记载和表达数学知识的方式, 即数学知识或信息在学习者头脑中是如何表示的, 表征的形式也可以称为表征的编码。通常一个好的数学探索应包括多种表征, 因为每个形式都对理解呈现的思想有所贡献。创造、解释和翻译不同表征的能力可以带给学生有力的数学思维工具。

高等代数中的矩阵表示贯穿了各个章节, 通过矩阵表示, 许多高等代数问题都可归结于矩阵问题, 有意识总结、挖掘、利用好它们, 可发展学生的表征技能。例如, 线性方程组可用它的增广矩阵表示。在线性空间中, 取定一个基后, 向量可由它的坐标组成的行矩阵或列矩阵表示;向量组可由各个向量的坐标组成的矩阵表示;两个基之间的关系可由它们的过渡矩阵表示, 线性空间的线性映射、线性变换、线性函数、双线性函数等都可用矩阵表示。在欧氏空间里, 取定一个标准正交基后, 正交变换可用正交矩阵表示, 对称变换可用对称矩阵表示等等, 所以许多人说线性代数实质上是矩阵代数。

高等代数中的有些概念可以从不同的角度予以等价的描述, 善于挖掘并充分应用好它们, 可使学生的表征技能得到更好的发展。例如:矩阵= () ×为对称矩阵, 既可用= (, =1, 2, 3…) 来定义, 也可用=来定义。前者着眼于元素, 它清楚地反映了矩阵元素在相关位置上的特点, 后者从整体上揭示了矩阵的特征, 反对称矩阵也有类似的情况。它们的表征形式不同, 使得在不同情况下使用的方便程度大不一样。

3 发展推理技能

众所周知, 推理主要有归纳推理和演绎推理。演绎推理是从一般规律出发, 运用逻辑证明或数学运算, 得出特殊事实应遵循的规律, 即从一般到特殊。归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论, 即从特殊到一般。

在高等代数中, 由于大量存在性、唯一性和结构与表述复杂的命题、法则的存在, 使探索发现过程的归纳推理及论证过程的演绎推理, 变得异常复杂;许多的推理过程, 还往往需要辨证地思考。因此, 通过高等代数的学习, 可以大大促进各种推理能力的提高和思维的发展, 从而发展推理技能。

总之, 在高等代数教学中注意发展数学思维工具, 按照代数的思维方式进行教学, 可使学生在学习高等代数知识的过程中, 受到代数思维方式的熏陶, 从而使他们今后不论从事何种工作, 都会应用这些科学的思维方式进行严密的分析, 抓住主要矛盾, 减少失误, 把工作做得更加有条有理, 开创新的工作局面, 从而终身受益。

摘要：高等代数是高师数学专业的主干专业基础课之一, 蕴涵着丰富的数学思想和方法, 历来以严密性、抽象性、逻辑性著称。结合这门课程的特点, 本文从发展问题解决技能、表征技能和推理技能这三个方面研究它对发展数学思维工具的功能。

关键词：高等代数,数学思维工具,功能,技能

参考文献

[1]曹一鸣, 王竹婷.数学“核心思想”代数思维教学研究[J].数学教育学报, 2007.16 (1) :8-11.

13.大学代数知识在互联网络中的应用 篇十三

周进鑫

(北京交通大学数学系，北京100044)

摘要：代数方面的知识是数学工作者的必备基础。本文通过讨论大学代数知识在互联网络对称性研究中的应用，提出大学数学专业学生检验自己对已学代数知识的掌握程度的一种新思路，即思考一些比较前沿的数学问题。

关键词：代数;对称;自同构

基金项目：本文得到国家自然科学基金的资助(编号：11271012)

作者简介：周进鑫(1979-)，男(汉族)，山西大同人，北京交通大学数学系副教授，硕士生导师，博士，研究方向：图的对称性、网络的容错性及可靠性。

一、引言与基本概念

《高等代数》(advanced algebra)和《近世代数》(abstractalgebra)是大学数学专业有关代数方面的两门重要课程。前者是大学数学各个专业最重要的主干基础课程之一，后者既是对前者的继续和深入，也是代数方面研究生课程的重要先修课程之一。这两门课程概念众多，内容高度抽象，是数学专业学生公认的难学课程。甚至，很多学生修完《高等代数》之后，就放弃了继续学习《近世代数》。即使对于那些坚持认真学完这两门课程的学生来讲，也未必能做到“不仅知其然，还知其所以然”，而要做到“知其所以然，还要知其不得不然”就更是难上加难了。众所周知，学习数学，不仅逻辑上要搞懂，还要做到真正掌握，学以致用，也就是“学到手”。当然，做课后习题和考试是检验是否学会的一个重要手段。然而，利用所学知识独立地去解决一些比较前沿的数学问题，也是检验我们对于知识理解和掌握程度的一个重要方法。这样做，不仅有助于巩固和加深对所学知识的理解，也有助于培养学生的创新意识和自学能力。笔者结合自己所从事的教学和科研工作，在这方面做了一些尝试。

互连网络的拓扑结构可以用图来表示。为了提高网络性能，考虑到高对称性图具有许多优良的性质，数学与计算机科学工作者通常建议使用具有高对称性的图来做互联网络的模型。事实上，许多著名的网络，如：超立方体网络、折叠立方体网络、交错群图网络等都具有很强的对称性。()而且这些网络的构造都是基于一个重要的代数结构即“群”。它们的对称性也是通过其自同构群在其各个对象(如：顶点集合、边集合等)上作用的传递性来描述的。

下面介绍一些相关的概念。一个图G是一个二元组(V，E)，其中V是一个有限集合，E为由V的若干二元子集组成的集合。称V为G的顶点集合，E为G的边集合。E中的每个二元子集{u，v}称为是图G的连接顶点u与v的一条边。图G的一个自同构f是G的顶点集合V上的一个一一映射(即置换)，使得{u，v}为G的边当且仅当{uf，vf}也为G的边。图G的全体自同构依映射的.合成构成一个群，称为G的全自同构群，记作Aut(G)。图G称为是顶点对称的，如对于G的任意两个顶点u与v，存在G的自同构f使得uf=v。图G称为是边对称的，如对于G的任意两条边{u，v}和{x，y}，存在G的自同构f使得{uf，vf}={x，y}。

设n为正整数，令Z2n为有限域Z2={0，1}上的n维线性空间。由《近世代数》知识可知，Z2n的加法群是一个初等交换2群。在Z2n中取出如下n个单位向量：

e1=(1，0，…，0)，e2=(0，1，0，…，0)，…，en=(0，…，0，1)。

●n维超立方体网络(记作Qn)是一个以Z2n为顶点集合的图，对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-u=ei，其中1≤i≤n。

●n维折叠立方体网络(记作FQn)是一个以Z2n为顶点集合的图，对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-u=ei(1≤i≤n)或者v-u=e1+…+en。

●n维交错群图网络(记作AGn)是一个以n级交错群An为顶点集合的图，对于AGn的任意两个顶点u和v，{u，v}是AGn的一条边当且仅当vu-1=ai或ai-1，这里3≤i≤n，ai=(1，2，i)为一个3轮换。

一个自然的问题是：这三类网络是否是顶点对称的?是否边对称的?但值得我们注意的是，这些问题都可以利用大学所学的代数知识得到完全解决。

二、三类网络的对称性

先来看n维超立方体网络的对称性。

定理一：n维超立方体网络Qn是顶点和边对称的。

证明：对于Z2n中的任一向量x=(x1，…，xn)，如下定义V(Qn)=Z2n上面的一个映射：f(x)：u→u+x，u取遍V(Qn)中所有元素。容易验证f(x)是一个1-1映射。(注：这个映射在《高等代数》中已学过，即所谓的平移映射。)而{u，v}是Qn的一条边，当且仅当v-u=ei(1≤i≤n)，当且仅当vf(x)-uf(x)=ei(1≤i≤n)，当且仅当{v(f x)，u(f x)}是Qn的一条边。所以，f(x)也是Qn的一个自同构。这样，任取V(Qn)中两个顶点u和v，则uf(v-u)=v。从而说明Qn是顶点对称的。

下面证明Qn是边对称的。只需证明：对于Qn的任一条边{u，v}，都存在Qn的自同构g使得{ug，vg}={0，e1}，其中0为Z2n中的零向量。事实上，{uf(-u)，vf(-u)}={0，v-u}，其中v-u=ei (1≤i≤n)。显然，e1，…，ei-1，ei，ei+1，…，en和ei，…，ei-1，e1，ei+1，…，en是Z2n的两组基向量。由《高等代数》知识可知存在Z2n上的可逆线性变换t使得t对换e1和ei而不动其余向量。此时易见，若{a，b}是Qn的一条边，则a-b=ej (1≤j≤n)。若j=1，则at-bt=ei;若j=i，则at-bt=e1;若j≠1，i，则at-bt=ej;所以{at，bt}也是Qn的一条边。由定义可知，t是Qn的一个自同构。进一步，{0t，(v-u)t}={0，e1}，即{uf(-u)t，vf(-u)t}={0，e1}。结论得证。

利用和定理一相似的办法，我们进一步可以得到如下定理。

定理二：n维折叠立方体网络FQn是顶点和边对称的。

最后，来决定n维交错群图网络的对称性。

定理三：n维交错群图网络AGn是顶点和边对称的。

证明：首先，来证明AGn是顶点对称的。给定An中的一个元素g，如下定义一个映射：R(g)：x→xg，其中x取遍An中所有元素。容易验证R(g)为AGn顶点集合上上的一个1-1映射。(注：这个映射在有限群论中是一个十分重要的映射，即所谓的右乘变换。)设{u，v}是AGn的一条边，则vu-1=ai或ai-1，这里1≤i≤n。易见，(vg)(ug)-1=vu-1。所以，{vR(g)，uR(g)}是AGn的一条边。因此，R(g)是AGn的一个自同构。这样，对于AGn的任意两个顶点u和v，有uR(g)=v，这里g=u-1v。这说明AGn是顶点对称的。

下面来证明AGn是边对称的。只需证明对于AGn的任一条边{u，v}，都存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，其中e为An中的单位元。给定对称群Sn中的一个元素g，如下定义一个映射：C(g)：x→g-1xg，其中x取遍An中所有元素。由《近世代数》知识可知，交错群An是对称群Sn的正规子群。容易验证C(g)是AGn的顶点集合上的一个1-1映射。(注：这个映射其实就是把An中任一元素x变为它在g下的共轭。这也是有限群论中一个十分常用的映射。)令x=(1，2)，y(j)=(3，j)，j=3，…，n。下面证明C(x)和C(y(j))都是AGn的自通构。取{u，v}为AGn的任一条边，则vu-1=ai或ai-1。从而，vC(x) (u-1) C(x)=(x-1vx)(x -1u-1x)=x-(1 vu-1)x=ai-1或ai。

因此，{uC(x)，vC(x)}也是AGn的一条边。从而说明C(x)是AGn的自通构。同理，若j=i，有vC(y(j))(u-1)C(y(j))=a3-1或a3;若j≠i，则有vC(y(j))(u-1)C(y(j))=ai-1或ai。这说明{uC(y(j))，vC(y(j))}也是AGn的一条边，从而C(y(j))是AGn的自通构。现在，对于AGn的任一条边{u，v}，令g=u-1，则{uR(g)，vR(g)}={e，vu-1}={e，ai}或{e，ai-1}。若i=3，则{e，a3-1}C(x)={e，a3}。而若i ≠3，则{e，ai}C(y(j))={e，a3}而{e，ai-1}C(y(j))={e，a3-1}。由此可见，总存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，结论得证。

至此，完全决定了这三类网络的对称性。不难看出，除了必要的图论概念外，我们的证明主要利用了《高等代数》和《近世代数》的知识。做为上述问题的继续和深入，有兴趣的同学还可以考虑以下问题：

1.这些网络是否具有更强的对称性?比如：弧对称性?距离对称性?

2.完全决定这些网络的全自同构群。

实际上，利用与上面证明相同的思路，结合对图的局部结构的分析，利用一些组合技巧，这些问题也可以得到解决。

三、小结

大学所学代数知识在数学领域中的许多学科、乃至其他领域都有重要的应用。笔者认为任课教师可以根据自己所熟悉的科研领域，选取一些与大学代数知识有紧密联系的前沿数学问题，引导一些学有余力的学生开展相关研究，甚至可以吸引一些本科生加入自己的课题组。当然，教师要给予必要的指导，比如讲解相关背景知识、必要的概念和方法等。指导学生从相对简单的问题入手，循序渐进，由易到难，逐步加深对代数学知识的系统理解，积累一些经验，为考虑进一步的问题奠定基础。